齐次线性方程组有非零解的充要条件是系数矩阵A的任意两个列向量线性相关,或者是A种必有一列向量是其余列向量的线性组合,
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灌水专用ID 共回答了13个问题
|采纳率92.3%- 对的,齐次方程有非零解的充要条件一个是A的秩小于n,一个就是A的列向量线性相关
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2 t 3
3 4 5
若齐次线性方程组Ax有非零解,则数t=?
二、已知向量组a1=1 ,a2=1 ,a3=t的秩为2,则数t=?
1 -2 1
-2 1 1
三、已知向量a=(2,1,0,3)T,b=(1,-2,1,k)T,则数k=?
四、设向量a=(b,1/根号2,1/根号2)为单位向量,则数b=?
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2 2 -2
-2 -2 2
六、二次性f(x1,x2,x3)=(k+1)x1x1+2x2x2-5x3x3-4x1x2+2x2x3的矩阵为?
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二,t=-2
三,k=0
四,b=0
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六,
k+1 -2 0
-2 2 1
1 0 -5
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|采纳率92.9%怎么没看到你这题目 晚了吧
证明:
(1)反证.假如s1,s2,s3,n线性相关
因为 s1,s2,s3 线性无关
所以 n可由s1,s2,s3线性表示
所以n是齐次线性方程组的解
与已知n是非齐次线性方程组Ax=b的解矛盾.
(2)设 k1(s1+n)+k2(s2+n)+k3(s3+n)+kn=0
则 k1s1+k2s2+k3s3+(k1+k2+k3+k)n=0
由(1)知 k1=k2=k3=k1+k2+k3+k=0
所以有 k1=k2=k3=k=0
所以 s1+n,s2+n,s3+n,n线性无关1年前查看全部
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|采纳率78.9%设S1,S2,S3,n对应的系数分别为ki和p,i=1到3;ki*Si+p*n=0两边乘以A,则因为AX=b,可推出p=0,那么kiSi=0,又Si是齐次线性方程组AX=0的基础解系,故相互间线性无关,所以ki=0;(2)好像有相关性质可以快速证明的.1年前查看全部
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高数大神在哪里
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2. 若,计算7阶行列式
3. 设,则.
4.若齐次线性方程组有非零解,则其系数行列式的值为____ .
5.如果向量组线性无关,那么向量组,,,是线性__________.
6. 向量组,,,的秩为_______.
二、选择题(每题4分,共16分)
1. 设为阶方阵,是的伴随矩阵,下列说法不正确的是( ) 【 】
(A) 若,则; (B) 若的秩小于,则;
(C) 若,则; (D).
2.设向量组线性无关, 线性相关,则( ) 【 】
(A) 必可由线性表示;(B) 必不可由线性表示;
(C) 必可由线性表示;(D) 必不可由线性表示.
3.设元齐次线性方程组的系数矩阵的秩为,则有非零解的充分必要条件是( ) 【 】
(A) ; (B) ; (C) ; (D)
4. 设是一非齐次线性方程组,,是任意两个解,则下列结论错误的是( ). 【 】
(A)是的一个解; (B)是的一个解;
(C)是的一个解; (D)是的一个解.
三、综合题(每题10分,共60分)
1. 计算行列式:
2. 设方阵满足矩阵方程 O,证明A及A+2E都可逆,并求 及.
3. 设,求
4. 求向量组,,,,的秩及一个极大线性无关组
5. 设,,…,,且向量组线性无关,证明向量组线性无关.
6. 求非齐次线性方程组的通解.
