- LuckySXyd
-
上面的能看懂就好啦~~~~
注:k、n、n-1、jn是下标,a、b是主字母
证明顺序和不小于乱序和:
不妨设在乱序和S中jn≠n时(若jn=n,则考虑jn-1),且在和S中含有项akbn(k≠n),则akbn+anbjn≤anbjn+anbn (1)
因为左-右=(an-ak)(bn-bjn)≥0
由此可知,当jn≠n时,调换S=a1bj1+...+akbjk+...+anbjn(jn≠n)中bn与jn位置(其余不动)所得新和S1≥S。
调整好an及bn后,接着再仿上调整an-1与bn-1,又得S2≥S。
如此至多经n-1次调整得顺序和
a1b1+a2b2+...+anbn≥a1bj1+a2bj2+...+anbjn (2)
这就证得“顺序和不小于乱序和”
显然,当a1=a2=...=an或b1=b2=...=bn时(2)式中等号成立。反之,若他们不全相等,则必存在jn及k,使bn>bjn,an>ak,这时(1)中不等号成立。因而对这个排列(2)中不等号成立。
类似的可证“乱序和不小于逆序和”。
- 苏萦
-
给你两种证法:
1.用排序不等式:
1+x+x^2+...+x^2n
=x^0*x^0+x^(1/2)*x^(1/2)+x^1*x^1+...x^(n-2/2)*x(n-2/2)+x^(n-1/2)*x^(n-1/2)+x^n*x^n(顺序和)
≥x^0*x^n+x^(1/2)*(x^(n-1/2)+x^1*x^(n-2/2)+...+x^(n-1/2)*x^(1/2)+x^n*x^0(乱序和)
=x^n+x^n+x^n+...+x^n
=(2n+1)x^n
等号成立当且仅当x=1
2.用基本不等式,算术平均≥几何平均
1+x+x^2+...+x^n
≥(2n+1)(1*x*x^2*..*x^2n)(1/(2n+1))
=(2n+1)(x^(2n+1)*n)^(1/(2n+1))
=(2n+1)x^n
等号成立当且仅当x=1
- 可乐
-
因为A1...An是实数,所以对于任意的As,At,(1<=s,t<=n),有As^2+At^2>=2As*At,所以2*(A1*A1+A2*A2+...An*An)=A1^2+A2^2+A3^2+...+An^2+A1^2+A2^2+A3^2+...+An^2。因为C1,C2..Cn是A1,A2,..An的任意排列,所以C1,C2...Cn其实就是A1,A2,..An打乱了顺序的一组数,而且刚才证明过任意两数的平方和大于他们乘积的2倍,所以2*(A1*A1+A2*A2+...An*An)=A1^2+A2^2+A3^2+...+An^2+A1^2+A2^2+A3^2+...+An^2,这是2n个平方,任意两两组合,都会大于该组合乘积的2倍,所以2*(A1*A1+A2*A2+...An*An)=A1^2+A2^2+A3^2+...+An^2+A1^2+A2^2+A3^2+...+An^2>=2A1C1+2A2C2+..+2AnCn,两边各除以2,则得到A1C1+A2C2+..+AnCn<=(A1*A1+A2*A2+...An*An)
- 余辉
-
设i<j,k<s,由ai≤aj,bk≤bs,得(ai-aj)(bs-bk)<0,
ai*(bs-bk)-aj(bs-bk)<0,
ai*bs+aj*bk-ai*bk-aj*bs<0,
故得ai*bs+aj*bk<ai*bk+aj*bs,
对a1bn+a2b(n-1)+……+anb1经过做有限次对换得到a1bt1+a2bt2+……+anbtn,每次对换使其值变大,故得
a1bn+a2b(n-1)+……+anb1≤a1bt1+a2bt2+……+anbtn
同理,a1bt1+a2bt2+……+anbtn经过做有限次对换得到a1b1+a2b2+anbn,每次对换也使其值变大,故得
a1bt1+a2bt2+……+anbtn≤a1b1+a2b2+anbn.
- wpBeta
-
相当于是加权平均值呀,原数大的权也大,当然结果就大了,相反原数大的权值小,平均下来就小了。严格的证明放缩着做吧应该是^^
- 陶小凡
-
你用右边减左边
a1^2+...+an^2-(a1c1+...+ancn)
=1/2{[a1^2+c1^2-2a1c1]+...+[an^2+cn^2-2ancn]}
这样就成了一列平方数的和。
- 豆豆staR
-
设有两组数
a
1
,
a
2
,……
a
n,
b
1
,
b
2
,……
b
n
满足
a
1
≤
a
2
≤……≤
a
n,
b
1
≤
b
2
≤……≤
b
n
则有
a
1
b
n
+
a
2
b
n−1
+……+
a
n
≤
a
1
b
t
+
a
2
b
t
+……+
a
n
b
t
≤
a
1
b
1
+
a
2
b
2
+
a
n
b
n
式中t1,t2,……,tn是1,2,……,n的任意一个排列,
当且仅当
a
1
=
a
2
=……=
a
n
或
b
1
=
b
2
=……=
b
n
时成立。
以上排序不等式也可简记为:
反序和≤乱序和≤同序和.
证明时可采用逐步调整法。
例如,证明:其余不变时,将a
1
b
1
+
a
2
b
2
调整为a
1
b
2
+
a
2
b
1
,值变小,只需作差证明(a
1
-a
2
)*(b
1
-b
2
)≥0,这由题知成立。
依次类推,根据逐步调整法,排序不等式得证。
很多竞赛书上都有的,可以去找找。
- 里论外几
-
其它不变 将 b(i)和 b(j) 对换 有 a(k)*b(j)+a(l)*b(i) ≤ a(k)*b(i)+a(l)*b(j),k<l,i<j,做有限次对换即得。
- cloudcone
-
* 回复内容中包含的链接未经审核,可能存在风险,暂不予完整展示!http://hi.b***.com/nvguizhenz/blog/item/c085b92b10fb4625d52af14c.html
觉得好请加分.