曲面积分!求抛物面壳z=(x²+y²)/2(0≦z≦1)的质量,此壳的面密度为u=z!
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zl8808 共回答了14个问题
|采纳率92.9%- 抛物面满足z'x=x,z'y=y
dS=√[1+(z'x)^2+(z'y)^2] dxdy=√(1+x^2+y^2) dxdy
质量
m=∫∫udS=∫∫zdS=(1/2)∫∫(x^2+y^2)√(1+x^2+y^2) dxdy
=(1/2)∫∫r^2√(1+r^2) rdrdθ
=(1/4)∫(0->2π)dθ ∫(0->√2) r^2√(1+r^2)d(r^2)
=(1/4)∫(0->2π)dθ ∫(0->2) t√(1+t)dt
=(50√5+2)π/15
那个∫(0->2) t√(1+t)dt,换元,令t=(tanu)^2即可. - 1年前
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∴αz/αx=-1,αz/αy=0
==>ds=√[1+(αz/αx)²+(αz/αy)²]dxdy=√2dxdy
故原式=∫∫(x+y+2-x)√2dxdy
=√2∫∫(y+2)dxdy
=√2∫dθ∫(rsinθ+2)rdr
=√2∫dθ∫(r²sinθ+2r)dr
=√2∫(8sinθ/3+4)dθ
=√2(4*2π-0)
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李逢浪 共回答了19个问题
|采纳率84.2%加我口口吧:1194567058
把这些弄懂确实很有必要,我把我知道的告诉你.
二重积分是求体积的
三重积分是求立体的质量的
第一类曲线积分是求弧线质量的
第二类曲线积分是求功的
第一类曲面积分是求面质量的
第二类曲面积分是求面的流量的
至于关系,重积分是总称,曲面积分和曲线积分可以说都是重积分的是应用,确切的说是二、三重积分的应用,而曲线积分、曲面积分是并列的,它们各自的领域都属于重积分
在物理上估计它们还会有别应用,这些只是一些方面,希望对你有所帮住 哥们儿把这问题关了吧1年前查看全部
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|采纳率89.5%面积 = ∫∫dS = ∫∫√[1+(z'x)²+(z'y)²]dxdy
第二个是二重积分,z = f(x,y)是围成立体的上下两个面,就是躺着的圆柱体表面x² + z² = R²的一部分,且在xOy平面上的投影是圆x² + y² = R²
则(z'x)² = x²/(R²-x²),(z'y)² = 0
面积 = ∫∫R/√(R²-x²) dxdy
= ∫(-R,R)dx∫[-√(R²-x²),√(R²-x²)] R/√(R²-x²) dy
= ∫(-R,R) R/√(R²-x²) * 2√(R²-x²) dx
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风飘香散 共回答了21个问题
|采纳率90.5%这题,昨天刚刚答了.
这个不能用高斯定理,因为在这个比区域内,含有积分函数的奇点(0,0,0)
所以分开来求即可.
对于z=R和z=-R两个面∑1和∑2,因为dz=0
而且两个面处,z=R处的投影,是朝上的圆面α. z=-R处的投影,是朝下的圆面-α.
所以∫∫∑1+∑2 (xdydz+z^2dxdy)/(x^2+y^2+z^2)
=∫∫∑1+∑2 (z^2dxdy)/(x^2+y^2+z^2)
=∫∫α (R^2dxdy)/(x^2+y^2+R^2) +∫∫(-α) (R^2dxdy)/(x^2+y^2+R^2)
=∫∫α (R^2dxdy)/(x^2+y^2+R^2) -∫∫α (R^2dxdy)/(x^2+y^2+R^2)
=0
对于圆柱面∑3,因为在xoy面上的投影面积为0,所以dxdy=0
利用柱面的法向量n=(x,y)
所以第一类曲面积分和第一类曲面积分的关系为
dydz=[x/√(x^2+y^2)]dS=(x/R)dS=(x/R)2πRdz=2πxdz
所以∫∫∑3 (xdydz+z^2dxdy)/(x^2+y^2+z^2)
=∫∫∑3 (xdydz)/(x^2+y^2+z^2)
=2π∫ (x^2dz)/(x^2+y^2+z^2)
=2π∫ (x^2dz)/(R^2+z^2)
=π∫ (x^2+y^2)dz/(R^2+z^2)
=π∫(-R->R) R^2dz/(R^2+z^2)
=πR∫(-R->R) d(z/R)/[1+(z/R)^2]
=πRarctan(z/R) |(-R->R)
=πR[π/4-(-π/4)]
=(π^2)R/2
综上,原积分=∫∫∫∑1+∑2+∑3
=(π^2)R/21年前查看全部
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良心xx1年前0
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xxnn271年前1
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无言的骆驼 共回答了25个问题
|采纳率96%对曲面分片讨论即可.
