公因式

比如：ab+ac=a（b+c） 左边a是公因式,提取公因式后就变成右边的了

a*b*c+a*b*d=a*b*(c+d)例如：36*25*17+36*25*23 =36*25*（17+23） =36*25*40 =36*1000 =36000

用短除法

1.（b-a）²+a（a-b）+b(b-a) =（b-a）²-a（b-a）+b(b-a) =(b-a)(b-a-a+b) =(b-a)(2b-2a) =2(b-a)² 2.(3a-4b)(7a-8b)+(11a-12b)(8b-7a) =(3a-4b)(7a-8b)-(11a-12b)(7a-8b) =(7a-8b)(3a-4b-11a+12b) =(7a-8b)(8b-8a) =8(7a-8b)(b-a)4. x(b+c-d)-y(d-b-c)-c-b+d =x(b+c-d)+y(b+c-d)-(b+c-d) =(b+c-d)(x+y-1)5.x²+x+1/4 =1/4(4x²+4x+1) =1/4(2x+1)²6.8a-4a²-4 =-4(a²-2a+1) =-4(a-1)²

提取x^3/2后，括号内可以变为[(1+x)/x]^3/2=(1/x +1)^3/2....中括号右边的-1就不用多说了吧

　具体方法：　　当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，且多项式的次数取最低的。　　如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数。提出“-”号时，多项式的各项都要变号。　　例题：　　（x-y）^2+y-x =(y-x)^2+(y-x)=(y-x+1)(y-x)　　确定公因式的方法：　　★确定公因式的一般步骤　　（1）如果多项式是第一项系数是负数时，应把公因式的符号“-"提取。　　（2）取多项式各项系数的最大公约数为公因数的系数。　　（3）把多项式各项都含有的相同字母（或因式）的最低次幂的积作为公因式的因式。　　上述步骤不是绝对的，当第一项是正数时步骤（1）可省略。　　注意：　　如果多项式的第一项是负的，一般要提出负号，使括号内第一项系数是正的。防止学生出现诸如:　　-9x^2+6xy= -3x(3x+2y)的错误。　　口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶。

 

重因式是说存在的公因式是二次及以上的

带分数变成假分数，然后该乘的乘，该除的除，就出来了

　　初一往往起到一个打基础的阶段!那么，对于初一下册数，往往要怎样复习呢?别着急，接下来不妨和我一起来做份初一下册数学提公因式法试题，希望对各位有帮助! 　　初一下册数学提公因式法试题 　　一、选择题(每小题4分,共12分) 　　1.多项式8xmyn-1-12x3myn的公因式是(　　) 　　A.xmyn B.xmyn-1 　　C.4xmyn D.4xmyn-1 　　2.观察下列各式:①abx-adx;②2x2y+6xy2;③8m3-4m2+2m+1;④a3+a2b+ab2-b3; 　　⑤(p+q)x2y-5x2(p+q)+6(p+q)2;⑥a2(x+y)(x-y)-4b(y+x).其中可以用提公因式法因式分解的是(　　) 　　A.①②⑤ B.②④⑤ 　　C.②④⑥ D.①②⑤⑥ 　　3.(-8)2014+(-8)2013能被下列数整除的是(　　) 　　A.3 B.5 C.7 D.9 　　二、填空题(每小题4分,共12分) 　　4.(2013•漳州中考)因式分解:3a2b-4ab=　　　　. 　　5.(2013•凉山州中考)已知(2x-21)(3x-7)-(3x-7)•(x-13)可因式分解为(3x+a)(x+b),其中a,b均为整数,则a+3b=　　　　. 　　6.计算:(1)3.982-3.98×3.97=　　　　. 　　(2)0.41×25.5+0.35×25.5+2.4×2.55=　　　　. 　　三、解答题(共26分) 　　7.(8分)试说明817-279-913必能被45整除. 　　8.(8分)先因式分解,再计算求值. 　　(1)(2x-1)2(3x+2)+(2x- 1)(3x+2)2-x(1-2x)(3x+2),其中x=1. 　　(2)5x(m-2)-4x (m-2),其中x=0.4,m=5.5. 　　【拓展延伸】 　　9.(10分)先因式分解(1),(2),(3),再解答后面的问题. 　　(1)1+a+a(1+a). 　　(2)1+a+a(1+a)+a(1+a)2. 　　(3)1+a+a(1+a)+a(1+a)2+a(1+a)3. 　　问题 : 　　①先探索上述因式分解的规律,然后写出1+a+a(1+ a)+a(1+a)2+a(1+a)3+…+a(1+a)2014因式分解的结果. 　　②请按上述 方法 因式分解:1+a+a(1+a)+a(1+a)2+a(1+a)3+…+a(1+a)n(n为正整数). 　　初一下册数学提公因式法试题答案 　　1.【解析】选D.多项式8xmyn-1-12x3myn的公因式是4xmyn-1. 　　2.【解析】选D.①abx-adx=ax(b-d);②2x2y+6xy2=2xy(x+3y);③8m3-4m2+2m+1不能用提公因式法因式分解;④a3+a2b+ab2-b3不能用提公因式法因式分解; 　　⑤(p+q)x2y-5x2(p+q)+6(p+q)2=(p+q)[x2y-5x2+6(p+q)];⑥a 2(x+y)(x-y)- 　　4b(y+x)=(x+y)[a2(x-y)-4b].所以可以用提公因式法因式分解的是①②⑤⑥ . 　　3.【解析】选C.(-8)2014+(-8)2013 　　=(-8)×(-8)2013+(-8)2013 　　=[(-8)+1] (-8)2013 　　=(-7)×(-8)2013 　　=82013×7. 　　所以能被7整除. 　　4.【解析】原式=ab(3a-4). 　　答案:ab(3a-4) 　　5.【解析】(2x-21)(3x-7)-(3x-7)(x-13)=(3x-7)(2x-21-x+13)=(3x-7)(x-8), 　　则a=-7,b=-8,a+3b=-7-24=-31. 　　答案:-31 　　6.【解析】(1)3.982-3.98×3.97 　　=3.98×3.98-3.98×3.97 　　=3.98×(3.98-3.97)=3.98×0.01=0.0398. 　　(2)0.41×25.5+0.35×25.5+2.4×2.55 　　=0.41×25.5+0.35×25.5+0.24×25.5 　　=25.5×(0.41+0.35+0.2 4) 　　=25.5×1=25.5. 　　答案:(1)0.0398　(2)25.5 　　7.【解析】因为817-279-913=(34)7-(33)9-(32)13 　　=328-327-326=326(32-3-1) 　　=326×5=324×32×5=(32×5)×324=45×324, 　　又因为45×324必能被45整除, 　　所以817-279-913必能被45整除. 　　8.【解析】(1)原式=(2x-1)2(3x+2)+(2x-1)(3x+2)2+x(2x-1)(3x+2) 　　=(2x-1)(3x+2 )(2x-1+3x+2+x) 　　=(2x-1)(3x+2)(6x+1). 　　当x=1时,原 式=(2-1)(3+2)(6+1)=1×5×7=35. 　　(2)5x(m-2)-4x(m-2)=(m-2)(5x-4x)=x(m-2). 　　当x=0.4,m=5.5时,原式=0.4×(5.5-2)=0.4×3.5=1.4. 　　9.【解析】(1)原式=(1+a)(1+a)=(1+a)2. 　　(2)原式=(1+a)[1+a+a(1+a)]=(1+a)(1+a)(1+a)=(1+a)3. 　　(3)原式=(1+a)[1+a+a(1+a)+a(1+a)2] 　　=(1+a)(1+a)[1+a+a(1+a)] 　　=(1+a)2(1+a)(1+a) 　　=(1+a)4. 　　①由(1),(2),(3)的规律可知,1+a+a(1+a)+a(1+a)2+a(1+a)3+…+a(1+a)2014=(1+a)2015. 　　②原式=(1+a)[1+a+a(1+a)+a(1+a)2+…+a(1+a)n-1] 　　=(1+a)(1+a)[1+a+a(1+a)+a(1+a)2+…+a(1+a)n-2] 　　=(1+a)2(1+a)[1+a+a(1+a)+a(1+a)2+…+a(1+a)n-3] 　　… 　　=(1+a)n-1(1+a)(1+a)=(1+a)n+1. 看了"初一下册数学提公因式法试题及答案"的人还看： 1. 冀教版六年级上学期数学试卷 2. 六年级上册数学第3单元试卷及答案 3. 冀教版五年级上册数学第三单元试题及答案 4. 冀教版六年级上册数学期中试卷

