费马原理

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德布罗意和薛定谔根据光学中的费马原理与经典力学中的莫泊原理的相似,从光具有波粒二象性而类推出物质粒子也具有波粒二象性,建立了波动力学。作为研究光线的反射和折射的结果，费尔马曾得出这样的结论：“自然界总是通过最短的途径发生作用的。”此后，莫培督在其1744年的一片著名论文中宣布了一个原理，他称之为“最小作用量原理。”他用这样几句话说明了这个原理：“自然界总是通过最简单的方法产生起作用的。如果一个物体必须没有任何阻碍地从这一点到另一点——自然界就利用最短的途径和最快的速度来引导它。”（原先也一直不能并存的自然界各种规律现在就一致起来了。《科学院的报告》，1744年4月15日，第421页）简单地说这意味着任何不受影响的动力学系统在发生变化时，其变化方式总是使有关的作用量为最小。在对物理实在（现象）的观察中，科学家们相信，对于不同的观察者物理实在可以不同，但其物理实在的结构（规律）必定是相同的。物理学中描述物理实在结构的方法之一就是作用量方法。这种方法从功能角度去考察和比较客体一切可能的运动（经历），认为客体的实际运动（经历）可以由作用量求极值得出，是其中作用量最小的那个。这个原理称为最小作用量原理。动力学中的一个变分原理。由保守系统的动力方程可以导出这个原理，也可自这原理导出动力方程。这原理可表述为：对于定常保守系统,作用量Tdt的积分的全变分为零。

费马原理对折射定律的证明 假设光从介质n_1入射到介质n_2.在两个介质的交界面上取一条直线u481c为x轴,法线为y轴,建立直角坐标系u3020在入射光线上任取一点A(x_1,y_1),光线与两介质交界面的交点为B(x,0),在折射光线上任取一点C(x_2,y_2).AB之间的距离为sqrt,BC之间的距离为sqrt.由费马原理可知,光从A点经过B点到辠C点,所用的时间t 应该是最短的.t=left(frac ight)(ABn_1+BCn_2),t 取最小值的条件是frac=0.经整理得 frac = frac,sin heta_1 = frac 且 sin heta_2 = frac 即 n_1sin heta_1 = n_2sin heta_2 (Snell"s law)

马吕斯定律

根据费马原理可证明，也可从光的波动观点出发借助于惠更斯原理（见惠更斯-菲涅耳原理）从几何上加以证明，或从电磁场的边界条件出发从理论上证明。假设是在均匀介质中，只有反射光线在入射光线和法线的平面内才可能按照最小光程传播，因为任何反射光线路径都不小于在此平面内的投影。反射线跟入射线和法线在同一平面内。反射线和入射线分居法线两侧，并且与界面法线的夹角（分别叫做入射角和反射角）相等。反射角等于入射角。扩展资料：光反射时，反射光线、入射光线、法线都在同一平面内。（同一平面内）光反射时，反射光线、入射光线分居法线两侧。（居两侧）光反射时，反射角等于入射角。（角相等）（∠r=∠i）平行光经界面反射后向各个不同的方向反射出去，即在各个不同的方向都能接收到反射光线。光从一种均匀物质射向另一种均匀物质时，会在它们的分界面上改变传播方向。此时，入射光线，反射光线，法线在同一平面内。

反射定理考虑由Q发出经反射面到达P的光线．相对于反射面取P的镜像对称点P"，从Q到P任一可能路径QM"P的长度与QM"P"相等．显然，直线QMP"是其中最短的一根，从而路径QMP长度最短．根据肥马原理，QMP是光线的实际路径．折射定律考虑由Q出发经折射面折射到达P的光线．作QQ"与PP"平行，故而共面，我们称此平面为Ⅱ．考虑从Q经折射面上任一点M"到P的光线QM"P．由M"作垂足Q"、P"联线的垂线M"M，不难看出QM＜QM"，PM＜PM"，既光线QM"P在Ⅱ平面上的投影QMP比QM"P本身的光程更短．可见光程最短的路径应在Ⅱ平面内寻找．假设QQ"＝h1,PP"=h2,Q"P"=P,Q"M=x,则（QMP）＝n1QM+n2MP 既 d(QMP)/dx=n1x/根号（h1*h1+x*+)-n2(p-x)/根号（h2*he+(p-x)*(p-x)由光程的最小条件d(MQP)/dx=0 可得 n1sini1=n2sini2

