容斥原理

容斥原理是组合数学中的一种计数方法，用于计算多个集合的并集或交集的大小。对于两个集合A和B，容斥原理的公式如下：|A∪B| = |A| + |B| - |A∩B|其中，|A|表示集合A的元素个数，|B|表示集合B的元素个数，|A∩B|表示集合A和B的交集的元素个数，|A∪B|表示集合A和B的并集的元素个数。这个公式可以推广到更多的集合，比如对于三个集合A、B、C，容斥原理的公式如下：|A∪B∪C| = |A| + |B| + |C| - |A∩B| - |A∩C| - |B∩C| + |A∩B∩C|其中，|A∩B∩C|表示集合A、B、C的交集的元素个数。容斥原理公式的核心思想是通过相加和相减来避免重复计数，确保得到正确的集合大小。

三集合容斥原理是一种计算多个集合交、并、差的方法。它基于集合的数学性质，用于解决集合运算中的重叠问题。具体而言，三集合容斥原理可以用来计算三个集合的交集、并集和差集的元素个数。三集合容斥原理的表述如下：设 A、B 和 C 是三个集合，表示为 A = {a1, a2, ...}，B = {b1, b2, ...}，C = {c1, c2, ...}。则三集合容斥原理可以表示为：|A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| - |A ∩ B| - |A ∩ C| - |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|其中，|A| 表示集合 A 的元素个数，|A ∩ B| 表示集合 A 和 B 的交集的元素个数。三集合容斥原理的应用有助于解决复杂的集合计数问题，尤其在概率论、组合数学和离散数学等领域中发挥重要作用。通过灵活运用三集合容斥原理，我们可以更加准确地计算集合间的关系，从而推导出更精确的结论。

三集合容斥原理是一种计算多个集合交、并、差的方法。它基于集合的数学性质，用于解决集合运算中的重叠问题。具体而言，三集合容斥原理可以用来计算三个集合的交集、并集和差集的元素个数。三集合容斥原理的表述如下：设 A、B 和 C 是三个集合，表示为 A = {a1, a2, ...}，B = {b1, b2, ...}，C = {c1, c2, ...}。则三集合容斥原理可以表示为：|A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| - |A ∩ B| - |A ∩ C| - |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|其中，|A| 表示集合 A 的元素个数，|A ∩ B| 表示集合 A 和 B 的交集的元素个数。三集合容斥原理的应用有助于解决复杂的集合计数问题，尤其在概率论、组合数学和离散数学等领域中发挥重要作用。通过灵活运用三集合容斥原理，我们可以更加准确地计算集合间的关系，从而推导出更精确的结论。

三集合容斥原理是指在涉及三个集合的问题中，计算它们的并、交和补集的元素数量的原理。设 A、B 和 C 为任意三个集合，容斥原理可以表示为：|A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| - |A ∩ B| - |A ∩ C| - |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|其中，|A| 表示集合 A 的元素数量。这个原理可以推广到更多的集合上，例如四个集合、五个集合等。容斥原理的直观意义是，为了计算三个集合的并集，我们首先加上每个集合的元素数量，然后减去同时属于两个集合的元素数量，最后再加上同时属于三个集合的元素数量，以避免重复计算。通过应用容斥原理，我们可以解决一些集合数量关系的问题，例如计算事件之间的交集、并集和互斥事件的概率等。容斥原理在组合数学等领域中有广泛的应用。

∪并集（比如集合a有1357集合b有1234a并b为123457）∩交集（a交b为13）三个圆为abca∪b∪c为总面积a∩b＋b∩c＋c∩a为灰色面积a∩b∩c为最中间面积其实就是三个圆的总面积（不重叠的圆的总面积）

三集合容斥原理是一种计算多个集合交、并、差的方法。它基于集合的数学性质，用于解决集合运算中的重叠问题。具体而言，三集合容斥原理可以用来计算三个集合的交集、并集和差集的元素个数。三集合容斥原理的表述如下：设 A、B 和 C 是三个集合，表示为 A = {a1, a2, ...}，B = {b1, b2, ...}，C = {c1, c2, ...}。则三集合容斥原理可以表示为：|A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| - |A ∩ B| - |A ∩ C| - |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|其中，|A| 表示集合 A 的元素个数，|A ∩ B| 表示集合 A 和 B 的交集的元素个数。三集合容斥原理的应用有助于解决复杂的集合计数问题，尤其在概率论、组合数学和离散数学等领域中发挥重要作用。通过灵活运用三集合容斥原理，我们可以更加准确地计算集合间的关系，从而推导出更精确的结论。

三集合容斥非标准型公式是A+B+C－（AB+BC+AC）+ABC＝总数－都不。解释分析：因为A、B、C与A交B两两的交集它们中都含A交B交C，然而ABC两两交集中应减两次，然而却将ABC两两交集中的A交B交C减了三次，所以应该加上多减的一次ABC的交集。容斥原理指把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复。三集合容斥问题的核心公式如下：1、标准型：|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|-|A∩B|-|B∩C|-|C∩A|+|A∩B∩C|。2、非标准型：|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|-只满足两个条件的-2×三个都满足的。3、列方程组：|A∪B∪C|=只满足一个条件的+只满足两个条件的+三个都满足的。

三集合容斥原理是指在涉及三个集合的问题中，计算它们的并、交和补集的元素数量的原理。设 A、B 和 C 为任意三个集合，容斥原理可以表示为：|A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| - |A ∩ B| - |A ∩ C| - |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|其中，|A| 表示集合 A 的元素数量。这个原理可以推广到更多的集合上，例如四个集合、五个集合等。容斥原理的直观意义是，为了计算三个集合的并集，我们首先加上每个集合的元素数量，然后减去同时属于两个集合的元素数量，最后再加上同时属于三个集合的元素数量，以避免重复计算。通过应用容斥原理，我们可以解决一些集合数量关系的问题，例如计算事件之间的交集、并集和互斥事件的概率等。容斥原理在组合数学等领域中有广泛的应用。

三集合容斥原理是指在涉及三个集合的问题中，计算它们的并、交和补集的元素数量的原理。设 A、B 和 C 为任意三个集合，容斥原理可以表示为：|A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| - |A ∩ B| - |A ∩ C| - |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|其中，|A| 表示集合 A 的元素数量。这个原理可以推广到更多的集合上，例如四个集合、五个集合等。容斥原理的直观意义是，为了计算三个集合的并集，我们首先加上每个集合的元素数量，然后减去同时属于两个集合的元素数量，最后再加上同时属于三个集合的元素数量，以避免重复计算。通过应用容斥原理，我们可以解决一些集合数量关系的问题，例如计算事件之间的交集、并集和互斥事件的概率等。容斥原理在组合数学等领域中有广泛的应用。

