排序不等式

证明：不妨设a≥b≥c＞0，∴a2≥b2≥c2，由排序原理：顺序和≥反序和，得：a3+b3≥a2b+b2a，b3+c3≥b2c+c2b，c3+a3≥a2c+c2a三式相加得2（a3+b3+c3）≥a（b2+c2）+b（c2+a2）+c（a2+b2）．又a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，c2+a2≥2ca．所以2（a3+b3+c3）≥6abc，∴a3+b3+c3≥3abc．当且仅当a=b=c时，等号成立．

a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)因为a、b为正数，且a^2+b^2>=2ab所以a^3+b^3>=(a+b)(2ab-ab)，即a^3+b^3>=(a+b)ab即：a^3+b^3>=a^2b+ab^2同理：b^3+c^3>=b^2c+bc^2c^3+a^3>=c^2a+ca^2将上三式相加并整理得：2(a^3+b^3+c^3)>=a^2(b+c)+b^2(c+a)+c^2(a+b)

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简单画下图形可知:ha=csinb,hb=asinc,hc=bsina原不等式即证:asina+bsinb+csinc>=csinb+asinc+bsina正弦定理:a/sina=b/sinb=c/sinc,∴a,b,c和sina,sinb,sinc大小顺序相同排序不等式:顺序和>=乱序和>=反序和∴asina+bsinb+csinc(顺序和)>=csinb+asinc+bsina(乱序和)∴asina+bsinb+csinc>=ha+hb+hc

你用右边减左边a1^2+...+an^2-(a1c1+...+ancn)=1/2{[a1^2+c1^2-2a1c1]+...+[an^2+cn^2-2ancn]}这样就成了一列平方数的和。

证明：不妨设a≥b≥c＞0，∴a2≥b2≥c2，由排序原理：顺序和≥反序和，得：a3+b3≥a2b+b2a，b3+c3≥b2c+c2b，c3+a3≥a2c+c2a三式相加得2（a3+b3+c3）≥a（b2+c2）+b（c2+a2）+c（a2+b2）．又a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc...

在此证明一组数字由两个数字组成的情况。【注意：二！不是三！】如果大数乘大数，小数乘小数，你会获得2个红色区域，一个绿色区域，一个蓝色区域的值。如果大数乘小数，小数乘大数，你只会获得2个红色区域，一个绿色区域的值。所以大对大、小对小【也就是正序】的值不会比大对小、小对大【也就是反序】的值小。（为何不说大说不小，自行思考）也就是说，在有大对大、小对小的情况下，如果把可以改变顺序的那一列改变顺序使之变为大对小、小对大的情况，总的值不会变大。在有大对小、小对大的情况下，如果把可以改变顺序的那一列改变顺序使之变为大对大、小对小的情况，总的值不会变小。然后对于任意一个乱序的数列【简称乱序列】，我们可以从中选出一个最大的数字，放到最后面【此处采取和最后一个直接交换的手段完成此动作】去和另一个数列最大的相对，值不会因此减小。我们同样可以从中选出一个最大的数字，放到最前面【此处采取的手段同上】去和另一个数列最小的相对，值不会因此增大。做完上述中的其中一个后，我们可以无视这个最大的数字和它对应的另一个数字，大小关系不会因此受到影响，然后继续对其他没被无视的数字做这样的操作。这样做的结果是：如果是大对大，结果是正序列。故正序列的值不小于任意乱序列的值。如果是大对小，结果是反序列，故反序列的值不大于任意乱序列的值。证毕，我是初三的钟惠兴，卖国贼一枚

证法一(基本不等式法):a1²/a2+a2≥2a1a2²/a3+a3≥2a2…… ……a(n-1)²/an+an≥2a(n-1)an²/a1+a1≥2an以上n个式子相加后，再两边减去a1+a2+……+an，即得待证不等式.证法二(Cauchy不等式法):(a2+a3+……+a1)(a1²/a2+a2²/a3+……+an²/a1)≥(a1+a2+……+an)²两边除以a1+a2+……，即得待证式.证法三(权方和不等式法)a1²/a2+a2²/a3+……+an²/a1≥(a1+a2+……+an)²/(a2+a3+……+a1)=a1+a2+……+an，故原不等式得证.证法四(排序不等式法)不妨设a1>a2>……>an，则1/a2>1/a3>……>1/an.∴a1²/a2+a2²/a3+……+an²/a1≥a1²/a1+a2²/a2+……+an²/an=a1+a2+……+an故原不等式得证。还有很多其他证法，就不一一列举了。

