有木有一元二次方程配方法，公式法，因式分解法的例题？

1.4a4_12a2b+9b2 =(2a2-3b)22.(a- b)2-4(a-b)c+4c2 =(a-b-2c)23.(2a-3b)2-4(2a-3b)b+4b2 =(2a-5b)24.-x2+10x-25=-(x-5)25.a2-8a-20=(a-10)(a+2)6.m2+mn-20n2 =(m+5n)(m-4n)7.(a+b)2-3(a+b)-18 =(a+b+3)(a+b-6)8.4x2-3x-10=(x-2)(4x+5)9.4x3-24x2y+35xy2=x(2x-7y)(2x-5y)10.x2-14x+49=(x-7)211.m2-5m-6 =(m+1)(m-6)12.4a2+4a+1 =(2a+1)213.a2+24a+144 =(a+12)214.a2-5ab+4b2=(a-b)(a-4b)15.m2-4mn-12n2 =(m+2n)(m-6n)16.10x2-3xy-18y2=(2x-3y)(5x+6y)17.6x2-7x-5 =(2x+1)(3x-5)18.(3S-r)2+9(3s-r)+8=(3S-r-8)(3S-r-1)19.12x-4-9x2 =-(3x-2)220.1-10ab2+25a2b4 =(5ab2-1)221.(a-b)2+4(b-a)+4 =(a-b+2)222.2x4+4x2-6 =2(x2+3)(x+1)(x-1)23.(x-y)(x-y-1)-12= (x-y-4)(x-y+3)24.75xa3-50xa2+25xa-5a=5a(15xa2-10a+5x-1)25. xy-y2-yz+xz=(y+z)(x-y)26.18a2-32b2-18a+24b=2(3a-4b)(3a+4b-3)27.x-y-y2+x2 =(x+y+1)(x-y)28.4ma-2m-4a2+4a-1=(2a-1)(2m-2a+1)29.4-m2-m2(n2吧???)-2mn =(4-m-n)(4+m+n)30.m3+m2+m-n3-n2-n=(m-n)(m2+mn+n2+m+n+1)

2^2015 - 2^2014 = 2^2014 · (2-1) = 2^2014

两个都含有x^2y^2，可以先提取出来16x^4y^4-1/16 x^2y^2=x^2y^2（16x^2y^2-1/16） 16是4的平方=x^2y^2（4^2x^2y^2-1/4^2） 括号里是平方差公式=x^2y^2（4xy-1/4）（4xy+1/4）

x - 7x + 6 = 0 (x - 1)(x - 6) = 0 x1 = 1 x2 = 6 这是用“十字相乘”法解的。 “十字相乘”法简介 把二次项的系数分为两个数的乘积，此处1 = 1 × 1，常数项也分为两个数的乘积，此处 6 = (-1) × (-6)， 而后交叉相乘，得到的两个乘积求和，这个和与一次项的系数相等即可，此处 1 × (-1) + 1 × (-6) = -7。 这个方法书上讲的很少，这是因为该方法适应范围较窄，不是通用的方法，练习时，可以优先使用该方法，如果不能解决问题，在换用配方法。 “配方”法简介 配方法简单易行，适应范围广，是必须掌握的方法。 1、如果二次项的系数不为“1”，则从二次项和一次项的系数中提取到括号的前面； 2、在括号内添加“一次项系数一半的平方”，在减去“一次项系数一半的平方”； 3、括号内的前三项可直接写出完全平方式。 对于本例，做法如下 x - 7x + 6 = 0 x - 7x + (-7/2) - (-7/2) + 6 = 0 (x - 7/2) - 49/4 + 6 = 0 (x - 7/2) - 25/4 = 0 (x - 7/2) - (5/2) = 0 (x - 7/2 + 5/2)(x - 7/2 - 5/2) = 0 (x - 1)(x - 6) = 0

1.a^4-4a+3 2.(a+x)^m+1*(b+x)^n-1-(a+x)^m*(b+x)^n 3.x^2+(a+1/a)xy+y^2 4.9a^2-4b^2+4bc-c^2 5.(c-a)^2-4(b-c)(a-b)答案1.原式=a^4-a-3a+3=(a-1)(a^3+a^2+a-3) 2.[1-(a+x)^m][(b+x)^n-1] 3.(ax+y)(1/ax+y) 4.9a^2-4b^2+4bc-c^2=(3a)^2-(4b^2-4bc+c^2)=(3a)^2-(2b-c)^2=(3a+2b-c)(3a-2b+c) 5.(c-a)^2-4(b-c)(a-b) = (c-a)(c-a)-4(ab-b^2-ac+bc) =c^2-2ac+a^2-4ab+4b^2+4ac-4bc =c^2+a^2+4b^2-4ab+2ac-4bc =(a-2b)^2+c^2-(2c)(a-2b) =(a-2b-c)^21.x^2+2x-8 2.x^2+3x-10 3.x^2-x-20 4.x^2+x-6 5.2x^2+5x-3 6.6x^2+4x-2 7.x^2-2x-3 8.x^2+6x+8 9.x^2-x-12 10.x^2-7x+10 11.6x^2+x+2 12.4x^2+4x-3 解方程：（x的平方+5x-6）分之一=（x的平方+x+6）分之一 十字相乘法虽然比较难学,但是一旦学会了它,用它来解题,会给我们带来很多方便,以下是我对十字相乘法提出的一些个人见解。 1、十字相乘法的方法：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。 2、十字相乘法的用处：（1）用十字相乘法来分解因式。（2）用十字相乘法来解一元二次方程。 3、十字相乘法的优点：用十字相乘法来解题的速度比较快，能够节约时间，而且运用算量不大，不容易出错。 4、十字相乘法的缺陷：1、有些题目用十字相乘法来解比较简单，但并不是每一道题用十字相乘法来解都简单。2、十字相乘法只适用于二次三项式类型的题目。3、十字相乘法比较难学。 5、十字相乘法解题实例： 1)、 用十字相乘法解一些简单常见的题目 例1把m²+4m-12分解因式 分析：本题中常数项-12可以分为-1×12，-2×6，-3×4，-4×3，-6×2，-12×1当-12分成-2×6时，才符合本题 解：因为 1 -2 1 ╳ 6 所以m²+4m-12=（m-2）（m+6） 例2把5x²+6x-8分解因式 分析：本题中的5可分为1×5,-8可分为-1×8，-2×4，-4×2，-8×1。当二次项系数分为1×5，常数项分为-4×2时，才符合本题 解： 因为 1 2 5 ╳ -4 所以5x²+6x-8=（x+2）（5x-4） 例3解方程x²-8x+15=0 分析：把x²-8x+15看成关于x的一个二次三项式，则15可分成1×15，3×5。 解： 因为 1 -3 1 ╳ -5 所以原方程可变形（x-3）（x-5）=0 所以x1=3 x2=5 例4、解方程 6x²-5x-25=0 分析：把6x²-5x-25看成一个关于x的二次三项式，则6可以分为1×6，2×3，-25可以分成-1×25，-5×5，-25×1。 解： 因为 2 -5 3 ╳ 5 所以 原方程可变形成（2x-5）（3x+5）=0 所以 x1=5/2 x2=-5/3 2)、用十字相乘法解一些比较难的题目 例5把14x²-67xy+18y²分解因式 分析：把14x²-67xy+18y²看成是一个关于x的二次三项式,则14可分为1×14,2×7, 18y²可分为y.18y , 2y.9y , 3y.6y 解: 因为 2 -9y 7 ╳ -2y 所以 14x²-67xy+18y²= (2x-9y)(7x-2y) 例6 把10x²-27xy-28y²-x+25y-3分解因式 分析：在本题中，要把这个多项式整理成二次三项式的形式 解法一、10x²-27xy-28y²-x+25y-3 =10x²-（27y+1）x -（28y²-25y+3） 4y -3 7y ╳ -1 =10x²-（27y+1）x -（4y-3）（7y -1） =[2x -（7y -1）][5x +（4y -3）] 2 -（7y – 1） 5 ╳ 4y - 3 =（2x -7y +1）（5x +4y -3） 说明：在本题中先把28y²-25y+3用十字相乘法分解为（4y-3）（7y -1），再用十字相乘法把10x²-（27y+1）x -（4y-3）（7y -1）分解为[2x -（7y -1）][5x +（4y -3）] 解法二、10x²-27xy-28y²-x+25y-3 =（2x -7y）（5x +4y）-（x -25y）- 3 2 -7y =[（2x -7y）+1] [（5x -4y）-3] 5 ╳ 4y =（2x -7y+1）（5x -4y -3） 2 x -7y 1 5 x - 4y ╳ -3 说明:在本题中先把10x²-27xy-28y²用十字相乘法分解为（2x -7y）（5x +4y）,再把（2x -7y）（5x +4y）-（x -25y）- 3用十字相乘法分解为[（2x -7y）+1] [（5x -4y）-3]. 例7：解关于x方程：x²- 3ax + 2a²–ab -b²=0 分析：2a²–ab-b²可以用十字相乘法进行因式分解 解：x²- 3ax + 2a²–ab -b²=0 x²- 3ax +（2a²–ab - b²）=0 x²- 3ax +（2a+b）（a-b）=0 1 -b 2 ╳ +b [x-（2a+b）][ x-（a-b）]=0 1 -（2a+b） 1 ╳ -（a-b） 所以 x1=2a+b x2=a-b 5-7(a+1)-6(a+1)^2 =-[6(a+1)^2+7(a+1)-5] =-[2(a+1)-1][3(a+1)+5] =-(2a+1)(3a+8); -4x^3 +6x^2 -2x =-2x(2x^2-3x+1) =-2x(x-1)(2x-1); 6(y-z)^2 +13(z-y)+6 =6(z-y)^2+13(z-y)+6 =[2(z-y)+3][3(z-y)+2] =(2z-2y+3)(3z-3y+2). 比如...x^2+6x-7这个式子 由于一次幂x前系数为6 所以，我们可以想到，7-1=6 那正好这个式子的常数项为-7 因此我们想到将-7看成7*（-1） 于是我们作十字相成 x +7 x -1 的到（x+7）·（x-1） 成功分解了因式 3ab^2-9a^2b^2+6a^3b^2 =3ab^2(1-3a+2a^2) =3ab^2(2a^2-3a+1) =3ab^2(2a-1)(a-1) 5-7(a+1)-6(a+1)^2 =-[6(a+1)^2+7(a+1)-5] =-[2(a+1)-1][3(a+1)+5] =-(2a+1)(3a+8); -4x^3 +6x^2 -2x =-2x(2x^2-3x+1) =-2x(x-1)(2x-1); 6(y-z)^2 +13(z-y)+6 =6(z-y)^2+13(z-y)+6 =[2(z-y)+3][3(z-y)+2] =(2z-2y+3)(3z-3y+2). 比如...x^2+6x-7这个式子 由于一次幂x前系数为6 所以，我们可以想到，7-1=6 那正好这个式子的常数项为-7 因此我们想到将-7看成7*（-1） 于是我们作十字相成 x +7 x -1 的到（x+7）·（x-1） 成功分解了因式 3ab^2-9a^2b^2+6a^3b^2 =3ab^2(1-3a+2a^2) =3ab^2(2a^2-3a+1) =3ab^2(2a-1)(a-1)x^2+3x-40 =x^2+3x+2.25-42.25 =(x+1.5)^2-(6.5)^2 =(x+8)(x-5)． ⑹十字相乘法 这种方法有两种情况。 ①x^2+(p+q)x+pq型的式子的因式分解 这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和。因此，可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：x^2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) ． ②kx^2+mx+n型的式子的因式分解 如果如果有k=ac，n=bd，且有ad+bc=m时，那么kx^2+mx+n=(ax+b)(cx+d)． 图示如下： a b × c d 例如：因为 1 -3 × 7 2 -3×7=-21，1×2=2，且2-21=-19， 所以7x^2-19x-6=(7x+2)(x-3)． 十字相乘法口诀：首尾分解，交叉相乘，求和凑中 ⑶分组分解法 分组分解是解方程的一种简洁的方法，我们来学习这个知识。 能分组分解的方程有四项或大于四项，一般的分组分解有两种形式：二二分法，三一分法。 比如： ax+ay+bx+by =a(x+y)+b(x+y) =(a+b)(x+y) 我们把ax和ay分一组，bx和by分一组，利用乘法分配律，两两相配，立即解除了困难。 同样，这道题也可以这样做。 ax+ay+bx+by =x(a+b)+y(a+b) =(a+b)(x+y) 几道例题： 1. 5ax+5bx+3ay+3by 解法：=5x(a+b)+3y(a+b) =(5x+3y)(a+b) 说明：系数不一样一样可以做分组分解，和上面一样，把5ax和5bx看成整体，把3ay和3by看成一个整体，利用乘法分配律轻松解出。 2. x3-x2+x-1 解法：=(x3-x2)+(x-1) =x2(x-1)+(x-1) =(x-1)(x2+1) 利用二二分法，提公因式法提出x2，然后相合轻松解决。 3. x2-x-y2-y 解法：=(x2-y2)-(x+y) =(x+y)(x-y)-(x+y) =(x+y)(x-y+1) 利用二二分法，再利用公式法a2-b2=(a+b)(a-b)，然后相合解决。 758²—258² =(758+258)(758-258)=1016*500=508000

已知a,b,c满足a-b=8,ab+c2+16=0,求a+b+c的值 .