在tt_feifei1年前1
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方程Ax=b,其中b≠0是非齐次线性方程组
它对应的齐次线性方程组就是Ax=0
设Ax=0的基础解系为x1,x2,……,xm
则Ax=0的通解就是k1x1+k2x2+……+kmxm,k1,k2,……,km∈R
设y是Ax=b的一个特解
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α21x1+α22x2+..+α(2,n+2)X2,n+2=0
αn1x1+αn2x2+..+α(n,n+2)Xn,n+2=0
总可以找到其中非两个未知量xj和xk使得取任意值后得到的方程组总有解
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令 a S1+b S2+ cS3+d n=0.若 d ≠ 0,则 n=-1/d S1 - 1/d S2 - 1/d S3
An=A(-1/d S1 - 1/d S2 - 1/d S3)=-1/d AS1 -A 1/d S2 - 1/d AS3 = 0 ≠ b ,与已知矛盾,所以 d =0
所以aS1+bS2+cS3 =0,又因为s1,s2,s3是齐次线性方程组AX=0的基础解系,所以S1,S2,S3性性无关,所以 a= b =c =0,所以若a S1+b S2+ cS3+d n=0 成立,则 a= b =c =d =0,所以s1,S2,S3,n线性无关.
2)令 e (S1+n)+f(S2+n)+ g(S3+n)+h n=0,即e S1+f S2+g S3+(e+f+g+h)n=0,由第一问知s1,S2,S3,n线性无关,所以e=f=g=e+f+g+h=0,所以e=f=g=h=0.所以s1+n,s2+n,s3+n,n线性无关1年前查看全部
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矩阵为
[1 1 1]
[1 1 1]
[1 1 1]
化简后
[1 1 1]
[0 0 0]
[0 0 0]
它的基础解系怎么求,是多少?特解又怎么求.
[
化简后
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可以把第2列和第3列交换
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设k0*η+k1*(η+P1)+...kr+(η+P n-r)=0
整理可得:
(k0+k1+...+kr)*η+k1*p1+...+kr*P n-r=0.2式
左乘A可以化简得:
(k0+k1+...+kr)*b=0
所以k0+k1+...+kr=0 .1式
把1式代入2式:
k1*p1+...+kr*P n-r=0 因为P1,...,P n-r是Ax=0的一个基础解系,所以他们线性无关,所以k1,.,kr都是0
可知k0也是0
所以η,η+P1,...,η+P n-r线性无关.
好不容易给你写完了,下次我要收更多得分啊,1年前查看全部
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1 1 -1 -1
2 -5 3 2
7 -7 3 1
r2-2r1,r3-7r1
1 1 -1 -1
0 -7 5 4
0 -14 10 8
r3-2r2
1 1 -1 -1
0 -7 5 4
0 0 0 0
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1 1 -1 -1
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0 0 0 0
r1-r2
1 0 -2/7 -3/7
0 1 -5/7 -4/7
0 0 0 0
方程组的全部解为:c1(2,5,7,0)' + c2(3,4,0,7)'1年前查看全部
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2x1+(3-λ)x2+x3=0
x1+x2+(1-λ)x3=0
有非零解?
求个证明过程.
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设n阶矩阵A的各行元素之和均为0,且A的秩为n-1,则齐次线性方程组的通解?网上搜了,但是我还是不懂为什么各行元素均为0,得出11111是它的通解,而不是其他数字
好象有点理解了,我主要还是不明白通解1111.1是怎么算出来的jackneng781年前1
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A的各行元素之和均为0, 说明 A(1,1,...,1)^T = (0,0,...,)^T = 0
即 (1,1,...,1)^T 是 AX=0 的非零解, 故是AX=0的基础解系
所以通解为 k(1,1,...,1)^T .
注: 事实上, 其它任一非零数字都可以, 只是"A的各行元素之和"给人的第一感觉就是直接加起来, 即都乘1加起来.
设A=
1 -1 0
2 1 -3
-5 3 2
你用这个矩阵乘 (1,1,1)^T 试试, 看看是否等于0.1年前查看全部
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如果A是满秩,那么其伴随矩阵也是满秩;
如果A(n阶矩阵)的秩是n-1,那么伴随矩阵的秩是1;
如果A的秩是小于n-1的话,伴随矩阵的秩是0;
所以这里说A*≠0,所以A*的秩只能是1;,而A的秩只能是n-1;即(A*)X=0的基础解系中的向量个数为n-1;,而A*与A的乘积=diag(|A|,|A|,|A|,|A|,.)=0矩阵,说明A的所有非零列向量都是A*x=0的解,所以现在要求的就是α1 α2 α3.αn 中的一个极大线性无关组.
