微分方程解个浓度问题假定一个容器有进水管和出水管两个通路.现在,这个容器中装满浓度为a%的盐水,进水管和出水管均以恒定的
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假定一个容器有进水管和出水管两个通路.现在,这个容器中装满浓度为a%的盐水,进水管和出水管均以恒定的速率K同时进水和出水,所进的水系蒸馏水.假定每时每刻容器中溶质均匀分布.求在时间为t时,容器中溶质的浓度.
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后师 共回答了15个问题
|采纳率100%- 先改写下记号,方便写公式.令b为容器中溶质的浓度,它是关于t的函数,即b=b(t);然后是k应该指单位时间里通过的体积吧;再设容器内总溶液体积为V.做好这些约定后,根据你的假设条件,可以写出如下的微分关系:
dt时间内在出水口溢出的溶质:-b*k*dt;
它等于dt时间内总体溶质的变化量:d(V*b).
所以d(V*b)=-b*k*dt,其中V,k是常数;
分离变量得到db/b=-k/V *dt,积分解得:ln(b/b0)=-k/V*(t-t0),t0是初始时刻,不妨取作0,b0是初始浓度,即a%;变换后就得到b=a% * e^(-k*t/V)
所以在时间为t时,容器中溶质的浓度为a% * e^(-k*t/V)..
好了, - 1年前
于诗吟 共回答了27个问题
|采纳率- 方程:
dva(t)/dt=-a(t)k
a(0)=a
最好自己再解一下
a(t)=e^(-kt/v)+a-1 - 1年前
orgcatalyst 共回答了74个问题
|采纳率- 在书上看几个例题吧,
题型、解法都差不多
如果只是想抄答案,那就慢慢等,一会儿好心人就来了 - 1年前
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两边同时除以(1+x^2)^2,得:
[(1+x^2)y'-2xy]/(1+x^2)^2=x/(1+x^2)^2 ,既:
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两边积分得:
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既:
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原微分方程可化为
(1-x^2)p'-xp=2
p'-x/(1-x^2)p=2/(1-x^2)
公式法得
p=[e^(∫x/(1-x^2)dx][C1+∫2/(1-x^2)[e^(∫-x/(1-x^2)dx]dx]
=e^(-1/2)ln(1-x^2)[C1+∫{2/(1-x^2)e^[(1/2)ln(1-x^2)]}dx]
=(1-x^2)^(-1/2)[C1+∫{[2/(1-x^2)](1-x^2)^(1/2)}dx]
=(1-x^2)^(-1/2)[C1+∫{[2/(1-x^2)]^(1/2)dx]
=(1-x^2)^(-1/2)[C1+2arcsinx]
即dy/dx=(1-x^2)^(-1/2)[C1+2arcsinx]
∫dy=∫(1-x^2)^(-1/2)[C1+2arcsinx]dx
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圆盘和细杆质量都为M,现将杆与圆盘结合,使杆的端点始终与圆盘的中心一致.回转角度按十分微小处理.
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求知道的人给予指导,
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|采纳率87.5%要假定圆盘的质量均匀分布 或者给出具体质量分布才有明确解
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∴y″+y′-2y=0的通解为y=C1e-2x+C2ex.
设y″+y′-2y=xex (*)
y″+y′-2y=sin2x (**)
由于(*)的f(x)=xex,λ=1是特征根,故令(*)的特解为y1(x)=(ax2+bx)ex,
代入(*)得a=
1
6,b=−
1
9,
由y″+y′-2y=sin2x得
y″+y′−2y=
1
2(1−cos2x),
显然y″+y′−2y=
1
2,有特解y=−
1
4,
对y″+y′−2y=−
1
2cos2x,由于f(x)=−
1
2cos2x,故
令其特解为y2(x)=Acos2x+Bsin2x,代入得A=
3
40,B=−
1
40,则
y2(x)=−
1
4+
3
40cos2x−
1
40sin2x,所以原方程的通解为
y=C1e−2x+C2ex+(
1
6x2−
x
9)ex+(−
1
4+
3
40cos2x−
1
40sin2x)点评:
本题考点: 二阶常系数非齐次线性微分方程求解.