(1) (1+x)^2010(2)(1+x)^(n+1)没给分，不写过程

辗转相除法用来求两个整数的最大公约数，而不是求多项式的因式。

设多项式f(x),g(x)满足f(x)=g(x)h(x)+r(x),其中h(x),r(x)也是多项式，r(x)的次数小于g(x)的次数，大于0。以g(x),r(x)代替f(x),g(x),重复上述过程：g(x)=r(x)h1(x)+r1(x)。辗转相除法， 又名欧几里德算法（Euclidean algorithm），是求最大公约数的一种方法。它的具体做法是：用较大数除以较小数，再用出现的余数（第一余数）去除除数，再用出现的余数（第二余数）去除第一余数，如此反复，直到最后余数是0为止。如果是求两个数的最大公约数，那么最后的除数就是这两个数的最大公约数。另一种求两数的最大公约数的方法是更相减损法。

①如果一个多项式各项有公因式，一般应先提取公因式；②如果一个多项式各项没有公因式，一般应思考运用公式、十字相乘法；如果多项式有两项应思考用平方差公式，如果多项式有三项应思考用公式法或用十字相乘法； 如果多项式超过三项应思考用分组分解法；③分解因式时必须要分解到不能再分解为止．

因式分解的一般步骤“一提”；先考虑是否有___公因式______,如果有___公因式_____,应先提___公因式_____；“二套”；再考虑能否运用公式进行因式分解，一般根据多项式的项数选择公式，二项式考虑用__平方差_______公式，三项式考虑用__完全平方______公式

把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解（也叫作分解因式）。提取公因式是因式分解，而且提取公因式法是因式分解常用的方法

(x+y)^3-(x-y)^2(x+y)=(x+y)[(x+y)^2-(x-y)^2]=(x+y)(x+y+x-y)(x+y-x+y)=4xy(x+y)

属于阿！是最基本的因式分解。

8a^3·b^2 + 12a·b^3 = 4a·b^2·(2a^2 + 3b)

-2(b-2a)^2+(2a-b)=-2(2a-b)^2+(2a-b)=(2a-b)(-4a+2b+1)

反正根据我的经验，如果这个题首先提完公因式以后还能用公式因式分解那你可能要自己想一下到底该怎么提，如果是因为提错了后面就无法因式分解了。如果这道题只是单纯的让你练习提取公因式的方法，那你就保证提完以后括号内各项系数都是整数

提取公因式法是因式分解的一种基本方法。如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来作为多项式的一个因式，提取公因式后的式子放在括号里，作为另一个因式。注意：多项式因式分解时要先观察有无公因式，如果有公因式要先提取，然后再根据括号里面的式子选择合适的方法继续因式分解，知道不能完全分解为止。敲黑板：因式分解一定要彻底！！定义：由m(a+b+c) = ma+mb+mc可得:ma+mb+mc =m(a+b+c)这样就把ma+mb+mc分解成两个因式乘积的形式,其中一个因式是各项的公因式m,另一个因式(a+b+c)是ma+mb+mc除以m所得的商,像这种分解因式的方法叫做提公因式法。看例题：分析：提取公因式的方法分为如下几步：①一看系数（系数取他们的最大公因数）②：二看字母（找相同字母）③三看指数（相同指数取最低的）练一练：