三集合容斥原理是指在涉及三个集合的问题中，计算它们的并、交和补集的元素数量的原理。设 A、B 和 C 为任意三个集合，容斥原理可以表示为：|A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| - |A ∩ B| - |A ∩ C| - |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|其中，|A| 表示集合 A 的元素数量。这个原理可以推广到更多的集合上，例如四个集合、五个集合等。容斥原理的直观意义是，为了计算三个集合的并集，我们首先加上每个集合的元素数量，然后减去同时属于两个集合的元素数量，最后再加上同时属于三个集合的元素数量，以避免重复计算。通过应用容斥原理，我们可以解决一些集合数量关系的问题，例如计算事件之间的交集、并集和互斥事件的概率等。容斥原理在组合数学等领域中有广泛的应用。

65人。根据洛花狼籍官网显示，容斥原理三集合三个项目都通过最少65人。容斥原理，是在计数时，必须注意没有重复，没有遗漏，为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法。

三集合容斥原理是一种计算多个集合交、并、差的方法。它基于集合的数学性质，用于解决集合运算中的重叠问题。具体而言，三集合容斥原理可以用来计算三个集合的交集、并集和差集的元素个数。三集合容斥原理的表述如下：设 A、B 和 C 是三个集合，表示为 A = {a1, a2, ...}，B = {b1, b2, ...}，C = {c1, c2, ...}。则三集合容斥原理可以表示为：|A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| - |A ∩ B| - |A ∩ C| - |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|其中，|A| 表示集合 A 的元素个数，|A ∩ B| 表示集合 A 和 B 的交集的元素个数。三集合容斥原理的应用有助于解决复杂的集合计数问题，尤其在概率论、组合数学和离散数学等领域中发挥重要作用。通过灵活运用三集合容斥原理，我们可以更加准确地计算集合间的关系，从而推导出更精确的结论。

1、在计数时，必须注意没有重复，没有遗漏。为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。 2、例如：一次期末考试，某班有15人数学得满分，有12人语文得满分，并且有4人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人？ 3、分析：依题意，被计数的事物有语、数得满分两类，“数学得满分”称为“A类元素”，“语文得满分”称为“B类元素”，“语、数都是满分”称为“既是A类又是B类的元素”，“至少有一门得满分的同学”称为“A类和B类元素个数”的总和。为15+12-4=23。

∪并集（比如集合A有1357集合B有1234A并B为123457）∩交集（A交B为13）三个圆为ABCA∪B∪C为总面积A∩B＋B∩C＋C∩A为灰色面积A∩B∩C为最中间面积其实就是三个圆的总面积（不重叠的圆的总面积）

U代表全集，也就是所有的元素包含在一起，当然也包含AB。你说的口朝下的代表“交”，也就是他左右两边两个集合的公共元素。如果写成口朝上代表并集，就是AB中所有不重复的元素的集合。不知道你问的U是“由”还是并集。

第二个例题和第一个稍稍有点区别，，因为第一个直接可以用容斥原理公式代进去算，而第二个题目计算时它要你把125总人数减去20人，也就是一步也没看过的人。。列式： 设只看过两部电影的人数为X个 （89+47+63）- X + 24 = 125-20_____________________________________

容斥极值公式是：A∪B∪C=A+B+C-A∩B－B∩C-A∩C+A∩B∩C。容斥原理是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复。 如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，A类和B类和C类元素个数总和=A类元素个数+B类元素个数+C类元素个数-既是A类又是B类的元素个数-既是A类又是C类的元素个数-既是B类又是C类的元素个数+既是A类又是B类而且是C类的元素个数。

还有一个是加乘原理。

a∪b∪c∪d=|a|+|b|+|c|+|d|-|a∩b|-|b∩c|-|c∩a|-|a∩d|-|b∩d|-|c∩d|+|a∩b∩c|+|a∩b∩d|+|a∩c∩d|+|b∩c∩d|-|a∩b∩c∩d|推导过程我们可以先看三个，比如你过程中出现的|b∪c∪d||b∪c∪d|=|b|+|c∪d|-|b∩(c∪d)|=|b|+|c|+|d|-|c∩d|-|[(b∩c)∪(b∩d)]|=|b|+|c|+|d|-|c∩d|-|b∩c|-|b∩d|+|b∩c∩d|望采纳

三集合容斥原理是一种计数方法，用于计算多个集合的并集。它的核心思想是：对于任意两个或多个集合，它们的交集不等于任何一个单独的集合，而是由这些集合的并集减去它们的交集得到。 三集合容斥问题的核心公式如下： |A∪B∪C| = |A| + |B| + |C| - |A∩B| - |B∩C| - |C∩A| + |A∩B∩C|。其中，|A∪B∪C| 表示三个集合的并集，|A|、|B|、|C| 分别表示第一个、第二个和第三个集合的大小，|A∩B|、|B∩C|、|C∩A| 分别表示前两个集合的交集和后两个集合的交集的大小，而 |A∩B∩C| 则表示这三个集合的交集的大小。

三集合容斥原理是一种计数方法，用于计算多个集合的并集。它的核心思想是：对于任意两个或多个集合，它们的交集不等于任何一个单独的集合，而是由这些集合的并集减去它们的交集得到。 三集合容斥问题的核心公式如下： |A∪B∪C| = |A| + |B| + |C| - |A∩B| - |B∩C| - |C∩A| + |A∩B∩C|。其中，|A∪B∪C| 表示三个集合的并集，|A|、|B|、|C| 分别表示第一个、第二个和第三个集合的大小，|A∩B|、|B∩C|、|C∩A| 分别表示前两个集合的交集和后两个集合的交集的大小，而 |A∩B∩C| 则表示这三个集合的交集的大小。

三集合容斥原理是一种计数方法，用于计算多个集合的并集。它的核心思想是：对于任意两个或多个集合，它们的交集不等于任何一个单独的集合，而是由这些集合的并集减去它们的交集得到。 三集合容斥问题的核心公式如下： |A∪B∪C| = |A| + |B| + |C| - |A∩B| - |B∩C| - |C∩A| + |A∩B∩C|。其中，|A∪B∪C| 表示三个集合的并集，|A|、|B|、|C| 分别表示第一个、第二个和第三个集合的大小，|A∩B|、|B∩C|、|C∩A| 分别表示前两个集合的交集和后两个集合的交集的大小，而 |A∩B∩C| 则表示这三个集合的交集的大小。

后面一个不认识。

容斥原理三个公式，容斥，原理，总和，b类只不过由于又多了一个集合，公式和图形描述都变得更加复杂。在计数时，必须注意没有重复，没有遗漏。为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。

