抽屉原理

【 #小学奥数# 导语】数学给予人们的不仅是知识，更重要的是能力，这种能力包括观察实验、收集信息、归纳类比、直觉判断、逻辑推理、建立模型和精确计算。这些能力和培养，将使人终身受益。以下是 整理的相关资料，希望对您有所帮助。 　　抽屉原理 　　抽屉原则一：如果把（n+1）个物体放在n个抽屉里，那么必有一个抽屉中至少放有2个物体。 　　例：把4个物体放在3个抽屉里，也就是把4分解成三个整数的和，那么就有以下四种情况： 　　①4=4+0+0②4=3+1+0③4=2+2+0④4=2+1+1 　　观察上面四种放物体的方式，我们会发现一个共同特点：总有那么一个抽屉里有2个或多于2个物体，也就是说必有一个抽屉中至少放有2个物体。 　　抽屉原则二：如果把n个物体放在m个抽屉里，其中n>m，那么必有一个抽屉至少有： 　　①k=[n/m]+1个物体：当n不能被m整除时。 　　②k=n/m个物体：当n能被m整除时。 　　理解知识点：[X]表示不超过X的整数。 　　例[4.351]=4；[0.321]=0；[2.9999]=2； 　　关键问题：构造物体和抽屉。也就是找到代表物体和抽屉的量，而后依据抽屉原则进行运算。 　　1、有红、黄、蓝、绿四种颜色小旗各一面，取其中一面小旗，或者多面小旗由上而下挂在旗杆上作为信号（挂多面小旗时，不同顺序表示不同信号，如：挂出红、黄颜色小旗时，顺序为红黄与顺序为黄红表示不同的信号）。问：一共有（）多少种信号？如果某天一共发出信号323次，那么这一天必定出现某种相同的信号至少有（）次？ 　　2、一副*牌一共有54张，最少要抽取几张牌，方能保证其中至少有2张牌有相同的点数？ 　　3、自制的一副玩具牌一共计52张（含有四种颜色的牌：红桃、红方、黑桃、黑梅。每种牌都有1点、2点….13点）。洗好后背面朝上放好，一次至少抽取几张牌，才能保证其中必定有2张牌点数和颜色都相同。如果要求一次抽出的牌中必定有3张牌的点数是相邻的（不计颜色的），那么至少需要取多少张牌？ 　　4、在8*8的方格纸中，每个方格内可以填上1-4四个自然数中的任意一个，填满以后，对每个2%2的田字形内的4个自然数求和。在这些和中，相同的和至少有（）多少个？（*在此代表乘号） 　　5、用数字1、2、3、4、5、6填满一个6*6的方格表，如图所示，每个小方格中只填写其中的一个数字。将其中2*2正方形内的四个数字的和称为这个2*2正方形的标示数。问能否给出一种填法，使得任意两个标示数均不相同？如果能，请举出一个例子？不能则请说明理由？（*在此代表乘号）（图请根据题意自己画，不是太难。） 　　6、两条直线相交，四个交角中的一个锐角或一个直角称为这两条直线的夹角。现在平面上有若干条直线，他们两两相交，并且夹角只能是30度、60度或者90度。问：至少有多少条直线？ 　　7、雪帆学校有55个学生参加数学竞赛，已知将参赛人任意分成四组，则必有一组女生多于2人，又知道参赛者中任何10人中必有男生。则参赛男生的人数为（）人？ 　　8、王跃老师带着若干个小朋友去购买单价为3元和5元的两种商品，每个小朋友至少买一件，但是每个人购买商品的总金额不得超过15元，王跃老师说，小朋友中一定至少有三人购买的两种商品的数量是完全相同的。问：至少有多少名小朋友？ 　　9、雪帆奥数辅导班有10名优秀少先队员，同学们送花给他们，要使得他们中至少有两人的得到的花的数量是相同的，那么至少需要准备多少朵花？ 　　10、五一班的同学要从10名候选人里面投票选择班干部。如果每个同学只要投票选择两名候选人，那么这个班级至少应该有多少个同学，才能保证必有两个或者两个以上的同学投相同的两名两名候选人的票？

三个公式：1、把多于n+1个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里的东西不少于两件。2、把多于mn+1个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有不少于m+1的物体。3、把无穷多件物体放入n个抽屉，则至少有一个抽屉里有无穷个物体。桌上有十个苹果，要把这十个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放，会发现至少会有一个抽屉里面放不少于两个苹果。这一现象就是所说的“抽屉原理”。原理1： 把多于n+1个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里的东西不少于两件。抽屉原理证明（反证法）：如果每个抽屉至多只能放进一个物体，那么物体的总数至多是n×1，而不是题设的n+k(k≥1)，故不可能。原理2：把多于mn(m乘n)+1（n不为0）个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有不少于（m+1）的物体。证明（反证法）：若每个抽屉至多放进m个物体,那么n个抽屉至多放进mn个物体,与题设不符，故不可能。原理3：把无穷多件物体放入n个抽屉，则至少有一个抽屉里 有无穷个物体。原理1 、2 、3都是第一抽屉原理的表述。