4. m（m-x）（n-x）5. 5m（x-y）�0�56. -2a�0�5(n-m)�0�67. a-b8. x(x+y)(-2xy)9. 不会。。10. (-) (35+42) 11.（1）.（a�0�5+b�0�5）(2x-3y)（2）. (a-b)(a-b-a+c+b+c) =2c(a-b)（3）. (a-b)(x-y)(m+n)（4）. （x-y-z）(x-y+z) （1）. 4(2x+y)�0�5(4x+2y-12)（2）. (x-y)�0�5(xy-yz+xz)（3）. 5ab(y-x)�0�5(7-5ab+2y-2x)（4）. a(y-x)�0�5�6�7(1-ay+ax+a�0�5)13.（1）. x�0�5(a+3)(3-4y) 当a=-0.5，x=3，y=1原式=-9x（-0.5+3）（3-4）=-22.5最后一题也说下，是1/7

4. m（m-x）（n-x）5. 5m（x-y）�0�56. -2a�0�5(n-m)�0�67. a-b8. x(x+y)(-2xy)9. 不会。。10. (-) (35+42) 11.（1）.（a�0�5+b�0�5）(2x-3y)（2）. (a-b)(a-b-a+c+b+c) =2c(a-b)（3）. (a-b)(x-y)(m+n)（4）. （x-y-z）(x-y+z) （1）. 4(2x+y)�0�5(4x+2y-12)（2）. (x-y)�0�5(xy-yz+xz)（3）. 5ab(y-x)�0�5(7-5ab+2y-2x)（4）. a(y-x)�0�5�6�7(1-ay+ax+a�0�5)13.（1）. x�0�5(a+3)(3-4y) 当a=-0.5，x=3，y=1原式=-9x（-0.5+3）（3-4）=-22.5最后一题也说下，是1/7

e^tanx=e^sinx e^(tanx-sinx)幂函数运算规则a，b趋于零时e^a-e^b=e^b(e^(a-b)-1)~1*(a-b)

定义：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式,这种变形叫做这个多项式的分解因式（分解因式为正式的逆运算） a的平方-4=（a+2）（a-2） 分解因式：（a+2）（a-2）=a的平方-4 提取公因式：1找多项式每项的公因式 2提公因式 注意问题：1每个括号多不能提 2每个括号的第一项不能提数 3数字的最大约数不一定为1 4（x-y）^2n=（y-x）^2n （x-y）^2n+1=-（y-x）^2n+1 -a+b=-（a-b） 5分解后答案不能有多重括号,每个括号都要化简 6数字和单个字母要写在最前面 7能变相同的要写相同因式 8求代数的值：先因式分解在求值 分离常数： 在含有两个量（一个常量和一个变量）的关系式（不等式或方程）中,要求常量的取值范围,可以将变量和常量分离（即变量和常量各在式子的一端）,从而求出常量的取值范围.这种方法可称为分离常数法.用这种方法可使解答问题简单化. 例如:Y=(ax+b)/(cx+d),(a≠0,c≠0,d≠0),其中a,b,c,d都是常数. 例:y=x/(2x+1).求函数值域 分离常数法,就是把分子中含X的项分离掉,即分子不含X项. Y=X/(2X+1)=[1/2*(2X+1)-1/2]/(2X+1) =1/2-1/[2(2X+1)]. 即有,-1/[2(2X+1)]≠0, Y≠1/2. 则,这个函数的值域是:{Y|Y≠1/2}. 十字相乘法 定义：1常数项是正数是,它分解成两个同号的因数,它们与一次项系数符号相同 2常数项是负数是,它分解成两个异号的因数,其中绝对值较大的因数与一次系数符号相同 例：x的平方+7x+10 （归纳一） 1 2 =（x+2）（x+5） 1 5 2+5=7 例：x的平方+3x-4 （归纳二） 1 4 =（x+4）（x-1） 1 -1 4+（-1）=3 Ax的平方+Bx+C=（A1x+C1）（A2x+C2） （ABC是常数）A1*A2=A C1*C2=C A1 C1 A2 C2 -------------- A2C1+A1C2=B 公式法：1平方差公式 2完全平方公式 平方差公式： 例：a的平方-4=（a+2）（a-2） （a+2）（a-2）=a的平方-4 注意：分解的结果不能为根号,如：x的平方-7y的平方 完全平方公式：首的平方加减2*首*尾+尾的平方 特点：1必须是三项式 2有两个“项”的平方（有两个“项”的符号相同） 3有这两“项”的2倍或-2倍 方法：分组分解法 如果整式是4项,分组方法有 2 2分 1 3分（必须是完全平方） 例：xa+bx+ya+by 2 2分 xa+bx+ya+by =（xa+bx）+（ya+by） =x（a+b）+y（a+b） =（a+b）（x+y） 1 3分 xa+bx+ya+by =（xa+ya）+（bx+by） =a（x+y）+b（x+y） =（a+b）（x+y） 5项：分组分解是2 3分 6项：分组分解是2 2 2分 3 2 1分 3 3分

