ＣＴ扫描仪可以用于对人体的全身扫描，而核磁共振扫描仪则主要用于对人体的软组织的扫描。通过这两种仪器，医生可以获得详细的三维的人体剖面图象，清楚地看到人体组织中的细微的变化，为科学的诊断提供有力的证据。ＣＴ扫描仪和核磁共振扫描仪的外形十分相似，它们所获得的三维图像也很相似，但是应该指出这两种仪器的成像原理确是完全不同的。ＣＴ扫描仪的原理相对比较简单，它是利用不同密度的人体组织对Ｘ射线有着不同的吸收率的原理而设计的。大家都知道Ｘ射线是一种波长很短的电磁波，它沿着直线传播，由于它的能量很高，所以它可以穿透人体的所有组织。由于人体不同组织的密度不同，所以它们对Ｘ射线的吸收率也各不相同。如果用平行的或者是向外成一定角度发散的Ｘ射线穿越人体，然后对感光胶片进行曝光，这样就可以清楚地看见人体的骨肋和一些软组织的分布情况。这就是最常用的Ｘ射线透视的基本原理。Ｘ射线透视是在二十世纪初期所发明的，它的发明为医学的诊断提供了一个极为重要的信息来源。但是遗憾的是Ｘ射线透视所得到的是一个平面图形，由于人体组织的重叠会引起对Ｘ射线吸收的互相叠加的作用，所以在Ｘ射线透视的照片上很多的细节是看不到的。为了了解一些三维的细节，就必须从不同的角度进行Ｘ射线透视，而要想获得人体的三维图象则是不可能的。为了获得人体组织的细节，为了获得人体组织的三维图象，这只有依靠于现代的ＣＴ扫描仪和核磁共振扫描仪了。ＣＴ扫描仪是１９７１年由洪斯非尔德(Hounsfield)发明的，洪斯非尔德并因此而获得１９７９年的诺贝尔奖。ＣＴ扫描仪和Ｘ射线透视有很多相同的地方，但是也有很多不同的地方。相同的是它们都是以人体组织中不同密度的器官对Ｘ射线有着不同的吸收率作为仪器设计的基本原理。它们所用的射线源可以是波阵面为平面的Ｘ射线面源，也可以是波阵面是球面发散的Ｘ射线点源。而它们之间不同的地方是：１）Ｘ射线透视的接收装置是一张胶片，而ＣＴ扫描仪所使用的则是一组园弧形的电子接收装置，这种装置一般是由用准直器分隔开的晶体所构成。这个电子接收装置正好位于Ｘ射线源的正对面。２）Ｘ射线透视工作时它的射线源和胶片均处在固定的位置上，而ＣＴ扫描在工作时不但所扫描的人体会在扫描仪的园孔内来回移动，而且Ｘ射线源和电子接收装置也会在ＣＴ扫描仪的园环上高速地旋转。在ＣＴ扫描仪上这两个方向上的运动都有精密的编码器来监察。３）这两个仪器的最后一个不同点就是Ｘ射线透视不需要进行计算机处理，而ＣＴ扫描仪则需要使用计算机对图象进行较为复杂的计算和处理，从而来形成三维的人体组织的详细图象。为了对ＣＴ扫描仪的原理有进一步的了解，有必要要对Ｘ射线透视的透射吸收有所了解。如果一种材料的吸收系数为 ，则Ｘ射线在材料中经过一定的路程 后，该材料对Ｘ射线的透射率则为 。当Ｘ胶片或者接收器的平面平行于Ｘ射线的发射平面时，则Ｘ射线经过人体各部分的吸收以后，在胶片上各个点上的透射率的分布就是：(1)透射率和Ｘ射线的源强度的乘积就是Ｘ射线到达感光胶片或者接收器时的能量。假设Ｘ射线的波阵面是一个平面，Ｘ射线的原有的强度为 ，考虑到在接收器上的背景噪声为 ，如果将介质的吸收系数进行离散处理， 为介质中每一个离散点的长度，则最后落在接收器上相应的点上的辐射强度为：(2)考虑到Ｘ射线的散射和其它因素，这个公式经过简单的变换有：(3)注意当Ｘ射线为发散形传播时，我们还要注意Ｘ射线的自身强度在传播中也将不断衰减。Ｘ射线的自身强度和Ｘ射线传播的距离的平方成反比。从上面的公式看，Ｘ射线在经过吸收系数不同的结构以后，所产生的信息可以形成一个线性方程组。ＣＴ扫描仪一般还可以用于同位素辐射的成像。当人体器官中积聚了半衰期很短的同位素时，同位素的衰变会发射出 射线。这时如果不考虑人体的吸收，则ＣＴ扫描仪的接收器中某一个点所以获得的辐射为：(4)式中 是同位素的空间分布函数。而接收器所获得的图像则是空间分布函数在一个方向上的投影。上面的公式3和4说明ＣＴ扫描仪和同位素成像都是典型的坐标函数投影的问题。