费马原理有点变分的意思了，需要先给定首位的约束。你要先任意取两个点A、B在不同介质中，假设光线从A出发穿过水平的界面到B，可以证明满足费马原理的路径（光程之和最小）是满足斯奈尔定律（入射角反射角关系）证明：假设折射点为C，入射角反射角可以假设i，r。C是满足费马原理的，在C左右变化位置△x，增加的光程是变化位置的函数（只保留同阶小量），同阶小量系数为0（费马原理要求的极值），得到i，r的关系即可。

光程为任意值符合费马原理吗对的这个是完全符合费马原理的目前我们从它的一个原理可以知道这个是符合的光程为任意值符合费马原理

详细过程在这里实在是写不出，其实就是证明光在反射和折射的过程中从一点到另一点所用的时间或走的路程比其他任何路径都要短。反射时，可以作出光源关于反射面的对称点，再将它和反射后经过的任意一点连起来，则这条线段的长度就是光所走的路程，可以用三角形两边之和大于第三边的原理证明光只有在这条线段与反射面之间的交点反射走的路程才最短，而在这点反射时，入射角和出射角是相等的。折射的道理一样，只不过要考虑光速的变化，你可以通过相应地按光在两种介质中的速度比例改变光在一种介质中的路程，再同样地通过几何学推证。也可以模似一个物理过程，比如人先在岸上跑，再跳到水里（速度变小）追船，然后研究水中速度与岸应有的夹角，在这里实在是写不清楚。

费马原理对折射定律的证明假设光从介质n1入射到介质n2。在两个介质的交界面上取一条直线为x轴，法线为y轴，在入射光线上任取一点A(x1, y1)，光线与两介质交界面的交点为B(x, 0)，在折射光线上任取一点C(x2, y2)。折射定律中对费马原理的证明如图所示：

详细过程在这里实在是写不出，其实就是证明光在反射和折射的过程中从一点到另一点所用的时间或走的路程比其他任何路径都要短。反射时，可以作出光源关于反射面的对称点，再将它和反射后经过的任意一点连起来，则这条线段的长度就是光所走的路程，可以用三角形两边之和大于第三边的原理证明光只有在这条线段与反射面之间的交点反射走的路程才最短，而在这点反射时，入射角和出射角是相等的。折射的道理一样，只不过要考虑光速的变化，你可以通过相应地按光在两种介质中的速度比例改变光在一种介质中的路程，再同样地通过几何学推证。也可以模似一个物理过程，比如人先在岸上跑，再跳到水里（速度变小）追船，然后研究水中速度与岸应有的夹角，在这里实在是写不清楚。

运用费马原理证明光在反射和折射的过程中从一点到另一点所用的时间或走的路程比其他任何路径都要短。反射时，可以作出光源关于反射面的对称点，再将它和反射后经过的任意一点连起来，则这条线段的长度就是光所走的路程，可以用三角形两边之和大于第三边的原理证明光只有在这条线段与反射面之间的交点反射走的路程才最短，而在这点反射时，入射角和出射角是相等的。折射的道理一样，只不过要考虑光速的变化，你可以通过相应地按光在两种介质中的速度比例改变光在一种介质中的路程，再同样地通过几何学推证。反射定理考虑由Q发出经反射面到达P的光线．相对于反射面取P的镜像对称点P"，从Q到P任一可能路径QM"P的长度与QM"P"相等．显然，直线QMP"是其中最短的一根，从而路径QMP长度最短．根据肥马原理，QMP是光线的实际路径．折射定律考虑由Q出发经折射面折射到达P的光线．作QQ"与PP"平行，故而共面，我们称此平面为Ⅱ．考虑从Q经折射面上任一点M"到P的光线QM"P．由M"作垂足Q"、P"联线的垂线M"M，不难看出QM＜QM"，PM＜PM"，既光线QM"P在Ⅱ平面上的投影QMP比QM"P本身的光程更短．可见光程最短的路径应在Ⅱ平面内寻找．假设QQ"＝h1,PP"=h2,Q"P"=P,Q"M=x,则（QMP）＝n1QM+n2MP既d(QMP)/dx=n1x/根号（h1*h1+x*+)-n2(p-x)/根号（h2*he+(p-x)*(p-x)由光程的最小条件d(MQP)/dx=0可得n1sini1=n2sini2