三集合容斥原理是一种计数方法，用于计算多个集合的并集。它的核心思想是：对于任意两个或多个集合，它们的交集不等于任何一个单独的集合，而是由这些集合的并集减去它们的交集得到。 三集合容斥问题的核心公式如下： |A∪B∪C| = |A| + |B| + |C| - |A∩B| - |B∩C| - |C∩A| + |A∩B∩C|。其中，|A∪B∪C| 表示三个集合的并集，|A|、|B|、|C| 分别表示第一个、第二个和第三个集合的大小，|A∩B|、|B∩C|、|C∩A| 分别表示前两个集合的交集和后两个集合的交集的大小，而 |A∩B∩C| 则表示这三个集合的交集的大小。

n(A1∪A2∪...∪Am)=∑n(Ai)1≤i≤m－∑n(Ai∩Aj)1≤i≤j≤m＋∑n(Ai∩Aj∩Ak)－…＋(-1)m-1n(A1∩A2…∩Am)1≤I,j,k≤m注：m-1是-1的指数这种公式的形式是很复杂的重在理解理解了就很好用了甚至不用背就可以自己写出公式来解题的时候就得心应手不过这个公式已经超出了高中的范畴了高中最多也就讨论m=3的情形用语言表达似乎很困难就是说求几个集合的并集可以先把他们统统加起来但是这样做有些地方就多加了那么就要减掉一些（由公式来判断什么需要减去）但是这样做有些地方就多减了那么就要加上一些（由公式来判断什么需要加上）......如此重复继续下去最后得到的结果就是这几个集合的并集举个例子吧集合a1,a2,a3a1={1,2,3，4}a2={2,3,4，5}a3={3,4,5，1}求三个集合的并集按照这个公式∑n(Ai)1≤i≤m=a1+a2+a3={1,2,3，4,2,3,4，5,3,4,5，1}∑n(Ai∩Aj)1≤i≤j≤m=(a1∩a2+a2∩a3+a3∩a1)={2,3,4}+{3,4,5}+{3，4,1}∑n(Ai∩Aj∩Ak)1≤i≤j≤m=(a1∩a2∩a3)={3,4}代入公式三个集合的并集=a1+a2+a3-(a1∩a2+a2∩a3+a3∩a1)+(a1∩a2∩a3)={1,2,3，4,2,3,4，5,3,4,5，1}-({2,3,4}+{3,4,5}+{3，4,1})+({3,4})={1,2,3,4,5}以上就是这个公式的具体应用我的表达不是很规范但是这个公式的方法就是这样的重在理解我举的例题的答案其实可以一眼看穿但是这个公式揭示了普遍原理，是用来解决复杂的问题的

两个集合的容斥关系公式：A∪B = A+B - A∩B (∩:重合的部分） 　　三个集合的容斥关系公式：A∪B∪C = A+B+C - A∩B - B∩C - C∩A +A∩B∩C 四个有限集合 ：A∪B∪C∪D=A+B+C+D- A∩B - B∩C - C∩A- A∩D - B∩D - C∩D+A∩B∩C +A∩B∩D +A∩C∩D +B∩C∩D -A∩B∩C∩D

容斥原理是组合数学中的一种计数方法，用于计算多个集合的并集或交集的大小。对于两个集合A和B，容斥原理的公式如下：|A∪B| = |A| + |B| - |A∩B|其中，|A|表示集合A的元素个数，|B|表示集合B的元素个数，|A∩B|表示集合A和B的交集的元素个数，|A∪B|表示集合A和B的并集的元素个数。这个公式可以推广到更多的集合，比如对于三个集合A、B、C，容斥原理的公式如下：|A∪B∪C| = |A| + |B| + |C| - |A∩B| - |A∩C| - |B∩C| + |A∩B∩C|其中，|A∩B∩C|表示集合A、B、C的交集的元素个数。容斥原理公式的核心思想是通过相加和相减来避免重复计数，确保得到正确的集合大小。

两个集合的容斥关系公式：A∪B = A+B - A∩B (∩:重合的部分） 三个集合的容斥关系公式：A∪B∪C = A+B+C - A∩B - B∩C - C∩A +A∩B∩C 四个有限集合 ：A∪B∪C∪D=A+B+C+D- A∩B - B∩C - C∩A- A∩D - B∩D - C∩D+A∩B∩C +A∩B∩D +A∩C∩D +B∩C∩D -A∩B∩C∩D

容斥原理是组合数学中的一种计数方法，用于计算多个集合的并集或交集的大小。对于两个集合A和B，容斥原理的公式如下：|A∪B| = |A| + |B| - |A∩B|其中，|A|表示集合A的元素个数，|B|表示集合B的元素个数，|A∩B|表示集合A和B的交集的元素个数，|A∪B|表示集合A和B的并集的元素个数。这个公式可以推广到更多的集合，比如对于三个集合A、B、C，容斥原理的公式如下：|A∪B∪C| = |A| + |B| + |C| - |A∩B| - |A∩C| - |B∩C| + |A∩B∩C|其中，|A∩B∩C|表示集合A、B、C的交集的元素个数。容斥原理公式的核心思想是通过相加和相减来避免重复计数，确保得到正确的集合大小。

容斥原理是组合数学中的一种计数方法，用于计算多个集合的并集或交集的大小。对于两个集合A和B，容斥原理的公式如下：|A∪B| = |A| + |B| - |A∩B|其中，|A|表示集合A的元素个数，|B|表示集合B的元素个数，|A∩B|表示集合A和B的交集的元素个数，|A∪B|表示集合A和B的并集的元素个数。这个公式可以推广到更多的集合，比如对于三个集合A、B、C，容斥原理的公式如下：|A∪B∪C| = |A| + |B| + |C| - |A∩B| - |A∩C| - |B∩C| + |A∩B∩C|其中，|A∩B∩C|表示集合A、B、C的交集的元素个数。容斥原理公式的核心思想是通过相加和相减来避免重复计数，确保得到正确的集合大小。

容斥极值公式是组合数学中常用的一种计算原理，用于求解多个集合的交集和并集元素个数的问题。它可以通过容斥原理推导出来。假设有n个集合A1,A2,...,An，并且集合Ai包含了某些元素。定义函数f(Ai)表示集合Ai中的元素个数，以及函数f(Ai∩Aj)表示集合Ai和Aj的交集中的元素个数。那么容斥极值公式表达如下：对于给定的集合A1,A2,...,An，元素个数最多的集合的元素个数为：max(f(A1), f(A2), ..., f(An)) = Σ((-1)^(k-1) * Σ(C(n,k) * f(B) ) )其中第一个求和符号的范围是1≤k≤n，B是集合A1,A2,...,An的所有由k个集合构成的子集，第二个求和符号遍历了B的所有元素。这个公式的核心思想是：首先计算所有单个集合的元素个数之和；然后减去所有两个集合的交集元素个数之和；接着再加上所有三个集合的交集元素个数之和；依此类推，直到考虑所有n个集合的交集。容斥极值公式可以用于解决很多实际问题，例如在组合数学题目中求解集合操作的元素个数，或者在概率统计中计算事件发生的总情况数等。通过利用容斥极值公式，我们可以更高效地解决这些问题。