考点点评: 此题考查二阶非齐次线性微分方程的求解,需要注意的是,求特解时,将其拆开成两个微分方程的形式,分别求.1年前查看全部
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|采纳率90.5%以原点为圆心的圆的标准方程为x²+y²=R²,R≠0
将y看做由上式确定的关于x的隐函数,并求导(雅克比行列式不等于0,可以自己验证)
得 2x+2yy'=0
即 yy'+x=0 x,y不能同时为01年前查看全部
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|采纳率94.1%补充楼上少了一种情况
r^2+a=0
a>0,y=A*cos(根号a *x)+B*sin(根号a *x)
a=0,y=Ax+B
a1年前查看全部
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每次解形如y″+py′+qy=eλx[Pl(x)cosωx+Pn(x)sinωx]的微分方程的过程中,当设出特解以后,如果λ刚好是对应的其次方程的重根,那么特解里面就回出现3个关于X的因式的乘积的项,回带的过程中必须求出二阶导数回带,3个关于X因式的求导我感觉非常繁复,计算量非常巨大,微积分书上的课后习题就是这样,请问有什么简便的方法还是这样的计算是必须的呢?
谢谢你的回答,我意思是如果书上是按照常规方法运算的话,这样的计算是不是就是必须的,进一步说,考研的试卷上关于这样的题会消耗考生大量的时间用来运算,一般会不会出这样的依靠繁复计算来考验考生的题目呢?ruobot1年前1
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|采纳率82.6%还有一种叫微分算子法.计算量些许少一点.但要先熟记一些算子运算的规则.
一般不会有太大的计算量.1年前查看全部
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|采纳率100%对应齐次方程y''-2y'+3y=0
特征方程为r^2-2r+3=0
特征根r=1±√2i
故其通解为y=e^x(C1cos(√2x)+C2sin(√2x))
原方程有特解y*=1+1/2e^x
所以原方程的通解为y=e^x(C1cos(√2x)+C2sin(√2x))+1/2e^x+1
y'=e^x[(C1+√2C2)cos(√2x)+(C2-√2C1)sin(√2x)]+1/2e^x
代入y(0)=0,y'(0)=0解得
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dx/dt=ax+b
那么根据导数的定义:dx/dt=lim {m->0} [x(t + m)-x(t)]/m
即函数值得增量除以自变量的增量.
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此为一阶线性微分方程,直接代公式:
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对于此题,有:p(y)=-1,q(y)=2y
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其次,若作为一个解答题来做,可看作是可降阶的微分方程,把y'看作因变量,d(y')/y'=dx/(xlnx),所以lny'=ln(lnx)+lnC1,y'=C1lnx,积分得y=C1x(lnx-1)+C2.1年前查看全部
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y″−6y′+9y=e3x
y(0)=0,y′(0)=2.
由于y″-6y′+9y=0的特征方程r2-6r+9=0,解得特征根为r=3(2重),
所以y″-6y′+9y=0的通解为:
y=(C1+C2x)e3x.
又由于y″-6y′+9y=e3x的f(x)=e3x,λ=3,故其特解为:
y*=ax2e3x,代入到y″-6y′+9y=e3x,解得a=
1
2.
故y″-6y′+9y=e3x的通解为:
y=(C1+C2x)e3x+
1
2x2e3x.
又y(0)=0,y′(0)=2,解得C1=0,C2=2,
故所求曲线方程为:y=
x(x+4)
2e3x.点评:
本题考点: 二阶常系数非齐次线性微分方程求解;导数的几何意义与经济意义.
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=-C/x+x(2lnx-1)/41年前查看全部
- 在线求此大学高等数学题(微分方程的应用)的解法~
在线求此大学高等数学题(微分方程的应用)的解法~
连接O(0,0)与A(1,1)的一般凸曲线弧OA,对于OA上任意一点P(x,y),曲线弧OP与线段OP围成图形的面积为 x*x ,求曲线弧OA的方程~
x*x 就是x的平方 不好意思~xzf9705381年前3
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轻风吹过 共回答了16个问题
|采纳率100%1年前查看全部
- 高等数学求微分方程的通解dy/dx=y/x+e^(y/x)x^2*dy/dx+2xy=5y^3y''''-2y'''+5
高等数学求微分方程的通解
dy/dx=y/x+e^(y/x)
x^2*dy/dx+2xy=5y^3
y''''-2y'''+5y''=0勇敢_de心1年前2
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永恒的舒米 共回答了16个问题
|采纳率93.8%1,dy/dx=y/x+e^(y/x) 为齐次微分方程,
令 u=y/x,则 y=xu,原方程化为 u+xdu/dx=u+e^u,
e(-u)du=dx/x,解得 -e^(-u)=lnx-C,即通解为 e^(-y/x)+lnx=C.