3+3+1=7

1 抽屉原理 在数学问题中有一类与“存在性”有关的问题，例如：“13个人中至少有两个人出生在相同月份”；“某校400名学生中，一定存在两名学生，他们在同一天过生日”；“2003个人任意分成200个小组，一定存在一组，其成员数不少于11”；“把[0，1]内的全部有理数放到100个集合中，一定存在一个集合，它里面有无限多个有理数”。这类存在性问题中，“存在”的含义是“至少有一个”。在解决这类问题时，只要求指明存在，一般并不需要指出哪一个，也不需要确定通过什么方式把这个存在的东西找出来。这类问题相对来说涉及到的运算较少，依据的理论也不复杂，我们把这些理论称之为“抽屉原理”。 　　“抽屉原理”最先是由19世纪的德国数学家迪里赫莱（Dirichlet）运用于解决数学问题的，所以又称“迪里赫莱原理”，也有称“鸽巢原理”的。这个原理可以简单地叙述为“把10个苹果，任意分放在9个抽屉里，则至少有一个抽屉里含有两个或两个以上的苹果”。这个道理是非常明显的，但应用它却可以解决许多有趣的问题，并且常常得到一些令人惊异的结果。抽屉原理是国际国内各级各类数学竞赛中的重要内容，本讲就来学习它的有关知识及其应用。 　　（一） 抽屉原理的基本形式 　　定理1、如果把n 1个元素分成n个集合，那么不管怎么分，都存在一个集合，其中至少有两个元素。 　　证明：（用反证法）若不存在至少有两个元素的集合，则每个集合至多1个元素，从而n个集合至多有n个元素，此与共有n 1个元素矛盾，故命题成立。 　　在定理1的叙述中，可以把“元素”改为“物件”，把“集合”改成“抽屉”，抽屉原理正是由此得名。 　　同样，可以把“元素”改成“鸽子”，把“分成n个集合”改成“飞进n个鸽笼中”。“鸽笼原理”由此得名。 　　例1． 已知在边长为1的等边三角形内（包括边界）有任意五个点（图1）。证明：至少有两个点之间的距离不大于（1978年广东省数学竞赛题） 　　分析：5个点的分布是任意的。如果要证明“在边长为1的等边三角形内（包括边界）有5个点，那么这5个点中一定有距离不大于的两点”，则顺次连接三角形三边中点，即三角形的三条中位线，可以分原等边三角形为4个全等的边长为的小等边三角形，则5个点中必有2点位于同一个小等边三角形中（包括边界），其距离便不大于。 　　以上结论要由定理“三角形内（包括边界）任意两点间的距离不大于其最大边长”来保证，下面我们就来证明这个定理。　　如图2，设BC是△ABC的最大边，P，M是△ABC内（包括边界）任意两点，连接PM，过P分别作AB、BC边的平行线，过M作AC边的平行线，设各平行线交点为P、Q、N，那么　　∠PQN=∠C，∠QNP=∠A 　　因为BC≥AB，所以∠A≥∠C，则∠QNP≥∠PQN，而∠QMP≥∠QNP≥∠PQN（三角形的外角大于不相邻的内角），所以 PQ≥PM。显然BC≥PQ，故BC≥PM。 　　由此我们可以推知，边长为的等边三角形内（包括边界）两点间的距离不大于。 　　说明： 　　（1）这里是用等分三角形的方法来构造“抽屉”。类似地，还可以利用等分线段、等分正方形的方法来构造“抽屉”。例如“任取n 1个正数ai，满足0＜ai≤1（i=1,2,…,n 1），试证明：这n 1个数中必存在两个数，其差的绝对值小于”。又如：“在边长为1的正方形内任意放置五个点，求证：其中必有两点，这两点之间的距离不大于。 　　（2）例1中，如果把条件（包括边界）去掉，则结论可以修改为：至少有两个点之间的距离小于"，请读者试证之，并比较证明的差别。 　　（3）用同样的方法可证明以下结论： 　　i）在边长为1的等边三角形中有n2 1个点，这n2 1个点中一定有距离不大于的两点。 　　ii）在边长为1的等边三角形内有n2 1个点，这n2 1个点中一定有距离小于的两点。 　　（4）将（3）中两个命题中的等边三角形换成正方形，相应的结论中的换成，命 2 抽屉原理 题仍然成立。 　　（5）读者还可以考虑相反的问题：一般地，“至少需要多少个点，才能够使得边长 为1的正三角形内（包括边界）有两点其距离不超过”。 　　例2．从1-100的自然数中，任意取出51个数，证明其中一定有两个数，它们中的一个是另一个的整数倍。 　　分析：本题似乎茫无头绪，从何入手？其关键何在？其实就在“两个数”，其中一个是另一个的整数倍。我们要构造“抽屉”，使得每个抽屉里任取两个数，都有一个是另一个的整数倍，这只有把公比是正整数的整个等比数列都放进去同一个抽屉才行，这里用得到一个自然数分类的基本知识：任何一个正整数都可以表示成一个奇数与2的方幂的积，即若m∈N ,K∈N ，n∈N,则m=(2k-1)·2n，并且这种表示方式是唯一的，如1=1×2°，2=1×21，3=3×2°，…… 　　证明：因为任何一个正整数都能表示成一个奇数乘2的方幂，并且这种表示方法是唯一的，所以我们可把1-100的正整数分成如下50个抽屉（因为1-100中共有50个奇数）： 　　（1）{1，1×2，1×22，1×23，1×24，1×25，1×26}； 　　（2）{3，3×2，3×22，3×23，3×24，3×25}； 　　（3）{5，5×2，5×22，5×23，5×24}； 　　（4）{7，7×2，7×22，7×23}； 　　（5）{9，9×2，9×22，9×23}； 　　（6）{11，11×2，11×22，11×23}； 　　　　…… 　　（25）{49，49×2}； 　　（26）{51}； 　　　　…… 　　（50）{99}。 　　这样，1-100的正整数就无重复，无遗漏地放进这50个抽屉内了。从这100个数中任取51个数，也即从这50个抽屉内任取51个数，根据抽屉原则，其中必定至少有两个数属于同一个抽屉，即属于（1）-（25）号中的某一个抽屉，显然，在这25个抽屉中的任何同一个抽屉内的两个数中，一个是另一个的整数倍。 　　说明： 　　（1）从上面的证明中可以看出，本题能够推广到一般情形：从1-2n的自然数中，任意取出n 1个数，则其中必有两个数，它们中的一个是另一个的整数倍。想一想，为什么？因为1-2n中共含1，3，…，2n-1这n个奇数，因此可以制造n个抽屉，而n 1＞n，由抽屉原则，结论就是必然的了。给n以具体值，就可以构造出不同的题目。例2中的n取值是50，还可以编制相反的题目，如：“从前30个自然数中最少要（不看这些数而以任意方式地）取出几个数，才能保证取出的数中能找到两个数，其中较大的数是较小的数的倍数？” 　　（2）如下两个问题的结论都是否定的（n均为正整数）想一想，为什么？ 　　①从2，3，4，…，2n 1中任取n 1个数，是否必有两个数，它们中的一个是另一个的整数倍？ 　　②从1，2，3，…，2n 1中任取n 1个数，是否必有两个数，它们中的一个是另一个的整数倍？　　你能举出反例，证明上述两个问题的结论都是否定的吗？ 　　（3）如果将（2）中两个问题中任取的n 1个数增加1个，都改成任取n 2个数，则它们的结论是肯定的还是否定的？你能判断证明吗？ 　　例3．从前25个自然数中任意取出7个数，证明：取出的数中一定有两个数，这两个数中大数不超过小数的1.5倍。 　　证明：把前25个自然数分成下面6组： 　　　　1；　　　　　　　　　　　　 　　　　① 　　　　2，3； 　　　　　　　　　　 　　　　② 　　　　4，5，6； 　　　　　　　　　　　　　③ 　　　　7，8，9，10；　　　　　　　 　　　　④ 　　　　11，12，13，14，15，16； 　 　　　 ⑤ 　　　　17，18，19，20，21，22，23， 　　　⑥ 　　因为从前25个自然数中任意取出7个数，所以至少有两个数取自上面第②组到第⑥组中的某同一组，这两个数中大数就不超过小数的1.5倍。 　　说明： 　　（1）本题可以改变叙述如下：在前25个自然数中任意取出7个数，求证其中存在两个数，它们相互的比值在内。 3 抽屉原理 　　显然，必须找出一种能把前25个自然数分成6（7-1=6）个集合的方法，不过分类时有一个限制条件：同一集合中任两个数的比值在内，故同一集合中元素的数值差不得过大。这样，我们可以用如上一种特殊的分类法：递推分类法： 　　从1开始，显然1只能单独作为1个集合{1}；否则不满足限制条件。 　　能与2同属于一个集合的数只有3，于是{2，3}为一集合。 　　如此依次递推下去，使若干个连续的自然数属于同一集合，其中最大的数不超过最小的数的倍，就可以得到满足条件的六个集合。 　　（2）如果我们按照（1）中的递推方法依次造“抽屉”，则第7个抽屉为 　　　{26，27，28，29，30，31，32，33，34，35，36，37，38，39}； 　　　第8个抽屉为：{40，41，42，…，60}； 　　　第9个抽屉为：{61，62，63，…，90，91}； 　　　…… 　　那么我们可以将例3改造为如下一系列题目： 　　（1）从前16个自然数中任取6个自然数； 　　（2）从前39个自然数中任取8个自然数； 　　（3）从前60个自然数中任取9个自然数； 　　（4）从前91个自然数中任取10个自然数；…　　都可以得到同一个结论：其中存在2个数，它们相互的比值在]内。 　　上述第（4）个命题，就是前苏联基辅第49届数学竞赛试题。如果我们改变区间[]（p＞q）端点的值，则又可以构造出一系列的新题目来。 　　例4．已给一个由10个互不相等的两位十进制正整数组成的集合。求证：这个集合必有两个无公共元素的子集合，各子集合中各数之和相等。（第14届1M0试题） 　　分析与解答：一个有着10个元素的集合，它共有多少个可能的子集呢？由于在组成一个子集的时候，每一个元素都有被取过来或者不被取过来两种可能，因此，10个元素的集合就有210=1024个不同的构造子集的方法，也就是，它一共有1024个不同的子集，包括空集和全集在内。空集与全集显然不是考虑的对象，所以剩下1024-2=1022个非空真子集。 　　再来看各个真子集中一切数字之和。用N来记这个和数，很明显： 　　10≤N≤91 92 93 94 95 96 97 98 99=855　　这表明N至多只有855-9=846种不同的情况。由于非空真子集的个数是1022，1022＞846，所以一定存在两个子集A与B，　　使得A中各数之和=B中各数之和。 　　若A∩B=φ，则命题得证，若A∩B=C≠φ，即A与B有公共元素，这时只要剔除A与B中的一切公有元素，得出两个不相交的子集A1与B1，很显然 　　A1中各元素之和=B1中各元素之和，因此A1与B1就是符合题目要求的子集。 　　说明：本例能否推广为如下命题： 　　已给一个由m个互不相等的n位十进制正整数组成的集合。求证：这个集合必有两个无公共元素的子集合，各子集合中各数之和相等。 　　请读者自己来研究这个问题。 　　例5．在坐标平面上任取五个整点（该点的横纵坐标都取整数），证明：其中一定存在两个整点，它们的连线中点仍是整点。 　　分析与解答：由中点坐标公式知，坐标平面两点（x1,y1）、（x2,y2）的中点坐标是。欲使都是整数，必须而且只须x1与x2，y1与y2的奇偶性相同。坐标平面上的任意整点按照横纵两个坐标的奇偶性考虑有且只有如下四种：（奇数、奇数），（偶数，偶数），（奇数，偶数），（偶数，奇数）以此构造四个“抽屉”，则在坐标平面上任取五个整点，那么至少有两个整点，属于同一个“抽屉”因此它们连线的中点就必是整点。 　　说明：我们可以把整点的概念推广：如果（x1,x2,…xn）是n维（元）有序数组，且x1,x2,…xn中的每一个数都是整数，则称（x1,x2,…xn）是一个n维整点（整点又称格点）。如果对所有的n维整点按每一个xi的奇偶性来分类，由于每一个位置上有奇、偶两种可能性，因此共可分为2×2×…×2=2n个类。这是对n维整点的一种分类方法。当n=3时，23=8，此时可以构造命题：“任意给定空间中九个整点，求证它们之中必有两点存在，使连接这两点的直线段的内部含有整点”。这就是1971年的美国普特南数学竞赛题。在n=2的情形，也可以构造如下的命题：“平面上任意给定5个整点”，对“它们连线段中点为整点”的4个命题中，为真命题的是： 4 抽屉原理 　　（A）最少可为0个，最多只能是5个 （B）最少可为0个，最多可取10个 　　（C）最少为1个，最多为5个 （D）最少为1个，最多为10个 　　（正确答案（D）） 　　例6．在任意给出的100个整数中，都可以找出若干个数来（可以是一个数），它们的和可被100整除。 　　分析：本题也似乎是茫无头绪，无从下手，其关键何在？仔细审题，它们的“和”能“被100整除”应是做文章的地方。如果把这100个数排成一个数列，用Sm记其前m项的和，则其可构造S1，S2，…S100共100个"和"数。讨论这些“和数”被100除所得的余数。注意到S1，S2，…S100共有100个数，一个数被100除所得的余数有0，1，2，…99共100种可能性。“苹果”数与“抽屉”数一样多，如何排除“故障”？ 　　证明：设已知的整数为a1,a2,…a100考察数列a1,a2,…a100的前n项和构成的数列S1，S2，…S100。 　　如果S1，S2，…S100中有某个数可被100整除，则命题得证。否则，即S1，S2，…S100均不能被100整除，这样，它们被100除后余数必是{1，2，…，99}中的元素。由抽屉原理I知，S1，S2，…S100中必有两个数，它们被100除后具有相同的余数。不妨设这两个数为Si，Sj（i＜j），则100∣（Sj-Si），即100∣。命题得证。 　　说明：有时候直接对所给对象作某种划分，是很难构造出恰当的抽屉的。这时候，我们需要对所给对象先作一些变换，然后对变换得到的对象进行分类，就可以构造出恰当的抽屉。本题直接对{an}进行分类是很难奏效的。但由{an}构造出{Sn}后，再对{Sn}进行分类就容易得多。 　　另外，对{Sn}按模100的剩余类划分时，只能分成100个集合，而{Sn}只有100项，似乎不能应用抽屉原则。但注意到余数为0的类恰使结论成立，于是通过分别情况讨论后，就可去掉余数为0的类，从而转化为100个数分配在剩下的99个类中。这种处理问题的方法应当学会，它会助你从“山穷水尽疑无路”时，走入“柳暗花明又一村”中。 　　最后，本例的结论及证明可以推广到一般情形（而且有加强的环节）： 　　在任意给定的n个整数中，都可以找出若干个数来（可以是一个数），它们的和可被n整除，而且，在任意给定的排定顺序的n个整数中，都可以找出若干个连续的项（可以是一项），它们的和可被n整除。 　　将以上一般结论中的n赋以相应的年份的值如1999，2000，2001…，就可以编出相应年份的试题来。如果再赋以特殊背景，则可以编出非常有趣的数学智力题来，如下题： 　　有100只猴子在吃花生，每只猴子至少吃了1粒花生，多者不限。请你证明：一定有若干只猴子（可以是一只），它们所吃的花生的粒数总和恰好是100的倍数。 　　（二）于无声处听惊雷--单色三角形问题 　　前面数例我们看到，抽屉原理的应用多么奇妙，其关键在于恰当地制造抽屉，分割图形，利用自然数分类的不同方法如按剩余类制造抽屉或按奇数乘以2的方幂制造抽屉，利用奇偶性等等，都是制造“抽屉”的方法。大家看到，抽屉原理的道理极其简单，但“于无声处听惊雷”，恰当地精心地应用它，不仅可以解决国内数学竞赛中的问题，而且可以解决国际中学生数学竞赛，例如IM0中的难题。本节我们就来看几个这样的例子。 　　例7．（第6届国际中学生数学奥林匹克试题）17名科学家中每两名科学家都和其他科学家通信，在他们通信时，只讨论三个题目，而且任意两名科学家通信时只讨论一个题目，证明：其中至少有三名科学家，他们相互通信时讨论的是同一个题目。 　　证明：视17个科学家为17个点，每两个点之间连一条线表示这两个科学家在讨论同一个问题，若讨论第一个问题则在相应两点连红线，若讨论第2个问题则在相应两点连条黄线，若讨论第3个问题则在相应两点连条蓝线。三名科学家研究同一个问题就转化为找到一个三边同颜色的三角形。 　　考虑科学家A，他要与另外的16位科学家每人通信讨论一个问题，相应于从A出发引出16条线段，将它们染成3种颜色，而16=3×5 1，因而必有6=5 1条同色，不妨记为AB1，AB2，AB3，AB4，AB5，AB6同红色，若Bi（i=1，2，…，6）之间有红线，则出现红色三角线，命题已成立；否则B1，B2，B3，B4，B5，B6之间的连线只染有黄蓝两色。 5 抽屉原理 　　考虑从B1引出的5条线，B1B2，B1B3，B1B4，B1B5，B1B6，用两种颜色染色，因为5=2×2 1，故必有3=2 1条线段同色，假设为黄色，并记它们为B1B2，B1B3，B1B4。这时若B2，B3，B4之间有黄线，则有黄色三角形，命题也成立，若B2，B3，B4，之间无黄线，则△B2，B3，B4，必为蓝色三角形，命题仍然成立。 　　说明：（1）本题源于一个古典问题--世界上任意6个人中必有3人互相认识，或互相不认识。（美国普特南数学竞赛题）。 　　（2）将互相认识用红色表示，将互相不认识用蓝色表示，（1）将化为一个染色问题，成为一个图论问题：空间六个点，任何三点不共线，四点不共面，每两点之间连线都涂上红色或蓝色。求证：存在三点，它们所成的三角形三边同色。 　　（3）问题（2）可以往两个方向推广：其一是颜色的种数，其二是点数。 　　本例便是方向一的进展，其证明已知上述。如果继续沿此方向前进，可有下题： 　　在66个科学家中，每个科学家都和其他科学家通信，在他们的通信中仅仅讨论四个题目，而任何两个科学家之间仅仅讨论一个题目。证明至少有三个科学家，他们互相之间讨论同一个题目。 　　（4）回顾上面证明过程，对于17点染3色问题可归结为6点染2色问题，又可归结为3点染一色问题。反过来，我们可以继续推广。从以上（3，1）→（6，2）→（17，3）的过程，易发现　　6=（3-1）×2 2，17=（6-1）×3 2，66=（17-1）×4 2，　　同理可得（66-1）×5 2=327，（327-1）×6 2=1958…记为r1=3，r2=6，r3=17，r4=66，r5=327，r6=1958，…　　我们可以得到递推关系式：rn=n(rn-1-1) 2，n=2,3,4…这样就可以构造出327点染5色问题，1958点染6色问题，都必出现一个同色三角形。 　　（三）抽屉原理的其他形式。 　　在例7的证明过程中，我们实际上用到了抽屉原理的其他形式，我们把它作为定理2。 　　定理2：把m个元素分成n个集合（m＞n） 　　（1）当n能整除m时，至少有一个集合含有个元素； 　　（2）当n不能整除 m时，则至少有一个集合含有至少[] 1个元素，（[]表示不超过 的最大整数） 　　定理2有时候也可叙述成：把m×n 1个元素放进n个集合，则必有一个集合中至少放有m 1个元素。 　　例8．在边长为1的正方形内任意放入九个点，求证：存在三个点，以这三个点为顶点的三角形的面积不超过（1963年北京市数学竞赛题）。 　　分析与解答：如图3，四等分正方形，得到A1，A2，A3，A4四个矩形。在正方形内任意放入九个点，则至少有一个矩形Ai内存在[] 1=3个或3个以上的点，设三点为A、B、C，具体考察Ai（如图4），过A、B、C三点分别作矩形长边的平行线，过A点的平行线交BC于A"点，A点到矩形长边的距离为h=(0≤h≤)，则△ABC的面积　　S△ABC=S△AA"C S△AA"B 　　　　　≤×1×h ×1×（-h） 　　　　　=×=　　说明：把正方形分成四个区域，可以得出“至少有一个区域内有3个点”的结论，这就为确定三角形面积的取值范围打下了基础。本题构造“抽屉”的办法不是唯一的，还可以将正方形等分成边长为的四个小正方形等。但是如将正方形等分成四个全等的小三角形却是不可行的（想一想为什么？）。所以适当地构造“抽屉”，正是应用抽屉原则解决问题的关键所在。图5 　　以下两个题目可以看作是本例的平凡拓广：　　（1）在边长为2的正方形内，随意放置9个点，证明：必有3个点，以它们为顶点的三角形的面积不超过。　　（2）在边长为1的正方形内任意给出13个点。求证：必有4个点，以它们为顶点的四边形的面积不超过1/4。 　　例9．9条直线的每一条都把一个正方形分成两个梯形，而且它们的面积之比为2∶3。证明：这9条直线中至少有3条通过同一个点。 　　证明：设正方形为ABCD，E、F分别是AB，CD的中点。 6 抽屉原理 　　设直线L把正方形ABCD分成两个梯形ABGH和CDHG，并且与EF相交于P（如图6）　　梯形ABGH的面积：梯形CDHG的面积=2∶3 　　EP是梯形ABGH的中位线，PF是梯形CDHG的中位线，由于　　梯形的面积=中位线×梯形的高，并且两个梯形的高相等（AB=CD），所以　　梯形ABGH的面积∶梯形CDHG的面积　　　　=EP∶PF，也就是EP∶PF=2∶3 　　这说明，直线L通过EF上一个固定的点P，这个点把EF分成长度为2∶3的两部分。这样的点在EF上还有一个，如图上的Q点（FQ∶QE=2∶3）。 　　同样地，如果直线L与AB、CD相交，并且把正方形分成两个梯形面积之比是2∶3，那么这条直线必定通过AD、BC中点连线上的两个类似的点（三等分点）。 　　这样，在正方形内就有4个固定的点，凡是把正方形面积分成两个面积为2∶3的梯形的直线，一定通过这4点中的某一个。我们把这4个点看作4个抽屉，9条直线看作9个苹果，由定理2可知，　　　9=4×2 1，　　所以，必有一个抽屉内至少放有3个苹果，也就是，必有三条直线要通过一个点。 　　说明：本例中的抽屉比较隐蔽，正方形两双对边中点连线上的4个三等分点的发现是关键，而它的发现源于对梯形面积公式S梯形=中位线×梯形的高的充分感悟。 　　例10．910瓶红、蓝墨水，排成130行，每行7瓶。证明：不论怎样排列，红、蓝墨水瓶的颜色次序必定出现下述两种情况之一种： 　　1．至少三行完全相同； 　　2．至少有两组（四行），每组的两行完全相同。（北京市高中一年级数学竞赛1990年复赛试题）