因式分解 因式分解（factorization） 因式分解是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．而在竞赛上，又有拆项和添项法，待定系数法，双十字相乘法，轮换对称法等． ⑴提公因式法 ①公因式：各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的～. ②提公因式法：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法. am＋bm＋cm＝m（a+b+c） ③具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的. 如果多项式的第一项是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的. ⑵运用公式法 ①平方差公式：. a^2－b^2＝(a＋b)(a－b) ②完全平方公式： a^2±2ab＋b^2＝(a±b)^2 ※能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式,其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍. ③立方和公式：a^3+b^3＝ (a+b)(a^2-ab+b^2). 立方差公式：a^3-b^3＝ (a-b)(a^2+ab+b^2). ④完全立方公式： a^3±3a^2b＋3ab^2±b^3＝(a±b)^3 ⑤a^n-b^n=(a-b)[a^(n-1)+a^(n-2)b+……+b^(n-2)a+b^(n-1)] a^m+b^m=(a+b)[a^(m-1)-a^(m-2)b+……-b^(m-2)a+b^(m-1)](m为奇数) ⑶分组分解法 分组分解法：把一个多项式分组后，再进行分解因式的方法. 分组分解法必须有明确目的，即分组后，可以直接提公因式或运用公式. ⑷拆项、补项法 拆项、补项法：把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解；要注意，必须在与原多项式相等的原则进行变形. ⑸十字相乘法 ①x^2＋（p q）x＋pq型的式子的因式分解 这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和.因此，可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解： x^2＋（p q）x＋pq＝（x＋p）（x＋q） ②kx^2＋mx＋n型的式子的因式分解 如果能够分解成k＝ac，n＝bd，且有ad＋bc＝m 时，那么 kx^2＋mx＋n＝（ax b）（cx d） a -----/b ac＝k bd＝n c /-----d ad＋bc＝m ※ 多项式因式分解的一般步骤： ①如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式； ②如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解； ③如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解； ④分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止. (6)应用因式定理：如果f（a）=0，则f（x）必含有因式（x-a）。如f（x）=x^2+5x+6，f（-2）=0，则可确定（x+2）是x^2+5x+6的一个因式。 经典例题： 1.分解因式(1+y)^2-2x^2(1+y^2)+x^4(1-y)^2 解：原式=(1+y)^2+2(1+y)x^2(1+y)+x^4(1-y)^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2) =[(1+y)+x^2(1-y)]^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2) =[(1+y)+x^2(1-y)]^2-(2x)^2 =[(1+y)+x^2(1-y)+2x]·[(1+y)+x^2(1-y)-2x] =(x^2-x^2y+2x+y+1)(x^2-x^2y-2x+y+1) =[(x+1)^2-y(x^2-1)][(x-1)^2-y(x^2-1)] =(x+1)(x+1-xy+y)(x-1)(x-1-xy-y) 2.证明：对于任何数x,y，下式的值都不会为33 x^5+3x^4y-5x^3y^2+4xy^4+12y^5 解：原式=(x^5+3x^4y)-(5x^3y^2+15x^2y^3)+(4xy^4+12y^5) =x^4(x+3y)-5x^2y^2(x+3y)+4y^4(x+3y) =(x+3y)(x^4-5x^2y^2+4y^4) =(x+3y)(x^2-4y^2)(x^2-y^2) =(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y) 当y=0时，原式=x^5不等于33；当y不等于0时，x+3y,x+y,x-y,x+2y,x-2y互不相同，而33不能分成四个以上不同因数的积，所以原命题成立 因式分解的十二种方法 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。因式分解的方法多种多样，现总结如下： 1、 提公因法 如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。 例1、 分解因式x -2x -x(2003淮安市中考题) x -2x -x=x(x -2x-1) 2、 应用公式法 由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式。 例2、分解因式a +4ab+4b (2003南通市中考题) 解：a +4ab+4b =（a+2b） 3、 分组分解法 要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a，把它后两项分成一组，并提出公因式b，从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n，从而得到(a+b)(m+n) 例3、分解因式m +5n-mn-5m 解：m +5n-mn-5m= m -5m -mn+5n = (m -5m )+(-mn+5n) =m(m-5)-n(m-5) =(m-5)(m-n) 4、 十字相乘法 对于mx +px+q形式的多项式，如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p，则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c) 例4、分解因式7x -19x-6 分析： 1 -3 7 2 2-21=-19 解：7x -19x-6=（7x+2）(x-3) 5、配方法 对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解。 例5、分解因式x +3x-40 解x +3x-40=x +3x+( ) -( ) -40 =(x+ ) -( ) =(x+ + )(x+ - ) =(x+8)(x-5) 6、拆、添项法 可以把多项式拆成若干部分，再用进行因式分解。 例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b) 解：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b) =bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b) =c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a) =(c+b)(c-a)(a+b) 7、 换元法 有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来。 例7、分解因式2x -x -6x -x+2 解：2x -x -6x -x+2=2(x +1)-x(x +1)-6x =x [2(x + )-(x+ )-6 令y=x+ , x [2(x + )-(x+ )-6 = x [2(y -2)-y-6] = x (2y -y-10) =x (y+2)(2y-5) =x (x+ +2)(2x+ -5) = (x +2x+1) (2x -5x+2) =(x+1) (2x-1)(x-2) 8、 求根法 令多项式f(x)=0,求出其根为x ,x ,x ,……x ,则多项式可因式分解为f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x ) 例8、分解因式2x +7x -2x -13x+6 解：令f(x)=2x +7x -2x -13x+6=0 通过综合除法可知，f(x)=0根为 ，-3，-2，1 则2x +7x -2x -13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1) 9、 图象法 令y=f(x)，做出函数y=f(x)的图象，找到函数图象与X轴的交点x ,x ,x ,……x ，则多项式可因式分解为f(x)= f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x ) 例9、因式分解x +2x -5x-6 解：令y= x +2x -5x-6 作出其图象，见右图，与x轴交点为-3，-1，2 则x +2x -5x-6=(x+1)(x+3)(x-2) 10、 主元法 先选定一个字母为主元，然后把各项按这个字母次数从高到低排列，再进行因式分解。 例10、分解因式a (b-c)+b (c-a)+c (a-b) 分析：此题可选定a为主元，将其按次数从高到低排列 解：a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)=a (b-c)-a(b -c )+(b c-c b) =(b-c) [a -a(b+c)+bc] =(b-c)(a-b)(a-c) 11、 利用特殊值法 将2或10代入x，求出数P，将数P分解质因数，将质因数适当的组合，并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式，将2或10还原成x，即得因式分解式。 例11、分解因式x +9x +23x+15 解：令x=2，则x +9x +23x+15=8+36+46+15=105 将105分解成3个质因数的积，即105=3×5×7 注意到多项式中最高项的系数为1，而3、5、7分别为x+1，x+3，x+5，在x=2时的值 则x +9x +23x+15=（x+1）（x+3）（x+5） 12、待定系数法 首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多项式因式分解。 例12、分解因式x -x -5x -6x-4 分析：易知这个多项式没有一次因式，因而只能分解为两个二次因式。 解：设x -x -5x -6x-4=(x +ax+b)(x +cx+d) = x +(a+c)x +(ac+b+d)x +(ad+bc)x+bd 所以 解得 则x -x -5x -6x-4 =(x +x+1)(x -2x-4)

因式分解（factorization）因式分解是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．而在竞赛上，又有拆项和添项法，待定系数法，双十字相乘法，轮换对称法等．⑴提公因式法①公因式：各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的～. ②提公因式法：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法. am＋bm＋cm＝m（a+b+c） ③具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的. 如果多项式的第一项是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的. ⑵运用公式法 ①平方差公式：. a^2－b^2＝(a＋b)(a－b) ②完全平方公式： a^2±2ab＋b^2＝(a±b)^2 ※能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式,其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍. ③立方和公式：a^3+b^3＝ (a+b)(a^2-ab+b^2). 立方差公式：a^3-b^3＝ (a-b)(a^2+ab+b^2). ④完全立方公式： a^3±3a^2b＋3ab^2±b^3＝(a±b)^3 ⑤a^n-b^n=(a-b)[a^(n-1)+a^(n-2)b+……+b^(n-2)a+b^(n-1)]a^m+b^m=(a+b)[a^(m-1)-a^(m-2)b+……-b^(m-2)a+b^(m-1)](m为奇数)⑶分组分解法 分组分解法：把一个多项式分组后，再进行分解因式的方法. 分组分解法必须有明确目的，即分组后，可以直接提公因式或运用公式. ⑷拆项、补项法 拆项、补项法：把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解；要注意，必须在与原多项式相等的原则进行变形. ⑸十字相乘法 ①x^2＋（p q）x＋pq型的式子的因式分解 这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和.因此，可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解： x^2＋（p q）x＋pq＝（x＋p）（x＋q） ②kx^2＋mx＋n型的式子的因式分解 如果能够分解成k＝ac，n＝bd，且有ad＋bc＝m 时，那么 kx^2＋mx＋n＝（ax b）（cx d） a -----/b ac＝k bd＝n c /-----d ad＋bc＝m ※ 多项式因式分解的一般步骤： ①如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式； ②如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解； ③如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解； ④分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止. (6)应用因式定理：如果f（a）=0，则f（x）必含有因式（x-a）。如f（x）=x^2+5x+6，f（-2）=0，则可确定（x+2）是x^2+5x+6的一个因式。经典例题：1.分解因式(1+y)^2-2x^2(1+y^2)+x^4(1-y)^2解：原式=(1+y)^2+2(1+y)x^2(1+y)+x^4(1-y)^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2)=[(1+y)+x^2(1-y)]^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2)=[(1+y)+x^2(1-y)]^2-(2x)^2=[(1+y)+x^2(1-y)+2x]·[(1+y)+x^2(1-y)-2x]=(x^2-x^2y+2x+y+1)(x^2-x^2y-2x+y+1)=[(x+1)^2-y(x^2-1)][(x-1)^2-y(x^2-1)]=(x+1)(x+1-xy+y)(x-1)(x-1-xy-y)2.证明：对于任何数x,y，下式的值都不会为33x^5+3x^4y-5x^3y^2+4xy^4+12y^5解：原式=(x^5+3x^4y)-(5x^3y^2+15x^2y^3)+(4xy^4+12y^5)=x^4(x+3y)-5x^2y^2(x+3y)+4y^4(x+3y)=(x+3y)(x^4-5x^2y^2+4y^4)=(x+3y)(x^2-4y^2)(x^2-y^2)=(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y)当y=0时，原式=x^5不等于33；当y不等于0时，x+3y,x+y,x-y,x+2y,x-2y互不相同，而33不能分成四个以上不同因数的积，所以原命题成立因式分解的十二种方法 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。因式分解的方法多种多样，现总结如下： 1、 提公因法 如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。 例1、 分解因式x -2x -x(2003淮安市中考题) x -2x -x=x(x -2x-1) 2、 应用公式法 由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式。 例2、分解因式a +4ab+4b (2003南通市中考题) 解：a +4ab+4b =（a+2b） 3、 分组分解法 要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a，把它后两项分成一组，并提出公因式b，从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n，从而得到(a+b)(m+n) 例3、分解因式m +5n-mn-5m 解：m +5n-mn-5m= m -5m -mn+5n = (m -5m )+(-mn+5n) =m(m-5)-n(m-5) =(m-5)(m-n) 4、 十字相乘法 对于mx +px+q形式的多项式，如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p，则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c) 例4、分解因式7x -19x-6 分析： 1 -3 7 2 2-21=-19 解：7x -19x-6=（7x+2）(x-3) 5、配方法 对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解。 例5、分解因式x +3x-40 解x +3x-40=x +3x+( ) -( ) -40 =(x+ ) -( ) =(x+ + )(x+ - ) =(x+8)(x-5) 6、拆、添项法 可以把多项式拆成若干部分，再用进行因式分解。 例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b) 解：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b) =bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b) =c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a) =(c+b)(c-a)(a+b) 7、 换元法 有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来。 例7、分解因式2x -x -6x -x+2 解：2x -x -6x -x+2=2(x +1)-x(x +1)-6x =x [2(x + )-(x+ )-6 令y=x+ , x [2(x + )-(x+ )-6 = x [2(y -2)-y-6] = x (2y -y-10) =x (y+2)(2y-5) =x (x+ +2)(2x+ -5) = (x +2x+1) (2x -5x+2) =(x+1) (2x-1)(x-2) 8、 求根法 令多项式f(x)=0,求出其根为x ,x ,x ,……x ,则多项式可因式分解为f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x ) 例8、分解因式2x +7x -2x -13x+6 解：令f(x)=2x +7x -2x -13x+6=0 通过综合除法可知，f(x)=0根为 ，-3，-2，1 则2x +7x -2x -13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1) 9、 图像法 令y=f(x)，做出函数y=f(x)的图像，找到函数图像与X轴的交点x ,x ,x ,……x ，则多项式可因式分解为f(x)= f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x ) 例9、因式分解x +2x -5x-6 解：令y= x +2x -5x-6 作出其图像，见右图，与x轴交点为-3，-1，2 则x +2x -5x-6=(x+1)(x+3)(x-2) 10、 主元法 先选定一个字母为主元，然后把各项按这个字母次数从高到低排列，再进行因式分解。 例10、分解因式a (b-c)+b (c-a)+c (a-b) 分析：此题可选定a为主元，将其按次数从高到低排列 解：a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)=a (b-c)-a(b -c )+(b c-c b) =(b-c) [a -a(b+c)+bc] =(b-c)(a-b)(a-c) 11、 利用特殊值法 将2或10代入x，求出数P，将数P分解质因数，将质因数适当的组合，并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式，将2或10还原成x，即得因式分解式。 例11、分解因式x +9x +23x+15 解：令x=2，则x +9x +23x+15=8+36+46+15=105 将105分解成3个质因数的积，即105=3×5×7 注意到多项式中最高项的系数为1，而3、5、7分别为x+1，x+3，x+5，在x=2时的值 则x +9x +23x+15=（x+1）（x+3）（x+5） 12、待定系数法 首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多项式因式分解。 例12、分解因式x -x -5x -6x-4 分析：易知这个多项式没有一次因式，因而只能分解为两个二次因式。 解：设x -x -5x -6x-4=(x +ax+b)(x +cx+d) = x +(a+c)x +(ac+b+d)x +(ad+bc)x+bd 所以 解得 则x -x -5x -6x-4 =(x +x+1)(x -2x-4)初学因式分解的“四个注意”因式分解初见于九年义务教育三年制初中教材《代数》第二册，在初二上学期讲授，但它的内容却渗透于整个中学数学教材之中。学习它，既可以复习初一的整式四则运算，又为本册下一章分式打好基础；学好它，既可以培养学生的观察、注意、运算能力，又可以提高学生综合分析和解决问题的能力。其中四个注意，则必须引起师生的高度重视。 因式分解中的四个注意散见于教材第5页和第15页，可用四句话概括如下：首项有负常提负，各项有“公”先提“公”，某项提出莫漏1，括号里面分到“底”。现举数例，说明如下，供参考。 例1 把－a2－b2＋2ab＋4分解因式。 解：－a2－b2＋2ab＋4＝－（a2－2ab＋b2－4）＝－（a－b＋2）（a－b－2） 这里的“负”，指“负号”。如果多项式的第一项是负的，一般要提出负号，使括号内第一项系数是正的。防止学生出现诸如－9x2＋4y2＝（－3x）2－（2y）2＝（－3x＋2y）（－3x－2y）＝（3x－2y）（3x＋2y）的错误?�膊荒芗�汉啪拖取疤帷保��匀�饨�蟹治觯?/p> 如例2 △abc的三边a、b、c有如下关系式：－c2＋a2＋2ab－2bc＝0，求证这个三角形是等腰三角形。 分析：此题实质上是对关系式的等号左边的多项式进行因式分解。 证明：∵－c2＋a2＋2ab－2bc＝0，∴（a＋c）（a－c）＋2b（a－c）＝0，∴（a－c）（a＋2b＋c）＝0． 又∵a、b、c是△abc的三条边，∴a＋2b＋c＞0，∴a－c＝0， 即a＝c，△abc为等腰三角形。 例3把－12x2nyn＋18xn＋2yn＋1－6xnyn－1分解因式。解：－12x2nyn＋18xn＋2yn＋1－6xnyn－1＝－6xnyn－1（2xny－3x2y2＋1） 这里的“公”指“公因式”。如果多项式的各项含有公因式，那么先提取这个公因式，再进一步分解因式；这里的“1”，是指多项式的某个整项是公因式时，先提出这个公因式后，括号内切勿漏掉1。防止学生出现诸如6p（x－1）3－8p2（x－1）2＋2p（1－x）2＝2p（x－1）2〔3（x－1）－4p〕＝2p（x－1）2（3x－4p－3）的错误。 例4 在实数范围内把x4－5x2－6分解因式。 解：x4－5x2－6＝（x2＋1）（x2－6）＝（x2＋1）（x＋6）（x－6） 这里的“底”，指分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。即分解到底，不能半途而废的意思。其中包含提公因式要一次性提“干净”，不留“尾巴”，并使每一个括号内的多项式都不能再分解。防止学生出现诸如4x4y2－5x2y2－9y2＝y2（4x4－5x2－9）＝y2（x2＋1）（4x2－9）的错误。 由此看来，因式分解中的四个注意贯穿于因式分解的四种基本方法之中，与因式分解的四个步骤或说一般思考顺序的四句话：“先看有无公因式，再看能否套公式，十字相乘试一试，分组分解要合适”是一脉相承的。