甲:这是一个三次三项式”，可知这个多项式有ax^3;“乙:三次项系数为1”，可知a=1；“丙,这个多项式的各项有公因式”可知这个多项式有bx^2和cx；“丁:把这个多项式因式分解时要用到公因式”（注：这句话好象没什么意义）；因此，这个三次三项式是：x^3+bx^2+cx其中，x为未知数，a,b,c为常数；因式分解为：x(x^2+bx+c)甲:这是一个三次三项式”，可知这个多项式有ax^3;“乙:三次项系数为1”，可知a=1；“丙,这个多项式的各项有公因式”可知这个多项式有bx^2和cx；“丁:把这个多项式因式分解时要用到公因式”（注：这句话好象没什么意义）；因此，这个三次三项式是：x^3+bx^2+cx其中，x为未知数，a,b,c为常数；因式分解为：x(x^2+bx+c)的甲:这是一个三次三项式”，可知这个多项式有ax^3;“乙:三次项系数为1”，可知a=1；“丙,这个多项式的各项有公因式”可知这个多项式有bx^2和cx；“丁:把这个多项式因式分解时要用到公因式”（注：这句话好象没什么意义）；因此，这个三次三项式是：x^3+bx^2+cx其中，x为未知数，a,b,c为常数；因式分解为：x(x^2+bx+c)

差不多一样，只是顺推反推的道理

2(a一3)²一a+3=2(a一3)²一(a- 3)=(a-3)[2(a-3)-1]=(a-3)(2a-6-1)=(a-3)(2a-7)

简单说 1 系数取最大公因数 2 字母各项都要有 3 指数取最小

提取公因式只是因式分解的一个步骤，是将各项相同的因式提出作为一个乘项。因式分解是一个过程，是把多项式写成多项相乘的最简形式的过程。

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1. ax+by+ay+bx2. x^3+13. x^2+x^34. x^2+x^3-25. x^2-6x+86. x^2-12x+357. (x^3-1)+(x-1)(6x+11)8. x^4-19. x^4+410. b^2+ab+ac+bc11. x^3+y^3+z^3-3xyz12. x^6+8x^3+913. x^2-100x+9914. x^2-x-y^2-y15. 7x^2-19x-616. 8x^2-6x-917. x+1)(x+2)-1218. x^2+(p+q)x+pq19. 3x^3-6x^2+320. a^2(x－2a)^2－a(x－2a)^221. 25m^2－10mn＋n^222. x^2-3x-2823. y^4+2y^3-3y^224. (x－1)^2*(3x－2)＋(2－3x)25. (x－2)^2－x＋226. x^2-12x-2827. 12a^2*b(x－y)－4ab(y－x)28. a^2＋5a＋629. x^11-2x^10+x^930. x^2+x31. x^3+x32. x^4+x33. 100x^2+30xy+2y^234. 6y^2-16y+835. 6-7a-5a^236. 3x^2-17x+1037. 6a^2-11ab+3b^238. 2m^3+3m^2-5m39. (x+y)^2-2(x+y)-340. a^2-b^2+2ab-c^241. m^2+2mn+n^2-142. x^2-4y^2+4yz-z^243. 9x^2-4y^2-z^2+4yz44. -25+a^2+9b^2-6ab45. 2x^2-100x-10246. x^2*y^2-7xy+1047. x^2-x-2答案：1. (a+b)(x+y)2. (x+1)(x^2-x+1)3. x^2*(x+1)4. (x-1)(x^2-2x+2)5. (x-2)(x-4)6. (x-5)(x-7)7. (x-1)(x+3)(x+4)8. (x^2+1)(x-1)(x+1)9. (x^2-2x+2)(x^2+2x+x)10. (b+c)(b+a)11. (x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz)12. (x+1)(x^2-x+1)(x+2)(x^2-2x+4)13. (x-99)(x-1)14. (x+y)(x-y-1)15. (7x+2)(x-3)16. (2x-3)(4x+3)17. (x+5)(x-2)18. (x+p)(x+q)19. (x-1)(x^2-x-1)20. a(a-1)(x－2a)^221. (5m-n)^222. (x-7)(x+4)23. y^2(y-1)(y+3)24. x(x－2)(3x－2)25. (x-2)(x-3)26. (x-14)(x+2)27. 4ab(3a+1)(x-y)28. (a+2)(a+3)29. x^9*(x-1)^230. x(1+x)31. x(1+x^2)32. x(1+x)(1-x+x^2)33. 2(5x+y)(10x+y)34. 2(3y-2)(y-2)35. (3-5a)(a+2)36. (3x-2)(x-5)37. (2a-3b)(3a-b)38. m(m-1)(2m+5)39. (x+y-3)(x+y+1)40. (a+b-c)(a+b+c)41. (m+n+1)(m+n-1)42. (x+2y-z)(x-2y+z)43. (3x+2y-z)(3x-2y+z)44. (a-3b-5)(a-3b+5)45. 2(x-51)(x+1)46. (xy-5)(xy-2)47. (x-2)(x+1)48. -y(x-2)(x-4)答案：1. (a+b)(x+y)2. (x+1)(x^2-x+1)3. x^2*(x+1)4. (x-1)(x^2-2x+2)5. (x-2)(x-4)6. (x-5)(x-7)7. (x-1)(x+3)(x+4)8. (x^2+1)(x-1)(x+1)9. (x^2-2x+2)(x^2+2x+x)10. (b+c)(b+a)11. (x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz)12. (x+1)(x^2-x+1)(x+2)(x^2-2x+4)13. (x-99)(x-1)14. (x+y)(x-y-1)15. (7x+2)(x-3)16. (2x-3)(4x+3)17. (x+5)(x-2)18. (x+p)(x+q)19. (x-1)(x^2-x-1)20. a(a-1)(x－2a)^221. (5m-n)^222. (x-7)(x+4)23. y^2(y-1)(y+3)24. x(x－2)(3x－2)25. (x-2)(x-3)26. (x-14)(x+2)27. 4ab(3a+1)(x-y)28. (a+2)(a+3)29. x^9*(x-1)^230. x(1+x)31. x(1+x^2)32. x(1+x)(1-x+x^2)33. 2(5x+y)(10x+y)34. 2(3y-2)(y-2)35. (3-5a)(a+2)36. (3x-2)(x-5)37. (2a-3b)(3a-b)38. m(m-1)(2m+5)39. (x+y-3)(x+y+1)40. (a+b-c)(a+b+c)41. (m+n+1)(m+n-1)42. (x+2y-z)(x-2y+z)43. (3x+2y-z)(3x-2y+z)44. (a-3b-5)(a-3b+5)45. 2(x-51)(x+1)46. (xy-5)(xy-2)47. (x-2)(x+1)48. -y(x-2)(x-4)49. (x-y)(x+3y-1)50. (x-8)(x+1)49. (x-y)(x+3y-1)50. (x-8)(x+1)48. -x^2*y+6xy-8y49. x^2-9y^2-x+3y50. x^2-