2.x^2*dy/dx+2xy=5y^3 即 d(yx^2)/dx=5y^3,令 u=yx^2,则 y=u/x^2,原方程化为
du/dx=5u^3/x^6,du/u^3=5dx/x^6,-1/(2u^2)=-1/x^5-C/2,即通解为 1/(y^2*x^4)=2/x^5+C.
3.y''''-2y'''+5y''=0,特征方程为 r^4-2r^3+5r^2=0,得特征根是 r=0,0,1±2i,
则通解为 y=A+Bx+e^x(Ccos2x+Dsin2x).1年前查看全部
- 高数题详解要详细过程 第一题 ∫sinkxdx在-π与π之间的定积分是多少?(是派不是n) 第二题 微分方程(yy'')
高数题详解
要详细过程 第一题 ∫sinkxdx在-π与π之间的定积分是多少?(是派不是n)
第二题 微分方程(yy'')^2+lny=x的阶数是
第三题 arctan(y/x)=ln(x^2+y^2)^(1/2),求y'
第四题 计算二重积分∫∫y(x^+y^2)^(1/2),其中D为x^2+y^2≤a^2在第一象限的部分.linwuxing1年前2
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lycheeyaya 共回答了18个问题
|采纳率100%1.∫sinkxdx=1/k ∫sinkxdkx=-1/k coskx| π -π=0
2.二阶
3.d(y/x)/(1+y^2/x^2)=d[√(x^2+y^2)]/√(x^2+y^2)
(x*dy-y*dx)/(x^2+y^2)=d(x^2+y^2)/(2*x^2+2y^2)
2*x*dy-2*y*dx=d(x^2+y^2)
2*x*dy-2*y*dx=2*x*dx+2*y*dy
x*dy-y*dx=x*dx+y*dy
(x-y)*dy=(x+y)*dx
dy=dx*(x+y)/(x-y)
4.x=rcosθ,y=rsinθ 则 r^2≤a^2 即 0≤r≤a ,01年前查看全部
- 大一高数考题 每题100分 求微分方程 y’+ 2xy = 2x 的通解
2astudio1年前2
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7887557 共回答了20个问题
|采纳率95%dy/dx=2x-2xy所以dy=2x(1-y)dx所以y=(1-y)x^2+c
其中C为任意常数1年前查看全部
- 已知y1(x)是微分方程y"+p(x)y'+q(x)y=0 的一个非零解,求c(x) 使得y2(x)=c(x)y1(x)
已知y1(x)是微分方程y"+p(x)y'+q(x)y=0 的一个非零解,求c(x) 使得y2(x)=c(x)y1(x) 也是上述方程的解,且y2(x)/y1(x)不是常值函数
我从来不八卦1年前2
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lzzlyh 共回答了18个问题
|采纳率94.4%把y2(x),y2'(x),y2''(x)代入方程,得y1(x)C'(x)+(2y1'(x)+p(x)y1(x))C'(x)=0.这是个可降阶的二阶微分方程,不显含y.令u=c'(x),则有du/u=-(2y1'+p(x)y1)/y1dx,积分lnu=-2lny1-∫p(x)dx,所以c'(x)=u=1/y1^2×e^(-∫p(x)dx),所以c(x)=∫1/y1^2×e^(-∫p(x)dx) dx.1年前查看全部
- :考虑微分方程:(1/k)*(dN/dt)=1-exp[-r(1-N/k)],{t>=0;r,k>0;第一问:求平衡点;
:考虑微分方程:(1/k)*(dN/dt)=1-exp[-r(1-N/k)],{t>=0;r,k>0;第一问:求平衡点;第二问:确定平衡点的稳定性;
qmming1年前1
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影勿 共回答了15个问题
|采纳率100%1213如同rtr6re67q`1年前查看全部
- LC回路周期推证过程求解释电量q对时间t的二阶导数等于-q/(LC)解此微分方程得电流随时间变化的关系:I=I0sin(
LC回路周期推证过程求解释
电量q对时间t的二阶导数等于-q/(LC)
解此微分方程得电流随时间变化的关系:I=I0sin(ωt+φ)
推导中式中的ω=2π/T=√1/(LC)了了无几1年前1
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开着奥拓变奥迪 共回答了15个问题
