等比数列前n项和公式和等比数列求和公式什么区别

等比数列前n项和公式为：等比数列公式就是在数学上求一定数量的等比数列的和的公式。另外，一个各项均为正数的等比数列各项取同底数数后构成一个等差数列；反之，以任一个正数C为底，用一个等差数列的各项做指数构造幂Can，则是等比数列。等比数列性质①若 m、n、p、q∈N*，且m+n=p+q，则am·an=ap·aq；②在等比数列中，当q≠-1，或q=-1且k为奇数时，依次每 k项之和仍成等比数列。如：银行有一种支付利息的方式---复利。即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息，也就是人们通常说的利滚利。按照复利计算本利和的公式：本利和=本金×(1+利率)^存期。

等比数列前n项和公式：当q≠1时 ，Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-anq)/(1-q)；当q=1时，Sn=na1(其中，a1为首项，an为第n项，d为公差，q为等比)。除此之外，Sn为前n项和。 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)。注：q=1时，an为常数列(n为下标)。 等比数列通式若通项公式变形为an=a1/q*q^n(n∈N*),当q>0时，则可把an看作自变量n的函数，点(n,an)是曲线y=a1/q*q^x上的一群孤立的点。 等比数列有如下性质：(1)若 m、n、p、q∈N*，且m+n=p+q，则am*an=ap*aq; (2)在等比数列中，依次每 k项之和仍成等比数列。 (3)“G是a、b的等比中项”“G^2=ab(G≠0)”.(4)若{an}是等比数列，公比为q1，{bn}也是等比数列，公比是q2，则{a2n}，{a3n}…是等比数列，公比为q1^2，q1^3…{c^an}，c是常数，{an*bn}，{an/bn}是等比数列，公比为c^q1，q1q2，q1/q2。

等比数列前n项和三个公式是Sn=3n+r，Sn=a1(1-q^n)/(1-q)，Sn=a1+a1*q^1+...+a1*q^(n-1)。等比数列公式就是在数学上求一定数量的等比数列的和的公式。另外，一个各项均为正数的等比数列各项取同底数数后构成一个等差数列；反之，以任一个正数C为底，用一个等差数列的各项做指数构造幂Can，则是等比数列。如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示。

等差数列和公式 Sn=n(a1+an)/2=na1+n(n-1)/2 d 等比数列求和公式 q≠1时 Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-anq)/(1-q) q=1时Sn=na1 (a1为首项,an为第n项,d为公差,q 为等比)

等比数列的前n项和公式是Sn=a1(1-q^n)/(1-q)。等比数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数的一种数列，常用G、P表示。这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)，等比数列a1≠0。注：q=1时，an为常数列。等比数列在生活中也是常常运用的。如：银行有一种支付利息的方式复利。即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，在计算下一期的利息，也就是人们通常说的“利滚利”。按照复利计算本利和的公式：本利和=本金×(1+利率)^存期。

Sn=[a1*(1-q^n)]/(1-q)为等比数列而这里n为未知数可以写成F（n）=[a1*(1-q^n)]/(1-q)当q=1时为常数列也就是n个a1相加为n*a1。如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)。注：q=1时，an为常数列。即a^n=a。一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)。注：q=1时，an为常数列(n为下标）。

an=a1+(n-1)d=ak+(n-k)*d。ak=an-(n-k)*d，d=(an-ak)/(n-k)，a(n+k)=(n*an-k*ak)/(n-k)，a(n+m)=(n*an-m*am)/(n-m)，Sn=n*(a1+an)/2=n*a1+(n*(n-1)/2)*d。n+m=r+p=>an+am=ar+ap，S(n+m)=(n+m)*(an+am)/2，S(3m)=3*(S(2m)+Sm)等比数列公式an=a1*q^(n-1)=ak*q^(n-k)，ak=an/q^(n-k)，a1=an/q^(n-1)，q=±(an/ak)^(n-k)=±(an/a1)^(n-1)，a1*q^n=an*q=a(1+k)*q^(n-k)，Sn=a1*(1-q^n)/(1-q)=(a1-an*q)/(1-q)，(a2+a3+a4)/(a1+a2+a3)=q。

你好！an=a1q^(n-1)Sn=a1.q^0+a1q^1+...+a1.q^(n-1)(1)qSn=a1.q^1+a1q^2+...+a1.q^n(2)(1)-(2)(1-q)Sn=a1(1-q^n)Sn=a1(1-q^n)/(1-q)仅代表个人观点，不喜勿喷，谢谢。

等比数列公式：q≠1时，Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-anq)/(1-q)；q=1时，Sn=na1。(a1为首项，an为第n项，q为等比)。等比数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数的一种数列，常用G、P表示。这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)，等比数列a1≠ 0。求和公式：Sn=na1(q=1)。Sn=a1(1-q^n)/(1-q)。=(a1-a1q^n)/(1-q)。=(a1-an*q)/(1-q)。=a1/(1-q)-a1/(1-q)*q^n( 即a-aq^n)等比数列求和公式(前提：q≠ 1)。任意两项am，an的关系为an=am·q^(n-m)；在运用等比数列的前n项和时，一定要注意讨论公比q是否为1。从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出：a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k-1，k∈{1,2,…，n}。等比中项：aq·ap=ar^2，ar则为ap，aq等比中项。

