高中数学问题求教

幂函数的定义域类型最多的。一般用观察法和转化为根式法比如y=x^3 观察法x属于Ry=x^3/2=vx^3x^3>=0x>=0

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实数的计算方法，就是加减乘除，再加上对、反、幂、三、指。对数函数反三角函数幂函数三角函数指数函数

分裂的个数都是以2为底数的幂函数，把分裂的次数带到指数上进行计算就可以得出当时分裂后细胞的个数

两个数都是无穷小，可以比较相对大小，这部分的内容一般与求极限相联系。无穷小量的阶的比较是考研数学频率较高的考点之一，该题型不但以客观题（选择题和填空题）的形式出现，还常以解答题的形式出现，并且常常和带有参数的极限问题结合在一起考查。除此之外，还以未定式极限的计算，正项级数和反常积分的敛散性判断等方面来考察该知识点。对于这类题，一般的解题思路是：先利用高阶、同阶和等价无穷小等定义将问题转化为极限计算问题或和某个幂函数的等价问题。无穷小比较策略与方法：（1）定义法：利用上述定义将问题转化为（带有参数）的极限为，然后利用相关极限计算方法进行求解。（2）和幂函数比较法：通过无穷小等价替换，泰勒公式等运算将每个无穷小都等价于某个幂函数，然后通过这些幂函数阶的高低进行比较。

用电脑，当然肯定也没有准确的解

第一件事情是要问明白计算LTV的目的是什么。如果你有一款基于免费模式的手游，那么毫无疑问用户终身价值就是该款游戏的主要KPI。以下是原因：  • 在设计阶段，先要做Benchmark分析，你需要估算跟你游戏类似的LTV及他们的CPI，以确保项目能有足够的投入预算。换言之，你需要先保证项目最后能赚钱。  • 当进入试运营（soft launch)阶段，你需要测算并不断优化LTV，以确保它能超过预期的CPI。  • 在市场推广阶段，你需要定位到CPI＜LTV的目标用户群体，只要这个条件一直满足，就应该不断往里面增加投入。 设计阶段的“原始”LTV计算 游戏发布之前是没有真实数据的，只要一些假设数据即可。因此，你需要使用“原始”的计算方法 ，即简单地将ARPDAU乘以单个用户的预期生命时间即可 。 举例：ARPDAU * Lifespan = 0.05 * 26 = 1.3 分析 输入： • ARPDAU • 预期的用户生命周期：用户有可能使用APP的时间长度。可以基于其他app进行估算，或者追踪用户直到他不再出现在游戏里 输出： 预计每用户的LTV 优势： • 简单 • 有利于了解用户LTV 劣势： • 方法太过简单，且只假设所有用户在同一时间内均留存 • 无法提前得知用户会留存多久 试运营阶段需要建造用户留存模型 在试运营阶段，你需要一个不同的方式。此阶段的情况已经变了，因为你已经有了关于游戏留存率和付费情况的数据。 具体需要ARPDAU和至少下列的留存率数据：次日、7日、14日和30日 。建造留存率模型是一个复杂的数学测试，它需要用到统计回归、对数函数和积分运算。 计算方式 假设留存函数是 y=a*x^b的幂函数，其中x为使用天数，a和b是模型的系数。首先预估的是180天内的留存率。它使用了第2天、7天、14天、30天和180天的加权系数，加权值为：2.5、7、12、57.5、100（顺序对应）。基于LTV公式的加权系数比在幂函数求积分更简单，对于精确度的影响也没有那么大。当用户生命周期计算好后，用ARPDAU乘以生命周期即可轻松计算出LTV值。 举例：ARPDAU * lifespan = 0.155 * 9.02 = 1.40 分析 输入 ： • 次日、7天、14天、30天的留存 • ARPDAU（前30天） 输出 ： • 用户预期的生命周期：所有用户的留存总和 （用户数 * 天数） • 180天的LTV 优势 ： • 简单 • 几乎与更复杂的模型一样准确 劣势 ： • 30天的留存率加权过重 • 以ARPDAU不变为前提进行的假设 市场推广阶段的细分LTV计算 当你的游戏准备问世时，你将会对于终身价值的计算有新的需求。此阶段与广告投放和用户获取有关， 目标就是让LTV高于CPI 。但并不是所有用户都要满足这个条件，只要找到某些指定的细分用户满足即可。当你找到这些细分，就可以“有的放矢”地加大投放力度。之前的LTV计算方法都是基于一个全新产品的假设，历史数据是有限的。当来到市场投放的阶段，产品数据应该在其中一个细分群体积累了6个月（一般指自然量）。基于现有细分群体的数据，就可以预估新的细分的LTV值。 这个对于新用户的计算方法需要对比前7天的新用户和现存用户基础，然后将同样的比率应用于现有的LTV 。 计算方式 假设A项与B项7天的收益比率会反映其在LTV的比率 。举例，假如你有一个新的流量来源在前7天有0.5美元的ARPU，正常来说你能在前7天看到1美元，那么新的流量来源就是你正常LTV的一半。这非常直观，实际上改预测方法也被许多先进的模型支持。该计算方式有两步： 算出7天内收益数据间的比率 将同样的比率用到LTV中 举例：7天内收益比率 * LTV = 0.95 * 2.5 = 2.38 分析 输入： 现有部分的训练数据 （主要用来训练LTV计算模型） 现有细分用户的ARPU：第1天到第7天 现有细分用户的LTV: 180天 新细分数据 新细分用户的ARPU：第1天到第7天 输出： 新细分用户的LTV 优势： 简单 最准确的模式之一 劣势： 需要现有细分的180天数据 高级LTV细分计算 第三种计算方式假设有180天的数据，而这有时候是不可能的。这时从现有细分的90天数据来建立现有细分的180天LTV模型，然后利用相同的比率方法来计算新细分的LTV。 这个计算方法的数据来自现有细分（如自然流量）来调整最初90天的模型，并利用模型功能来预估第90天到第180天的生命值。 计算方式 该模型有2个步骤 步骤1：估算180天的LTV 把最初90天的已知ARPU与91-180天的预估ARPU相结合即可得到。这个估算是用90天的ARPDAU乘以90天到180天的用户预期生命时间。 步骤2：应用比例 当我们有预估的现有细分180天LTV数据，就可以用一个简单的比例来估算新细分的LTV： 用新细分的7天ARPU除以现有细分的7天ARPU 将相同比例应用到现有细分的180天LTV 所得结果即是新细分的180天LTV 分析 输入： 现有细分的训练数据 现有细分的用户ARPU：第1天至第7天 现有细分的用户ARPU：第1天至第90天 现有细分的7天留存率 现有细分的90天留存率 现有细分的ARPDAU：第75天到90天 细分数据 新细分用户的ARPU：第1天至第7天 输出： LTV 优势 ： 更新的游戏app也可以使用该计算方法 非常精确 劣势 ： 有点复杂 如果你有新细分超过7天的数据，那你实际上可以使用任何日期的数据，只要你能将其应用到7天的现有细分和新细分数据里。 在现有细分的7天ARPU中输入第N天的现有细分ARPU 在新细分的7天ARPY中输入第N天的新细分ARPU 总结： 1.计算LTV的“原始”方法 ARPDAU * Lifespan。 2.生命周期计算模型（简化版） “原始”方法的缺点是不能算出预期的生命周期长度。计算的方法会有点复杂。你需要收集用户在APP的留存数据，用上面的幂函数公式求积分算出来。当然，更简单的方法是通过加权平均的方法进行估算（参考上面“试运营”的例子），而且结果的精准度并不会相差太远。 3.类推法则：用现有的细分历史数据类推新的细分用户LTV 这个是很多游戏公司采取的方法。它计算出现有180天的LTV，用新细分的7天ARPU除以现有细分的7天ARPU，得出来的比例应用到现有细分的180天LTV中，结果即是新细分的180天LTV。这样，即使没有180天的数据，也能通过现有细分的数据计算LTV。 这个计算方式融合了前两种的技巧。即使没有180天的数据，也可以利用现有细分的数据。这个计算方式使用了现有细分的部分数据来计算新细分的LTV。 等待至少90天的ARPDAU数据 使用该数据建立每日每平均用户财务积累Master Chart图表 计算90天内的流失率，将该比率应用到90日天之后的数据，得到180天的LTV，以此推算90天之后的Master Chart图表走向 用现有LTV来估算新细分：用前7日新细分收益与Master Chart内的数据作对比 4.用数据表计算留存率模型、收益函数模型 此方法假设留存率是一个幂函数（y=a*x^b)，并且ARPDAU是恒定的。以下是关于该数据表的更多细节。 它假设收益函数是对数函数。表格示例图如下： 手游开发者面临的最大难题之一就是计算app的LTV。在网上搜索能查到很多答案，但大多数晦涩难懂。原因就在于建立LTV模型非常困难，尤其是在不了解用户行为、数据不充分的情况下。本文推荐了几种不同计算方法，开发者们可以根据自身具体情况做出合适的选择。

问题出在微元法的运用中出现了问题。分子是不能任意取近似的，否则可能算出错误结果，一旦进行加和可能出现放大的错误；尤其是涉及到对含根号或其他幂次的项进行近似时，那么必然出现微元的系数不一定还是1的问题。而且对于无限的距离进行无限次分割，不能保证分割的单元一定是微元，也可能是有限长度，因为有限长度乘以无限次，得到的也是无限距离。只有对有限距离进行无限次分割，才能一定得到无限小的微元。所以在计算中应牢牢把握 ∆R=Ri-Ri+1是无限小的微元这一点，而不只是要求n趋向＋∞，才能把质点从第i段到第i+1段的过程中引力看作一恒力。这里，Wi=Fi*(Ri-Ri+1)=k*∆R/Ri^(3/2) 分子中含有微元，就不能随意对分子和分母作近似Ri≈Ri+1；像书上的答案那样做近似是缺乏根据的，很容易得到错误结果，尤其是涉及到了对根号下的项进行近似，那么必然出现微元的系数的问题。应该设法使计算中的近似造成的影响可以消除。正确的做法如以下三种：(1)对于微元x<<1，√(1-x)-1=[√(1-x)-1]*[√(1-x)+1]/[√(1-x)+1]=(1-x)-1/[√(1-x)+1]≈-x/2，因为分母的微小变化不会对结果产生不可忽略影响，故实际上有√Ri*(√Ri-√Ri+1)=√Ri*√Ri*[1-√(Ri+1/Ri)]=Ri{1-√[(Ri-∆R)/Ri)]}=Ri[1-√(1-∆R/Ri)]≈Ri[1-(1-0.5∆R/Ri)]=∆R/2所以 (Ri-Ri+1)=∆R≈2√Ri*(√Ri-√Ri+1)则 Wi=Fi*(Ri-Ri+1)=k/(√Ri*√Ri*√Ri+1)*2√Ri*(√Ri-√Ri+1)=2k/√Ri+1-2k/√Ri所以W总=lim(n→+∞)∑（i=1到n）Wi=2k/√a(2)由于[(1/√Ri+1)-(1/√Ri)]/(Ri+1-Ri)=[(1/√Ri+1)-(1/√Ri)]/(-∆R)=[(1/√Ri+1)-(1/√Ri)]*[(1/√Ri+1)+(1/√Ri)]/{-∆R[(1/√Ri+1)+(1/√Ri)]}=[(1/Ri+1)-(1/Ri)]/{-∆R[(1/√Ri+1)+(1/√Ri)]}=[(Ri-Ri+1)/(Ri*Ri+1)]/{-∆R[(1/√Ri+1)+(1/√Ri)]}=∆R/{-∆R*(Ri*Ri+1)*[(1/√Ri+1)+(1/√Ri)]}=-1/{(Ri*Ri+1)*[(1/√Ri+1)+(1/√Ri)]}因为上式分子只含有限值，所以∆R趋向0时，分母中中的微元可忽略不计，即这时可用 Ri 代替 Ri+1，得到[(1/√Ri+1)-(1/√Ri)]/(-∆R)=-1/[2Ri^(3/2)]，即∆R/Ri^(3/2)=2[(1/√Ri+1)-(1/√Ri)]于是 Wi=Fi*(Ri-Ri+1)=k*∆R/Ri^(3/2)=2k[(1/√Ri+1)-(1/√Ri)]对所有微元加和，可得到：W总=lim(n→+∞)∑（i=1到n）Wi=2k/√a(3)对于这个题目，还可以采用邻近含微元项平均值法，使计算中的近似造成的影响得以消除，即把 Wi=Fi*(Ri-Ri+1)=k*∆R/Ri^(3/2) 的分母 Ri^(3/2) 化为 (Ri*Ri+1)*[(1/√Ri+1)+(1/√Ri)]/2=[(Ri*√Ri+1)+(Ri+1*√Ri)]/2，从而得到：Wi=Fi*(Ri-Ri+1)=k*∆R/Ri^(3/2)=k*∆R/{[(Ri*√Ri+1)+(Ri+1*√Ri)]/2}=2k*∆R/{(Ri*Ri+1)*[(1/√Ri+1)+(1/√Ri)]}=2k*∆R*[(1/√Ri+1)-(1/√Ri)]/{(Ri*Ri+1)*[(1/√Ri+1)+(1/√Ri)]*[(1/√Ri+1)-(1/√Ri)]}=2k*∆R*[(1/√Ri+1)-(1/√Ri)]/{(Ri*Ri+1)*[(1/Ri+1)-(1/Ri)]}=2k*∆R*[(1/√Ri+1)-(1/√Ri)]/(Ri-Ri+1)=2k*[(1/√Ri+1)-(1/√Ri)]对所有微元加和，可得到：W总=lim(n→+∞)∑（i=1到n）Wi=2k/√a

定积分的分部积分法意思如下：所谓的分部积分法，主要是将不易直接求结果的积分形式，转化为等价的易求出结果的积分形式的方法，就是常说的“反对幂三指”。“反对幂三指”分部积分顺序从后往前考虑。这只是使用分部积分法时的简便用法的缩写。分布积分法的特点：在积分法的反对幂指三中，一般是指代入分部积分中公式中的，用于计算U与V" ，是相对来说的，例如，反三角函数和对数求积分，一般要设反三角为U ，对数为V" ，这样在积分才容易求导。先看v：g积分得到v。g的选取顺序相应为 指三幂对反，积分难度递增。再看du：反、对、幂、三、指，微分后依次是：多项式（开根）分之一、多项式（开根）分之一、幂函数、三角函数、指数函数。本身相对都较容易解决。

求函数最值的方法如下：1.配方法: 形如的函数,根据二次函数的极值点或边界点的取值确定函数的最值.2.判别式法: 形如的分式函数, 将其化成系数含有y的关于x的二次方程.由于, ∴≥0, 求出y的最值, 此种方法易产生增根, 因而要对取得最值时对应的x值是否有解检验.3.利用函数的单调性 首先明确函数的定义域和单调性, 再求最值.4.利用均值不等式, 形如的函数, 及≥≤, 注意正,定,等的应用条件, 即: a, b均为正数, 是定值, a=b的等号是否成立.5.换元法: 形如的函数, 令,反解出x, 代入上式, 得出关于t的函数, 注意t的定义域范围, 再求关于t的函数的最值.6.数形结合法 形如将式子左边看成一个函数, 右边看成一个函数, 在同一坐标系作出它们的图象, 观察其位置关系, 利用解析几何知识求最值.