比如说圆心在原点,半径为1的球面.其在第一卦限取外法向量方向定侧,那么投影到xoy;yoz;zox上,它的符号都是正的;
而在第二卦限,当投影到yoz平面上时符号为负,因为外法向量取了与x轴正方向相反的方向.
以此类推,把整个球面按八个卦限分为八块,分别化为八个对坐标的曲面积分计算即可.1年前查看全部
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关于曲面积分的一道选择题,
用了高斯公式之后呢?ehacha1年前1
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Heiditian 共回答了18个问题
|采纳率83.3%高斯定理之后,根据立方体V上,三个变量x,y,z的地位的对等性,对x,y,z的多项式的积分相等,
即∫∫∫6y^5dV=∫∫∫6x^5dV
∫∫∫7z^6dV=∫∫∫7x^6dV
所以原积分=∫∫∫(5x^4+6y^5+7z^6)dV
=∫∫∫(5x^4+6x^5+7x^6)dV
=1x1x∫(0->1) (5x^4+6x^5+7x^6)dx
=31年前查看全部
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请教关于曲面积分的题目
求∫∫(xdydz+z^2dxdy)/(x^2+y^2+z^2),∑是由曲面x^2+y^2=R^2以及两平面z=R,z=-R所围城的立体的外表面.
请问:投影怎么投.是x投影在yoz上,z^2投影在xoy上,还是如何投影呢?
谢谢.
这个题目因为是过平面的,所以如果把图形投影到平面上,应该怎么投影。比如把x^2+y^2投影到yoz平面上是什么?Z=R,和Z=-R投影到xoy平面上又是什么?
谢谢。bombkey1年前2
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yongz_0 共回答了17个问题
|采纳率94.1%应该是可以的,如果你想确定,我可以帮你算一下,用么
知道了~∫∫(xdydz+z^2dxdy)/(x^2+y^2+z^2)=∫∫(xdydz+z^2dxdy)/2R^2 )=2R^2 ∫∫(xdydz+z^2dxdy)=2R^2 ∫∫(xdydz+z^2dxdy)=2R^2 ∫∫∫(x对于x的偏微分+z^2对于z的偏微分)dxdydz=2R^2 ∫∫∫(1+2z)dxdydz
这里用到高斯公式或者转化成柱坐标作业是不错的选择.看不明白可以再问我1年前查看全部
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急急急!
真是爱你玲1年前1
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stpcs 共回答了17个问题
|采纳率94.1%不需要楼上那么麻烦啊,而且楼上也做错了
首先积分曲面关于xoy面对称,对于-2z这个奇函数,积分结果为0.
原式=∫∫(x^2+y^2+z^2)ds
=∫∫1ds
=4π
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=∫∫ads
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=2πa³
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x=a*r*cos t
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代入计算得到
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然后再加上挖掉的这部分
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∵曲面z=2-√(x^2+y^2)位于xoy面上方部分
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http://www.***.com/s?tn=baidu&ie=gb2312&bs=%CE%D2%C3%C7%B3%C6%D6%AE%CE%AA%B8%B4%B1%E4%BA%AF%CA%FD%B5%C4%BB%FD%B7%D6%2C&sr=&z=&cl=3&f=8&wd=%CE%D2%C3%C7%B3%C6%D6%AE%CE%AA%B8%B4%B1%E4%BA%AF%CA%FD%B5%C4%BB%FD%B7%D6&ct=0
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- 计算曲面积分(如图,图中双重积分符号下面少了∑符号)
计算曲面积分(如图,图中双重积分符号下面少了∑符号)
其中f(x,y,z)是连续函数,∑是平面x-y+z=1在第四卦限部分的上侧36959111年前1
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zongdong2002 共回答了25个问题
|采纳率84%利用两种曲面积分的关系,第一步,先都转化成对dxdy的曲面积分:
原式=∫∫(f+x)cosαdS+(2f+y)cosβdS+(f+z)dxdy
=∫∫(f+x)cosα/cosγ*dxdy+(2f+y)cosβ/cosγ*dxdy+(f+z)dxdy★
因为∑是平面x-y+z=1在第四卦限部分的上侧,所以可以求出cosα=cosγ=1/√3,cosβ= - 1/√3.
