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求 四个有限集合A、B、C、D的容斥原理表达式

2023-08-03 19:35:10
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meira

两个集合的容斥关系公式:A∪B

=

A+B

-

A∩B

(∩:重合的部分)

  

三个集合的容斥关系公式:A∪B∪C

=

A+B+C

-

A∩B

-

B∩C

-

C∩A

+A∩B∩C

四个有限集合

:A∪B∪C∪D=A+B+C+D-

A∩B

-

B∩C

-

C∩A-

A∩D

-

B∩D

-

C∩D+A∩B∩C

+A∩B∩D

+A∩C∩D

+B∩C∩D

-A∩B∩C∩D

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一个集合
2023-08-03 15:07:253

容斥原理

容斥原理是在计数时,必须注意没有重复,没有遗漏。为了使重叠部分不被重复计算,人们研究出一种新的计数方法。这种方法的基本思想是:先不考虑重叠的情况,把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来,然后再把计数时重复计算的数目排斥出去,使得计算的结果既无遗漏又无重复,这种计数的方法称为容斥原理。容斥原理的应用举例某校六⑴班有学生45人,每人在暑假里都参加体育训练队,其中参加足球队的有25人,参加排球队的有22人,参加游泳队的有24人,足球、排球都参加的有12人,足球、游泳都参加的有9人,排球、游泳都参加的有8人,问:三项都参加的有多少人?分析:参加足球队的人数25人为A类元素,参加排球队人数22人为B类元素,参加游泳队的人数24人为C类元素,既是A类又是B类的为足球排球都参加的12人,既是B类又C类的为足球游泳都参加的9人,既是C类又是A类的为排球游泳都参加的8人,三项都参加的是A类B类C类的总和设为X。注意:这个题说的每人都参加了体育训练队,所以这个班的总人数即为A类B类和C类的总和。
2023-08-03 15:07:331

什么是容斥原理,什么是抽屉原理?

容斥原理:先不考虑重叠的情况,把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来,然后再把计数时重复计算的数目排斥出去,使得计算的结果既无遗漏又无重复,这种计数的方法称为容斥原理。抽屉原理:如果每个抽屉代表一个集合,每一个苹果就可以代表一个元素,假如有n+1或多于n+1个元素放到n个集合中去,其中必定至少有一个集合里至少有两个元素。原理1 把多于n个的物体放到n个抽屉里,则至少有一个抽屉里有2个或2个以上的物体。原理2把(mn-1)个物体放入n个抽屉中,其中必有一个抽屉中至多有(m—1)个物体。
2023-08-03 15:07:494

小学容斥原理讲解

小学容斥原理讲解如下:容斥问题涉及到一个重要原理——包含与排除原理,也叫容斥原理。即当两个计数部分有重复包含时,为了不重复计数,应从它们的和中排除重复部分。容斥原理:对n个事物,如果采用不同的分类标准,按性质a分类与性质b分类,那么具有性质a或性质b的事物的个数=Na+Nb-Nab。例1:一个班有48人,班主任在班会上问:“谁做完语文作业?请举手!”有37人举手。又问:“谁做完数学作业?请举手!”有42人举手。最后问:“谁语文、数学作业都没有做完?”没有人举手。求这个班语文、数学作业都完成的人数。分析与解答:完成语文作业的有37人,完成数学作业的有42人,一共有37+42=79人,多于全班人数。这是因为语文、数学作业都完成的人数在统计做完语文作业的人数时算过一次,在统计做完数学作业的人数时又算了一次,这样就多算了一次。所以,这个班语文、数作业都完成的有:79-48=31人。例2:某班有36个同学在一项测试中,答对第一题的有25人,答对第二题的有23人,两题都答对的有15人。问多少个同学两题都答得不对?分析与解答:已知答对第一题的有25人,两题都答对的有15人,可以求出只答对第一题的有25-15=10人。又已知答对第二题的有23人,用只答对第一题的人数,加上答对第二题的人数就得到至少有一题答对的人数:10+23=33人。所以,两题都答得不对的有36-33=3人。
2023-08-03 15:08:051

容斥原理

容斥原理如下:先不考虑重叠的情况,把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来,然后再把计数时重复计算的数目排斥出去,使得计算的结果既无遗漏又无重复。三集合容斥原理:概念与两集合是类似的,只是多了第三个事物C类,去掉重复的部分不一样那么所使用的公式也不一样,三集合的基本公式如下:v 公式一: v 公式二: 【例1】某公司招聘员工,按规定每人至多可投考两个职位,结果共42人报名,甲、乙、丙三个职位报名人数分别是22人、16人、25人,其中同时报甲、乙职位的人数为8人,同时报甲、丙职位的人数为6人,那么同时报乙、丙职位的人数为:A. 7人 B. 8人C. 5人 D. 6人。【答案】A。【解析】典型的三集合标准型容斥原理问题,依据公式直接求解即可。设同时报乙、丙职位的人数为x人,那么根据公式得到方程:42—0=22+16+25-8-6-x+0,得到x=7,因此,本题选项为A。注:将公式中的每一项在题干中找对应位置即可。【例2】某企业调查用户从网络获取信息的习惯,问卷回收率为90%。调查对象中有179人使用搜索引擎获取信息,146人从官方网站获取信息,246人从社交网络获取信息,同时使用这三种方式的有115人。使用其中两种的有24人,另有52人这三种方式都不使用,问这次调查共发出了多少份问卷?( )A.310 B. 360C.390 D. 410。【答案】D。
2023-08-03 15:08:261