费马原理是几何光学中的一条重要原理，由此原理可证明光在均匀介质中传播时遵从的直线传播定律、反射和折射定律，以及傍轴条件下透镜的等光程性等。该原理说，若光线在介质中沿某一路径传播，当光线反向时，必沿同一路径逆向传播。费马原理规定了光线传播的唯一可实现的路径，不论光线正向传播还是逆向传播，必沿同一路径。因而借助于费马原理可说明光的可逆性原理的正确性。光在任意介质中从一点传播到另一点时，沿所需时间最短的路径传播。折射定律（lawofrefraction）或斯涅尔定律（snell"slaw）。折射定律：光线通过两介质的界面折射时,确定入射光线与折射光线传播方向间关系的定律,几何光学基本定律之一。如图,入射光线与通过入射点的界面法线所构成的平面称为入射面,入射光线和折射光线与法线的夹角分别称为入射角和折射角,以θ1和θ2表示。折射定律为:①折射光线在入射面内。②入射角和折射角的正弦之比为一常数,用n21表示,即式中n12称为第二介质对第一介质的相对折射率。

费马原理更正确的称谓应是“平稳时间原理”:光沿着所需时间为 平稳 的路径传播.所谓的平稳是数学上的 微分 概念,可以理解为一阶导数为零,它可以是极大值、极小值甚至是拐点.

费马原理是几何光学中的一条重要原理，由此原理可证明光在均匀介质中传播时遵从的直线传播定律、反射和折射定律，以及傍轴条件下透镜的等光程性等。该原理说，若光线在介质中沿某一路径传播，当光线反向时，必沿同一路径逆向传播 。费马原理规定了光线传播的唯一可实现的路径，不论光线正向传播还是逆向传播，必沿同一路径。因而借助于费马原理可说明光的可逆性原理的正确性。光在任意介质中从一点传播到另一点时，沿所需时间最短的路径传播。折射定律（law of refraction） 或 斯涅尔定律（Snell"s Law）。折射定律：光线通过两介质的界面折射时,确定入射光线与折射光线传播方向间关系的定律,几何光学基本定律之一。如图,入射光线与通过入射点的界面法线所构成的平面称为入射面,入射光线和折射光线与法线的夹角分别称为入射角和折射角,以θ1和θ2表示。折射定律为:①折射光线在入射面内。②入射角和折射角的正弦之比为一常数,用n21表示,即式中n12称为第二介质对第一介质的相对折射率。

费马原理：光传播的实际路径是使光程取极值（极小值、极大值或稳定值）。费马原理是几何光学中的一条重要原理，由此原理可证明光在均匀介质中传播时遵从的直线传播定律、反射和折射定律，以及傍轴条件下透镜的等光程性等。

如何用费马原理证明光的反射定律的回答如下：1、方法：1）首先是假设是在均匀介质中，只有反射光线在入射光线和法线的平面内才可能按照最小光程传播,因为任何反射光线路径都不小于它在此平面内的投影.2）可以第二步是设入射光线和反射光线分别过A、B点,在反射面同侧,作C点与A点沿反射面对称,连接BC交反射面于D点,易证AD=CD,然后由于两点之间直线最短,可以知道ACB是最短光程路线,而且符合反射定律，这样即可证明。2、相关内容：费马原理最早由法国科学家皮埃尔·德·费马在1662年提出：光传播的路径是光程取极值的路径。这个极值可能是最大值、最小值，甚至是函数的拐点。最初提出时，又名“最短时间原理”：光线传播的路径是需时最少的路径。费马原理更正确的称谓应是“平稳时间原理”：光沿着所需时间为平稳的路径传播。所谓的平稳是数学上的微分概念，可以理解为一阶导数为零，它可以是极大值、极小值甚至是拐点，费马原理可以证明光的反射原理。3、英文表示：Fermat principle

