初二数学因式分解

拿出课本看看嘛，多看例题，多做题

1.A、ax-bx=x(a-b) by-ay=-y(a-b) 有公因式 a-bB、6xy+8x^2y=2xy(3+4x) -4x-3=-(3+4x) 有公因式 3+axC、ab-ac=a(b-c) ab-bc=b(a-c) 无公因式D、(a-b)^3x (b-a)^2y 有公因式 (a-b)^22.A、a^nb(a-b) ab^n(a+b) 有公因式 abB、a+b -a-b=-(a+b) 有公因式 a+bC、a-b -a^2+ab=-a(a-b) 有公因式 a-bD、ax+by x+y 无公因式前面两道题只需要把选项完全因式分解，对比结果即可3.这道题你的答案已经是完全因式分解的结果，不能再分 :) a^2(x+y)(x-y)-4b(y-x)=(a^2x+a^2y+4b)(x-y)本题括号中含x和y的项各只有一项，是一定不可能拆成两个式子乘积形式的4.如果原题是这样C确实没有错，答案是CD，多项式是不在乎每一项的顺序的啦5.（-2)^2004+(-2)^2005 （就当-2是x一样，提取公因式，因式分解）=(-2)^2004*[1+(-2)]=-(-2)^2004 （负数的偶数次方等于绝对值的偶数次方）=-2^2004

初二数学因式分解难吗?应该说,不难.常用的大概有提取公因式法,公式法或十字相乘法.

^ 是什么意思？是除吗？

这一共是六个题吧？第一个：原式=1/2（x^3+8）=1/2(x^3+2^3)=1/2(x+2)(x^2-2x+4)第二题有问题：原式=9a^2-6a+b 这怎么分，检查题目打错了吗第三题:原式=[(3m+2n)-(m-n)][(3m+2n)+(m-n)]=(2m+3n)(4m+n)第四题：原式=也有问题，出不来(去掉2xy中的2可做)第五题：原式=x（3x-6y+1）第六题，原式=(a^b-ab)+(a-a^2)=ab(a-1)+a(1-a)=ab(a-1)-a(a-1)=(ab-a)(a-1)

太多了

你好！解：x^3-9x=x(x^2-9)=x(x+3)(x-3)如果本题有什么不明白可以追问，如果满意请点击右上角好评并“采纳为满意回答”如果有其他问题请采纳本题后，另外发并点击我的头像向我求助，答题不易，请谅解，谢谢。， 你的采纳是我服务的动力。祝学习进步！

(2x+a)(3x+b)=6x²+2bx+3ax+ab由6x²+11x-10得到a*b=10 3a+2b=11由2x²-9x+10 得到a*b=10 a+2b=-9所以得到a=-5 b=-22x+a)(3x+b)=6x²-19x+10

1.=-a^4b^8+3a^3b^6+ab^2=-(ab^2)^4+3(ab^2)^3+ab^2=-1296-3*216-6=-19502.第一次看成2x^2-2x-12第二次看成2x^2+10x+12则原式应为2x^2+10x-12原式=2(x^2+5x-6) =2(x+6)(x-1)

【1】(x的平方-1)(x的平方-6)【2】(x的平方-9(x的平方+4)【3】题错了没，是不是4x四次方-16x²y²+16y四次方，如果是，答案为（2x的平方-4y的平方）的平方【5】（x的平方-3+2x）（xDe平方-3-2x）

1.p=3q=12(m=x)(m-x)