行测容斥原理三个公式

行测容斥原理三个公式有两个集合的容斥原理、三个集合的容斥原理、n个集合的容斥原理。两个集合的容斥原理:n(A∪B)=n(A)+n(B)-n(A∩B)。三个集合的容斥原理:|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|-|A∩B|-|A∩C|-|B∩C|+|A∩B∩C|。n个集合的容斥原理:要计算几个集合并集的大小,我们要先将所有单个集合的大小计算出来,然后减去所有两个集合相交的部分,再加回所有三个集合相交的部分,再减去所有四个集合相交的部分,依此类推,一直计算到所有集合相交的部分。容斥原理是指一种计数方法。先不考虑重叠的情况,把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来,然后再把计数时重复计算的数目排斥出去,使得计算的结果既无遗漏又无重复。容斥原理的应用:在许多情况下,容斥原理都可以给出精确的公式(特别是用埃拉托斯特尼筛法计算素数的个数时),但是用处不大,这是因为它里面含有的项太多。即使每一个单独的项都可以准确地估计,误差累积起来仍然意味着容斥原理不能直接应用。在数论中,这个困难由维戈·布朗解决。开始时进展很慢,但他的想法逐渐被其他数学家所应用,于是便产生了许多各种各样的筛法。这些方法是尝试找出被“筛选”的集合的上界,而不是一个确切的公式。乱序排列:容斥原理的一个著名的应用,是计算一个有限集合的所有乱序排列的数目。一个集合A的乱序排列,是从A到A的没有不动点的双射。通过容斥原理,我们可以证明,如果A含有n个元素,则乱序排列的数目为[n!/e],其中[x]表示最接近x的整数。
2023-08-03 15:08:401

容斥原理有哪三个公式?

容斥原理是一种数学方法,用于计算两个或多个集合的交集和并集的大小,它的定义可以表示为:对于任意给定的集合A1, A2, ..., An,则它们的交集的大小可以通过容斥原理求解:|A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An| = Σ(-1)^|S|+1 |As|其中S是A1, A2, ..., An的任何一个子集,|S|表示S包含的集合数量,|As|表示这些集合的交集的大小。它有三个常用公式:两个集合的交集大小:|A ∩ B| = |A| + |B| - |A ∪ B|三个集合的交集大小:|A ∩ B ∩ C| = |A| + |B| + |C| - |A ∪ B| - |A ∪ C| - |B ∪ C| + |A ∪ B ∪ C|n个集合的交集大小:先将n个集合两两求交集,再将所有两两交集的交集求并集,交集大小为该并集的大小。
2023-08-03 15:09:191

容斥原理有哪三个公式?

粉笔三者容斥问题3个公式如下:1、标准型: |A∪B∪C | = | A | + | B | + | C | - | A∩B | - | B∩C | - | C∩A | + | A∩B∩C |。2、非标准型:|A∪B∪C | = | A | + | B | + | C | -只满足两个条件的- 2×三个都满足的。3、列方程组:|A∪B∪C | =只满足一个条件的+只满足两个条件的+三个都满足的。在计数时,必须注意没有重复,没有遗漏。为了使重叠部分不被重复计算,人们研究出一种新的计数方法。这种方法的基本思想是:先不考虑重叠的情况,把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来,然后再把计数时重复计算的数目排斥出去,使得计算的结果既无遗漏又无重复,这种计数的方法称为容斥原理。容斥原理的定义:如果被计数的事物有A、B、C三类,那么,A类和B类和C类元素个数总和= A类元素个数+ B类元素个数+C类元素个数—既是A类又是B类的元素个数—既是A类又是C类的元素个数—既是B类又是C类的元素个数+既是A类又是B类而且是C类的元素个数。(A∪B∪C = A+B+C - A∩B - B∩C - C∩A + A∩B∩C)。例如:一次期末考试,某班有15人数学得满分,有12人语文得满分,并且有4人语、数都是满分,那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人?分析:依题意,被计数的事物有语、数得满分两类,“数学得满分”称为“A类元素”,“语文得满分”称为“B类元素”,“语、数都是满分”称为“既是A类又是B类的元素”,“至少有一门得满分的同学”称为“A类和B类元素个数”的总和。为15+12-4=23。以上内容参考:百度百科-容斥原理
2023-08-03 15:09:261

三集合容斥原理是什么?

三集合容斥原理,也称为三集容斥原理,是集合论中的一个重要原理,用于计算三个集合的并、交和差的元素数量。设A、B、C是三个集合,容斥原理表达式如下:|A∪B∪C| = |A| + |B| + |C| - |A∩B| - |B∩C| - |A∩C| + |A∩B∩C|其中,“| |”表示集合中元素的数量,符号“∪”表示求并集,“∩”表示求交集。该表达式的含义是,三个集合的并集的元素数量等于每个集合的元素数量之和,减去两两交集的元素数量之和,再加上三个集合的交集的元素数量。通过使用三集合容斥原理,我们可以计算三个集合的并集和交集的元素数量,从而更准确地描述集合之间的关系。这个原理也可以推广到更多集合的情况。
2023-08-03 15:09:555