光在任意介质中从一点传播到另一点时，沿所需时间最短的路径传播。　　又称最小时间原理或费马原理，法国数学家费马于1657年首先提出。路径积分　　是量子力学的基本原理，费马原理是路径积分的一个推论。

费马原理（Fermat"s principle）最早由法国科学家皮埃尔·德·费马在1662年提出：光传播的路径是光程取极值的路径。这个极值可能是极大值、极小值，甚至是函数的拐点。 最初提出时，又名“最短时间原理”：光线传播的路径是需时最少的路径。费马原理更正确的称谓应是“平稳时间原理”：光沿着所需时间为平稳的路径传播。所谓的平稳是数学上的微分概念，可以理解为一阶导数为零，它可以是极大值、极小值甚至是拐点。

不矛盾啊光干涉之前都是有色散的如果造出理论中才有的单线条光线的话,是不会有干涉的

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n=const -- n 等于常数。谈折射时，n 表示折射率。谈“费马最后的定理”时，n 表示方程的指数：X^n + Y^n = Z^n 当 n 大于 2 时，这个方程没有任何整数解

看不懂```

费马定理的定义是光总是走光程极值路线，一般都是极小值。对于光从A到B点的反射来说，如果反射点为C，光线走过的实际路线必然是使得ACB最短的路线，也就是入射角等于折射角，入射光线和反射光线对称的路线，即为折射定律。

希望详细点介绍费马原理的发展历程，即费马原理是在什么情况下发展起来的，人们为什么要总结出这个原理，这个原理有什么用处？在我们的实际生活又有什么用？希望举例具体些。我所问的费马原理是光沿极值路径的传播

地震学中的费马原理：地震波沿射线传播的旅行时和沿其他路径传播的旅行时相比为最小，亦是波沿旅行时最小的路径传播。　　光学中的费马原理：光线在两点间的实际路径是使所需的传播时间为极值的路径。在大部分情况下，此极值为最小值，但有时为最大值，有时为恒定值。　　费马原理对折射定律的证明 　　假设光从介质n_1入射到介质n_2。在两个介质的交界面上取一条直线为x轴，法线为y轴，建立直角坐标系;在入射光线上任取一点A(x_1, y_1)，光线与两介质交界面的交点为B(x, 0)，在折射光线上任取一点C(x_2, y_2)。 AB之间的距离为sqrt, BC之间的距离为sqrt。 由费马原理可知，光从A点经过B点到C点，所用的时间t 应该是最短的。t=left(frac ight)(ABn_1+BCn_2), t 取最小值的条件是frac=0。 经整理得 frac = frac, sin heta_1 = frac 且 sin heta_2 = frac 即 n_1sin heta_1 = n_2sin heta_2 (Snell"s law) 。在高中我们学了光在不同介质中发生折射，关于光在不同介质中发生折射，它们产生的入射角和反射角可以用数学方程，实际上费马原理指出，光线在A,B两点之间的传播距离的实际路径，与其他可能的邻近的路程相比，其光程为极值。

光在介质中沿着光程为极值的路径传播,反射是按最小光程路径传播,（因为没有极大值） 假设是在均匀介质中 首先只有反射光线在入射光线和法线的平面内才可能按照最小光程传播,因为任何反射光线路径都不小于它在此平面内的投影. 然后可以设入射光线和反射光线分别过A、B点,在反射面同侧,作C点与A点沿反射面对称,连接BC交反射面于D点,易证AD=CD,然后由于两点之间直线最短,可以知道ACB是最短光程路线,而且符合反射定律

从你的问题上来看，你应该问的是光学中的费马原理。最简单的回答是，这只是用数学手段写出来的的折反射定律而以。从数学上来说，不管是什么样的物理理论（比如这里是折反射定律），只要它是决定论的，从数学角度就可以定义一个量，这个量与粒子走过的路径（假设粒子可以可以走任意路径）有关，真实的粒子运动将使这个量取极值（不一定是最小值），这个可以称为广义的费马原理。而对于光的传播来说，这个量对应的就是时间。至于折反射定律的正确性，完全是由实验验证的。当然从理论角度上来说，也可以归结为光的电磁波本质。总结一下的话，从理论角度来说麦克斯韦方程组对应光的传播所需要的拉氏量（就是上面提到的量）就是时间。而另一个角度，实际上是更强的角度是，实验结果就是如此。