函数f(x)是乘积形式、商的形式、根式、幂的形式、指数形式或幂指函数形式的情况，求导时比较适用对数求导法。原因是取对数可将乘法运算或除法运算降格为加法或减法运算，取对数的运算可将根式、幂函数、指数函数及幂指函数运算降格成为乘除运算。只要是上述形式就可以对等式两边同时求对数，可将幂函数、指数函数及幂指函数运算降格成为乘法运算，可将乘法运算或除法运算降格为加法或减法运算，使求导运算计算量大为减少。之后按照正常等式求法即可。 对数求导法是一种求函数导数的方法。取对数的运算可将幂函数、指数函数及幂指函数运算降格成为乘法运算，可将乘法运算或除法运算降格为加法或减法运算，使求导运算计算量大为减少。对数求导法应用相当广泛。 定义对求导的函数其两边先取对数，再同求导，就得到求导结果。这里需要补充说明，(ln f(x))"=f"(x)/f(x)。因为，ln(x)的导数是1/x。这种求导方法就称为取对数求导法，简称对数求导法。

一、天然气水合物热力学模型1.理论基础随着各种热力学研究的开展，现已有大量有关天然气水合物相平衡的数据和方法，可用来预测天然气水合物的形成。这些研究结果也有利于开发抑制天然气水合物形成的化学添加剂。一般说来，能影响溶液黏度性质的物质通常能抑制天然气水合物的形成。在工业应用上，甲醇是一种常用的阻凝剂。Van der Waals和Platteeuw(1959)提出的热力学理论，一直是预测天然气水合物平衡模型的理论基础。Sloan(1990)指出，利用这些模型对Lw-H-V系统平衡压力的预测，误差应该不超过10%，而对温度的预测误差在2K左右。多年来，各国学者在Van der Waals和Platteeuw理论的基础上，提出了一些新的观点和天然气水合物相平衡预测的计算方法，对天然气水合物热力学模型的发展作出了贡献。2.热力学模型要描述各种天然气水合物相及其可能的多种共存流体相，需要使用一种以上的模型。状态方程是描述天然气水合物平衡的一种方法。为描述富水的流体相，Saito(1964)等使用了理想溶液方法(Raoult定律)，其基本前提是，假设水中储存气体的溶解度在常规条件下可以忽略不计，尽管有事实证明这种假设的有效性令人质疑，但这种方法在过去一段时间内仍为大多数学者所偏爱。当需要进行天然气水合物抑制计算时，要根据Menten(1981)提出的计算方法，用活度系数对Rao-ult定律进行校正。虽然该方法的可靠性要优于Hammerschmidt方程(1939)，但它不能用于评估阻凝剂(如甲醇)在共存相中的分布。为校正这个问题，Anderson等(1986)结合使用了Uniquac方程和用于超临界组分计算的亨利定律，计算液相中所有可凝聚组分的逸度。因此，要进行简单的天然气水合物抑制计算，有必要使用上述4个模型。由于这种内在的复杂性，对于现实中更复杂的系统，上述这些方法用处并不大。同时，这些方法都存在着收敛困难，不能作为进一步精确计算(如复合系统的稳定性分析)的基础。Englezos等(1991)和Avlonitis等(1991)根据一个单一的状态方程，建立了全部流体相的模型。前者使用了有4个参数的立方状态方程，后者使用了有3个参数的立方状态方程，并开发了针对非对称相互作用的专用混合规则。根据目前的研究趋势看，对全部流体相使用单一的状态方程是最有发展潜力的方法。3.模型的完善和发展对天然气水合物相的理想固溶体，在假设被圈闭的分子之间没有相互作用的前提下，Vander Waals等(1959)认为能够用一种Langmuir型吸附等温线描述固体天然气水合物相。他们利用这个假设，证明天然气水合物相中水的化学势能与形成天然气水合物的气体性质无关，仅取决于天然气水合物相中两种不同类型空穴中气体的总浓度，天然气水合物与理想稀溶液具有相同的行为。在这个理论基础上，Parrish等(1972)将用于计算分解压的天然气水合物模型延伸到多组分系统中。理想固溶体理论忽视了非理想状态所带来的影响，如“主”分子晶格的伸展或变形、被圈闭气体分子运动所受的限制，都有可能增加“主”分子和“客”分子的化学势。Hwang(1993)与他的同事们在分子动力学模拟的基础上，研究了“客”气体分子的大小对天然气水合物稳定性的影响。Avlanitis(1994)指出:这种方法的主要缺陷在于选取了不正确的势能参数，特别是乙烷的势能参数。为弥补这个缺陷，Avlonitis用一种折中方法优化了理想固溶体模型参数，在含甲醇或不含甲醇情况下，在Lw-H-V框架内，对天然的或合成的气体混合物都获得了令人满意的预测结果。二、天然气水合物动力学模型天然气水合物动力学是水合物领域的研究重点。通常以方程M+nH2O＜=＞［M·nH2O］表示水合物生成，这是一个气-液-固三相或气-固两相的多相反应过程，同时也是一个包含传热、传质和生成水合物反应机理的复杂反应方程，影响反应的条件很多，也很复杂。相对于天然气水合物热力学而言，对天然气水合物动力学的研究较少。天然气水合物动力学可以大略分为天然气水合物生成动力学和天然气水合物分解动力学两类。1.天然气水合物生成动力学针对目前研究亟待解决的水合物生成速率和效率问题，主要有以下两种研究方法(赵义等，2004):①热力学方法，即向反应体系中加入其他气体添加剂，让气体添加剂占据水合物结构中没有被占据的空腔，来降低水合物簇之间的转换活化能，提高水合物的晶体空腔填充率，从而达到促进水合物生成和提高水合物稳定性的目的，如向甲烷的水合物生成体系中加入少量的丙烷，就可以大大降低甲烷水合物的生成条件，并且生成的结构更稳定;②动力学方法，仅限于表面活性剂及助溶剂(hy-drotropes)的研究。对此有两种假说:一是Sloan的观点，认为表面活性剂之所以促进水合物的生成，主要是因为它降低了气-液界面张力，增大了扩散传质速率，使气体更容易进入液相;二是Zhong等(2000)的观点，提出了一个4步骤的反应历程来解释观察到的现象，尚未得到充分的验证。以下对这4个步骤进行说明:(1)气-水簇的形成天然气水合物的成核过程是天然气水合物核向临界大小的靠近且生长的过程。气-水生长簇是天然气水合物形成的先兆。如果生长的核小于临界大小，核是不稳定的，可能在水溶液中生长或破裂。一个生长着的天然气水合物核，如已具有临界大小，就是稳定的，可以立即导致结晶天然气水合物的形成。认识影响气-水簇形成的因素，有助于理解天然气水合物的成核过程。特别是水分子结构，它是指通过氢键相互联结水分子所形成的结构，在成核过程中起重要作用。冰是一种高度结构化的水，其水分子固定在一个呈四边形氢键结构的位置上。当温度升高到零点以上时，结构开始变得更加松散，与高度有序的冰的结构相比更加无序。Sloan等提出了一种天然气水合物成核过程的分子机制，设想气-水簇开始形成临时结构，随后这些结构再生长成稳定的天然气水合物晶核。他们通过使用化学动力学方程，针对机制中假设的每一种情况对成核过程进行了模拟。Lekvam和Ruoff也提出了反应作用的动力学机制。这种方法使用一种动力学速率模型，研究成核和生长过程，但他们的这种模型并没有强调天然气水合物核的稳定性。Vysniauskas和Bishnoi在实验中使用不同来源的水进行了实验。结果显示，随着水的来源不同，平均成核开始期也不同。在实验中，来自于融化的冰水与实验中使用热自来水相比，前者的平均开始期较低;同样，使用来自于天然气水合物分解的水与使用热自来水相比，前者的平均开始期也较低，这就是所谓的“记忆效应”。这种现象在其他学者的研究中也出现过。研究发现，在已溶解的气体分子周围，水结构被强化了;这种作用于溶解气体分子周围的水结构强化现象，被认为是“疏水水合作用”现象。Frank等也提出了同样的观点。Glew在对甲烷天然气水合物和甲烷水溶液的热动力学性质进行研究时，发现了类似现象。Glew对甲烷-水系统分子模拟的研究显示，甲烷分子周围的水分子平均配位数对于Ⅰ型结构的小空穴来说，接近于21。Rahman和Stillinger认为，在溶解的溶质分子周围，水的网架与天然气水合物类型的孔型相似。另外，热力学分析显示，溶液具有很大的负熵，这正是水体内一种结构形成的标志。气-水簇在天然气水合物成核过程中起了很重要作用。当溶液在过冷或过饱和状态下时，成核过程就发生了，学者们通常使用过冷或过饱和方法来研究成核作用。Bishoni等在研究时就采用了过饱和方法，Kobayashi、Sloan等则采用了过冷方法。图10-5 典型的气体消耗简图Bishnoi等在恒定温压下进行了天然气水合物形成实验。在实验温度下，实验压力比三相天然气水合物平衡压力要高，图10-5是实验过程中因气体溶解和天然气水合物形成，而导致的气体消耗的累积摩尔量随时间变化的曲线。图10-5中A点的气体消耗摩尔量表示已溶解气体量，与三相天然气水合物平衡压力对应。A点与B点之间的准稳区域，代表着天然气水合物的成核过程。B点表示以突变方式出现的稳定临界大小天然气水合物核的出现点。Englezos和Bishnoi发现，在成核点B之前的溶解气体摩尔量，实际上要高于估算的二相(气-液)准稳定平衡状态下的摩尔量，估算来源于稳定区域的外推;气-水簇的形成能够耗尽在团块流体相中的天然气水合物形成的气体，从而导致超过两相值的气体溶解。Englezos等提出了计算天然气水合物核临界大小的方法，天然气水合物生长过程开始于图10-5中B点，并沿着线BC进行。根据Kobayashi和Sloan的实验结果，在容积不变的情况下，天然气水合物形成过程中的压力和温度轨迹如图10-6所示。图10-5中点A等同于图10-6中的点A。图10-6中点B也等同于图10-5中的点B，在B点，以突变方式形成的稳定天然气水合物颗粒的出现，导致了压力的突然下降。在图10-6中，点A与点B之间区域表示成核过程中的准稳定状态。过冷却方法和过饱和方法的相似性在图10-5与图10-6之间体现得相当明显。在图10-5中，与三相天然气水合物平衡相应，点A与点B之间，是处于准稳定状态的天然气水合物成核区域中气-水簇的生长区域。天然气水合物在点B的出现是突然的，Kobayashi描述它为“灾变性的”。尽管天然气水合物颗粒很小，但它们的数量很多，足以使溶液变得混浊。Kobayashi和Sloan认为，天然气水合物的突然出现使溶液不再处于过饱和状态，这样便导致了压力的剧降。(2)天然气水合物的成核和生长过程图10-6 天然气水合物形成实验温度-压力轨迹简图从上面讨论可以看出，过冷方法与过饱和方法是等价的，对于天然气水合物成核过程来说都很重要。许多研究者建立了开始期和过冷之间的函数关系，过饱和同样也可以根据过冷却度进行转换。溶解中任何点的过饱和，都是在这点超过饱和浓度值的过量溶解气体浓度，可以用溶液中某一点的过饱和来判断稳定天然气水合物核最先出现在哪个地方。对于不流动系统，溶解气体浓度在分界面附近可能最高，天然气水合物的形成可能最先发生在气-液分界面上。对于搅拌系统来说，在溶液中最先形成天然气水合物的地方，取决于这点上溶解气体的浓度。溶液的水动力条件和气体溶解率可以影响天然气水合物成核的开始期。Bishnoi等认为，天然气水合物成核作用开始期与过饱和作用相联系，根据对甲烷、乙烷以及二氧化碳天然气水合物的实验数据分析，揭示了成核开始期与过饱和的关系。当过饱和度减小时，成核开始期增大;当过饱和时，开始期增加到一个很大的值;相反，当过饱和度增加时，开始期减少到一个很小的值;当过饱和度很低时，开始期数据的分散程度很高，当过饱和度增加时，开始期数据的分散程度减小。天然气水合物成核过程，本质上是一个内在的随机过程，但高的过饱和度能够掩盖成核现象的随机本质，从而使观察到的开始期看起来像是早已被决定了一样。另外，天然气水合物成核的随机本质，也能够被实验系统中用来进行成核研究的其他因素所掩盖。在天然气水合物成核研究中，Parent和Bishnoi在原始实验状态下又观察到了开始期数据的随机性。关于天然气水合物成核的研究还处于宏观层次上。对在溶液中的亚临界情况，还知之甚少。在建立基于分子级的模型之前，须通过实验研究揭示天然气水合物的成核机制。天然气水合物的生长过程，是指作为固态天然气水合物的稳定天然气水合物核的生长，自20世纪60年代以来，许多学者就已对此进行了研究。在研究丙烷天然气水合物生长过程时，Knox认为晶体的近似大小取决于过冷度(指使液体冷到凝固点以下而不凝结)，较高的过冷度主要产生较小的颗粒，并导致明显的晶体生长。Pinder通过研究天然气水合物形成动力学，提出天然气水合物形成的反应速率随渗滤作用而定。Barrer和Esge在研究天然气水合物动力学时发现，对氪形成的天然气水合物来说，其晶体生长有一个明显的开始期。Falabella使用类似于Barrer和Esge的实验装置进行了研究，也得到了相似的结论。Falabella还发现，对于甲烷来说，其天然气水合物生长也有一个开始期，他根据冰的动力学数据，通过进行等温压换算，提出了一个次级动力学模型。Sloan和Fleyfel通过实验，研究了环丙烷天然气水合物的生长动力学。针对在纯水中的各种气体和气体混合物，Bishnoi等一直进行着天然气水合物形成动力学的系统性研究，在实验中使用一个搅拌反应器，其中装有电解质和表面活化剂溶液。他们认为，在稳压条件下，全部气体消耗量是时间的函数。(3)天然气水合物生长动力学模型在研究早期，Vysniauskas和Bishnoi提出了一个关于气体消耗速率的半经验模型。后来，Engl-ezos等把只有一个可调节参数的天然气水合物生长动力学模型公式化，这个模型是一个以结晶化和团块传递理论为基础的模型;它假设固体天然气水合物颗粒被一个吸附“反应”层所包围，吸附反应层外是一层不流动的液体扩散层，溶解的气体从围绕在不流动液中向天然气水合物颗粒-水分界面扩散;然后，气体分子由于吸附作用而进入结构化的水分子构架并结合在一起。当水分子过量时，分界面被认为是气体最易集中的地方(反应速率用已溶解气体的逸度替代其浓度)。在三相天然气水合物平衡压力和颗粒表面温度下，在扩散层中，溶解气体逸度值从fb变化到fs;在吸附层中，逸度值直降至feq，围绕颗粒的扩散动力等于fb-fs;但是对于“反应”阶段来说，这个值是fs-feq。在稳定状态下，扩散阶段和“反应”阶段的速率相等，fs能够从单个速率表达式中消去，可得到每一个颗粒的生长速率如下:非常规油气地质学式中:R*是扩散和吸附反应过程的组合速率常数;Ap是每个颗粒的表面积。在溶解气体的逸度中，fb-feq值不同于三相平衡逸度中的fb-feq值，它指的是全部动力。当在良好的搅拌系统中时，R*值表示反应的内在速率常数，R*值由甲烷和乙烷天然气水合物形成动力学的实验数据决定。在没有任何附加参数的情况下，这个模型可成功地扩展到甲烷和乙烷混合物的形成动力学;在这个模型中，纯水中甲烷天然气水合物形成时获得的R*值，可以应用到电解质溶液中的天然气水合物形成模型中，两者的R*值是相同的。在液态二氧化碳和水的分界面上，Shindo等提出了二氧化碳天然气水合物形成模型;他们假设天然气水合物主要发生在液态二氧化碳中，而不是在水中。最近，Skovborg和Rasmussen使用实验的气体消耗数据(数据来源于Bishnoi等)，提出了一种天然气水合物生成动力学模型;认为天然气水合物的形成，能够影响液体一侧的气-液团块传递系数。(4)气-水体系中水合物的生成机理天然气水合物结构和性质类似于冰(陈孝彦等，2004)，气-水体系中天然气水合物生成时，气体分子首先要溶解到水中，一部分气体分子与水一起形成水合物骨架，类似于冰的碎片(周公度等，1995)，形成了水合物结构中的第一种空穴。这些框架是一种亚稳定结构，相互结合形成更大的框架。在结合过程中，为保持水分子的4个氢键处于饱和状态，不可能做到紧密堆积，缔合过程中必然形成空的包腔，就形成了水合物结构中的另外一种空穴。另一部分溶解的气体分子通过扩散渗入到这些空穴中，并进行有选择的吸附;在吸附过程中满足Langmuir吸附定律，小气体分子进入小空穴，同时也能进入大空穴，大气体分子只能进入大空穴，即并不是每一个空穴都能被气体分子占据，这就解释了水合物平均只有三分之一左右的空穴被客体分子占据的机理。陈孝彦等(2004)总结提出了气-水体系中水合物的生成机理，分为4步:①气体分子溶解过程，即气体分子溶解到水中;②水合物骨架形成过程，即气体分子的初始成核过程，溶解到水中的气体分子和水，形成一种类似冰碎片的天然气水合物基本骨架(一种空腔)，这种骨架通过结合形成另一种不同大小的空腔;③气体分子扩散过程，即气体分子扩散到水合物基本骨架中;④气体分子被吸附过程，即天然气气体分子在水合物骨架中进行有选择的吸附，从而使水合物晶体增长。2.天然气水合物分解动力学(1)理论基础人们提出了许多基于相平衡的热力学模型来预测一定条件下水合物的生成条件及其抑制途径(赵义等，2004)，如通过改变其生成条件，来达到抑制目的的物理方法，包括干燥脱除法、加热保温法、降压法和加入非水合物形成气体法等，还包括通过加入添加剂的化学方法。化学抑制法主要有热力学抑制剂和动力学抑制剂两种(赵义等，2004)。前者普遍采取在生产设备和运输管线中注入甲醇、乙醇、乙二醇和氯化钠、氯化钙等，改变水合物热力学稳定条件，抑制或避免水合物生成;后者从降低水合物生成速度，以抑制水合物晶粒聚结和堵塞出发，通过加入一定量化学添加剂来改变水合物形成的热力学条件，显著降低水合物成核速率，延缓乃至阻止临界晶核生成，干扰水合物晶体的优先生长方向，影响水合物晶体的定向稳定性，具有用量少、效率高等优点，已成为了研究热点(吴德娟等，2000)。根据分子作用的不同机理，动力学抑制剂分为水合物生长抑制剂、水合物聚集抑制剂和具有双重功能的抑制剂，主要包括酰胺类聚合物、酮类聚合物、亚胺类聚合物、二胺类聚合物、共聚物类等，其中酰胺类聚合物是最主要的一类。Holder等(1987)研究了在天然气水合物分解过程中的热传递过程，得出与成核沸腾现象相似的结论。Kamath等(1987)根据这种相似性，提出在丙烷分解期间，热传递率是ΔT的幂函数，其中天然气水合物表面的ΔT值与团块流体中的ΔT值是不相同的。后来，Kamath和Holder总结了它们的关系性，并用到甲烷天然气水合物分解过程中。Selim等(1989)研究了甲烷水合物的热分解，认为水合物的分解是一个动态界面消融问题，并运用一维半无限长平壁的导热规律，建立了甲烷水合物的热分解动力学模型，Kamath等(1987)研究了甲烷和丙烷的热分解问题，认为水合物的分解主要受传热控制，其分解可与液体的泡核沸腾相比拟，而流体主体与水合物表面的温差ΔT是过程的推动力(Kamath et al.，1987)。(2)实验研究对天然气水合物分解动力学的基础研究是在带搅拌的大容积反应器中进行的，水合物以固体颗粒状分散于液体中，这用来研究分解本征动力学是可以的(周锡堂等，2006)。但用于研究与天然气生产有关，特别是天然气水合物分解的反应工程动力学，则缺乏实际意义(周锡堂等，2006)。自然赋存的天然气水合物可能是大块状的，更多的存在于多孔介质中。Sloan等报道过砂岩中的甲烷水合物生成和分解的一些实验数据，但没有仔细地研究水在孔隙里的分布情况;Circone等报道过以冰粒形成的水合物在272.5K的分解速率数据(Circone et al.，2000)，但也没有提供相应的动力学方程。存在于冻土带或海底沉积物中的天然气水合物，与人工合成的、仅仅存在于自由水中的水合物颗粒是大不相同的。因此从工程实际来考虑，研究多孔介质中水合物的分解动力学行为更有意义。Yousif等第一次将水合物分解动力学的研究与天然气的生产结合起来(Yousif et al.，1991)，不过其模型在估算水合物面积时却是经验性的。Goel等研究了天然气水合物的分解行为(Goel et al.，2001)，运用发散状扩散方程，分别得出了关于大块状和多孔介质中的天然气水合物的分解动力学解析模型。然而该模型忽略了分解水的流动和分解气采出速率的变化，严重影响了其有效性。Hisashi等研究了多孔介质中水合物的形成和降压分解问题(Hisashi et al.，2002)。在其实验中，分别采用了多种粒度的玻璃珠和合成陶粒来模拟多孔介质。最终结果表明，不同介质中水合物分解的表观反应速率常数不同，所得回归方程也不一样(周锡堂等，2006)。因此，在确定自然存在天然气水合物的分解速率时，有必要研究当地介质的孔隙性质及其粒度分布。Bishnoi等开展了对甲烷天然气水合物分解的实验研究，实验是在一个搅拌良好的反应器中进行的;天然气水合物在三相平衡压力以上存在;然后，在保持温度不变的条件下，把压力降低到低于三相平衡压力，这时，天然气水合物分解就开始了;实验在快速搅拌中进行，以保证避免团块传递的影响。他们提出，天然气水合物分解可能分为两个阶段:颗粒表面原结晶“主”格子破坏和随后的“客”分子从表面的解吸过程。Kim等提出了天然气水合物分解原内在动力学模型，他们假设天然气水合物的颗粒为球形，并且被云雾状气体所包围，如图10-7所示。在图中，正在分解的颗粒被解吸“反应”层所围绕，再外层是排放出的气体云，天然气水合物颗粒分解速率公式如下:非常规油气地质学式中:kd为分解速率常数;Ap为颗粒表面积;feq为气体三相平衡逸度;fvg为气体分解策动力，定义为feq与fvg之差，即feq-fvg。(3)研究进展和意义与前文提到的对天然气水合物生长的研究一样，对天然气水合物分解的研究，应该包括对决定分解颗粒大小分布因素的研究。图10-7 天然气水合物分解图对天然气水合物分解和形成动力学的研究，给我们提出了大的挑战。天然气水合物形成被认为是一种包括成核过程和生长过程的结晶化过程。成核作用是一种内在的随机过程，它涉及气-水簇向具临界大小的稳定天然气水合物核的形成和生长问题。因较大的成核策动力和多相性的存在，成核作用随机性质不易被察觉。目前，对天然气水合物成核过程仍没有在分子级别上的测试方法。天然气水合物生长包括作为固态天然气水合物的稳定水合核的生长，正在生长的天然气水合物颗粒表面积，强烈影响着生长速率。天然气水合物分解是一系列晶格的破坏和气体解吸过程，在分解时的热传递率与成核沸腾现象是相似的。应该深入研究天然气水合物颗粒在分解和生长过程中的大小分布，并应用于这些过程的模型化中。尽管有多个天然气水合物形成模型已经被提出，但天然气水合物形成核的过程并没有完全被揭示。目前，科学家通过研究气体-水的接触面，已取得了一些实验上的进展，但是这些实验都是最近做的，并且至今没有充足的信息来提供一个确切的描述。这些实验通过研究熔点附近的热力学状态范围，来揭示与接近天然气水合物形成条件相联系的界面结构特征。在实验中，科学家把分子动力学模拟，应用到Ⅰ型甲烷天然气水合物和甲烷气体的接触面，发现接触面在270K以下是稳定的，在300K时发生熔解，同时发现了导致接触面稳定的压力条件。在伴随着表面层的无序化过程中，预熔现象是明显的。动力学性质显示了水平面格子振动的各向异性，这被认为是与在Ⅰ型天然气水合物(001)面上存在着晶轴相联系。这个意想不到的结果还有待于进一步研究。在研究天然气水合物形成模型的同时，由于天然气水合物有时能对高纬度地区石油和天然气的运输造成意想不到的麻烦(如形成管塞)，有的学者(Monte Carlo)也开始了怎样抑制天然气水合物形成的研究。通过实验研究发现，可以使用一种无毒的、能溶解于水的聚合物———科利当(PVP)，来抑制天然气水合物的形成。Monte Carlo通过不同条件下PVP对单体、二聚物、四聚物、八聚物吸附性的研究，发现吸附作用主要在吡硌烷酮氧(pyrrolidone oxygen)和水面之间两个氢键的形成过程中出现。这种研究结果表明，通过在天然气水合物生长点上PVP的吸附，来抑制天然气水合物的形成是可行的，并且影响吸附的主要因素具有内在的统计性。