组合数学、容斥原理

@@基础概念 :容斥原理又称排容原理,在组合数学里,其说明若 A1...An 为有限的集合,则如下图,其中 |A| 表示 A 的基数(一个集合元素的个数)。例如在两个集合的情况时,我们可以将 |A| 和 |B| 相加,再减去其交集的基数,而得到其并集的基数。 摘自维基百科 :有 n 个球排成一行,你有 k 种颜色,要求给每一个球染色,相邻两个球颜色不可以相同,并且每种颜色至少使用一次。 :和错排列问题相同,假设没有限制每种颜色至少使用一次,那么问题就很简单,答案就是 k(k-1)^n-1 。这些方案是由 恰好 使用了 i(i=0,1,2,u22ef,k) 种颜色的方案组成的,那么设 fi 为恰好使用了 i 种颜色的方案数,可以得到 @@经典应用之斯特林数 :第一类Stirling数是 分正负 的,其绝对值是 n 个元素的项目分作 k 个环排列。常用的表示方法有 s(n,k) 等。 换一个比较生活化的说法,就是有 n 个人分为 k 组,每组内再按照特定的顺序围圈的分组方法的数目。例如 s(4,2) = 11 : {A,B},{C,D} {A,C},{B,D} {A,D},{B,C} {A},{B,C,D} {A},{B,D,C} {B},{A,C,D} {B},{A,D,C} {C},{A,B,D} {C},{A,D,B} {D},{A,B,C} {D},{A,C,B} 给定 S(n,0)=1, S(1,1)=1 ,有 S(n,k) = S(n-1,k-1) + (n-1)S(n-1,k) 递推关系的说明 :考虑第 n 个物品, n 可以单独构成一个非空循环排列,这样前 n-1 种物品构成 k-1 个非空循环排列,有 S(n-1,k-1) 中方法;也可以前 n-1 种物品构成 k 个非空循环排列,而第 n 个物品插入第 i 个物品的左边,这有 (n-1)S(n-1,k) 种方法。
2023-08-03 15:10:241

三者容斥原理的公式?

三者容斥问题3个公式如下:标准型: |A∪B∪C | = | A | + | B | + | C | - | A∩B | - | B∩C | - | C∩A | + | A∩B∩C |。非标准型:|A∪B∪C | = | A | + | B | + | C | -只满足两个条件的- 2×三个都满足的。列方程组:|A∪B∪C | =只满足一个条件的+只满足两个条件的+三个都满足的。二集合容斥原理的公式为:|A∪B|=|A|+|B|-|A∩B|,三集合容斥原理的本质和二集合容斥原理是一样的,只不过由于又多了一个集合,公式和图形描述都变得更加复杂。详细推理如下:1、 等式右边改造 = {[(A+B - A∩B)+C - B∩C] - C∩A }+ A∩B∩C。2、维恩图分块标记如右图图1:1245构成A,2356构成B,4567构成C。3、等式右边()里指的是下图的1+2+3+4+5+6六部分:那么A∪B∪C还缺部分7。4、等式右边[]号里+C(4+5+6+7)后,相当于A∪B∪C多加了4+5+6三部分,减去B∩C(即5+6两部分)后,还多加了部分4。5、等式右边{}里减去C∩A (即4+5两部分)后,A∪B∪C又多减了部分5,则加上A∩B∩C(即5)刚好是A∪B∪C。
2023-08-03 15:10:321

四个集合的容斥原理公式怎么解决?

用|A|表示集合A的基数,也即集合A中元素的个数。则有|A∪B∪C∪D|=|A|+|B|+|C|+|D|-|A∩B|-|A∩C|-|A∩D|-|B∩C|-|B∩D|-|C∩D|+|A∩B∩C|+|A∩B∩D|+|A∩C∩D|+|B∩C∩D|-|A∩B∩C∩D|。在计数时,必须注意没有重复,没有遗漏。为了使重叠部分不被重复计算,人们研究出一种新的计数方法。这种方法的基本思想是:先不考虑重叠的情况,把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来,然后再把计数时重复计算的数目排斥出去,使得计算的结果既无遗漏又无重复,这种计数的方法称为容斥原理。扩展资料:容斥原理中经常用到的有如下两个公式:1、两集合的容斥关系公式:A∪B=A+B-A∩B。如果被计数的事物有A、B两类。那么所有属于A类或属于B类的元素个数总和=A类元素个数+属于B类元素个数-既属于A类又属于B类的元素个数。2、三个集合的容斥关系公式:A∪B∪C=A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C。如果被计数的事物有A、B、C三类,那么所有属于A类或属于B类或属于C类的元素的个数总数=A类元素的个数+B类元素的个数+C类元素的个数-既是A类又是B类元素的个数-既是B类又是C类元素的个数-既是A类又是C类元素的个数+同时是A类B类C类元素的个数。参考资料:百度百科-容斥原理
2023-08-03 15:10:491

各位数学高手,谁能告诉我容斥原理是什么意思

我不会奥数,但是就是要回答在计数时,为了使重叠部分不被重复计算,人们研究出一种新的计数方法,这种方法的基本思想是:先不考虑重叠的情况,把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来,然后再把计数时重复计算的数目排斥出去,使得计算的结果既无遗漏又无重复,这种计数的方法称为容斥原理。容斥原理(1)如果被计数的事物有A、B两类,那么,A类或B类元素个数= A类元素个数+ B类元素个数—既是A类又是B类的元素个数。例1 一次期末考试,某班有15人数学得满分,有12人语文得满分,并且有4人语、数都是满分,那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人? 分析:依题意,被计数的事物有语、数得满分两类,“数学得满分”称为“A类元素”,“语文得满分”称为“B类元素”,“语、数都是满分”称为“既是A类又是B类的元素”,“至少有一门得满分的同学”称为“A类或B类元素个数”的总和。试一试:某班学生每人家里至少有空调和电脑两种电器中的一种,已知家中有空调的有41人,有电容斥原理(2)如果被计数的事物有A、B、C三类,那么,A类或B类或C类元素个数= A类元素个数+ B类元素个数+C类元素个数—既是A类又是B类的元素个数—既是A类又是C类的元素个数—既是B类又是C类的元素个数+既是A类又是B类而且是C类的元素个数。
2023-08-03 15:11:002

三集合容斥原理标准型公式与非标准型是什么?