我整理了等比和等差数列计算中用到的公式，大家跟随我来学习一下吧。 前n项和的公式 等比数列 q≠1时，Sn=a 1 （1-q n ）/（1-q）=（a 1 -a n q）/（1-q） q=1时，Sn=na 1 （a 1 为首项，a n 为第n项，d为公差，q为等比） 等差数列 S n =n（a 1 +a n ）/2 S n =na 1 +n（n-1）/2d 等比数列含义 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。注：q=1时，a n 为常数列。即a n =a。 等差数列含义 等差数列是常见数列的一种。如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，而这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示。例如：1，3，5，7，9……1+2（n-1），n属于正整数。 以上是我整理的有关等差数列和等比数列的知识，希望带给大家帮助。

1+3+5+7...+95+97+99计算方法如下：1+3+5+7+······+95+97+99。=（1+99）×45÷2。=100×45÷2。=50×45。=2250。等差数列公式：等差数列公式an=a1+(n-1)d。前n项和公式为：Sn=na1+n(n-1)d/2。若公差d=1时：Sn=(a1+an)n/2。若m+n=p+q则：存在am+an=ap+aq。若m+n=2p则：am+an=2ap。以上n均为正整数。和Sn，首相a1，末项an，公差d，项数n。乘法是加法的简便运算，除法是减法的简便运算。减法与加法互为逆运算，除法与乘法互为逆运算。

等比数列前n项和公式具体是什么？

推导如下 因为an = a1q^(n-1)所以Sn = a1+a1*q^1+...+a1*q^(n-1) (1) qSn =a1.q^1+a1q^2+...+a1.q^n (2)(1)-(2)注意（1）式的第一项不变，把（1）式的第二项减去（2）式的第一项把（1）式的第三项减去（2）式的第二项以此类推，把（1）式的第n项减去（2）式的第n-1项（2）式的第n项不变，这叫错位相减，其目的就是消去这此公共项。于是得到(1-q)Sn = a1(1-q^n)即Sn =a1(1-q^n)/(1-q)

求和公式：Sn=n×a1 (q=1) Sn=a1(1-q^n)/(1-q) =(a1-an×q)/(1-q) (q≠1) (q为比值,n为项数）

只要不是摆动数列，都具有单调性，它的极限值为 首项/(1-q)

等比数列前n项和公式2个是Sn=n*a1，Sn=a1（1-q^n）/(1-q)。等比数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数的一种数列。等比数列中每一项与它的前一项的比值叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)，等比数列a1≠0。其中{an}中的每一项均不为0。另外q=1时，an就为常数列。

等比数列公式就是在数学上求一定数量的等比数列的和的公式。下面是我整理的详细内容，一起来看看吧！ 等比数列前n项和的公式 等比数列的有关概念 1、等比数列的定义： 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于一个常数（不为0），那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用q来表示。 定义可以用公式表达为：a(n+1)/an=q(式中n为正整数，q为常数）。特别注意的是，q是一个与项数n无关的常数。 2、等比中项： 三个数 a、G、b依次组成等比数列，则G叫做的等比中项，且G2=a+b（等比中项的平方等于前项与后项之积）。

等比通项公式前n项和公式是Sn=a1n+n（n+1）d/2，等比数列公式就是在数学上求一定数量的等比数列的和的公式，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。一个各项均为正数的等比数列各项取同底数数后构成一个等差数列；反之，以任一个正数C为底，用一个等差数列的各项做指数构造幂Can，则是等比数列。在等比数列中，当q≠-1，或q=-1且k为奇数时，依次每k项之和仍成等比数列。

设等比数列a1,a2,a3,…,an,…,它的前n项和是Sn=a1＋a2＋…＋an,根据等比数列的通项公式可将Sn写成:Sn=a1＋a1q＋a1q^2＋…＋a1q^(n－1).…①两边乘以q得:qSn=a1q＋a1q^2＋a1q^3＋…＋a1q^n …②①-②式得 （1－q）Sn=...

等比数列前n项和是：当q≠1时，Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-anq)/(1-q）；当q=1时，Sn=na1（其中，a1为首项，an为第n项，d为公差，q为等比）。除此之外，Sn为前n项和。等比数列通式若通项公式变形为an=a1/q*q^n(n∈N*),当q>0时，则可把an看作自变量n的函数，点(n,an)是曲线y=a1/q*q^x上的一群孤立的点。 等比数列有如下性质：(1)若 m、n、p、q∈N*，且m+n=p+q，则am*an=ap*aq。(2)在等比数列中，依次每 k项之和仍成等比数列。(3)“G是a、b的等比中项”“G^2=ab(G≠0)”。(4)若{an}是等比数列，公比为q1，{bn}也是等比数列，公比是q2，则{a2n}，{a3n}…是等比数列，公比为q1^2，q1^3…{c^an}，c是常数，{an*bn}，{an/bn}是等比数列，公比为c^q1，q1q2，q1/q2。