4,5,6,8,10

是的吧。。

首先，当我们取x=3,y=2z=-1时会发现原不等式不成立。所以我认为，原条件中应为x,y,z都大于0。(谁大谁小不用写出来)下面我就这个条件来证一下上面的不等式。并且我假定sjy1742学友和其它会读到这个问题的朋友是了解排序不等式的内容的。证明:无妨假设x≥y≥z＞0所以有xy≥xz≥yz从而x^12≥y^12≥z^121/yz≥1/xz≥1/xy所以有x^12/yz+y^12/xz+z^12/xy≥x^12/xy+y^12/yz+z^12/xz①(这里用到了顺序和大于等于乱序和)把①式右边化简得到x^12/yz+y^12/xz+z^12/xy≥x^11/y+y^11/z+z^11/x②又因为x^11≥y^11≥z^111/z≥1/y≥/x所以有x^11/y+y^11/z+z^11/x≥x^11/x+y^11/y+z^11/z③(这里用到了乱序和大于等于反序和)把③式右边化简得到x^11/y+y^11/z+z^11/x≥x^10+y^10+z^10④综合②，④两式得有x^12/yz+y^12/xz+z^12/xy≥x^10+y^10+z^10证完。

先明确:当a1>a2>a3>...>an，b1>b2>b3>...>bn时，{an}{bn}中的的数组成实数对，再将实数对中的两数相乘，然后将所得所有乘积相加，此时，会有a1b1+a2b2+...+anbn(即正序和)>=akbt+axby+...+apbq(即乱序和)>=a1bn+a2b(n-1)+...+anb1(即倒序和)下面先证最简单的柯西不等式:(a1b1+a2b2)^2=a1^2*b1^2+a2^2*b2^2+2a1b1a2b2(a1^2+a2^2)(b1^2+b2^2)=a1^2*b1^2+a2^2*b2^2+a1^2*b2^2+a2^2*b1^2则只需证:2a1b1a2b2=<a1^2*b2^2+a2^2*b1^2设集合{a1b2，a2b1}，则由之前明确的结论知:2a1b1a2b2=<a1^2*b2^2+a2^2*b1^2成立所以(a1b1+a2b2)^2=a1^2*b1^2+a2^2*b2^2+2a1b1a2b2成立多元的柯西不等式可由此推广得证注:之前的结论可参考奥赛辅导书，在此不再给出证明。

没必要用排序不等式，柯西不等式即可由柯西不等式:(a²+b²)×(1²+1²)≥(a+b)²得(a²+b²)≥(a+b)²/2故同理有:(c²+b²)≥(c+b)²/2,(a²+c²)≥(a+c)²/2则原式≥(a+b)/√2+(a+c)/√2+(c+b)/√2=√2(a+b+c),证毕不懂可追问，欢迎采纳

http://hi.baidu.com/nvguizhenz/blog/item/c085b92b10fb4625d52af14c.html觉得好请加分.

简单画下图形可知:ha=csinB,hb=asinC,hc=bsinA原不等式即证:asinA+bsinB+csinC>=csinB+asinC+bsinA正弦定理:a/sinA=b/sinB=c/sinC,∴a,b,c和sinA,sinB,sinC大小顺序相同排序不等式:顺序和>=乱序和>=反序和∴asinA+bsinB+csinC(顺序和)>=csinB+asinC+bsinA(乱序和)∴asinA+bsinB+csinC>=ha+hb+hc

由对称性设a>=b>=c分情况讨论当ac>=b^2ab>=ca>=bca/c>=c/b>=b/a则可以由排序不等式证明顺序大于乱序若另一种情况用乱序大于逆序

1.设a1,a2,a3为正数，求证：(a1*a2)/a3+(a2*a3)/a1+(a3*a1)/a2≥a1+a2+a3不妨设a1≥a2≥a3则a1a2≥a1a3≥a2a3(a1*a2)/a3+(a2*a3)/a1+(a3*a1)/a2≥a1+a2+a3即证(a1a2)^2+(a2a3)^2+(a1a3^2)≥(a1+a2+a3)a1a2a3(a1a2)^2+(a2a3)^2+(a1a3)^2≥a1^2a2a3+a1a2^2a3+a1a2a3^2同序和≥乱序和(a1a2)^2+(a2a3)^2+(a1a3)^2≥a1a2*a1a3+a1a2*a2a3+a1a3*a2a3即(a1a2)^2+(a2a3)^2+(a1a3)^2≥a1^2a2a3+a1a2^2a3+a1a2a3^2则原不等式得证2.设x>0,求证1+x+x^2+x^3+....+x^(2n)>=(2n+1)*x^n给你两种证法:1.用排序不等式:1+x+x^2+...+x^2n=x^0*x^0+x^(1/2)*x^(1/2)+x^1*x^1+...x^(n-2/2)*x(n-2/2)+x^(n-1/2)*x^(n-1/2)+x^n*x^n(顺序和)≥x^0*x^n+x^(1/2)*(x^(n-1/2)+x^1*x^(n-2/2)+...+x^(n-1/2)*x^(1/2)+x^n*x^0(乱序和)=x^n+x^n+x^n+...+x^n=(2n+1)x^n等号成立当且仅当x=12.用基本不等式，算术平均≥几何平均1+x+x^2+...+x^n≥(2n+1)(1*x*x^2*..*x^2n)(1/(2n+1))=(2n+1)(x^(2n+1)*n)^(1/(2n+1))=(2n+1)x^n等号成立当且仅当x=1