三集合容斥原理标准型公式:Ⅰ+Ⅱ+Ⅲ-Ⅰ·Ⅱ-Ⅰ·Ⅲ-Ⅱ·Ⅲ+Ⅰ·Ⅱ·Ⅲ=总个数-三者都不满足个数。三集合容斥非标准型公式是A+B+C-(AB+BC+AC)+ABC=总数-都不。解释分析:因为A、B、C与A交B两两的交集它们中都含A交B交C,然而ABC两两交集中应减两次,然而却将ABC两两交集中的A交B交C减了三次,所以应该加上多减的一次ABC的交集。容斥原理指把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来,然后再把计数时重复计算的数目排斥出去,使得计算的结果既无遗漏又无重复。三集合容斥问题的核心公式如下:1、标准型:|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|-|A∩B|-|B∩C|-|C∩A|+|A∩B∩C|。2、非标准型:|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|-只满足两个条件的-2×三个都满足的。3、列方程组:|A∪B∪C|=只满足一个条件的+只满足两个条件的+三个都满足的。
2023-08-03 15:11:081

容斥原理的最值公式是什么?

容斥原理最值公式:A∪B∪C=A+B+C-A∩B- B∩C-A∩C+A∩B∩C。1、区域出现重叠。2、出现“最多”、“最少”、“至多”、“至少”等字眼。二者容斥最小值:A∩B的最小值=A+B-I。三者容斥最小值:A∩B∩C的最小值=A+B+C-2I。常见应用【例1】某一学校有500人,其中选修数学的有359人,选修文学的有408人,那么两种课程都选的学生至少有多少人?A.165 B.203 C.267 D.199【答案】C。读完题目我们就能判断出考察容斥问题中的二者容斥问题,但是涉及到求至少的问题,所以要求的是极值问题。而解极值问题我们可以通过逆向思维来求解,题目要求两种课程都选的至少,即求没选课程的人数最多。
2023-08-03 15:11:301

容斥原理a+b+c=x+2y+3z 怎么来的

如图所示,灰色部分A∩B-A∩B∩C、B∩C-A∩B∩C、C∩A-A∩B∩C都被重复计算了1次,黑色部分A∩B∩C被重复计算了2次,因此总数A∪B∪C=A+B+C-(A∩B-A∩B∩C)-(B∩C-A∩B∩C)-(C∩A-A∩B∩C)-2A∩B∩C=A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C。即得到:公式:A∪B∪C=A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C总数=三个圆内的-重合两次的+重合三次的
2023-08-03 15:12:241

错排公式的容斥原理

也可表示为设s为有限集,,则两个集合的容斥关系公式:a∪b=|a∪b|=|a|+|b|-|a∩b|(∩:重合的部分)三个集合的容斥关系公式:|a∪b∪c|=|a|+|b|+|c|-|a∩b|-|b∩c|-|c∩a|+|a∩b∩c|详细推理如下:1、等式右边改造={[(a+b-a∩b)+c-b∩c]-c∩a}+a∩b∩c2、文氏图分块标记如右图图:1245构成a,2356构成b,4567构成c3、等式右边()里指的是下图的1+2+3+4+5+6六部分:那么a∪b∪c还缺部分7。4、等式右边[]号里+c(4+5+6+7)后,相当于a∪b∪c多加了4+5+6三部分,减去b∩c(即5+6两部分)后,还多加了部分4。5、等式右边{}里减去c∩a(即4+5两部分)后,a∪b∪c又多减了部分5,则加上a∩b∩c(即5)刚好是a∪b∪c。
2023-08-03 15:12:321

公务员行测容斥原理

A∪B∪C = A+B+C - A∩B - B∩C - C∩A + A∩B∩C 125-20=89+47+63- (X +3*24)+24X=46记住,求的是仅看过两部电影的
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容斥原理

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2023-08-03 15:12:501

n个集合的并集(容斥原理公式)

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2023-08-03 15:12:591

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答:容斥原理 在计数时,为了使重叠部分不被重复计算,人们研究出一种新的计数方法,这种方法的基本思想是:先不考虑...然后再把计数时重复计算的数目排斥出去,使得计算的结果既无遗漏又无重复,这种计数的方法称为容斥原理
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2023-08-03 15:13:403

两集合容斥原理公式是什么?

两个集合的容斥关系公式:AUB=A+B-A∩B(∩为重合的部分)三个集合的容斥关系公式:AUBUC=A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C。详细推理如下:1、等式右边改造={-C∩A}+A∩B∩C。2、文氏图分块标记如右图图:1245构成A,2356构成B,4567构成C3、等式右边()里指的是下图的1+2+3+4+5+6六部分:那么AUBUC还缺部分7。4、等式右边【】号里+C(4+5+6+7)后,相当于AUBUC多加了4+5+6三部分,减去B∩C(即5+6两部分)后,还多加了部分4。5、等式右边{}里减去C∩A(即4+5两部分)后,AUBUC又多减了部分5,则加上A∩B∩C(即5)刚好是AUBUC。扩展资料:三集合容斥问题的核心公式如下:标准型:|A∪B∪C | = | A | + | B | + | C | - | A∩B | - | B∩C | - | C∩A | + | A∩B∩C |。非标准型:|A∪B∪C | = | A | + | B | + | C | -只满足两个条件的-2×三个都满足的。列方程组:|A∪B∪C | =只满足一个条件的+只满足两个条件的+三个都满足的。| A | + | B | + | C | =只满足一个条件的+2×只满足两个条件的+3×三个都满足的,对于以上三组公式的理解,可以通过想象三个圆两两相交的重叠情况来加深。
2023-08-03 15:14:023

哪位朋友可以告诉我四集合容斥原理的非标准型公式?谢谢!