1.等差数列前n项和公式 (1) Sn=n(a1+an)/2 (2) Sn=na1+n(n-1)d/2 2.等比数列前n项和公式 (1)当公比q=1时,Sn=na1 (2)当q不等于1时, Sn=a1(1-q^n)/(1-q)或 Sn=(a1-an*q)/(1-q)

an:第n项 Sn：前n项和 d：等差数列公差 q：等比数列公比 k：大于0,小于n的整数 等差数列公式 an=a1+(n-1)d=ak+(n-k)*d ak=an-(n-k)*d d=(an-ak)/(n-k) a(n+k)=(n*an-k*ak)/(n-k) a(n+m)=(n*an-m*am)/(n-m) Sn=n*(a1+an)/2=n*a1+(n*(n-1)/2)*d n+m=r+p => an+am=ar+ap S(n+m)=(n+m)*(an+am)/2 S(3m)=3*(S(2m)+Sm)) 等比数列公式 an=a1*q^(n-1)=ak*q^(n-k) ak=an/q^(n-k) a1=an/q^(n-1) q=±(an/ak)^(n-k)=±(an/a1)^(n-1) a1*q^n=an*q=a(1+k)*q^(n-k) Sn=a1*(1-q^n)/(1-q)=(a1-an*q)/(1-q) (a2+a3+a4)/(a1+a2+a3)=q

等比数列，当n不等于1时的前n项和为：首项乘1减去公比的n次方的差除以1减去公比。在推导时，我们运用错位相减法。具体推导过程如下：形如An=BnCn，其中Bn为等差数列，Cn为等比数列。分别列出Sn，再把所有式子同时乘以等比数列的公比q，即q乘Sn。然后错开一位，两个式子相减。这种数列求和方法叫做错位相减法。错位相减法是一种常用的数列求和方法。应用于等比数列与等差数列相乘的形式。

（1+n）×（n/2)=n(n+1)/2

等比等差数列前n项和的所有经验公式：设数列{a×q^(n-1)}是首项为a,公比为q的等比数列。即a, aq, aq², aq³, ...aq^(n-1). (n=1,2,3,4...)。其前n项和为Sn。当q=1时，Sn=na. (n=1,2,3,....)。当q≠1时，Sn=a[(q^n)-1]/(q-1) (n=1,2,3,...)。等比数列性质：1、若 m、n、p、q∈N*，且m+n=p+q，则am·an=ap·aq。2、在等比数列中，当q≠-1，或q=-1且k为奇数时，依次每 k项之和仍成等比数列。“G是a、b的等比中项”“G^2=ab（G≠0）”。

等比数列前n项和公式：公式中a1为数列首项，q为等比数列的公比，Sn为前n项和。性质：1、若 m、n、p、q∈N，且m+n=p+q，则aman=apaq；2、在等比数列中，依次每 k项之和仍成等比数列；3、若m、n、q∈N，且m+n=2q，则am×an=(aq)2；4、若G是a、b的等比中项，则G2=ab（G ≠ 0）；5、在等比数列中，首项a1与公比q都不为零；6、在数列{an}中每隔k(k∈N*)取出一项，按原来顺序排列，所得新数列仍为等比数列且公比为q(k+1)；7、当数列{an}使各项都为正数的等比数列，数列{lgan}是lgq的等差数列。

等比数列前n项和公式：Sn =a1(1-q^n)/(1-q)。推导如下：因为an = a1q^(n-1)所以baiSn = a1+a1*q^1+...+a1*q^(n-1)  (1)qSn =a1*q^1+a1q^2+...+a1*q^n  (2)（1）-（2）注意（1）式的第一项不变。把（1）式的第二项减去（2）式的第一项。把（1）式的第三项减去（2）式的第二项。以此类推，把（1）式的第n项减去（2）式的第n-1项。（2）式的第n项不变，这叫错位相减，其目的就是消去这此公共项。于是得到(1-q)Sn = a1(1-q^n)即Sn =a1(1-q^n)/(1-q)。扩展资料：（1）若m、n、p、q∈N+，且m+n=p+q，则am×an=ap×aq。（2）在等比数列中，依次每k项之和仍成等比数列。（3）若“G是a、b的等比中项”则“G2=ab（G≠0）”。等比数列在生活中常常运用，如：银行有一种支付利息的方式——复利。即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，在计算下一期的利息，也就是人们通常说的“利滚利”。按照复利计算本利和的公式：本利和=本金×(1+利率)^存期。

等比数列求和公式q≠1时Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-anq)/(1-q)q=1时Sn=na1等差数列S=(A1+An)N/2S＝na1+n(n-1)/2d

等比数列前n项求和公式：Sn=na1（q=1），等比数列求和公式是求等比数列之和的公式。如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，公式可以快速的计算出该数列的和。 等比数列前n项求和公式

等比数列前n项和公式：公式中a1为数列首项，q为等比数列的公比，Sn为前n项和。性质：①若 m、n、p、q∈N，且m+n=p+q，则aman=apaq。②在等比数列中，依次每 k项之和仍成等比数列。③若m、n、q∈N，且m+n=2q，则am×an=(aq)2。④ 若G是a、b的等比中项，则G2=ab（G ≠ 0）。