设有两组数 a 1 , a 2 ,…… a n, b 1 , b 2 ,…… b n 满足 a 1 ≤ a 2 ≤……≤ a n, b 1 ≤ b 2 ≤……≤ b n 则有 a 1 b n + a 2 b n−1 +……+ a n ≤ a 1 b t + a 2 b t +……+ a n b t ≤ a 1 b 1 + a 2 b 2 + a n b n 式中t1，t2，……，tn是1，2，……，n的任意一个排列， 当且仅当 a 1 = a 2 =……= a n 或 b 1 = b 2 =……= b n 时成立。 以上排序不等式也可简记为： 反序和≤乱序和≤同序和.证明时可采用逐步调整法。例如，证明：其余不变时，将a 1 b 1 + a 2 b 2 调整为a 1 b 2 + a 2 b 1 ，值变小，只需作差证明（a 1 -a 2 ）*（b 1 -b 2 ）≥0，这由题知成立。依次类推，根据逐步调整法，排序不等式得证。很多竞赛书上都有的，可以去找找。

设a1<=a2<=…<=an b1<=b2<=…<=bn(这里没有规定 ai , bi >0 )用数学归纳法证明：n=2 时 a1b2+a2b1<=a1a2+b1b2 <==> (a1-a2)(b1-b2)>=0 成立假设n=k时 成立n=k+1 对于 乱序和≤反序和将与a1 ，b1 有关的拿出来有 a1bl+b1at(乱序)给出 a1bl+b1at<=a1b1+atbl <==> (a1-at)(b1-bl)>=0 成立剩下 k项满足假设。对于 反序和≤乱序和将与a1 ，b(k+1) 有关的拿出来有a1bl+b(k+1)at(乱序)给出 a1bl+b(k+1)at>=a1b(k+1)+atbl <==> (a1-at)(b(k+1)-bl)<=0 成立剩下 k项满足假设。其实排序不等式主要应用的是 如果 a<=b ; c<=d&&&&&&&&&&&&&&&& (a-b)(c-d)>=0 &&&&&&&&&&&&&&希望对你有帮助！

设f(x)为凸函数，则[(x1+x2+……+xn)/n]<=[f(x1)+f(x2)+……+f(xn)]/n,称为琴生不等式（幂平均）。 加权形式为： f[(a1x1+a2x2+……+anxn)]<=a1f(x1)+a2(x2)+……+anf(xn),其中 ai>=0(i=1,2,……,n),且a1+a2+……+an=1.

排序不等式是数学上的一种不等式。它可以推导出很多有名的不等式，例如：算术几何平均不等式(简称算几不等式)，柯西不等式，和切比雪夫总和不等式。

题目有问题：取：a=1,b=2,c=1/2所求公式小于号成立a=1,b=2,c=2带入，发现所求公式大于号成立所以不等式不成立。ps:个人猜测左面的平方是没有的就是类似(a+b)/(2c)+......的形式,pps:排序不等式（sequenceinequality,又称排序原理）是高中数学竞赛大纲、新课标普通高中课程标准试验教科书（人民教育出版社）数学（选修4-5第三讲第三节）要求的基本不等式。　　设有两组数a1,a2,……an;b1,b2,……bn满足a1≤a2≤……≤an,b1≤b2≤……≤bn，其中c1,c2,……,cn是b1,b2,……，bn的任一排列，则有　　a1*bn+a2*b{n-1}+...+an*b1　　≤a1*c1+a2*c2}+……+an*cn}　　≤a1*b1+a2*b2+……+an*bn.　　当且仅当a1=a2=...=an或b1=b2=...=bn时等号成立，即反序和等于顺序和。和你给出完全不一样，这个是用数学归纳法证明的

　　排序不等式是数学上的一条不等式。它可以推导出很多有名的不等式，例如算术几何平均不等式，柯西不等式，和切比雪夫总和不等式。 　　排序不等式的和是两组实数，而且是一个排列。排序不等式指出，顺序和不小于乱序和，乱序和不小于逆序和。与很多不等式不同，排序不等式不需限定的符号。

上面的能看懂就好啦~~~~ 注：k、n、n-1、jn是下标，a、b是主字母 证明顺序和不小于乱序和: 不妨设在乱序和S中jn≠n时（若jn=n，则考虑jn-1），且在和S中含有项akbn（k≠n），则akbn+anbjn≤anbjn+anbn （1） 因为左-右=（an-ak）（bn-bjn）≥0 由此可知，当jn≠n时，调换S=a1bj1+...+akbjk+...+anbjn(jn≠n)中bn与jn位置（其余不动）所得新和S1≥S。 调整好an及bn后，接着再仿上调整an-1与bn-1，又得S2≥S。 如此至多经n-1次调整得顺序和 a1b1+a2b2+...+anbn≥a1bj1+a2bj2+...+anbjn （2） 这就证得“顺序和不小于乱序和” 显然，当a1=a2=...=an或b1=b2=...=bn时（2）式中等号成立。反之，若他们不全相等，则必存在jn及k，使bn>bjn，an>ak，这时（1）中不等号成立。因而对这个排列（2）中不等号成立。 类似的可证“乱序和不小于逆序和”。