（一）非饱和土壤水力传导度的研究和测定随着电子计算机的广泛应用，人们越来越普遍地运用数值模拟的方法，来定量研究非饱和土壤水分的运动。然而，尽管目前的模型和模拟技术都已相当成熟，但完全定量描述模拟系统的动力学特征仍有一定困难。限制模拟技术成功地应用到田间实际测定的其中一个极其重要的原因就是难于获得描述控制方程的参数，尤其是非饱和水力传导度（邵明安等，1991）。因此，对水力传导度测定方法的研究，仍然是土壤学家和水利学家不懈探索的目标之一。关于水力传导度的研究和测定，就常用方法而言，大致可分为两类基本方法：直接方法和间接方法，其中直接方法又分为室内试验法和野外试验法。1.直接方法（1）室内试验法：采用各种仪器装置，在实验室恒温条件下，测定开始和终了土柱剖面的含水率，同时用张力计观测各断面的吸力水头，并记录各个时段的补给水量，最后根据达西定律整理计算，即可求得相应于不同含水率时的导水率（也称水力传导度）K（θ），这种室内试验法如稳定入渗法与稳定蒸发法，非稳定流瞬时剖面法（张瑜芳，1987；张蔚榛，1992）。压力板和压力膜出流法（又分为逐步加压法和一步加压法）为实验室方法的一种，Gardner W.P.于1956年首先提出了测定参数的出流法，即通过测定密闭压力室中或沙性漏斗中的土样在压力或负压力水头作用下排出的水量，根据变化的出流量来计算非饱和土壤水的运动参数（张瑜芳，1987；张蔚榛，1992；雷志栋、谢传森，1982）。（2）野外测定方法：在田间各深度上，或者测筒和测坑内，埋设负压计（张力计），利用野外实测的土壤剖面负压和含水率的分布资料，计算导水率K（θ），这种野外测定如零通量面法、瞬时剖面法。2.间接方法利用已求得的其他参数的资料间接地计算K（θ），如CD法、水分特征曲线法。CD法是利用求出的扩散度D（θ），从水分特征曲线h（θ）求出容水度C（θ）=dθ/dh，利用K（θ）=C（θ）D（θ）计算水力传导度K（θ）。水分特征曲线法：把描述土壤水分特征曲线的幂函数方程代入Burdine或Mualem的预报土壤导水率的模式后，可以得到相对导水率的分析解，相对导水率的表达式中仅包含一个参数，该参数用实验资料拟合水分特征曲线模型而得出（邵明安等，1991）。（1）Burdine模型：Burdine方程如下：土壤水盐运移数值模拟其中：土壤水盐运移数值模拟式中：h（hH2O）为负压（cm）；θ、θs、θr分别为土壤体积含水率；饱和体积含水率和残留体积含水率；θr理论上是压力水头趋向无穷大时的含水率；Ks为饱和导水率。依据大多数土壤的水分特征曲线，在较低水势下可以用幂函数表示，更考虑到为使积分计算简单，对实测水分特征曲线采用下述幂函数形式表示：θc=（α｜h｜）-β （1.2.14）式中：α、β为系数，将（1.2.2）代入（1.2.1）积分得：土壤水盐运移数值模拟若用负压水头表示则有：Kr（h）=（α｜h｜）-（3β+2） （1.2.16）（2）Mualem模型：Mualem方程如下：土壤水盐运移数值模拟将（1.2.14）代入（1.2.16）积分后得：土壤水盐运移数值模拟迄今为止，在室内外用得较多且比较成熟的求参方法是瞬时剖面法（instantaneous profile method）。对上述各种测定和推求方法，采用统一的标准综合评价发现，一种方法要同时具备理论基础坚实、测定准确度高、测定范围广、花费少和设备简单等特点是很困难的（邵明安，1991）。本文对Wind提出的“一次法”（Wind G.P.，1966）同时求得土壤水分特征曲线和非饱和水力传导度的方法进行了探讨。（二）“一次法”求K（θ）的基本原理荷兰Wageningen农田及水管理研究所的研究人员Wind G.P.，1966年在国际科学水文学协会Wageningen专题座谈会“非饱和带中的水”中，提出了一种方法简单、实用、效果良好的计算非饱和土壤水力传导度的方法。该方法的理论基础是达西定律（Darcy"s Law）。该方法用竖直圆筒取原状土，然后使其饱和，让水分从其顶部蒸发。在土柱的不同深度上安装负压计，每天测定土柱的总重量和观测负压计的读数。由土柱的总重量可以计算出土柱实际总的含水量，由含水率和总的含水量的变化可以计算出不同深度上的水通量，该量等于下面土壤损失的水分含量；从负压计的读数可以计算出不同深度上的水势梯度。这样水力传导度K（θ）可以用下式来计算：土壤水盐运移数值模拟式中：q为通量； 为负压梯度。该方法已被里查兹（Richards）和威克斯（Weeks）（1953年）的实验及温德（Wind）（1955年）的野外试验所证实，效果良好。国内尚未见这方面的研究报道。（三）“一次法”测定K（θ）基本装置设计根据一次法取原状土的要求，选用无缝钢管，通过管壁安装5 支负压计，垂直间距5cm，其中顶底两支距顶底面分别为2.5cm，负压计螺旋状上升布置于土柱上，试验装置见图1.2.5。图1.2.5 试验装置示意图为解决称重问题，使用实验室改造后的电子秤。实验室原电子秤可称重6kg，而土柱的重量约10kg，加上测压排和负压计后，重量将更大。因此，使用现有的电子秤称重很困难，为此，利用杠杆原理对电子秤进行了改进。改进后的电子秤，通过试验称重误差小于1g，达到了精度要求。（四）“一次法”计算K（θ）1.用迭代法修正水分特征曲线“一次法”形似简单，但仍有许多困难。当确定含水率时，需要使用水分特征曲线，利用剖面含水率可以计算出土柱中的水分总量，但它与称重法实测的水分总量并不一致。这就意味着使用的水分特征曲线缺乏足够的准确性，从而不可能准确的计算通量，导致K（θ）的计算误差。因此，使用负压计读数和水分特征曲线求含水率时，必须事先用实测的总的水分含量来修正水分特征曲线，使得计算出的总水分含量与称重得到的实际总的水分含量相近。用电子天平测定的总的水分含量是相当准确的，误差存在于负压计和水分特征曲线上。在试验前严格挑选性能一致的陶瓷头。作这样的假定：①称重测定的总的水分含量准确；②负压计测定的负压准确；③假定两测点间（≤5cm）的含水率线性变化。在上述基本假定的前提下，水分特征曲线的修正步骤如下：（1）作一条假想的水分特征曲线作为初始水分特征曲线。（2）反查水分特征曲线。由初始曲线查出各测点测得负压值所对应的含水率。（3）计算修正系数qj（j=1，2，…，n，为观测次数）。它等于实测的总含水量和计算出的总含水量的比值：土壤水盐运移数值模拟式中：qj为修正系数，用于修正各个计算出（反查水分特征曲线得到）的含水率；Wjr为实测土柱总的含水量（g），由称重得到，Wjr=总的含水量（或试验开始时的总含水量）-总蒸发量，试验开始时的总水量=总蒸发量+试验结束时土柱的总含水量；Wjc为计算出的土柱总含水量（g），由反查水分特征曲线求得。反查水分特征曲线得到某时刻（tj）各负压值所对应的含水率，由剖面含水率分段（5cm一段）计算，最后求和，得出tj时刻土柱总的含水量：土壤水盐运移数值模拟式中：r为土柱半径（cm）。（4）计算含水率修正值θi，j修（i=1，2，…，5，负压计测点个数，j=1，2，…，n为观测次数）因负压值为实测值，所以修正时负压值固定不变，只修正含水率。θi，j修=θi，j计×qj （1.2.22）式中：θi，j修为含水率的修正值（cm3/cm3）；θi，j计为含水率的计算值（cm3/cm3），由水分特征曲线求得。（5）迭代修正过程：①由初始曲线反求各负压值所对应的含水率得 ；②用 乘以 得修正值：土壤水盐运移数值模拟作为第一次迭代修正值；③用第一次修正值 和相应的负压值作出第一次修正的水分特征曲线，从而得第一次修正后的 和 ；④重复以上过程得到 作为第二次迭代修正值，从而作出第二次修正的水分特征曲线，以此类推可得到第p次迭代修正值： 以及第p次修正的水分特征曲线。（6）收敛标准：当相邻两次迭代修正值之差的绝对值小于预先给定任意小的正数ε时，迭代修正结束，即（图1.2.6）：土壤水盐运移数值模拟一般取e=0.01（或1%），正常情况下经过4～5次迭代则可满足上述标准，从而求得水分特征曲线。图1.2.6 p-1次与p次修正h-θ曲线图1.2.7 剖面负压曲线2.水力传导度K（θ）的计算修正好水分特征曲线后，就可计算水力传导度。首先应计算水势梯度，而后计算通量，最后计算出K（θ）。（1）水势梯度的计算：若总水势为φ，则水势梯度 （坐标z向下为正），当Δz较小时， ，所以只需要计算负压梯度 ，根据负压计读数可绘出剖面负压曲线（图1.2.7），由作图法可求得任一断面z处t1和t2时刻的负压梯度，由此可得t1～t2时段内负压梯度的平均值：土壤水盐运移数值模拟其中 （为中心差分）。（2）通量的计算：根据修正好的水分特征曲线，t1和t2时刻含水率θ（t1）和θ（t2）的分布，可由负压分布h（t1）和（t2）通过h—θ关系换算得到，土柱内含水量的减少量等于土柱的蒸发量，如图1.2.8所示，t1-t2时刻内任一断面z处的土壤水分通量q（z），由连续性方程得：图1.2.8 含水率分布曲线土壤水盐运移数值模拟对上式积分，积分限由0至z，则得：土壤水盐运移数值模拟式（1.2.26）表明，在Δt时段内，0和z处水分运动通量之差等于0和z之间土柱水量增加的速率。由于0 处的通量即为土柱表面的蒸发强度E0（q（0）=E0），式（1.2.26）进一步表示为：土壤水盐运移数值模拟由式（1.2.27），任一断面z处的通量为：土壤水盐运移数值模拟式（1.2.28）中土柱表面蒸发强度E0由称重测得（与坐标轴相反E0为一负值）。右端方括号内的值可由t1和t2时刻含水率分布求得，用图解法即为图1.2.8中a-d-e-f空白图形的面积。式（1.2.28）表明，一定深度z处的通量等于蒸发率减掉在那个深度上的土壤损失掉的水分。图1.2.8中a-b-c-d所示阴影面积为高度z处Δt=t2-t1时段内单位面积上所通过的水量，该值除以Δt则为时段Δt内z处的平均通量q（z）。此结果可和式（1.2.28）计算得出的通量值互相验证。（3）水力传导度K（θ）的计算：取一系列的z断面，按上述方法求出平均的q（z）、∂h/∂z和θ值，便可由下式计算K（θ）：土壤水盐运移数值模拟（4）“一次法”的优点：①在求K（θ）的同时，求得h—θ曲线，可谓一举两得；②该方法简单实用，每天只需称重和读取负压计读数，但测量精度对所得结果影响较大，所以，试验中必须有较高的测量精度。3.实际算例（1）新乡中壤土：为了验证本方法，首先在室内用新乡中壤土做试验，土样为扰动土，干容重γ干=1.38g/cm3，初始含水率θ0g=0.08，分5层按下列公式装土：G=γ干×（V柱-V负压计）（1 +θ0g） （1.2.30）式中：G为装土重量（g）；γ干为土的干容重（g/cm3）；V柱为要装土柱的体积（cm3）；V负压计为土柱内负压计所占体积（cm3）；θ0g为初始重量含水率。试验开始时间为1993年5月18日，结束时间为5月29日，共11天。“一次法”中关键的一步是修正水分特征曲线，所以首先根据实测数据修正水分特征曲线。通过二次迭代修正达到了精度要求 ，通过修正，点的分布愈来愈集中于一条光滑的曲线上（图1.2.9）。为了验证修正的水分特征曲线的可靠性，根据修正后的水分特征曲线计算出的土柱含水量与实测的土柱含水量比较，两者完全一致，绝对误差小于1.2 g（表1.2.1）。由图1.2.10和图1.2.11 可计算出平均负压梯度和水分通量，从而可计算出 K（θ）（图1.2.12）。图1.2.9 h—θ曲线图表1.2.1 实测含水量与计算含水量对比表图1.2.10 负压分布图1.2.11 含水率分布图1.2.12 K—θ关系通过计算发现，使用下部观测资料计算K（θ）的可靠性较差，这一点与Wind得出的结论是一致的。由于下部负压较低，负压变化平缓，因此负压梯度的计算误差相对较大，从而导致K（θ）的计算误差。本次试验无论在仪器设计上还是在算法上都对Wind提出的方法进行了一些改进。为了使假想曲线尽可能逼近实际曲线，加快迭代速度，试验结束时取土测定含水率，然后标在图上，并使假定曲线通过这些实测点，结果加快了迭代速度。（2）永乐店砂壤土：取土时，清除10cm表土层，将钢管均匀地打入土里，取得原状沙壤土。试验从1993年10月8日开始，10月26日结束。水分特征曲线经过三次修正达到迭代精度要求。经过误差计算，Max∣W实-W计∣＜1g，相对误差在10-3～10-4之间。计算出的K（θ）值与θ进行了曲线拟合，（图1.2.12），拟合的经验公式如下：K（θ）=1.20269×10-8e23.90134θ （1.2.31）式中：K（θ）为水力传导度（cm/min）；θ为体积含水率（cm3/cm3）。（五）CD法计算K（θ）根据室内试验获得的土壤水分特征曲线和土壤水扩散度，根据容水度C（θ）和扩散度D（θ），由K（θ）=C（θ）×D（θ）计算得到非饱和土壤水力传导度K（θ）。计算过程中，先由h—θ经验公式，由h值计算出θ值和C（θ），再由θ计算出D（θ），从而可以得到K（θ）值，将K（θ）与θ（或h）进行曲线拟合得出其经验公式。通过CD法计算得到永乐店土样K（θ）与θ的经验公式为：永乐店沙壤土：K（θ）=0.298354θ6.622666，R=0.9975334 （1.2.32）式中：K（θ）为水力传导度（cm/min）；θ为体积含水率（cm3/cm3）。拟合曲线见图1.2.13。永乐店粉沙土：K（θ）=0.1685237θ5.045248，R=0.9906561 （1.2.33）拟合曲线见图1.2.13。图1.2.13 永乐店K（θ）—θ曲线通过对永乐店上部土层沙壤土的比较，用“一次法”计算的K（θ）值和CD法计算的K（θ）值，两者数值比较吻合，其中“一次法”计算的K（θ）值略偏小些，可能是由于在测坑边取的原状土在施工过程中人为踩踏，致使上部土壤较密实，容重较大，从而导致计算出的K（θ）值偏小。