1.a^4-4a+3 2.(a+x)^m+1*(b+x)^n-1-(a+x)^m*(b+x)^n 3.x^2+(a+1/a)xy+y^2 4.9a^2-4b^2+4bc-c^2 5.(c-a)^2-4(b-c)(a-b) 答案1.原式=a^4-a-3a+3=(a-1)(a^3+a^2+a-3) 2.[1-(a+x)^m][(b+x)^n-1] 3.(ax+y)(1/ax+y) 4.9a^2-4b^2+4bc-c^2=(3a)^2-(4b^2-4bc+c^2)=(3a)^2-(2b-c)^2=(3a+2b-c)(3a-2b+c) 5.(c-a)^2-4(b-c)(a-b) = (c-a)(c-a)-4(ab-b^2-ac+bc) =c^2-2ac+a^2-4ab+4b^2+4ac-4bc =c^2+a^2+4b^2-4ab+2ac-4bc =(a-2b)^2+c^2-(2c)(a-2b) =(a-2b-c)^2 1.x^2+2x-8 2.x^2+3x-10 3.x^2-x-20 4.x^2+x-6 5.2x^2+5x-3 6.6x^2+4x-2 7.x^2-2x-3 8.x^2+6x+8 9.x^2-x-12 10.x^2-7x+10 11.6x^2+x+2 12.4x^2+4x-3 解方程：（x的平方+5x-6）分之一=（x的平方+x+6）分之一 十字相乘法虽然比较难学,但是一旦学会了它,用它来解题,会给我们带来很多方便,以下是我对十字相乘法提出的一些个人见解。 1、十字相乘法的方法：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。 2、十字相乘法的用处：（1）用十字相乘法来分解因式。（2）用十字相乘法来解一元二次方程。 3、十字相乘法的优点：用十字相乘法来解题的速度比较快，能够节约时间，而且运用算量不大，不容易出错。 4、十字相乘法的缺陷：1、有些题目用十字相乘法来解比较简单，但并不是每一道题用十字相乘法来解都简单。2、十字相乘法只适用于二次三项式类型的题目。3、十字相乘法比较难学。 5、十字相乘法解题实例： 1)、 用十字相乘法解一些简单常见的题目 例1把m²+4m-12分解因式 分析：本题中常数项-12可以分为-1×12，-2×6，-3×4，-4×3，-6×2，-12×1当-12分成-2×6时，才符合本题 解：因为 1 -2 1 ╳ 6 所以m²+4m-12=（m-2）（m+6） 例2把5x²+6x-8分解因式 分析：本题中的5可分为1×5,-8可分为-1×8，-2×4，-4×2，-8×1。当二次项系数分为1×5，常数项分为-4×2时，才符合本题 解： 因为 1 2 5 ╳ -4 所以5x²+6x-8=（x+2）（5x-4） 例3解方程x²-8x+15=0 分析：把x²-8x+15看成关于x的一个二次三项式，则15可分成1×15，3×5。 解： 因为 1 -3 1 ╳ -5 所以原方程可变形（x-3）（x-5）=0 所以x1=3 x2=5 例4、解方程 6x²-5x-25=0 分析：把6x²-5x-25看成一个关于x的二次三项式，则6可以分为1×6，2×3，-25可以分成-1×25，-5×5，-25×1。 解： 因为 2 -5 3 ╳ 5 所以 原方程可变形成（2x-5）（3x+5）=0 所以 x1=5/2 x2=-5/3 2)、用十字相乘法解一些比较难的题目 例5把14x²-67xy+18y²分解因式 分析：把14x²-67xy+18y²看成是一个关于x的二次三项式,则14可分为1×14,2×7, 18y²可分为y.18y , 2y.9y , 3y.6y 解: 因为 2 -9y 7 ╳ -2y 所以 14x²-67xy+18y²= (2x-9y)(7x-2y) 例6 把10x²-27xy-28y²-x+25y-3分解因式 分析：在本题中，要把这个多项式整理成二次三项式的形式 解法一、10x²-27xy-28y²-x+25y-3 =10x²-（27y+1）x -（28y²-25y+3） 4y -3 7y ╳ -1 =10x²-（27y+1）x -（4y-3）（7y -1） =[2x -（7y -1）][5x +（4y -3）] 2 -（7y – 1） 5 ╳ 4y - 3 =（2x -7y +1）（5x +4y -3） 说明：在本题中先把28y²-25y+3用十字相乘法分解为（4y-3）（7y -1），再用十字相乘法把10x²-（27y+1）x -（4y-3）（7y -1）分解为[2x -（7y -1）][5x +（4y -3）] 解法二、10x²-27xy-28y²-x+25y-3 =（2x -7y）（5x +4y）-（x -25y）- 3 2 -7y =[（2x -7y）+1] [（5x -4y）-3] 5 ╳ 4y =（2x -7y+1）（5x -4y -3） 2 x -7y 1 5 x - 4y ╳ -3 说明:在本题中先把10x²-27xy-28y²用十字相乘法分解为（2x -7y）（5x +4y）,再把（2x -7y）（5x +4y）-（x -25y）- 3用十字相乘法分解为[（2x -7y）+1] [（5x -4y）-3]. 