设f(x)=x+a/x(x>0),a∈R
(1)判断f(x)在(0,+∞)上的增减性,并证明
(2)当x∈[1,2]时,求f(x)最小值
- nicehost
-
(1)
求导得f"=1-a/(x^2)
若a<=0,则f">0恒成立,在(0,+∞)上单调增;
若a﹥0,则
f">0,函数单调递增,则求得单调递增区间为(-∞,-√a),(√a,+∞)
f"<=0,函数单调递减,求得单调递减区间为(-√a,√a)
(0,+∞)∈(-√a,√a),所以在(0,+∞)上单调减。
(2)
当[1,2]∈(-√a,√a),即a>4,f(x)单调减,所以f(x)最小值为f(2)=2+a/2
当[1,2]∈(√a,+∞),即a<1,f(x)单调增,所以f(x)最小值为f(1)=1+a
- meira
-
1,有最基本的增减性判断法:取很近的两个点x1<x2,(f(x1)-f(x2))/(x1-x2)=1-a/x1*x2l,由于x1,x2相差不大,可近似认为相等,则原式=1-a/x^2,就是x点处的斜率,当x>根号a,增,x<根号a,减。
最小值显然在x=根号a处,然而规定了x的范围,因此要将a分区间讨论,在(负无穷,1],[1,4],[4,正无穷]上进行讨论,求最小值。
- 北境漫步
-
好复杂