1、等比数列的定义　　如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示．注意2、等比数列的通项公式　　由a2=a1q，a3=a2q=a1q2，a4=a3q=a1q3，……，归纳得出an=a1qn－1.此公式对n=1也成立.注意3、等比中项　　如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．注意4、等比数列的判定方法（1）、an=an－1·q（n≥2），q是不为零的常数，an－1≠0{an}是等比数列.（2）、an2=an－1·an＋1（n≥2, an－1,an,an＋1≠0）{an}是等比数列.（3）、an=c·qn（c，q均是不为零的常数）{an}是等比数列.5、等比数列的性质 　　设{an}为等比数列，首项为a1，公比为q.（1）、当q>1，a1>0或0<q<1，a1<0时，{an}是递增数列；当q>1，a1<0或0<q<1,a1>0时，{an}是递减数列；当q=1时，{an}是常数列；当q<0时，{an}是摆动数列.（2）、an=am·qn－m（m、n∈N*）.（3）、当m＋n=p＋q（m、n、q、p∈N*）时，有am·an=ap·aq.（4）、{an}是有穷数列，则与首末两项等距离的两项积相等，且等于首末两项之积.（5）、数列{λan}（λ为不等于零的常数）仍是公比为q的等比数列；若{bn}是公比为q′的等比数列，则数列{an·bn}是公比为qq′的等比数列；数列是公比为的等比数列；{|an|}是公比为|q|的等比数列.（6）、在{an}中，每隔k(k∈N*)项取出一项，按原来顺序排列，所得新数列仍为等比数列且公比为qk＋1.（7）、当数列{an}是各项均为正数的等比数列时，数列{lgan}是公差为lgq的等差数列.（8）、{an}中，连续取相邻两项的和（或差）构成公比为q的等比数列.（9）、若m、n、p（m、n、p∈N*）成等差数列时，am、an、ap成等比数列.6、等比数列的前n项和公式　　设等比数列a1,a2,a3,…,an，…，它的前n项和是Sn=a1＋a2＋…＋an，根据等比数列的通项公式可将Sn写成Sn=a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1.…①①两边乘以q得qSn=a1q＋a1q2＋a1q3＋…＋a1qn …②两式相减得 （1－q）Sn=a1－a1qn，由此得q≠1时等比数列{an}的前n项和的公式.因为an=a1qn－1，所以上面公式还可以写成 .当q=1时，Sn=na1.注意7、等比数列前n项和的一般形式　　一般地，如果a1,q是确定的，那么8、等比数列的前n项和的性质（1）、若某数列前n项和公式为Sn=an－1(a≠0,±1)，则{an}成等比数列.（2）、若数列{an}是公比为q的等比数列，则（ⅰ）、Sn＋m=Sn＋qn·Sm.（ⅱ）、在等比数列中，若项数为2n(n∈N*)，则（ⅲ）、Sn,S2n－Sn,S3n－S2n成等比数列.

等比数列前n项和公式为：等比数列公式就是在数学上求一定数量的等比数列的和的公式。另外，一个各项均为正数的等比数列各项取同底数数后构成一个等差数列；反之，以任一个正数C为底，用一个等差数列的各项做指数构造幂Can，则是等比数列。等比数列性质①若 m、n、p、q∈N*，且m+n=p+q，则am·an=ap·aq；②在等比数列中，当q≠-1，或q=-1且k为奇数时，依次每 k项之和仍成等比数列。如：银行有一种支付利息的方式---复利。即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息，也就是人们通常说的利滚利。按照复利计算本利和的公式：本利和=本金×(1+利率)^存期。

Sn=[a1*(1-q^n)]/(1-q)为等比数列而这里n为未知数 可以写成F（n）=[a1*(1-q^n)]/(1-q)当q=1时 为常数列 也就是n个a1相加为n*a1

1、等比数列的定义　　如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示．注意2、等比数列的通项公式　　由a2=a1q，a3=a2q=a1q2，a4=a3q=a1q3，……，归纳得出an=a1qn－1.此公式对n=1也成立.注意3、等比中项　　如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．注意4、等比数列的判定方法（1）、an=an－1·q（n≥2），q是不为零的常数，an－1≠0{an}是等比数列.（2）、an2=an－1·an＋1（n≥2,an－1,an,an＋1≠0）{an}是等比数列.（3）、an=c·qn（c，q均是不为零的常数）{an}是等比数列.5、等比数列的性质　　设{an}为等比数列，首项为a1，公比为q.（1）、当q>1，a1>0或0<q<1，a1<0时，{an}是递增数列；当q>1，a1<0或0<q<1,a1>0时，{an}是递减数列；当q=1时，{an}是常数列；当q<0时，{an}是摆动数列.（2）、an=am·qn－m（m、n∈N*）.（3）、当m＋n=p＋q（m、n、q、p∈N*）时，有am·an=ap·aq.（4）、{an}是有穷数列，则与首末两项等距离的两项积相等，且等于首末两项之积.（5）、数列{λan}（λ为不等于零的常数）仍是公比为q的等比数列；若{bn}是公比为q′的等比数列，则数列{an·bn}是公比为qq′的等比数列；数列是公比为的等比数列；{|an|}是公比为|q|的等比数列.（6）、在{an}中，每隔k(k∈N*)项取出一项，按原来顺序排列，所得新数列仍为等比数列且公比为qk＋1.（7）、当数列{an}是各项均为正数的等比数列时，数列{lgan}是公差为lgq的等差数列.（8）、{an}中，连续取相邻两项的和（或差）构成公比为q的等比数列.（9）、若m、n、p（m、n、p∈N*）成等差数列时，am、an、ap成等比数列.6、等比数列的前n项和公式　设等比数列a1,a2,a3,…,an，…，它的前n项和是Sn=a1＋a2＋…＋an，根据等比数列的通项公式可将Sn写成Sn=a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1.…①①两边乘以q得qSn=a1q＋a1q2＋a1q3＋…＋a1qn…②两式相减得（1－q）Sn=a1－a1qn，由此得q≠1时等比数列{an}的前n项和的公式.因为an=a1qn－1，所以上面公式还可以写成.当q=1时，Sn=na1.注意7、等比数列前n项和的一般形式　　一般地，如果a1,q是确定的，那么8、等比数列的前n项和的性质（1）、若某数列前n项和公式为Sn=an－1(a≠0,±1)，则{an}成等比数列.（2）、若数列{an}是公比为q的等比数列，则（ⅰ）、Sn＋m=Sn＋qn·Sm.（ⅱ）、在等比数列中，若项数为2n(n∈N*)，则（ⅲ）、Sn,S2n－Sn,S3n－S2n成等比数列.