在坐标函数投影的过程中，三维的图像信息将被压缩到一个二维图象中去，而一维的图像信息则会被压缩到一个一维图象中去。通过个别的一维或者二维图象的有限信息，是不可能重新恢复它所包含的二维或者三维信息的。但是如果对同一个二维或者三维结构的不同方向进行多次的曝光，我们则有可能通过多个一维或者二维图象来完全恢复原来的三维结构的所有信息。实际上ＣＴ扫描仪是通过Ｘ射线源不断地从不同的位置对一个个人体的二维剖面进行投影，从而在一个不断转动的弧形的一维或者二维接收器上成像，从而形成多个对同一剖面的一维或者二维的投影图象。通过这些图象的信息，就可以恢复该剖面的二维形态，构成一个个的人体剖面的图象。在正电子辐射扫描仪(positron emission tomograh) 中也使用了同样的原理。这时利用在人体中注射放射性的物质，这些物质会根据人体中各个器官的特性进行一定的分布。这样这些放射性的物体会发射出光子，这些光子的集中程度和放射性物质的集中程度是相同的。当接收到这些光子以后，可以根据投影逆变换的原理来了解人体中各个器官的有关情况。坐标和坐标函数的投影问题是一个非常简单的问题，这里就不作介绍了。然而坐标和坐标函数的逆投影变换问题确是比较复杂和困难的课题。前者是现今照相精密测量和航空大地测量的基础，后者则是很多医学成像仪器的基础。照相精密测量和航空大地测量的计算公式不是本文介绍的内容，这里主要介绍坐标函数的逆投影变换问题。这个逆变换的问题一般有四种不同的求解方法：１）简单的反投影方法；２）积分方程的方法；３）傅立叶变换的方法；和４）级数展开的方法。为了简洁起见，这里主要介绍第一和第三种方法。其中第三种方法是目前医学成像中最常用的方法。反投影方法十分简单，它的基础就是假定在图像中任何有贡献的像点沿着投影方向的贡献是完全相同的。取最简单的情况，如果有一个２Ｘ２的平面图像，它们的每一个像点的强度为：２，３和４，５。则它们在Ｘ方向的投影为５和９，在Ｙ方向的投影为６和８。在进行反投影时，首先将Ｘ方向的投影值进行均匀分配，这样获得的每一个像点的强度为２。５，２。５和４。５，４。５。这时再加上在Ｙ方向上的投影的贡献，这样获得的每一个像点的强度为５。５，６。５和７。５，８。５。由于我们将多次的投影进行了重复的分配，所以我们要对每一个像点的强度减去掉一个数值Ｎ，这个值为 ，这里 是在逆变换中所利用的投影的总数目， 是每一个投影中的总的函数强度值， 是图像中像点的总数目。这里的例子中 ，，， ，减去这个值以后，所有得出像点的强度分别为２，３和４，５，和原来图像中各个像点的强度值完全相同。然而这种方法的局限性也是十分明显的。１）当投影数增加时，图像上的每一个像元并不能很好地和投影迈步上的像元完全一一对应；２）这种强度贡献相同的假设使得反投影方法具有去高补充低的倾向，原来清晰的形体所获得的图像则是模糊和不清晰的。因此这种方法已经很少使用。现在比较广泛使用的是其它几种逆变换的方法。而其中傅立叶方法则是一种最为重要并且最广泛应用的方法。傅立叶方法的原理是利用每个投影的频率分布来合成出原来图象的频率分布，具体的方法是这样的：假设原有的图像是一个二维的图像 ，将图像沿着方向 进行投影，则投影的一维函数为：(5)如果坐标旋转一个角度 ，旋转后的坐标用 来表示，则新的投影的函数为：(6)这时对投影进行频率分析，它的傅立叶变换为：(7)注意上面的函数是一维函数，但是它同样是一个二维函数的一个部分。这个二维函数就是原来图象的傅立叶变换，或者称维原来图像的频率分布：(8)更确切地说，图象 的一维的沿角度 上的投影函数 的傅立叶变换 正是二维函数 的傅立叶变换 在 的轴线上的值（该轴线和原来的Ｘ轴线的角度为 ）。这个重要的结果就是有名的中心剖面理论(Kak and Slaney,1988) 。根据这个理论，通过投影来求解二维函数 的必要充分条件是求得在 和 范围内的所有投影值。