费马原理有点变分的意思了，需要先给定首位的约束。你要先任意取两个点A、B在不同介质中，假设光线从A出发穿过水平的界面到B，可以证明满足费马原理的路径（光程之和最小）是满足斯奈尔定律（入射角反射角关系）证明：假设折射点为C，入射角反射角可以假设i，r。C是满足费马原理的，在C左右变化位置△x，增加的光程是变化位置的函数（只保留同阶小量），同阶小量系数为0（费马原理要求的极值），得到i，r的关系即可。

运用费马原理证明光在反射和折射的过程中从一点到另一点所用的时间或走的路程比其他任何路径都要短。反射时，可以作出光源关于反射面的对称点，再将它和反射后经过的任意一点连起来，则这条线段的长度就是光所走的路程，可以用三角形两边之和大于第三边的原理证明光只有在这条线段与反射面之间的交点反射走的路程才最短，而在这点反射时，入射角和出射角是相等的。折射的道理一样，只不过要考虑光速的变化，你可以通过相应地按光在两种介质中的速度比例改变光在一种介质中的路程，再同样地通过几何学推证。反射定理考虑由Q发出经反射面到达P的光线．相对于反射面取P的镜像对称点P"，从Q到P任一可能路径QM"P的长度与QM"P"相等．显然，直线QMP"是其中最短的一根，从而路径QMP长度最短．根据肥马原理，QMP是光线的实际路径．折射定律考虑由Q出发经折射面折射到达P的光线．作QQ"与PP"平行，故而共面，我们称此平面为Ⅱ．考虑从Q经折射面上任一点M"到P的光线QM"P．由M"作垂足Q"、P"联线的垂线M"M，不难看出QM＜QM"，PM＜PM"，既光线QM"P在Ⅱ平面上的投影QMP比QM"P本身的光程更短．可见光程最短的路径应在Ⅱ平面内寻找．假设QQ"＝h1,PP"=h2,Q"P"=P,Q"M=x,则（QMP）＝n1QM+n2MP既 d(QMP)/dx=n1x/根号（h1*h1+x*+)-n2(p-x)/根号（h2*he+(p-x)*(p-x)由光程的最小条件d(MQP)/dx=0 可得 n1sini1=n2sini2

费马把连续的非均匀介质分割成许多薄层，在每一层光速近似不变，通过从一个薄层到下一个薄层逐次应用他的原理，再将薄层厚度趋于零，费马得到了普遍的几何光学的费马原理：在非均匀介质中，光线在两点间传播要沿着连接该两点的一切路径中费时最少的一条路径前进。

地震波在介质中的两个任意点A和C之间传播时间以沿射线路径的时间为最小，这称为费马原理。根据费马原理可以求得射线方程。这些点之间波的旅行时间由下述曲线积分确定地震勘探其中ds为弧元。波沿射线的旅行时间为最小的条件是地震勘探其中δt是在路径AC上的时间变分。用变分计算法可求变分方程(2-5)的解，这需要求解欧拉微分方程。借助于欧拉方程可求得射线族方程，借助于方程(2-5)也能够确定沿射线的旅行时间。

光在任意介质中从一点传播到另一点时，沿所需时间最短的路径传播。又称最小时间原理或费马原理，法国数学家费马于1657年首先提出。路径积分是量子力学的基本原理，费马原理是路径积分的一个推论。