例7：解关于x方程：x²- 3ax + 2a²–ab -b²=0 分析：2a²–ab-b²可以用十字相乘法进行因式分解 解：x²- 3ax + 2a²–ab -b²=0 x²- 3ax +（2a²–ab - b²）=0 x²- 3ax +（2a+b）（a-b）=0 1 -b 2 ╳ +b [x-（2a+b）][ x-（a-b）]=0 1 -（2a+b） 1 ╳ -（a-b） 所以 x1=2a+b x2=a-b 5-7(a+1)-6(a+1)^2 =-[6(a+1)^2+7(a+1)-5] =-[2(a+1)-1][3(a+1)+5] =-(2a+1)(3a+8); -4x^3 +6x^2 -2x =-2x(2x^2-3x+1) =-2x(x-1)(2x-1); 6(y-z)^2 +13(z-y)+6 =6(z-y)^2+13(z-y)+6 =[2(z-y)+3][3(z-y)+2] =(2z-2y+3)(3z-3y+2). 比如...x^2+6x-7这个式子 由于一次幂x前系数为6 所以，我们可以想到，7-1=6 那正好这个式子的常数项为-7 因此我们想到将-7看成7*（-1） 于是我们作十字相成 x +7 x -1 的到（x+7）·（x-1） 成功分解了因式 3ab^2-9a^2b^2+6a^3b^2 =3ab^2(1-3a+2a^2) =3ab^2(2a^2-3a+1) =3ab^2(2a-1)(a-1) 5-7(a+1)-6(a+1)^2 =-[6(a+1)^2+7(a+1)-5] =-[2(a+1)-1][3(a+1)+5] =-(2a+1)(3a+8); -4x^3 +6x^2 -2x =-2x(2x^2-3x+1) =-2x(x-1)(2x-1); 6(y-z)^2 +13(z-y)+6 =6(z-y)^2+13(z-y)+6 =[2(z-y)+3][3(z-y)+2] =(2z-2y+3)(3z-3y+2). 比如...x^2+6x-7这个式子 由于一次幂x前系数为6 所以，我们可以想到，7-1=6 那正好这个式子的常数项为-7 因此我们想到将-7看成7*（-1） 于是我们作十字相成 x +7 x -1 的到（x+7）·（x-1） 成功分解了因式 3ab^2-9a^2b^2+6a^3b^2 =3ab^2(1-3a+2a^2) =3ab^2(2a^2-3a+1) =3ab^2(2a-1)(a-1) x^2+3x-40 =x^2+3x+2.25-42.25 =(x+1.5)^2-(6.5)^2 =(x+8)(x-5)． ⑹十字相乘法 这种方法有两种情况。 ①x^2+(p+q)x+pq型的式子的因式分解 这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和。因此，可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：x^2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) ． ②kx^2+mx+n型的式子的因式分解 如果如果有k=ac，n=bd，且有ad+bc=m时，那么kx^2+mx+n=(ax+b)(cx+d)． 图示如下： a b × c d 例如：因为 1 -3 × 7 2 -3×7=-21，1×2=2，且2-21=-19， 所以7x^2-19x-6=(7x+2)(x-3)． 十字相乘法口诀：首尾分解，交叉相乘，求和凑中 ⑶分组分解法 分组分解是解方程的一种简洁的方法，我们来学习这个知识。 能分组分解的方程有四项或大于四项，一般的分组分解有两种形式：二二分法，三一分法。 比如： ax+ay+bx+by =a(x+y)+b(x+y) =(a+b)(x+y) 我们把ax和ay分一组，bx和by分一组，利用乘法分配律，两两相配，立即解除了困难。 同样，这道题也可以这样做。 ax+ay+bx+by =x(a+b)+y(a+b) =(a+b)(x+y) 几道例题： 1. 5ax+5bx+3ay+3by 解法：=5x(a+b)+3y(a+b) =(5x+3y)(a+b) 说明：系数不一样一样可以做分组分解，和上面一样，把5ax和5bx看成整体，把3ay和3by看成一个整体，利用乘法分配律轻松解出。 2. x3-x2+x-1 解法：=(x3-x2)+(x-1) =x2(x-1)+(x-1) =(x-1)(x2+1) 利用二二分法，提公因式法提出x2，然后相合轻松解决。 3. x2-x-y2-y 解法：=(x2-y2)-(x+y) =(x+y)(x-y)-(x+y) =(x+y)(x-y+1) 利用二二分法，再利用公式法a2-b2=(a+b)(a-b)，然后相合解决。 758²—258² =(758+258)(758-258)=1016*500=508000