容斥原理是组合数学中的一种计数方法，用于计算多个集合的并集或交集的大小。对于两个集合A和B，容斥原理的公式如下：|A∪B| = |A| + |B| - |A∩B|其中，|A|表示集合A的元素个数，|B|表示集合B的元素个数，|A∩B|表示集合A和B的交集的元素个数，|A∪B|表示集合A和B的并集的元素个数。这个公式可以推广到更多的集合，比如对于三个集合A、B、C，容斥原理的公式如下：|A∪B∪C| = |A| + |B| + |C| - |A∩B| - |A∩C| - |B∩C| + |A∩B∩C|其中，|A∩B∩C|表示集合A、B、C的交集的元素个数。容斥原理公式的核心思想是通过相加和相减来避免重复计数，确保得到正确的集合大小。

u代表全集，也就是所有的元素包含在一起，当然也包含ab。你说的口朝下的代表“交”，也就是他左右两边两个集合的公共元素。如果写成口朝上代表并集，就是ab中所有不重复的元素的集合。不知道你问的u是“由”还是并集。

"∪"是并集的意思,念"并"(如A并B),就是一个元素可以属于A,也可以属于B,也可属于A于B的公共部分"∩"是交集的意思,念"交"(如A交B),就是一个元素只能同时属于A和B的公共部分.

1、三集合容斥原理的本质和二集合容斥原理是一样的，只不过由于又多了一个集合，公式和图形描述都变得更加复杂。其中A和B是两个集合，|A|表示集合A中的元素个数。在理解容斥原理时，完全可以把元素的个数类比做图形的面积。2、在计数时，必须注意没有重复，没有遗漏。为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。3、如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，(A∪B∪C=A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C)，A类和B类和C类元素个数总和=A类元素个数+B类元素个数+C类元素个数—既是A类又是B类的元素个数—既是A类又是C类的元素个数—既是B类又是C类的元素个数+既是A类又是B类收起三集合容斥原理公式：A∪B∪C=A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C。因为A、B、C与A交B两两的交集它们中都含A交B交C，然而ABC两两交集中应减两次，然而却将ABC两两交集中的A交B交C减了三次，所以应该加上多减的一次ABC的交集。三集合容斥问题的核心公式：标准型：|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|-|A∩B|-|B∩C|-|C∩A|+|A∩B∩C|。非标准型：|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|，只满足两个条件的-2×三个都满足的。列方程组：|A∪B∪C|=只满足一个条件的+只满足两个条件的+三个都满足的。|A|+|B|+|C|=只满足一个条件的+2×只满足两个条件的+3×三个都满足的，对于以上三组公式的理解，可以通过想象三个圆两两相交的重叠情况来加深。

没有怎么理解,只要细心就不会犯错,只不过是重复做一件事情——把多加的减去,把多减的加上——而已,自己尝试每一步都详细写明都产生了那些重复的部分,建议将这三个集合分成两两不相交集合的并,这样你会看得更清楚.

原话是对的。最简单的方法，你画个韦恩图举个例子就行了。我用文字形式举个例子：设：　　全集U＝｛1，2，3，4，5，6，7，8｝：总数＝8；　　A＝｛1，2，3，4｝：满足1的个数＝4；　　B＝｛2，3，4，5，6｝：满足2的个数＝5；可求得：　　A∩B＝｛2，3，4｝：都满足的个数＝3；　　U－A－B＝｛7，8｝：都不满足的个数＝2；验证：　　4＋5－3＝8－2＝6；这里所求的，其实就是：　　A∪B＝｛1，2，3，4，5，6｝：至少满足一个条件的个数，也就是满足1或2的个数＝6；

应该选C，答案给错了

三集合容斥原理是一种计数方法，用于计算多个集合的并集。它的核心思想是：对于任意两个或多个集合，它们的交集不等于任何一个单独的集合，而是由这些集合的并集减去它们的交集得到。 三集合容斥问题的核心公式如下： |A∪B∪C| = |A| + |B| + |C| - |A∩B| - |B∩C| - |C∩A| + |A∩B∩C|。其中，|A∪B∪C| 表示三个集合的并集，|A|、|B|、|C| 分别表示第一个、第二个和第三个集合的大小，|A∩B|、|B∩C|、|C∩A| 分别表示前两个集合的交集和后两个集合的交集的大小，而 |A∩B∩C| 则表示这三个集合的交集的大小。

在计数时，必须注意没有重复，没有遗漏。为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理简介在计数时，必须注意没有重复，没有遗漏。为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。定义如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，A类和B类和C类元素个数总和= A类元素个数+ B类元素个数+C类元素个数—既是A类又是B类的元素个数—既是A类又是C类的元素个数—既是B类又是C类的元素个数+既是A类又是B类而且是C类的元素个数。（A∪B∪C = A+B+C - A∩B - B∩C - C∩A + A∩B∩C）。例如：一次期末考试，某班有15人数学得满分，有12人语文得满分，并且有4人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人？分析：依题意，被计数的事物有语、数得满分两类，“数学得满分”称为“A类元素”，“语文得满分”称为“B类元素”，“语、数都是满分”称为“既是A类又是B类的元素”，“至少有一门得满分的同学”称为“A类和B类元素个数”的总和。为15+12-4=23。公式两个集合的容斥关系公式：A∪B =|A∪B| = |A|+|B| - |A∩B |(∩：重合的部分）三个集合的容斥关系公式：|A∪B∪C| = |A|+|B|+|C| - |A∩B| - |B∩C| - |C∩A| + |A∩B∩C|

