∫∫∫(x+y+z)dxdydz ,其中Ω是由圆锥面z=1-根号下x^2+y^2及平面z=0所围成,要求用柱面坐标计算,
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|采纳率93.8%以为是曲面积分,咋有方向的呢
令u = x/a、v = y/b、w = z/c
∂(x,y,z)/∂(u,v,w) dxdydz = abc dudvdw
则Ω:(x/a)² + (y/b)² + (z/c)² = 1 变为 Γ:u² + v² + w² = 1
∫∫∫ (x² + y² + z²) dxdydz
= ∫∫∫ [(au)² + (bv)² + (cw)²] abc dudvdw
= abc∫∫∫ (a²u² + b²v² + c²w²) dudvdw、由对称性,三个积分都是相等的
= abc(a² + b² + c²)∫∫∫ u² dudvdw
= abc(a² + b² + c²)/3 * ∫∫∫ (u² + v² + w²) dudvdw、轮换对称
= (1/3)abc(a² + b² + c²) * ∫(0→2π) dθ ∫(0→π) sinφ dφ ∫(0→1) r⁴ dr
= (1/3)abc(a² + b² + c²) * 2π * - [ cosφ ]:(0→π) * (1/5)[ r⁵ ]:(0→1)
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|采纳率76.9%1.∫∫∫xyzdxdydz,积分区域:x≥0,0≤y≤1,z≥0,x+z≤1
原式=【0,1】∫ydy【0,1】∫xdx【0,1-x】∫zdz
=【0,1】∫ydy【0,1】(1/2)∫x(1-x)²dx=【0,1】(1/2)∫ydy【0,1】∫(x-2x²+x³)dx
=【0,1】(1/2)∫ydy[x²/2-(2/3)x³+(1/4)x⁴]【0,1】
=【0,1】(1/2)∫ydy[1/2-2/3+1/4]=(1/24)(y²/2)【0,1】=1/48
2.∫∫∫(x+y+z)dxdydz,积分区域:x+y+z≤1,x≥0,y≥0,z≥0
原式=【0,1】∫dx【0,1-x】∫dy【0,1-x-y】∫(x+y+z)dz
=【0,1】∫dx【0,1-x】∫dy[(x+y)z+z²/2]【0,1-x-y】
=【0,1】∫dx【0,1-x】∫[(x+y)(1-x-y)+(1-x-y)²/2]dy
=【0,1】∫dx【0,1-x】(1/2)∫(1-x-y)(1+x+y)dy
=【0,1】(1/2)∫dx【0,1-x】∫(1-x²-2xy-y²)dy
=【0,1】(1/2)∫dx[(1-x²)y-xy²-y³/3]【0,1-x】
=【0,1】(1/2)∫[(1-x²)(1-x)-x(1-x)²-(1-x)³/3]dx
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用z=z截立体,在相交平面z=R/2的下方,截面为圆Dz1:x^2+y^2=2Rz-z^2,在z=R/2的上方,截面为圆Dz2:x^2+y^2=R^2-z^2
于是∫∫∫z^2dxdydz
=∫(0,R/2)z^2dz ∫∫Dz1dxdy+∫(R/2,R)z^2dz ∫∫Dz1dxdy (二重积分为面积)
=π∫(0,R/2)z^2(2Rz-z^2)dz +π∫(R/2,R)z^2(R^2-z^2)dz
=π∫(0,R/2)(2Rz^3-z^4)dz +π∫(R/2,R)(R^2z^2-z^4)dz
=π[R^5/32-R^5/160+R^5/3-R^5/5-R^5/24+R^5/160]
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=(59/480)πR^51年前查看全部
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0是从0度变化到180度 所以’ ∫∫∫(D区域)(x^2+y^2)dxdydz,= ∫(45度到90度)da ∫(0度到180度)do ∫【(r^2-(rcosa)^2】r^2dr 求积分即可得答案 下面我就不算了1年前查看全部
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而本题的方程是x^2 + y^2 = 2z,是个抛物面,看清楚了.