最大公约数,低

（1）多项式 的公因式是（ ）； （2）多项式 的公因式是（ ） （1）2xy 2 ；（2）2y

一般来说是在实数域中的概念 (x-1)(x^2+1) 与(x^2+1)(x-2)最大公因式是（x^2+1) (x-1)(x^2+1) 与（x-1） 最大公因式就是(x-1) 第一个公因式是（x^2+1) 是因为它在实数域属于不可分多项式

多项式各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。

两个分数或分式都有的分母叫公分母.都有的因式叫公因式 比如说对于 1 1 ---- 和 ----- 2xy 4yz 公分母是2y 对于2XY和4YZ,公因式是2y

在一个式子中具有公共的元素

最大公因式的提取方法:系数取分子和分母系数的最大公约数,字母取分子和分母共有的字母,指数取公共字母的最小指数,即为它们的公因式.

设f（x）、g（x）是两个多项式,若多项式r（x）满足：r（x）是f（x）、g（x）的公因式； f（x）、g（x）的任意一个公因式都是r（x）的因式.则称r（x）是f（x）和g（x）的一个最大公因式.

您好，我举个简单的例子，x(x＋1)＋x(x＋2)而公因式就是提出加减号两边共有的因式，即x(x＋1＋x＋2)，祝您愉快

2(x-1)+(x+1)(x-1)-(x-1）²这个式子一共有三项，而且每一项中都含有因式（x-1).我们把这个所有项共有的因式叫公因式。希望能帮你明白。

多项式中各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式a(x-y)-b(x-y)中的(x-y）即为公因式

多项式各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式（commonfactor）.最大公因式的提取方法:系数取分子和分母系数的最大公约数,字母取分子和分母共有的字母,指数取公共字母的最小指数,即为它们的公因式. 公因式

这是指最大公因式。说如果存在p（x），q（x），使得d（x）=p（x）f（x）+q（x）g（x），那么d（x）就是f（x）、g（x）的最大公约式。d（x）为f（x）与g（x）的一个组合。可设d（x）=mf（x）+ng（x），其中m，n是常数。设p（x）是f（x）与g（x）的任意的公因式，则p（x）|d（x）。由d（x）|f（x），d（x）|g（x）知d（x）是f（x）与g（x）的公因式。∴d（x）是f（x）与g（x）的最高公因式。基本内容一个多项式中每一项都含有的相同的因式，叫做这个多项式各项的公因式，如果一个多项式的各项含有公因式，那么可以把公因式提取出来进行因式分解，这种因式分解的方法叫做提取公因式法。把一个多项式化成了几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。公因式的确定方法：提取的公因式的是各项系数的最大公约数与各项都含有的相同字母的最低次数幂的积。

如果多项式是第一项系数是负数时，应把公因式的符号“-”提取。取多项式各项系数的最大公约数为公因数的系数。把多项式各项都含有的相同字母（或因式）的最低次幂的积作为公因式的因式。 概念 最大公因式的提取方法:系数取分子和分母系数的最大公约数,字母取分子和分母共有的字母,指数取公共字母的最小指数,即为它们的公因式. 公式 一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法. 具体方法:当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数;字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的;取相同的多项式，多项式的次数取最低的。 如果多项式的第一项是负的，一般要提出"-"号，使括号内的第一项的系数成为正数。提出"-"号时，多项式的各项都要变号。 例题:3x+6+x+y+xy+1 =3(x+2)+(x+xy)+(y+1) =3(x+2)+x(1+y)+(y+1) =3(x+2)+x(1+y)+(1+y) =3(x+2)+(x+1)(y+1) 可见提公因式法也是需要一定的技巧。 再看一道例题:(y-x) 2 +y-x =(y-x) 2 +(y-x)------=a 2 +a =(y-x)(y-x+1)------=a(a+1) 也可以通过展开来验证 例题:a(a+1) =(a×a)+(1×a) =a 2 +a 注意:如果多项式的第一项是负的，一般要提出负号，使括号内第一项系数是正的。 例题:-6x+4y =-2(3x-2y) 口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守;提负要变号，变形看奇偶。

多项式各项都含有的公共的因式叫做这个多项式的公因式

三年级语文十四课练习册

公因式是只有多项式才有的，是指这个多项式中各项都具有的公共因式。它可以是一个单项式，也可以是一个多项式，还可以是一个单项式与一个多项式的积。公因式的求法：系数：各项系数的最大公约数；字母：各项都含有的字母；指数：相同字母的最低次幂。

如果公因式是单项式，那么公因式可能不止一个。当多项式中各项的系数是正整数时，在有理数范围内谈到它各项的公因式，是指寻找这样的公因式：它的系数必须是这个多项式中各项系数的最大公约数，它所具有的字母必须是这个多项式中各项都具有的公共字母，每个字母的指数必须是这个多项式中各项所含的同一字母的最低次幂的指数。一句话，就是各项系数的最大公约数与各项所含的相同字母的最低次幂的积。如果多项式f(x)能够被非零多项式g(x)整除，即可以找出一个多项式g(x)，使得f(x)=q(x)·g(x)，那么g(x)就叫做f(x)的一个因式。当然，这时q(x)也是f(x)的一个因式，并且q(x)、g(x)的次数都不会大于f(x)的次数。

多项式各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式,不单单指一个式子里面相同的字母. 比如说下面的式子 （a+b）（a+c）+（a+b）（a+d） 那么相同的部分是（a+b）,这就是这个式子的一个公因式； 公因式是一个式子里面的字母也有可能： ab+ac,那么a就是这个多项式的公因式. 说白了,公因式就是能提取的部分.

在一个式子中具有公共的元素 希望采纳

多项式各项都含有的公共的因式叫做这个多项式的公因式,举例如a^2+a，这个多项式的两项都含有a，所以a就是他的公因式。

多项式各项都含有的公共的因式叫做这个多项式的公因式,举例如a^2+a，这个多项式的两项都含有a，所以a就是他的公因式。

多项式各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式（common factor）. 　　最大公因式的提取方法:系数取分子和分母系数的最大公约数,字母取分子和分母共有的字母,指数取公共字母的最小指数,即为它们的公因式.提取公因式法　　一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法. 　　具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的。 　　如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数。提出“-”号时，多项式的各项都要变号。 　　例题： 3x+6+x+y+xy+1 　　=3（x+2）+（x+xy）+（y+1） 　　=3(x+2)+x（1+y）+（y+1） 　　=3(x+2)+（x+1）（y+1） 　　可见提公因式法也是需要一定的技巧。 　　再看一道例题：（x-y）^2+y-x 　　=(y-x)^2+(y-x) (技巧就在这一步) 　　=(y-x+1)(y-x) 　　注意：如果多项式的第一项是负的，一般要提出负号，使括号内第一项系数是正的。防止学生出现诸如： 　　－9x2+4y2 　　=（－3x）2－（2y）2 　　=（－3x+2y）（－3x－2y） 　　=（3x－2y）（3x+2y）的错误。　 　　口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶。