代入★中得到原式=∫∫[(f+x)-(2f+y)+(f+z)] dxdy
=∫∫dxdy▲=曲面∑的面积.
或者,第二步,再把▲化成二重积分:
记Dxy是平面x-y+z=1在xoy坐标面上的投影,
则原式=∫∫dxdy=∫∫(Dxy)dxdy=Dxy的面积=0.5.1年前查看全部
- 为什么曲面积分∫∫∑x^2dS=∫∫∑y^2dS=∫∫∑z^2)dS.∑为x^2+y^2+z^2=2(x+y+z)
银白温度1年前1
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泥泞留痕2 共回答了23个问题
|采纳率82.6%对于重积分,第一型曲线和曲面积分,利用轮换对称性会大大简化积分的计算,这是一个重要的技巧,应该掌握,有不明白的地方欢迎追问.1年前查看全部
- 求曲面积分∫∫1/(b-z)ds,其中Σ为球面x^2+y^2+z^2=a^2,b>a>0
幻望1年前0
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共回答了个问题
|采纳率
- 计算曲面积分∫∫D x²yzds,其中区域D是球面x²+y²+z²=4在x≥0,y≥0,z≥0的部分
计算曲面积分∫∫D x²yzds,其中区域D是球面x²+y²+z²=4在x≥0,y≥0,z≥0的部分
wsmb060c1年前2
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liu816 共回答了25个问题
|采纳率100%把球面参数化
x=2sinucosv
y=2sinusinv
z=2cosu
|J|=2^2*sinv=4sinv
01年前查看全部
- 1、曲面积分 表示的是( ) 求解释
orange_nono1年前1
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shaenliming12 共回答了18个问题
|采纳率94.4%选B,其实我感觉B也不太严谨,还可能差个正负号呢.1年前查看全部
- 第二类曲面积分的一个疑惑 把对坐标的曲面积分∫∫∑pdydz qdzdz+rdxdy化为对面积的曲面积分,其中∑为平面x
第二类曲面积分的一个疑惑
把对坐标的曲面积分∫∫∑pdydz qdzdz+rdxdy化为对面积的曲面积分,其中∑为平面x+2y+(√2)z=2在第一卦限部分的上侧
我把∑化作z=z(x,y)形式 得n={-√2/2,-√2,1} 对么?如果对的话就和答案有出入了.
∫∫∑(P+2Q+√2R)/√7 dS
我觉得不对mm_却是多彩1年前2
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landd 共回答了17个问题
|采纳率94.1%()中为下标
你把∑化作z=z(x,y)形式,再求法向量当然也可以,但要注意n={-z(x),-z(y),1}
而不是={z(x),z(y),1}
所以按你的方法求得的法向量应该是n={√2/2,√2,1},为了求余弦方向向量,再单位化即可.最后结果也是∫∫∑(P+2Q+√2R)/√7 dS1年前查看全部
- 第一类曲面积分与地二类曲面积分关于这两类积分 如你所说 第一类是关于标量函数的积分第二类是关于向量函数的积分 是不是可以
第一类曲面积分与地二类曲面积分
关于这两类积分 如你所说 第一类是关于标量函数的积分第二类是关于向量函数的积分 是不是可以理解为第二类就是多了一个方向,两类曲面积分仅仅是物理意义上的区别 本质上 是否是相同的?fofolow1年前1
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老板的下属 共回答了18个问题
|采纳率83.3%两种曲面积分可以很容易通过“曲面在某点处的切平面的法向量进行转化”.比如将第一类转化为第二类ds=dxˆdy/cosγ>0(其中cosγ就是方向余弦,也就是切平面的法向量).第一类面积元素总是为正,而第二类则有正负选择,要说它们有否本质区别大概就是这个区别了,再一个就是物理和几何应用上的区别.1年前查看全部
- 曲面积分和曲线积分是高等数学哪部分内容?