光在任意介质中从一点传播到另一点时，沿所需时间最短的路径传播。又称最小时间原理或极短光程原理，法国数学家费马于1657年首先提出。设介质折射率n在空间作连续变化，光传播路程ds所需时间为式中c为真空中的光速。光沿ACB曲线从A点传播到B点所需时间为费马原理指出了光传播的实际路径，这是一条所需时间τ为极小值的路径。实际上τ除取极小值外，还可取极大值或稳定值，总之，τ应取极值。光在介质中传播时，光传播的几何路程与介质折射率之乘积称为光程。上式中的积分就是光沿 ACB曲线从A点传到B点的总光程。故费马原理也可表述为：光传播的实际路径是使光程取极值（极小值、极大值或稳定值）。光程取极值的条件为光程的一阶变分等于零，即此即费马原理的数学表达式。费马原理是几何光学中的一条重要原理，由此原理可证明光在均匀介质中传播时遵从的直线传播定律、反射和折射定律，以及傍轴条件下透镜的等光程性等。光的可逆性原理是几何光学中的一条普遍原理，该原理说，若光线在介质中沿某一路径传播，当光线反向时，必沿同一路径逆向传播 。费马原理规定了光线传播的唯一可实现的路径，不论光线正向传播还是逆向传播，必沿同一路径。因而借助于费马原理可说明光的可逆性原理的正确性。

费马，法国律师和业余数学家。他在数学上的成就不比职业数学家差，他似乎对数论最有兴趣，亦对物理有所贡献。天才就是这么朴实无华且枯燥！一、费马原理的表述费马原理物理表述：费马原理是这么说的：过空间中两定点的光，实际路径总是光程平稳值的路径。费马原理数学表述：路径积分是路径l（r）的函数，这在数学上被称为泛函。泛函的平稳值要求其“一阶变分为零”，即它是变分方程，目的是求出平稳值路径。费马原理的数学表达式就是它。这里的是δ变分算符。二、什么是路径积分、泛函、变分路径积分假设光线从Q点出发，到达P点，有n条路径；每一条路径都有对应的函数表示。每条路有多长呢？这时候就用路径积分来计算（下图只画了三条，其他未画出）泛函路径积分在计算每一条路径长度时，每条路径积分函数都对应一个数值（路径长度）：这类似于数学定义函数说的变量y和自变量x的一一对应关系；泛函就是：“变量”数值和“自变量”函数的一一对应关系。简单说下，泛函是将函数空间（无限维空间）映射到数域。变分理解了泛函，那么变分就很简单了，对泛函求微分，我们用新的名词叫做变分。三、平稳值中的极大值、极小值、常数不矛盾吗？其实当我们把泛函（整个函数空间）全部表示在图像中的时候，得到的图像类似于马鞍图（见下图）当光线在某介质中传播时，该介质以及边界条件的限制，导致泛函只能显示出一部分；（平面可以看成限制条件，平面与马鞍面相交的黄线可以认为是光线在某介质中传播时泛函）极大值（黄线对应的泛函求变分等于零可得极大值）极小值（黄线对应的泛函求变分等于零可得极小值）常数（黄线对应的泛函求变分等于零可得常数）四、能找出具体的例子吗？此时不得不请出我们最特殊的光学器件——椭球镜；我们知道椭圆上任意一点到两个焦点距离之和都相等。