有了这些投影以后，通过傅立叶变换可以求出原函数的傅立叶面上的所有值，当然在傅立叶面上所获得的值的密度很高。经过傅立叶反变换这样一个一一对应的映射就可以求出原来函数的分布。这个结论也可以很容易地推广到三维图像的情况中去，只要有足够多的三维形体的投影，就可以求得原来的三维图像。这个理论是ＣＴ扫描仪和很多成像仪器的设计基础。ＣＴ扫描仪的设计中还有很多其它的设计要点，限于篇幅，在本文中就不再介绍了。核磁共振扫描仪是在二十世纪八十年代发明的。尽管核磁共振扫描仪和ＣＴ扫描仪的外形以及它们所获得的人体的三维图象非常相似，但是核磁共振扫描仪的基本原理和ＣＴ扫描仪的则完全不同。核磁共振扫描仪的主体是一个稳定的磁场，这个磁场的方向和人体在仪器中运动的方向相同。早期的核磁共振扫描仪有的使用笨重的永磁体来获得这个稳定的磁场，这种永磁体十分笨重，而且制造的成本也很高。但是永磁体不需要使用能源，所以运行比较便宜。后来这种磁体由大型直流线圈所代替，这种直流线圈成本较低，但是它的运行费用很高，需要大量的电能，而且它所产生的磁场的强度较小。不过现在这些都已经为超导线圈所代替，使用超导线圈有这样的好处，当在超导线圈中激发电流以后，就不再需要电流的供应。一种典型的超导线圈的结构包括了６个主线圈，和２个直径更大一些的线圈，这两个线圈的作用是使所形成的磁场在工作区间内更加平直，补偿磁场的弯曲现象。超导线圈一般是用包在铜皮内的铌钛合金(niobium titanium alloy)构成的。这种超导体的超导温度是低于１２Ｋ。为了使电流密度提高，温度还要低一些。所以需要使用液态的氦或氮来进行致冷，一般线圈是浸在液态的氦中的，这时的温度是４。３Ｋ。除了低温以外，超导体内的电流也不能超过一定的极限值，同时超导体上的磁场的值也要足够的低。为此在具体的设计中，要求很高。如果不能达到这些设计要求，在一部分线路中就会产生电阻，引起温度的上升。这个温度的上升又会引起周围的超导体离开超导的工作范围，产生更多的电阻，从而产生更多的热量。这个过程是一个不稳定的，它会导致磁能量的消失和液态氦的蒸发。为了保证液态氦的温度，减少热量的损失，在液态氦的容器外还有两层辐射屏蔽层，它们的温度分别是１５Ｋ和６０Ｋ。这些屏蔽层是用热传导率低的细长的杆件支撑的，所以在运输的时候，需要特别的细心。从长期的运行来看，总是有热量进入液态氦，同时超导体也并不是真正的零电阻，所以线圈中的电流会逐渐地降低，从而使磁场的强度降低。所以在一定的时候，必须对磁体进行重新的激发。在具体的超导电路中，正常的情况超导线圈是一个封闭的电路，但是在需要激发的时候，其中一部分线路经过加热断开，使线圈和外部的电源直接连接，增加线圈中的电流量。这是一个很缓慢的过程，这是因为电压等于电感和电流变化率的乘积。由于线圈的电感很大，所以一个适当的电压的条件下，需要很长的时间才能够使电流增大。如果利用铌锡合金(niobium tin wire)作为超导体，它的临界温度是１８Ｋ，所以可以不使用亚太氦。磁场强度的单位是高斯 ，一般核磁共振扫描仪的磁场强度为一千到二万高斯左右。除了这个主磁场的线圈以外，在核磁共振扫描仪的主体之中还有一些用于克服主磁场在边缘区域的不均匀性的填充磁场线圈 和一个使主磁场产生强度梯度的梯度线圈 。这些梯度线圈的作用，我们将在下边在进行详细的介绍。一般梯度磁场的强度数值大概是主磁场强度数值的百分之一。核磁共振扫描仪的原理比较复杂，我们的讨论必须从原子核中的质子的自旋说起。比如说最简单的原子核氢核中一共有一个质子和一个中子，其中质子带有一个单位的正电荷，中子则不带电荷。由于原子核的自旋，所以会因为带电的质子的原因而在其周围产生一个微小的磁场。或者说每一个原子就相当于一个独立的磁矩。不过这个磁矩所形成的磁场的能量很小，人们几乎感觉不到。同时由于各个原子的自旋的方向有着随机的特性，所以它们各自的磁矩所形成的磁场会互相抵消，总的效果正好为零。但是由于有这种微小磁矩的存在，它们会对原子核邻近空间的磁场作出一定的反映。