A∪B∪C∪D=|A|+|B|+|C|+|D| - |A∩B| - |B∩C| - |C∩A|- |A∩D| - |B∩D| - |C∩D|+|A∩B∩C|+|A∩B∩D| +|A∩C∩D| +|B∩C∩D| -|A∩B∩C∩D|推导过程我们可以先看三个,比如你过程中出现的|B∪C∪D||B∪C∪D|=|B|+|C∪D|-|B∩(C∪D)|=|B|+|C|+|D|-|C∩D|-|[(B∩C)∪(B∩D)]|=|B|+|C|+|D|-|C∩D|-|B∩C|-|B∩D|+|B∩C∩D|
2023-08-03 15:14:241

关于容斥原理的一道题

63+89+47=199人199-24-46=129人129-14+15=130人
2023-08-03 15:14:321

行测考试中的容斥原理请老师给透彻的解释一下,总是记不住

公务员考试行测容斥原理:(查看行测考试资料了解答题方法)容斥原理:指计数时先不考虑重叠的情况,把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来,然后再把重复计算的数目排斥出去。容斥问题分为:两者容斥问题、三者容斥问题。1)两者容斥问题①解决方法:如果被计数的事物有A、B两类,那么,先把A、B两个集合的元素个数相加,然后减掉重复计算的部分。②简记:元素的总个数=大圈-中圈(A、B为大圈,x为中圈)③方法核心:让每个重叠区域变为一层。(x为重叠区域)2)三者容斥问题①解决方法:如果被计数的事物有A、B、C三类,那么,先把A、B、C三个集合的元素个数相加,然后减掉重复计算的部分。(1、2、3、x均为重叠区域)②简记:元素的总个数=大圈-中圈+数小圈(大圈指三类元素的个数和,中圈指题目中所给重叠区域(1、2、3、1+x、2+x、3+x、1+2+3+x),小圈为三层重叠区域x,利用此公式,只需数小圈即可。③方法核心:让每个重叠区域变为一层。
2023-08-03 15:14:471

容斥原理的三大公式及推导(容斥原理的三大公式)

您好,我就为大家解答关于容斥原理的三大公式及推导,容斥原理的三大公式相信很多小伙伴还不知道,现在让我们一起来看看吧!1、等式左边,A... 您好,我就为大家解答关于容斥原理的三大公式及推导,容斥原理的三大公式相信很多小伙伴还不知道,现在让我们一起来看看吧! 1、等式左边,A,B,C中各自都包含一个A交B交C,一共是3个。 2、等式右边,AUBUC、A交B、B交C、C交A 每个里面也有一个A交B交C。 3、一共是4个。 4、所以减去1个等式左右才相等。
2023-08-03 15:15:071

第5课:容斥原理入门

本文收录至文集: 写给家长的思维训练课 容斥原理基本公式: 【问题1】 一群小朋友共有50人,他们都喜欢吃辣椒或芥末中的一种或两种,喜欢吃辣椒的有36人,喜欢吃芥末的有20人,那么,两种都喜欢吃的有多少人? 【解答】 由容斥原理基本公式可得:两种都喜欢吃的=36+20-50=6(人) 包含三个对象的容斥原理:推而广之:【问题2】 妈妈用三块长方形桌布相互重叠地铺在一张长方形桌子上,正好将桌子完全覆盖。已知三块桌布的面积分别是40平方分米、36平方分米、27平方分米,其中第一块和第二块桌布重叠部分为5平方分米,第二块和第三块重叠了7平方分米,第一块和第三块重叠了4平方分米。如果三块重叠的部分等于2平方分米,那么这张桌子的面积是多少? 【解析】 利用公式可得:即: 【总结】 1、对比问题1、2,容易发现,容斥原理适用范围很广,无论算术题还是几何题,题设只要符合容斥原理公式中每一部分的含义,就可以使用容斥原理解题 2、也可以尝试使用韦恩图(文试图)画图解题,实际上,图解法与公式法完全一致,前者更形象,后者更快捷,具体做题时应该灵活运用两种手段 【课后练习】 1、某校参加数学竞赛的有120名男生、80名女生,参加语文竞赛的有120名女生、80名男生。已知该校总共有260名学生参加竞赛,其中75名男生两科竞赛都参加了,请问只参加一科竞赛的女生有多少人? 2、某班共有学生48人,其中27人会游泳,33人会骑自行车,40人会打乒乓球,那么,这个班至少有多少学生这三项运动都会? 请登录,在评论中作答,我会不定期批改
2023-08-03 15:15:211

离散数学 4个集合的容斥原理,怎么推出来的?急求

A∪B∪C∪D=|A|+|B|+|C|+|D| - |A∩B| - |B∩C| - |C∩A|- |A∩D| - |B∩D| - |C∩D| +|A∩B∩C|+|A∩B∩D| +|A∩C∩D| +|B∩C∩D| -|A∩B∩C∩D|推导过程我们可以先看三个,比如你过程中出现的|B∪C∪D||B∪C∪D|=|B|+|C∪D|-|B∩(C∪D)|=|B|+|C|+|D|-|C∩D|-|[(B∩C)∪(B∩D)]| =|B|+|C|+|D|-|C∩D|-|B∩C|-|B∩D|+|B∩C∩D|然后四个也是一样推下去~哪里看不懂再问我吧~~
2023-08-03 15:15:381

容斥原理 容斥原理定义

1、在计数时,必须注意没有重复,没有遗漏。为了使重叠部分不被重复计算,人们研究出一种新的计数方法,这种方法的基本思想是:先不考虑重叠的情况,把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来,然后再把计数时重复计算的数目排斥出去,使得计算的结果既无遗漏又无重复,这种计数的方法称为容斥原理。 2、如果被计数的事物有A、B、C三类,那么,A类和B类和C类元素个数总和= A类元素个数+ B类元素个数+C类元素个数—既是A类又是B类的元素个数—既是A类又是C类的元素个数—既是B类又是C类的元素个数+既是A类又是B类而且是C类的元素个数。(A∪B∪C = A+B+C - A∩B - B∩C - C∩A + A∩B∩C)
2023-08-03 15:16:511