多项式各项都含有的公共的因式，就叫做公因式。提取公因式法一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的。如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数。提出“-”号时，多项式的各项都要变号。注意：如果多项式的第一项是负的，一般要提出负号，使括号内第一项系数是正的。例题:－6x+4y=－2(3x－2y)口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看

多项式各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式（common factor）. 　　最大公因式的提取方法:系数取分子和分母系数的最大公约数,字母取分子和分母共有的字母,指数取公共字母的最小指数,即为它们的公因式. 提取公因式法　　一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法. 　　具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的。 　　如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数。提出“-”号时，多项式的各项都要变号。 　　例题： 3x+6+x+y+xy+1 　　=3（x+2）+（x+xy）+（y+1） 　　=3(x+2)+x（1+y）+（y+1） 　　=3(x+2)+（x+1）（y+1） 　　可见提公因式法也是需要一定的技巧。 　　再看一道例题：（x-y）^2+y-x 　　=(y-x)^2+(y-x) (技巧就在这一步) 　　=(y-x+1)(y-x) 　　注意：如果多项式的第一项是负的，一般要提出负号，使括号内第一项系数是正的。防止学生出现诸如： 　　－9x2+4y2 　　=（－3x）2－（2y）2 　　=（－3x+2y）（－3x－2y） 　　=（3x－2y）（3x+2y）的错误。　 　　口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶。 望采纳O(∩_∩)O~

多项式各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式.　　最大公因式的提取方法:系数取分子和分母系数的最大公约数,字母取分子和分母共有的字母,指数取公共字母的最小指数,即为它们的公因式.

多项式各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式.例如（x-y）^2+y-x =(y-x)^2+(y-x) (y-x就是公因式）=(y-x+1)(y-x)

就是分式的分子分母中相同的因式再通俗点举例：就是分数一样，分子分母中可以约分的因数........................................................分式中，分子分母可以约分的因式，叫公因式。

多项式各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式多项式15x(x+y)²-5x²(x+y) 都含有5x(x+y)15x(x+y)²=5x(x+y)×3(x+y)5x²(x+y)=5x(x+y)×x都含有 5x(x+y)所以公因式是5x(x+y)

什么是一个多项式的公因式答：多项式中各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式a(x-y)-b(x-y)中的(x-y）即为公因式

答案：-2xy 解析： 　 提示： 多项式各项的公因式是系数的最大公约数与相同字母最低次幂的乘积，此多项式的第一项的系数是负数，应把“－”号一起提出．

多项式各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式，不单单指一个式子里面相同的字母。比如说下面的式子（a+b）（a+c）+（a+b）（a+d）那么相同的部分是（a+b），这就是这个式子的一个公因式；公因式是一个式子里面的字母也有可能：ab+ac，那么a就是这个多项式的公因式。说白了，公因式就是能提取的部分。

3X括号3平方减x减3括号

9 原式=3x(1+2x)(1-2x)10 原式=-2a(a-3)^211 原式=(x-y)^212 原式=3(2a+b)(a-b)

找公因式的方法若分子分母都是单项式时，相同的字母就是公因式；当分子分母都是多项式时，首先将分子分母进行因式分解，然后找出相同的因式。公因式的概念和公约数类似。多项式中每一项都有的因式叫做这个多项式的公因式。公因式的确定和公约数的确定差不多，为了能够把所有公因式一网打尽，确定公因式时按下列三步进行：1、确定系数。公因式的系数取各项系数(不必考虑符号)的最大公约数。2、确定字母。公因式的字母因式取各项都有的字母。3、确定指数。公因式的字母因式的指数取该字母在各项中的最小指数。

一般是问两个数的最大公因式，就是两个数的相同的因式中最大的那个

两个分数或分式都有的分母叫公分母.都有的因式叫公因式 比如说对于 1 1 ---- 和 ----- 2xy 4yz 公分母是2y 对于2XY和4YZ,公因式是2y

公因式，即多项式各项都含有的相同因式。

怎样判断两个因式之间是否有公因式【如果两个因式取一个共同的值，使得两个因式同时为0，则它们有公因式】【例：】【1】x^2+x-2,【2】2x^2+x-3x=1,【1】=0，【2】=0则它们有公因式【x-1】

最大公因式有两个含义：第一，首先是公因式；第二，又是所有公因式的倍式，即体现“最大性”。两多项式的最大公因式一定存在且不唯一，但是首项系数为1的最大公因式是唯一的。求最大公因式可以用辗转相除法来得到。

都有的因式叫公因式

找公因式的方法:一找系数的最大公约数,二找相同字母的最低指数次幂.的公因式是.本题主要考查公因式的确定,掌握找公因式的正确方法是解题的关键.

这是指最大公因式。说如果存在p（x），q（x），使得d（x）=p（x）f（x）+q（x）g（x），那么d（x）就是f（x）、g（x）的最大公约式。d（x）为f（x）与g（x）的一个组合。可设d（x）=mf（x）+ng（x），其中m，n是常数。设p（x）是f（x）与g（x）的任意的公因式，则p（x）|d（x）。由d（x）|f（x），d（x）|g（x）知d（x）是f（x）与g（x）的公因式。∴d（x）是f（x）与g（x）的最高公因式。基本内容一个多项式中每一项都含有的相同的因式，叫做这个多项式各项的公因式，如果一个多项式的各项含有公因式，那么可以把公因式提取出来进行因式分解，这种因式分解的方法叫做提取公因式法。把一个多项式化成了几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。公因式的确定方法：提取的公因式的是各项系数的最大公约数与各项都含有的相同字母的最低次数幂的积。

多项式中各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式a(x-y)-b(x-y)中的(x-y）即为公因式

每个多项式中都有的式子 例如：3x的平方+6x ,公因式为3x 把上面那个多项式的每个单项式分解开来,都包含3x 不知道这样解释能明白吗?