图形的底是抛物面z = (x^2 + y^2)/2 = ρ^2/2,不是0喔,不然的话真是变为圆柱体了
而顶部是z = 2
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原式 = ∫ dθ ∫ dr ∫ r^3 dz = ∫ dθ ∫ r^3 ( 2- r^2 /2 ) dr
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|采纳率94.1%解题思路:将积分立体区域写成柱面坐标系的形式,求解即可.由题意,Ω={(x,y,z)|
1
2(x2+y2)≤z≤2,(x,y)∈Dxy},其中Dxy={(x,y)|x2+y2≤4}
∴Ω={(r,θ,z)|0≤θ≤2π,0≤r≤2,
1
2r2≤z≤2}
∴
∭
Ω(x2+y2)dxdydz=
∫2π0dθ
∫20rdr
∫2
1
2r2r2dz
=2π
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1
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原式= 4∫(0→π/2)dθ∫(0→1)dr∫(0→1)(rcosθ)^2+(rsinθ)^2+z)rdz
= 4∫(0→π/2)dθ∫(0→1)dr∫(0→1)(r^3+zr)dz
=4∫(0→π/2)dθ∫(0→1)dr[r^3z+z^2r/2](0→1)
=4∫(0→π/2)dθ∫(0→1)(r^3+r/2)dr
=4∫(0→π/2)dθ(r^4/4+r^2/4)(0→1)
=4∫(0→π/2)(1/4+1/4)dθ
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{ z = 1 --> r = 1 --> r = secφ
球面坐标法:
∫∫∫ 1/√(x² + y² + z²) dxdydz
= ∫(0→2π) dθ ∫(0→π/4) sinφ dφ ∫(0→secφ) 1/r • r² dr
= 2π • ∫(0→π/4) sinφ dφ • (1/2)[ r² ]:(0→secφ)
= π • ∫(0→π/4) sinφ • (sec²φ) dφ
= π • ∫(0→π/4) secφtanφ dφ
= π • [ secφ ]:(0→π/4)
= (√2 - 1)π
切片法:
∫∫∫ 1/√(x² + y² + z²) dxdydz
= ∫(0→1) dz ∫(0→2π) dθ ∫(0→z) 1/√(r² + z²) • r dr
= 2π • ∫(0→1) dz • (1/2)[ 2√(r² + z²) ]:(0→z)
= 2π • ∫(0→1) (√2 - 1)z dz
= 2(√2 - 1)π • (1/2)[ z² ]:(0→1)
= (√2 - 1)π
投影法:
∫∫∫ 1/√(x² + y² + z²) dxdydz
= ∫(0→2π) dθ ∫(0→1) r dr ∫(r→1) 1/√(r² + z²) dz
= 2π • ∫(0→1) r dr • ln[ z + √(r² + z²) ]:(r→1)
= 2π • ∫(0→1) r • {ln[1 + √(r² + 1)] - ln[r + √2r]} dr
= 2π • { (1/2)√(r² + 1) - (1/2)r²ln[(1 + √2)r] + (1/2)r²ln[1 + √(1 + r²)] - 1/4 }:(0→1)
= 2π • { [(1/2)√2 - (1/2)ln(1 + √2) + (1/2)ln(1 + √2) - 1/4] - (1/2 - 1/4)}
= 2π • [(1/√2 - 1/4) - 1/4]
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想象不出图形也没关系,三重积分在直角坐标系下使用先一后二的顺序,选择先z后xy.那就要先求x,y的范围,把围成立体的四个曲面两两求交线,把交线投影到xoy面,得到区域D.D由y=x^2与y=1围成,这就是x,y的取值范围.进一步,选择先x后y或者先y后x的顺序都行.再看z的范围,在D内任取一点,作平行于z轴的直线,从下向上,先与z=0相交,再与z=x^2+y^2相交,所以z的范围是0到x^2+y^2.