(∮+2)($+2)=∮$+2∮$+4

因式分解的一般步骤是:一提二套三分解一提:即提公因式,看到因式分解的题目,首先看有没有公因式,若有,则先提公因式;若没有,则套用公式.二套:即套用公式,在没有公因式的前提下,则套用公式,常用公式有:a^2-b^2=(a b)(a-b)a^2 2ab b^2=(a b)^2a^2-2ab b^2=(a-b)^2十字相乘法:x^2 (a b)x ab=(x a)(x b)举例: x^2 5x 6=(x 3)(x 2) 三分解:即分组分解法.对于四项或四项以上的,一般都采用这种方法下面主要对分组分解法和其他常见的方法归纳如下．　　一、分组分解因式的几种常用方法．　　1．按公因式分解　　例1 分解因式7x2-3y xy 21x．　　分析：第1、4项含公因式7x，第2、3项含公因式y，分组后又有公因式(x-3)，　　解：原式=(7x2-21x) (xy-3y)=7x(x-3) y(x-3)=(x-3)(7x y)．　　2．按系数分解　　例2 分解因式x3 3x2 3x 9．　　分析：第1、2项和3、4项的系数之比1：3，把它们按系数分组．　　解；原式=(x3 3x2) (3x 9)=x2(x 3) 3(x 3)=(x 3)(x2 3)．　　3．按次数分组例3 分解因式 m2 2m·n-3m-3n n2．　　分析：第1、2、5项是二次项，第3、4项是一次项，按次数分组后能用公式和提取公因式．　　解：原式=(m2 2m·n n2) (-3m-3n)=(m n)2-3(m n)＝(m n)(m n-3)．　　4．按乘法公式分组　　分析：第1、3、4项结合正好是完全平方公式，分组后又与第二项用平方差公式．　　5．展开后再分组　　例5 分解因式ab(c2 d2) cd(a2 b2)．　　分析：将括号展开后再重新分组．　　解：原式=abc2 abd2 cda2十cdb2＝(abc2 cda2) (cdb2 abd2)＝ac(bc ad) bd(bc ad)＝(bc ad)(ac bd)．　　6．拆项后再分组　　例6 分解因式x2-y2 4x 2y 3．　　分析：把常数拆开后再分组用乘法公式．　　解：原式=x2-y2 4x 2y 4-1=(x2 4x 4) (-y2 2y-1)=(x 2)2-(y-1)2=(x y 1)(x-y 3)．　　7．添项后再分组　　例7 分解因式x4 4．　　分析：上式项数较少，较难分解，可添项后再分组．解：原式=x4 4x2-4x2 4=(x2 2)2-(2x)2=(x2 2x 2)(x2-2x 2)　　二、用换元法进行因式分解　　用添加辅助元素的换元思想进行因式分解就是原式繁杂直接分解有困难，通过换元化为简单，从而分步完成．　　例8 分解因式(x2 3x-2)(x2 3x 4)-16．　　分析：将令y=x2 3x，则原式转化为(y-2)(y 4)-16再分解就简单了．　　解：令y=x2 3x，则　　原式=(y-2)(y 4)-16=y2 2y-24=(y 6)(y-4)．　　因此，原式=(x2 3x 6)(x2 3x-4)=(x-1)(x 4)(x2 3x 6)．　　三、用求根法进行因式分解　　例9 分解因式x2 7x 2．　　分析：x2 7x 2利用上述各方法皆不好完成，但仍可以分解，可用先求该多项式对应方程的根再分解．　　 　　四、用待定系数法分解因式．　　例10 分解因式x2 6x-16．　　分析：假设能分解，则应分解为两个一次项式的积形式，即(x b1)(x b2)，将其展开得　　x2 (b1 b2)x十b1·b2与x2 6x-16相比较得　　b1 b2=6，b1·b2=-16，可得b1，b2即可分解．解：设x2 6x-16=(x b1)(x b2)　　则x2 6x-16=x2 (b1 b2)x b1·b2　　∴x2 6x-16=(x-2)(x 8)．希望对你有帮助！

初中数学教材中主要介绍了提取公因式法运用公式法分组分解法和十字相乘法．把一个多项式在一个范围(如实数范围内分解，即所有项均为实数)化为几个整式的积的形式，这种式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式。因式分解是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，在数学求根作图、解一元二次方程方面也有很广泛的应用，是解决许多数学问题的有力工具。因式分解方法灵活，技巧性强。学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所需的，而且对于培养解题技能、发展思维能力都有着十分独特的作用。学习它，既可以复习整式的四则运算，又为学习分式打好基础；学好它，既可以培养学生的观察、思维发展性、运算能力，又可以提高综合分析和解决问题的能力。

（3x-2）(x+4)k+2=-4 k=-6k+2=2/3 k=-4/3希望采纳

1．m2(p－q)－p＋q； 2．a(ab＋bc＋ac)－abc； 3．x4－2y4－2x3y＋xy3； 4．abc(a2＋b2＋c2)－a3bc＋2ab2c2； 5．a2(b－c)＋b2(c－a)＋c2(a－b)； 6．(x2－2x)2＋2x(x－2)＋1； 7．(x－y)2＋12(y－x)z＋36z2； 8．x2－4ax＋8ab－4b2； 9．(ax＋by)2＋(ay－bx)2＋2(ax＋by)(ay－bx)； 10．(1－a2)(1－b2)－(a2－1)2(b2－1)2； 11．(x＋1)2－9(x－1)2； 12．4a2b2－(a2＋b2－c2)2； 13．ab2－ac2＋4ac－4a； 14．x3n＋y3n； 15．(x＋y)3＋125； 16．(3m－2n)3＋(3m＋2n)3； 17．x6(x2－y2)＋y6(y2－x2)； 18．8(x＋y)3＋1； 19．(a＋b＋c)3－a3－b3－c3； 答案 1．(p－q)(m－1)(m＋1)． 8．(x－2b)(x－4a＋2b)． 11．4(2x－1)(2－x)． 20．(x＋3y)(x＋y)． 21．(x－6)(x＋24)．

2.(2004+1)(2004-1)-2004^2=2004^2-1-2004^2=-1

1. n=42.等腰3.（x^4+x^2+1)(X+1)

(3X-Y)(3X-4Y)+3XY=9X^2-12XY-3XY+4Y^2=9X^2-15XY+4Y^2

原式= A^4+8A²B²+16B^4-8A²B²=(A²+4B²)²-8A²B²=(A²+4B²+2√2AB)(A²+4B²-2√2AB)

1.7a+2b2.2x^2+6x+4=2(x^2+3x+2)=2(x+1)(x+2)

原式=a(a²-ab+1/4b²)=a(a-b/2)²

草 玩我啊 a+b=1ab=3 能成立吗

(1).y^2-13y+12=(y-1)(y-12)(2）对于任意整数，n，n^2-n=n(n-1)必是一奇一偶，所以结果为偶数(3)关于x的二次三项式x^2+mx+n分解因式的结果为（x+10）（x-8）=x^2+2x-80，m=2,n=-80(4)关于x的二次三项式x^2+11x+m分解因式的结果中有一个因式是x-3，你能求出m的值吗？请试一试。设另一个为(x+k)所以（x-3）（x+k）=x^2+（k-3）x-3k=x^2+11x+m所以k=14，m=-42(5)有三个多项式：A=2x^2+3xy+y^2,B=3x^2+3xy,C=x^2+xy 请你任选两个进行加（或减）法运算，再将结果分解因式A-B=2x^2+3xy+y^2-（3x^2+3xy）=y^2-x^2=（y+x）(y-x)