前n项和公式是Sn=na1（q=1）。数列公式前n项和是Sn=na1（q=1），如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，且每一项都不为0(常数），这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示。如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，而这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示，如果｛cn}，cn=an·bn，其中｛an}为等差数列，｛bn}为等比数列，那么这个数列就叫做差比数列。等差数列求和公式的特点在等差数列中，若Sn为该数列的前n项和，S2n为该数列的前2n项和，S3n为该数列的前3n项和，则Sn，S2n-Sn，S3n-S2n也为等差数列。等差数列是常见数列的一种，可以用AP表示，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，而这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示。例如：1,3,5,7,9……（2n-1)。等差数列｛an}的通项公式为：an=a1+(n-1)d。前n项和公式为：Sn=n*a1+n(n-1)d/2或Sn=n(a1+an)/2，注意以上整数。

等比数列n项和通项公式是Sn=a1*(1-q^n)/(1-q)，其中a1是等比数列的第一项，n是总项数，q是等比数列的公比，Sn就是该等比数列的n项和。如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示，而且q≠0。

1/4+1/8+...+1/2^n其中 q=1/2,1/4=a1*q得a1=1/2,那么1/2^n =a1*q^(n-1)，是an的第n-1项。s(n-1)=1/4+1/8+...+1/2^n=1/2-1/2^n总结规律：若等比数列是以2或者1/2为公比，那么该数列的连续N项和为：最大项的两倍减去最小项的值

等比数列前n项和是：当q≠1时，Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-anq)/(1-q）；当q=1时，Sn=na1（其中，a1为首项，an为第n项，d为公差，q为等比）。除此之外，Sn为前n项和。性质（1）若m、n、p、q∈N+，且m+n=p+q，则am×an=ap×aq。（2）在等比数列中，依次每k项之和仍成等比数列。（3）若“G是a、b的等比中项”则“G2=ab（G≠0）”。

设数列{a×q^(n-1)}是首项为a,公比为q的等比数列。即a,aq,aq²,aq³,...aq^(n-1).(n=1,2,3,4...)其前n项和为Sn当q=1时，Sn=na.(n=1,2,3,....)当q≠1时，Sn=a[(q^n)-1]/(q-1)(n=1,2,3,...)

1、等比数列的定义　　如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示．注意2、等比数列的通项公式　　由a2=a1q，a3=a2q=a1q2，a4=a3q=a1q3，……，归纳得出an=a1qn－1.此公式对n=1也成立.注意3、等比中项　　如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．注意4、等比数列的判定方法（1）、an=an－1·q（n≥2），q是不为零的常数，an－1≠0{an}是等比数列.（2）、an2=an－1·an＋1（n≥2,an－1,an,an＋1≠0）{an}是等比数列.（3）、an=c·qn（c，q均是不为零的常数）{an}是等比数列.5、等比数列的性质　　设{an}为等比数列，首项为a1，公比为q.（1）、当q>1，a1>0或0<q<1，a1<0时，{an}是递增数列；当q>1，a1<0或0<q<1,a1>0时，{an}是递减数列；当q=1时，{an}是常数列；当q<0时，{an}是摆动数列.（2）、an=am·qn－m（m、n∈N*）.（3）、当m＋n=p＋q（m、n、q、p∈N*）时，有am·an=ap·aq.（4）、{an}是有穷数列，则与首末两项等距离的两项积相等，且等于首末两项之积.（5）、数列{λan}（λ为不等于零的常数）仍是公比为q的等比数列；若{bn}是公比为q′的等比数列，则数列{an·bn}是公比为qq′的等比数列；数列是公比为的等比数列；{|an|}是公比为|q|的等比数列.（6）、在{an}中，每隔k(k∈N*)项取出一项，按原来顺序排列，所得新数列仍为等比数列且公比为qk＋1.（7）、当数列{an}是各项均为正数的等比数列时，数列{lgan}是公差为lgq的等差数列.（8）、{an}中，连续取相邻两项的和（或差）构成公比为q的等比数列.（9）、若m、n、p（m、n、p∈N*）成等差数列时，am、an、ap成等比数列.6、等比数列的前n项和公式　设等比数列a1,a2,a3,…,an，…，它的前n项和是Sn=a1＋a2＋…＋an，根据等比数列的通项公式可将Sn写成Sn=a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1.…①①两边乘以q得qSn=a1q＋a1q2＋a1q3＋…＋a1qn…②两式相减得（1－q）Sn=a1－a1qn，由此得q≠1时等比数列{an}的前n项和的公式.因为an=a1qn－1，所以上面公式还可以写成.当q=1时，Sn=na1.注意7、等比数列前n项和的一般形式　　一般地，如果a1,q是确定的，那么8、等比数列的前n项和的性质（1）、若某数列前n项和公式为Sn=an－1(a≠0,±1)，则{an}成等比数列.（2）、若数列{an}是公比为q的等比数列，则（ⅰ）、Sn＋m=Sn＋qn·Sm.（ⅱ）、在等比数列中，若项数为2n(n∈N*)，则（ⅲ）、Sn,S2n－Sn,S3n－S2n成等比数列.