含n个元素的集合，有2的n次方个子集，2的n次方减一个真子集，2的n次方减2个非空真子集。元素跟集合是属于关系，集合跟集合是包含关系。

容斥原理容斥原理在计数时，为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。容斥原理（1）如果被计数的事物有a、b两类，那么，a类或b类元素个数= a类元素个数+b类元素个数—既是a类又是b类的元素个数。例1一次期末考试，某班有15人数学得满分，有12人语文得满分，并且有4人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人？分析：依题意，被计数的事物有语、数得满分两类，“数学得满分”称为“a类元素”，“语文得满分”称为“b类元素”，“语、数都是满分”称为“既是a类又是b类的元素”，“至少有一门得满分的同学”称为“a类或b类元素个数”的总和。试一试：某班学生每人家里至少有空调和电脑两种电器中的一种，已知家中有空调的有41人，有电脑的有34人，二者都有的有27人，这个班有学生多少人？（并说一说你的想法。）容斥原理（2）如果被计数的事物有a、b、c三类，那么，a类或b类或c类元素个数= a类元素个数+b类元素个数+c类元素个数—既是a类又是b类的元素个数—既是a类又是c类的元素个数—既是b类又是c类的元素个数+既是a类又是b类而且是c类的元素个数。例2某校六（1）班有学生54人，每人在暑假里都参加体育训练队，其中参加足球队的有25人，参加排球队的有22人，参加游泳队的有34人，足球、排球都参加的有12人，足球、游泳都参加的有18人，排球、游泳都参加的有14人，问：三项都参加的有多少人？分析：仿照例1的分析，你能先说一说吗？例3 在1到1000的自然数中，能被3或5整除的数共有多少个？不能被3或5整除的数共有多少个？分析：显然，这是一个重复计数问题（当然，如果不怕麻烦你可以分别去数3的倍数，5的倍数）。我们可以把“能被3或5整除的数”分别看成a类元素和b类元素，能“同时被3或5整除的数（15的倍数）”就是被重复计算的数，即“既是a类又是b类的元素”。求的是“a类或b类元素个数”。现在我们还不能直接计算，必须先求出所需条件。1000÷3=333……1，能被3整除的数有333个（想一想，这是为什么？）同理，可以求出其他的条件。例4 分母是1001的最简分数一共有多少个？分析：这一题实际上就是找分子中不能整除1001的数。由于1001=7×11×13，所以就是找不能被7，11，13整除的数。例5某个班的全体学生在进行了短跑、游泳、投掷三个项目的测试后，有4名学生在这三个项目上都没有达到优秀，其余每人至少有一项达到了优秀，达到了优秀的这部分学生情况如下表：短跑游泳投掷短跑、游泳短跑、投掷游泳、投掷短路、游泳、投掷1718156652求这个班的学生共有多少人？分析：这个班的学生数，应包括达到优秀和没有达到优秀的。试一试：一个班有42人，参加合唱队的有30人，参加美术组的有25人，有5人什么都没有参加，求两种都参加的有多少人？例6在一根长的木棍上有三种刻度线，第一种刻度线将木棍分成10等份，第二种将木棍分成12等份，第三种将木棍分成15等份。如果沿每条刻度线将木棍锯断，木棍总共被锯成多少段？分析：很显然，要计算木棍被锯成多少段，只需要计算出木棍上共有多少条不同的刻度线，在此基础上加1就是段数了。若按将木棍分成10等份的刻度线锯开，木棍有9条刻度线。在此木棍上加上将木棍分成12等份的11条刻度线，显然刻度线有重复的，如5/10和6/12都是1/2。同样再加上将木棍分成15等份的刻度线，也是如此。所以，我们应该按容斥原理的方法来解决此问题。用容斥原理的那一个呢？想一想，被计数的事物有那几类？每一类的元素个数是多少？

我认为正确，主要是小学生不理解高中公式，小学生可以做简单的容斥原理问题，利用面积关系求阴影部分面积就行了。

50-[（16+15+21）-（7+8+10）+5]＝18[这三种花都没有的花束有(18束)。]

n(A1∪A2∪...∪Am)=∑n(Ai)1≤i≤m－∑n(Ai∩Aj)1≤i≤j≤m+∑n(Ai∩Aj∩Ak)－…+(-1)^m-1)n(A1∩A2…∩Am)1≤I,j,k≤m 　　两个集合的容斥关系公式：A∪B = A+B - A∩B (∩:重合的部分） 　　三个集合的容斥关系公式：A∪B∪C = A+B+C - A∩B - B∩C - C∩A +A∩B∩C

两集合容斥原理的公式是A∪B=A+B-A∩B，容斥原理是指先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复。

首先说明一点,数学归纳法原理是自然数的公理之一. 所以关于自然数的命题基本上都有数学归纳法背景. 常用的"依此类推","..."这样的写法本质上也是数学归纳法的简略形式. 要在"形式上"不用数学归纳法证明容斥原理,可以用二项式定理. 设A[1],A[2],...,A[n]是n个集合,用|S|表示集合S的元素个数,C(m,k)表示m中选k的组合数. 证明容斥原理:|A[1]∪A[2]∪...∪A[n]| = ∑{1 ≤ i ≤ n} |A[i]|-∑{1 ≤ i < j ≤ n} |A[i]∩A[j]| +∑{1 ≤ i < j < k ≤ n} |A[i]∩A[j]∩A[k]|-...+(-1)^(n-1)·|A[1]∩A[2]∩...∩A[n]|. 对任意x ∈ A[1]∪A[2]∪...∪A[n],设A[1],A[2],...,A[n]中恰有m个集合包含x. A[i]∩A[j]包含x当且仅当A[i]与A[j]都包含x. 因此在A[1],A[2],...,A[n]的两两之交中恰有C(m,2)个交集包含x. 在三三之交中恰有C(m,3)个集合包含x,依此类推. 可知在右端的和式中,x被计数的次数为C(m,1)-C(m,2)+C(m,3)-...+(-1)^(m-1). 而由二项式定理,有0 = (1-1)^m = 1-C(m,1)+C(m,2)-C(m,3)+...+(-1)^m. 即C(m,1)-C(m,2)+C(m,3)-...+(-1)^(m-1) = 1. A[1]∪A[2]∪...∪A[n]中的任意元素,在右端和式中恰好被计数1次. 即证明了容斥原理.

n(A1∪A2∪...∪Am)=∑n(Ai)1≤i≤m－∑n(Ai∩Aj)1≤i≤j≤m＋∑n(Ai∩Aj∩Ak)－…＋(-1)m-1n(A1∩A2…∩Am)1≤I,j,k≤m 注：m-1是-1的指数 这种公式的形式是很复杂的 重在理解 理解了就很好用了 甚至不用背就可以自己写出公式来 解题的时候就得心应手 不过这个公式已经超出了高中的范畴了 高中最多也就讨论m=3的情形 用语言表达似乎很困难 就是说求几个集合的并集可以先把他们统统加起来 但是这样做有些地方就多加了 那么就要减掉一些 （由公式来判断什么需要减去） 但是这样做有些地方就多减了 那么就要加上一些 （由公式来判断什么需要加上） ...... 如此重复继续下去 最后得到的结果就是这几个集合的并集 举个例子吧 集合 a1 , a2 , a3 a1={ 1 , 2 , 3 ，4 } a2={ 2 , 3 , 4 ，5 } a3={ 3 , 4 , 5 ，1 } 求三个集合的并集 按照这个公式 ∑n(Ai)1≤i≤m = a1 + a2 + a3 = { 1 , 2 , 3 ，4 , 2 , 3 , 4 ，5 , 3 , 4 , 5 ，1 } ∑n(Ai∩Aj)1≤i≤j≤m = (a1∩a2 + a2∩a3 + a3∩a1) = { 2 , 3 , 4 } +{ 3 , 4 , 5 } + { 3 ，4 , 1} ∑n(Ai∩Aj∩Ak)1≤i≤j≤m = (a1∩a2∩a3) = { 3 , 4 } 代入公式 三个集合的并集= a1 + a2 + a3 - (a1∩a2 + a2∩a3 + a3∩a1) + (a1∩a2∩a3) = { 1 , 2 , 3 ，4 , 2 , 3 , 4 ，5 , 3 , 4 , 5 ，1 } - ( { 2 , 3 , 4 } +{ 3 , 4 , 5 } + { 3 ，4 , 1 } ) + ( { 3 , 4 } ) = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 } 以上就是这个公式的具体应用 我的表达不是很规范 但是这个公式的方法就是这样的 重在理解 我举的例题的答案其实可以一眼看穿 但是这个公式揭示了普遍原理，是用来解决复杂的问题的