容斥原理是高中几年级知识

容斥原理属于高一所学习的知识点,最早在小学三年级的数学广角里面就有涉及到,到高中一年级的时候开始系统的学习。容斥原理是一种重要的组合数学方法,可以让学生求解任意大小的集合,或者计算复合事件的概率。容斥原理的简介:在计数时,必须注意没有重复,没有遗漏。为了使重叠部分不被重复计算,人们研究出一种新的计数方法,这种方法的基本思想是先不考虑重叠的情况,把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来,然后再把计数时重复计算的数目排斥出去,使得计算的结果既无遗漏又无重复,这种计数的方法称为容斥原理。容斥原理的定义:如果被计数的事物有A、B、C三类,那么,A类和B类和C类元素个数总和= A类元素个数+ B类元素个数+C类元素个数—既是A类又是B类的元素个数—既是A类又是C类的元素个数—既是B类又是C类的元素个数+既是A类又是B类而且是C类的元素个数。(A∪B∪C = A+B+C - A∩B - B∩C - C∩A + A∩B∩C)。容斥原理三个公式:|A∪B|=|A|+|B|-|A∩B||A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|-|A∩B|-|B∩C|-|C∩A|+|A∩B∩C|S=A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C
2023-08-03 15:16:581

小学如何解释容斥原理

举例说明:三(2)班共有60人,其中,喜欢足球的23人,喜欢跑步的30人,既喜欢足球又喜欢跑步的有6人,问既不喜欢足球,也不喜欢跑步的有几人?首先,我们把喜欢足球的23人列出来。再将喜欢跑步的30人列出来。喜欢踢球的23人和喜欢跑步的30人注意,有6个同学既喜欢踢球又喜欢跑步,我们用红色标记出来。6个人既喜欢踢球又喜欢跑步这样的话,我们可以看得出来,喜欢踢球,他们一共有23+30-6=47个,也就是有47人喜欢踢球或者喜欢跑步,那么既不喜欢踢球,又不喜欢跑步的同学就是总数减去这47人,即60-47=13人。
2023-08-03 15:18:083

三容斥原理

A,B,C里都有A∩B∩C,A∩B∩C加了三次A∩B,B∩C,C∩A也都有A∩B∩C,A∩B∩C又被减去了三次所以最后还要再不上一个A∩B∩C
2023-08-03 15:18:172

容斥原理高中学吗

容斥原理是高中学,它是高一所学的知识点。我记得小学的时候也有涉及过这个原理,当时不是重点没有展开来讲述,现在高一就会全面展开来讲,容斥原理是一种重要的组合数学方法,可以让你求解任意大小的集合,或者计算复合事件的概率。要计算几个集合并集的大小,我们要先将所有单个集合的大小计算出来,然后减去所有两个集合相交的部分,再加回所有三个集合相交的部分,再减去所有四个集合相交的部分,依此类推一直计算到所有集合相交的部分。
2023-08-03 15:18:321

容斥原理公式

粉笔三者容斥问题3个公式如下:1、标准型: |A∪B∪C | = | A | + | B | + | C | - | A∩B | - | B∩C | - | C∩A | + | A∩B∩C |。2、非标准型:|A∪B∪C | = | A | + | B | + | C | -只满足两个条件的- 2×三个都满足的。3、列方程组:|A∪B∪C | =只满足一个条件的+只满足两个条件的+三个都满足的。在计数时,必须注意没有重复,没有遗漏。为了使重叠部分不被重复计算,人们研究出一种新的计数方法。这种方法的基本思想是:先不考虑重叠的情况,把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来,然后再把计数时重复计算的数目排斥出去,使得计算的结果既无遗漏又无重复,这种计数的方法称为容斥原理。容斥原理的定义:如果被计数的事物有A、B、C三类,那么,A类和B类和C类元素个数总和= A类元素个数+ B类元素个数+C类元素个数—既是A类又是B类的元素个数—既是A类又是C类的元素个数—既是B类又是C类的元素个数+既是A类又是B类而且是C类的元素个数。(A∪B∪C = A+B+C - A∩B - B∩C - C∩A + A∩B∩C)。例如:一次期末考试,某班有15人数学得满分,有12人语文得满分,并且有4人语、数都是满分,那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人?分析:依题意,被计数的事物有语、数得满分两类,“数学得满分”称为“A类元素”,“语文得满分”称为“B类元素”,“语、数都是满分”称为“既是A类又是B类的元素”,“至少有一门得满分的同学”称为“A类和B类元素个数”的总和。为15+12-4=23。以上内容参考:百度百科-容斥原理
2023-08-03 15:18:411

三者容斥原理的公式有哪些?怎么运用啊?

三者容斥问题3个公式如下:标准型: |A∪B∪C | = | A | + | B | + | C | - | A∩B | - | B∩C | - | C∩A | + | A∩B∩C |。非标准型:|A∪B∪C | = | A | + | B | + | C | -只满足两个条件的- 2×三个都满足的。列方程组:|A∪B∪C | =只满足一个条件的+只满足两个条件的+三个都满足的。二集合容斥原理的公式为:|A∪B|=|A|+|B|-|A∩B|,三集合容斥原理的本质和二集合容斥原理是一样的,只不过由于又多了一个集合,公式和图形描述都变得更加复杂。详细推理如下:1、 等式右边改造 = {[(A+B - A∩B)+C - B∩C] - C∩A }+ A∩B∩C。2、维恩图分块标记如右图图1:1245构成A,2356构成B,4567构成C。3、等式右边()里指的是下图的1+2+3+4+5+6六部分:那么A∪B∪C还缺部分7。4、等式右边[]号里+C(4+5+6+7)后,相当于A∪B∪C多加了4+5+6三部分,减去B∩C(即5+6两部分)后,还多加了部分4。5、等式右边{}里减去C∩A (即4+5两部分)后,A∪B∪C又多减了部分5,则加上A∩B∩C(即5)刚好是A∪B∪C。
2023-08-03 15:19:111