接下来按照三个积分限写出三次积分即可.1年前查看全部
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求过程,还有求大神告诉我这种积分区域是曲面围成的用什么方法求比较好,三重积分和三次积分有不同吗?是不是求多重积分都要画图?以及怎么快速判断曲面的图像…555我弱爆了,高数真难
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∴所围成的闭区域在xoy平面上的投影是圆S:x²+y²=1
故∫∫∫(x²+y²)dxdydz=∫∫(x²+y²)dxdy∫dz
=∫∫(x²+y²)[(2-x²)-(x²+2y²)]dxdy
=2∫∫(x²+y²)(1-x²-y²)dxdy
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计算三重积分I=∫∫∫(x^2+y^2)dxdydz,其中是Ω由曲面z=(x^2+y^2)^(1/2)与z=2-x^2-y^2所围成的闭区域
如图 4. 这道题是利用柱面坐标系计算么?百度上结果是16π/3为什么r的取值范围是 0
如果可以帮我看一下上面的3题我写的对么 感谢!
sser1年前1
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oo圣使 共回答了20个问题
|采纳率85%1年前查看全部
- 计算三重积分∫ ∫ ∫ (x^2+y^2)dxdydz,
计算三重积分∫ ∫ ∫ (x^2+y^2)dxdydz,
其中D是由yoz平面上的曲线y^2=2z绕z轴旋转而成的曲面与平面z=5所围成的闭区域.u8rn1年前1
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damaofang 共回答了16个问题
|采纳率87.5%曲线y^2=2z绕z轴旋转而成的曲面与平面z=5所围成的闭区域 在xoy面的投影是一个半径为根号下10的圆,所以想到化到xoy面做
∫∫∫(x^2+y^2)dxdydz
=∫dz∫∫(x^2+y^2)dxdydz
=∫∫y^2/2(x^2+y^2)dxdydz
再用极坐标.
不好打啊.
用极坐标后就很好做了,加油啊!1年前查看全部
- 求∭〖√(X^2+Y^2 ) dXdYdZ〗 其中积分区域 X^2+Y^2≤z^2,z≤1
求∭〖√(X^2+Y^2 ) dXdYdZ〗 其中积分区域 X^2+Y^2≤z^2,z≤1
求∭〖√(X^2+Y^2 ) dXdYdZ〗 其中 X^2+Y^2≤z^2,z≤1hannhann1年前1
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xiandaohl 共回答了22个问题
|采纳率81.8%令x=rsinθ,y=rcosθ,则原积分化为∫dθ∫dr∫r·rdz,其中三个积分的上下界分别为[0,2π],[0,1],[r,1].
所以答案是2π·(1/3-1/4)=π/6.1年前查看全部
- 三重积分计算∫∫∫(ycos(x+z))dxdydz,Ω由y=√x,y=0,z=0,x+z=π/2围成
fdsfdsfsdfd1年前0
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共回答了个问题
|采纳率
- 求∫∫∫[1/(x^2+y^2+1)]dxdydz,其中D由锥面x^2+y^2=z^2及平面z=1所围成的闭区域.
因为没有分享1年前1
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辛灾乐祸 共回答了15个问题
|采纳率66.7%柱坐标,z的变化范围是√(x²+y²)1] rz/(r²+1) |[r---->1] dr
=2π∫[0--->1] r(1-r)/(r²+1) dr
=2π∫[0--->1] (r-r²)/(r²+1) dr
=2π∫[0--->1] (r-r²-1+1)/(r²+1) dr
=2π∫[0--->1] r/(r²+1) dr-2π∫[0--->1] 1 dr+2π∫[0--->1] 1/(r²+1) dr
=π∫[0--->1] 1/(r²+1) d(r²)-2π+2πarctanr
=πln(r²+1)-2π+2πarctanr |[0--->1]
=πln2-2π+π²/21年前查看全部
- 一个三重积分问题.计算:∫∫∫[1/(1+x+y+z)³]dxdydz积分区域Ω是由四个平面:x=0、y=0、z
一个三重积分问题.