不会 你应该有公式吧

第1题，你把花色与点数弄混了。可以想像有四个抽屉，每个抽屉放同花色的牌，都最多3张，3*4=12，再抽1张，就必有4张同花色。所以，最少抽3*4+1=13张。第2题，不知两张王算不算同点数。如果两张王算同点数，那么14*1+1=15张这题想像有14个抽屉（分别放13个点各1张加1张王）

那就用13个人的生日问题来解决，不是每个月都有人过生日，但是至少有2个人是同一个月的，对吧。

370个人可以保证有2个人的生日是同一天。把366天（按闰年说）的每一天都当作一个抽屉。那么，把370个人放到每一个抽屉里，每一个抽屉里都有一个人。还剩下4个人。那么，无论这四个人放到哪一个抽屉里都能保证有2个相同生日的人。抽屉原理即最不利原则。抽屉原理的抽屉和苹果：1，其实没必要非得找出来什么是抽屉，什么是苹果。那样会很累。而且有时候不一定能找对。2，抽屉原理，记住一句话即可：最不利原则。抽屉原理，简单的说就是六个苹果放入五个抽屉里，肯定有一个抽屉有两个以上的苹果。但是，在做题的时候，往往不可能给你那么明确，让你知道什么是苹果，什么是抽屉。这就增加了题目的难度，因为你只有准确的找到了什么是苹果，什么是抽屉才能正确的做出题目。现在小学奥数讲的抽屉原理的公式：苹果数/抽屉数=N……？，那么肯定保证有一个抽屉里有N+1个以上的苹果。但是，有时候很难找对什么是苹果，什么是抽屉。其实，不必用上面的公式，用最不利原则可以更快，更准确的做出题目，而且用最不利原则，不必知道什么是抽屉，什么是苹果。最不利原则，就是做题的时候往最大化想，往坏了想。

物体数÷抽屉数=每个抽屉的物体数···多余的物体数每个抽屉的物体数+1=每个抽屉至少有几个物体

1：可以这样看练习本三种为甲、乙、丙则买的可能为一本：甲、乙、丙三种 两本：甲乙、甲丙、乙丙三种 三本：甲乙丙一种共7种情况，要两人选择的种类相同至少7+1＝8人先取8只，如果每种颜色都有两只或者全部是一种颜色，那么就配成了，但是不是最坏的情况。因此再取4只（为什么不拿4只以下呢？因为在最不理想的状况下，只有拿4只以上才可以配。），共12只，这时除开全部配对最不理想的状况是：四种颜色都有3只。也就是说可以配成4双，并且剩下4只，可能可以配成，但也不绝对，因为万一4只的颜色不一样，就配不成了，这个时候再加一只上去，无论如何，它都可以与另外的其中一只配成1对了！前后加起来可以得到： 8+4+1=13从27座到40座，连续都有，才能使相同的最少，27,28,29......40共有14种30辆是14的2倍余2，这余下的2辆车必定和另外的28辆重复，所以最少3辆假如有51个猴子,每十个一排,排成五排多一个,按顺序每排的第一个猴子分一个,第二个猴子分二个以此类推.也就是第一排1+2+3.......+10=55个桃子,55*5排=275个桃子.这样就至少有五猴子分的样多了,第五十一个猴子分5个,所以280个桃子至少有六个猴子分的一样了. 这些题目考的不是算式，主要是推理，像算式一类的都是加法，没意思，会推理就好了 希望采纳啊

牌除了大小王，共有4种花色，也就是4个抽屉，条件是保证有1个是6张，也就是如果就达不到要求，4个抽屉里最多能放几张，很明显都每个抽屉都放满5张是最多的，再多加1张，无论放哪个抽屉都能会使一个抽屉达到6.

1，其实没必要非得找出来什么是抽屉，什么是苹果。那样会很累。而且有时候不一定能找对。2，抽屉原理，记住一句话即可：最不利原则。抽屉原理，简单的说就是六个苹果放入五个抽屉里，肯定有一个抽屉有两个以上的苹果。但是，在做题的时候，往往不可能给你那么明确，让你知道什么是苹果，什么是抽屉。这就增加了题目的难度，因为你只有准确的找到了什么是苹果，什么是抽屉才能正确的做出题目。现在小学奥数讲的抽屉原理的公式：苹果数/抽屉数=N……？，那么肯定保证有一个抽屉里有N+1个以上的苹果。但是，有时候很难找对什么是苹果，什么是抽屉。其实，不必用上面的公式，用最不利原则可以更快，更准确的做出题目，而且用最不利原则，不必知道什么是抽屉，什么是苹果。最不利原则，就是做题的时候往最大化想，往坏了想。例1，一副扑克牌，抽几张能够保证有3张点数一样的牌？解：不妨真的拿出一副扑克来抽一抽，怎么抽才能尽量不让其满足有3张点数一样的牌（这时候的抽牌，不如说是找牌，找出不让其满足条件的牌）。那么先找出大小王，然后1-13点的牌，每种找出2张，这时候，已经有2+13*2=28张牌，下一步，无论你抽哪一张，都能保证有3张相同点数的牌，所以需要抽出29张牌，才能保证有3张相同点数的牌。例2，一堆梨子和苹果，需要把其分成几堆有两堆的梨子数之和和苹果数之和都为偶数？解：奇数+奇数=偶数，偶数+偶数=偶数。所以要使两堆梨子数和苹果数都为偶数，那么两堆里的梨子数与苹果都相同，即要么都为奇数，要么都为偶数。一堆水果中，苹果数和梨子数可以表现为（奇数，奇数），（奇数，偶数），（偶数，奇数），（偶数，偶数）。要使梨子数和苹果数都为偶数，那么分开的堆中，至少有2堆相同表现形式的水果，即至少需要分为5堆水果，最极端的情况，上述四种情况都存在，那么第五堆水果一定与上面四种情况中的一种相同。所以，至少分为5堆。例3，把1,3,5,7,9,......29这15个偶数中任取9个数，试证明其中一定有两个数的和是30.证明：1+29=3+27=5+25=7+23=9+21=11+19=13+17=30上面有了14个数字，也就是说题目中的15个数字分成了上述14个数字和15一个数字。当任意取九个数字的时候，因为要保证其中有俩个数的和是30，所以就用最不利原则，即：只取上述等式中的一个数字，举个例子，1+29，我们只取1，或者29这个数字，那么14个数字，取7个数字，其中每两个数的和都不等于30，再加上15，就是8个数字中任两个数字的和不等于30。 那么在剩下的7的数字，无论取哪个数字，都能和我们开始取的8个数字中的一个数字和为30。所以，至少取9个数字，中其中有两个数的和是30。例4，任意7个不相同的自然数，其中至少有两个数的差是6的倍数，这是为什么？解：如果两个数除以6所得的余数相同，那么这两个数的差肯定为6的倍数。一个数除以6所得的余数有0,1,2,3,4,5六种。那么要使其有两个数除以6得到的余数相同，那么至少有7个数才能保证有两个数除以6得到的余数相同。PS：：：不懂还可继续问。。。。

两双不同颜色的手套。那么，这时候，先把一种颜色的袜子取完（无所谓啥颜色的）。这时候，没有2双颜色不同的袜子（只有一种颜色的）。然后，那俩颜色的袜子一样取一只（不能取两只，因为取两只就成一双了），这时候，还是没有2双颜色不同的袜子。然后，再随便取一只就能保证有2双不同颜色的袜子了。答案：10+2+1=13只。抽屉原理的抽屉和苹果：1，其实没必要非得找出来什么是抽屉，什么是苹果。那样会很累。而且有时候不一定能找对。2，抽屉原理，记住一句话即可：最不利原则。抽屉原理，简单的说就是六个苹果放入五个抽屉里，肯定有一个抽屉有两个以上的苹果。但是，在做题的时候，往往不可能给你那么明确，让你知道什么是苹果，什么是抽屉。这就增加了题目的难度，因为你只有准确的找到了什么是苹果，什么是抽屉才能正确的做出题目。现在小学奥数讲的抽屉原理的公式：苹果数/抽屉数=N……？，那么肯定保证有一个抽屉里有N+1个以上的苹果。但是，有时候很难找对什么是苹果，什么是抽屉。其实，不必用上面的公式，用最不利原则可以更快，更准确的做出题目，而且用最不利原则，不必知道什么是抽屉，什么是苹果。最不利原则，就是做题的时候往最大化想，往坏了想。PS：：：按照你说的，颜色是抽屉，那么想象一下，要保证3个抽屉里有2双不同颜色的袜子。这时候，一个颜色袜子中所有的袜子都放进去也不会有2双不同颜色的袜子。然后，其他两种颜色的抽屉中一种放一个，还是不会有2双不同颜色的袜子。然后，再随便放一只袜子就能保证两双颜色不同的袜子。你的想法，先取四只，就能保证有一双袜子和两个单只的吗？就不会有4种颜色一样的袜子吗？解题的过程，不要有任何的意外发生。。。。

物体总个数除以至少数减1

你学过排列组合没

(个数-1)×抽屉数+1抽屉原理一:把多于n个的物体,任意放到n个抽屉中,那么总有1个抽屉放进了至少2个物体.抽屉原理二:把m个物体放入n个抽屉中(m>n),那么分两种情况: 1.m能被n整除时,一定有一个抽屉里至少有m/n个物体 2.m不能被n整除时, 一定有一个抽屉里至少有(m/n+1)个物体

如果n+1个物体被放进n个盒子，那么至少有一个盒子包含两个或更多的物体。例1：在13个人中存在两个人，他们的生日在同一月份里。例2：设有n对已婚夫妇。为保证有一对夫妇被选出，至少要从这2n个人中选出多少人？（n+1）

1.抽屉×（除至少数）每个抽屉放的物体数+1 2.至少数=商+1，能整除时至少数=商。

k=[n/m]+1。抽屉原理可以解释为任意个自然数，其中至少有两个数的差是的倍数。如果把（n+1）个物体放在n个抽屉里，那么必有一个抽屉中至少放有2个物体。

x除抽屉+1

第一抽屉原理　　原理1： 把多于n个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里的东西不少于两件。 　　证明（反证法）：如果每个抽屉至多只能放进一个物体，那么物体的总数至多是n，而不是题设的n+k(k≥1)，故不可能。 　　原理2 ：把多于mn(m乘以n)个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有不少于m+1的物体。 　　证明（反证法）：若每个抽屉至多放进m个物体,那么n个抽屉至多放进mn个物体,与题设不符，故不可能。 　　原理3 ：把无穷多件物体放入n个抽屉，则至少有一个抽屉里 有无穷个物体。 　　原理1 、2 、3都是第一抽屉原理的表述。 第二抽屉原理　　把（mn－1）个物体放入n个抽屉中，其中必有一个抽屉中至多有（m—1）个物体。 　　证明（反证法）：若每个抽屉都有不少于m个物体，则总共至少有mn个物体，与题设矛盾，故不可能。