对数求导法对数求导法是一种求函数导数的方法。 取对数的运算可将幂函数、指数函数及幂指函数运算降格成为乘法运算，可将乘法运算或除法运算降格为加法或减法运算，使求导运算计算量大为减少。 对数求导法应用相当广泛。中文名对数求导法领域数学作用求函数导数优点求导运算计算量大为减少91%的人还看了对数求导公式对数函数log的导数log以a为底x的导数对数求导法则公式定义对求导的函数其两边先取对数，再同求导，就得到求导结果。这种求导方法就称为取对数求导法[1]。简称对数求导法。原理对数求导法的原理就是（1）换底，即；（2）复合函数求导法则，即。适用性函数是乘积形式、商的形式、根式、幂的形式、指数形式或幂指函数形式的情况，求导时比较适用对数求导法，这是因为：取对数可将乘法运算或除法运算降格为加法或减法运算，取对数的运算可将根式、幂函数、指数函数及幂指函数运算降格成为乘除运算。

需要将分数化为同分母，然后再进行运算。数学的考察主要还是基础知识，难题也不过是在简单题的基础上加以综合。所以课本上的内容很重要的，如果课本上的知识都不能掌握，就没有触类旁通的资本。对课本上的内容，上课之前最好能够首先预习一下，否则上课时有一个知识点没有跟上老师的步骤，下面的就不知所以然了，如此恶性循环，就会开始厌烦数学，对学习来说兴趣是很重要的。课后针对性的练习题一定要认真做，不能偷懒，也可以在课后复习时把课堂例题反复演算几遍，毕竟上课的时候，是老师在进行题目的演算和讲解，学生在听，这是一个比较机械、比较被动的接受知识的过程。也许你认为自己在课堂上听懂了，但实际上你对于解题方法的理解还没有达到一个比较深入的程度，并且非常容易忽视一些真正的解题过程中必定遇到的难点。“好脑子不如烂笔头”。对于数理化题目的解法，光靠脑子里的大致想法是不够的，一定要经过周密的笔头计算才能够发现其中的难点并且掌握化解方法，最终得到正确的计算结果。其次是要善于总结归类，寻找不同的题型、不同的知识点之间的共性和联系，把学过的知识系统化。举个具体的例子：高一代数的函数部分，我们学习了指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等好几种不同类型的函数。但是把它们对比着总结一下，你就会发现无论哪种函数，我们需要掌握的都是它的表达式、图像形状、奇偶性、增减性和对称性。那么你可以将这些函数的上述内容制作在一张大表格中，对比着进行理解记忆。在解题时注意函数表达式与图形结合使用，必定会收到好得多的效果。

努力学，认真学，只要入门啦就好啦，没什么难的！

定义;设函数f(x)在区间I上定义，若对I中的任意两点x1和x2,和任意λ∈(0,1)，都有f(λx1+(1-λ)x2)<=λf(x1)+(1-λ)f(x2), 则称f(x)是I上的凹函数.若不等号严格成立，即"<"号成立，则称f(x)在I上是严格凹函数。 如果"<="换成">="就是凸函数。类似也有严格凸函数。这个定义从几何上看就是： 在函数f(x)的图象上取任意两点，如果函数图象在这两点之间的部分总在连接这两点的线段的下方，那么这个函数就是凹函数。 直观上看，凸函数就是图象向上突出来的。比如y=-x^2,y=lnx. 如果函数f(x)在区间I上二阶可导，则f(x)在区间I上是凹函数的充要条件是f""(x)>=0;f(x)在区间I上是凸函数的充要条件是f""(x)<=0; 不过补充一下，中国数学界关于函数凹凸性定义和国外很多定义是反的。Convex Function在国内的数学书中指凹函数。Concave Function指凸函数。在国内涉及经济学的很多书中，凹凸性的提法和国外的提法是一致的，也就是和单纯的数学教材是反的。很头大的问题。 另外，国内各不同学科教材、辅导书的关于凹凸的说法也是相反的。一般来说，可按如下方法准确说明： 1、f(λx1+(1-λ)x2)<=λf(x1)+(1-λ)f(x2) ， 即V型，为“凸向原点”，或“下凸”（也可说上凹），（有的简称凸有的简称凹） 2、f(λx1+(1-λ)x2)>=λf(x1)+(1-λ)f(x2) ， 即A型，为“凹向原点”，或“上凸”（下凹），（同样有的简称凹有的简称凸） 凸/凹向原点这种说法一目了然。上下凸的说法也没有歧义 在二维环境下，就是通常所说的平面直角坐标系中，可以通过画图直观地看出一条二维曲线是凸还是凹，当然它也对应一个解析表示形式,就是那个不等式。但是，在多维情况下，图形是画不出来的，这就没法从直观上理解“凹”和“凸“的含义了，只能通过表达式，当然n维的表达式比二维的肯定要复杂，但是，不管是从图形上直观理解还是从表达式上理解，都是描述的同一个客观事实。而且，按照函数图形来定义的凹凸和按照函数来定义的凹凸正好相反。

穿层孔瓦斯抽放半径多数是靠实测的吧。你参考下“春雨也知道”的回答，有详细的说明。2012-7-23 11:15 春雨也知道| 二级 这是我长干的事，我来给你说说吧。1、煤层瓦斯的抽放半径实际上是普遍认为它是一个随抽放时间变化的幂函数关系式，X坐标是时间（d），Y坐标是半径（m），但是通常说抽放半径是指3个月的预抽期（有的说6个月）。知道了这些我们测定通常采用压降法或流量法，也试验过示踪气体法。压降法：施工几个钻孔封孔后测定瓦斯压力，其中预留一个钻孔先不施工等其他几个瓦斯压力稳定后在施工，施工后封孔抽放。记录抽放的开始时间，观察各钻孔的瓦斯压力变化发生突变时认为抽放影响到了，记录抽放时间与不同钻孔距抽放孔的距离相对应的几组离散点。通过这些离散点拟合一个幂函数曲线确定抽放半径。流量法：和压降法类似，不过是封孔后每天测定钻孔的流量，等流量突然增大时表示抽放影响到了。示踪气体法：一般用SF6，一般一组施工三个钻孔，中间的充示踪气体，两边不同的间距施工抽放孔，然后每天从抽放孔内抽出一些气体看里面有没有示踪气体，发现有且等级较高时认为抽放影响到了。不过示踪气体法，从国内目前的设备来看，检漏仪不是定量检漏，而是定级检漏且设备对水蒸气比较敏感，如果你解决了这两个问题，这个方法也是不错的。