题目咧？怎么没看到

（x-y）²+4xy=xx-2xy+yy+4xy=xx+2xy+yy=(x+y)²

你去买本奥赛书，初二的，上面一大些。我家就有。感觉看都看不完，更何况跟你说了！

解:x平方 + (a+b)xy + aby平方 = x平方-4xy+6y平方则 a+b = -4 ab=6因此3(a+b)-2ab = 3*(-4)-2*6 = -12-12 = -24解：∵原式可化为a 2 +c 2 -2ab-2bc+2b 2 =0， 即（a-b） 2 +（a-c） 2 =0， ∴a-b=0且a-c=0，即a=b且a=c， ∴a=b=c． 故△ABC是等边三角形．

a^2-b^2+4b =(a+b)(a-b)+4b =2(a-b)+4b =2a-2b+4b =2a+2b =2(a+b) =2*2 =4

1.9x²-4y²=（3x+2y)(3x-2y)9x²+12xy+4y²=（3x+2y)的平方所以 公因式是：3x+2y2.x的m+3次方和-x的m +1次方是相乘的关系吗？如果是，分解成：x的m次方乘以x的3次方乘-x的m次方乘-x的1次方 结果是m是奇数时得：x的2m+4次方， 偶数时是：-x的2m+4次方3.移项得：a方-c方+2ab+2c=（a+c)(a-c）+2b（a-c）=（a-c）（a+c+2b）=0因为a，b，c是三角形三边所以a+c+2b不能等于0所以a-c=0 即a=c 所以是等腰三角形我今年高二而且是重点高中 这种问题还是有把握的相信我吧

1.D2.B3.D4.4(x的平方)减a的平方5.9a减a的三次方6.k等于12

1、一题错了吧，2、(x-6)(x+5)3、x(x-4)(x+3)4、(x+y-7)^25、(a+b-3c)^2

第一题：（1-2的平方分之一）=（1-1/2)*(1+1/2）=(1/2)*(3/2）（1-3的平方分之一）=（1-1/3)*(1+1/3）=(2/3)*(4/3）……（1-10的平方分之一）=（1-1/10)*(1+1/10）=(9/10)*(11/10）相乘可得（1/2)*(2/3)…(9/10)=1/10，(3/2)*(4/3)…(11/10)=11/2因此结果为11/20第二题123456789的平方-123456788的平方=（123456789+123456788)*(123456789-123456788)=246913577

（x-y）a-x+y=(x-y)a-(x-y)*1=(x-y)(a-1)

稍等，马上就好

4(x+1)(x-1)-(2x+5)(x-5)=4(x+1)(x-1)-[X+(X+5)](X-5)=4(x+1)(x-1)-X(X+5)-(X+5)(X-5)=4(X*X-1)-(X*X+5X)-(X*X-25)=4X*X-4-X*X-5X-X*X+25=2X*X-5X+21不知道x的平方怎么打出来，就用X*X来表示，希望你不会看得太晕啊~~呵呵

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(1) 9(a-b)²+12(a²-b²)+4(a+b)²= 9(a-b)²+12(a-b)(a+b)+4(a+b)²=[3(a-b)+2(a+b)]^2=(5a-b)^2(2) (x²-2x)²+2x²-4x+1=(x²-2x)²+2(x²-2x)+1=(x^2-2x+1)^2=(x-1)^4(3) 49(x-y)²-25(x+y)²=[7(x-y)+5(x+y)][7(x-y)-5(x+y)]=(12x-2y)(2x-12y)=4(6x-y)(x-6y)你看下，明白没？没得话，我再解释！这里说实在的最主要的还是方法，方法掌握了，类似的问题都能解决了！希望我的回答对你有帮助，祝你好运！像这样的问题自己多尝试下，下次才会的！祝你学业进步！

到每个因式不能在分解为止，题目没有要求是有理数范围内。

(1) =(3(x-y))^2 - (5)^2 =(3x-3y-5)(3x-3y+5)2 =(x^2-y-2y+2)(x^2-y+2y-2) =(x^2-3y+2)(x^2-y-2)3 =3x^2(x^4-1)=3x^2(x-1)(x+1)(x^2+1)4 =(x+y-y+x)(x+y+y-x)=4xy5 =(A^2-2B-1+2B)(A^2-2B+1-2B)=(A^2-1)(A^2+1)=(A+1)(A-1))(A^2+1)6 =9(X^2+2Y)(X^-2Y))