因式分解（factorization）因式分解是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．而在竞赛上，又有拆项和添项法，待定系数法，双十字相乘法，轮换对称法等．⑴提公因式法①公因式：各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的～. ②提公因式法：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法. am＋bm＋cm＝m（a+b+c） ③具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的. 如果多项式的第一项是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的. ⑵运用公式法 ①平方差公式：. a^2－b^2＝(a＋b)(a－b) ②完全平方公式： a^2±2ab＋b^2＝(a±b)^2 ※能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式,其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍. ③立方和公式：a^3+b^3＝ (a+b)(a^2-ab+b^2). 立方差公式：a^3-b^3＝ (a-b)(a^2+ab+b^2). ④完全立方公式： a^3±3a^2b＋3ab^2±b^3＝(a±b)^3 ⑤a^n-b^n=(a-b)[a^(n-1)+a^(n-2)b+……+b^(n-2)a+b^(n-1)]a^m+b^m=(a+b)[a^(m-1)-a^(m-2)b+……-b^(m-2)a+b^(m-1)](m为奇数)⑶分组分解法 分组分解法：把一个多项式分组后，再进行分解因式的方法. 分组分解法必须有明确目的，即分组后，可以直接提公因式或运用公式. ⑷拆项、补项法 拆项、补项法：把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解；要注意，必须在与原多项式相等的原则进行变形. ⑸十字相乘法 ①x^2＋（p q）x＋pq型的式子的因式分解 这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和.因此，可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解： x^2＋（p q）x＋pq＝（x＋p）（x＋q） ②kx^2＋mx＋n型的式子的因式分解 如果能够分解成k＝ac，n＝bd，且有ad＋bc＝m 时，那么 kx^2＋mx＋n＝（ax b）（cx d） a -----/b ac＝k bd＝n c /-----d ad＋bc＝m ※ 多项式因式分解的一般步骤： ①如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式； ②如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解； ③如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解； ④分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止. (6)应用因式定理：如果f（a）=0，则f（x）必含有因式（x-a）。如f（x）=x^2+5x+6，f（-2）=0，则可确定（x+2）是x^2+5x+6的一个因式。经典例题：1.分解因式(1+y)^2-2x^2(1+y^2)+x^4(1-y)^2解：原式=(1+y)^2+2(1+y)x^2(1+y)+x^4(1-y)^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2)=[(1+y)+x^2(1-y)]^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2)=[(1+y)+x^2(1-y)]^2-(2x)^2=[(1+y)+x^2(1-y)+2x]·[(1+y)+x^2(1-y)-2x]=(x^2-x^2y+2x+y+1)(x^2-x^2y-2x+y+1)=[(x+1)^2-y(x^2-1)][(x-1)^2-y(x^2-1)]=(x+1)(x+1-xy+y)(x-1)(x-1-xy-y)2.证明：对于任何数x,y，下式的值都不会为33x^5+3x^4y-5x^3y^2+4xy^4+12y^5解：原式=(x^5+3x^4y)-(5x^3y^2+15x^2y^3)+(4xy^4+12y^5)=x^4(x+3y)-5x^2y^2(x+3y)+4y^4(x+3y)=(x+3y)(x^4-5x^2y^2+4y^4)=(x+3y)(x^2-4y^2)(x^2-y^2)=(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y)当y=0时，原式=x^5不等于33；当y不等于0时，x+3y,x+y,x-y,x+2y,x-2y互不相同，而33不能分成四个以上不同因数的积，所以原命题成立因式分解的十二种方法 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。因式分解的方法多种多样，现总结如下： 1、 提公因法 如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。 例1、 分解因式x -2x -x(2003淮安市中考题) x -2x -x=x(x -2x-1) 2、 应用公式法 由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式。 例2、分解因式a +4ab+4b (2003南通市中考题) 解：a +4ab+4b =（a+2b） 3、 分组分解法 要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a，把它后两项分成一组，并提出公因式b，从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n，从而得到(a+b)(m+n) 例3、分解因式m +5n-mn-5m 解：m +5n-mn-5m= m -5m -mn+5n = (m -5m )+(-mn+5n) =m(m-5)-n(m-5) =(m-5)(m-n) 4、 十字相乘法 对于mx +px+q形式的多项式，如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p，则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c) 例4、分解因式7x -19x-6 分析： 1 -3 7 2 2-21=-19 解：7x -19x-6=（7x+2）(x-3) 5、配方法 对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解。 例5、分解因式x +3x-40 解x +3x-40=x +3x+( ) -( ) -40 =(x+ ) -( ) =(x+ + )(x+ - ) =(x+8)(x-5) 6、拆、添项法 可以把多项式拆成若干部分，再用进行因式分解。 例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b) 解：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b) =bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b) =c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a) =(c+b)(c-a)(a+b) 7、 换元法 有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来。 例7、分解因式2x -x -6x -x+2 解：2x -x -6x -x+2=2(x +1)-x(x +1)-6x =x [2(x + )-(x+ )-6 令y=x+ , x [2(x + )-(x+ )-6 = x [2(y -2)-y-6] = x (2y -y-10) =x (y+2)(2y-5) =x (x+ +2)(2x+ -5) = (x +2x+1) (2x -5x+2) =(x+1) (2x-1)(x-2) 8、 求根法 令多项式f(x)=0,求出其根为x ,x ,x ,……x ,则多项式可因式分解为f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x ) 例8、分解因式2x +7x -2x -13x+6 解：令f(x)=2x +7x -2x -13x+6=0 通过综合除法可知，f(x)=0根为 ，-3，-2，1 则2x +7x -2x -13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1) 9、 图像法 令y=f(x)，做出函数y=f(x)的图像，找到函数图像与X轴的交点x ,x ,x ,……x ，则多项式可因式分解为f(x)= f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x ) 例9、因式分解x +2x -5x-6 解：令y= x +2x -5x-6 作出其图像，见右图，与x轴交点为-3，-1，2 则x +2x -5x-6=(x+1)(x+3)(x-2) 10、 主元法 先选定一个字母为主元，然后把各项按这个字母次数从高到低排列，再进行因式分解。 例10、分解因式a (b-c)+b (c-a)+c (a-b) 分析：此题可选定a为主元，将其按次数从高到低排列 解：a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)=a (b-c)-a(b -c )+(b c-c b) =(b-c) [a -a(b+c)+bc] =(b-c)(a-b)(a-c) 11、 利用特殊值法 将2或10代入x，求出数P，将数P分解质因数，将质因数适当的组合，并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式，将2或10还原成x，即得因式分解式。 例11、分解因式x +9x +23x+15 解：令x=2，则x +9x +23x+15=8+36+46+15=105 将105分解成3个质因数的积，即105=3×5×7 注意到多项式中最高项的系数为1，而3、5、7分别为x+1，x+3，x+5，在x=2时的值 则x +9x +23x+15=（x+1）（x+3）（x+5） 12、待定系数法 首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多项式因式分解。 例12、分解因式x -x -5x -6x-4 分析：易知这个多项式没有一次因式，因而只能分解为两个二次因式。 解：设x -x -5x -6x-4=(x +ax+b)(x +cx+d) = x +(a+c)x +(ac+b+d)x +(ad+bc)x+bd 所以 解得 则x -x -5x -6x-4 =(x +x+1)(x -2x-4)初学因式分解的“四个注意”因式分解初见于九年义务教育三年制初中教材《代数》第二册，在初二上学期讲授，但它的内容却渗透于整个中学数学教材之中。学习它，既可以复习初一的整式四则运算，又为本册下一章分式打好基础；学好它，既可以培养学生的观察、注意、运算能力，又可以提高学生综合分析和解决问题的能力。其中四个注意，则必须引起师生的高度重视。 因式分解中的四个注意散见于教材第5页和第15页，可用四句话概括如下：首项有负常提负，各项有“公”先提“公”，某项提出莫漏1，括号里面分到“底”。现举数例，说明如下，供参考。 例1 把－a2－b2＋2ab＋4分解因式。 解：－a2－b2＋2ab＋4＝－（a2－2ab＋b2－4）＝－（a－b＋2）（a－b－2） 这里的“负”，指“负号”。如果多项式的第一项是负的，一般要提出负号，使括号内第一项系数是正的。防止学生出现诸如－9x2＋4y2＝（－3x）2－（2y）2＝（－3x＋2y）（－3x－2y）＝（3x－2y）（3x＋2y）的错误?�膊荒芗�汉啪拖取疤帷保��匀�饨�蟹治觯?/p> 如例2 △abc的三边a、b、c有如下关系式：－c2＋a2＋2ab－2bc＝0，求证这个三角形是等腰三角形。 分析：此题实质上是对关系式的等号左边的多项式进行因式分解。 证明：∵－c2＋a2＋2ab－2bc＝0，∴（a＋c）（a－c）＋2b（a－c）＝0，∴（a－c）（a＋2b＋c）＝0． 又∵a、b、c是△abc的三条边，∴a＋2b＋c＞0，∴a－c＝0， 即a＝c，△abc为等腰三角形。 例3把－12x2nyn＋18xn＋2yn＋1－6xnyn－1分解因式。解：－12x2nyn＋18xn＋2yn＋1－6xnyn－1＝－6xnyn－1（2xny－3x2y2＋1） 这里的“公”指“公因式”。如果多项式的各项含有公因式，那么先提取这个公因式，再进一步分解因式；这里的“1”，是指多项式的某个整项是公因式时，先提出这个公因式后，括号内切勿漏掉1。防止学生出现诸如6p（x－1）3－8p2（x－1）2＋2p（1－x）2＝2p（x－1）2〔3（x－1）－4p〕＝2p（x－1）2（3x－4p－3）的错误。 例4 在实数范围内把x4－5x2－6分解因式。 解：x4－5x2－6＝（x2＋1）（x2－6）＝（x2＋1）（x＋6）（x－6） 这里的“底”，指分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。即分解到底，不能半途而废的意思。其中包含提公因式要一次性提“干净”，不留“尾巴”，并使每一个括号内的多项式都不能再分解。防止学生出现诸如4x4y2－5x2y2－9y2＝y2（4x4－5x2－9）＝y2（x2＋1）（4x2－9）的错误。 由此看来，因式分解中的四个注意贯穿于因式分解的四种基本方法之中，与因式分解的四个步骤或说一般思考顺序的四句话：“先看有无公因式，再看能否套公式，十字相乘试一试，分组分解要合适”是一脉相承的。请采纳答案，支持我一下。