低渗透油层孔隙结构的特征主要是平均孔道半径很小，且非均质程度甚大，孔道半径概率分布极不均匀，经常出现细小孔道发育的双峰态分布。在特低渗透油层的孔隙系统中，孔道的大小各不相同，因而其固-液界面作用的大小也不同，原油边界层的影响大小亦不同，所以，各种孔道有不同的启动压力梯度。孔道越小，边界层越厚，启动压力梯度大。在渗流过程中存在大小不等的启动压力梯度，这充分说明在渗流的环境和条件下，流体呈现出某种极限剪切应力。当剪切应力超过极限剪切应力时，参与渗流过程的流体才可能有相对运动。剪切应力的大小与孔隙结构、油层的渗透率密切相关。渗透率越低，渗流流体的极限剪切应力越大，因而流体在特低渗透地层中的流动也就越困难。这个概念对理解特低渗透层渗流过程的物理意义是非常重要的，即使对于水也是如此。在大空间的容器中，体相的水表现为典型的牛顿流体，但是，在非常微细的孔隙系统中。由于固-液界面的影响和边界层特性的影响，水的流动性将表现出牛顿流体渗流的特征。在这里，渗流的环境和条件是影响流体渗流特征的重要因素。这样，当地层的渗透率降低到一定程度以后，其中的渗流规律将发生质的变化，表现出特低渗透油层中油水渗流与高渗透层中油水渗流截然不同的特征。关于考虑启动压力梯度的非达西低速渗流，国内外的研究工作一直不断。苏联学者H.Π.布兹列夫斯基于1924年首先指出，在某些情况下，多孔介质中只有在超过某个起始的压力梯度时才发生液体的渗流。1951年，B.A.弗洛林在研究土壤中水的渗流问题时指出，在小压力梯度条件下，因岩石固体颗粒表面分子的表面作用力俘留的束缚水在狭窄的孔隙中是不流动的，并且它还妨碍自由水在与之相邻的较大孔隙中的流动，只有当驱动压力梯度增加到某个压力梯度值、破坏了束缚水的堵塞后，水才开始流动。1963年，Miller等在研究水在黏土中的渗流时考虑了启动压力梯度的问题。1980年，Pascal 等应用有限差分法求解考虑了启动压力梯度的岩土工程固结问题。1982年，中国科学院渗流力学研究所的刘慈群用平均值法研究了启动压力梯度的问题，求得了问题的近似解，且近似解析解的结果与有限差分解的结果符合较好 (误差小于10%)，这也是国内对考虑了启动压力梯度的渗流问题进行的最早研究。在石油渗流的条件下，Ф.A.特列宾在1965年首先提出了破坏线性达西定律的问题。西安石油学院的阎庆来，用地层水通过渗透率分别为29.08×10-3μm2、0.614×10-3μm2，0.244×10-3μm2的3块天然岩心进行流动实验。实验结果表明，当渗透率很低 (0.244×10-3μm2)时，水的渗流也具有可观的启动压力梯度，对渗透率为29.08×10-3μm2的岩心，在实验条件下未能测出其启动压力梯度值。阎庆来等总结了低渗透油层中单相和油水两相渗流的实验结果，认为在较低渗流速度下其为非达西渗流，渗流曲线存在非达西段，渗透率越低，非线性段延伸越长，曲线曲率越小，启动压力梯度值越大；在较高渗流速度下其为具有启动压力梯度的拟线性渗流。对于低渗透油层中的油水两相渗流，油水过渡带比高渗透层要长，渗透率越低，过渡带越长，这与高渗透油层不同，也说明低渗透油层中油水两相渗流规律与高渗透层不同。冯文光、葛家理通过研究发现，在轴对称的情况下，TpmНН-Irmay 公式可以线性化。通过对TpmНН-Irmay公式的线性化，对单重介质、双重介质油藏考虑了启动压力梯度的非达西低速不稳定渗流及凹型压力恢复曲线进行研究，弥补了此类研究的缺陷，这也是国内外对考虑了启动压力梯度的低速非达西渗流试井问题进行的最早研究。之后，程时清等也对低速非达西渗流的试井分析问题进行了研究，建立了单重介质和双重介质试井分析的有效井径模型，给出了数值解和典型曲线拟合分析方法。冯曦等应用数值逼近法对文献的试井分析模型给出了一种级数解。葛家理等和宋付权等也分别对考虑了启动压力梯度的低速非达西渗流的不稳定压力分析问题进行了研究。李凡华和刘慈群建立了考虑流动边界随时间变化的低速非达西渗流试井分析模型，采用数值离散化法求得了模型。邓英尔和刘慈群研究了低渗多孔介质中单相非定常渗流考虑了活动边界的问题，建立了定产和定压条件下的渗流数学模型，应用有限差分法求解数学模型，得到了等产及等压条件下活动界面的运动规律；研究了等产量条件下的压力分布曲线与压力及压力导数随时间的变化曲线，发现启动压力梯度越大，低渗多孔介质中的压力传播越慢；给出了等压差条件下的压力分布曲线与产液量随时间的变化曲线，发现启动压力梯度越大等压差的产液量越小。聂立新针对活动边界问题，给出了一种新的试井模型，该模型既能很好地近似实际渗流，又不需要考虑活动边界，便于用数值方法求解。邓英尔研究了考虑了活动边界的分形低渗透油藏非线性渗流问题，建立了分形低渗透介质中弱压缩流体非线性流数学模型，运用平均质量守恒的方法求解模型，并研究了介质中的压力随时间的变化规律和启动压力梯度、非均质性谱指数对流动和压力变化的影响规律。袁英同等对文献中提到的试井分析问题，应用源函数和格林函数求解固定边界模型，然后用数值逼近法求解流动边界模型的解，分析了启动压力梯度和流动边界特性对压力动态的影响。程时清等对低速非达西油水两相问题进行了研究，建立了数学模型并采用有限差分法对数学模型求解，通过实例计算发现：非达西可渗流情况下的产油量远小于达西渗流；在相同含水率条件下，非达西渗流的采油指数较达西渗流小；降低表皮系数可提高产量和采油指数，减缓产水量上升速度。邓英尔等研究了具有启动压力梯度的油水两相渗流开发指标的计算方法、垂直裂缝井两相的非达西椭圆渗流的开发指标计算方法及启动压力梯度对低渗透油田注水开发的影响。黄延章通过对大量实验资料的分析，总结出了低渗油层中油水渗流的基本特征：①当压力梯度在比较低的范围时，渗流曲线呈下凹型非达西渗流曲线；②当压力梯度较大时，渗流速度呈直线增加，直线段的延伸与压力梯度轴的交点不经过坐标原点，该点称为平均启动压力梯度；③渗流特征与渗透率和流体性质有关，渗透率越低或原油黏度越大，下凹型非达西曲线段延伸越长，启动压力梯度愈大。姚约东和葛家理对低速渗流条件下的非线性渗流问题进行了研究，指出在低速渗流条件下，渗流速度与压力梯度呈二次方的幂函数关系，给出了非线性运动方程。在此基础上，研究了这种非线性渗流的稳定和小稳定渗流规律，建立了不稳定试井分析模型，并给出了解析解，绘制了用于试井分析的压力和压力导数曲线，分析了理论压力曲线的特征。冯文光在文献中总结分析了产生非达西低速渗流的原因：(1)孔喉大小、孔隙喉道几何结构及其分布都会影响其中流体的渗流速度。孔隙喉道狭窄、连通性和渗透性差的岩层，即所谓致密储集层，是造成非达西低速渗流的重要地质因素，因为这类储层的流动阻力很大，致使渗流速度极低。Ф.A.TpmНН和 Irmay 都认为流体通过细粒的黏性土时，必须达到临界压力梯度(起始压力梯度)才会开始流动。Irmay还提出黏土中的水起始流动水压梯度大于0.3MPa/m。(2)流体在多孔介质中渗流时，固-液两相间始终存在界面作用。Ф.A.特列宾解释石油渗流偏离达西定律的原因是由于表面活性组分 (沥青质、胶质等)在岩石孔道表面的吸附。B.A.弗洛林认为在小压力梯度条件下，因岩石占固体颗粒表面分子的作用力俘留的束缚水在最狭窄的孔隙中是不运动的，它妨碍了自由水在较大孔隙中的运动。萨科夫等用实验证实了流体的表面活性物质与岩石颗粒表面产生了吸附作用，形成由稳定胶体溶液组成的吸附层，黏附在孔喉道的壁上，或使喉道变小，或部分或全部堵塞孔道，使渗透率急剧下降，渗流速度减小。同时，组成黏土的薄晶片具有吸引水的极性分子的能力，当流体在黏土中渗流时，在孔壁上形成牢固的水化膜，同样会堵塞孔道。页岩、泥岩等致密岩石对水中盐组分也会产生渗吸作用，使水中的盐被过滤而沉淀下来，堵塞喉道。这种相之间表面分子力的作用，使越来越多的流体停止流动，相之间的表面作用也是造成非达西低速渗流的主要原因。(3)有效应力的上升迫使岩石骨架变形以致破坏，造成孔隙度、渗透率急剧下降。即使岩石中的压力恢复到它原来的压力值，孔隙度、渗透率也不会恢复到它们原来的值。(4)流体本身的流变学性质也是重要的影响因素。石油是由不同成分和不同性质组分构成的复杂体系，包括结构力学性质在内的石油流变学性质，取决于石油中气相、液相和固体物质的含量及固体物质的分散度。对于结构性地层原油，固体分散相的浓度大，具有明显的胶体溶液性质，黏度异常高，或流度异常低，渗流速度急剧下降。A.X.米尔扎任扎杰 (1953)提出黏塑性流体的渗流现象也符合TpmНН-Irmay定律。因为黏度随压力和温度变化，压力和温度对渗流速度也有一定的影响。压力是一种势能，对渗流速度的影响更大，压力梯度小时，渗流速度低；起始压力梯度越大，渗流速度越低。另外，距井的距离越远，渗流速度越低。由于真实的启动压力梯度往往很小，采用岩心实验的方法求出真实的启动压力梯度的难度通常很大。为此，谭雷军和刘曰武根据已有的低速非达西渗流试井理论，分别给出了确定启动压力梯度的稳定试井方法和不稳定试井方法。

这个么 我从小数学好 不过没发现什么诀窍内关键是把公式理解透了 ， 联系实际想想哪里可以用上还有点哦 你是一般的题都不太好呢 还是难题不太好 ？？那个22分 满分是多少啊？？等你补充好题目我会绕回来再回答

【数学的学习】数学的考察主要还是基础知识，难题也不过是在简单题的基础上加以综合。所以课本上的内容是很重要的，如果课本上的知识都不能掌握，就没有触类旁通的资本。对课本上的内容，上课之前最好能够首先预习一下，否则上课时有一个知识点没有跟上老师的步骤，下面的就不知所以然了，如此恶性循环，就会开始厌烦数学，对学习来说兴趣是很重要的。课后针对性的练习题一定要认真做，不能偷懒，也可以在课后复习时把课堂例题反复演算几遍，毕竟上课的时候，是老师在进行题目的演算和讲解，学生在听，这是一个比较机械、比较被动的接受知识的过程。也许你认为自己在课堂上听懂了，但实际上你对于解题方法的理解还没有达到一个比较深入的程度，并且非常容易忽视一些真正的解题过程中必定遇到的难点。“好脑子不如赖笔头”。对于数理化题目的解法，光靠脑子里的大致想法是不够的，一定要经过周密的笔头计算才能够发现其中的难点并且掌握化解方法，最终得到正确的计算结果。其次是要善于总结归类，寻找不同的题型、不同的知识点之间的共性和联系，把学过的知识系统化。举个具体的例子：高一代数的函数部分，我们学习了指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等好几种不同类型的函数。但是把它们对比着总结一下，你就会发现无论哪种函数，我们需要掌握的都是它的表达式、图象形状、奇偶性、增减性和对称性。那么你可以将这些函数的上述内容制作在一张大表格中，对比着进行理解和记忆。在解题时注意函数表达式与图形结合使用，必定会收到好得多的效果。最后就是要加强课后练习，除了作业之外，找一本好的参考书，尽量多做一下书上的练习题（尤其是综合题和应用题）。熟能生巧，这样才能巩固课堂学习的效果，使你的解题速度越来越快。【物理的学习】我曾经听说过一个上海中学生总结的“多理解，多练习，多总结”的“三多法”。我觉得这个方法很能概括高中阶段的物理学习要领。多理解，就是紧紧抓住预习、听课和复习，对所学知识进行多层次、多角度地理解。预习可分为粗读和精读。先粗略看一下所要学的内容，对重要的部分以小标题的方式加以圈注。接着便仔细阅读圈注部分，进行深入理解，即精读。上课时可有目的地听老师讲解难点，解答疑问。这样便对知识理解得较全面、透彻。课后进行复习，除了对公式定理进行理解记忆，还要深入理解老师的讲课思路，理解解题的“中心思路”，即抓住例题的知识点对症下药，应用什么定理的公式，使其条理化、程序化。多练习，既指巩固知识的练习，也指心理素质的“练习”。巩固知识的练习不光是指要认真完成课内习题，还要完成一定量的课外练习。但单纯的“题海战术”是不可取的，应该有选择地做一些有代表性的题型。基础好的同学还应该做一些综合题和应用题。另外，平日应注意调整自己的心态，培养沉着、自信的心理素质。多总结，首先要对课堂知识进行详细分类和整理，特别是定理，要深入理解它的内涵、外延、推导、应用范围等，总结出各种知识点之间的联系，在头脑中形成知识网络。其次要对多种题型的解答方法进行分析和概括。还有一种总结也很重要，就是在平时的练习和考试之后分析自己的错误、弱项，以便日后克服。【化学的学习】学习化学要做到三抓，即抓基础、抓思路、抓规律。重视基础知识的学习是提高能力的保证。学好化学用语如元素符号、化学式、化学方程式等基本概念及元素、化合物的性质。在做题中要善于总结归纳题型及解题思路。化学知识之间是有内在规律的，掌握了规律就能驾驭知识，记忆知识。如化合价的一般规律，金属元素通常显正价，非金属元素通常显负价，单质元素的化合价为零，许多元素有变价，条件不同价态不同。关于化学有一种说法就是化学是理科中的文科，因为化学要记要背的东西很多，而且化学是一门实验性很强的学科，因此在化学的学习过程中要注意阅读与动手、动笔结合。要自己动手推演、计算、写结构式、写化学方程式，或者动手做实验，来验证、加深印象和帮助理解，有时还要动手查找资料来核对、补充某些材料。同时在化学学习中，经过思考提出存在于化学事物内部或化学事物之间的矛盾，即化学问题，由自己来加以研究和解决，或者在自己解决不了时请求别人帮助解决，是化学学习的一种基本活动方法，也是提高化学学习效果的一种基本方法。【生物的学习】基本方针：1．生物是正确了解身体，学习人和环境（植物，动物，自然界）之间关系的科目。2．不要盲目记忆，跟生活中的经验联系起来理解。运用方案：1．仔细了解课本内容，理解和记忆基本概念。（1）根据每单元的学习目标，联系各个概念进行学习。（2）不要只记忆核心事项，要一步一步进行深入的学习。（3）要正确把握课本上的图像、表格、相片所表示的意思。2．把所学的内容跟实际生活联系起来理解。3．把日常用语和科学用语互做比较，确实理解整理后再记忆。4．把内容用图或表格表述后，再进行整理和理解。5．实验整理以后跟概念联系起来理解。（把握实验目的，把结果跟自己的想法做比较，找出差距，并分析差距产生的原因）*正确了解显微镜的结构和使用方法，直接观察了解各生物的特征。*养成写实验观察日记的习惯。6．以学习资料的解释部分和习题集的整理部分为中心进行记忆。7．根据内容用不同方法记忆。（1）把所学的内容联系起来整理进行记忆。*把想起来的主题不管顺序先随便记下来。*把中心主题写在中间位置。*按照知识间的相互关系用线或图连接起来完成地图。（2）利用对自己有特别意义或特殊意思的词进行记忆。（3）同时使用眼睛、手和嘴、耳朵记忆。8．不懂的题必须解决。（先给自己提问，把握自己具体不懂哪部分后再请教其他人。）9．通过解题确认所学内容。（1）整理做错的题，下次考试前重点复习。（2）不太明白的题查课本和学习资料弄清楚。（3）以基本题——中等难度题——难题的顺序做题，理解内容。

如果是水就是12斤

tan倍角公式：tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)。在Rt△ABC（直角三角形）中，∠C=90°，AB是∠C的对边c，BC是∠A的对边a，AC是∠B的对边b，正切函数就是tanB=b/a，即tanB=AC/BC。函数（function）的定义通常分为传统定义和近代定义，函数的两个定义本质是相同的，只是叙述概念的出发点不同，传统定义是从运动变化的观点出发，而近代定义是从集合、映射的观点出发。函数的近代定义是给定一个数集A，假设其中的元素为x，对A中的元素x施加对应法则f，记作f（x），得到另一数集B，假设B中的元素为y，则y与x之间的等量关系可以用y=f（x）表示，函数概念含有三个要素：定义域A、值域B和对应法则f。

在初中阶段，主要学习一元一次方程，二元一次方程、二元一次方程组，一元二次方程，以及分式方程，它们之间存在非常密切的联系，教材的编写也是循序渐进人。首先，只有学习了解一元二次方程，才会解二元一次方程组。在解二元一次方程组时，又是利用“消元” ，即将“二元”转化成“一元”， 然后用一元一次方程的方法来求解。解分式方程时，也是将分式方程化为一元一次方程来解，解题的关键就是转化为一元一次方程。因此，在教学时，就要渗透数学的化归思想，把“未知”转化成“已知”，把“复杂问题”转化成“简单问题”。同时也让学生明白学习数学也是有浅入深，循序渐进，螺旋式上升的过程；明白一个最基本的的数学思想“化归”。 一、解二元一次方程组的一般方法是代入消元法和加减消元法。其本质是消元，通过加减或代入达到消元的目的，转化为一元一次方程来解。因此，对一元一次方程的解法应记学生熟练掌握为继各类方程的解法打下良好的基础。能过二元一次方程的解法体会和渗透重要的一种数学思想：“化归”。 二、一元二次方程的解法：（一）因式分解法（二）、直接开平方法。（三）、配方法。（四）公式法。对一元二次方程来说本质是“降次”，化为一元一次方程来解。这里应该注意一个教材中删除的一个方法十字相乘法，这个方法虽然有一定的局限性，但对于列一元二次方程解应用题是特别好用的一种方法，上课是对有能力的同学也可教给他们，应用的原理就是（x+a）(x+b)=x2+(a+b)x+ab。 三、分式方程的解法： 1.解分式方程的基本思想：在学习简单的分式方程的解法时,是将分式方程化为一元一次方程,复杂的(可化为一元二次方程)。解分式方程的基本思想也一样,就是设法将分式方程“转化”为整式方程。2.解分式方程的基本方法：去分母法：去分母法是解分式方程的一般方法,在方程两边同时乘以各分式的最简公分母,使分式方程转化为整式方程.但要注意,可能会产生增根.所以,必须验根。产生增根的原因:当最简公分母等于0时,这种变形不符合方程的同解原理(方程的两边都乘以或除以同一个不等于零的数,所得方程与原方程同解),这时得到的整式方程的解不一定是原方程的解。检验根的方法:将整式方程得到的解代入原方程进行检验,看方程左右两边是否相等。为了简便,可把解得的根直接代入最简公分母中,如果不使公分母等于0,就是原方程的根;如果使公分母等于0,就是原方程的增根.必须舍去. 注意:增根是所得整式方程的根,但不是原方程的根,增根使原方程的公分母为0。归纳起来，用去分母法解分式方程的一般步骤:(1)去分母,将分式方程转化为整式方程;(2)解所得的整式方程;(3)验根做答。