费马大定理证明过程原命题：Xn+Yn=Zn（其中X、Y、Z都是非零数）当n为大于2的正整数时X、Y、Z，不可能都是正整数。证明步骤如下：我们只要证明当n为大于2的正整数时，X、Y、Z，不可能都是非零的有理数，原命题自然成立。对于Xn+Yn=Zn来说如果等式二边无论如何都找不到有理对应关系，那么他们还有理数解吗？我们知道等式二边所有对应关系可列成下面三种情况。1、Xn+Yn=Zn2、Xn=Zn－Yn　　　　3、Yn=Zn－Xn　分析第一种情况　　　Xn+　Yn=Zn当n等于3时，X3+　Y3=Z3一方面由于等式左边y不管取何非零值，都只能分解成关于X的二个有理因式，即：X3+　Y3＝（X+　Y）（X2+XY+　Y2）另一方面，如果存在有理数解则X与Z之间必可通过有理置换，如：Z=X+某数形式即：等式右边Z3＝（X+某数）（X+某数）（X+某数）三个因式这样，等式一边永远无法变成X三个有理因式，等式另一边总是可以变成X三个有理因式，因此出现了矛盾。分析第二种情况　　Xn=Zn－Yn　　当n等于3时　　X3=Z3－Y3　一方面由于等式右边Y不管取何非零值，都只能分解成关于Z的二个有理因式，即：右边Z3－Y3　＝（Z－Y）（Z2+ZY+Y2　）二个有理因式另一方面，如果存在有理数解则Z与X之间必可通过有理置换，如：X=Z-有理数等式左边X3=（Z-有理数）（Z-有理数）（Z-有理数）三个因式这样，等式一边永远无法变成Z三个有理因式，等式另一边总是可以变成Z的三个有理因式，因此出现了矛盾。第三种情况和第二种情况是相似的。也就是说X、Y、Z为非零数时，所有的排列，都找不到等式二边会有理对应关系，因此当n等于3时X、Y、Z不可能都是有理数，更谈不上是整数。当n＝4时则Xn+Yn=Zn变成X4+Y4=Z4所有的排列有下面3种：1、X4+　Y4=Z4　　　2、　X4=Z4－Y4　3、　　Y4=Z4－X4　分析第一种情况，1、X4+　Y4=Z4　　　一方面由于等式左边y不管取何非零值，都只能分解成关于X的一个有理因式，另一方面，如果存在有理数解则X与Z之间必可通过有理置换，如Z=X+有理数等式右边Z4＝（X+有理数）（X+有理数）（X+有理数）（X+有理数）四个有理因式。这样，等式一边永远无法变成X四个有理因式，等式另一边总是可以变成X四个有理因式，因此出现了矛盾。分析第二种情况，2、X4=Z4－Y4　一方面由于等式右边Y不管取何非零值，都只能分解成关于Z的三个有理因式即：Z4－Y4　＝（Z-Y）（Z+Y）（Z2+Y2）　另一方面，如果存在有理数解则Z与X之间必可通过有理置换如：X=Z-有理数等式左边X4=（Z-有理数）（Z-有理数）（Z-有理数）（Z-有理数）四个有理因式这样，等式一边永远无法变成Z四个有理因式，等式另一边总是可以变成Z的四个有理因式，因此出现了矛盾。由此法不难类推，当n等于其他大于2的整数时，等于二边也无法有有理对应关系。所以费马的结论是对的。

物理中的费马原理是一条光学原理，它的表述如下：首先是光程的概念：[L]=nL,其中n为介质的折射率，l为光在介质中的实际路程。费马原理说的是光线总是沿着光程最平缓的路径传播，即对〔L]的变分为0。平时我们常常简单地表述为光程是最短的，有时说光走的时间最短。费马原理是对光沿直线传播，光的反射和折射定律的总结。即，我们可以由费马原理导出光的直线传播及反射和折射定律。补充一下：上述的光程最短，以及时间最短，都是不完整的表述，但这是费马本人原来的表述，它不是十分准确的。

费马大定理，又被称为“费马最后的定理”，由17世纪法国数学家皮耶·德·费马提出。他断言当整数n >2时，关于x, y, z的方程 x^n + y^n = z^n 没有正整数解。德国人沃尔夫斯凯尔曾宣布以10万马克作为奖金奖给在他逝世后一百年内，第一个证明该定理的人，吸引了不少人尝试并递交他们的“证明”。费马大定理被提出后，经历多人猜想辩证，历经三百多年的历史，最终在1995年，英国数学家安德鲁·怀尔斯宣布自己证明了费马大定理。费马大定理与黎曼猜想已经成为广义相对论和量子力学融合的m理论几何拓扑载体。

光在任意介质中从一点传播到另一点时，沿所需时间最短的路径传播。又称最小时间原理或极短光程原理，法国数学家费马于1657年首先提出。设介质折射率n在空间作连续变化，光传播路程ds所需时间为式中c为真空中的光速。光沿ACB曲线从A点传播到B点所需时间为费马原理指出了光传播的实际路径，这是一条所需时间τ为极小值的路径。实际上τ除取极小值外，还可取极大值或稳定值，总之，τ应取极值。光在介质中传播时，光传播的几何路程与介质折射率之乘积称为光程。上式中的积分就是光沿 ACB曲线从A点传到B点的总光程。故费马原理也可表述为：光传播的实际路径是使光程取极值（极小值、极大值或稳定值）。光程取极值的条件为光程的一阶变分等于零，即此即费马原理的数学表达式。费马原理是几何光学中的一条重要原理，由此原理可证明光在均匀介质中传播时遵从的直线传播定律、反射和折射定律，以及傍轴条件下透镜的等光程性等。光的可逆性原理是几何光学中的一条普遍原理，该原理说，若光线在介质中沿某一路径传播，当光线反向时，必沿同一路径逆向传播 。费马原理规定了光线传播的唯一可实现的路径，不论光线正向传播还是逆向传播，必沿同一路径。因而借助于费马原理可说明光的可逆性原理的正确性。