正是这种反映形成了核磁共振扫描仪的成像基础。在外界没有磁场的情况下，人体中的氢原子核的微小磁场是随机分布的，因此不存在磁化的问题。但是当外界存在一个稳定的磁场的时候，大多数的原子核的微小磁矩就会顺着外界的磁场的方向进行整齐的排列，比如当人体处在核磁共振扫描仪之中的时候，人体中的氢原子核的微小磁场就会顺着主磁场的方向排列，这时我们就说这些磁矩被磁化了。在核磁共振扫描仪中，主磁场的强度为 ，通常将这个磁场的方向记为是 轴的方向，而将 轴的方向记为指向竖直向上的方向。人体组织的磁化的强度一般用 来表示，这个磁化强度值一般很小，在通常的情况下这个值也是测定不出来的。但是在它们被磁化以后，如果把它们的磁矩的方向诱发到和主磁场 的方向不同的时候，这些小的磁矩就会处于一中高能量的不稳定的状态，它们会迅速地释放能量，回到低能量的稳定的状态，在这个过程中，磁矩的存在就有可能会被测定出来。为了测定这个微小的磁场 的存在，在核磁共振扫描仪的 平面上，还有第二个外部的磁场 。这个磁场是通过在这个方向上的一个或者多个线圈而形成的。这个线圈可以同时用于激发这些微小的磁矩并且接收由于这些微小的磁矩 的方向的变化所产生的感应，严格地说是核磁方向变化在 平面上的投影所产生的感应。在实际测量工作的时候，这一线圈的激发过程每一次仅仅需要很短的时间，大约是几十个毫秒。为了激发一定的原子所形成的磁矩，在这个线圈中，必须输入具有一定频率的微小脉冲。这个脉冲的频率和主磁场的磁场强度 成正比，和所要测量的原子核的电磁特性相关。对于人体检查中常用的氢原子核来说，这个频率的数值为：(9)式中 称为磁旋系数。对于不同的原子核，这个系数的数值是不相同的。磁场 的变化频率必须正好等于这个频率的数值，如果频率不等，则不能改变这种原子的核磁矩指向的方向。同时这个频率的信号必须要有一定的停留时间，使得磁矩的方向正好转过９０度，或者１８０度。如果这个时间超过了１８０度，磁矩也不能再继续增加能量，方向也不能继续地改变。简要地说：为了要使人体组织的分子氢核中的微小磁场能够旋转到 轴的方向上，这个外部的磁场第一一定要出现在 平面上，第二它必须在这个平面上以上式所计算的频率不停地旋转，第三这个磁场的持续时间要正好等于一定的数值。在这个附加磁场的作用下，人体中的氢核的微小磁场 将随着这个磁场 的旋转而成螺旋型的曲线不停地翻转，最后完全转到 平面上，和 轴线相重合。这时在这个小线圈中所需要的微波脉冲就叫做 脉冲。如果这个脉冲再延长一倍，那么人体中的微小磁场会继续转动，最后转到 轴线的方向。这个较长的脉冲叫做 脉冲。现在核磁共振扫描仪在成像时所使用的就是这两种微波脉冲。人体组织的分子中的微小磁场在这种附加磁场的激化下能量增加，从而处于不稳定的高能量的状态。当人体组织的分子中的微小磁场旋转到 轴或者 轴线的方向以后，它所处在的状态是不稳定的。这时将这个附加的具有特定的频率的变化的磁场 关闭的话，那么人体组织分子中的微小磁场就会慢慢地沿着螺旋型的曲线旋转到主磁场的方向上。在这个微小磁场旋转的过程中它的能量会不断减少，同时释放出附加的能量。这时如果利用激化磁场 的电感线圈接收的话，线圈内就会产生出一个与该人体组织分子所处位置上的磁场强度相关的一定的频率的小的脉冲。这种空间位置和脉冲频率之间的关系可以简单地表示为：(10)式中 是在接收脉冲信号时可能附加的梯度磁场。在核磁共振中主磁场是在 轴方向， ，梯度磁场是一个张量，有９各分量，但是一般只使用其中三个梯度方向分量中的一个或多个，即： 。这个公式和前面的公式(9)是核磁共振成像的基础。在测量中，磁场强度相同的面上各个点上所发出的脉冲均具有相同的频率。所以核磁共振的一种成像方法和前面所说的投影方法是相同的。我们在观察中可以分别采用不同的磁场梯度，这样对所测的量是人体中的氢核的分布在不同的方向上投影的值。