a²b+ab²=a(ab)+b(ab)=(a+b)(ab)=13×40=520~520~520~520~

写的详细但有一点听不懂。

微积分在现实生活中的应用：1、排队等待中的极限夹逼定理在数列极限的夹逼定理中，画出3条与轴线垂直的直线，分别代表3个垂直于平面的平面，从左到右将其标记为Yn，a，Zn，并将a假设为固定形式，Yn、Zn都向a无限接近，而此时在Yn与Zn之间随意放入平面Xn，此值都是无限向a趋近，这就是夹逼定理的形象描述。2、“微元法”计算立体体积在切菜中的应用在研究定积分计算平行截面的面积已知的立体空间体积时，假设将空间中某个立体面，由一个曲面及垂直于x轴的两个平面围成，如果使用任意点并与x轴的平面截立体垂直，所得的截面面积也就是已知连续函数，此立体体积就能通过定积分表示。并通过“微元法”得出结论。此种方法在生活中的应用，可考虑为切黄瓜圈时，将洗净的黄瓜放到水平放置的菜板上，菜刀则垂直于菜板的方向切去黄瓜两端，也就是所求体积的立体空间。也就是将间隔较小距离且垂直于菜板方向切下一个黄瓜薄片，将其视为一个支柱体，这个体积也就是等于截面的面积乘以厚度。举一反三，如果将这根黄瓜切成若干薄片，计算每个薄片的面积并相加就可得到黄瓜的近似体积，且黄瓜片约薄，体积值就约精确。也就是将其无限细分，再获得无限和，这正是定积分的最好应用。微积分的建立成型时期1、十七世纪上半叶：这一时期，几乎所有的科学大师都致力于解决速率、极值、切线、面积问题，特别是描述运动与变化的无限小算法，并且在相当短的时间内取得了极大的发展。天文学家开普勒发现行星运动三大定律，并利用无穷小求和的思想，求得曲边形的面积及旋转体的体积。意大利数学家卡瓦列利与同时期发现卡瓦列利原理（祖暅原理），利用不可分量方法幂函数定积分公式。此外，卡瓦列利还证明了吉尔丁定理（一个平面图形绕某一轴旋转所得立体图形体积等于该平面图形的重心所形成的圆的周长与平面图形面积的乘积。），对于微积分的雏形的形成影响深远。此外解析几何创始人——法国数学家笛卡尔的代数方法对于微积分的发展起了极大的推动。法国大数学家费马在求曲线的切线及函数的极值方面贡献巨大。其中就有关于数学分析的费马定理：设函数f(x)是在某一区间Χ内定义的，并且在这区间的内点c取最大（最小）值。若在这一点处存在着有限导数f"(c),则必须有f"(c)=0。2、十七世纪下半叶：英国科学家牛顿开始关于微积分的研究，他受了沃利斯的《无穷算术》的启发，第一次把代数学扩展到分析学。1665年牛顿发明正流数术（微分），次年又发明反流数术。之后将流数术总结一起，并写出了《流数简述》，这标志着微积分的诞生。接着，牛顿研究变量流动生成法，认为变量是由点、线或面的连续运动产生的，因此，他把变量叫作流量，把变量的变化率叫做流数。在牛顿创立微积分后期，否定了以前自己认为的变量是无穷小元素的静止集合，不再强调数学量是由不可分割的最小单元构成，而认为它是由几何元素经过连续运动生成的，不再认为流数是两个实无限小量的比，而是初生量的最初比或消失量的最后比，这就从原先的实无限小量观点进到量的无限分割过程即潜无限观点上去。同一时期，德国数学家莱布尼茨也独立创立了微积分学，他于1684年发表第一篇微分论文，定义了微分概念，采用了微分符号dx，dy。1686年他又发表了积分论文，讨论了微分与积分，使用了积分符号∫，符号的发明使得微积分的表达更加简便。此外他还发现了求高级导数的莱布尼茨公式，还有牛顿莱布尼茨公式，将微分与积分运算联系在一起，他在微积分方面的贡献与牛顿旗鼓相当。

点击表格上方的fx。在弹出的插入函数窗口里找到求和函数sum，点击确定。详细步骤：1、选中要求和的第一个单元格。2、点击表格上方的fx。3、在弹出的插入函数窗口里找到求和函数sum,点击确定。4、在sum函数对话框Number1里核对求和对应单元格的区域，点击确定。5、把鼠标光标移动到单元格右下角，当光标变成黑色实心光标时按住鼠标左键拉到最后一个单元格。6、求和成功。

V=4/3 πr*3。设球体的体积为V，底面半径为r，则得体积公式为：V=4/3 πr*3。体积的国际单位制是立方米。一件固体物件的体积是一个数值用以形容该物件在三维空间所占有的空间。扩展资料：柱体体积公式一、常规公式 V=sh（S是底面积，h是高）二、圆柱V= πr*2（r代表底圆半径，h代表圆柱体的高）三、棱柱V=sh（底面积x高）参考资料来源：搜狗百科-体积公式

反函数现在不是重点，理解一下概念就可以了，掌握幂函数经常用的5个函数就可以了

1、分母如果可以因式分解：你可以先把分母因式分解，然后再找公因式，最后通分。2、分母如果不可以因式分解：你把分母直接相乘后，再做分母，分子互相乘以分母，就可以了。