因式分解是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．而在竞赛上，又有拆项和添项法，待定系数法，双十字相乘法，轮换对称法等． ⑴提公因式法 ①公因式：各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的～. ②提公因式法：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法. am＋bm＋cm＝m（a+b+c） ③具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的. 如果多项式的第一项是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的. ⑵运用公式法 ①平方差公式：. a^2－b^2＝(a＋b)(a－b) ②完全平方公式： a^2±2ab＋b^2＝(a±b)^2 ※能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式,其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍. ③立方和公式：a^3+b^3＝ (a+b)(a^2-ab+b^2). 立方差公式：a^3-b^3＝ (a-b)(a^2+ab+b^2). ④完全立方公式： a^3±3a^2b＋3ab^2±b^3＝(a±b)^3 ⑤a^n-b^n=(a-b)[a^(n-1)+a^(n-2)b+……+b^(n-2)a+b^(n-1)] a^m+b^m=(a+b)[a^(m-1)-a^(m-2)b+……-b^(m-2)a+b^(m-1)](m为奇数) ⑶分组分解法 分组分解法：把一个多项式分组后，再进行分解因式的方法. 分组分解法必须有明确目的，即分组后，可以直接提公因式或运用公式. ⑷拆项、补项法 拆项、补项法：把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解；要注意，必须在与原多项式相等的原则进行变形. ⑸十字相乘法 ①x^2＋（p q）x＋pq型的式子的因式分解 这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和.因此，可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解： x^2＋（p q）x＋pq＝（x＋p）（x＋q） ②kx^2＋mx＋n型的式子的因式分解 如果能够分解成k＝ac，n＝bd，且有ad＋bc＝m 时，那么 kx^2＋mx＋n＝（ax b）（cx d） a -----/b ac＝k bd＝n c /-----d ad＋bc＝m ※ 多项式因式分解的一般步骤： ①如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式； ②如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解； ③如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解； ④分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止. (6)应用因式定理：如果f（a）=0，则f（x）必含有因式（x-a）。如f（x）=x^2+5x+6，f（-2）=0，则可确定（x+2）是x^2+5x+6的一个因式。 经典例题： 1.分解因式(1+y)^2-2x^2(1+y^2)+x^4(1-y)^2 解：原式=(1+y)^2+2(1+y)x^2(1+y)+x^4(1-y)^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2) =[(1+y)+x^2(1-y)]^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2) =[(1+y)+x^2(1-y)]^2-(2x)^2 =[(1+y)+x^2(1-y)+2x]·[(1+y)+x^2(1-y)-2x] =(x^2-x^2y+2x+y+1)(x^2-x^2y-2x+y+1) =[(x+1)^2-y(x^2-1)][(x-1)^2-y(x^2-1)] =(x+1)(x+1-xy+y)(x-1)(x-1-xy-y) 2.证明：对于任何数x,y，下式的值都不会为33 x^5+3x^4y-5x^3y^2+4xy^4+12y^5 解：原式=(x^5+3x^4y)-(5x^3y^2+15x^2y^3)+(4xy^4+12y^5) =x^4(x+3y)-5x^2y^2(x+3y)+4y^4(x+3y) =(x+3y)(x^4-5x^2y^2+4y^4) =(x+3y)(x^2-4y^2)(x^2-y^2) =(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y) 当y=0时，原式=x^5不等于33；当y不等于0时，x+3y,x+y,x-y,x+2y,x-2y互不相同，而33不能分成四个以上不同因数的积，所以原命题成立 因式分解的十二种方法 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。因式分解的方法多种多样，现总结如下： 1、 提公因法 如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。 例1、 分解因式x -2x -x(2003淮安市中考题) x -2x -x=x(x -2x-1) 2、 应用公式法 由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式。 例2、分解因式a +4ab+4b (2003南通市中考题) 解：a +4ab+4b =（a+2b） 3、 分组分解法 要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a，把它后两项分成一组，并提出公因式b，从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n，从而得到(a+b)(m+n) 例3、分解因式m +5n-mn-5m 解：m +5n-mn-5m= m -5m -mn+5n = (m -5m )+(-mn+5n) =m(m-5)-n(m-5) =(m-5)(m-n) 4、 十字相乘法 对于mx +px+q形式的多项式，如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p，则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c) 例4、分解因式7x -19x-6 分析： 1 -3 7 2 2-21=-19 解：7x -19x-6=（7x+2）(x-3) 5、配方法 对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解。 例5、分解因式x +3x-40 解x +3x-40=x +3x+( ) -( ) -40 =(x+ ) -( ) =(x+ + )(x+ - ) =(x+8)(x-5) 6、拆、添项法 可以把多项式拆成若干部分，再用进行因式分解。 例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b) 解：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b) =bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b) =c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a) =(c+b)(c-a)(a+b) 7、 换元法 有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来。 例7、分解因式2x -x -6x -x+2 解：2x -x -6x -x+2=2(x +1)-x(x +1)-6x =x [2(x + )-(x+ )-6 令y=x+ , x [2(x + )-(x+ )-6 = x [2(y -2)-y-6] = x (2y -y-10) =x (y+2)(2y-5) =x (x+ +2)(2x+ -5) = (x +2x+1) (2x -5x+2) =(x+1) (2x-1)(x-2) 8、 求根法 令多项式f(x)=0,求出其根为x ,x ,x ,……x ,则多项式可因式分解为f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x ) 例8、分解因式2x +7x -2x -13x+6 解：令f(x)=2x +7x -2x -13x+6=0 通过综合除法可知，f(x)=0根为 ，-3，-2，1 则2x +7x -2x -13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1) 9、 图象法 令y=f(x)，做出函数y=f(x)的图象，找到函数图象与X轴的交点x ,x ,x ,……x ，则多项式可因式分解为f(x)= f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x ) 例9、因式分解x +2x -5x-6 解：令y= x +2x -5x-6 作出其图象，见右图，与x轴交点为-3，-1，2 则x +2x -5x-6=(x+1)(x+3)(x-2) 10、 主元法 先选定一个字母为主元，然后把各项按这个字母次数从高到低排列，再进行因式分解。 例10、分解因式a (b-c)+b (c-a)+c (a-b) 分析：此题可选定a为主元，将其按次数从高到低排列 解：a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)=a (b-c)-a(b -c )+(b c-c b) =(b-c) [a -a(b+c)+bc] =(b-c)(a-b)(a-c) 11、 利用特殊值法 将2或10代入x，求出数P，将数P分解质因数，将质因数适当的组合，并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式，将2或10还原成x，即得因式分解式。 例11、分解因式x +9x +23x+15 解：令x=2，则x +9x +23x+15=8+36+46+15=105 将105分解成3个质因数的积，即105=3×5×7 注意到多项式中最高项的系数为1，而3、5、7分别为x+1，x+3，x+5，在x=2时的值 则x +9x +23x+15=（x+1）（x+3）（x+5） 12、待定系数法 首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多项式因式分解。 例12、分解因式x -x -5x -6x-4 分析：易知这个多项式没有一次因式，因而只能分解为两个二次因式。 解：设x -x -5x -6x-4=(x +ax+b)(x +cx+d) = x +(a+c)x +(ac+b+d)x +(ad+bc)x+bd 所以 解得 则x -x -5x -6x-4 =(x +x+1)(x -2x-4)

真的，要讲清楚很麻烦！建议你还是去问老师比较好。

高次公式：an-bn=(a-b)(an-1+an-2b+an-3b2+…+abn-2+bn-1)其中n为正整数；          an-bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-…+abn-2-bn-1)，其中n为偶数          an+bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-…-abn-2+bn-1)，其中n为奇数  对于三次因式分解ax^3+bx^2+cx+d,整数因式必为d的约数/a的约数，（指一次因式）高次同理，一般是要先找因式，否则乱拆项是一般解不出来的。   备用招；上述方法不行用待定系数法。再不行跟它拼了，用卡尔丹公式及费拉里公式.公式如图。（不推荐）

（x的二次方+x）（x的二次方+x-1）-2=（x的二次方+x）²-（x的二次方+x）-2=（x的二次方+x-2）（x的二次方+x+1）=（x-1）（x+2）（x的二次方+x+1）(x^2-5x+4)^2+2(x^2-5x+4)-24 =[(x^2-5x+4)-4][(x^2-5x+4)+6]=(x^2-5x)(x^2-5x+10)=x(x-5)(x^2-5x+10)