但这里无法得出,我觉得缺一个条件,这个条件会是:如告诉你AX=0的通解为(1,0.)让你得出其中一个向量可以有其它n-1个线性表示,这样的话,那剩下的n-1个向量就是所要的极大线性无关组,也就是(A*)X=0的通解1年前查看全部
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x1+x2+x3=0;
2x1-x2+x3=0
写为矩阵
1 1 1 1 1 1 1 4 0
2 -1 1 = 0 -3 -1 = 0 3 1
0 0 0 0 0 0 0 0 0
矩阵的秩为2,所以基础解析向量有一个 3-2=11年前查看全部
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meideyisi 共回答了26个问题
|采纳率84.6%解题思路:由已知条件可以构造Ax=0的两个解,由矩阵A的秩可知基础解系的个数,从而求得.由题意可知:
α1,α2,α3是非齐次线性方程组Ax=b的三个线性无关的解,
则α2-α1,α3-α1是Ax=0的两个解,且它们线性无关,
又n-r(A)=2,故α2-α1,α3-α1是Ax=0的基础解系,
所以Ax=b的通解为:α1+k1(α2-α1)+k2(α3-α1)),k1,k2为任意常数.点评:
本题考点: 非齐次线性方程组解的结构及通解的概念.
考点点评: 本题主要考查非齐次方程基础解系的基本性质,属于基础题.1年前查看全部
- 求下列齐次线性方程组的基础解系及通解
上帝是个谎言1年前2
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nzgzly 共回答了12个问题
|采纳率100%解: 系数矩阵A=
1 1 2 3
3 4 1 2
5 6 5 8
r3-2r1-r3, r2-3r1
1 1 2 3
0 1 -5 -7
0 0 0 0
r1-r2
1 0 7 10
0 1 -5 -7
0 0 0 0
方程组的基础解系为: (-7,5,1,0)^T, (-10,7,0,1)^T
方程组的通解为: c1(-7,5,1,0)^T + c2(-10,7,0,1)^T1年前查看全部
- 线性代数 克莱姆法则,解齐次线性方程组时,系数行列式为0时,无解或至少有两个解是否等同于有无数个解.
线性代数 克莱姆法则,解齐次线性方程组时,系数行列式为0时,无解或至少有两个解是否等同于有无数个解.
这个问题很难,
请进行适当的证明我爱翅膀飞1年前2
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怡笑而过 共回答了22个问题
|采纳率95.5%系数行列式为0时,意味着,要么方程组矛盾,要么方程组有重复的.
矛盾的话就无解了(没一个);重复的话就有自由变量,它(们)可任意取值,故有无穷多解.
不可能有有限组解,若有两解必然有无穷多组解!1年前查看全部
- 设n个未知量的齐次线性方程组的系数矩阵的秩为r,证明:
设n个未知量的齐次线性方程组的系数矩阵的秩为r,证明:
设n个未知量的齐次线性方程组的系数矩阵的秩为r,证明:该齐次线性方程组的任意的n-r个线性无关的解向量都构成该方程组的一个基础解系rain00881年前1
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beckhamlee 共回答了13个问题
|采纳率92.3%该齐次线性方程组的解空间的维数是n-r.
该齐次线性方程组的任意的n-r个线性无关的解向量都是在解空间的一个向量组,构成解空间的一组基,所以构成该方程组的一个基础解系1年前查看全部
- 线性代数问题什么叫做齐次线性方程组的解空间?
donnadlc1年前1
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天空许愿 共回答了14个问题
|采纳率71.4%齐次线性方程组的所有解向量构成的集合对于列矩阵的加法和数乘满足线性空间的八条性质,故为线性空间,称为解空间.1年前查看全部
- 如果齐次线性方程组{kx+y+z=0;x+ky+z=0;2x-y-z=0}有非零解,k应取什么值?
如果齐次线性方程组{kx+y+z=0;x+ky+z=0;2x-y-z=0}有非零解,k应取什么值?