自然对数当x趋近于正无穷或负无穷时，[1+(1/x)]^x的极限就等于e，实际上e就是通过这个极限而发现的。它是个无限不循环小数。其值约等于2.718281828...它用e表示以e为底数的对数通常用于㏑而且e还是一个超越数e在科学技术中用得非常多，一般不使用以10为底数的对数。以e为底数，许多式子都能得到简化，用它是最“自然”的，所以叫“自然对数”。 涡形或螺线型是自然事物极为普遍的存在形式，比如：一缕袅袅升上蓝天的炊烟，一朵碧湖中轻轻荡开的涟漪，数只缓缓攀援在篱笆上的蜗牛和无数在恬静的夜空携拥着旋舞的繁星…… 螺线特别是对数螺线的美学意义可以用指数的形式来表达： φkρ=αe 其中，α和k为常数，φ是极角，ρ是极径，e是自然对数的底。为了讨论方便，我们把e或由e经过一定变换和复合的形式定义为“自然律”。因此，“自然律”的核心是e，其值为2.71828……，是一个无限循环数。 、“自然律”之美 “自然律”是e 及由e经过一定变换和复合的形式。e是“自然律”的精髓，在数学上它是函数： (1+1/x)^x 当X趋近无穷时的极限。 人们在研究一些实际问题，如物体的冷却、细胞的繁殖、放射性元素的衰变时，都要研究 (1+1/x)^x X的X次方，当X趋近无穷时的极限。正是这种从无限变化中获得的有限，从两个相反方向发展（当X趋向正无穷大的时，上式的极限等于e=2.71828……，当X趋向负无穷大时候，上式的结果也等于e=2.71828……）得来的共同形式，充分体现了宇宙的形成、发展及衰亡的最本质的东西。 现代宇宙学表明，宇宙起源于“大爆炸”，而且目前还在膨胀，这种描述与十九世纪后半叶的两个伟大发现之一的熵定律，即热力学第二定律相吻合。熵定律指出，物质的演化总是朝着消灭信息、瓦解秩序的方向，逐渐由复杂到简单、由高级到低级不断退化的过程。退化的极限就是无序的平衡，即熵最大的状态，一种无为的死寂状态。这过程看起来像什么？只要我们看看天体照相中的旋涡星系的照片即不难理解。如果我们一定要找到亚里士多德所说的那种动力因，那么，可以把宇宙看成是由各个预先上紧的发条组织，或者干脆把整个宇宙看成是一个巨大的发条，历史不过是这种发条不断争取自由而放出能量的过程。 生命体的进化却与之有相反的特点，它与热力学第二定律描述的熵趋于极大不同，它使生命物质能避免趋向与环境衰退。任何生命都是耗散结构系统，它之所以能免于趋近最大的熵的死亡状态，就是因为生命体能通过吃、喝、呼吸等新陈代谢的过程从环境中不断吸取负熵。新陈代谢中本质的东西，乃是使有机体成功的消除了当它自身活着的时候不得不产生的全部熵。 “自然律”一方面体现了自然系统朝着一片混乱方向不断瓦解的崩溃过程（如元素的衰变），另一方面又显示了生命系统只有通过一种有序化过程才能维持自身稳定和促进自身的发展（如细胞繁殖）的本质。正是具有这种把有序和无序、生机与死寂寓于同一形式的特点，“自然律”才在美学上有重要价值。 如果荒僻不毛、浩瀚无际的大漠是“自然律”无序死寂的熵增状态，那么广阔无垠、生机盎然的草原是“自然律”有序而欣欣向荣的动态稳定结构。因此，大漠使人感到肃穆、苍茫，令人沉思，让人回想起生命历程的种种困顿和坎坷；而草原则使人兴奋、雀跃，让人感到生命的欢乐和幸福。 e=2.71828……是“自然律”的一种量的表达。“自然律”的形象表达是螺线。螺线的数学表达式通常有下面五种：（1）对数螺线；（2）阿基米德螺线；（3）连锁螺线；（4）双曲螺线；（5）回旋螺线。对数螺线在自然界中最为普遍存在，其它螺线也与对数螺线有一定的关系，不过目前我们仍未找到螺线的通式。对数螺线是1638年经笛卡尔引进的，后来瑞士数学家雅各·伯努利曾详细研究过它，发现对数螺线的渐屈线和渐伸线仍是对数螺线，极点在对数螺线各点的切线仍是对数螺线，等等。伯努利对这些有趣的性质惊叹不止，竟留下遗嘱要将对数螺线画在自己的墓碑上。 英国著名画家和艺术理论家荷迦兹深深感到：旋涡形或螺线形逐渐缩小到它们的中心，都是美的形状。事实上，我们也很容易在古今的艺术大师的作品中找到螺线。为什么我们的感觉、我们的“精神的”眼睛经常能够本能地和直观地从这样一种螺线的形式中得到满足呢？这难道不意味着我们的精神，我们的“内在”世界同外在世界之间有一种比历史更原始的同构对应关系吗？ 我们知道，作为生命现象的基础物质蛋白质，在生命物体内参与着生命过程的整个工作，它的功能所以这样复杂高效和奥秘无穷，是同其结构紧密相关的。化学家们发现蛋白质的多钛链主要是螺旋状的，决定遗传的物质——核酸结构也是螺螺状的。 古希腊人有一种称为风鸣琴的乐器，当它的琴弦在风中振动时，能产生优美悦耳的音调。这种音调就是所谓的“涡流尾迹效应”。让人深思的是，人类经过漫长岁月进化而成的听觉器官的内耳结构也具涡旋状。这是为便于欣赏古希腊人的风鸣琴吗？还有我们的指纹、发旋等等，这种审美主体的生理结构与外在世界的同构对应，也就是“内在”与“外在”和谐的自然基础。 