1028531年前7
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caniggia0621 共回答了18个问题
|采纳率100%是利用多元函数和重积分为基础,用格林公式、高斯公式进行计算的.自成一章,在同济大学数学教研室主编的第四版里是第十章.1年前查看全部
- 证明:曲面积分∫L xln(x^2+y^2-1) dx+yln(x^2+y^2-1)dy在区域x^2+y^2>1内与路径
证明:曲面积分∫L xln(x^2+y^2-1) dx+yln(x^2+y^2-1)dy在区域x^2+y^2>1内与路径无关.
youkeyuan1年前1
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cuzuka 共回答了21个问题
|采纳率85.7%令P = xln(x² + y² - 1)、Q = yln(x² + y² - 1)
∂P/∂y = 2xy/(x² + y² - 1)
∂Q/∂x = 2xy/(x² + y² - 1)
∵∂P/∂y = ∂Q/∂x
∴这个曲线积分的值与x² + y² > 1内的路径无关.1年前查看全部
- 高数问题,求讲解一下曲面积分的取正负的情况。
高数问题,求讲解一下曲面积分的取正负的情况。
关于曲面积分,如果题目告诉你是取曲面的正面,右面,前面,那该曲面积分是一定为正吗?还是要通过判断该曲面的法向量与坐标轴的夹角的正负来判断呢?
uknd1年前1
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saite1982 共回答了20个问题
|采纳率95%曲面积分有两种,一种是被积函数为标量函数,那么无所谓正反。另一种被积函数为矢量函数,那么就要函数点乘曲面的法向量。
来源:
http://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%9B%B2%E9%9D%A2%E7%A7%AF%E5%88%861年前查看全部
- 曲面积分∫∫xdydz+y^2dzdy+zdxdy,Σ为平面上x+y+z=1被坐标平面所截的三角形的上侧;求曲面积分
g_hai1年前1
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tengyu1984 共回答了20个问题
|采纳率95%求曲面积分∫∫ xdydz + y^2dzdx + zdxdy,其中Σ为平面上x + y + z = 1被坐标平面所截的三角形的上侧.
补面:
Σ1:x = 0,后侧
Σ2:y = 0,左侧
Σ3:z = 0,下侧
∫∫(Σ+Σ1+Σ2+Σ3) xdydz + y^2dzdy + zdxdy
= ∫∫∫Ω (1 + 2y + 1) dV
= 2∫∫∫Ω (1 + y) dV
= 2∫(0→1) dx ∫(0→1 - x) dy ∫(0→1 - x - y) (1 + y) dz
= 5/12
∫∫Σ1 xdydz + y^2dzdy + zdxdy = 0
∫∫Σ2 xdydz + y^2dzdy + zdxdy = 0
∫∫Σ3 xdydz + y^2dzdy + zdxdy = 0
于是∫∫Σ xdydz + y^2dzdy + zdxdy = 5/12
用原本方法解出:(技巧性的做法,这样才能看出你对曲面积分有多么的了解)
求曲面积分∫∫ xdydz + y^2dzdx + zdxdy,其中Σ为平面上x + y + z = 1被坐标平面所截的三角形的上侧.
∫∫Σ xdydz + y^2dzdx + zdxdy = ∫∫Σ x dydz + ∫∫Σ y^2 dzdx + ∫∫Σ z dxdy
在yz面、∫∫Σ x dydz、x = 1 - y - z、取前侧
= ∫∫D (1 - y - z) dydz、y + z = 1与yz坐标面围成的面积
= ∫(0→1) dy ∫(0→1 - y) (1 - y - z) dz
= 1/6
在zx面、∫∫Σ y^2 dzdx、y = 1 - z - x、取右侧
= ∫∫D (1 - z - x)^2 dzdx
= ∫∫D (z^2 + x^2 + 2zx - 2z - 2x + 1) dzdx
= ∫(0→1) dx ∫(0→1 - x) (z^2 + x^2 + 2zx - 2z - 2x + 1) dz
= 1/12
在xy面、∫∫ z dxdy、z = 1 - x - y、取上侧
= ∫∫D (1 - x - y) dxdy
= ∫(0→1) dx ∫(0→1 - x) (1 - x - y) dy
= 1/6
于是∫∫Σ xdydz + y^2dzdx + zdxdy = 1/6 + 1/12 + 1/6 = 5/121年前查看全部
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88yumiao881年前0
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共回答了个问题
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