两集合容斥原理公式：A∪B∪C=A+B+C。先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。 计数是一个重复加（或减）1的数学行为，通常用于算出对象有多少个或放置想要之数目个对象（对第一个对象从一算起且将剩下的对象和由二开始的自然数做一对一对应）。

容斥原理最值公式：A∪B∪C=A+B+C-A∩B- B∩C-A∩C+A∩B∩C。1、区域出现重叠。2、出现“最多”、“最少”、“至多”、“至少”等字眼。二者容斥最小值：A∩B的最小值＝A+B-I。三者容斥最小值：A∩B∩C的最小值＝A+B+C-2I。常见应用【例1】某一学校有500人，其中选修数学的有359人，选修文学的有408人，那么两种课程都选的学生至少有多少人？A.165 B.203 C.267 D.199【答案】C。读完题目我们就能判断出考察容斥问题中的二者容斥问题，但是涉及到求至少的问题，所以要求的是极值问题。而解极值问题我们可以通过逆向思维来求解，题目要求两种课程都选的至少，即求没选课程的人数最多。

　　二集合容斥原理公式：W＝FV。先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。 　　集合，简称集，是数学中一个基本概念，也是集合论的主要研究对象。集合论的基本理论创立于19世纪，关于集合的最简单的说法就是在朴素集合论（最原始的集合论）中的定义，即集合是“确定的一堆东西”，集合里的“东西”则称为元素。现代的集合一般被定义为：由一个或多个确定的元素所构成的整体。

三集合容斥原理是集合论中的一种计数技术，用于计算三个集合的交集大小。它的标准型公式如下：|A∪B∪C| = |A| + |B| + |C| - |A∩B| - |A∩C| - |B∩C| + |A∩B∩C|其中，|A|表示集合A的元素个数，|A∩B|表示集合A和集合B的交集的元素个数，以此类推。非标准型的容斥原理指的是在不同的情况下，根据实际问题的需要对标准型公式进行变形和推广。这种情况下，容斥原理的公式可能会有不同的形式，但仍然是基于交集和并集的计算原理。非标准型的容斥原理通常需要根据具体问题进行推导和应用。

三集合容斥原理公式：A∪B∪C=A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C。因为A、B、C与A交B两两的交集它们中都含A交B交C，然而ABC两两交集中应减两次，然而却将ABC两两交集中的A交B交C减了三次，所以应该加上多减的一次ABC的交集。三集合容斥问题的核心公式：标准型：|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|-|A∩B|-|B∩C|-|C∩A|+|A∩B∩C|。非标准型：|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|，只满足两个条件的-2×三个都满足的。列方程组：|A∪B∪C|=只满足一个条件的+只满足两个条件的+三个都满足的。|A|+|B|+|C|=只满足一个条件的+2×只满足两个条件的+3×三个都满足的，对于以上三组公式的理解，可以通过想象三个圆两两相交的重叠情况来加深。

两个集合的容斥关系公式：A∪B=A+B-A∩B(∩:重合的部分）　　三个集合的容斥关系公式：A∪B∪C=A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C四个有限集合：A∪B∪C∪D=A+B+C+D-A∩B-B∩C-C∩A-A∩D-B∩D-C∩D+A∩B∩C+A∩B∩D+A∩C∩D+B∩C∩D-A∩B∩C∩D

容斥原理最值公式：A∪B∪C=A+B+C-A∩B- B∩C-A∩C+A∩B∩C。1、区域出现重叠。2、出现“最多”、“最少”、“至多”、“至少”等字眼。二者容斥最小值：A∩B的最小值＝A+B-I。三者容斥最小值：A∩B∩C的最小值＝A+B+C-2I。常见应用【例1】某一学校有500人，其中选修数学的有359人，选修文学的有408人，那么两种课程都选的学生至少有多少人？A.165 B.203 C.267 D.199【答案】C。读完题目我们就能判断出考察容斥问题中的二者容斥问题，但是涉及到求至少的问题，所以要求的是极值问题。而解极值问题我们可以通过逆向思维来求解，题目要求两种课程都选的至少，即求没选课程的人数最多。

容斥原理要加ABC重叠原因如下：简而言之，是因为在计算容斥的时候存在重复计算的问题。展开来讲，计算容斥原理，可以把A、B、C想象成三个圆形纸片，ABC叠加在一起的面积等于A、B、C面积之和减去两两重叠的部分，但是中间三者重叠的部分减去了三次，相当于被挖空了，所以还得加上它。大致公式是：A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C。容斥原理的含义：在计数时，必须注意没有重复，没有遗漏。为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。

你从哪看的式子……错的一塌糊涂。A∪B∪C＝A＋B＋C-A∩B－B∩C－C∩A +A∩B∩C

我在你身边

　　容斥原理非标准公式：A+B+C只满足两条件2*A∩B∩C=总数三条件都不满足。 　　A+B+C=只满足一个条件+2*只满足两条件+3*满足三条件。 　　二集合容斥原理的公式为：|A∪B|=|A|+|B|-|A∩B|，三集合容斥原理的本质和二集合容斥原理是一样的，只不过由于又多了一个集合，公式和图形描述都变得更加复杂。

韦恩图 定义:用一条封闭曲线直观地表示集合及其关系地图形称为韦恩图(也叫文氏图). 如果你上高一的话,第一章就会讲集合,那时就会用到"韦恩图".容斥原理就是：在计数时，为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。

【解析】依据两集合容斥原理基本公式：A+B-AB都满足=总数-AB都不满足。参加国家级竞赛人数为240× =140，参加两个级别竞赛的人数是240× =60，两者都不满足的人数为0，所以可得140+x-60=240，得出x=160，因此，本题选项为A。②　三集合容斥原理概念与两集合是类似的，只是多了第三个事物C类，去掉重复的部分不一样那么所使用的公式也不一样，三集合的基本公式如下：v 公式一： v 公式二： 【例2】某公司招聘员工，按规定每人至多可投考两个职位，结果共42人报名，甲、乙、丙三个职位报名人数分别是22人、16人、25人，其中同时报甲、乙职位的人数为8人，同时报甲、丙职位的人数为6人，那么同时报乙、丙职位的人数为：A. 7人 B. 8人C. 5人 D. 6人【答案】A【解析】典型的三集合标准型容斥原理问题，依据公式直接求解即可。设同时报乙、丙职位的人数为x人，那么根据公式得到方程：42—0=22+16+25-8-6-x+0，得到x=7，因此，本题选项为A。注：将公式中的每一项在题干中找对应位置即可。【例3】某企业调查用户从网络获取信息的习惯，问卷回收率为90%。调查对象中有179人使用搜索引擎获取信息，146人从官方网站获取信息，246人从社交网络获取信息，同时使用这三种方式的有115人，使用其中两种的有24人，另有52人这三种方式都不使用，问这次调查共发出了多少份问卷?( )A.310 B. 360C.390 D. 410【答案】D【解析】典型三集合容斥原理公式的直接应用，仅仅满足两个条件的人数已知，所以该题采用的一定是三集合的第二个公式，设回收的调查问卷一共有x份，依据公式得到方程：