十字相乘法虽然比较难学,但是一旦学会了它,用它来解题,会给我们带来很多方便,以下是我对十字相乘法提出的一些个人见解。 1、十字相乘法的方法：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。 2、十字相乘法的用处：（1）用十字相乘法来分解因式。（2）用十字相乘法来解一元二次方程。 3、十字相乘法的优点：用十字相乘法来解题的速度比较快，能够节约时间，而且运用算量不大，不容易出错。 4、十字相乘法的缺陷：1、有些题目用十字相乘法来解比较简单，但并不是每一道题用十字相乘法来解都简单。2、十字相乘法只适用于二次三项式类型的题目。3、十字相乘法比较难学。 5、十字相乘法解题实例： 1)、 用十字相乘法解一些简单常见的题目 例1把m2+4m-12分解因式 分析：本题中常数项-12可以分为-1×12，-2×6，-3×4，-4×3，-6×2，-12×1当-12分成-2×6时，才符合本题 解：因为 1 -2 1 ╳ 6 所以m2+4m-12=（m-2）（m+6） 例2把5x2+6x-8分解因式 分析：本题中的5可分为1×5,-8可分为-1×8，-2×4，-4×2，-8×1。当二次项系数分为1×5，常数项分为-4×2时，才符合本题 解： 因为 1 2 5 ╳ -4 所以5x2+6x-8=（x+2）（5x-4） 例3解方程x2-8x+15=0 分析：把x2-8x+15看成关于x的一个二次三项式，则15可分成1×15，3×5。 解： 因为 1 -3 1 ╳ -5 所以原方程可变形（x-3）（x-5）=0 所以x1=3 x2=5 例4、解方程 6x2-5x-25=0 分析：把6x2-5x-25看成一个关于x的二次三项式，则6可以分为1×6，2×3，-25可以分成-1×25，-5×5，-25×1。 解： 因为 2 -5 3 ╳ 5 所以 原方程可变形成（2x-5）（3x+5）=0 所以 x1=5/2 x2=-5/3 2)、用十字相乘法解一些比较难的题目 例5把14x2-67xy+18y2分解因式 分析：把14x2-67xy+18y2看成是一个关于x的二次三项式,则14可分为1×14,2×7, 18y2可分为y.18y , 2y.9y , 3y.6y 解: 因为 2 -9y 7 ╳ -2y 所以 14x2-67xy+18y2= (2x-9y)(7x-2y) 例6 把10x2-27xy-28y2-x+25y-3分解因式 分析：在本题中，要把这个多项式整理成二次三项式的形式 解法一、10x2-27xy-28y2-x+25y-3 =10x2-（27y+1）x -（28y2-25y+3） 4y -3 7y ╳ -1 =10x2-（27y+1）x -（4y-3）（7y -1） =[2x -（7y -1）][5x +（4y -3）] 2 -（7y – 1） 5 ╳ 4y - 3 =（2x -7y +1）（5x +4y -3） 说明：在本题中先把28y2-25y+3用十字相乘法分解为（4y-3）（7y -1），再用十字相乘法把10x2-（27y+1）x -（4y-3）（7y -1）分解为[2x -（7y -1）][5x +（4y -3）] 解法二、10x2-27xy-28y2-x+25y-3 =（2x -7y）（5x +4y）-（x -25y）- 3 2 -7y =[（2x -7y）+1] [（5x -4y）-3] 5 ╳ 4y =（2x -7y+1）（5x -4y -3） 2 x -7y 1 5 x - 4y ╳ -3 说明:在本题中先把10x2-27xy-28y2用十字相乘法分解为（2x -7y）（5x +4y）,再把（2x -7y）（5x +4y）-（x -25y）- 3用十字相乘法分解为[（2x -7y）+1] [（5x -4y）-3]. 例7：解关于x方程：x2- 3ax + 2a2–ab -b2=0 分析：2a2–ab-b2可以用十字相乘法进行因式分解 解：x2- 3ax + 2a2–ab -b2=0 x2- 3ax +（2a2–ab - b2）=0 x2- 3ax +（2a+b）（a-b）=0 1 -b 2 ╳ +b [x-（2a+b）][ x-（a-b）]=0 1 -（2a+b） 1 ╳ -（a-b） 所以 x1=2a+b x2=a-b 5-7(a+1)-6(a+1)^2 =-[6(a+1)^2+7(a+1)-5] =-[2(a+1)-1][3(a+1)+5] =-(2a+1)(3a+8); -4x^3 +6x^2 -2x =-2x(2x^2-3x+1) =-2x(x-1)(2x-1); 6(y-z)^2 +13(z-y)+6 =6(z-y)^2+13(z-y)+6 =[2(z-y)+3][3(z-y)+2] =(2z-2y+3)(3z-3y+2). 比如...x^2+6x-7这个式子 由于一次幂x前系数为6 所以，我们可以想到，7-1=6 那正好这个式子的常数项为-7 因此我们想到将-7看成7*（-1） 于是我们作十字相成 x +7 x -1 的到（x+7）·（x-1） 成功分解了因式 3ab^2-9a^2b^2+6a^3b^2 =3ab^2(1-3a+2a^2) =3ab^2(2a^2-3a+1) =3ab^2(2a-1)(a-1) 5-7(a+1)-6(a+1)^2 =-[6(a+1)^2+7(a+1)-5] =-[2(a+1)-1][3(a+1)+5] =-(2a+1)(3a+8); -4x^3 +6x^2 -2x =-2x(2x^2-3x+1) =-2x(x-1)(2x-1); 6(y-z)^2 +13(z-y)+6 =6(z-y)^2+13(z-y)+6 =[2(z-y)+3][3(z-y)+2] =(2z-2y+3)(3z-3y+2). 比如...x^2+6x-7这个式子 由于一次幂x前系数为6 所以，我们可以想到，7-1=6 那正好这个式子的常数项为-7 因此我们想到将-7看成7*（-1） 于是我们作十字相成 x +7 x -1 的到（x+7）·（x-1） 成功分解了因式 3ab^2-9a^2b^2+6a^3b^2 =3ab^2(1-3a+2a^2) =3ab^2(2a^2-3a+1) =3ab^2(2a-1)(a-1) x^2+3x-40 =x^2+3x+2.25-42.25 =(x+1.5)^2-(6.5)^2 =(x+8)(x-5)． ⑹十字相乘法 这种方法有两种情况。 ①x^2+(p+q)x+pq型的式子的因式分解 这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和。因此，可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：x^2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) ． ②kx^2+mx+n型的式子的因式分解 如果如果有k=ac，n=bd，且有ad+bc=m时，那么kx^2+mx+n=(ax+b)(cx+d)． 图示如下： a b × c d 例如：因为 1 -3 × 7 2 -3×7=-21，1×2=2，且2-21=-19， 所以7x^2-19x-6=(7x+2)(x-3)． 十字相乘法口诀：首尾分解，交叉相乘，求和凑中 ⑶分组分解法 分组分解是解方程的一种简洁的方法，我们来学习这个知识。 能分组分解的方程有四项或大于四项，一般的分组分解有两种形式：二二分法，三一分法。 比如： ax+ay+bx+by =a(x+y)+b(x+y) =(a+b)(x+y) 我们把ax和ay分一组，bx和by分一组，利用乘法分配律，两两相配，立即解除了困难。 同样，这道题也可以这样做。 ax+ay+bx+by =x(a+b)+y(a+b) =(a+b)(x+y) 几道例题： 1. 5ax+5bx+3ay+3by 解法：=5x(a+b)+3y(a+b) =(5x+3y)(a+b) 说明：系数不一样一样可以做分组分解，和上面一样，把5ax和5bx看成整体，把3ay和3by看成一个整体，利用乘法分配律轻松解出。 2. x3-x2+x-1 解法：=(x3-x2)+(x-1) =x2(x-1)+(x-1) =(x-1)(x2+1) 利用二二分法，提公因式法提出x2，然后相合轻松解决。 3. x2-x-y2-y 解法：=(x2-y2)-(x+y) =(x+y)(x-y)-(x+y) =(x+y)(x-y+1) 利用二二分法，再利用公式法a2-b2=(a+b)(a-b)，然后相合解决。 7582—2582 =(758+258)(758-258)=1016*500=508000

质子数=电子数=核电荷数=原子序数一般做题用 原子是由居于原子中心的带正电的原子核和核外带负电的电子构成的。原子核由质子、电子构成质子带一单位正电，中子不带电 电子带以单位负电。质子数=核外电子数因此可以说原子整体不显典型，即电中性

以联想G40-70，Win10系统为例，键盘上打出小于等于号的方法如下：1、首先打开电脑，开启需要输入小于等于号的文本界面，调出系统自带的输入法，切换到中文输入法。2、在键盘上打出“小于等于”的字样，并从输入框出现的文字中，找到“小于等于”的符号，鼠标光标移动点击，即可显示“小于等于”的符号。如果想要输入“大于”、“小于”、“等于”的符号，也可以使用以上的方法，输入拼音查找即可。除此之外，也可以使用键盘的快捷键输入，具体步骤如下：首先，点击“shift”键，把系统输入法调到英文输入法状态。接着，“小于”符号，点击“shift”加“<”键。然后，“大于”符号，点击“shift”加“>”键。最后，“等于”符号，直接点击“=”即可。该答案适用于联想品牌大部分型号的电脑。

当然直接可以约分分式的基本性质，其中就有一条：分式的分子分母同乘或除以一个不为零的数或式子，分式值不变分就相当于分子分母，同时除以一个式子

质量数就是相对质量、即质子数加中子数；电子数，就是核外电子数，不一定等于质子数；中子数就是核内中子数；质子数是核内质子数、等于原子序数和核电荷数；核电荷数等于质子数（因为一个质子带一个单位正电荷）

分式的基本性质可以乘小数吗?这个是可以的。

质子数=核电荷数=核外电子数=核质量数-中子数

小于等于15的写法≤15。小于等于用来表示不等式左侧的值小于等于不等式右侧的值，符号为“≤”。例如3≤5。在各种数学，或编程中会出现。命题中，小于等于是小于或者等于，只要满足一个条件即可成立。小于等于又称为不大于。历史英国人哈里奥特于1631年开始采用现今通用之“大于”号“>”及“小于”号“<”，但并未为当时数学界所接受。直至百多年后才渐成标准之应用符号。据哥德巴赫于1734 年1月写给欧拉的一封信所述，现今通用之“≧”和“≦”符号为一法国人P⋅布盖（1698-1758） 所首先采用，然后逐渐流行。

首先，原子质量数=质子数（原子序数）+中子数，你说的原子数应该是原子序数，原子序数=质子数。这是对的一种原子的质量数等于原子序数的是氢，也是唯一的一个。这也是对的原子质量数=质子数（原子序数）+中子数，所以原子质量数是不会比原子序数小的。这是错的在0价原子中，质子数=核外电子数，原子的电子是可以失去也可以得到的（化学价发生变化）。所这个也是错误的对是什么元素起决定作用的是原子序数=质子数，所以质子数发生变化后，将变成另一种元素。这是对的

如果用二次函数去拟合：y=ax^2+bx+c，不需要直线化 直接套用二次拟合公式（高级计算器和书上有）计算a，b，c系数 同样，用x的m次多项式去拟合y：y=sum(k=0~m){a_k*x^k}，理论上不需要直线化直接用观测值(x_i,y_i)（i=1~n，其中n>=m+1）去计算： x的1~m阶矩（x^m的平均值）以及y的1阶和2阶矩（平均值和方差） 就可以计算(n+1)个系数a_k以及相关系数 特别地，如果是以下的拟合形式，才需要直线化： 指数函数形式：y=a*b^x ==> lny=lna+xlnb，变成lny～x的线性关系； 幂函数形式：y=a*x^b ==> lny = lna + blnx，变成lny～lnx的线性关系 //其中幂函数的形式类似于b次多项式的最高次项，但是思路不相同 多项式拟合，是将y用幂函数a*x^b项拟合后的残差，继续用(b-1)次项拟合……

什么是利润率剩余价值与全部预付资本的比率利润率是剩余价值与全部预付资本的比率，利润率是剩余价值率的转化形式，是同一剩余价值量不同的方法计算出来的另一种比率。如以p`代表利润率，C代表全部预付资本（c+v），那么利润率p`=m/C=m/（c+v）。利润率反映企业一定时期利润水平的相对指标。利润率指标既可考核企业利润计划的完成情况，又可比较各企业之间和不同时期的经营管理水平，提高经济效益。成本利润率=利润÷成本×100%，销售利润率=利润÷销售×100%。

嘻嘻婆婆于是我朋友。

把电脑自带的计算器打开，在“查看”菜单里面选择科学型输入0.512左上角点中“INV”点“x^y”点键盘的“5”

　营业利润率=营业利润/营业收入(商品销售额)×100% 　营业利润率是指企业的营业利润与营业收入的比率。它是衡量企业经营效率的指标，反映了在不考虑非营业成本的情况下，企业管理者通过经营获取利润的能力。　　营业利润率越高，说明企业百元商品销售额提供的营业利润越多，企业的盈利能力越强；反之，此比率越低，说明企业盈利能力越弱。 影响营业利润率因素 　　1.销售数量； 　　2.单位产品平均售价； 　　3.单位产品制造成本； 　　4.控制管理费用的能力； 　　5.控制营销费用的能力。 营业利润营业利润=营业收入(主营业务收入+其他业务收入)－营业成本(主营业务成本+其他业务成本)－营业税金及附加－管理费用－销售费用－财务费用－资产减值损失+公允价值变动收益(损失为负)+投资收益(损失为负)

1,分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘以或除以一个不为0的数，分数的值不变。用字母表示就是：a/b=ac/bc.2,通分：把几个异分母分数分别化为与原分数值相等的同分母分分数,叫做分数的通分.通分的步骤：先求出所有分数分母的最简公分母,再将所有分数的分母变为最简公分母.同时把各分数按照分母所扩大的倍数,相应扩大各自的分子.3,约分：把一个分数的分子和分母中的公因数约去,这种变形称为分数的约分．约分的步骤：将分数的分子和分母中的公因数约去.使之成为最简分数.