有人说数学美是“一”的光辉，它具有尽可能多的变换群作用下的不变性，也即是拥有自然普通规律的表现，是“多”与“一”的统一，那么“自然律”也同样闪烁着“一”的光辉。谁能说清e=2.71828……给数学家带来多少方便和成功？人们赞扬直线的刚劲、明朗和坦率，欣赏曲线的优美、变化与含蓄，殊不知任何直线和曲线都可以从螺线中取出足够的部分来组成。有人说美是主体和客体的同一，是内在精神世界同外在物质世界的统一，那么“自然律”也同样有这种统一。人类的认识是按否定之否定规律发展的，社会、自然的历史也遵循着这种辩证发展规律，是什么给予这种形式以生动形象的表达呢？螺线！ 有人说美在于事物的节奏，“自然律”也具有这种节奏；有人说美是动态的平衡、变化中的永恒，那么“自然律”也同样是动态的平衡、变化中的永恒；有人说美在于事物的力动结构，那么“自然律”也同样具有这种结构——如表的游丝、机械中的弹簧等等。 “自然律”是形式因与动力因的统一，是事物的形象显现，也是具象和抽象的共同表达。有限的生命植根于无限的自然之中，生命的脉搏无不按照宇宙的旋律自觉地调整着运动和节奏……有机的和无机的，内在的和外在的，社会的和自然的，一切都合而为一。这就是“自然律”揭示的全部美学奥秘吗？不！“自然律”永远具有不能穷尽的美学内涵，因为它象征着广袤深邃的大自然。正因为如此，它才吸引并且值的人们进行不懈的探索，从而显示人类不断进化的本质力量。（原载《科学之春》杂志1984年第4期，原题为：《自然律——美学家和艺术家的瑰宝》） 参考资料：1.《自然律——美学家和艺术家的瑰宝》 旋涡形或螺线型是自然事物极为普遍的存在形式，比如：一缕袅袅升上蓝天的炊烟，一朵碧湖中轻轻荡开的涟漪，数只缓缓攀援在篱笆上的蜗牛和无数在恬静的夜空携拥着旋舞的繁星…… 螺线特别是对数螺线的美学意义可以用指数的形式来表达： φkρ=αe 其中，α和k为常数，φ是极角，ρ是极径，e是自然对数的底。为了讨论方便，我们把e或由e经过一定变换和复合的形式定义为“自然律”。因此，“自然律”的核心是e，其值为2.71828……，是一个无限循环数。 数，美吗？ 1、数之美 人们很早就对数的美有深刻的认识。其中，公元前六世纪盛行于古希腊的毕达哥斯学派见解较为深刻。他们首先从数学和声学的观点去研究音乐节奏的和谐，发现声音的质的差别（如长短、高低、轻重等）都是由发音体数量方面的差别决定的。例如发音体（如琴弦）长，声音就长；振动速度快，声音就高；振动速度慢，声音就低。因此，音乐的基本原则在于数量关系。 毕达哥斯学派把音乐中的和谐原理推广到建筑、雕刻等其它艺术，探求什么样的比例才会产生美的效果，得出了一些经验性的规范。例如，在欧洲有长久影响的“黄金律”据说是他们发现的（有人说，是蔡泌于一八五四年提出了所谓的“黄金分割律”。所谓黄金分割律“就是取一根线分为两部分，使长的那部分的平方等于短的那部分乘全线段。”“如果某物的长与宽是按照这个比例所组成的，那么它就比由其它比例所组成的长方形‘要美"。”）。 这派学者还把数学与和谐的原则应用于天文学的研究，因而形成所谓“诸天音乐”或“宇宙和谐”的概念，认为天上诸星体在遵照一定的轨道运动中，也产生一种和谐的音乐。他们还认为，人体的机能也是和谐的，就象一个“小宇宙”。人体之所以美，是由于它各部分——头、手、脚、五官等比例适当，动作协调；宇宙之所以美，是由于各个物质单位以及各个星体之间运行的速度、距离、周转时间等等配合协调。这些都是数的和谐。 中国古代思想家们也有类似的观点。道家的老子和周易《系辞传》，都曾尝试以数学解释宇宙生成，后来又衍为周易象数派。《周易》中贲卦的表示朴素之美，离卦的表示华丽之美，以及所谓“极其数，遂定天下之象”，都是类似数学推理的结论。儒家的荀卿也说过：“万物同宇宙而异体。无宜而有用为人，数也。”庄子把“小我”与“大我”一视同仁，“小年”与“大年”等量齐观，也略同于毕达哥拉斯学派之把“小宇宙”和“大宇宙”互相印证。所谓“得之于手而应用于心，口不能言，有数存在焉与其间”。这种从数的和谐看出美的思想，深深地影响了后世的中国美学。 2、黄金律之美 黄金律历来被染上瑰丽诡秘的色彩，被人们称为“天然合理”的最美妙的形式比例。我们知道，黄金律不仅是构图原则，也是自然事物的最佳状态。中世纪意大利数学家费勃奈舍发现，许多植物叶片、花瓣以及松果壳瓣，从小到大的序列是以0.618：1的近似值排列的，这即是著名的“费勃奈舍数列”：1、2、3、5、8、13、21、34……动物身上的色彩图案也大体符合黄金比。舞蹈教练、体操专家选择人材制定的比列尺寸，例如肩宽和腰的比例、腰部以上与腰部以下的比列也都大体符合黄金比。 现代科学家还发现，当大脑呈现的“倍塔”脑电波的高频与低频之比是1：0.618的近似值(12.9赫兹与8赫兹之比)时，人的心身最具快感。