三集合容斥非标准型公式是A+B+C－（AB+BC+AC）+ABC＝总数－都不。三集合标准型是指把一个整体分成三部分，且告知两两相交的地方，并有三者都满足的，这样的题就是三集合标准型。因为A、B、C与A交B两两的交集它们中都含A交B交C，然而ABC两两交集中应减两次，然而却将ABC两两交集中的A交B交C减了三次，所以应该加上多减的一次ABC的交集。容斥原理指把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。三集合容斥非标准型公式：1、A+B+C-只满足两条件2*A∩B∩C=总数-三条件都不满足。2、A+B+C=只满足一个条件+2*只满足两条件+3*满足三条件。集合，简称集，是数学中一个基本概念，也是集合论的主要研究对象。集合论的基本理论创立于19世纪，关于集合的最简单的说法就是在朴素集合论（最原始的集合论）中的定义。即集合是“确定的一堆东西”，集合里的“东西”则称为元素。现代的集合一般被定义为：由一个或多个确定的元素所构成的整体。

三者容斥问题3个公式如下：标准型： |A∪B∪C | = | A | + | B | + | C | - | A∩B | - | B∩C | - | C∩A | + | A∩B∩C |。非标准型：|A∪B∪C | = | A | + | B | + | C | -只满足两个条件的- 2×三个都满足的。列方程组：|A∪B∪C | =只满足一个条件的+只满足两个条件的+三个都满足的。二集合容斥原理的公式为：|A∪B|=|A|+|B|-|A∩B|，三集合容斥原理的本质和二集合容斥原理是一样的，只不过由于又多了一个集合，公式和图形描述都变得更加复杂。详细推理如下：1、 等式右边改造 = {[（A+B - A∩B）+C - B∩C] - C∩A }+ A∩B∩C。2、维恩图分块标记如右图图1：1245构成A，2356构成B，4567构成C。3、等式右边（）里指的是下图的1+2+3+4+5+6六部分：那么A∪B∪C还缺部分7。4、等式右边[]号里+C（4+5+6+7）后，相当于A∪B∪C多加了4+5+6三部分，减去B∩C（即5+6两部分）后，还多加了部分4。5、等式右边{}里减去C∩A （即4+5两部分）后，A∪B∪C又多减了部分5，则加上A∩B∩C（即5）刚好是A∪B∪C。

你是怎么理解的 哪里不懂 说出来

容斥原理最值公式：A∪B∪C=A+B+C-A∩B- B∩C-A∩C+A∩B∩C。1、区域出现重叠。2、出现“最多”、“最少”、“至多”、“至少”等字眼。二者容斥最小值：A∩B的最小值＝A+B-I。三者容斥最小值：A∩B∩C的最小值＝A+B+C-2I。常见应用【例1】某一学校有500人，其中选修数学的有359人，选修文学的有408人，那么两种课程都选的学生至少有多少人？A.165 B.203 C.267 D.199【答案】C。读完题目我们就能判断出考察容斥问题中的二者容斥问题，但是涉及到求至少的问题，所以要求的是极值问题。而解极值问题我们可以通过逆向思维来求解，题目要求两种课程都选的至少，即求没选课程的人数最多。

三集合容斥问题的核心公式如下：标准型： |A∪B∪C | = | A | + | B | + | C | - | A∩B | - | B∩C | - | C∩A | + | A∩B∩C |。非标准型：|A∪B∪C | = | A | + | B | + | C | -只满足两个条件的- 2×三个都满足的。列方程组：|A∪B∪C | =只满足一个条件的+只满足两个条件的+三个都满足的。| A | + | B | + | C | =只满足一个条件的+2×只满足两个条件的+3×三个都满足的，对于以上三组公式的理解，可以通过想象三个圆两两相交的重叠情况来加深。扩展资料：容斥原理：容斥原理指把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。如果被计数的事物有A、B两类，那么，A类B类元素个数总和= 属于A类元素个数+ 属于B类元素个数—既是A类又是B类的元素个数。（A∪B = A+B - A∩B)如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，A类和B类和C类元素个数总和= A类元素个数+ B类元素个数+C类元素个数—既是A类又是B类的元素个数—既是A类又是C类的元素个数—既是B类又是C类的元素个数+既是A类又是B类而且是C类的元素个数。（A∪B∪C = A+B+C - A∩B - B∩C - C∩A + A∩B∩C）

A∪B∪C∪D=|A|+|B|+|C|+|D| - |A∩B| - |B∩C| - |C∩A|- |A∩D| - |B∩D| - |C∩D|+|A∩B∩C|+|A∩B∩D| +|A∩C∩D| +|B∩C∩D| -|A∩B∩C∩D|推导过程我们可以先看三个，比如你过程中出现的|B∪C∪D||B∪C∪D|=|B|+|C∪D|-|B∩(C∪D)|=|B|+|C|+|D|-|C∩D|-|[(B∩C)∪(B∩D)]|=|B|+|C|+|D|-|C∩D|-|B∩C|-|B∩D|+|B∩C∩D|望采纳

1.三集合容斥非标准型公式是A+B+C－（AB+BC+AC）+ABC＝总数－都不。 2.三集合标准型是指把一个整体分成三部分，且告知两两相交的地方，并有三者都满足的，这样的题就是三集合标准型。 3.因为A、B、C和A交B两两的交集它们中都含A交B交C，然而ABC两两交集中应减两次，然而却将ABC两两交集中的A交B交C减了三次，所以应该加上多减的一次ABC的交集。 4.容斥原理指把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。

容斥原理最值公式：A∪B∪C=A+B+C-A∩B- B∩C-A∩C+A∩B∩C。1、区域出现重叠。2、出现“最多”、“最少”、“至多”、“至少”等字眼。二者容斥最小值：A∩B的最小值＝A+B-I。三者容斥最小值：A∩B∩C的最小值＝A+B+C-2I。常见应用【例1】某一学校有500人，其中选修数学的有359人，选修文学的有408人，那么两种课程都选的学生至少有多少人？A.165 B.203 C.267 D.199【答案】C。读完题目我们就能判断出考察容斥问题中的二者容斥问题，但是涉及到求至少的问题，所以要求的是极值问题。而解极值问题我们可以通过逆向思维来求解，题目要求两种课程都选的至少，即求没选课程的人数最多。