知道抽屉数和至少数（同类），求物体时：物体数=（至少数-1）×抽屉数+1。当至少数为2时，物体数=抽屉数+1。抽屉原理，主要由以下三条所组成：原理1： 把多于n+1个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里的东西不少于两件。原理2 ：把多于mn(m乘n)+1（n不为0）个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有不少于（m+1）的物体。原理3 ：把无穷多件物体放入n个抽屉，则至少有一个抽屉里有无穷个物体。扩展资料把它推广到一般情形有以下几种表现形式。形式一：设把n+1个元素划分至n个集合中(A1，A2，…，An)，用a1，a2，…，an分别表示这n个集合对应包含的元素个数，则：至少存在某个集合Ai，其包含元素个数值ai大于或等于2。证明：（反证法）假设结论不成立，即对每一个ai都有ai

1、知道抽屉数和至少数（同类），求物体时：物体数=（至少数-1）×抽屉数+1。当至少数为2时，物体数=抽屉数+1。2、原理1：把多于n+1个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里的东西不少于两件。3、原理2：把多于mn(m乘n)+1（n不为0）个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有不少于（m+1）的物体。4、原理3：把无穷多件物体放入n个抽屉，则至少有一个抽屉里有无穷个物体。

　　1、三个苹果放进两个抽屉，必有一个抽屉里至少有两个苹果。 　　2、抽屉原则的常见形式一，把n+k（k≥1）个物体以任意方式全部放入n个抽屉中，一定存在一个抽屉中至少有两个物体。 　　3、二，把mn+k（k≥1）个物体以任意方式全部放入n个抽屉中，一定存在一个抽屉中至少有m+1个物体。 　　4、三，把m1+m2+…+mn+k（k≥1）个物体以任意方式全部放入n个抽屉中，那么后在一个抽屉里至少放入了m1+1个物体，或在第二个抽屉里至少放入了m2+1个物体，……，或在第n个抽屉里至少放入了mn+1个物体四，把m个物体以任意方式全部放入n个抽屉中，有两种情况：①当n|m时（n|m表示n整除m），一定存在一个抽屉中至少放入了 个物体；②当n不能整除m时，一定存在一个抽屉中至少放入了[ ]+1个物体（[x]表示不超过x的最大整数）。

假如有51个猴子,每十个一排,排成五排多一个,按顺序每排的第一个猴子分一个,第二个猴子分二个以此类推.也就是第一排1+2+3.......+10=55个桃子,55*5排=275个桃子.这样就至少有五猴子分的样多了,第五十一个猴子分5个,所以280个桃子至少有六个猴子分的一样了.

狄利克雷

6个不透明瓶子，一个有水，最不利拿五次空瓶才能知道最后那个有水，这就是最不利

抽屉原理的一般含义为：“如果每个抽屉代表一个集合，每一个苹果就可以代表一个元素，假如有n＋1或多于n＋1个元素放到n个集合中去，其中必定至少有一个集合里至少有两个元素。”抽屉原理有时也被称为鸽巢原理（“如果有五个鸽子笼，养鸽人养了6只鸽子，那么当鸽子飞回笼中后，至少有一个笼子中装有2只鸽子”）。它是德国数学家狄利克雷首先明确的提出来并用以证明一些数论中的问题，因此，也称为狄利克雷原理。它是组合数学中一个重要的原理。例：六年级有100名学生，他们都订阅甲、乙、丙三种杂志中的一种、二种或三种。问：至少有多少名学生订阅的杂志种类相同？分析与解：首先应当弄清订阅杂志的种类共有多少种不同的情况。订一种杂志有：订甲、订乙、订丙3种情况；订二种杂志有：订甲乙、订乙丙、订丙甲3种情况；订三种杂志有：订甲乙丙1种情况。总共有3＋3＋1=7（种）订阅方法。我们将这7种订法看成是7个“抽屉”，把100名学生看作100件物品。因为100＝14×7＋2。根据抽屉原理2，至少有14＋1＝15（人）所订阅的报刊种类是相同的。抽屉原理常见形式：原理1把多于n个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有2个或2个以上的物体。[证明]（反证法）：如果每个抽屉至多只能放进一个物体，那么物体的总数至多是n，而不是题设的n+k(k≥1)，这不可能.原理2把多于mn(m乘以n)个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有m+1个或多于m+1个的物体。[证明]（反证法）：若每个抽屉至多放进m个物体,那么n个抽屉至多放进mn个物体,与题设不符，故不可能.原理12都是第一抽屉原理的表述第二抽屉原理：把（mn－1）个物体放入n个抽屉中，其中必有一个抽屉中至多有（m—1）个物体。[证明]（反证法）：若每个抽屉都有不少于m个物体，则总共至少有mn个物体，与题设矛盾，故不可能二．应用抽屉原理解题抽屉原理的内容简明朴素，易于接受，它在数学问题中有重要的作用。许多有关存在性的证明都可用它来解决。例1：400人中至少有两个人的生日相同.解：将一年中的366天视为366个抽屉，400个人看作400个物体，由抽屉原理1可以得知：至少有两人的生日相同.又如：我们从街上随便找来13人，就可断定他们中至少有两个人属相相同.“从任意5双手套中任取6只，其中至少有2只恰为一双手套。”“从数1，2，...，10中任取6个数，其中至少有2个数为奇偶性不同。”例2：幼儿园买来了不少白兔、熊猫、长颈鹿塑料玩具，每个小朋友任意选择两件，那么不管怎样挑选，在任意七个小朋友中总有两个彼此选的玩具都相同，试说明道理.解：从三种玩具中挑选两件，搭配方式只能是下面六种：（兔、兔），（兔、熊猫），（兔、长颈鹿），（熊猫、熊猫），（熊猫、长颈鹿），（长颈鹿、长颈鹿）。把每种搭配方式看作一个抽屉，把7个小朋友看作物体，那么根据原理1，至少有两个物体要放进同一个抽屉里，也就是说，至少两人挑选玩具采用同一搭配方式，选的玩具相同.上面数例论证的似乎都是“存在”、“总有”、“至少有”的问题，不错，这正是抽屉原则的主要作用.（需要说明的是，运用抽屉原则只是肯定了“存在”、“总有”、“至少有”，却不能确切地指出哪个抽屉里存在多少.）抽屉原理虽然简单，但应用却很广泛，它可以解答很多有趣的问题，其中有些问题还具有相当的难度。下面我们来研究有关的一些问题。

例如：把7个小球分给3个小朋友，一定有一个朋友有3个小球，能说明其中的道理吗？ 因为7除以3=2......1。根据抽屉原理把7个小球看作物体，把3个小朋友看作抽屉。至少有商+1=2+1=1个小朋友分到3个小球。

如果每个抽屉代表一个集合，每一个苹果就可以代表一个元素，假如有n+1或多于n+1个元素放到n个集合中去，其中必定至少有一个集合里有两个元素。桌上有十个苹果，要把这十个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放，我们会发现至少会有一个抽屉里面至少放两个苹果。这一现象就是我们所说的“抽屉原理”。 抽屉原理的一般含义为：“如果每个抽屉代表一个集合，每一个苹果就可以代表一个元素，假如有n+1或多于n+1个元素放到n个集合中去，其中必定至少有一个集合里有两个元素。” 抽屉原理有时也被称为鸽巢原理。它是组合数学中一个重要的原理。为小学六年级课程。【第一抽屉原理】：原理1： 把多于n+1个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里的东西不少于两件。抽屉原理证明（反证法）：如果每个抽屉至多只能放进一个物体，那么物体的总数至多是n，而不是题设的n+k(k≥1)，故不可能。原理2 ：把多于mn(m乘以n)个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有不少于m+1的物体。证明（反证法）：若每个抽屉至多放进m个物体,那么n个抽屉至多放进mn个物体,与题设不符，故不可能。原理3 ：把无穷多件物体放入n个抽屉，则至少有一个抽屉里 有无穷个物体。原理1 、2 、3都是第一抽屉原理的表述。【第二抽屉原理】：把（mn－1）个物体放入n个抽屉中，其中必有一个抽屉中至多有（m—1）个物体(例如，将3×5-1=14个物体放入5个抽屉中，则必定有一个抽屉中的物体数少于等于3-1=2)。证明（反证法）：若每个抽屉都有不少于m个物体，则总共至少有mn个物体，与题设矛盾，故不可能。

40个 因为你把400米平均分成10米 需要41面旗 但是首位相接 会去掉一个

抽屉原理的一般含义为:“如果每个抽屉代表一个集合,每一个苹果就可以代表一个元素,假如有 n+1或多于n+1个元素放到n个集合中去,其中必定至少有一个集合里至少有两个元素。”

抽屉原理又称鸽巢原理，它是组合数学的一个基本原理，最先是由德国数学家狄利克雷明确地提出来的，因此，也称为狄利克雷原理。 鸽巢原理，又名狄利克雷抽屉原理、鸽巢原理。 其中一种简单的表述法为：若有n个笼子和n加1只鸽子，所有的鸽子都被关在鸽笼里，那么至少有一个笼子里有2只鸽子； 另一种为：若有n个笼子和mn加1只鸽子，所有的鸽子都被关在鸽笼里，那么至少有一个笼子里有m加1只鸽子。

抽屉原理本身没什么说的，具体应用要具体问题具体分析，总的原则就是找准什么是抽屉，不过需要的数学技巧要看问题

抽屉原理又称鸽巢原理，它是组合数学的一个基本原理，最先是由德国数学家狭利克雷明确地提出来的，因此，也称为狭利克雷原理。 把3个苹果放进2个抽屉里，一定有一个抽屉里放了2个或2个以上的苹果。这个人所皆知的常识就是抽屉原理在日常生活中的体现。用它可以解决一些相当复杂甚至无从下手的问题。 原理1：把n+1个元素分成n类，不管怎么分，则一定有一类中有2个或2个以上的元素。 原理2：把m个元素任意放入n（n＜m＝个集合，则一定有一个集合呈至少要有k个元素。 其中 k＝ （当n能整除m时） 〔 〕＋1 （当n不能整除m时） （〔 〕表示不大于 的最大整数，即 的整数部分） 原理3：把无穷多个元素放入有限个集合里，则一定有一个集合里含有无穷多个元素。

抽屉原理又称鸽巢原理，它是组合数学的一个基本原理，最先是由德国数学家狭利克雷明确地提出来的，因此，也称为狭利克雷原理。抽屉原理“任意367个人中，必有生日相同的人。”“从任意5双手套中任取6只，其中至少有2只恰为一双手套。”“从数1，2，...，10中任取6个数，其中至少有2个数为奇偶性不同。”......大家都会认为上面所述结论是正确的。这些结论是依据什么原理得出的呢?这个原理叫做抽屉原理。“抽屉原理”最先是由19世纪的德国数学家迪里赫莱(Dirichlet)运用于解决数学问题的，所以又称“迪里赫莱原理”，也有称“鸽巢原理”的。这个原理可以简单地叙述为“把10个苹果，任意分放在9个抽屉里，则至少有一个抽屉里含有两个或两个以上的苹果”。这个道理是非常明显的，但应用它却可以解决许多有趣的问题，并且常常得到一些令人惊异的结果。抽屉原理是国际国内各级各类数学竞赛中的重要内容，它的内容可以用形象的语言表述为:“把m个东西任意分放进n个空抽屉里(m>n)，那么一定有一个抽屉中放进了至少2个东西。”在上面的第一个结论中，由于一年最多有366天，因此在367人中至少有2人出生在同月同日。这相当于把367个东西放入366个抽屉，至少有2个东西在同一抽屉里。在第二个结论中，不妨想象将5双手套分别编号，即号码为1，2，...，5的手套各有两只，同号的两只是一双。任取6只手套，它们的编号至多有5种，因此其中至少有两只的号码相同。这相当于把6个东西放入5个抽屉，至少有2个东西在同一抽屉里。

抽屉原理又称鸽巢原理，它是组合数学的一个基本原理，最先是由德国数学家狭利克雷明确地提出来的，因此，也称为狭利克雷原理。把3个苹果放进2个抽屉里，一定有一个抽屉里放了2个或2个以上的苹果。这个人所皆知的常识就是抽屉原理在日常生活中的体现。用它可以解决一些相当复杂甚至无从下手的问题。原理1：把n+1个元素分成n类，不管怎么分，则一定有一类中有2个或2个以上的元素。原理2：把m个元素任意放入n（n＜m＝个集合，则一定有一个集合呈至少要有k个元素。其中k＝（当n能整除m时）〔〕＋1（当n不能整除m时）（〔〕表示不大于的最大整数，即的整数部分）原理3：把无穷多个元素放入有限个集合里，则一定有一个集合里含有无穷多个元素。

