贝贝-
按题意，1班至少有1名老师，2班至少有2名老师，3班至少有3名老师，
则，从3班分起，可分3～7名老师；
若分7名老师给3班，则有C7 10种方案，在这7名老师人选确定后，余下3位分别分2个给2班、1个给1班，共有C2 3种方案，整体有C7 10×C2 3种方案；
若分6名老师给3班，则有C6 10种方案，在这6名老师人选确定后，余下4位可分2个给2班、2个给1班，共有C2 4种方案，也可分3个给2班、1个给1班，共有C3 4种方案，整体共有C6 10(C2 4+C3 4)种方案；
若分5名老师给3班，则有C5 10种方案，在这5名老师人选确定后，余下5位，可分2个、3个或4个给2班，余下的全给1班，分别有C2 5、C3 5、C4 5种方案，整体共有C5 10(C2 5+C3 5+C4 5)种方案；
若分4名老师给3班，则有C4 10种方案，在这4名老师人选确定后，余下6位，可分2个到5个给2班，余下的全给1班，整体可有C4 10(C2 6+C3 6+C4 6+C5 6)种方案；
若分3名老师给3班，照前法整体可有C3 10（C2 7+C3 7+C4 7+C5 7+C6 7)种方案；
因此，总共可得10个优秀老师的分配方法：
C7 10×C2 3+C6 10(C2 4+C3 4)+C5 10(C2 5+C3 5+C4 5)+C4 10(C2 6+C3 6+C4 6+C5 6)+C3 10（C2 7+C3 7+C4 7+C5 7+C6 7)=34800（种）
PS. 因计算器功能限制，最终结果半为手算，可自行验证。
再PS. 点评楼上答案
z__sky的方法是以老师为线索，再扣除不合要求的方案，但首先是每个老师有3个自由选择，一个老师选完再下一个老师选班，共选10次，因此应为3的10次方，而且要扣除的每种情况互有重叠，会造成重复扣除，应将重复情况再行列出并加上。而且列出所要扣除的情况也不完备。
sxzh135122所列举的15种方案只是名额分配方案，不涉及具体人选，相信未符题意。
北境漫步-
每个老师可以去3个班，有3种选择，10个老师总共3的10次方种分配方法，即59049种
若1班没有老师，有2的10次方即1024种分配方法
若2班没有老师或只有一个老师，有1024+10*512=6144种分配方法
若3班没有老师或只有一个老师或只有两个老师，有6144+10*9*256=29184种分配方法
所以若名额不少于班级序号数，共有59049-1024-6144-29184=22697种不同的分配方法
nicehost-
先进行全分,每个老师可以进任意班级,所以是3^10,后减去名额少于班级数的,1班分0个,2班分0,1个,3班分0,1,2个,
1班分0个时:有10*10种
2班分0个,有10*10
2班分1个,有10*9*8
3班分0个,有10*10
3班分1个.有10*9*8
3班分2个,有(10*9/2)*8*7
共有3^10-10*10-10*9*8-10*10-10*9*8-(10*9/2)*8*7=54889种
OK?
牛云-
1,2,7 1,3,6 1,4,5 1,5,4 1,6,3
2,2,6 2,3,5 2,4,4 2,5,4
3,2,5 3,3,4 3,4,3
4,2,4 4,3,3
5,2,3
共15种
LocCloud-
先给1班1个老师C1 10=10 GEI 2班2个老师C2 10=45 给3班3个老师C3 10=120 其他4个老师有3个4次方中分法 不计算每个老师教的科目
答案就是10*45*120*81
S笔记-
10*C9 2+10*C9 3+10*C9 4+10*C9 5+10*C9 6
+C10 2*C8 2+C10 2*C8 3+C10 2*C8 4+C10 2*C8 5
+C10 3*C7 2+C10 3*C7 3+C10 3*C7 4
+C10 4*C6 2+C10 4*C6 3
+C10 5*C5 2=?
阿啵呲嘚-
2041200个,这是排列组合问题吧