倍角公式，是三角函数中非常实用的一类公式。就是把二倍角的三角函数用本角的三角函数表示出来。在计算中可以用来化简计算式、减少求三角函数的次数，在工程中也有广泛的运用。倍角公式有哪些倍角公式：Sin2A=2SinA.CosACos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1tan2A=（2tanA）/（1-tanA^2）（注：SinA^2是sinA的平方sin2（A））二倍角公式：sin2α=2sinαcosαtan2α=2tanα/(1-tan^2(α))cos2α=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)三倍角公式：sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α)cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α)tan3α=tana·tan(π/3+a)·tan(π/3-a)半角公式是什么tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA);cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA.sin^2(a/2)=(1-cos(a))/2cos^2(a/2)=(1+cos(a))/2tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a))其余三角函数公式有哪些积化和差公式：sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]和差化积公式：sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]两角和与差的三角函数：cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβcos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβsin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβtan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)

周期公式sinx的函数周期公式T=2π，sinx是正弦函数，周期是2πcosx的函数周期公式T=2π，cosx是余弦函数，周期2π。tanx和cotx的函数周期公式T=π，tanx和cotx分别是正切和余切。secx和cscx的函数周期公式T=2π，secx和cscx是正割和余割。拓展资料函数周期性公式及推导：f（x+a）=-f（x）周期为2a。证明过程：因为f(x+a)=-f(x)，且f(x)=-f(x-a)，所以f(x+a)=f(x-a)，即f(x+2a)=f(x)，所以周期是2a。f（x+a）=-f（x）那么f（x+2a）=f[（x+a）+a]=-f（x+a）=-[-f（x）]=f（x）所以f（x）是以2a为周期的周期函数。f（x+a）=1/f（x）那么f（x+2a）=f[（x+a）+a]=1/f（x+a）=1/[1/f（x）]=f（x）所以f（x）是以2a为周期的周期函数。f（x+a）=-1/f（x）那么f（x+2a）=f[（x+a）+a]=-1/f（x+a）=1/[-1/f（x）]=f（x）所以f（x）是以2a为周期的周期函数。所以得到这三个结论。2函数的周期性设函数f(x)在区间X上有定义，若存在一一个与x无关的正数T,使对于任一x∈X,恒有f(x+T)=f(x)则称f(x)是以T为周期的周期函数，把满足上式的最小正数T称为函数f(x)的周期。二、周期函数的运算性质:①若T为f(x)的周期,则f(ax+b)的周期为T/al。②若f(x),g(x)均是以T为周期的函数,则f(X)+g(X)也是以T为周期的函数。③若f(x),g(x)分别是以T1,T2,T1≠T2为周期的函数,则f(x)+g(x)是以T1,T2的最小公倍数为周期的函数。

L是容积单位，斤是质量单位，两者是不能直接进行换算的。若要进行换算，则必须要知道物体的密度，以水为例，标准状况下水的密度是1g/cm³，则6L水的质量是6千克，化为斤是12斤。斤是常见的质量单位，除此之外的质量单位还有千克、公斤、两、克、吨等，不同的质量单位之间，其换算的关系式不一样。古代重量单位：钧：三十斤是一钧；十圭重一铢，二十四铢重一两，十六两重一斤。锊和匀是中国的重量单位，以见于彝器上的锊和匀为最早，正同古代亚述人所用的单位锡克尔和米纳一样，锡克尔有两种标准，一重十七公分，一重十八公分。后来腓尼基人和希伯来人采用这单位，又有各种不同的标准，五十锡克尔等于一米纳，六十米纳等于一塔兰顿。这种衡制由巴比伦传到希腊，但希腊各地的塔兰顿又不同。中国的锊虽有轻重两种说法，大概通行的是重的一种，即三锊重二十两这由毛公鼎铭中的“取三十锊”。可以证明那里的锊不可能只有十一铢多重，在战国时期只有两种重量单位，即斤和镒，一斤为十六两；一镒为二十两，从当时文献中的记载看来，这两个单位是乱用的。

百度

一般方法：①如果各分母都是单项式,那么最简公分母就是各系数的最小公倍数,相同字母的最高次幂,所有不同字母都写在积里. 　　②如果各分母都是多项式,就可以将各个分母因式分解,取各分母数字系数的最小公倍数,凡出现的字母（或含字母的整式）为底数的幂的因式都要取最高次幂.

物理上的周期一般有两个计算公式： 1、T＝2πr／v（周期＝圆的周长÷线速度）； 2、T＝2π／ω（“ω”代表角速度）。若f(x)为周期函数，则把使得f(x+l)=f(x)对定义域中的任何x都成立的最小正数l，称为f(x)的（基本）周期。在计算机中，完成一个循环所需要的时间；或访问一次存储器所需要的时间，亦称为周期 。周期函数的实质：两个自变量值整体的差等于周期的倍数时，两个自变量值整体的函数值相等。如：f(x+6) =f(x-2)则函数周期为T=8。扩展资料周期与频率：T=1/f卫星绕行速度、角速度、周期：V=(GM/r)^1/2；ω=(GM/r3)^1/2T=2π(r3/GM)^1/2{M：中心天体质量}若f(x)为周期函数，则把使得f(x+l)=f(x)对定义域中的任何x都成立的最小正数l，称为f(x)的（基本）周期。对于函数y=f（x）。如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f（x+T）=f（x）都成立，那么就把函数y=f（x）叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期。事实上，任何一个常数kT（k∈Z，且k≠0）都是它的周期。并且周期函数f（x）的周期T是与x无关的非零常数，且周期函数不一定有最小正周期。

第二次世界大战后资本主义发生新变化的原因主要有：首先，科学技术革命和生产力的发展，是当代资本主义发生新变化的根本推动力量。其次，工人阶级争取自身权利    和利益的斗争，是推动当代资本主义发生新变化的重要力量。再次，社会主义制度初步显示的优越性对当代资本主义产生了重要影响。最后，主张改良主义的政党对资本主义制度的改革，也对当代资本主义新变化发挥了重要作用。资本主义政治制度发生的变化并没有改变其为资产阶级利益服务，仍然是服务于资产阶级进行统治和剥削需要的政治工具的本质属性。这一切表明，虽然第二次世界大战后资本主义发生了一些变化，但是这些变化并没有改变资本主义制度的本质，并没有克服资本主义的基本矛盾，也没有改变马克思主义关于资本主义的基本论断的科学性。根源于资本主义基本矛盾的经济危机依然是资本主义不可克服的痼疾。正确认识资本主义的这些变化，有助于我们在深刻洞察资本主义本质的同时，实事求是地分析和借鉴资本主义发展过程中出现的符合社会化大生产要求的积极因素，为我所用，以进一步完善和发展社会主义制度。

忍，并不代表我懦弱

升是体积单位，而斤是重量单位。不同物体密度不同，体积均为一升的情况下，重量是不一样的。例如水的密度为1g/cm³，1升等于1000毫升等于1000cm³，所以1升水的重量则为1000g（克），等于2斤。相关说明：质量的计算公式：质量=密度×体积体积确定的情况下，物体本身密度越大，则质量越大。例：花生油的密度是0.914～0.917g/cm³，小于水的密度，所以一升水比一升油更重。扩展资料：千克相关的单位换算1千克=0.001公吨（或“吨”）1千克=1，000克1千克=1，000，000毫克1千克=1，000，000，000微克1千克=2斤1千克=1公斤1千克=20两1grain格令=0.065gram克1dram打兰=1.772grams克1ounce盎司=16drams打兰=28.35grams克

正弦函数的周期公式是：T=2π。正弦函数是三角函数的一种。定义：对于任意一个实数x都对应着唯一的角（弧度制中等于这个实数），而这个角又对应着唯一确定的正弦值sinx，这样，对于任意一个实数x都有唯一确定的值sinx与它对应，按照这个对应法则所建立的函数，表示为f(x)=sin x，叫做正弦函数。正弦函数的定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即a/sin A=b/sin B=c/sin C。在直角三角形ABC中，∠C=90°，y为一条直角边，r为斜边，x为另一条直角边（在坐标系中，以此为底），则sin A=y/r,r=√（x^2+y^2）。将日历中“星期”随日期变化的周期性的出现和正弦函数值随角的变化周期性的出现进行对比，寻求出两者实质：当“自变量”增大某一个值时，“函数值”有规律的重复出现。出示函数周期性的定义：对于函数y=f（x），假如存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f（xT）=f（x）都成立，那么就把函数y=f（x）叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期。

是呆若木鸡

正弦、余弦函数的周期为2π,正切函数周期为π先把所求的三角函数化成我们比较熟悉的形式，可以直接代入以下公式。比如说可化成y＝sin（ωx＋θ）＋K，则T＝2π／ω；y＝cos（ωx＋θ）＋K，则T＝2π／ω；y＝tan（ωx＋θ）＋K，则T＝π／ω；（其中ω，θ，ω均为实数）f（x）＝sin（ωx＋φ）T＝2π／｜ω｜f（x）＝cos（ωx＋φ）T＝2π／｜ω｜f（x）＝tan（ωx＋φ）T＝π／｜ω｜f（x）＝cot（ωx＋φ）T＝π／｜ω｜f（x）＝sec（ωx＋φ）T＝2π／｜ω｜f（x）＝csc（ωx＋φ）T＝2π／｜ω｜。扩展资料三角函数的周期通式的表达式：正弦三角函数的通式：y＝Asin（wx＋t）；余弦三角函数的通式：y＝Acos（wx＋t）；正切三角函数的通式：y＝Atan（wx＋t）；余切三角函数的通式：y＝Actg（wx＋t）。在w>0的条件下：A:表示三角函数的振幅；三角函数的周期T=2π/ω；三角函数的频率f=1/T:wx＋t表示三角函数的相位；t表示三角函数的初相位。

眼泪不代表懦弱

倍角公式是三角函数中非常实用的一类公式。在计算中可以用来化简计算式、减少求三角函数的次数。下面我整理了相关内容，供大家参考。 三角函数倍角公式是什么 倍角公式 tan2A=2tanA/(1-tan2A)cot2A=(cot2A-1)/2cota cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0 cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0以及 sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2 tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0 四倍角公式 sin4A=-4*(cosA*sinA*(2*sinA^2-1)) cos4A=1+(-8*cosA^2+8*cosA^4) tan4A=(4*tanA-4*tanA^3)/(1-6*tanA^2+tanA^4) 五倍角公式 sin5A=16sinA^5-20sinA^3+5sinA cos5A=16cosA^5-20cosA^3+5cosA tan5A=tanA*(5-10*tanA^2+tanA^4)/(1-10*tanA^2+5*tanA^4) 六倍角公式 sin6A=2*(cosA*sinA*(2*sinA+1)*(2*sinA-1)*(-3+4*sinA^2)) cos6A=((-1+2*cosA^2)*(16*cosA^4-16*cosA^2+1)) tan6A=(-6*tanA+20*tanA^3-6*tanA^5)/(-1+15*tanA^2-15*tanA^4+tanA^6) 七倍角公式 sin7A=-(sinA*(56*sinA^2-112*sinA^4-7+64*sinA^6)) cos7A=(cosA*(56*cosA^2-112*cosA^4+64*cosA^6-7)) tan7A=tanA*(-7+35*tanA^2-21*tanA^4+tanA^6)/(-1+21*tanA^2-35*tanA^4+7*tanA^6) 八倍角公式 sin8A=-8*(cosA*sinA*(2*sinA^2-1)*(-8*sinA^2+8*sinA^4+1)) cos8A=1+(160*cosA^4-256*cosA^6+128*cosA^8-32*cosA^2) tan8A=-8*tanA*(-1+7*tanA^2-7*tanA^4+tanA^6)/(1-28*tanA^2+70*tanA^4-28*tanA^6+tanA^8)等。 倍角公式推导过程 倍角公式的推导是利用基本的展开式： sin(x+y)=sinxcosy+cosxsiny cos(x+y)=cosxcosy-sinxsiny 于是： sin2x=sin(x+x)=sinxcosx+cosxsinx=2sinxcosx cos2x=cos(x+x)=cosxcosx-sinxsinx =cos²x-sin²x =1-sin²x-sin²x=1-2sin²x =cos²x-(1-cos²x)=2cos²x-1 tan2x=sin2x/cos2x=2sinxcosx/(cos²x-sin²x)=（分子分母同时除以cos²x）2tanx/(1-tan²x)

倍角公是三角函数中非常实用的一类公式。下面我为大家整理了初中三角函数倍角公式及推导，供参考。 初中三角函数倍角公式是什么 半倍角公式 sin(A/2)=√((1-cosA)/2)sin(A/2)=-√((1-cosA)/2) cos(A/2)=√((1+cosA)/2)cos(A/2)=-√((1+cosA)/2) tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA))tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA)) cot(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA))cot(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA)) 二倍角公式 Sin2A=2SinA*CosA Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 tan2A=(2tanA)/(1-tanA^2) 三倍角公式 sin3α＝3sinα－4sin3α cos3α＝4cos3α－3cosα tan3α＝（3tanα－tan3α）/(1－3tan2α) 四倍角公式 sin4A=-4*(cosA*sinA*(2*sinA^2-1)) cos4A=1+(-8*cosA^2+8*cosA^4) tan4A=(4*tanA-4*tanA^3)/(1-6*tanA^2+tanA^4) 五倍角公式 sin5A=16sinA^5-20sinA^3+5sinA cos5A=16cosA^5-20cosA^3+5cosA tan5A=tanA*(5-10*tanA^2+tanA^4)/(1-10*tanA^2+5*tanA^4) 初中倍角公式推导过程 在二角和的公式中令两个角相等(B=A),就得到二倍角公式. sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB --->sin2A=2sinAcosA cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB --->cos2A=(cosA)^2-(sinA)^2=(1-(sinA)^2-(sinA)^2=1-2(sinA)^2=2(cosA)^2-1. tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) --->tan2A=2tanA/[1-(tanA)^2] 在余弦的二倍角公式中,解方程就得到半角公式. cosx=1-2[sin(x/2)]^2 --->sin(x/2)=+"-√[(1-cosx)/2]符号由(x/2)的象限决定,下同. cosx=2[cos(x/2)]^2 --->cos(x/2)=+"-√[1+cosx)/2] 两式的的两边分别相除,得到 tan(x/2)=+"-√[(1-cosx)/(1+cosx)]. 又tan(x/2)=sin(x/2)/cos(x/2) =2[sin(x/2)]^2/[2sin(x/2)cos(x/2)] =(1-cosx)/sinx =......... =sinx/(1+cosx).