这位家长你好：你孩子数学很弱，你因该多让他看看试题是怎么做的1. 因式分解：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解；注意：因式分解与乘法是相反的两个转化.2．因式分解的方法：常用“提取公因式法”、“公式法”、“分组分解法”、“十字相乘法”.3．公因式的确定：系数的最大公约数•相同因式的最低次幂.注意公式：a+b=b+a； a-b=-(b-a)； (a-b)2=(b-a)2； (a-b)3=-(b-a)3.4．因式分解的公式：(1)平方差公式： a2-b2=（a+ b）（a- b）；(2)完全平方公式： a2+2ab+b2=(a+b)2, a2-2ab+b2=(a-b)2.5．因式分解的注意事项：（1）选择因式分解方法的一般次序是：一 提取、二 公式、三 分组、四 十字；（2）使用因式分解公式时要特别注意公式中的字母都具有整体性；（3）因式分解的最后结果要求分解到每一个因式都不能分解为止；（4）因式分解的最后结果要求每一个因式的首项符号为正；（5）因式分解的最后结果要求加以整理；（6）因式分解的最后结果要求相同因式写成乘方的形式.6．因式分解的解题技巧：（1）换位整理，加括号或去括号整理；（2）提负号；（3）全变号；（4）换元；（5）配方；（6）把相同的式子看作整体；（7）灵活分组；（8）提取分数系数；（9）展开部分括号或全部括号；（10）拆项或补项.7．完全平方式：能化为（m+n）2的多项式叫完全平方式；对于二次三项式x2+px+q， 有“ x2+px+q是完全平方式  ”.分式1．分式：一般地，用A、B表示两个整式，A÷B就可以表示为 的形式，如果B中含有字母，式子 叫做分式.2．有理式：整式与分式统称有理式；即 .3．对于分式的两个重要判断：（1）若分式的分母为零，则分式无意义，反之有意义；（2）若分式的分子为零，而分母不为零，则分式的值为零；注意：若分式的分子为零，而分母也为零，则分式无意义.4．分式的基本性质与应用：（1）若分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变；（2）注意：在分式中，分子、分母、分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变；即 （3）繁分式化简时，采用分子分母同乘小分母的最小公倍数的方法，比较简单.5．分式的约分：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分；注意：分式约分前经常需要先因式分解.6．最简分式：一个分式的分子与分母没有公因式，这个分式叫做最简分式；注意：分式计算的最后结果要求化为最简分式.7．分式的乘除法法则： .8．分式的乘方： .9．负整指数计算法则：（1）公式： a0=1(a≠0), a-n= (a≠0)；（2）正整指数的运算法则都可用于负整指数计算；（3）公式： ， ；（4）公式： （-1）-2=1， （-1）-3=-1.10．分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分；注意：分式的通分前要先确定最简公分母.11．最简公分母的确定：系数的最小公倍数•相同因式的最高次幂.12．同分母与异分母的分式加减法法则： .13．含有字母系数的一元一次方程：在方程ax+b=0(a≠0)中,x是未知数,a和b是用字母表示的已知数，对x来说，字母a是x的系数，叫做字母系数，字母b是常数项，我们称它为含有字母系数的一元一次方程.注意：在字母方程中,一般用a、b、c等表示已知数，用x、y、z等表示未知数.14．公式变形：把一个公式从一种形式变换成另一种形式，叫做公式变形；注意：公式变形的本质就是解含有字母系数的方程.特别要注意：字母方程两边同时乘以含字母的代数式时，一般需要先确认这个代数式的值不为0.15．分式方程：分母里含有未知数的方程叫做分式方程；注意：以前学过的，分母里不含未知数的方程是整式方程.16．分式方程的增根：在解分式方程时，为了去分母，方程的两边同乘以了含有未知数的代数式，所以可能产生增根，故分式方程必须验增根；注意：在解方程时，方程的两边一般不要同时除以含未知数的代数式，因为可能丢根.17．分式方程验增根的方法：把分式方程求出的根代入最简公分母（或分式方程的每个分母），若值为零，求出的根是增根，这时原方程无解；若值不为零，求出的根是原方程的解；注意：由此可判断，使分母的值为零的未知数的值可能是原方程的增根.18．分式方程的应用：列分式方程解应用题与列整式方程解应用题的方法一样，但需要增加“验增根”的程序.数的开方1．平方根的定义：若x2=a,那么x叫a的平方根，（即a的平方根是x）；注意：（1）a叫x的平方数，（2）已知x求a叫乘方，已知a求x叫开方，乘方与开方互为逆运算.2．平方根的性质：（1）正数的平方根是一对相反数；（2）0的平方根还是0；（3）负数没有平方根.3．平方根的表示方法：a的平方根表示为 和 .注意： 可以看作是一个数，也可以认为是一个数开二次方的运算.4．算术平方根：正数a的正的平方根叫a的算术平方根，表示为 .注意：0的算术平方根还是0.5．三个重要非负数： a2≥0 ,|a|≥0 ， ≥0 .注意：非负数之和为0，说明它们都是0.6．两个重要公式： （1） ; (a≥0)（2） .7．立方根的定义：若x3=a,那么x叫a的立方根，（即a的立方根是x）.注意：（1）a叫x的立方数；（2）a的立方根表示为 ；即把a开三次方.8．立方根的性质：（1）正数的立方根是一个正数；（2）0的立方根还是0；（3）负数的立方根是一个负数.9．立方根的特性： .10．无理数：无限不循环小数叫做无理数.注意：和开方开不尽的数是无理数.11．实数：有理数和无理数统称实数.12．实数的分类：（1） （2） .13．数轴的性质：数轴上的点与实数一一对应.14．无理数的近似值：实数计算的结果中若含有无理数且题目无近似要求，则结果应该用无理数表示；如果题目有近似要求，则结果应该用无理数的近似值表示.注意：（1）近似计算时，中间过程要多保留一位；（2）要求记忆：

1、质子数=核电荷数=核外电子数=原子序数；质子数+中子数≈相对原子质量。 2、质子数决定原子核所带的电荷数(核电荷数)，因为原子中 质子数=核电荷数 。 3、质子数决定元素的种类。 4、质子数、中子数决定原子的相对原子质量；因为原子中 质子数+中子数=原子的相对原子质量 。

三阶魔方公式图解 三阶魔方公式图解，魔方在我们的生活中是很常见的，有很多人对魔方是特别喜欢的，很多人对于魔方不知道该怎么玩，其实玩魔方也是有技巧的，学会这些技巧，就是魔方大神了，下面就一起来看看三阶魔方公式图解吧。 三阶魔方公式图解1 三阶魔方还原公式 1. 第二层棱块归位： 2. 顶层十字 3. 顶层棱中间块归位 这一步的目的是使顶层的4个棱中间块全部归位。 转动顶层(U)，若可以使一个棱中间块归位(如下图左，这里以[红-黄]块为例)，而其他3个都不能归位，则将[红-黄]所在这一面(红面)定为正前面(F)。按照图示步骤转动，可使4块棱中间块全部归位，或出现下一种情况。 三阶魔方公式图解2 学习魔方首先就要搞清它的以上结构，知道角块只能和角块换位，棱块只能和棱块换位，中心块不能移动。 国际魔方标准色为：上黄－下白，前蓝－后绿，左橙－右红。 公式字目代表的含义，第二张图，一般初学者不需要记忆 完成一层 （一）完成第一层十字 第一种情况如图所示：公式为R2 第二种情况如图所示： 白色下面颜色为橙色，为方便观察，特意翻出颜色 公式为D" F" R F （具体转法参见步骤3） 其它的一些情况 橙白块的位置己对好，但颜色反了，我就先做R2化成第二种情况，然后用还原第二种情况的公式即可！ 其它的一些情况 上面两种情况都为前右的块要移到上后的位置。我们先做R" D" 移到前下的位置，再做R “把橙白还原上去”，接着做D2 移到后下的位置。上面两种情况分别化为上面第一种和第二种情况。其对称情况亦是按类似上面的思想来还原！如果刚开始时橙白块也还没对好，直接做R" D移到后下位置即可！ 三阶魔方公式图解3 关于三阶魔方，你需要知道： 无论怎么转，每一个面的最中间的块是固定不动的。所以每一面的中心块颜色决定了该面的颜色。 无论怎么转，位于顶角的有三种颜色的块永远会在某一个顶角；位于棱中间的有两种颜色的块 [图：2- 棱中间块] 永远会在某一个棱的中间。 所谓的公式，就是用一定的套路告诉你每个面该怎么转。所用到的字母 U D L R F B 分别代表魔方的 上 下 左 右 前 后 6 个面。如上图（后方那面 (B) 一般不用，所以没有展示）。在字母后加一个撇 ()，表示把该面逆时针旋转，不加撇的就是顺时针转。如 R"表示右侧面逆时针转。 第一步 首面十字（第一步很重要！！！！） 这里以白色面为例。想要转出一个面，最先要转出一个十字形。但是十字也不是随意哪个白色块都可以的。在转出十字的同时，必须保证上层的棱中间块的颜色与该面相同。这个步骤需要自己稍微摸索。如下图： 第二步 首面顶角归位 & 完成第一层 这一步会让零散的白色顶角块归位。 首先要确认颜色与相邻三边都相同的白色顶角块的位置。如下图，最靠近你的那个顶角块颜色理应为 [白 - 蓝 - 红]，所以要找到 [白 - 蓝 - 红] 的实际位置，并将它移动到顶层顶角。 当 [白 - 蓝 - 红] 的白色区的实际位置位于底层那一圈（非底面）的时候，先水平旋转底层，使 [白 - 蓝 - 红] 顶角块的白色部分位于它的目的位置的下层顶角（如图所示），然后按照图示旋转即可使底面顶角块与同一列的上层顶角块互换，从而完成一个顶面顶角。 若 [白 - 蓝 - 红] 的白色区位于顶层那一圈：用下图中任意一种方式，把底层任意一个顶角块与该顶角块互换，即可得到下图的两种情况。 若 [白 - 蓝 - 红] 的白色区位于底面：用下图中任意一种方式，把该块与一个颜色不搭配的顶面顶角 ( 非 [白 - 蓝 - 红]) 互换，即可得到下图的两种情况。 致新人：建议一开始先多多练习转出一个面，先不管上两层颜色是否对齐。既培养手感又培养观察魔方的眼力。 第三步 完成第二层 完成第二步后，魔方的顶层白色、上层一圈应该全部归位了。将魔方翻转过来，使白色面朝下。此时白色 的对面 (应为黄色) 为上层。接下来的公式、转动都将以黄为上 (U)，白为底 (D)。（如下图） 这一步将还原第二层（第二层其实也只差棱中间块了）。首先还是要确认颜色与相邻两边都相同的棱中间块的位置。如下图，最靠近你的棱中间块理应当为 [红 - 蓝] 块。 当 [红 - 蓝] 的红色区位于顶层那一圈时，水平转动顶层，就会出现如下两种情况。第一种情况为 [红 - 蓝] 的红色区可以与正前面 (F) 的红色面中心块相邻，而 [红 - 蓝] 的蓝色区理应归属于右侧面 (R)。第二种情况为 [红 - 蓝] 的蓝色区可以与右侧面 (R) 的蓝色面中心块相邻，而 [红 - 蓝] 的红色区理应归属于正前面 (F)。按照图示旋转即可使该棱中间块归位。 当 [红 - 蓝] 恰好位于其正确位置，但颜色颠倒时，使用下图任意一种方法把该 [红 - 蓝] 块移出去。把它移到上层那一圈后，再遵从下图方法即可。 使用该方法可以使所有第二层的棱中间块全部归位，第三步就完成了。 第四步 顶面十字 完成第三步后，你的魔方应该出现下图中三种情况之一。（注意：顶层 (U) 除了图中标明的黄色块之外，可能还有其他的黄色块，不管它们。只要图中标明的黄色区域是黄色块就可以了。下两层的颜色是什么无所谓，图中以红蓝为例）。转动顶层 (U)，使顶层与下图三种情况之一相同，然后按照图示步骤旋转。若进行一次该步骤后没有出现十字，就重复该步骤 (即转动顶层使其变成如下三种之一，再按图示步骤旋转) 一或两次，即可得到顶层十字。 第五步 顶层棱中间块归位 这一步的目的`是使顶层的 4 个棱中间块全部归位。 转动顶层 (U)，若可以使一个棱中间块归位 ( 如下图左，这里以 [红 - 黄] 块为例 )，而其他 3 个都不能归位，则将 [红 - 黄] 所在这一面 (红面) 定为正前面 (F)。按照图示步骤转动，可使 4 块棱中间块全部归位，或出现下一种情况。 转动顶层 (U)，若只有 2 个相邻面的棱中间块可以归位，则将这两块棱中间块所在的两面定为右面 (R) 和后面 (B)。按照同样的步骤转动，可使棱中间块全部归位。 转动顶层 (U)，若只有 2 个相对面的棱中间块可以归位，则任选一个方向按下图转动，即会出现上面两种情况。 Note: 当按照上述两种情况操作却仍不能不能全部归位时，则再重复 1~2 次该步骤，即可 4 个棱中间块全部归位。 第六步 顶层顶角半归位 为什么叫半归位呢？因为这一步只能使顶角块移动到它的的正确位置，但不能保证该顶角块的三色与面的颜色衔接准确。 举例来讲，红面 - 黄面 - 蓝面 三个面相交的正确顶角块一定是 [红 - 黄 - 蓝] 块。如果该顶角位置并非[红 - 黄 - 蓝] 时，用这一步的步骤可以使 [ 红 - 黄 - 蓝 ] 块移动到正确位置，但是移动到正确位置后可能会出现下图这种情况，即颜色刚好错开。我们会在第七步让错位的颜色完全归位。 当一个或多个顶角块位于正确位置，但颜色不一定正确衔接的时候：使任意一个位于正确位置的顶角块朝向你 (与下图相同方向)，按照图示步骤旋转魔方，即可使全部顶层顶角块半归位。若仍未归位，重复该步骤（使任意一个位于正确位置的顶角块朝向你，按图示转动....）。 若每一个顶层顶角块都不在正确位置：随意选一个方向，按照图示步骤旋转，即可变成第一种情况或者完全归位。 第七步 顶层顶角归位 & 魔方完成 这一步不太懂的请拉到最后看视频实例哟~ 完成第六步后，顶层的四个顶角块应该都位于正确位置了，但是颜色却是不匹配的。这一步会让颜色错开的顶角块完全归位。（字虽然很多，但这是最简单的一步！大功即将告成！先把下面的字全部看完再试哦） 无论此时有几个顶角块仍是半归位，任选一个半归位的顶角块，使该顶角块以下图左边图示的方向朝向你。不停地重复图示步骤（即做一个四步循环）。 这里有一点非常重要！先看一下下面的图，要循环的就是这四步：R-D-R-D。假如，你在不停循环这四步的时候，第三步 R 转完之后该顶角块就归位了，此时一定不能停，一定要再继续第四步 D，使这 4 步变得完整！