　　抽屉原理又称鸽巢原理，它是组合数学的一个基本原理，最先是由德国数学家狄利克雷明确地提出来的，因此，也称为狄利克雷原理。把八个苹果任意地放进七个抽屉里，不论怎样放，至少有一个抽屉放有两个或两个以上的苹果。抽屉原则有时也被称为鸽巢原理，它是德国数学家狄利克雷首先明确的提出来并用以证明一些数论中的问题，因此，也称为狄利克雷原则。它是组合数学中一个重要的原理。 　　最不利原则，即考虑最差的情况，让最差的情况都发生，则其他情况也就一定会发生。从最不利的状况去考虑问题。

还有一个是加乘原理。

　　抽屉原理又称鸽巢原理，它是组合数学的一个基本原理，最先是由德国数学家狭利克雷明确地提出来的，因此，也称为狭利克雷原理。它是德国数学家狄利克雷首先明确的提出来并用以证明一些数论中的问题，因此，也称为狄利克雷原理。它是组合数学中一个重要的原理。接下来我们一起来看看六年级数学《抽屉原理》公开课教学设计（精选5篇）。 　　六年级数学《抽屉原理》公开课教学设计 篇1 　　教学内容： 　　六年级数学下册70页、71页例1、例2。 　　教学目标： 　　1、理解“抽屉原理”的一般形式。 　　2、经历“抽屉原理”的探究过程，体会比较、推理的学习方法，会用“抽屉原理”解决简单的的实际问题。 　　4、感受数学的魅力，提高学习兴趣，培养学生的探究精神。 　　教学重点： 　　经历“抽屉原理”探究过程，初步了解“抽屉原理”。 　　教学难点： 　　理解“抽屉原理”的一般规律。 　　教学准备： 　　相应数量的杯子、铅笔、课件。 　　教学过程： 　　一、情景引入 　　让五位学生同时坐在四把椅子上，引出结论：不管怎么坐，总有一把椅子上至少坐了两名学生。 　　师：同学们，你们想知道这是为什么吗?今天，我们一起研究一个新的有趣的数学问题。 　　二、探究新知 　　1、探究3根铅笔放到2个杯子里的问题。 　　师：现在用3根铅笔放在2个杯子里，怎么放?有几种放法?大家摆摆看，有什么发现? 　　摆完后学生汇报，教师作相应的板书(3，0)(2，1)，引导学生观察理解说出：不管怎么放总有一个杯子至少有2根铅笔。 　　2、教学例1 　　(1)师：依此推下去，把4根铅笔放在3个杯子又怎么放呢?会有这种结论吗?让学生动手操作，做好记录，认真观察，看看有什么发现? 　　(2)、学生汇报放结果，结合学具操作解释。教师作相应记录。 　　(4，0，0) (3，1，0) (2，2，0) (2，1，1) 　　(学生通过操作观察、比较不难发现有与上个问题同样结论。) 　　(3)学生回答后让学生阅读例1中对话框：不管怎么放，总有一个杯子里至少放进2根铅笔。 　　师：“总有”是什么意思?“至少”呢?让学生理解它们的含义。 　　师：怎样放才能总有一个杯子里铅笔数最少?引导学生理解需要“平均放”。 　　教师出示课件演示让学生进一步理解“平均放”。 　　3、探究n+1根铅笔放进n个杯子问题 　　师：那我们再往下想，6根铅笔放在5个杯子里，你感觉会有什么结论? 　　让学生思考发现不管怎么放，总有一个杯子里至少有2根铅笔。 　　师：7根铅笔放进6个杯子，你们又有什么发现? 　　…… 　　学生回答完之后，师提出：是不是只要铅笔数比杯子数多1，总有一个杯子里至少放进2根铅笔?让学生进行小组合作讨论汇报。 　　学生汇报后引导学生用实验验证想法。 　　师：把10根小棒放在9个杯子里呢，总有一个杯子里至少有几根小棒?(2根) 　　师：把100根小棒放在99个杯子里，会有什么结论呢?(2根) 　　4、总结规律 　　师：刚才我们研究的都是铅笔数比杯子数多1，而余数也正巧是1的，如果余下铅笔数比杯子多2、多3、多4的呢，结论又会怎样? 　　(1)探究把5根铅笔放在3个杯子里，不管怎么放，总有一个杯子里至少有几根铅笔?为什么? 　　a、先同桌摆一摆，再说一说。 　　b、你怎么分的? 　　学生汇报后，教师演示：将5根笔平均分到3个杯子里里，余下的两根怎么办?是把余下的两根无论放到哪个杯子里都行吗?怎样保证至少? 　　引导学生知道再把两根铅笔平均分，分别放入两个杯子里。 　　(2)探究把15根铅笔放在4个杯子里的结论。 　　(3)、引导学生总结得出结论：商加1是总有一个杯子至少个数。 　　(4)教学例2 　　课件出示： 　　1、把5本书放进2个抽屉里，不管怎么放，总有一个抽屉里至少有几本书? 　　2、把7本书放进2个抽屉里，不管怎么放，总有一个抽屉里至少有几本书? 　　3、把9本书放进2个抽屉里，不管怎么放，总有一个抽屉里至少有几本书? 　　学生汇报 　　小结：不管怎么放，总有一个抽屉里至少有“商加1”本书了。 　　师：这就是有趣的“抽屉原理”，又称“鸽笼原理”，最先同19世纪的德国数学家狄里克雷提出来的，所以又称“狄里克雷原理”。这一原理在解决实际问题中有着广泛的应用。“抽屉原理”的应用是千变万化的，用它可以解决许多有趣的问题，并且常常能得到一些今人惊异的结果。 　　三、解决问题 　　1、7枝笔入进5个笔筒里，不管怎么放，总有一个笔筒中至少有2枝笔。为什么? 　　2、8只鸽子飞回3鸽笼，不管飞，总有一个鸽笼里至少有3只鸽子。为什么? 　　师：最后，我们再来玩个游戏，你们都玩过扑克牌吗?一共有几张牌(54)，抽出大王和小王还剩几张(52)有几种花色(四种)，下面老师请一位同学任愿的抽出5张，不用看，老师就知道，不管怎么抽，至少有2张是同花色的。老师说的对吗?为什么? 　　四、课时总结 　　板书设计： 　　抽屉原理 　　铅笔数(物体数) 杯子数(抽屉数) 总有一个杯子(抽屉)至少放进物体数 　　3 2 2 　　4 3 2 　　6 5 2 　　7 6 2 　　100 99 2 　　n+1 n 2 　　5 3 5÷3=1…2 1+1 　　15 4 15÷4=3…3 3+1 　　总有一个抽屉里至少放进物体的个数：商数+1 　　六年级数学《抽屉原理》公开课教学设计 篇2 　　教材分析 　　《抽屉原理的认识》是人教版数学六年级下册第五章内容。在数学问题中有一类与“存在性”有关的问题。在这类问题中，只需要确定某个物体（或某个人）的存在就可以了，并不需要指出是哪个物体（或哪个人），也不需要说明是通过什么方式把这个存在的物体（或人）找出来。这类问题依据的理论，我们称之为“抽屉原理”。“抽屉原理”最先是由19世纪的德国数学家狄里克雷（Dirichlet）运用于解决数学问题的，所以又称“狄里克雷原理”，也称为“鸽巢原理”。、 　　学情分析 　　本节课我根据“教师是组织者、引导者和合作者”这一理念,以学生参与活动为主线,创建新型的教学结构。通过几个直观的例子，用假设法向学生介绍“抽屉原理”，学生难以理解，感觉抽象。在教学时，我结合本班实际，用学生熟悉的吸管和杯子贯穿整个课堂，让学生通过动手操作，在活动中真正去认识、理解“抽屉原理”学生学得轻松也容易接受。 　　教学目标 　　1、经历“抽屉原理”的探究过程，初步了解“抽屉原理”，会用“抽屉原理”解决简单的实际问题。 　　2、通过操作发展 的类推能力，形成抽象的数学思维。 　　3、通过“抽屉原理”的灵活应用，感受数学的魅力。 　　教学重点和难点 　　【教学重点】 　　经历“抽屉原理”的探究过程，初步了解“抽屉原理”。 　　【教学难点】 　　理解“抽屉原理”，并对一些简单实际问题加以“模型化”。 　　六年级数学《抽屉原理》公开课教学设计 篇3 　　教学内容 ： 　　人教版六年级下册第五单元数学广角 　　教学目标： 　　1、初步了解“抽屉原理”。 　　2、引导学生用操作枚举或假设的方法探究“抽屉原理”的一般规律。 　　3、会用抽屉原理解决简单的实际问题。 　　4、经历从具体的抽象的探究过程，初步了解抽屉原理，提高学生又根据有条理的进行思考和推理的能力，体会比较的学习方法。 　　教学重点：抽屉原理的理解和简单应用。 　　教学难点：找出实际问题与抽屉原理的内在联系。 　　教学过程： 　　一、开展小游戏，引入新课。 　　师：在我们上课之前，先做个小游戏：老师这里准备了4把椅子，请5个同学上来，谁愿来？ 　　师：听清要求，老师说开始以后，请你们5个都坐在椅子上，每个人必须都坐下，好吗？（好）。这时教师面向全体，背对那5个人。 　　师：开始。 　　师：都坐下了吗？ 　　生：坐下了。 　　师：我没有看到他们坐的情况，但是我敢肯定地说：“不管怎么坐，总有一把椅子上至少坐两位同学”我说得对吗？ 　　生：对！ 　　师：想知道老师为什么会做出如此准确的判断吗？其实这里面蕴含着一个有趣的数学原理——抽屉原理。 　　二、实验探索 　　第一步：研究4枝铅笔放进3个文具盒，有哪些不同的放法？你们又能从这些方法中发现什么有趣的现象？ 　　1、（出示）师：把4枝笔放进3个文具盒，有哪些不同的放法？（请一生示范）你们又能从这些放法中发现什么有趣的现象？ 　　2、师：接下来，就请同学们以小组为单位进行实验操作，并把放法和发现填在记录卡上。 　　放法 　　文具盒1 　　文具盒2 　　文具盒3 　　最多放几枝 　　A 　　B 　　C 　　D 　　我们的发现 　　3、小组汇报交流。 　　（4，0，0）、（3，1，0）、（2，1，1）、（2，2，0） 　　生：不管怎么放，总有1个文具盒里至少有2枝铅笔。 　　师：“总有”是什么意思？ 　　生：一定有。 　　师：“至少”是什么意思？ 　　生：不少于2枝，可能是3枝或4枝。 　　生小结：把4枝铅笔放进3个文具盒，总有一个文具盒至少放进2枝铅笔。（最多有2枝或2枝以上） 　　4、师：把4枝笔饭放进3个文具盒里，不管怎么放，总有一个文具盒里至少有2枝铅笔。这是我们通过实际操作发现了这个结论。那么，我们能不能找到一种更为直接的方法，只摆一种情况，也能得到这个结论，找出至少数呢？ 　　生：我们发现如果每个文具盒里放1枝铅笔，最多放3枝，剩下的1枝不管放进哪一个文具盒里，总有一个文具盒里至少有2枝铅笔。 　　（学生操作演示） 　　师：这种分法，实际就是先怎么分的？ 　　生众：平均分 　　师：为什么要先平均分？ 　　生1：要想发现存在着“总有一个文具盒里一定至少有2枝”，先平均分，余下1枝，不管放在那个文具盒里，一定会出现“总有一个文具盒里一定至少有2枝”。 　　生2：这样分，只分一次就能确定总有一个文具盒至少有几枝笔了。 　　把笔尽量每个文具盒里都放，还要尽量平均放。怎样用算式表示呢？ 　　4÷3＝1……11＋1＝2 　　5、那照这样的思路：把6枝铅笔放进5个文具盒，怎样想？（用铅笔操作演示）6÷5=1……11＋1＝2 　　把7枝铅笔放进6个文具盒，怎样想？…… 　　100枝铅笔放进99个文具盒呢？ 　　师提问：发现了什么规律？ 　　生小结，师整理：铅笔数比文具盒数多1，不管怎么放，总有一个文具盒里至少放进2枝铅笔。（同桌之间说一说） 　　第二步：研究铅笔数比文具盒数不是多1的现象。 　　1、师：研究到这儿，还想继续研究吗？还有哪些值得我们继续研究的问题？（生自主提问：如不是多1，什么是抽屉原理等等。） 　　2、师：如果铅笔数比文具盒数不是多1，而是多2、3……，总有一个文具盒里至少会有几枝铅笔？ 　　（出示：把5本书放进2个抽屉里，总有一个抽屉里至少会有几本书呢？） 　　生独立思考，在小组内交流，汇报。 　　师：许多同学都没有再摆学具，用的什么方法？ 　　生：平均分。把5本书平均分到2个抽屉里，每个抽屉里放2本书，还剩一本书，无论放在哪个抽屉里，总有一个抽屉里至少有3本书。生：5÷2＝2……12＋1＝3 　　（出示：5本书放进3个抽屉呢？8本书放进5个抽屉呢？） 　　5÷3＝1……21＋1＝28÷5＝1……31＋3＝4 　　师：至少数为什么不是“商+余数”？（小组讨论，汇报） 　　4、对比观察算式，你能发现求至少数的规律吗？ 　　物体数÷抽屉数＝商……余数至少数＝商＋1 　　5、总结抽屉原理，运用抽屉原理的关键是什么？（找准物体数和抽屉数），阅读相关资料。 　　a÷n=b……c（c≠0）把a个物体放进n个抽屉里，总有一个抽屉里至少放进（b+1）个物体。 　　三、应用原理。 　　1、请你试一试。（口答，指出什么是物体数，什么是抽屉数） 　　（1）6只鸽子飞回5个鸽舍，至少有2只鸽子要飞进同一鸽舍，为什么？ 　　（2）把13只小兔关在5个笼中，至少有几只兔子要关在同一个笼里？ 　　（3）有5袋饼干，每袋10快，发给6个小朋友，总有一个小朋友至少分到几块饼干？ 　　2、下面的说法对吗？说说你的理由。 　　向东小学6年级共有370名学生，其中六（2）班有49名学生。 　　A、六年级里至少有2名学生的生日是同一天。 　　（370个物体，366个抽屉） 　　B、六（2）班只有5名学生的生日在同一月。 　　（49个物体，12个抽屉，“只有”就是一定） 　　C、六（2）至少有25位学生是同一性别。 　　3、玩“猜扑克”的游戏。 　　抽掉大小王，抽出5张牌，至少几张是同花色？5÷4=1……11+1=2 　　抽15张至少有几张数字相同？15÷13=1……21+1=2 　　4、学生把学生生活中能用抽屉原理解释的现象写下来。 　　留心观察+细心思考=伟大发现 　　四、全课总结。 　　六年级数学《抽屉原理》公开课教学设计 篇4 　　导学内容：P70——71例1、例2，完成做一做及练习十二1、2题 　　导学目标 　　1、经历“抽屉原理”的探究过程，初步了解“抽屉原理”，会用“抽屉原理”解决简单的实际问题。 　　2、通过“抽屉原理”的灵活应用感受数学的魅力。 　　导学重点：经历“抽屉原理”的探究过程，初步了解“抽屉原理”。 　　导学难点：理解“抽屉原理”，并对一些简单实际问题加以“模型化”。 　　预习学案 　　同学们玩过扑克牌吗?扑克牌有几种花色?取出两张王牌，在剩下的52张扑克牌中任意取出5张，我不看牌，我敢肯定的说：这5张牌至少有两张是同花色，大家相信吗? 　　导学案 　　通过今天的学习，你想知道些什么? 　　自主操作探究新知 　　(一)活动1 　　课件出示： 　　把3本书进2个抽屉中，有几种方法?请同学们放一放，再把你的想法在小组内交流。 　　1、学生动手操作，师巡视，了解情况。 　　2、汇报交流说理活动 　　你们有什么发现?谁能说说看? 　　根据学生的回答用数字在黑板上记录。板书：(3，0)(2，1)(1，2，)(0，3) 　　还可以用什么方法记录?我把用图记录的用课件展示出来。 　　①再认真观察记录，还有什么发现? 　　(总有一个抽屉里至少有2本书。) 　　②怎样放可以一次得出结论?(启发学生用平均分的放法，引出用除法计算。)板书：3÷2=1(本)……1(本) 　　③这种方法是不是很快就能确定总有一个抽屉里至少有几本书呢?(学生交流) 　　④把4本书放进3个抽屉里呢?还用摆吗?板书：4÷3=1(本)……1(本) 　　⑤课件出示：把6本书放进5个抽屉呢? 　　把7本书放进6个抽屉呢? 　　把10本书放进9个抽屉呢? 　　把100本书放进99个抽屉呢? 　　板书：7÷6=1(本)……1(本) 　　10÷9=1(本)……1(本) 　　100÷99=1(本)……1(本) 　　⑥观察这些算式你发现了什么规律? 　　预设学生说出：至少数=商+余数 　　师：是不是这个规律呢?我们来试一试吧! 　　3、深化探究得出结论 　　课件出示：7只鸽子飞回5个鸽笼，至少有两只鸽子要飞进同一个鸽笼里，为什么? 　　①学生活动 　　②交流说理活动 　　③到底是“商加余数”还是“商加1”?谁的结论对呢?在小组里进行研究、讨论。 　　④谁能说清楚?板书：5÷3=1(只)……2(只)至少数=商+1 　　(二)活动二 　　课件出示：把5本书放进2个抽屉里，不管怎么放，总有一个抽屉里至少有几本书? 　　分组操作后汇报 　　板书：5÷2=2(本)……1(本) 　　7÷2=3(本)……1(本) 　　9÷2=4(本)……1(本) 　　那么探究到现在，大家认为怎样才能确定总有一个抽屉至少有几本书? 　　(至少数=商+1) 　　我同意大家的讨论。我们这个发现就是有趣的.“抽屉原理”，“抽屉原理”又称“鸽笼原理”，最先是由19世纪德国数学家狄里克雷提出的，所以又称“狄里克雷原理”。这一原理在实际问题中有着广泛的应用。用它可以解决许多有趣的问题，让我们来试试好吗? 　　灵活应用解决问题 　　1、解释课前提出的游戏问题。 　　2、8只鸽子飞回3个鸽舍，不管怎样分，总有一个鸽舍至少有几只鸽子? 　　3、任意13人中，至少有两人的出生月份相同。为什么? 　　4、任意367名学生中，一定存在两名学生，他们在同一天过生日。为什么? 　　畅谈感受：同学们，今天这节课有什么感受? 　　课堂检测 　　一、填空 　　1、7只鸽子飞进5个鸽舍，至少有( )只鸽子要飞进同伴的鸽舍里。 　　2、有9本书，要放进2个抽屉里，必须有一个抽屉至少要放( )本书。 　　3、四年级两个班共有73名学生，这两个班的学生至少有( )人是同一月出生的。 　　4、任意给出3个不同的自然数，其中一定有2个数的和是( )数。 　　二、选择 　　1、5个人逛商店共花了301元钱，每人花的钱数都是整数，其中至少有一人花的钱数不低于( )元。 　　A、60 B、61 C、62 D、59 　　2、3种商品的总价是13元，每种商品的价格都是整数，至少有一种商品的价格不低于( )元。 　　A、3 B、4 C、5 D、无法确定 　　三、解决问题 　　1、现有5把锁的各1把钥匙混在一起跟锁对不上号了，请问最少试几次就可能全部对上号? 　　2、六、一班四组有男女同学各5名，把他们的名字分别用10个数字代替，至少要点几个数字，才能保证叫到两名男生或两名女生? 　　课后拓展 　　1、六、二班有学生35人，李老师至少要准备多少本练习本，才能保证有一个人的练习本在两本或两本以上? 　　2、从1、2、3……100，这100个连续自然数中，任意取出51个不相同的数，其中必有两个数互质，这是为什么呢? 　　板书设计 　　抽屉原理 　　5÷2=2……1至少有3只 　　7÷2=3……1至少有4只 　　9÷2=4……1至少有5只 　　11÷2=5……1至少有6只 　　至少数=商数+1 　　六年级数学《抽屉原理》公开课教学设计 篇5 　　教学目标： 　　1．使学生能理解抽取问题中的一些基本原理，并能解决有关简单的问题。 　　2．体会数学与日常生活的联系，了解数学的价值，增强应用数学的意识。 　　教学重点： 　　抽取问题。 　　教学难点： 　　理解抽取问题的基本原理。 　　教学过程： 　　一、创设情境，复习旧知 　　1、出示复习题： 　　师：老师这儿有一个问题，不知道哪位同学能帮助解答一下？ 　　2、课件出示：把3个苹果放进2个抽屉里，总有一个抽屉至少放2个苹果，为什么？ 　　3、学生自由回答。 　　二、教学例2 　　1、出示：盒子里有同样大小的红球和蓝球各4个。要想摸出的球一定有2个同色的，最少要摸出几个球？ 　　（1）组织学生读题，理解题意。 　　教师：你们能猜出结果吗？ 　　组织学生猜一猜，并相互交流。 　　指名学生汇报。 　　学生汇报时可能会答出：只摸4个球就可以了，至少要摸出5个球…… 　　教师：能验证吗？ 　　教师拿出准备好的红球及蓝球，组织学生到讲台前来动手摸一摸，验证汇报结果的正确性。 　　（2）教师：刚才我们通过验证的方法得出了结论，联系前面所学的知识，这是一个什么问题？ 　　2、组织学生议一议，并相互交流。再指名学生汇报。 　　教师：上面的问题是一个抽屉问题，请同学们找一找：“抽屉”是什么？“抽屉”有几个？ 　　组织学生议一议，并相互交流。 　　指名学生汇报，使学生明确：抽屉就是颜色数。（板书） 　　教师：能用例1的知识来解答吗？ 　　组织学生议一议，并相互交流。 　　指名学生汇报。 　　使学生明确：只要分的物体比抽屉多，就能保证总有一个抽屉至少放荡2个球，因此要保证摸出两个同色的球，摸出球的数量至少要比颜色的种数多一。 　　（3）组织学生对例题的解答过程议一议，相互交流，理解解决问题的方法。 　　学生不难发现：只要摸出的球比它们的颜色种数多1，就能保证有两个球同色。 　　3、做一做 　　第1题。 　　1、独立思考，判断正误。 　　2、同学交流，说明理由。其中“370名学生中一定有两人的生日是同一天”与例1中的“抽屉原理”是一类，“49名学生中一定有5人的出生月份相同”则与例2的类型相同。教师要引导学生把“生日问题”转化成“抽屉问题”。因为一年中最多有366天，如果把这366天看作366个抽屉，把370个学生放进366个抽屉，人数大于抽屉数，因此总有一个抽屉里至少有两个人，即他们的生日是同一天。而一年中有12个月，如果把这12个月看作12个抽屉，把49个学生放进12个抽屉，49÷12＝4……1，因此，总有一个抽屉里至少有5（即4＋1）个人，也就是他们的生日在同一个月。 　　三、巩固练习 　　完成课文练习十二第1、3题。 　　四、总结评价 　　1、师：这节课你有哪些收获或感想？ 　　五、布置作业 　　1．做一做。把红、黄、蓝三种颜色的小棒各10根混在一起。如果让你闭上眼睛，每次最少拿出几根才能保证一定有2根同色的小棒？保证有2对同色的小棒呢？ 　　2．试一试。给下面每个格子涂上红色或蓝色。观察每一列，你有什么发现？如果只涂两列的话，结论有什么变化呢？ 　　3、拓展练习（选做） 　　（1）任意给出5个非0的自然数。有人说一定能找到3个数，让这3个数的和是3的倍数。你信不信？ 　　（2）把1～8这8个数任意围成一个圆圈。在这个圈上，一定有3个相邻的数之和大于13。你知道其中的奥秘吗？