甚至，当大自然的气温（23摄氏度）与人的体温37摄氏度之比为0.618:1时,最适宜于人的身心健康,最使人感到舒适。另外，数学家们为工农业生产制度的优选法，所提出的配料最佳比例、组织结构的最佳比例等等，也都大体符合黄金律。 然而，这并不意味着黄金律比“自然律”更具有美学意义。我们可以证明，当对数螺线： φkρ=αe 的等比取黄金律，即k=0.0765872，等比P1/P2=0.618时，则螺线中同一半径线上相邻极半径之比都有黄金分割关系。事实上，当函数f（X）等于e的X次方时，取X为0.4812,那么，f（X）=0.618…… 因此，黄金律被“自然律”逻辑所蕴含。换言之，“自然律”囊括了黄金律。 黄金律表现了事物的相对静止状态，而“自然律”则表现了事物运动发展的普遍状态。因此，从某种意义上说，黄金律是凝固的“自然律”，“自然律”是运动着的黄金律。 3、“自然律”之美 “自然律”是e 及由e经过一定变换和复合的形式。e是“自然律”的精髓，在数学上它是函数： 1（1+——） X的X次方，当X趋近无穷时的极限。 人们在研究一些实际问题，如物体的冷却、细胞的繁殖、放射性元素的衰变时，都要研究 1（1+——） X的X次方，当X趋近无穷时的极限。正是这种从无限变化中获得的有限，从两个相反方向发展（当X趋向正无穷大的时，上式的极限等于e=2.71828……，当X趋向负无穷大时候，上式的结果也等于e=2.71828……）得来的共同形式，充分体现了宇宙的形成、发展及衰亡的最本质的东西。 现代宇宙学表明，宇宙起源于“大爆炸”，而且目前还在膨胀，这种描述与十九世纪后半叶的两个伟大发现之一的熵定律，即热力学第二定律相吻合。熵定律指出，物质的演化总是朝着消灭信息、瓦解秩序的方向，逐渐由复杂到简单、由高级到低级不断退化的过程。退化的极限就是无序的平衡，即熵最大的状态，一种无为的死寂状态。这过程看起来像什么？只要我们看看天体照相中的旋涡星系的照片即不难理解。如果我们一定要找到亚里士多德所说的那种动力因，那么，可以把宇宙看成是由各个预先上紧的发条组织，或者干脆把整个宇宙看成是一个巨大的发条，历史不过是这种发条不断争取自由而放出能量的过程。 生命体的进化却与之有相反的特点，它与热力学第二定律描述的熵趋于极大不同，它使生命物质能避免趋向与环境衰退。任何生命都是耗散结构系统，它之所以能免于趋近最大的熵的死亡状态，就是因为生命体能通过吃、喝、呼吸等新陈代谢的过程从环境中不断吸取负熵。新陈代谢中本质的东西，乃是使有机体成功的消除了当它自身活着的时候不得不产生的全部熵。 “自然律”一方面体现了自然系统朝着一片混乱方向不断瓦解的崩溃过程（如元素的衰变），另一方面又显示了生命系统只有通过一种有序化过程才能维持自身稳定和促进自身的发展（如细胞繁殖）的本质。正是具有这种把有序和无序、生机与死寂寓于同一形式的特点，“自然律”才在美学上有重要价值。 如果荒僻不毛、浩瀚无际的大漠是“自然律”无序死寂的熵增状态，那么广阔无垠、生机盎然的草原是“自然律”有序而欣欣向荣的动态稳定结构。因此，大漠使人感到肃穆、苍茫，令人沉思，让人回想起生命历程的种种困顿和坎坷；而草原则使人兴奋、雀跃，让人感到生命的欢乐和幸福。 e=2.71828……是“自然律”的一种量的表达。“自然律”的形象表达是螺线。螺线的数学表达式通常有下面五种：（1）对数螺线；（2）阿基米德螺线；（3）连锁螺线；（4）双曲螺线；（5）回旋螺线。对数螺线在自然界中最为普遍存在，其它螺线也与对数螺线有一定的关系，不过目前我们仍未找到螺线的通式。对数螺线是1638年经笛卡尔引进的，后来瑞士数学家雅各·伯努利曾详细研究过它，发现对数螺线的渐屈线和渐伸线仍是对数螺线，极点在对数螺线各点的切线仍是对数螺线，等等。伯努利对这些有趣的性质惊叹不止，竟留下遗嘱要将对数螺线画在自己的墓碑上。 英国著名画家和艺术理论家荷迦兹深深感到：旋涡形或螺线形逐渐缩小到它们的中心，都是美的形状。事实上，我们也很容易在古今的艺术大师的作品中找到螺线。为什么我们的感觉、我们的“精神的”眼睛经常能够本能地和直观地从这样一种螺线的形式中得到满足呢？这难道不意味着我们的精神，我们的“内在”世界同外在世界之间有一种比历史更原始的同构对应关系吗？ 我们知道，作为生命现象的基础物质蛋白质，在生命物体内参与着生命过程的整个工作，它的功能所以这样复杂高效和奥秘无穷，是同其结构紧密相关的。化学家们发现蛋白质的多钛链主要是螺旋状的，决定遗传的物质——核酸结构也是螺螺状的。 古希腊人有一种称为风鸣琴的乐器，当它的琴弦在风中振动时，能产生优美悦耳的音调。这种音调就是所谓的“涡流尾迹效应”。让人深思的是，人类经过漫长岁月进化而成的听觉器官的内耳结构也具涡旋状。这是为便于欣赏古希腊人的风鸣琴吗？还有我们的指纹、发旋等等，这种审美主体的生理结构与外在世界的同构对应，也就是“内在”与“外在”和谐的自然基础。 