当然不一样啊，一个是小于等于，一个是大于。前者就存在着还可能小于这个情况，只要满足条件就可以，后者的条件就苛刻一点，必须是等于。小于都不可以。

视频教学：练习：1．某工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不得超过0.1%，而这种溶液最初的杂质含量为2%，现进行过滤，已知每过滤一次杂质含量减少13，则使产品达到市场要求的最少过滤次数为(参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477)()A．10 B．9C．8 D．72．据报道，全球变暖使北冰洋冬季冰雪覆盖面积在最近50年内减少了5%.如果按此速度，设2010年的冬季冰雪覆盖面积为m，从2010年起，经过x年后，北冰洋冬季冰雪覆盖面积y与x的函数关系式是()3．某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入．若该公司2016年全年投入研发奖金130万元．在此基础上，每年投入的研发奖金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发奖金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)()A．2018年 B．2019年C．2020年 D．2021年4．某个病毒经30分钟繁殖为原来的2倍，且知病毒的繁殖规律为y＝ekt(其中k为常数，t表示时间，单位：小时，y表示病毒个数)，则k＝________，经过5小时，1个病毒能繁殖为________个．5．物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是T，经过一定时间t后的温度是T，则T－Ta＝(T－Ta)·，其中Ta表示环境温度，h称为半衰期．现有一杯用88 ℃热水冲的速溶咖啡，放在24 ℃的房间中，如果咖啡降温到40 ℃需要20 min，那么降温到35 ℃时，需要多少时间？知识点二对数型函数模型6．据统计，每年到鄱阳湖国家湿地公园越冬的白鹤数量y(只)与时间x(年)近似满足关系y＝alog3(x＋2)，观测发现2014年冬(作为第1年)有越冬白鹤3000只，估计到2020年冬有越冬白鹤()A．4000只 B．5000只C．6000只 D．7000只7．我们处在一个有声世界里，不同场合，人们对声音的音量会有不同要求．音量大小的单位是分贝(dB)，对于一个强度为I的声波，其音量的大小η可由如下公式计算：η＝10lg II0(其中I是人耳能听到的声音的最低声波强度)．设η1＝70 dB的声音强度为I1，η2＝60 dB的声音强度为I2，则I1是I2的()A.76倍 B．10倍C．1076倍 D．ln 76倍8．已知地震的震级R与震源释放的能量E的关系式为R＝23(lg E－C)(C为常数)，则9.0级地震释放的能量约是7.1级地震释放的能量的________倍．(参考数据：102.85≈708)9．载人飞船是通过火箭发射的．已知某型号火箭的起飞重量M t是箭体(包括搭载的飞行器)的重量m t和燃料重量x t之和．在不考虑空气阻力的条件下，假设火箭的最大速度y km/s关于x的函数关系为y＝k[ln (m＋x)－ln (2m)]＋4 ln 2(其中k≠0)．当燃料重量为(e－1)m t时，该火箭的最大速度为4 km/s.(1)求此型号火箭的最大速度y km/s与燃料重量x t之间的函数关系式；(2)若此型号火箭的起飞重量是479.8 t，则应装载多少吨燃料(精确到0.1 t，取e≈2.718)才能使火箭的最大飞行速度达到8 km/s顺利地把飞船发送到预定的椭圆轨道？课件：教案：学习目标了解方程的根与函数零点的关系;理解函数零点的性质,掌握二分法,会用二分法求方程的近似解;了解直线上升、指数爆炸、对数增长,会进行指数函数、对数函数、幂函数增长速度的比较;[来源:学科网ZXXK]能熟练应用数学建模解决有关函数的实际应用问题.合作学习[来源:学科网ZXXK]一、知识回顾(一)全章知识点1.函数的零点,方程的根与函数的零点,零点的性质.2.二分法,用二分法求函数零点的步骤.3.几类不同增长的函数模型(直线上升、指数爆炸、对数增长),指数函数、对数函数、幂函数增长速度的比较.4.应用函数模型解决实际问题的基本过程.(二)方法总结1.函数y=f(x)的就是方程f(x)=的根,因此,求函数的零点问题通常可转化为求相应的方程的根的问题.2.一元二次方程根的讨论在高中数学中应用广泛,求解此类问题常有三种途径:(1)利用求根公式;(2)利用二次函数的图象;(3)利用根与系数的关系.无论利用哪种方法,根的判别式都不容忽视,只是由于二次函数图象的不间断性,有些问题中的判别式已隐含在问题的处理之中.3.用二分法求函数零点的一般步骤:已知函数y=f(x)定义在区间D上,求它在D上的一个变号零点x的近似值x,使它与零点的误差不超过正数ε,即使得|x-x|≤ε.(1)在D内取一个闭区间[a,b]⊆D,使.令a=a,b=b.(2)取区间[a,b]的中点,则此中点对应的横坐标为x=a+(b-a)=(a+b).计算f(x)和f(a).判断:如果f(x)=,;如果f(a)·f(x)0,则零点位于区间内,令a1=a,b1=x;如果f(a)·f(x)>,则零点位于区间内,令a1=x,b1=b.(3)取区间[a1,b1]的中点,则此中点对应的横坐标为x1=a1+(b1-a1)=(a1+b1).计算f(x1)和f(a1).判断:如果f(x1)=,则x1就是f(x)的零点,计算终止;如果f(a1)·f(x1)0,则零点位于区间[a1,x1]上,令a2=a1,b2=x1;如果f(a1)·f(x1)>,则零点位于区间[x1,b1]上,令a2=x1,b2=b1.…实施上述步骤,函数的零点总位于区间[an,bn]上,就是函数y=f(x)的近似零点,计算终止.这时函数y=f(x)的近似零点与真正零点的误差不超过ε.4.对于直线y=kx+b(k≥),指数函数y=m·ax(m>,a>1),对数函数y=logbx(b>1),(1)通过实例结合图象初步发现:当自变量变得很大时,指数函数比一次函数增长得快,一次函数比对数函数增长得快;(2)通过计算器或计算机得出多组数据,结合函数图象(图象可借助于现代信息技术手段画出)进一步体会:直线上升,其增长量固定不变;指数增长,其增长量成倍增加,增长速度是直线上升所无法企及的.随着自变量的不断增大,直线上升与指数增长的差距越来越大,当自变量很大时,这种差距大得惊人,所以“指数增长”可以用“指数爆炸”来形容;对数增长,其增长速度平缓,当自变量不断增大时,其增长速度小于直线上升.5.在区间(,+∞)上,尽管函数y=ax(a>1),y=logax(a>1),y=xn(n>)都是增函数,但是它们的增长速度不同,而且不在同一个“档次”上,随着x的增大,y=ax(a>1)的增长速度越来越快,会远远超过y=xn(n>)的增长速度,而y=logax(a>1)的增长速度则会越来越慢.因此,总会存在一个x,当x>x时,.6.实际问题的建模方法.(1)认真审题,准确理解题意;(2)从问题出发,抓准数量关系,恰当引入变量或建立直角坐标系.运用已有的数学知识和方法,将数量关系用数学符号表示出来,建立函数关系式;(3)研究函数关系式的定义域,并结合问题的实际意义作出解答.必须说明的是:(1)通过建立函数模型解决实际问题,目的是通过例题培养学生应用数学的意识和分析问题的能力;(2)把实际问题用数学语言抽象概括,从数学角度来反映或近似地反映实际问题所得出的关于实际问题的数学描述,即为数学模型.7.建立函数模型,解决实际问题的基本过程:二、例题讲解【例1】作出函数y=x3与y=3x-1的图象,并写出方程x3=3x-1的近似解.(精确到.1)【例2】分别就a=2,a=和a=画出函数y=ax,y=logax的图象,并求方程ax=logax的解的个数.【例3】根据上海市人大十一届三次会议上的政府工作报告,2013年上海完成GDP(国内生产总值)4035亿元,2014年上海市GDP预期增长9%,市委、市政府提出将本市常住人口每年的自然增长率控制在.08%,若GDP与人口均按这样的速度增长,则要使本市人均GDP达到或超过2013年的2倍,至少需年.(按:2013年本市常住人口总数约为1300万)【例4】某地西红柿从2月1日起开始上市.通过市场调查,得到西红柿种植成本Q(单位:元/102kg)与上市时间t(单位:天)的数据如下表:(1)根据上表数据,从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系.Q=at+b,Q=at2+bt+c,Q=a·bt,Q=a·logbt.(2)利用你选取的函数,求西红柿种植成本最低时的上市天数及最低种植成本.三、课堂练习课本P112复习参考题A组第1,2,3,4,5题.四、课堂小结1.函数与方程的紧密联系,体现在函数y=f(x)的零点与相应方程f(x)=的实数根的联系上;2.二分法是求方程近似解的常用方法,应掌握用二分法求方程近似解的一般步骤;3.不同函数模型能够刻画现实世界不同的变化规律.指数函数、对数函数以及幂函数就是常用的现实世界中不同增长规律的函数模型;4.函数模型的应用,一方面是利用已知函数模型解决问题;另一方面是建立恰当的函数模型,并利用所得函数模型解释有关现象,对某些发展趋势进行预测;5.在函数应用的学习中要注意充分发挥信息技术的作用.五、作业布置课本P112复习参考题A组第7,8,9题;B组第1,2题.参考答案二、例题讲解【例1】解:函数y=x3与y=3x-1的图象如图所示.在两个函数图象的交点处,函数值相等.因此,这三个交点的横坐标就是方程x3=3x-1的解.由图象可以知道,方程x3=3x-1的解分别在区间(-2,-1),(,1)和(1,2)内,那么,对于区间(-2,-1),(,1)和(1,2)分别利用二分法可以求得它精确到.1的近似解为x1≈-1.8,x2≈.4,x3≈1.5.【例2】解:利用Excel、图形计算器或其他画图软件,可以画出函数的图象,如下图所示.根据图象,我们可以知道,当a=2,a=和a=时,方程ax=logax解的个数分别为,2,1.【例3】解:设需n年,由题意得,[来源:Z&xx&k.Com]化简得≥2,解得n>8.答:至少需9年.【例4】解:由提供的数据知道,描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数不可能是常数函数,从而用函数 Q=at+b,Q=a·bt,Q=a·logbt中的任意一个进行描述时都应有a≠,而此时上述三个函数均为单调函数,这与表格所提供的数据不吻合.所以,选取二次函数Q=at2+bt+c进行描述.以表格所提供的三组数据分别代入Q=at2+bt+c,得到解得所以描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数为Q=t2-t+.(2)当t=-=150天时,西红柿种植成本最低,三、课堂练习1.C2.C[来源:学*科*网]3.设列车从A地到B地运行时间为T,经过时间t后列车离C地的距离为y,则y=函数图象为4.(1)圆柱形;(2)上底小、下底大的圆台形;(3)上底大、下底小的圆台形;(4)呈下大上小的两节圆柱形.(图略)5.令f(x)=2x3-4x2-3x+1,函数图象如下所示:函数分别在区间(-1,),(,1)和区间(2,3)内各有一个零点,所以方程2x3-4x2-3x+1=的最大的根应在区间(2,3)内.取区间(2,3)的中点x1=2.5,用计算器可算得f(2.5)=-.25.因为f(2.5)·f(3)0,所以x∈(2.5,3).再取(2.5,3)的中点x2=2.75,用计算器可算得f(2.75)≈4.09.因为f(2.5)·f(2.75)0,所以x∈(2.5,2.75).同理,可得x∈(2.5,2.625),x∈(2.5,2.5625),x∈(2.5,2.53125),x∈(2.515625,2.53125),x∈(2.515625,2.5234375).由于|2.534375-2.515625|=.00781250.01,此时区间(2.515625,2.5234375)的两个端点精确到.01的近似值都是2.52,所以方程2x3-4x2-3x+1=精确到.01的最大根约为2.52.图文来自网络，版权归原作者，如有不妥，告知即删

三阶魔方公式图解：第一阶段：对顶层十字，还原顶层棱块。第二阶段：还原顶层角块。第三阶段：还原中层棱块。第四阶段：对底层十字，还原底层棱块。第五阶段：翻转底层角块，对齐底层颜色。第六阶段：调整底层角块位置，还原完成。三阶魔方第一层公式是：F D F"和R" D" R。这个公式主要用于第一层转十字架之后的四个角块，选好中心块之后把相同颜色的色块转到这个平面上来，架出一个十字花架，这一步是没有公式的。两个公式分别对应了不同的两种情况，第一种是十字架四周的角块顺色，第二种是十字架旁边的角块不顺色。比方说，如果角块是在第一层了，但是方向不对，这个时候就通过转动底层或者应用公式来解决这个问题。公式中的符号就是英文单词的缩写，U就是英文单词UP的缩写，代表了顶面的意思。D就是英文单词DOWN的缩写，代表的是底面的意思。F就是英文单词FRONT的缩写，代表了前面的意思。B就是英文单词BACK的缩写，代表了后面的意思。L就是英文单词LEFT的缩写，代表了左面的意思。R就是英文单词RIGHT的缩写，代表了右面的意思。单个字母表示的是顺时针旋转九十度，字母加"表示的是逆时针旋转九十度，字母加二就代表顺时针旋转一百八十度。

质数的个数是无穷的。欧几里得的《几何原本》中有一个经典的证明。它使用了证明常用的方法：反证法。具体证明如下：假设质数只有有限的n个，从小到大依次排列为p1，p2，……，pn，设N=p1×p2×……×pn，那么，是素数或者不是素数。如果为素数，则要大于p1，p2，……，pn，所以它不在那些假设的素数集合中。1、如果 为合数，因为任何一个合数都可以分解为几个素数的积；而N和N+1的最大公约数是1，所以不可能被p1，p2，……，pn整除，所以该合数分解得到的素因数肯定不在假设的素数集合中。因此无论该数是素数还是合数，都意味着在假设的有限个素数之外还存在着其他素数。所以原先的假设不成立。也就是说，素数有无穷多个。2、其他数学家给出了一些不同的证明。欧拉利用黎曼函数证明了全部素数的倒数之和是发散的，恩斯特·库默的证明更为简洁，哈里·弗斯滕伯格则用拓扑学加以证明。