为什么齐次线性方程组有非零解,系数行列式必为0?
从 k 1 1
1 k 1 =0
2 -1 -1
到
k+2 0 0
0 2k+1 3 =0
2 -1 -1
的变换是怎么变的?
(k+2)*[(-2k-1)+3]=0
这个方程式是怎么来的?娟娟vv1年前1
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lj158lj 共回答了16个问题
|采纳率81.3%若系数行列式不等于0,则由Crammer法则知方程组有唯一解--零解.
这与已知方程组有非零解不符.
所以 系数行列式 = 0.
k 1 1
1 k 1
2 -1 -1
c1+c2+c3
k+2 1 1
k+2 k 1
0 -1 -1
r1+r3,r2+r3
k+2 0 0
k+2 k-1 0
0 -1 -1
= - (k+2)(k-1).
所以 k=1 或 k=-2.1年前查看全部
- 齐次线性方程组的基础解系与通解刘老师您好:x1+2x2+x3+x4=02x1+2x2 -x4=05x1+6x2+x3-x
齐次线性方程组的基础解系与通解
刘老师您好:
x1+2x2+x3+x4=0
2x1+2x2 -x4=0
5x1+6x2+x3-x4=0
课本上算到最后给出的阶梯矩阵是这样的(我这一步与课本上算的是相同的):
1 0 -1 -2
0 2 2 3
0 0 0 0
但课本给出的同解方程组却是这样的:
x1=x3+2x4
x2=-x3-3/2x4
而我给出的同解方程组是这样的:
x1=-x3-2x4
x2=x3+3/2x4
如果课本是对的,那么明明阶梯矩阵中的第一行是负的,第二行是正的,为什么变成同解方程组就变成第一行是正的第二行是负的呢?另外,课本给出的自由未知数的取值是:
x3 1 0
=
x4 0 ,2
而我给出的是:
x3 1 0
=
x4 0 ,1
因为看到大部分例题里自由未知数的取值给出的都是这种n阶数量矩阵,所以,如果课本给出的是恰当的,那么自由未知数该如何取值呢?我这样不管怎样都用n阶数量矩阵的形式来取值对不对呢?
PS:上次错采纳他人的答案,这次送给刘老师二十分作为补偿。^^
玫开掩笑1年前1
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zhenghr2006 共回答了17个问题
|采纳率94.1%同解方程组:
教材中的对的。比如第一个方程实际上是 x1-x3-2x4 = 0
自由未知量移到等式右边就变成正的了
自由未知量的取值:
都可以, 只要线性无关即可
教材中的取法是为了消去分数
分数无所谓, 只是采纳率会受影响哈1年前查看全部
- a 1 a 2 是n 元齐次线性方程组a x =0 两个不同解向量,a 的秩是n —1 ,a x = 0 的通解是?
wxk20151年前1
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影子风小邪 共回答了16个问题
|采纳率93.8%这题出得有问题,
稍微改一下比较正常:
a 1 a 2 是n 元非齐次线性方程组a x =b 两个不同解向量,a 的秩是n —1 ,a x = 0 的通解是?
那么答案是k(a1-a2),k∈R1年前查看全部
- 关于特征值和特征向量的小问题!在这题条件中“设A为4x3矩阵,z1,z2,z3是非齐次线性方程组Ax=B的三个线性无关的
关于特征值和特征向量的小问题!
在这题条件中“设A为4x3矩阵,z1,z2,z3是非齐次线性方程组Ax=B的三个线性无关的解”哪里说明了A≠0(零矩阵)?laren_shdow1年前2
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IHAVEWAY 共回答了15个问题
|采纳率86.7%z1-z2,z3-z1,是AX=0的两个线性无关的解.系数矩阵的秩R(A)≤1.如果R(A)=0,Ax=B,无解!