有人说数学美是“一”的光辉，它具有尽可能多的变换群作用下的不变性，也即是拥有自然普通规律的表现，是“多”与“一”的统一，那么“自然律”也同样闪烁着“一”的光辉。谁能说清e=2.71828……给数学家带来多少方便和成功？人们赞扬直线的刚劲、明朗和坦率，欣赏曲线的优美、变化与含蓄，殊不知任何直线和曲线都可以从螺线中取出足够的部分来组成。有人说美是主体和客体的同一，是内在精神世界同外在物质世界的统一，那么“自然律”也同样有这种统一。人类的认识是按否定之否定规律发展的，社会、自然的历史也遵循着这种辩证发展规律，是什么给予这种形式以生动形象的表达呢？螺线！ 有人说美在于事物的节奏，“自然律”也具有这种节奏；有人说美是动态的平衡、变化中的永恒，那么“自然律”也同样是动态的平衡、变化中的永恒；有人说美在于事物的力动结构，那么“自然律”也同样具有这种结构——如表的游丝、机械中的弹簧等等。 “自然律”是形式因与动力因的统一，是事物的形象显现，也是具象和抽象的共同表达。有限的生命植根于无限的自然之中，生命的脉搏无不按照宇宙的旋律自觉地调整着运动和节奏……有机的和无机的，内在的和外在的，社会的和自然的，一切都合而为一。这就是“自然律”揭示的全部美学奥秘吗？不！“自然律”永远具有不能穷尽的美学内涵，因为它象征着广袤深邃的大自然。正因为如此，它才吸引并且值的人们进行不懈的探索，从而显示人类不断进化的本质力量。（原载《科学之春》杂志1984年第4期，原题为：《自然律——美学家和艺术家的瑰宝》）2，尤拉的自然对数底公式 （大约等于2.71828的自然对数的底——e） 尤拉被称为数字界的莎士比亚，他是历史上最多产的数学家，也是各领域（包含数学中理论与应用的所有分支及力学、光学、音响学、水利、天文、化学、医药等）最多著作的学者。数学史上称十八世纪为“尤拉时代”。 尤拉出生于瑞士，31岁丧失了右眼的视力，59岁双眼失明，但他性格乐观，有惊人的记忆力及集中力，使他在13个小孩子吵闹的环境中仍能精确思考复杂问题。 尤拉一生谦逊，从没有用自己的名字给他发现的东西命名。只有那个大约等于2.71828的自然对数的底，被他命名为e。但因他对数学广泛的贡献，因此在许多数学分支中，反而经常见到以他的名字命名的重要常数、公式和定理。 我们现在习以为常的数学符号很多都是尤拉所发明介绍的，例如：函数符号f（x）、π、e、∑、logx、sinx、cosx以及虚数i等。高中教师常用一则自然对数的底数e笑话，帮助学生记忆一个很特别的微分公式：在一家精神病院里，有个病患整天对着别人说，“我微分你、我微分你。”也不知为什么，这些病患都有一点简单的微积分概念，总以为有一天自己会像一般多项式函数般，被微分到变成零而消失，因此对他避之不及，然而某天他却遇上了一个不为所动的人，他很意外，而这个人淡淡地对他说，“我是e的x次方。” 这个微分公式就是：e不论对x微分几次，结果都还是e！难怪数学系学生会用e比喻坚定不移的爱情！ 相对于π是希腊文字中圆周第一个字母，e的由来较不为人熟知。有人甚至认为：尤拉取自己名字的第一个字母作为自然对数。 而尤拉选择e的理由较为人所接受的说法有二：一为在a，b，c，d等四个常被使用的字母后面，第一个尚未被经常使用的字母就是e，所以，他很自然地选了这个符号，代表自然对数的底数；一为e是指数的第一个字母，虽然你或许会怀疑瑞士人尤拉的母语不是英文，可事实上法文、德文的指数都是它。 在实际应用中，指数函数的应用比较多一些。 在概率论中有一种分布是指数分布，其概率密度函数为 f(x)=λe^(-λ) x>0 0 x<=0 这种分布具有无记忆性，和寿命分布类似。 举个例子来说就是，一个人已经活了20岁和他还能再活20岁这两件事是没有关系的。因此指数分布也被戏称为“永远年轻”。另外正态分布也用到了指数函数，只不过表达式比较复杂，这在高中数学中也有涉及到。 在复变函数中，也经常用到指数形式表示一个负数。比如说1+i=根号2*e^(πi/4) 这是根据著名的欧拉公式得到的：cosa+isina=e^(ai),当然复指数与实数范围内的指数有很多不同的地方，在复变函数中还会学深入的学到。 复指数在信号的频谱分析中还有很重要的应用，要研究一个周期信号的还有那些频率分量就要把它展开成若干个复指数函数的线性组合，这个过程叫傅里叶分解，是法国数学家、物理学家傅里叶（Fourier）发现的。学习电信类的相关专业会对信号的分析有一个系统的学习。 幂函数最重要的应用就是级数。不严谨的说，就是把一个函数展开成无穷项等比数列求和的形式，只不过每项都是关于x的幂函数，利用这个幂级数，可以把任意一个函数表示成多项式，方便近似计算。另外，刚才提到的傅里叶分解也就是把一个周期函数（信号）展开成傅里叶级数。如果函数是非周期的（即周期无限大）这个过程就叫做傅里叶变换。 哦啦。管不管用呀？

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