抽屉原理也叫鸽巢原理，又名狄利克雷抽屉原理、鸽巢原理。其中一种简单的表述法为：若有n个笼子和n+1只鸽子，所有的鸽子都被关在鸽笼里，那么至少有一个笼子至少有2只鸽子另一种为：若有n个笼子和mn+1只鸽子，所有的鸽子都被关在鸽笼里，那么至少有一个笼子至少有m+1只鸽子第一抽屉原理原理1：把多于或等于n+1个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里的东西不少于两件。抽屉原理证明（反证法）：如果每个抽屉至多只能放进一个物体，那么物体的总数至多是n，而不是题设的n+k(k≥1)，故不可能。原理2：把多于mn(m乘以n)个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有不少于m+1的物体。证明（反证法）：若每个抽屉至多放进m个物体,那么n个抽屉至多放进mn个物体,与题设不符，故不可能。原理3：把无穷多件物体放入n个抽屉，则至少有一个抽屉里有无穷个物体。原理1、2、3都是第一抽屉原理的表述。第二抽屉原理把（mn－1）个物体放入n个抽屉中，其中必有一个抽屉中至多有（m—1）个物体。证明（反证法）：若每个抽屉都有不少于m个物体，则总共至少有mn个物体，与题设矛盾，故不可能。

抽屉原理的诀窍：将多于n件的物品任意放入n个抽屉里，则至少有一个抽屉里的物品数量不少于2（至少有2件物品在同一个抽屉里）。例如，桌上有10个苹果，要把这10个苹果放进9个抽屉里，有的抽屉可以放1个，有的可以放2个，有的可以放5个。但无论怎样放，最终我们会发现总有一个抽屉里至少放了2个苹果。一般情况下，把n+1个苹果放进n个抽屉里，总有一个抽屉里至少放了2个苹果，我们称这种现象为抽屉原理。抽屉原理有时也被称为鸽笼原理。运用抽屉原理的一般步骤是：根据元素特征，构造抽屉、把元素放入抽屉、运用抽屉原理解题。口诀速记：抽屉原理我会解，先找抽屉与苹果，苹果除以抽屉数，余数作一加上商，便是一屉至少数。相关的趣闻已知n+ 1个互不相同的正整数，它们全都小于或等于2n，证明当中一定有两个数是互质的。匈牙利大数学家厄杜斯向当年年仅11岁的波萨提出这个问题，而小波萨思考了不足半分钟便能给出正确的答案。波萨是这样考虑问题：取n个盒子，在第一个盒子我们放1和2，在第二个盒子我们放3和4，第三个盒子是放5和6，依此类推直到第n个盒子放2n-1和2n这两个数。如果我们在n个盒子里随意抽出n+1个数，我们马上看到一定有一个盒子是被抽空的。因此在这n+1个数中必有两个数是连续数，很明显地连续数是互质的，因此这问题就解决了。这就是利用了鸽巢原理的核心思想。