分式的分子、分母乘以（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变； （C≠0）

三阶魔方的最后一部公式为：魔方握法上蓝，前黄，做（右逆、上顺、右逆、上逆、右逆、上逆、右逆、上顺、右顺、上顺、右顺180） 资料拓展三阶魔方的定义：三阶魔方是目前最普遍的魔方种类，它是匈牙利布达佩斯建筑学院厄尔诺·鲁比克教授在1974年发明的。三阶魔方的英文官方名字叫做Rubik"s Cube，其英文名字也正是以厄尔诺·鲁比克教授的名字来命名的。当初他发明魔方，仅仅是作为一种帮助学生增强空间思维能力的教学工具。但要使那些小方块可以随意转动而不散开，不仅是个机械难题，这牵涉到木制的轴心，座和榫头等。直到魔方在手时，他将魔方转了几下后，才发现如何把混乱的颜色方块复原竟是个有趣而且困难的问题。鲁比克就决心大量生产这种玩具。魔方发明后不久就风靡世界。三阶魔方的玩法：拿到一个打乱的魔方，先找到黄色的中心块，保持黄色中心块在上，开始找四个白色的棱块在哪里，如果有找到白色的棱块是已经在了白色的位置，这代表该棱块已经完成，继续找其它没有完成的棱块。 如果是图101或图102的情况，让该棱块的白色面对着自己，该棱块在靠左手位置，同时黄色面的左边没有白色花瓣，就向上转动左手一次，把该棱块的白色转动到黄色面，形成一个白色花瓣；如果在右手的位置，同时黄色面的右边没有白色花瓣，则向上转动右手一次，把该棱块的白色转动到黄色面形成一个花瓣。

111的11次方

质子数（Z）＝阴离子的核外电子数－阴离子的电荷数。

利润的三个计算公式：净利润=利润总额-所得税费用；毛利润=主营业务收入-与收入配比的主营业务成本；利润＝营业利润+投资净收益+营业外收支净额1、营业利润大于毛利润大于净利润，净利润是一个企业的最终经营成果，净利润多，企业的经营效益就好；净利润少，企业的经营效益就差，它是衡量一个企业经营效益的主要指标。2、营业利润=营业收入-营业成本-税金及附加-销售费用-管理费用-财务费用-信用减值损失-资产减值损失+公允价值变动收益(或-公允价值变动损失)+投资收益(或-投资损失)。3、毛利润和净利润有何区别，毛利润是销售收入扣除主营业务产生的成本后的利润部分，而净利润是指在利润总额中按规定缴纳所得税以后，公司的利润留存

1．分式加减法法则（1）通分：把异分母的分式化为同分母分式的过程，叫做通分（2）同分母分式的加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变．分子相加减．用字母表示为： （3）异分母分式的加减法法则：异分母的分式相加减，先通分．变为同分母的分式后再加减．用字母表示为：2．分式的化简分式的化简与分式的运算相同，化简的依据、过程和方法都与运算一样，分式的化简题，大多是分式的加、减、乘、除、乘方的混合题，化简的结果保留最简分式或整式．3．分式的求值题近几年出现在中考题中的求值题一般有以下三种题型：（1）先化简，再求值；（2）由已知直接转化为所求的分式的值；（3）式中字母所表示的数没有明确给出，而是隐含在已知条件中，解这类题，一方面由已知条件求出字母的取值，另一方面化简所给出的分式，只有双管齐下，才能找出最简便的算法． 分式的约分与分式的通分是分式运算中最基本的两种变形，通过前面的学习明确了约分的关键是寻求分子、分母的公因式，约分在分式的运算中起着不可替代的作用． 问题：通分有哪些应注意的问题，通分与约分之间又有哪些区别与联系呢? 探究：通分的关键是确定几个分式的最简公分母，其步骤如下：①将各个分式的分母分解因式；②取各分母系数的最小公倍数；③凡出现的字母或含有字母的因式为底的幂的因式都要取；④相同字母或含字母的因式的幂的因式取指数最大的；⑤将上述取得的式子都乘起来，就得到了最简公分母。如分式 ， 的最简公分母为15a2b3c2，通分的结果为 老师：学习了通分和约分后，你能总结出通分和约分的区别和共同点吗?小明：通分与约分虽都是针对分式而言，但却是两种相反的变形．小勇：约分是针对一个分式而言，而通分是针对多个分式而言；约分是把分式化简，而通分是把分式化繁，把各分式的分母统一起来．小刚：通分和约分都是依据分式的基本性质进行变形，在变形中都保持分式的值不变．老师：一般地，通分结果中，分母不展开而写成连乘积的形式．分子则乘出来写成多项式，为进一步运算作准备．

栅格计算是栅格数数据空间分析中数据处理和分析中最为常用的方法，应用非常广泛，能够解决各种类型的问题，尤其重要的是，它是建立复杂的应用数学模型的基本模块。 ArcGIS 9 提供了非常友好的图形化栅格计算器，利用栅格计算器，不仅可以方便的完成基于数学运算符的栅格运算，以及基于数学函数的栅格运算，而且它还支持直接调用ArcGIS 自带的栅格数据空间分析函数，并且可以方便的实现多条语句的同时输入和运行。一 数学运算数学运算主要是针对具有相同输入单元的两个或多个栅格数据逐网格进行计算的。主要包括三组数学运算符：算术运算符，布尔运算符和关系运算符。1. 算术运算算术运算主要包括加、减、乘、除四种。可以完成两个或多个栅格数据相对应单元之间直接的加、减、乘、除运算。例如，以今年与去年的降水量数据为基础，用公式（今年降水量-去年降水量）/去年降水量，可以计算出去年降水量的变化程度，如图8.65。（单位：毫米）2. 布尔运算布尔运算主要包括：和（And）、或（Or）、异或（Xor）、非（Not）。它是基于布尔运算来对栅格数据进行判断的。经判断后，如果为“真”，则输出结果为1，如果为“假”， 则输出结果为0。（1） 和（&）：比较两个或两个以上栅格数据层，如果对应的栅格值均为非0 值，则输出结果为真（赋值为1），否则输出结果为假（赋值为0）。（2） 或（|）：比较两个或两个以上栅格数据层，对应的栅格值中只要有一个或一个以上为非0 值，则输出结果为真（赋值为1），否则输出结果为假（赋值为0）。 （3） 异或(!)：比较两个或两个以上栅格数据层，如果对应的栅格值在逻辑真假互不相同（一个为0，一个必为非0 值），则输出结果为真（赋值为1），否则输出结果为假（赋值为0）。 （4） 非(^)：对一个栅格数据层进行逻辑“非”运算。如果栅格值为0 ，则输出结果为1；如果栅格值非0，则输出结果为0。例如，以过去及现在的地表类型为基础，说明用“和”来提取从未被沙漠化过的地表的方法，如图2（其中沙漠为0，其它数值代表了不同的地表类型）。查看大图图2布尔运算示意图3. 关系运算关系运算以一定的关系条件为基础，符合条件的为真，赋予1 值，不符条件的为假，赋予0 值。关系运算符包括六种：＝，＜，＞，＜＞，＞＝，＜＝。例如，需要提取出温度介于20 度到30 度之间的地区（包括20 度和30 度），公式为：20 ＜＝ [温度] ＜＝ 30。 二 函数运算栅格计算器除了提供给大家简单的数学运算符来进行栅格计算外还提供给大家一些相对复杂的函数运算，包括数学函数运算和栅格数据空间分析函数运算。数学函数主要包括：算术函数、三角函数、对数函数和幂函数。1. 算术函数（Arithmetic）算术函数主要包括六种：Abs（绝对值函数）、Int（整数函数）、Float（浮点函数）、 Ceil（向上舍入函数）、Floor（向下舍入函数）、IsNul（输入数据为空数据者以1 输出，有数据者以0输出）。2. 三角函数（Trigonometric）常用的三角函数包括：Sin（正弦函数）、Cos（余弦函数）、Tan（正切函数）、Asin（反正弦函数）、Acos（反余弦函数）、Atan（反正切函数）。3. 对数函数（Logarithms） 对数函数可对输入的格网数字做对数或指数的运算。指数部份包括：Exp (底数e)、Exp10 (底数10)、Exp2 (底数2)三种；对数部份包括：Log (自然对数)、Log10 (底数10)、log2 (底数2)等三种。4. 幂函数（Powers） 幂函数可对输入的格网数字进行幂函数运算。幂函数包括三种：Sqrt (平方根)、Sqr (平方)、Pow (幂)。5. 栅格数据空间分析函数 栅格计算器也直接支持ArcGis 自带的大部分栅格数据分析与处理函数，如栅格表面分析中的slope、hillshade函数等等，在此也不一一列举，具体用法请参阅相关文档。它与数学函数不同的是，这些函数并没有出现在栅格计算器图形界面中，而是由计算者自己手 动输入。三 栅格计算器1. 启动栅格计算器点击Spatial Analyst 的下拉箭头，选择Raster Calculator。栅格计算器由四部分组成（图3），左上部 Layers 选择框为当前Arcmap 试图中已加载的所有栅格数据层名列表，双击 任一个数据层名，该数据层名便可自动添加到左下部的公式编辑器中，中间部位上部是常 用的算术运算符、0~10、小数点.、关系和逻辑运算符面板，单击所需按钮，按钮内容便可 自动添加到公式编辑器中。右边可伸缩区域为常用的数学运算函数面板，同样单击任一个 按钮，按钮内容便可自动添加到公式编辑器中。2. 编辑计算公式(1) 简单算术运算如下图3 所示，在公式编辑器中先输入计算结果名称，再输入等号（所有符号两边需要加一个空 格），然后在Layers 栏中双 击要用来计算的图层，则选择的图层将会进入公式编辑器参与运算。其中“-” 和“^”为单目运算符，运算符前可以不加内容，而只在运算符后加参与计算的对象，如a = - [slope]等。在公式编辑器如果引用Layers 选择框的数据层，数据层名必须用[ ]括起来。查看大图图3 栅格计算器的数学算术运算查看大图图4 栅格计算器的数学函数运算 (2) 数学函数运算数学函数运算需要注意的是它输入时需要先点击函数按钮，然后在函数后面的括号内加入计算对象， 如图4所示。应该注意一点，三角函数以弧度为其默认计算单位。(3) 栅格数据空间分析函数运算 栅格数据空间分析函数没有直接出现在栅格计算器面板中，因此需要计算者自己手动输入。需要时引用它们时，首先必须查阅有关文档，查清楚它们的函数全名、参数、引用 的语法规则等。然后在栅格计算器输入函数全名，并输入一对小括号，再在小括号中输入相关参数或计算对象，如图5所示。查看大图图5 栅格数据空间分析函数运算(4) 多语句的编辑ArcGIS 栅格计算器多表达式同时输入，并且先输入的表达式运算结果可以直接被后续语句引用，如图6所示。一个表达式必须在一行内输入完毕，中间不能回行。此外，如果后输入的函数需要引用前面表达式计算结果，前面表达式必须是一个完整的数学表达 式，如图8.70 中的“d = [straightline]*100”，等号左边为输出数据文件名，右边为计算式。 此外，引用先前表达式的输出对象时，直接引用输出对象名称，对象名称不需要用中括号 括起来，如e = d >= 2500 中d。查看大图图6栅格计算器的多语句编辑3. 检查计算公式准确无误后，点击Evaluate 来完成运算，计算结果会自动加载到当 前ArcMap 视图窗口。

小于等于号在数学里的使用频率非常高，但是不能直接在电脑键盘上输入，需要使用快捷键打开特殊符号。以Windows10系统的电脑为例，具体操作步骤如下：1、首先点击电脑Windows10系统自带的输入法，把它切换到系统默认的微软拼音；2、接着同时按住“Ctrl”键加“Shift”键加“B”键，此时就会调出符号选项窗口；3、在出现的窗口里面，点击左边栏目的“符号”图标；4、然后点击右边窗口上方的“数学”选项；5、最后找到点击小于等于号即可。也可以直接在拼音输入法里面，输入“xydy”或者是“xiaoyudengyu”的拼音，即可在出现汉字的框里面，找到小于等于符号。还可以在办公软件里点击菜单的“插入”选项，再点击“符号”，即可看到小于等于号，使用鼠标确定即可。

1. 分式的符号法则:1.同号得正,异号得负.2.分式本身的“-”号可移到分子或分母上小学里我们学过分数的约分和通分，可以把分数进行2. 分式的基本性质分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变。这条性质叫做分式的基本性质。

您好：1/(a+b)=(a-b)/(a^2-b^2)如果本题有什么不明白可以追问，如果满意请点击“采纳为满意回答”如果有其他问题请采纳本题后另发点击向我求助，答题不易，请谅解，谢谢。祝学习进步！

首先打开一个工作样表作为例子。大于等于的输入方法是输入>=号。>=不能写作=>，=>不被系统识别。同理还有小于等于符号也不能输入为等于小于。最后还有一个不等于号，输入方法是<>，

1,分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘以或除以一个不为0的数，分数的值不变。用字母表示就是：a/b=ac/bc.2,通分：把几个异分母分数分别化为与原分数值相等的同分母分分数,叫做分数的通分.通分的步骤：先求出所有分数分母的最简公分母,再将所有分数的分母变为最简公分母.同时把各分数按照分母所扩大的倍数,相应扩大各自的分子.3,约分：把一个分数的分子和分母中的公因数约去,这种变形称为分数的约分．约分的步骤：将分数的分子和分母中的公因数约去.使之成为最简分数.

质子数有毒，你们知道吗？中子数是啥子我也不晓得，所以我才所以这道题的

等式两边分式交叉相乘得：x*(a-1)(x+1)=x*(x+1)(a-1)等式两边相同 （a-1）在分母上，分母不能为0所以：a-1≠0 a≠1