Sn =a1(1-q^n)/(1-q)。等比数列公式就是在数学上求一定数量的等比数列的和的公式。另外，一个各项均为正数的等比数列各项取同底指数幂后构成一个等差数列；反之，以任一个正数C为底，用一个等差数列的各项做指数构造幂Can，则是等比数列。求通项方法（1）待定系数法：已知an+1=2an+3，a1=1，求an？构造等比数列an+1+x=2（an+x）an+1=2an+x，∵an+1=2an+3 ∴x=3∴（an+1+3）/ an+3=2∴{an+3}为首项为4，公比为2的等比数列，所以an+3=a1×qn-1=4×2n-1,an=2n+1-3（2）定义法：已知Sn=a·2n+b，求an的通项公式？∵Sn=a·2n+b∴Sn-1=a·2n-1+b∴an=Sn-Sn-1=a·2n-1 。

本章将介绍如何使用MATLAB来解决一些基本的数学运算问题，主要包括多项式的相关计算，数据插值，曲线拟合以及数据统计处理等相关的内容。本章的主要内容如下： 在MATLAB中，多项式是以行向量的形式存放的，并且约定多项式以降幂的形式出现，如果多项式中缺少某幂次项，则该幂次项的系数为0。例如，多项式 可以表示为：p1=[1 21 20 0]，其中常数项为0。 本节将全面介绍与多项式有关的各种计算，包括多项式的四则运算、导函数运算、求值、求根以及分部展开。 多项式的加减运算并无特别，可以使用向量的加减运算实现。多项式的乘除运算比较复杂，为此MATLAB提供了专门的运算函数 conv 和 deconv 。 函数 conv 用于求多项式P1和P2的乘积，它的调用格式如下： 其中，P1、P2是两个多项式系数向量。 函数 deconv 用于对多项式P1和P2作除法运算，它的调用格式如下： 其中，Q返回多项式P1除以P2的商式，r返回P1除以P2的余式。返回的Q和r仍是多项式系数向量。 可以将除法运算deconv看作是乘法运算conv的逆运算，即有P1=conv(P2,Q)+r。 下面通过示例介绍多项式的表示和多项式的四则运算。 使用函数poly2str显示多项式p1和p2相乘后生成的新多项式，如下所示： >> poly2str(y,"x") %以比较习惯的方式显示多项式 ans = 2 x^6 + 15 x^5 - 5 x^4 + 24 x^3 - 20 x^2 + 10 x - 30 MATLAB提供了polyder函数，用于求多项式的导函数。该函数的格式如下： 其中，参数P和Q是多项式的系数向量，返回结果p和q也是多项式的系数向量。 MATLAB提供了两种求多项式值的函数：polyval与polyvalm，它们的输入参数均为多项式系数向量P和自变量x，但是两者是有很大区别的，前者是按数组运算规则对多项式求值，而后者是按矩阵运算规则对多项式求值。具体的调用格式如下所示。 >> p3=[2 6 8 0 5 9 4] %生成多项式系数 >> A=rand(3) %生成随机矩阵 ①使用函数polyval按数组运算规则求A中的每个元素对于多项式p3的值。在命令窗口中输入如下内容： >> Y=polyval(p3,A) 运算结果如下： Y = 7.2917 15.2885 5.4763 5.8986 7.2672 15.8387 5.9409 11.3612 8.3376 ②使用函数polyvalm按矩阵运算规则求以方阵A为自变量的多项式p3的值。在命令窗口中输入如下内容： >> Y1=polyvalm(p3,A) 运算结果如下： Y1 = 13.6694 21.1448 16.7431 8.7641 22.5846 21.5403 8.4161 19.5396 22.2629 ③如果函数polyval和polyvalm的第二个参数为数值，仍然可以按照数组和矩阵的运算规则计算求多项式在该参数下的结果。在命令窗口中输入如下内容： >> A=3 分别使用函数polyval和polyvalm计算多项式的值，具体操作及返回结如下： >> Y=polyval(p3,A) Y = 3640 >> Y1=polyvalm(p3,A) Y1 = 3640 ④如果函数ployval和ployvalm的第二个参数为一向量，前者按照数组运算规则仍然可以计算求多项式在该参数下的结果，但是后者按矩阵运算规则计算则会提示错误信息。在命令窗口中输入如下内容： >> p4=[4 8 0 0 0 3 6] 分别使用函数polyval和polyvalm计算多项式的值，具体操作及返回结果如下： >> Y=polyval(p3,p4) %第二个参数为向量 Y = 16504 754060 4 4 4 3640 150574 >> Y1=polyvalm(p3,p4) %第二个参数必须为方阵或数值 ??? Error using ==> polyvalm Matrix must be square. n次多项式具有n个根，这些根可能是实根，也可能含有若干对共轭复根。MATLAB提供了roots函数用于求多项式的全部根，该函数的调用格式为： 其中，P为多项式的系数向量，返回向量x为多项式的根，即x(1),x(2),…,x(n)分别代表多项式的n个根。 另外，如果已知多项式的全部根，MATLAB还提供了函数poly用来建立该多项式，该函数的调用格式为： 其中，x为多项式的根，返回向量P为多项式的系数向量。 对于一个方阵s，可以用函数poly来计算矩阵的特征多项式的系数。特征多项式的根即为特征值，可以用roots函数来计算。 MATLAB提供函数 residue 可以实现将分式表达式进行多项式的部分分式展开。 对于 ,函数的调用格式如下： 其中，b和a分别是分子和分母多项式系数行向量；返回值r是[r1 r2 …rn]留数行向量，p为[p1 p2 …pn]极点行向量，k为直项行向量。下面通过示例来讲述该函数的使用。 多项式的微分MATLAB提供了函数 polyder 来实现，前面介绍多项式的导函数时已经介绍了该函数的具体使用。但是对于多项式的积分运算MATLAB没有提供专门的函数，但可以用 [p./length(p):-1:1,k] 的方法来完成积分，其中k为常数。下面通过示例讲解如何进行多项式的积分运算。 插值运算是根据数据点的规律，首先找到一个多项式连接这些已知的数据点，然后根据该多项式计算出要得到的与已知数据点相邻的点对应的数值。数据的插值运算在信号和图象处理等领域使用比较广泛。MATLAB提供了专用的函数来处理数据的插值问题，下面将详细的介绍使用这些插值函数的方法。 一维插值是指对一个自变量的插值，实现一维数据插值的函数是interp1，该函数的调用格式为： interp1函数的功能是根据X，Y的值，计算出在X1处的值，并返回给Y1。其中，X和Y是两个等长的已知向量，分别描述采样点和样本值；X1是一个向量或标量，描述欲插值的点，返回值Y1是与X1等长的插值结果；method是插值函数的类型，允许的取值有“linear”（线性插值）、“nearest”（用最接近的相邻点插值）、“cubic”（三次插值）和“spline”（三次样条插值），linear为默认值。 