容斥原理的公式

也可表示为设S为有限集,,则两个集合的容斥关系公式:A∪B =|A∪B| = |A|+|B| - |A∩B |(∩:重合的部分)三个集合的容斥关系公式:|A∪B∪C| = |A|+|B|+|C| - |A∩B| - |B∩C| - |C∩A| + |A∩B∩C|详细推理如下:1、 等式右边改造 = {[(A+B - A∩B)+C - B∩C] - C∩A }+ A∩B∩C2、文氏图分块标记如右图图:1245构成A,2356构成B,4567构成C3、等式右边()里指的是下图的1+2+3+4+5+6六部分:那么A∪B∪C还缺部分7。4、等式右边[]号里+C(4+5+6+7)后,相当于A∪B∪C多加了4+5+6三部分,减去B∩C(即5+6两部分)后,还多加了部分4。5、等式右边{}里减去C∩A (即4+5两部分)后,A∪B∪C又多减了部分5,则加上A∩B∩C(即5)刚好是A∪B∪C。
2023-08-03 15:19:272

容斥定理

我也是高一的,推荐你个视频,你要觉得好就选我http://v.youku.com/v_show/id_XMTcwNTY0NjY0.html
2023-08-03 15:19:432

容斥原理是几年级学的

容斥原理是小学六年级学的。在计数时,必须注意没有重复,没有遗漏。为了使重叠部分不被重复计算,人们研究出一种新的计数方法,这种方法的基本思想是:先不考虑重叠的情况,把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来,然后再把计数时重复计算的数目排斥出去,使得计算的结果既无遗漏又无重复,这种计数的方法称为容斥原理。例如:一次期末考试,某班有15人数学得满分,有12人语文得满分,并且有4人语、数都是满分,那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人?分析:依题意,被计数的事物有语、数得满分两类,“数学得满分”称为“A类元素”,“语文得满分”称为“B类元素”,“语、数都是满分”称为“既是A类又是B类的元素”,“至少有一门得满分的同学”称为“A类和B类元素个数”的总和。为15+12-4=23。
2023-08-03 15:19:501

容斥原理有几个公式?

三者容斥问题3个公式如下:标准型: |A∪B∪C | = | A | + | B | + | C | - | A∩B | - | B∩C | - | C∩A | + | A∩B∩C |。非标准型:|A∪B∪C | = | A | + | B | + | C | -只满足两个条件的- 2×三个都满足的。列方程组:|A∪B∪C | =只满足一个条件的+只满足两个条件的+三个都满足的。二集合容斥原理的公式为:|A∪B|=|A|+|B|-|A∩B|,三集合容斥原理的本质和二集合容斥原理是一样的,只不过由于又多了一个集合,公式和图形描述都变得更加复杂。详细推理如下:1、 等式右边改造 = {[(A+B - A∩B)+C - B∩C] - C∩A }+ A∩B∩C。2、维恩图分块标记如右图图1:1245构成A,2356构成B,4567构成C。3、等式右边()里指的是下图的1+2+3+4+5+6六部分:那么A∪B∪C还缺部分7。4、等式右边[]号里+C(4+5+6+7)后,相当于A∪B∪C多加了4+5+6三部分,减去B∩C(即5+6两部分)后,还多加了部分4。5、等式右边{}里减去C∩A (即4+5两部分)后,A∪B∪C又多减了部分5,则加上A∩B∩C(即5)刚好是A∪B∪C。
2023-08-03 15:20:051

容斥原理的最值公式是什么?

容斥原理最值公式:A∪B∪C=A+B+C-A∩B- B∩C-A∩C+A∩B∩C。1、区域出现重叠。2、出现“最多”、“最少”、“至多”、“至少”等字眼。二者容斥最小值:A∩B的最小值=A+B-I。三者容斥最小值:A∩B∩C的最小值=A+B+C-2I。常见应用【例1】某一学校有500人,其中选修数学的有359人,选修文学的有408人,那么两种课程都选的学生至少有多少人?A.165 B.203 C.267 D.199【答案】C。读完题目我们就能判断出考察容斥问题中的二者容斥问题,但是涉及到求至少的问题,所以要求的是极值问题。而解极值问题我们可以通过逆向思维来求解,题目要求两种课程都选的至少,即求没选课程的人数最多。
2023-08-03 15:20:191

包含排斥原理

包含排斥原理容斥原理容斥原理在计数时,为了使重叠部分不被重复计算,人们研究出一种新的计数方法,这种方法的基本思想是:先不考虑重叠的情况,把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来,然后再把计数时重复计算的数目排斥出去,使得计算的结果既无遗漏又无重复,这种计数的方法称为容斥原理。容斥原理(1)如果被计数的事物有a、b两类,那么,a类或b类元素个数= a类元素个数+ b类元素个数—既是a类又是b类的元素个数。例1 一次期末考试,某班有15人数学得满分,有12人语文得满分,并且有4人语、数都是满分,那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人?分析:依题意,被计数的事物有语、数得满分两类,“数学得满分”称为“a类元素”,“语文得满分”称为“b类元素”“语、数都是满分”称为“既是a类又是b类的元素”,“至少有一门得满分的同学”称为“a类或b类元素个数”的总和。试一试:某班学生每人家里至少有空调和电脑两种电器中的一种,已知家中有空调的有41人,有电脑的有34人,二者都有的有27人,这个班有学生多少人?(并说一说你的想法。)
2023-08-03 15:20:511

三集合容斥非标准型公式推导(三集合容斥原理非标准型公式)

1.三集合容斥非标准型公式是A+B+C-(AB+BC+AC)+ABC=总数-都不。 2.三集合标准型是指把一个整体分成三部分,且告知两两相交的地方,并有三者都满足的,这样的题就是三集合标准型。 3.因为A、B、C和A交B两两的交集它们中都含A交B交C,然而ABC两两交集中应减两次,然而却将ABC两两交集中的A交B交C减了三次,所以应该加上多减的一次ABC的交集。 4.容斥原理指把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来,然后再把计数时重复计算的数目排斥出去,使得计算的结果既无遗漏又无重复,这种计数的方法称为容斥原理。
2023-08-03 15:20:591

四个集合的容斥原理怎么算?