|采纳率93.3%能问的清楚一些么?这是解方程的结论,你到底哪步不懂,还是你根本就没解过这个方程,只想要一个大概的解释.1年前查看全部
- 一阶常系数微分方程怎么积分如题:10y'+y=2怎么计算呢
落离子1年前3
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blue-echo 共回答了25个问题
|采纳率92%可以直接用分离变量
10dy/dx=2-y
dy/(2-y)=dx/10
d(2-y)/(2-y)=-dx/10
ln(2-y)=-x/10+C1
2-y=Ce^(-x/10)
y=2-Ce^(-x/10)1年前查看全部
- 求解微分方程:dy/dt = (k/2)*(y-a)*(y-b),k,a,b为常数,*为乘, 谢谢!
红楼夜雨1年前1
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月白新秋 共回答了13个问题
|采纳率100%dy/dx=(k/2)(y-a)(y-b)
1/[(y-a)/(y-b)]dy=k/2dx
设1/((y-a)(y-b))=m/(y-a)-m/(y-b)=(my-mb-my+am)/(y-a)(y-b)
am-mb=1 m=1/(a-b)
所以:1/[(y-a)(y-b)]=1/(a-b)[1/(y-a)-1/(y-b)]
两边积分:
1/(a-b) ln[(y-a)/(y-b)]=kx/2+C1年前查看全部
- 在微分方程dy/dt=a-by中,a、b是一个数组,这样的微分方程如何求解?
qingyixianzhu1年前3
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一千瓦蜡烛 共回答了19个问题
|采纳率89.5%直接分离变量就行了吧
dy/a-by=dt
-d(a-by)/b(a-by)=dt
两边积分-1ln(a-by)/b=t+C
得通解1年前查看全部
- 求振动微分方程时质量重力势能以振动平衡位置为重力零势能点,问:在用能量法求振动微分方程时,什么情况下可以省略质量块的重力
求振动微分方程时质量重力势能
以振动平衡位置为重力零势能点,问:在用能量法求振动微分方程时,什么情况下可以省略质量块的重力势能?zhurizhe1年前1
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nolegoctopus 共回答了20个问题
|采纳率90%无阻力的情况下1年前查看全部
- 求微分方程 .#代替根号 xydx+#(1-x^2) dy=0
送516支野百合1年前1
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我生君已生 共回答了24个问题
|采纳率91.7%xydx+√(1-x^2) dy=0
√(1-x^2)dy=-xydx
-dy/y=xdx/√(1-x^2)
-dy/y=dx^2/2√(1-x^2)
2dy/y=d(1-x^2)/√(1-x^2)
2lny=(-1/2+1)(1-x^2)^(-1/2+1)=1/2 *√(1-x^2)+C
4lny=√(1-x^2)+C
lny=√(1-x^2)/4+C/4
y=e^(√(1-x^2)+C/4)1年前查看全部
- 求微分方程y’’-2y’-3y=0的通解
一天一休1年前0
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共回答了个问题
|采纳率
- 高阶微分方程为什么是线性的?线性方程不是都是一次的吗?为什么还能高阶?高数微分方程那一章里的
静的果园1年前1
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st73 共回答了11个问题
|采纳率100%“线性”是指每一项都是一次方,而不是说只能取一阶导数.1年前查看全部
大家在问
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- 2到底等于多少啊、要过程二分之一+六分之一+十二分之一+二十分之一+三十分之一+四十二分之一+五十六分之一+七十二分之一+
- 3面对老师时,对我们潜移默化的教育,我们可以用诗句" ,." 快,
- 4描述月球上白天和夜晚的情形
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