周期t公式是：1、T＝2πr／v（周期＝圆的周长÷线速度）。2、T＝2π／ω（“ω”代表角速度）。周期函数的实质：两个自变量值整体的差等于周期的倍数时，两个自变量值整体的函数值相等。如：f(x+6) =f(x-2)则函数周期为T=8。周期函数性质：（1）若T（≠0）是f(X)的周期，则-T也是f(X)的周期。（2）若T（≠0）是f(X)的周期，则nT（n为任意非零整数）也是f(X)的周期。（3）若T1与T2都是f(X)的周期，则T1±T2也是f(X)的周期。（4）若f(X)有最小正周期T*，那么f(X)的任何正周期T一定是T*的正整数倍。（5）周期函数f(X)的定义域M必定是双方无界的集合。

陈廷敬就是一位宅心仁厚的德官，印象里他是一位勤勤恳恳修撰字典的老实人，似乎跟这个「 ”懦”字也离得不远，但这么认为就彻底错了，德行高却不见得没有铁腕。陈廷敬微笑着站在康熙朝堂上近半个世纪，没有点做官的诀窍哪里办得到？此人政治嗅觉极其灵敏，而且出手也相当老辣。他能从康熙的一句话里，听出自己的行动指南，然后恰似兔起鹘落，一举将明珠、索额图等几位权臣全部拿下！ 康熙朝有一度时期，明珠和索额图各自结党，一个权倾朝野，一个飞扬跋扈，而向来不结党的陈廷敬也深受康熙信任，这让明珠与索额图既羡又忌，既然拉拢不了你，不如直接干倒你，于是陈廷敬的弟弟陈廷统受贿被告发，接着亲家张沂因贪污被参，可陈廷敬一个字也没有替自己辩解，乞求还乡守孝，康熙皇帝就准许他回阳城老家了。 康熙找陈廷敬问话，言谈间，陈廷敬数次随口说出「 ”明相国”几个字，后来康熙似乎有心纠正他，说「 ”大清从未设过什么相国，何来的明相国？”就是这有意无意的一句话，让陈廷敬敏锐地捕捉到了康熙帝对明珠的态度，他知道，出重拳击倒明珠的时机到了。 在大清朝的权力中枢里，还有两位举足轻重的近臣，一个是徐干学，一个是高士奇，这两个倒没有怎么倾轧陈廷敬，至少面子上还很过得去，但陈廷敬向来孤守清高，不像高、徐那样喜欢呼朋引类，植党揽权，乃至贪墨无度，民间有说法叫做：「 ”九天供赋归东海（徐干学），万国金珠献淡（澹）人（高士奇）。”这两个人也让康熙很头疼恼火。 于是，陈廷敬使出了他政治生涯中最得意的连环计，身为左都御史的他先让御史郭琇出面参明珠，这一参正中康熙下怀，陈廷敬再顺水推舟把明珠推倒。接着，他利用索额图和高士奇之间的感情裂缝，怂恿高士奇参劾索额图。 在索额图如坐针毡的时候，他「 ”不经意间”与索额图谈到了高士奇拿假古董哄骗皇上的真相，索额图在被高士奇参倒之后，反咬一口，将高士奇欺君罔上的事奏到了皇上面前。康熙是大局在握的黄雀，其实早就准备好开炮了，只是缺给他点炮捻子的人，他没想到是老成持重的陈廷敬在暗中给他安顿好了这场局，陈廷敬该出手就出手，果敢决绝而不居其功。 陈廷敬这套连环参的胜利成果是：明珠罢相削权，索额图身死囹圄，徐干学去官郁郁而终，高士奇斥退回藉。朝堂为之一清。

在二角和的公式中令两个角相等(B=A),就得到二倍角公式.sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB--->sin2A=2sinAcosAcos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB--->cos2A=(cosA)^2-(sinA)^2=(1-(sinA)^2-(sinA)^2=1-2(sinA)^2=2(cosA)^2-1.tan(A...

在数学教学中，转化“后进生”的能力与学业成绩的提高是是很多教师探讨的话题。我作为一名教师，根据多年的教学经验，认为可从以下三个方面入手： 一、教师心中要有大爱，正确对待后进生。 1. 要力求每一个学生的发展 。任何一个班级的学生基础不可能完全一致，学习知识、掌握技能的速度和质量也不尽相同。传统教育往往只重视对少数学生的培养，对其他学生则忽视了发展。这样做的结果是多数学生为少数学生做了“铺垫”，不符合“三个面向”的要求。为了扭转这种弊端，在分类指导、区别对待的同时，教师应面向全体学生，不放弃任何一个。 2 .要力求学生每一个方面的发展 。学生的天赋是有差别的：有的善于形象思维，有的善于抽象思维，有的文化科学知识较弱，有的动手能力很强，有的在绘画方面有特长，有的有音乐天赋等等。根据马克思的观点，人的发展就是人的个性自由而充分的发展，而人的个性是共同性与差异性、统一性与特殊性的统一。 3. 要给予学生更多的赏识 。美国大作家马克·吐温曾说过：“一句赞扬的话，可以使我愉快地生活三个月。”这句话并不夸张，人的精神生命确实需要各种知识，而最不可缺少的营养就是成功体验。学习上有困难的学生通常有自卑感、失落感，缺乏自信心。他们并非智力低、能力弱、没有潜力，关键在于他们获得成功体验的机会太少了。 4. 要耐心疏导,增强学生的信心 。“学困生”在数学学习上既有困难又有潜能。因此教师教学的首要工作是转变观念,正确地对待“学困生”,认真分析学困生学习困难的原因,有意识地偏爱“学困生”,允许数学学习上的反复,从中来激发他们学习数学的自信心,并创造条件,让“学困生”体验在学习数学是的成就感。 二、数学课堂上必须做到以下几方面： 1.课堂教学内容设计要合理，使“后进生”便于接受 。课堂设计教学内容要降低迁移坡度，让后进生循序渐进地把知识加工、内化。如在新课的引入练习中，注意新旧知识的联系，以旧引新，新中有旧，为后进生 探索 新知、迁移转化作好各方面的准备（包括知识、方法、态度等）。 2.课堂问题设计难易要适中 。学生“后进”的成因是多方面的，有的上课比较好动，有的自卑感强。教师上课总是提问优等生，因此，“后进生”多数不喜欢举手发言，也没有机会让他们发言，时间长了，他们对上课的内容毫无兴趣，我行我素，成为课堂学习的陪客。所以，在教学时应该设计一些简单的问题，让他们主动参与回答，从而激起主动参与学习的欲望，让好动的集中思维于学习探求上，让自卑的树立起“我能行”的信心。当“后进生”回答正确时，要及时鼓励和表扬他们；当他们回答不对时，也要加以肯定，使他们能鼓起勇气继续主动学习。 4.课堂练习分层设计，为“后进生”减轻负担 。首先，要求全班学生完成基础练习，然后逐步提升、加难，让达到前一目标的学生先踏上一步，做后一层次的练习，教师则集中精力个别辅导刚才未懂的学生。这样，学习困难的学生可以顺利完成基础作业，各种水平的学生都有所得、有所进步。 三、数学课堂外可以注意以下几方面： 1. 指导课前预习 。我是这样做的：一开始每次给出预习提纲，并作必要的提示、指导，让学生带着问题读读、想想，然后逐步过渡到只布置预习内容，让学生自己在书上圈圈点点。这样，通过预习，学生对新授的知识有了初步的了解，新授时可以开门见山，直奔中心，提高效率。对于一些特别的后进生，在新授中较难的内容提前一天接触或指点，第二天他们就能跟上整体节奏了。 2.作业辅导与激励手段并用 ，调动“后进生”的积极性。对作业情况的及时批改、及时反馈、及时矫正是促进“后进生”进步的有效措施。在批改作业时对“后进生”要优先，并及时让他们订正。“后进生”由于种种原因，常常会逃避订正，教师不得不花很多时间和精力去督促，去批评教育，结果是师生双方都很累，而且会产生负面效应。为此，我改变了订正方法，实行订正奖励制：作业、试卷订正正确了，在原得分基础上加分。这样，作业辅导与激励机制双管齐下，调动了学生订正的积极性。 3.利用集体力量给予“后进生”帮助 。教师要经常与后进生谈心，多做调查，有的放矢地进行辅导。可给每一位后进生建立学习小档案，为每一位后进生组成互助小组，但注意在选择小组成员时要考虑后进生自己的喜好，不要强求，最好使他们成为好朋友。 4.组织有趣活动，激发“后进生”的学习数学兴趣 。兴趣是成功的保证，是学生获取知识的开始，是求知欲望的基础。在班级内可以开展各种与数学有关的活动，如介绍数学名人、制作数学小报、数学小故事会等等，让后进生参与到多姿多彩的活动中，逐渐提高对数学的兴趣。即使是数学竞赛，也要考虑到后进生的实际情况分别评奖，在后进生中排出名次，让后进生品尝一下获奖的滋味。总之，转变数学“后进生”，使他们由“厌学”变为“乐学”，是每一位数学教师时刻面临的一项艰巨的任务。新课程改革并不是要放弃这部分“后进生”，而是要让他们更好地获得数学知识，学得更轻松、更灵活。能真正做到这一点，才能不辱数学教师肩负的神圣使命。 为了每一位学生的发展，对这些暂时后进的学生多一些爱心吧，以理解、包容的心去接近他们，以期盼的眼光去鼓励他们，我们一定会收获满满。 1.低起点 由于“学困生”基础较差,因此教师教学的起点必须低,整体上以加强数的计算为起点,教学中将教材原有的内容降低到“学困生”的起点上,然后进行正常的教学。在教学中,教师主要应采用“低起点、引入法”,以课本教材中的较容易接受的知识引入作为起点,如“正数与负数”、“直角三角形”、“因式分解”等内容。 教师应以所教学内容的最基本、最本质的东西作为教学的起点。如在“同类项”教学中,我将原教材中的同类项概念分成两个步骤进行教学:先讨论“所含的字母”完全相同,再研究相同的字母的指数相同,从而降低了起点,便于学生理解掌握这一知识。 教师应以所学内容的解题方法为教学起点。例如:在“分式方程”教学中,我先由4/x=1的解法,引出解分式方程的一般解法,再由2/x-3-4/x=1的过程归纳解题步骤和基本思想。 教师应以所教的新内容的特殊基本原型作为教学的起点。如在“三角形的内角和”、“中位线定理”、“三线八角平行线的性质”等内容的教学中,我先让学生量一量,从中对有关的几何定理有一个直观的了解,再引入新课。 教师应从学生已学过所掌握、所了解的知识、例子作为起点,通过新旧知识的异同点类比进行教学。如“解不等式”可以与“解方程”进行类比,“分式”可以通过“分数”、“相似形”可通过“全等形”进行类比引入教学。 2.多归纳 考虑到学生的实际情况,教师要给予学生多归纳、总结的机会,使学生掌握一定的条理性和规律性。如:在“分式方程”的教学中,我归纳出解法:①去分母法;②换元法。对于换元法给予归纳出两种常见的题型:A.平方型;B.倒数型。又如在“三线八角”教学中,由于图形较于复杂,学生不易找出同位角、内错角、同旁内角,可以总结出同位角找字母“F”,内错角找字母“N”,同旁内角找字母“I”。只有不断总结,才能有创新和发展。 3.勤练习 由于“学困生”在课堂教学中有意注意时间较短,因此单调不变的教学模式易引起原本有意注意时间就短的学生学习注意的分散。在教学中,我将每节课分成若干个阶段,每个阶段都让自学、讲解、提问、练习、学生小结、教师归纳等形式交替出现,这样调节了学生的注意力,使学生大量参与课堂学习活动。事实表明:课堂活动形式多了,学生中思想开小差、做小动作、讲闲话等现象大大减少了。 2 如何辅导差生学好数学 加强师生 情感 交流，让学生“爱屋及乌” 在课堂教学中，教师的 情感 无时无刻不强烈地感染着学生。因此，教师应怀着极大的热情进行教学活动。教学中，教师应注意师生之间 情感 交流，要努力使教态亲切，教学情绪饱满，教学语言生动形象，教学方法灵活。此外，还应以平等的态度对待每个学生，真诚地给学生以信任和鼓励。欲使学生“亲其师，信其道”，教师必须对学生倾注爱心。前苏联教育学家苏霍姆林斯基说：“热爱孩子是教师生活中最主要的东西。”热爱是一种伟大的 情感 。得到教师的爱是每一个学生普遍的心理需要。学生把对教师的爱迁移到教师所教的学科，达到“爱屋及乌”的效果。师生之间形成了良好的 情感 交流，就会极大的激发学生的学习兴趣。爱因斯坦说：“兴趣是最好的老师。”也就是说，兴趣是成功的保证，是学生获取知识的开始，是求知欲望的基础。 古语云：“感人心者莫先乎情。”所以教师应加强与学生感情的交流，增进与学生的友谊，关心他们、爱护他们，积极热情地帮助他们解决学习和生活中的困难，拉近师生之间的距离。师生之间的感情特别能在课堂上得到验证，如果师生感情特别好，学生就会更好地投入学习，效果也特别好。另外，教师要恰当地评价学生学习的情况，让学生能认同接受。当学生怀着一种对教师敬佩和认同的感情的时候，教师的教学目标就已经达到了。所以，在教学中教师要特别忌讳打击学生的积极性，说伤害学生尊严的话，教师的行为举动一定在课堂上要保持温情，要让学生从内心接受。难题和怪题.在试题的编排上做到先易后难，梯度明显.使后进生有及格的可能性或稍加努力就可及格，从而增加他们的学习的信心. 树立差生在全体同学中的威信，引发学习数学的兴趣和信心 在学生对老师产生好感的同时，我又在课堂上给差生创造消除自卑，重树信心的机会。有些老师在课堂上一般很少提问差生，认为他们回答不出会影响课堂气氛和教学进度，而我却是每节课必提问差生，尽量让他们回答一些简单的问题或者重复别人的回答，然后肯定他们的进步，甚至在学校领导来听课的时候，也尽量把回答问题的机会让给差生，使他们感到自己也不差，也能为班集体争光，学习数学的信心和兴趣不断增大。 为了树立差生在好生中的进步形象，在教新知识之前，我都抽空给他们预习，使他们预先掌握一定的解题方法，在上新课时更有信心回答老师提出的问题，力求达到与好生"平起平坐"，到了上新课时，这些差生算得又快又准，使在场的好生报以热烈的掌声，并纷纷向差生们打听算得快的窍门，这一下，差生们感受到了学习的乐趣和成功的喜悦，在全班学生中的地位也也进一步提高了。 3 引导差生学好数学的方法 “学困生”在心理上，其实也迫切希望自己能成为学习上的佼佼者，但由于知识缺陷多，容易产生厌学心理，为解决这一矛盾，作为老师要注意了解：“学困生”对在学习新知识上可能存在哪些障碍，在学习的过程中怎样能较好地获取知识。在实际教学时，教师更应力求灵活的教学方式，以激发学生的求知欲，调动他们的学习热情，这也是学生能否学好数学的关键。教师要尽可能地结合教材内容和学生的实际，收集、设计一些有趣的数学 游戏 ，开展一些有趣的数学活动。“学困生”在 游戏 中自然会产生强烈的和数学学习有关的好奇心和求知欲，教师再不失时机地将新课内容推出，使“学困生”的兴趣和精力集中在知识的获取过程中。 要耐心细致地疏导,增强学生的信心。 “学困生”在数学学习上既有困难又有潜能。因此教师教学的首要工作是转变观念,正确地对待“学困生”,认真分析学困生学习困难的原因,有意识地偏爱“学困生”,允许数学学习上的反复,从中来激发他们学习数学的自信心,并创造条件,让“学困生”体验在学习上取得成功的 情感 。 “学困生”在过去数学中受到的肯定、鼓励相当少。因此教师要充分地鼓励、肯定他们,促使他们对数学产生兴趣,让他们在数学学习上取得成功,使他们感到自己能学好数学。教师要从学生的实际情况出发,降低和调整某些教学要求,以满足某一层次学生的需要,促使教与学的适应,教与学的促进,教与学的统一。教师要克服“用自己的思维和认知来代替学生的思维和认知”的倾向,树立起“要教就要使学生掌握”的观点,纠正过去“教得好不好不是教师的责任,至于学得好不好不是学生的责任”的观点,多从自己教学方面寻找提高教学质量的因素。 4 如何帮助学生提高数学学习成绩 了解差生家庭情况，取得家长积极主动的配合，学校与家庭共同帮助差生学习 差生在学校受到个别好生的歧视，在家庭中还要承受家长的责备，双重的压力使他们的学习情绪较为低落。为了引导差生们提高学习积极性，老师首先要减轻其学习压力，多与差生的家长们联系，向他们反映差生的优点和长处，并适当指出其缺点，与家长共同商讨教育的方法和手段，帮助差生脱"差"变"好"。切忌向家长们吐苦水、告大状，历数差生的不是，激发家长和子女间的矛盾，从而影响学校与家庭共同教育差生的效果。 我班的某一同学数学成绩过去一向很差，考试一般都是三、四十分，家长都认为无可救药了，只好听之任之，不加理会，其本人也因找不到学习差的原因而自暴自弃。对此，我并没有撒手不理，放任自流，而是不厌其烦地打电话与其家长谈心，指出孩子成绩上不去的关键是计算不过关，并教会家长如何在家中训练孩子的计算能力的方法。经过家长的配合，数学成绩稳步上升。家长尝到了与老师密切配合的甜头，我也感受到争取家长支持的成功喜悦。 认真把好考试关，注意培养差生的自信心和自尊心。 要有意识地出一些较易的题目，培养他们的信心，让他们尝到甜头，使他们意识到自己也可以学好的。在考试前应对学生提出明确、具体的要求，对差生知识的薄弱点进行个别辅导，这样还可使有些差生经过努力也有得较高分的机会，让他们有成就感，逐步改变他们头脑中在学习上总是比别人差一等的印象。从而培养了他们的自信心和自尊心。激励他们积极争取，努力向上。从而达到转化差生目的。 实践证明在教学中注意采用上述方法对提高差生的成绩帮助极大，对大面积提高数学教学质量有极大的帮助。苏霍姆林斯基曾经说过“如果儿童不仅仅知道而且体会到教师和集体对他们的优点既注意到了，又很赞赏的话，那么，他就会尽一切努力变得更好”。在实施分层教学的过程中，我注意对不同层次的学生提出不同层次的要求，并采用正面激励的方法，让学生在自己的作业本上看到大大的“优”，或得到简短的批注“方法好”、“计算巧妙”等，品尝到自己的学习成果，体会到成功的欢乐，喜悦的心情溢于言表。 只有放低起点，让学生感受到学习的乐趣，提高自信心，随着成绩慢慢提高，学生逐渐掌握学习方法，和学习优秀学生缩小差距。 首先，唤醒，让他有成功体验，培养兴趣。其次，增强补缺补漏。再次，制定奖惩制度，加强督促。 分层教学是很好的方法。 多年来，我们苦于班级内部学生的学习能力差异大，教师的教学多数倾向于照顾中间层次，造成了好学生“吃不饱”、弱的学生“吃不了”的状态。由于学生在校学习时间有限，课下教师的时间与精力有限，个性化的辅导答疑也不能保证跟进，所以导致不同潜质的学生个性化需求无法得到满足，一些学生的学习效率低下，这不仅成为学校教学中的困惑，也成为学校教育中的诟病。 分层走班教学实施后，由于同层次的学生水平相当，课堂上的学习效率明显提高。表现为学生的接受与理解、表达与交流效果显著，形成了积极的学习氛围，也让学生在学到知识的同时体验到成功的感受。这样的学习环境既满足了优秀生，也培养了中等生，更帮助了学困生，即优秀生减少了重复性的学习，有时间向更高目标发展；中等生实施了更适合他们的学习策略，提高了学习效率；学困生也不再是“看客”，老师能够帮助他们开展有针对性的学习，逐步减轻了心理压力，从学习焦虑、苦闷中解脱出来。分层走班教学使得学生们体验到了学有所得、学有所乐，增强了学习的信心。 复习时对于他们容易忘、容易错的题型进行专项训练。 2、针对学困生学习差自信心不足，教师要多鼓励。 对于后进生每个学生来说，发展的这个过程和时期都是不尽相同，所以现在的后勤生也许是当对当前学科对当前学的知识不感兴趣，但是一定要积极鼓励孩子去克服困难啊，夯实基础，把基础知识掌握好了以后，对孩子以后长远的发展是有利的。对候晋升提的要求大，目标大方向不要变依然很高，那么具体的措施和方法一定要特别的具体到他的这个认知水平，这样更便于后进生的一个进步和自信心的一个培养。 任何事情的改变是由内因和外因共同作用完成的，但内因是必要条件。当孩子自己想学习时，老师和学生共同想办法，定能寻找一个适合的方法式，解决问题的。 一、为了提高数学教学重量，在教学中首先要注重培养后进生对数学学习的兴趣。激发他们的学习积极性，使他们主动接受教育。 　　1　帮助后进生树立明确的学习目标 　　方向明、目标清，才能做到有的放矢，正确地引导是激发后进生学习数学兴趣的基础。每当介绍新知识，我都会举出生活中相关的例子，如提出让后进生感兴趣的问题，由后进生来想办法解决，以此达到刺激后进生的求知欲、激发后进生学习数学的兴趣之目的。在数学教学中，让后进生明确数学的每一项学习活动的目标，并且使后进生认清学习活动与他们的长远人生目标的关系，课堂利用生活的故事，事例对后进生进行教育，使他们树立正确的人生观和世界观。制定学习目标时切合他们的实际，让他们经过一定努力就可以实现，从而获得长期的学习动力。 　　2　应加强教学语言的艺术应用，让教后进生动、有趣 　　课堂教学中教师不仅要随时观察全班后进生学习情绪，更要特别注意观察后进生的学习情绪，后进生往往上课思想开小差、不集中，他们对教师一般牲按部就班式，用枯燥无味的语言讲课听不进耳，对数学知识也不感兴趣。这时，教师应恰当运用艺术性的教学语言来活跃课堂气氛，引导每位后进生进入积极思维状态，从而达到教学目的。 　　3　沟通师生感情，调动积极因素 　　教育后进生时要动之以情、晓之以理、施之以爱，一切从后进生的利益出发，才能让后进生感受到老师的可敬可爱、可亲可近，才易于沟通师生间的 情感 ，从而就能激发后进生对老师所讲的道理、所传授的知识产生兴趣，进而培养后进生学习数学的兴趣。调动学习数学的积极性，但在经过长期的、反复的“失败”后，往往产生畏难情绪，失去学习信心。在这关键的时刻最需要老师的诱导。首先，我们可以为后进生承担责任，减轻后进生的思想负担；其次，帮助他们找出成绩差的原因，教育他们对症下药；再次，在教学过程中，让他们回答一些简单的问题，多给他们予肯定，树立后进生的自信心。做到不提过去、不揭短、不冷落、不公开批评、不操之过急，使后进生从内心感到教师是真诚的爱护和帮助他们的。师生的感情融洽，能促进教与学的统一，调动后进生的学习积极性。 　　4　指导学习方法，解决学习困难 　　造成后进生学习成绩差的原因是错综复杂的，学习方法不当，是其中的一个主要原因。后进生不会进行预习、复习，听课时不知道怎样抓重点、难点，不会记简要的笔记。所以，在教学中，注意结合数学课的特点，随时渗透学习方法的指导。通过方法指导，积极组织后进生的思维活动，不断提高后进生的参与能力，教育心理学的研究成果表明，教师可以通过有目的的教学促使后进生有意识地掌握推理方法、思维方式、学习技能和学习策略，从而提高后进生参与活动的心理过程的效率来促进学习。在教学中，教师不但要教知识，还要教后进生如何“学”。教学中教师不能忽视，更不能代替后进生的思维，而是要尽可能地使教学内容的设计贴近后进生的“最近发展区”。通过设计适当的教学程序，引导后进生从中悟出一定的方法。后进生在课堂上听课时，由于种种原因，他们对自已的疑惑和不解之处常常是说不清、道不明。针对这种情况，首先就要求我们教师在备课时不仅备教材，更重要的是立足于后进生的思维，仔细揣摩他们学习的心理，努力体察后进生可能的困惑和错误之处，做到未雨绸缪，估计在先；其次在课堂上要随时从后进生的神态、表情中观察、揣摩，尽可能地掌握后进生的思维进展程度，并作出相应的对策。 　　二、认真把好考试关，注意培养后进生成功的自信心和自尊心。 　　要有意识地出一些较易的题目，培养他们的信心，在数学课堂上，你会经常听到后进生高兴地说：“老师，我把这道题做出来了!”看着他满足的表情，我们也能感受到他内心的喜悦。让后进生不断获得成功，经常怀着喜悦的心情投入学习，就更容易取得新的动力，从而让后进生对数学兴趣盎然。在轻松愉快的情境中体验到成功的快乐。如对于成绩差的后进生，可以让他们来解决较为容易的题目，并给以适当的表扬，让他们发现自己的闪光点，从而诱发出积极学习、努力向上的热情；让他们尝到甜头，使他们意识到自己也可以学好的。在考试前应对后进生提出明确、具体的要求，对后进生知识的薄弱点进行个别辅导，这样还可使有些后进生经过努力也有得较高分的机会，让他们有成就感，逐步改变他们头脑中在学习上总是比别人差一等的印象。从而培养了他们的自信心和自尊心。从而达到转化后进生目的。 　　实践证明在教学中注意采用上述方法对提高了后进生的成绩，对大面积提高数学教学质量有极大的帮助。总之，后进生也是学生，也是祖国的希望，作为一个教学工作者决不能将之放弃。我们必须通过不同的手段，争取让这些后进生不再是后进生，让他们也能体会到求知的乐趣与成功的愉悦。 激发学习兴趣，提高学习积极性。托尔斯泰说过：“成功的教学所需要的不是强制，而是激发学生的兴趣。”后进生对抽象的东西比较难于理解。在小学数学课堂教学中，多媒体的运用，能把教学内容生动形象地展现出来，达到声形兼备的效果，带给学生良好的多种感官刺激，激发出学生学习数学的兴趣，从而获得内心喜悦和享受，也使得学生的注意力更为集中，思维更为活跃。 融洽师生 情感 ，提升后进生信任感。苏霍姆林斯基说过：“教育才能的基础在于深信有可能成功地教育每个儿童，我不相信有不可救药的儿童、少年或男女青年。”爱是一种最有效的教育手段，教师 情感 可以温暖一颗冰冷的心，可以使浪子回头。当后进生体验到老师对自己的一片爱心和殷切期望时，他们就会变得“亲其师而信其道”。要爱学生，尤其要爱差生，只有这样，才能得到他们的信任。 合理、理想的师生之间的人际关系交往表现在师生心灵上、 情感 上的融洽。这种心灵的交往可促使师生产生相互感知、相互理解、相互信任和相互吸引的互动效益。如果老师赞许的目光频频投向出色的学生，对后进生则冷眼相待。稍有过失，则加以训斥，得不到理解、尊重，自身价值得不到表现，使他们在心理上自觉低人一等，久而久之，就会导致他们自我贬低、自暴自弃，产生一种强烈的自卑感。从教育心理学的角度来说，小学生心理还是很不成熟的，比较容易走极端。在这种心态支配下，你越是逼迫他学习，他越是有反感，学习成绩会越来越差。 大多教师总是以成绩来衡量学生的“优”与“差”，也都只喜欢成绩好的学生，而厌烦成绩差的学生，这种不合理的评价成了后进生形成的催化剂。人们常说，没有爱就没有教育，教师的爱是启迪学生心灵的钥匙。作为教师，不但对学生要有一视同仁的爱，还应该给进后进生多一点爱，只有这样，才有利于教育转化后进生。一般来说，后进生都不是先天就形成的，除了那些智力上因为大脑残疾或因其他原因导致的确实存在缺陷的学生外，大部分后进生都是后天形成的，特别是数学后进生，其实他们曾经都有过辉煌，都得到过赞许，只是因为后天的一些因素导致他们无心学习，从而破罐子破摔，加之老师、同学及家长的不认可，使他们越来越感觉自己一无是处。慢慢地，他们身上的坏习惯越来越多，从而最终被确定为所谓的“后进生”。他们也想出色，只是永远没机会。