运用费马原理证明光在反射和折射的过程中从一点到另一点所用的时间或走的路程比其他任何路径都要短。反射时，可以作出光源关于反射面的对称点，再将它和反射后经过的任意一点连起来，则这条线段的长度就是光所走的路程，可以用三角形两边之和大于第三边的原理证明光只有在这条线段与反射面之间的交点反射走的路程才最短，而在这点反射时，入射角和出射角是相等的。折射的道理一样，只不过要考虑光速的变化，你可以通过相应地按光在两种介质中的速度比例改变光在一种介质中的路程，再同样地通过几何学推证。反射定理考虑由Q发出经反射面到达P的光线．相对于反射面取P的镜像对称点P"，从Q到P任一可能路径QM"P的长度与QM"P"相等．显然，直线QMP"是其中最短的一根，从而路径QMP长度最短．根据肥马原理，QMP是光线的实际路径．折射定律考虑由Q出发经折射面折射到达P的光线．作QQ"与PP"平行，故而共面，我们称此平面为Ⅱ．考虑从Q经折射面上任一点M"到P的光线QM"P．由M"作垂足Q"、P"联线的垂线M"M，不难看出QM＜QM"，PM＜PM"，既光线QM"P在Ⅱ平面上的投影QMP比QM"P本身的光程更短．可见光程最短的路径应在Ⅱ平面内寻找．假设QQ"＝h1,PP"=h2,Q"P"=P,Q"M=x,则（QMP）＝n1QM+n2MP既 d(QMP)/dx=n1x/根号（h1*h1+x*+)-n2(p-x)/根号（h2*he+(p-x)*(p-x)由光程的最小条件d(MQP)/dx=0 可得 n1sini1=n2sini2

运用费马原理证明光在反射和折射的过程中从一点到另一点所用的时间或走的路程比其他任何路径都要短。反射时，可以作出光源关于反射面的对称点，再将它和反射后经过的任意一点连起来，则这条线段的长度就是光所走的路程，可以用三角形两边之和大于第三边的原理证明光只有在这条线段与反射面之间的交点反射走的路程才最短，而在这点反射时，入射角和出射角是相等的。折射的道理一样，只不过要考虑光速的变化，你可以通过相应地按光在两种介质中的速度比例改变光在一种介质中的路程，再同样地通过几何学推证。反射定理考虑由Q发出经反射面到达P的光线．相对于反射面取P的镜像对称点P"，从Q到P任一可能路径QM"P的长度与QM"P"相等．显然，直线QMP"是其中最短的一根，从而路径QMP长度最短．根据肥马原理，QMP是光线的实际路径．折射定律考虑由Q出发经折射面折射到达P的光线．作QQ"与PP"平行，故而共面，我们称此平面为Ⅱ．考虑从Q经折射面上任一点M"到P的光线QM"P．由M"作垂足Q"、P"联线的垂线M"M，不难看出QM＜QM"，PM＜PM"，既光线QM"P在Ⅱ平面上的投影QMP比QM"P本身的光程更短．可见光程最短的路径应在Ⅱ平面内寻找．假设QQ"＝h1,PP"=h2,Q"P"=P,Q"M=x,则（QMP）＝n1QM+n2MP既 d(QMP)/dx=n1x/根号（h1*h1+x*+)-n2(p-x)/根号（h2*he+(p-x)*(p-x)由光程的最小条件d(MQP)/dx=0 可得 n1sini1=n2sini2

前提：两束平行光束从折射率为n1的介质以θ1入射到折射率为n2的介质中，折射角为θ2.

如何用费马原理证明光的反射定律的回答如下：