A∪B∪C∪D=|A|+|B|+|C|+|D| - |A∩B| - |B∩C| - |C∩A|- |A∩D| - |B∩D| - |C∩D|+|A∩B∩C|+|A∩B∩D| +|A∩C∩D| +|B∩C∩D| -|A∩B∩C∩D|推导过程我们可以先看三个,比如你过程中出现的|B∪C∪D||B∪C∪D|=|B|+|C∪D|-|B∩(C∪D)|=|B|+|C|+|D|-|C∩D|-|[(B∩C)∪(B∩D)]|=|B|+|C|+|D|-|C∩D|-|B∩C|-|B∩D|+|B∩C∩D|望采纳
2023-08-03 15:21:093

怎么能理解“三集合容斥”的公式?

A∪B∪C=A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C因为A、B、C与A交B两两的交集它们中都含A交B交C,然而ABC两两交集中我们应减两次,然而我们却将ABC两两交集中的A交B交C减了三次,所以我们应该加上多减的一次ABC的交集举例:某校六⑴班有学生45人,每人在暑假里都参加体育训练队,其中参加足球队的有25人,参加排球队的有22人,参加游泳队的有24人,足球、排球都参加的有12人,足球、游泳都参加的有9人,排球、游泳都参加的有8人,问:三项都参加的有多少人?分析:参加足球队的人数25人为A类元素,参加排球队人数22人为B类元素,参加游泳队的人数24人为C类元素,既是A类又是B类的为足球排球都参加的12人,既是B类又C类的为足球游泳都参加的9人,既是C类又是A类的为排球游泳都参加的8人,三项都参加的是A类B类C类的总和设为X。注意:这个题说的每人都参加了体育训练队,所以这个班的总人数即为A类B类和C类的总和。答案:25+22+24-12-9-8+X=45 解得X=3容斥原理:容斥原理指把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来,然后再把计数时重复计算的数目排斥出去,使得计算的结果既无遗漏又无重复,这种计数的方法称为容斥原理。如果被计数的事物有A、B两类,那么,A类B类元素个数总和= 属于A类元素个数+ 属于B类元素个数—既是A类又是B类的元素个数。(A∪B = A+B - A∩B)如果被计数的事物有A、B、C三类,那么,A类和B类和C类元素个数总和= A类元素个数+ B类元素个数+C类元素个数—既是A类又是B类的元素个数—既是A类又是C类的元素个数—既是B类又是C类的元素个数+既是A类又是B类而且是C类的元素个数。(A∪B∪C = A+B+C - A∩B - B∩C - C∩A + A∩B∩C)参考资料教育中国:http://edu.china.com.cn/2011-08/29/content_23303912.htm
2023-08-03 15:21:303

三集合容斥原理常识型公式

三集合容斥问题的核心公式如下:标准型: |A∪B∪C | = | A | + | B | + | C | - | A∩B | - | B∩C | - | C∩A | + | A∩B∩C |。非标准型:|A∪B∪C | = | A | + | B | + | C | -只满足两个条件的- 2×三个都满足的。列方程组:|A∪B∪C | =只满足一个条件的+只满足两个条件的+三个都满足的。| A | + | B | + | C | =只满足一个条件的+2×只满足两个条件的+3×三个都满足的,对于以上三组公式的理解,可以通过想象三个圆两两相交的重叠情况来加深。扩展资料:容斥原理:容斥原理指把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来,然后再把计数时重复计算的数目排斥出去,使得计算的结果既无遗漏又无重复,这种计数的方法称为容斥原理。如果被计数的事物有A、B两类,那么,A类B类元素个数总和= 属于A类元素个数+ 属于B类元素个数—既是A类又是B类的元素个数。(A∪B = A+B - A∩B)如果被计数的事物有A、B、C三类,那么,A类和B类和C类元素个数总和= A类元素个数+ B类元素个数+C类元素个数—既是A类又是B类的元素个数—既是A类又是C类的元素个数—既是B类又是C类的元素个数+既是A类又是B类而且是C类的元素个数。(A∪B∪C = A+B+C - A∩B - B∩C - C∩A + A∩B∩C)
2023-08-03 15:21:551

什么是容斥原理,有什么作用或者应用呢?

容斥原理最值公式:A∪B∪C=A+B+C-A∩B- B∩C-A∩C+A∩B∩C。1、区域出现重叠。2、出现“最多”、“最少”、“至多”、“至少”等字眼。二者容斥最小值:A∩B的最小值=A+B-I。三者容斥最小值:A∩B∩C的最小值=A+B+C-2I。常见应用【例1】某一学校有500人,其中选修数学的有359人,选修文学的有408人,那么两种课程都选的学生至少有多少人?A.165 B.203 C.267 D.199【答案】C。读完题目我们就能判断出考察容斥问题中的二者容斥问题,但是涉及到求至少的问题,所以要求的是极值问题。而解极值问题我们可以通过逆向思维来求解,题目要求两种课程都选的至少,即求没选课程的人数最多。
2023-08-03 15:22:281

三集合容斥原理公式该怎么理解?

你是怎么理解的 哪里不懂 说出来
2023-08-03 15:22:439