计算:
∫∫∫[1/(1+x+y+z)³]dxdydz
积分区域Ω是由四个平面:x=0、y=0、z=0和x+y+z=1围成的.olcs10fiv2ee31年前1
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幸福佑你 共回答了13个问题
|采纳率92.3%被积区域是01年前查看全部
- 请问关于热力学的一个公式在文献中 看到单位时间内微元体热力学能增量=对(ρct)求t的偏导乘以dxdydz这里面的ρct
请问关于热力学的一个公式
在文献中 看到单位时间内微元体热力学能增量=对(ρct)求t的偏导乘以dxdydz
这里面的ρct是代表什么?ρ是物质的密度 c是比热 t是温度爱上猪的兔子1年前1
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smilehuihui 共回答了11个问题
|采纳率100%c的单位是J/(kg·℃),乘以t的单位℃,再乘以ρ的单位kg/m³,就是J/m³.
这你就明白了……1年前查看全部
- 关于高等数学三重积分的问题高数三重积分那一章我有一个题总是不懂:计算三重积分∫∫∫(Z的平方)dxdydz,其中⊙是由椭
关于高等数学三重积分的问题
高数三重积分那一章我有一个题总是不懂:
计算三重积分∫∫∫(Z的平方)dxdydz,其中⊙是由椭球体x2/a2+y2/b2+z2/c2=1所围的空间区域.
书本上关于∫∫dxdy=πab(1-z2/c2) 我不知道是怎么得到的?
看了好多资料 我终于懂了.只怪我没有好好看概念降尘1年前1
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小民啊哥 共回答了22个问题
|采纳率95.5%书本上关于∫∫dxdy=πab(1-z2/c2) 我不知道是怎么得到的?
上课没好好听!
很简单,1的二重积分是面积,椭圆的面积是πab.
在相应截面上的面积是πab(1-z2/c2)
晕啊 你给分就结束了1年前查看全部
- 三重积分∫∫∫(x^2+y^2)dxdydz,其中V为x^2+y^2=2z与z=2,z=8所围区域
三重积分∫∫∫(x^2+y^2)dxdydz,其中V为x^2+y^2=2z与z=2,z=8所围区域
原式 = ∫(2-8)dz ∫ (0- 2Pi) dθ ∫ (0-根号下2z)r^2*r dr 也就是先定z范围,再定x,y.
可是算出来不是336Pi,求解答.温柔的狼291年前1
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relaxbee 共回答了25个问题
|采纳率96%原式=∫(2-8)dz∫(0-2π)dθ∫(0-√2z)r^2*rdr
=∫(2-8)dz∫(0-2π)dθ∫(0-√2z)r^3dr
=1/4∫(2-8)dz∫(0-2π)dθr^4|(0-√2z) dθ
=1/4∫(2-8)dz∫(0-2π)4z^2 dθ
=∫(2-8) θ| (0-2π) z^2 dz
=∫(2-8) 2πz^2 dz
=1/3* 2πz^3|(2-8)
=1/3* 2π*504
=336π1年前查看全部
- 计算三重积分(x^2+ay^2+bz^2)dxdydz,其中Ω是球体x^2+y^2+z^2
phb0_01年前1
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lys133525 共回答了16个问题
|采纳率93.8%原式=∫dθ∫sinφdφ∫[(r*sinφcosθ)²+a(r*sinφsinθ)²+b(r*cosφ)²]r²dr
(作球面坐标变换)
=∫dθ∫sinφdφ∫[(sinφcosθ)²+a(sinφsinθ)²+b(cosφ)²]r^4dr
=(R^5/5)∫dθ∫[(sinφcosθ)²+a(sinφsinθ)²+b(cosφ)²]sinφdφ
=(-R^5/5)∫dθ∫[(cos²θ+asin²θ)(1-cos²φ)+bcos²φ]d(cosφ)
=(2R^5/15)∫(2cos²θ+2asin²θ+b)dθ
=(2R^5/15)∫[1+a+b+(1-a)cos(2θ)]dθ (应用倍角公式)
=(2R^5/15)[2π(1+a+b)]
=4π(1+a+b)R^5/15.1年前查看全部
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