抽屉原理I 将n+1件或更多件物体随意的放到n个抽屉中去，那么，至少有一个抽屉中的物体件数不少于2. 抽屉原理II 将多余m×n件物体任意放到n个抽屉中去，那么，至少有一个抽屉中的物体件数不少于m+1。 运用抽屉解题时，要从最不利（最糟糕）的情况想，所以抽屉原理也叫最不利原理。 注：如果觉得看字母麻烦话，也可以想成物品。 希望对你有所帮助

1. n+1个苹果放进n个盒子，有一个盒子有至少两个苹果2.n个苹果放进m个盒子，n除以m得p余q，有一个盒子至少有p+1个苹果

我第一次接触抽屉原则，是在一本奥赛书的答案上，有一步骤是：由抽屉原则可得……，于是我就问同学，什么是抽屉原则，同学告诉我，三个苹果放进两个抽屉，必有一个抽屉里至少有两个苹果。后来才发现，抽屉原则不只是这么简单的，它有着广泛的应用以及许多种不同的变形，下面简单介绍一下抽屉原则。抽屉原则的常见形式①把n+k（k≥1）个物体以任意方式全部放入n个抽屉中，一定存在一个抽屉中至少有两个物体。②把mn+k（k≥1）个物体以任意方式全部放入n个抽屉中，一定存在一个抽屉中至少有m+1个物体。③把m1+m2+…+mn+k（k≥1）个物体以任意方式全部放入n个抽屉中，那么后在一个抽屉里至少放入了m1+1个物体，或在第二个抽屉里至少放入了m2+1个物体，……，或在第n个抽屉里至少放入了mn+1个物体④把m个物体以任意方式全部放入n个抽屉中，有两种情况：①当n|m时（n|m表示n整除m），一定存在一个抽屉中至少放入了 个物体；②当n不能整除m时，一定存在一个抽屉中至少放入了[ ]+1个物体（[x]表示不超过x的最大整数）⑤把无穷多个元素分成有限类，则至少有一类包含无穷多个元素。注：背下来上面的几种形式没有必要，但应当清楚这些形式虽然不同，却都表示的一个意思。理解它们的含义最重要。在各种竞赛题中，往往抽屉原则考得不少，但一般不会很明显的让人看出来，构造抽屉才是抽屉原则中最难的东西。一般来说，题目中一旦出现了“总有”“至少有”“总存在”之类的词，就暗示着我们：要构造抽屉了。

鸽巢原理是抽屉原理.抽屉原理又称鸽巢原理，它是组合数学的一个基本原理，最先是由德国数学家狄利克雷明确地提出来的，因此，也称为狄利克雷原理。鸽巢原理，又名狄利克雷抽屉原理、鸽巢原理。其中一种简单的表述法为：若有n个笼子和n+1只鸽子，所有的鸽子都被关在鸽笼里，那么至少有一个笼子有至少2只鸽子。另一种为：若有n个笼子和kn+1只鸽子，所有的鸽子都被关在鸽笼里，那么至少有一个笼子有至少k+1只鸽子。拉姆齐定理是此原理的推广。常见形式第一抽屉原理原理1：把多于n个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里的东西不少于两件。证明（反证法）：如果每个抽屉至多只能放进一个物体，那么物体的总数至多是n，而不是题设的n+k(k≥1)，故不可能。原理2：把多于mn(m乘以n)个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有不少于m+1的物体。证明（反证法）：若每个抽屉至多放进m个物体,那么n个抽屉至多放进mn个物体,与题设不符，故不可能。原理3：把无穷多件物体放入n个抽屉，则至少有一个抽屉里有无穷个物体。原理1、2、3都是第一抽屉原理的表述。第二抽屉原理把（mn－1）个物体放入n个抽屉中，其中必有一个抽屉中至多有（m—1）个物体。证明（反证法）：若每个抽屉都有不少于m个物体，则总共至少有mn个物体，与题设矛盾，故不可能。

一、抽屉原理的含义例如：桌上有十个苹果，要把这十个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放，有的抽屉可以放一个，有的可以放两个，有的可以放五个，但最终我们会发现至少我们可以找到一个抽屉里面至少放两个苹果。这一现象就是我们所说的抽屉原理。抽屉原理的一般含义为：“如果每个抽屉代表一个集合，每一个苹果就可以代表一个元素，假如有n+1或多于n+1个元素放到n个集合中去，其中必定至少有一个集合里至少有两个元素。”二、抽屉原理最常见的形式1.第一抽屉原理原理1 把多于n个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有2个或2个以上的物体。原理2 把多于mn(m乘以n)个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有m+1个或多于m+1个的物体。2.第二抽屉原理：把(mn-1)个物体放入n个抽屉中，其中必有一个抽屉中至多有(m—1)个物体。三、最不利原则解决抽屉问题抽屉原理的内容简明朴素，易于接受，它在数学问题中有重要的作用。在国家公务员考试、省考及事业单位考试中，有关抽屉的原理题型的考查也比较常见。对这个知识点的考查很少去求“抽屉”的数量，而是求抽屉中至少放多少苹果。基本的题型特征为“至少………，才能保证……”。“保证”后面的情况是一种必然发生的情况。针对这类抽屉问题，我们常用的解题方法为：最不利原则，即考虑最差的情况，让最差的情况都发生，则其他情况也就一定会发生。例.一副扑克去掉大王和小王共有52张牌，问：至少抽出多少张，才能保证有3张牌的花色相同?【解析】一副扑克，有4种花色：梅花、方片、红桃、黑桃， 现在要求的是至少抽出多少张，才能保证有3张牌的花色相同。此处，梅花、方片、红桃、黑桃就相当于4个抽屉，把抽出的每张牌放进这4个抽屉里，保证一定有一个抽屉放了不少于3张牌，求的至少要抽出多少张牌，其实就相当于求原理2中的mn的最小值。解题方法：最不利原则。最好的情况，就是抽出的前三张牌的花色恰好相同。但是，这种情况不是一定发生的。考虑最差的情况。抽出1张牌(肯定为梅花、方片、红桃、黑桃之一)，接下来，抽第二张牌，花色和前一张相同，很幸运;但是第三张牌的花色就和前两张不同了，第4张又和第三张花色相同，若第五张还和第1，2，或3，4张花色相同，我们就达到目的了，但是，很不幸，又抽到另一种花色，依次类推：每种花色恰好都只抽出了两张，还是没达到有三张花色相同的目的。此时，若再抽出一张牌，这张牌肯定在四种花色之中，所以一定有三张花色相同，故至少抽出：2+2+2+2+1=9张牌。注：在做这类题目，不是一定要区分清楚谁是抽屉，谁是苹果，只要记住它的最基本的问法：“至少………，才能保证……”保证后面的情况是一种必然发生的情况，然后用最不利原则，找到最糟糕，最坏的情况，让其发生即可。

1、抽屉原理：桌上有十个苹果，要把这十个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放，我们会发现至少会有一个抽屉里面放不少于两个苹果。这一现象就是我们所说的“抽屉原理”。 2、抽屉原理的一般含义为：“如果每个抽屉代表一个集合，每一个苹果就可以代表一个元素，假如有n+1个元素放到n个集合中去，其中必定有一个集合里至少有两个元素。” 抽屉原理有时也被称为鸽巢原理。它是组合数学中一个重要的原理。

桌上有十个苹果，要把这十个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放，我们会发现至少会有一个抽屉里面至少放两个苹果。这一现象就是我们所说的“抽屉原理”。 抽屉原理的一般含义为：“如果每个抽屉代表一个集合，每一个苹果就可以代表一个元素，假如有n+1或多于n+1个元素放到n个集合中去，其中必定至少有一个集合里有两个元素。” 抽屉原理有时也被称为鸽巢原理（“如果有五个鸽子笼，养鸽人养了6只鸽子，那么当鸽子飞回笼中后，至少有一个笼子中装有2只鸽子”）。它是组合数学中一个重要的原理。第一抽屉原理原理1： 把多于n+1个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里的东西不少于两件。 抽屉原理证明（反证法）：如果每个抽屉至多只能放进一个物体，那么物体的总数至多是n，而不是题设的n+k(k≥1)，故不可能。原理2 ：把多于mn+1(m乘以n)个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有不少于m+1的物体。证明（反证法）：若每个抽屉至多放进m个物体,那么n个抽屉至多放进mn个物体,与题设不符，故不可能。原理3 ：把无穷多件物体放入n个抽屉，则至少有一个抽屉里 有无穷个物体。原理1 、2 、3都是第一抽屉原理的表述。第二抽屉原理把（mn－1）个物体放入n个抽屉中，其中必有一个抽屉中至多有（m—1）个物体。证明（反证法）：若每个抽屉都有不少于m个物体，则总共至少有mn个物体，与题设矛盾，故不可能。

抽屉原理一、 知识要点抽屉原理又称鸽巢原理,它是组合数学的一个基本原理,最先是由德国数学家狭利克雷明确地提出来的,因此,也称为狭利克雷原理.把3个苹果放进2个抽屉里,一定有一个抽屉里放了2个或2个以上的苹果.这个人所皆知的常识就是抽屉原理在日常生活中的体现.用它可以解决一些相当复杂甚至无从下手的问题.原理1：把n+1个元素分成n类,不管怎么分,则一定有一类中有2个或2个以上的元素.原理2：把m个元素任意放入n（n＜m＝个集合,则一定有一个集合呈至少要有k个元素.其中 k＝ （当n能整除m时）〔 〕＋1 （当n不能整除m时）（〔 〕表示不大于 的最大整数,即 的整数部分）原理3：把无穷多个元素放入有限个集合里,则一定有一个集合里含有无穷多个元素.二、 应用抽屉原理解题的步骤第一步：分析题意.分清什么是“东西”,什么是“抽屉”,也就是什么作“东西”,什么可作“抽屉”.第二步：制造抽屉.这个是关键的一步,这一步就是如何设计抽屉.根据题目条件和结论,结合有关的数学知识,抓住最基本的数量关系,设计和确定解决问题所需的抽屉及其个数,为使用抽屉铺平道路.第三步：运用抽屉原理.观察题设条件,结合第二步,恰当应用各个原则或综合运用几个原则,以求问题之解决.

1、抽屉原理之所以要突出平均分的思想，是因为抽屉原理本身就是在平均分的的基础上才发明出来的。2、抽屉原理又称鸽巢原理，它是组合数学的一个基本原理，最先是由德国数学家狄利克雷明确地提出来的，因此，也称为狄利克雷原理。其中一种简单的表述法为：若有n个笼子和n+1只鸽子，所有的鸽子都被关在鸽笼里，那么至少有一个笼子有至少2只鸽子。另一种为：若有n个笼子和kn+1只鸽子，所有的鸽子都被关在鸽笼里，那么至少有一个笼子有至少k+1只鸽子。

三个公式：1、把多于n+1个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里的东西不少于两件。2、把多于mn+1个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有不少于m+1的物体。3、把无穷多件物体放入n个抽屉，则至少有一个抽屉里有无穷个物体。桌上有十个苹果，要把这十个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放，会发现至少会有一个抽屉里面放不少于两个苹果。这一现象就是所说的“抽屉原理”。原理1： 把多于n+1个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里的东西不少于两件。抽屉原理证明（反证法）：如果每个抽屉至多只能放进一个物体，那么物体的总数至多是n×1，而不是题设的n+k(k≥1)，故不可能。原理2：把多于mn(m乘n)+1（n不为0）个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有不少于（m+1）的物体。证明（反证法）：若每个抽屉至多放进m个物体,那么n个抽屉至多放进mn个物体,与题设不符，故不可能。原理3：把无穷多件物体放入n个抽屉，则至少有一个抽屉里 有无穷个物体。原理1 、2 、3都是第一抽屉原理的表述。