三者容斥问题3个公式如下：标准型： |A∪B∪C | = | A | + | B | + | C | - | A∩B | - | B∩C | - | C∩A | + | A∩B∩C |。非标准型：|A∪B∪C | = | A | + | B | + | C | -只满足两个条件的- 2×三个都满足的。列方程组：|A∪B∪C | =只满足一个条件的+只满足两个条件的+三个都满足的。二集合容斥原理的公式为：|A∪B|=|A|+|B|-|A∩B|，三集合容斥原理的本质和二集合容斥原理是一样的，只不过由于又多了一个集合，公式和图形描述都变得更加复杂。详细推理如下：1、 等式右边改造 = {[（A+B - A∩B）+C - B∩C] - C∩A }+ A∩B∩C。2、维恩图分块标记如右图图1：1245构成A，2356构成B，4567构成C。3、等式右边（）里指的是下图的1+2+3+4+5+6六部分：那么A∪B∪C还缺部分7。4、等式右边[]号里+C（4+5+6+7）后，相当于A∪B∪C多加了4+5+6三部分，减去B∩C（即5+6两部分）后，还多加了部分4。5、等式右边{}里减去C∩A （即4+5两部分）后，A∪B∪C又多减了部分5，则加上A∩B∩C（即5）刚好是A∪B∪C。

容斥原理是小学六年级学的。在计数时，必须注意没有重复，没有遗漏。为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。例如：一次期末考试，某班有15人数学得满分，有12人语文得满分，并且有4人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人？分析：依题意，被计数的事物有语、数得满分两类，“数学得满分”称为“A类元素”，“语文得满分”称为“B类元素”，“语、数都是满分”称为“既是A类又是B类的元素”，“至少有一门得满分的同学”称为“A类和B类元素个数”的总和。为15+12-4=23。

也可表示为设S为有限集,,则两个集合的容斥关系公式：A∪B =|A∪B| = |A|+|B| - |A∩B |(∩：重合的部分）三个集合的容斥关系公式：|A∪B∪C| = |A|+|B|+|C| - |A∩B| - |B∩C| - |C∩A| + |A∩B∩C|详细推理如下：1、 等式右边改造 = {[（A+B - A∩B）+C - B∩C] - C∩A }+ A∩B∩C2、文氏图分块标记如右图图：1245构成A，2356构成B，4567构成C3、等式右边（）里指的是下图的1+2+3+4+5+6六部分：那么A∪B∪C还缺部分7。4、等式右边[]号里+C（4+5+6+7）后，相当于A∪B∪C多加了4+5+6三部分，减去B∩C（即5+6两部分）后，还多加了部分4。5、等式右边{}里减去C∩A （即4+5两部分）后，A∪B∪C又多减了部分5，则加上A∩B∩C（即5）刚好是A∪B∪C。

三者容斥问题3个公式如下：标准型： |A∪B∪C | = | A | + | B | + | C | - | A∩B | - | B∩C | - | C∩A | + | A∩B∩C |。非标准型：|A∪B∪C | = | A | + | B | + | C | -只满足两个条件的- 2×三个都满足的。列方程组：|A∪B∪C | =只满足一个条件的+只满足两个条件的+三个都满足的。二集合容斥原理的公式为：|A∪B|=|A|+|B|-|A∩B|，三集合容斥原理的本质和二集合容斥原理是一样的，只不过由于又多了一个集合，公式和图形描述都变得更加复杂。详细推理如下：1、 等式右边改造 = {[（A+B - A∩B）+C - B∩C] - C∩A }+ A∩B∩C。2、维恩图分块标记如右图图1：1245构成A，2356构成B，4567构成C。3、等式右边（）里指的是下图的1+2+3+4+5+6六部分：那么A∪B∪C还缺部分7。4、等式右边[]号里+C（4+5+6+7）后，相当于A∪B∪C多加了4+5+6三部分，减去B∩C（即5+6两部分）后，还多加了部分4。5、等式右边{}里减去C∩A （即4+5两部分）后，A∪B∪C又多减了部分5，则加上A∩B∩C（即5）刚好是A∪B∪C。

粉笔三者容斥问题3个公式如下：1、标准型： |A∪B∪C | = | A | + | B | + | C | - | A∩B | - | B∩C | - | C∩A | + | A∩B∩C |。2、非标准型：|A∪B∪C | = | A | + | B | + | C | -只满足两个条件的- 2×三个都满足的。3、列方程组：|A∪B∪C | =只满足一个条件的+只满足两个条件的+三个都满足的。在计数时，必须注意没有重复，没有遗漏。为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法。这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。容斥原理的定义：如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，A类和B类和C类元素个数总和= A类元素个数+ B类元素个数+C类元素个数—既是A类又是B类的元素个数—既是A类又是C类的元素个数—既是B类又是C类的元素个数+既是A类又是B类而且是C类的元素个数。（A∪B∪C = A+B+C - A∩B - B∩C - C∩A + A∩B∩C）。例如：一次期末考试，某班有15人数学得满分，有12人语文得满分，并且有4人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人？分析：依题意，被计数的事物有语、数得满分两类，“数学得满分”称为“A类元素”，“语文得满分”称为“B类元素”，“语、数都是满分”称为“既是A类又是B类的元素”，“至少有一门得满分的同学”称为“A类和B类元素个数”的总和。为15+12-4=23。以上内容参考：百度百科-容斥原理

容斥原理是高中学，它是高一所学的知识点。我记得小学的时候也有涉及过这个原理，当时不是重点没有展开来讲述，现在高一就会全面展开来讲，容斥原理是一种重要的组合数学方法，可以让你求解任意大小的集合，或者计算复合事件的概率。要计算几个集合并集的大小，我们要先将所有单个集合的大小计算出来，然后减去所有两个集合相交的部分，再加回所有三个集合相交的部分，再减去所有四个集合相交的部分，依此类推一直计算到所有集合相交的部分。

A，B，C里都有A∩B∩C，A∩B∩C加了三次A∩B，B∩C，C∩A也都有A∩B∩C，A∩B∩C又被减去了三次所以最后还要再不上一个A∩B∩C

举例说明：三（2）班共有60人，其中，喜欢足球的23人，喜欢跑步的30人，既喜欢足球又喜欢跑步的有6人，问既不喜欢足球，也不喜欢跑步的有几人？首先，我们把喜欢足球的23人列出来。再将喜欢跑步的30人列出来。喜欢踢球的23人和喜欢跑步的30人注意，有6个同学既喜欢踢球又喜欢跑步，我们用红色标记出来。6个人既喜欢踢球又喜欢跑步这样的话，我们可以看得出来，喜欢踢球，他们一共有23+30-6=47个，也就是有47人喜欢踢球或者喜欢跑步，那么既不喜欢踢球，又不喜欢跑步的同学就是总数减去这47人，即60-47=13人。