除此之外，MATLAB还提供了一个专门的用于3次样条插值的函数spline，功能与函数 Y1=interp1(X,Y,X1,‘spline") 完全相同，使用方法也类似。该函数的调用格式如下： 除前面介绍的一维数据的插值，MATLAB还提供用于解决二维插值问题的函数 interp2 ，该函数的调用格式为： 其中，X和Y是两个向量，分别描述两个参数的采样点，Z是与参数采样点对应的函数值，X1，Y1是两个向量或标量，描述欲插值的点。返回值Z1是根据相应的插值方法得到的插值结果。method的取值与一维插值函数相同。X，Y，Z也可以是矩阵形式。 多项式曲线拟合是用一个多项式来逼近一组给定的数据，拟合的准则是最小二乘法，即找出使 的 . 在MATLAB中，用 polyfit 函数来求得最小二乘拟合多项式的系数，计算得到多项式后可以用 polyval 函数计算所给出点的近似值。polyfit函数的调用格式为： polyfit 函数根据采样点X和采样点函数值Y，返回一个m次多项式P及供polyval使用的结构数组S，S有三个域：S.R给出QR分解后满足Q·R=V的矩阵R，S.df给出相应χ2量的自由度，S.normr给出拟合残数的2—范数。其中X,Y是两个等长的向量，P是一个长度为m+1的向量，P的元素为多项式系数。 >> Y=polyval(P,x) %根据多项式系数向量计算对应点x处的拟合函数值 即可计算得到拟合多项式在给定点的函数值。 本节介绍数据统计处理方法，包括最大（小）值运算、求和（积）运算、平均值（中值）运算、累加（乘）运算、标准方差、相关系数以及排序运算。 MATLAB提供的求数据序列的最大值和最小值的函数分别为max和min，两个函数的调用格式和操作过程类似，可以分别用来求向量或矩阵的最大值和最小值。 （1）求向量的最大值和最小值 求向量的最大值和最小值的函数调用格式见表5.1。 表5.1 求向量最大值、最小值函数 （2）求矩阵的最大值和最小值 求矩阵的最大值和最小值的函数调用格式见表5.2。 表5.2 求矩阵的最大值、最小值函数 （3）两个向量或矩阵对应元素的比较 函数max和min还能对两个同型的向量或矩阵进行比较，函数调用格式见表5.3。 表5.3 最大值、最小值函数 MATLAB提供的数据序列求和与求积的函数分别是sum和prod，这两个函数的使用方法类似，分别可以用来对向量和矩阵求和与求积。函数调用格式及功能见表5.4。 表5.4 求和与求积函数 在命令窗口中输入： >> prod(B) %返回各列元素的积 计算得到的各列元素的积如下： ans = 0.0648 0.0057 0.1780 0.0487 ③可以采用下列的方式返回矩阵B各列元素的和与矩阵B各列元素的乘积，具体输入内容和计算返回结果如下： >> sum(B,1) %返回各列元素的和 ans = 2.2741 2.1284 2.6735 2.2420 >> prod(B,1) %返回各列元素的积 ans = 0.0648 0.0057 0.1780 0.0487 ④返回矩阵B各行所有元素的和与矩阵B各行所有元素的积，在命令窗口中输入： >> sum(B,2) %返回各行元素的和 >> prod(B,2) %返回各行元素的积 MATLAB提供了求数据序列平均值的函数mean与数据序列中值的函数median，函数调用格式及功能见表5.5。 表5.5 求平均值与中值函数 ④求矩阵A的各行的算术平均值与中值，在命令窗口中输入： >> mean(A,2) %计算得到矩阵A各行的算术平均值 >> median(A,2) %计算得到矩阵A各行的中值 在MATLAB中，使用cumsum和cumprod函数能方便地求得向量和矩阵元素的累加和与累乘积向量，函数调用格式及功能见表5.6。 表5.6 累加和与累加积函数 在MATLAB中，提供了计算数据序列的标准方差的函数std。该函数对于向量X返回一个标准方差；对于矩阵A返回一个行向量，它的各个元素便是矩阵A各列或各行的标准方差。调用格式为： Y=std(A,flag,dim) 其中，dim可以取1或2。当dim=1时，求各列元素的标准方差；当dim=2时，则求各行元素的标准方差。flag可以取0或1，当flag=0时，置前因子为 ；否则置前因子为 。缺省flag=0和dim=1。 MATLAB提供了corrcoef函数，可以求出数据的相关系数矩阵。调用格式为： corrcoef函数返回从矩阵X形成的一个相关系数矩阵。此相关系数矩阵的大小与矩阵X一样。它把矩阵X的每列作为一个变量，然后求它们的相关系数。其中X，Y是向量，与corrcoef([X,Y])的作用一样。 >> corrcoef(A) % 求解矩阵A形成的一个相关系数矩阵 返回相关系数矩阵如下： ans = 1.0000 -0.2608 0.5478 -0.7232 -0.2608 1.0000 -0.9397 0.2996 0.5478 -0.9397 1.0000 -0.3984 -0.7232 0.2996 -0.3984 1.0000 ②可以求向量B形成的一个相关系数矩阵。在命令窗口中输入以下内容： >> corrcoef(B) %求取向量B形成的一个相关系数矩阵 返回相关系数矩阵如下： ans = 1 MATLAB提供了sort函数来实现排序功能，调用格式如下： 函数返回一个对X中的元素按升序排列的新向量，Y是排序后的矩阵，而I记录Y中的元素在A中位置。其中，dim指明对矩阵A的列还是行进行排序。若dim=1，则按列排；若dim=2，则按行排。 Y = 0.5226 0.1730 0.0118 0.1991 0.7948 0.2523 0.1365 0.2987 0.8801 0.2714 0.7373 0.6614 0.9568 0.9797 0.8757 0.8939 I = 3 1 4 2 1 4 3 3 本章重点介绍了MATLAB提供的基本的数学运算功能，主要包括多项式的相关运算、数据的插值与拟合运算、数据统计处理运算以及傅立叶变换等内容。 多项式部分通过实例重点介绍了多项式运算相关的内容，主要包括多项式的表示方法、多项式的四则运算、多项式的求导运算、多项式的求值与求根运算、多项式的展开以及多项式的积分运算等内容。掌握多项式运算内容是深入学习MATLAB其他内容的基础。 数据插值部分和拟合部分通过实例介绍了MATLAB提供的数据处理时经常使用的数据插值和拟合运算函数，其中插值部分包括一维和二维数据的插值运算。曲线拟合运算时要正确的选择所要拟合的多项式的阶，并不是拟合多项式的阶越高精度越好，一般拟合多项式的阶不超过5阶。 数据统计处理部分通过实例详细介绍一些常用的数据统计处理方法，主要包括数据的最大值与最小值运算、求和与求积运算、平均值与中值运算、累加和与累乘积运算、标准方差、相关系数以及排序等运算。