具体将所测量的脉冲进行傅立叶变换，这时在频率谱上的强度值就相当于在不同的方向上所有等磁场强度面上的核子频谱的能量的总和。在核磁共振中我们还可以对人体中某一个特定的区域进行测量，这时我们通过调整梯度场的三个分量，使得该特定区域具有一个特定范围的磁场强度。当我们在引进激化磁场时，可以使激发这一磁场的变化变化脉冲具有的频率宽度很窄，这样仅仅能够激化这一特定的区域内的核子的磁场。这样在这个磁场去掉以后，所接收的脉冲信号就仅仅是这一小的区域中的氢核分布所产生的。另外还有一种区域局部测量的方法是在测量核子辐射时在其它区域采用交变的梯度磁场，这样除了在指定的区域内测量值是稳定的外，其它区域的测量值的强度均会上下摆动，这样在脉冲接收以后可以利用电的方法比较信号的稳定性，去掉频率不断变化的信息，仅仅保留频率恒定的指定区域的信息。实际上现代核磁共振扫描仪进行人体扫描所采用的一般是一种二维傅立叶变换的方法。利用这种方法可以快速地对人体的剖面进行成像，具有很高的效率。二维傅立叶变换的方法除了引进了磁场强度的空间梯度以外，还引进了磁场强度的时间梯度的变化。具体的方法是这样的：１）在激化磁场时同时引进 轴的梯度磁场，使得在的 方向限制核磁信息产生的范围；２）当激化磁场关闭以后，在第一个小时段 内首先引进在 方向上的时间域内的磁场梯度的变化。这样的磁场梯度相当于频率的不同。不同的频率的脉冲经过时间 的积分后就在核子磁场中引进了在 轴方向上的相位差别，这就是相位的编码。注意这种相位编码要在测量中重复进行，使得 次的相位变化值均匀地分布于 度到 度之间；３）经过了这一时段 后， 方向上的磁场梯度马上关闭，线圈开始接收脉冲信号，与此同时仪器在 方向上引进了空间上的磁场梯度，一直到时间 为止。在这一时段，由于空间上的磁场梯度在 方向上引进了频率的编码。所以核磁共振仪器所记录的感应信号不但有频率编码，而且有行为编码。所测量的脉冲信号要进行第一次傅立叶变换，获得在该相位编码时的频率强度分布。由于在这一时段 内，同时有了在 两个方向上的相位和频率的编码。重复步骤２）和３）获得 个不同相位编码的频率强度分布的曲线，最后要对所获得的在平面上分布的数值在其相位轴的方向上分别进行多次的傅立叶变换，这样核磁共振就可以获得完整的二维强度分布的图象。当然如同其它测量一样，有时要多次对同一个量进行重复测量，进行平均以减少误差的贡献。这种二维成像的方法同样可以推广到三维的情况，这时在步骤２）时应该在 轴的方向上引进另一个梯度磁场，同时在这个方向上也要相应地改变梯度的数值，以获得三维的频率投影值。最后再在 轴的方向作一系列的傅立叶变换，求得强度的三维分布。应该指出人体内各个器官中的氢核的分布是不同的，它们大量地分布在人体中软组织和液体之中，所以比较ＣＴ扫描仪来说核磁共振更实用于对人体软组织的成像。在人体的骨骼之中，基本上不存在氢核，所以它不能了解骨骼之中的详细情况。核磁共振是一种十分重要的测量方法，它不但可以用于对氢核的测量，也可以应用于对其它核子如碳，磷，钠，钾等等核子的探测。它不但可以用于医学成像，也可以用于材料科学，地质探矿等等其它的领域。当用于对水资源和石油资源的探测时，可以把地球磁场当作主磁场，在地面上用一个大的线圈产生附加的磁场。同时用这个线圈对地层中的水或者油中的氢核的磁场响应进行探测。核磁共振是一项十分重要的高新技术，上面介绍的仅仅是它的最基本的原理和方法。在结束这篇文章的时候也要提一下ＣＴ扫描的方法在地质测量的应用。地震波在不同的介质中有着不同的传播速度和吸收特性，当地球上某一个点发生地震时，通过在地面上的不同点进行测量，就可以获得在地层中的一定区域在一定方向上的投影。如果能够获得很多的地震在地表各个点的影响，就获得了和ＣＴ扫描所获得信息相似的数据。通过这些数据，同样可以通过傅立叶变换和反变换来获得地层内的密度分布和结构分布。地震波包括纵波和横波两个部分，其中的横波很难通过液体和气体的结构，所以利用这种方法也可以用于测量油气田以及地下水的调查工作。