∫cscx dx=∫1/sinx dx=∫1/[2sin(x/2)cos(x/2)] dx,两倍角公式=∫1/[sin(x/2)cos(x/2)] d(x/2)=∫1/tan(x/2)*sec²(x/2) d(x/2)=∫1/tan(x/2) d[tan(x/2)],注∫sec²(x/2)d(x/2)=tan(x/2)+C=ln|tan(x/2)|+C。扩展资料如果f(x)在区间I上有原函数，即有一个函数F(x)使对任意x∈I，都有F"(x)=f(x)，那么对任何常数显然也有[F(x)+C]"=f(x).即对任何常数C，函数F(x)+C也是f(x)的原函数。这说明如果f(x)有一个原函数,那么f(x)就有无限多个原函数。设G(x)是f(x)的另一个原函数,即∀x∈I，G"(x)=f(x)。于是[G(x)-F(x)]"=G"(x)-F"(x)=f(x)-f(x)=0。

物理上的周期一般有两个计算公式： 1、T＝2πr／v（周期＝圆的周长÷线速度）； 2、T＝2π／ω（“ω”代表角速度）。若f(x)为周期函数，则把使得f(x+l)=f(x)对定义域中的任何x都成立的最小正数l，称为f(x)的（基本）周期。在计算机中，完成一个循环所需要的时间；或访问一次存储器所需要的时间，亦称为周期 。周期函数的实质：两个自变量值整体的差等于周期的倍数时，两个自变量值整体的函数值相等。如：f(x+6) =f(x-2)则函数周期为T=8。扩展资料周期与频率：T=1/f卫星绕行速度、角速度、周期：V=(GM/r)^1/2；ω=(GM/r3)^1/2T=2π(r3/GM)^1/2{M：中心天体质量}若f(x)为周期函数，则把使得f(x+l)=f(x)对定义域中的任何x都成立的最小正数l，称为f(x)的（基本）周期。对于函数y=f（x）。如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f（x+T）=f（x）都成立，那么就把函数y=f（x）叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期。事实上，任何一个常数kT（k∈Z，且k≠0）都是它的周期。并且周期函数f（x）的周期T是与x无关的非零常数，且周期函数不一定有最小正周期。

6L代表6升，升是体积单位，斤是重量单位，无法进行换算；过去曾经采用小写手写体{displaystyle ell }作为符号，但由于印刷不方便，所以改用大写印刷体L，注意毫升仍然可以表示为ml，升本身不是国际单位制（SI）单位，但它是米制单位，而且是接受与SI合并使用的单位。扩展资料：升在国际单位制中表示为L，其次级单位为毫升（mL）。升与其他容积单位的换算关系为：1L=1000mL=0.001立方米=1立方分米=1000立方厘米1L=1dm*1dm*1dm=10cm*10cm*10cm1mL=1立方厘米=1cc1立方米= 1000升

若f(x)为周期函数，则把使得f(x+l)=f(x)对定义域中的任何x都成立的最小正数l。在计算机中，完成一个循环所需要的时间；或访问一次存储器所需要的时间，亦称为周期。周期函数的实质：两个自变量值整体的差等于周期的倍数时，两个自变量值整体的函数值相等。如：f(x+6)=f(x-2)则函数周期为T=8。物体本身自发的或生物被动的活动，从开始到结束称为一个周期。生物周期如天体运动，地球绕太阳旋转一个周期是一年。生物的细胞分裂，从细胞准备开始分裂的分裂间期经过前期、中期、后期、末期，最后回到分裂间期，为一个周期。扩展资料匀速圆周运动是一种周期性运动，周期性指运动物体经过一定时间后又重复回到原来的位置，瞬时速度重复回到原来的大小和方向。做匀速圆周运动的物体运动一周所用的时间为周期。周期也是描述匀速圆周运动快慢的物理量，周期长说明物体运动的慢，周期短说明物体运动的快。物体作往复运动或物理量作周而复始的变化时，重复一次所经历的时间。物体或物理量（如交变电流、电压等）完成一次振动（或振荡）所经历的时间。在各种周期运动或周期变化中，物体或物理量从任一状态开始发生变化，经过一个周期或周期的整数倍时间后，总是回复到开始的状态。参考资料来源：百度百科-周期

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