所以R(A)=1.1年前查看全部
- 设α_1,α_2,α_3,⋯,α_m是其次线性方程组Ax=0的基础解系,β是非齐次线性方程组Ax=b
设α_1,α_2,α_3,⋯,α_m是其次线性方程组Ax=0的基础解系,β是非齐次线性方程组Ax=b
设,〖α_(1,) α〗_2,α_3,⋯,α_m是其次线性方程组Ax=0的基础解系,β是非齐次线性方程组Ax=b(b≠0)的一个特解,证明向量组α_1+β,α_2+β,⋯,α_m+β,β线性无关.“_”是指下标,
设α_1,α_2,α_3,⋯,α_m是其次线性方程组Ax=0的基础解系,β是非齐次线性方程组Ax=b(b≠0)的一个特解,证明向量组α_1+β,α_2+β,⋯,α_m+β,β线性无关。eagle77771年前1
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车失王韦 共回答了13个问题
|采纳率92.3%证明:设 k1(α1+β)+k2(α2+β)+⋯+km(αm+β)+kβ = 0
则 k1α1+k2α2+⋯+kmαm+ (k1+k2+...+km+k)β = 0.
等式两边左乘A,由已知Aαi=0,Aβ=b得
(k1+k2+...+km+k)b = 0
因为 b≠0,所以 k1+k2+...+km+k = 0
所以 k1α1+k2α2+⋯+kmαm = 0
由于 α1,α2,α3,⋯,αm 线性无关
所以 k1=k2=...=km=0
再由 k1+k2+...+km+k = 0 得 k = 0.
故 向量组α1+β,α2+β,⋯,αm+β,β线性无关.1年前查看全部
- 给定齐次线性方程组{X1+X2+X3+X4=0,X1+KX2+X3-X4=0,X1+X2+KX3-X4=0},问(1)
给定齐次线性方程组{X1+X2+X3+X4=0,X1+KX2+X3-X4=0,X1+X2+KX3-X4=0},问(1) 当K满足什么条件时,方程组
大山宜1年前1
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吼龙 共回答了19个问题
|采纳率78.9%系数矩阵 A =
1 1 1 1
1 k 1 -1
1 1 k -1
r2-r1,r3-r1
1 1 1 1
0 k-1 0 -2
0 0 k-1 -2
(1) k≠1时,r(A)=3,
方程组的基础解系中含 4-r(A) = 1 个解向量.
(2) k=1时,方程组无解.1年前查看全部
- η0是非齐次线性方程组Ax=B的特解ξ1,ξ2...ξn-r是导出组Ax=0的基础解系 证η0,ξ1,ξ2..ξn-r线
η0是非齐次线性方程组Ax=B的特解ξ1,ξ2...ξn-r是导出组Ax=0的基础解系 证η0,ξ1,ξ2..ξn-r线性无
设η0是非齐次线性方程组Ax=B的一个特解,ξ1,ξ2.ξn-r是其导出组Ax=0的一个基础解系.试证η0,ξ1,ξ2.ξn-r线性无关俩个人的回忆1年前2
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beerfairy 共回答了15个问题
|采纳率93.3%显然题目已知,ξ1,ξ2.ξn-r线性无关
下面我们首先假设η0,ξ1,ξ2.ξn-r线性相关,因此
η0=k1*ξ1+k2*ξ2+k3*ξ3+.+kn*ξn-r
两边同时乘以A,那么
Aη0=k1*Aξ1+k2*Aξ2+.kn*Aξn-r (1)
而题目中已知,ξ1,ξ2.ξn-r是其导出组Ax=0的一个基础解系
所以,Aξ1=Aξ2=.=Aξn-r=0
那么我们可以知道等式(1)的右边为0
而等式(1)的左边Aη0=B不等于0
所以推出矛盾,假设不成立,即η0,ξ1,ξ2.ξn-r线性无关
不知你是否明白了,1年前查看全部
- 四元线性齐次线性方程组的系数矩阵的秩为2 已知η1,η2 是它的两个线性无关的解向量,则该方程组的通解为
dengpin1年前1
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赵小曼04 共回答了15个问题
|采纳率86.7%通解x=k1η1+k2η2,k1,k2为任意常数1年前查看全部
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