1 y=x 奇函数 ； 2 y=x² 偶函数 ； 3 x³ 奇函数 ； 4 y=x-¹ 奇函数 ；最后 非奇非偶函数

1kc1000kc＝1k（1kB）1000k＝1M（1MB）1000M＝1G（1GB）938.45585G＝1T（1TB）998.545256T＝1P（1PB）

圆锥体积公式推导是如下：一个圆锥的体积等于与它等底等高的圆柱的体积的1/3，根据圆柱体积公式V=Sh(V=rrπh)，得出圆锥体积公式：圆锥V=1/3Sh。S是圆锥的底面积，h是圆锥的高，r是圆锥的底面半径。证明：把圆锥沿高分成k分，每份高h/k。第n份半径：n*r/k。第n份底面积：pi*n^2*r^2/k^2。第n份体积：pi*h*n^2*r^2/k^3。总体积（1+2+3+4+5+...+n）份：pi*h*(1^2+2^2+3^2+4^2+...+k^2)*r^2/k^3。因为：1^2+2^2+3^2+4^2+...+k^2=k*(k+1)*(2k+1)/6。所以：总体积（1+2+3+4+5+...+n）份：pi*h*(1^2+2^2+3^2+4^2+...+k^2)*r^2/k^3。=pi*h*r^2*k*(k+1)*(2k+1)/6k^3。=pi*h*r^2*(1+1/k)*(2+1/k)/6。因为当n越来越大，总体积越接近于圆锥体积，1/k越接近于0。所以pi*h*r^2*(1+1/k)*(2+1/k)/6=pi*h*r^2/3。因为V圆柱=pi*h*r^2。所以V圆锥是与它等底等高的V圆柱体积的1/3。圆锥的组成：圆锥的高：圆锥的顶点到圆锥的底面圆心之间的最短距离叫做圆锥的高。圆锥母线：圆锥的侧面展开形成的扇形的半径、底面圆周上任意一点到顶点的距离。圆锥的侧面积：将圆锥的侧面沿母线展开，是一个扇形,这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长,而扇形的半径等于圆锥的母线的长，圆锥的侧面积就是弧长为圆锥底面的周长×母线/2；没展开时是一个曲面。圆锥有一个底面、一个侧面、一个顶点、一条高、无数条母线，且底面展开图为一圆形，侧面展开图是扇形。