抽屉原理最常见的形式 原理1 把多于n个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有2个或2个以上的物体。 [证明]（反证法）：如果每个抽屉至多只能放进一个物体，那么物体的总数至多是n，而不是题设的n+k(k≥1)，这不可能. 原理2 把多于mn个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有m+1个或多于m+1个的物体。 [证明]（反证法）：若每个抽屉至多放进m个物体,那么n个抽屉至多放进mn个物体,与题设不符，故不可能. 原理1 2都是第一抽屉原理的表述 第二抽屉原理： 把（mn－1）个物体放入n个抽屉中，其中必有一个抽屉中至多有（m—1）个物体。 [证明]（反证法）：若每个抽屉都有不少于m个物体，则总共至少有mn个物体，与题设矛盾，故不可能 二．应用抽屉原理解题 抽屉原理的内容简明朴素，易于接受，它在数学问题中有重要的作用。许多有关存在性的证明都可用它来解决。 例1：400人中至少有两个人的生日相同. 解：将一年中的366天视为366个抽屉，400个人看作400个物体，由抽屉原理1可以得知：至少有两人的生日相同. 又如：我们从街上随便找来13人，就可断定他们中至少有两个人属相相同. “从任意5双手套中任取6只，其中至少有2只恰为一双手套。” “从数1，2，...，10中任取6个数，其中至少有2个数为奇偶性不同。” 例2： 幼儿园买来了不少白兔、熊猫、长颈鹿塑料玩具，每个小朋友任意选择两件，那么不管怎样挑选，在任意七个小朋友中总有两个彼此选的玩具都相同，试说明道理. 解 ：从三种玩具中挑选两件，搭配方式只能是下面六种：（兔、兔），（兔、熊猫），（兔、长颈鹿），（熊猫、熊猫），（熊猫、长颈鹿），（长颈鹿、长颈鹿）。把每种搭配方式看作一个抽屉，把7个小朋友看作物体，那么根据原理1，至少有两个物体要放进同一个抽屉里，也就是说，至少两人挑选玩具采用同一搭配方式，选的玩具相同. 上面数例论证的似乎都是“存在”、“总有”、“至少有”的问题，不错，这正是抽屉原则的主要作用.（需要说明的是，运用抽屉原则只是肯定了“存在”、“总有”、“至少有”，却不能确切地指出哪个抽屉里存在多少.） 抽屉原理虽然简单，但应用却很广泛，它可以解答很多有趣的问题，其中有些问题还具有相当的难度。下面我们来研究有关的一些问题。 （一） 整除问题 把所有整数按照除以某个自然数m的余数分为m类，叫做m的剩余类或同余类，用[0]，[1]，[2]，…，[m-1]表示.每一个类含有无穷多个数，例如[1]中含有1，m+1，2m＋1，3m＋1，….在研究与整除有关的问题时，常用剩余类作为抽屉.根据抽屉原理，可以证明：任意n+1个自然数中，总有两个自然数的差是n的倍数。 例1 证明：任取8个自然数，必有两个数的差是7的倍数。 分析与解答 在与整除有关的问题中有这样的性质，如果两个整数a、b，它们除以自然数m的余数相同，那么它们的差a-b是m的倍数.根据这个性质，本题只需证明这8个自然数中有2个自然数，它们除以7的余数相同.我们可以把所有自然数按被7除所得的7种不同的余数0、1、2、3、4、5、6分成七类.也就是7个抽屉.任取8个自然数，根据抽屉原理，必有两个数在同一个抽屉中，也就是它们除以7的余数相同，因此这两个数的差一定是7的倍数。 例2：对于任意的五个自然数，证明其中必有3个数的和能被3整除. 证明∵任何数除以3所得余数只能是0，1，2，不妨分别构造为3个抽屉： [0]，[1]，[2] ①若这五个自然数除以3后所得余数分别分布在这3个抽屉中，我们从这三个抽屉中各取1个，其和必能被3整除. ②若这5个余数分布在其中的两个抽屉中，则其中必有一个抽屉，包含有3个余数（抽屉原理），而这三个余数之和或为0，或为3，或为6，故所对应的3个自然数之和是3的倍数. ③若这5个余数分布在其中的一个抽屉中，很显然，必有3个自然数之和能被3整除. 例2′：对于任意的11个整数，证明其中一定有6个数，它们的和能被6整除. 证明：设这11个整数为：a1，a2，a3……a11 又6=2×3 ①先考虑被3整除的情形 由例2知，在11个任意整数中，必存在： 3|a1+a2+a3，不妨设a1+a2+a3=b1； 同理，剩下的8个任意整数中，由例2，必存在：3 | a4+a5+a6.设a4+a5+a6=b2； 同理，其余的5个任意整数中，有：3|a7+a8+a9，设：a7+a8+a9=b3 ②再考虑b1、b2、b3被2整除. 依据抽屉原理，b1、b2、b3这三个整数中，至少有两个是同奇或同偶，这两个同奇（或同偶）的整数之和必为偶数.不妨设2|b1+b2 则：6|b1+b2，即：6|a1+a2+a3+a4+a5+a6 ∴任意11个整数，其中必有6个数的和是6的倍数. 例3： 任意给定7个不同的自然数，求证其中必有两个整数，其和或差是10的倍数. 分析：注意到这些数队以10的余数即个位数字，以0，1，…，9为标准制造10个抽屉，标以[0]，[1]，…，[9].若有两数落入同一抽屉，其差是10的倍数，只是仅有7个自然数，似不便运用抽屉原则，再作调整：[6]，[7]，[8]，[9]四个抽屉分别与[4]，[3]，[2]，[1]合并，则可保证至少有一个抽屉里有两个数，它们的和或差是10的倍数. （二）面积问题 例：九条直线中的每一条直线都将正方形分成面积比为2:3的梯形，证明：这九条直线中至少有三条经过同一点. 证明：如图，设直线EF将正方形分成两个梯形，作中位线MN。由于这两个梯形的高相等， 故它们的面积之比等于中位线长的比，即|MH|:|NH| 。于是点H有确定的位置（它在正方形一对对边中点的连线上，且|MH|:|NH|＝2:3）. 由几何上的对称性，这种点共有四个（即图中的H、J、I、K）.已知的九条适合条件的分割直线中的每一条必须经过H、J、I、K这四点中的一点.把H、J、I、K看成四个抽屉，九条直线当成9个物体，即可得出必定有3条分割线经过同一点. （三）染色问题 例1正方体各面上涂上红色或蓝色的油漆（每面只涂一种色），证明正方体一定有三个面颜色相同. 证明：把两种颜色当作两个抽屉，把正方体六个面当作物体，那么6=2×2+2，根据原理二，至少有三个面涂上相同的颜色. 例2 有5个小朋友，每人都从装有许多黑白围棋子的布袋中任意摸出3枚棋子.请你证明，这5个人中至少有两个小朋友摸出的棋子的颜色的配组是一样的。 分析与解答 首先要确定3枚棋子的颜色可以有多少种不同的情况，可以有：3黑，2黑1白，1黑2白，3白共4种配组情况，看作4个抽屉.根据抽屉原理，至少有两个小朋友摸出的棋子的颜色在同一个抽屉里，也就是他们所拿棋子的颜色配组是一样的。 例3：假设在一个平面上有任意六个点，无三点共线，每两点用红色或蓝色的线段连起来，都连好后，问你能不能找到一个由这些线构成的三角形，使三角形的三边同色？ 解：首先可以从这六个点中任意选择一点，然后把这一点到其他五点间连五条线段，如图，在这五条线段中，至少有三条线段是同一种颜色，假定是红色，现在我们再单独来研究这三条红色的线。这三条线段的另一端或许是不同颜色，假设这三条线段（虚线）中其中一条是红色的，那么这条红色的线段和其他两条红色的线段便组成了我们所需要的同色三角形，如果这三条线段都是蓝色的，那么这三条线段也组成我们所需要的同色三角形。因而无论怎样着色，在这六点之间的所有线段中至少能找到一个同色三角形。 例3′（六人集会问题）证明在任意6个人的集会上，或者有3个人以前彼此相识，或者有三个人以前彼此不相识。” 例3”：17个科学家中每个人与其余16个人通信，他们通信所讨论的仅有三个问题，而任两个科学家之间通信讨论的是同一个问题。证明：至少有三个科学家通信时讨论的是同一个问题。 解：不妨设A是某科学家，他与其余16位讨论仅三个问题，由鸽笼原理知，他至少与其中的6位讨论同一问题。设这6位科学家为B，C，D，E，F，G，讨论的是甲问题。 若这6位中有两位之间也讨论甲问题，则结论成立。否则他们6位只讨论乙、丙两问题。这样又由鸽笼原理知B至少与另三位讨论同一问题，不妨设这三位是C，D，E，且讨论的是乙问题。 若C，D，E中有两人也讨论乙问题，则结论也就成立了。否则，他们间只讨论丙问题，这样结论也成立。 三．制造抽屉是运用原则的一大关键 例1 从2、4、6、…、30这15个偶数中，任取9个数，证明其中一定有两个数之和是34。 分析与解答 我们用题目中的15个偶数制造8个抽屉： 凡是抽屉中有两个数的，都具有一个共同的特点：这两个数的和是34。现从题目中的15个偶数中任取9个数，由抽屉原理（因为抽屉只有8个），必有两个数在同一个抽屉中.由制造的抽屉的特点，这两个数的和是34。 例2：从1、2、3、4、…、19、20这20个自然数中，至少任选几个数，就可以保证其中一定包括两个数，它们的差是12。 分析与解答在这20个自然数中，差是12的有以下8对：｛20，8｝，｛19，7｝，｛18，6｝，｛17，5｝，｛16，4｝，｛15，3｝，｛14，2｝，｛13，1｝。 另外还有4个不能配对的数｛9｝，｛10｝，｛11｝，｛12｝，共制成12个抽屉（每个括号看成一个抽屉）.只要有两个数取自同一个抽屉，那么它们的差就等于12，根据抽屉原理至少任选13个数，即可办到（取12个数：从12个抽屉中各取一个数（例如取1，2，3，…，12），那么这12个数中任意两个数的差必不等于12）。 例3： 从1到20这20个数中，任取11个数，必有两个数，其中一个数是另一个数的倍数。 分析与解答 根据题目所要求证的问题，应考虑按照同一抽屉中，任意两数都具有倍数关系的原则制造抽屉.把这20个数按奇数及其倍数分成以下十组，看成10个抽屉（显然，它们具有上述性质）： ｛1，2，4，8，16｝，｛3，6，12｝，｛5，10，20｝，｛7，14｝，｛9，18｝，｛11｝，｛13｝，｛15｝，｛17｝，｛19｝。 从这10个数组的20个数中任取11个数，根据抽屉原理，至少有两个数取自同一个抽屉.由于凡在同一抽屉中的两个数都具有倍数关系，所以这两个数中，其中一个数一定是另一个数的倍数。 例4：某校校庆，来了n位校友，彼此认识的握手问候.请你证明无论什么情况，在这n个校友中至少有两人握手的次数一样多。 分析与解答 共有n位校友，每个人握手的次数最少是0次，即这个人与其他校友都没有握过手；最多有n-1次，即这个人与每位到会校友都握了手.然而，如果有一个校友握手的次数是0次，那么握手次数最多的不能多于n-2次；如果有一个校友握手的次数是n-1次，那么握手次数最少的不能少于1次.不管是前一种状态0、1、2、…、n-2，还是后一种状态1、2、3、…、n-1，握手次数都只有n-1种情况.把这n-1种情况看成n-1个抽屉，到会的n个校友每人按照其握手的次数归入相应的“抽屉”，根据抽屉原理，至少有两个人属于同一抽屉，则这两个人握手的次数一样多。 在有些问题中，“抽屉”和“物体”不是很明显的，需要精心制造“抽屉”和“物体”.如何制造“抽屉”和“物体”可能是很困难的，一方面需要认真地分析题目中的条件和问题，另一方面需要多做一些题积累经验。 抽屉原理 把八个苹果任意地放进七个抽屉里，不论怎样放，至少有一个抽屉放有两个或两个以上的苹果。抽屉原则有时也被称为鸽巢原理，它是德国数学家狄利克雷首先明确的提出来并用以证明一些数论中的问题，因此，也称为狄利克雷原则。它是组合数学中一个重要的原理。把它推广到一般情形有以下几种表现形式。 形式一：证明：设把n＋1个元素分为n个集合A1，A2，…，An，用a1，a2，…，an表示这n个集合里相应的元素个数，需要证明至少存在某个ai大于或等于2（用反证法）假设结论不成立，即对每一个ai都有ai＜2，则因为ai是整数，应有ai≤1，于是有： a1＋a2＋…＋an≤1＋1＋…＋1＝n＜n＋1这与题设矛盾。所以，至少有一个ai≥2，即必有一个集合中含有两个或两个以上的元素。 形式二：设把nu2022m＋1个元素分为n个集合A1，A2，…，An，用a1，a2，…，an表示这n个集合里相应的元素个数，需要证明至少存在某个ai大于或等于m＋1。用反证法）假设结论不成立，即对每一个ai都有ai＜m＋1，则因为ai是整数，应有ai≤m，于是有： a1＋a2＋…＋an≤m＋m＋…＋m＝nu2022m＜nu2022m＋1 n个m 这与题设相矛盾。所以，至少有存在一个ai≥m＋1 高斯函数：对任意的实数x,[x]表示“不大于x的最大整数”. 例如：[3.5]＝3，[2.9]＝2，[－2.5]＝－3，[7]＝7，……一般地，我们有：[x]≤x＜[x]＋1 形式三：证明：设把n个元素分为k个集合A1，A2，…，Ak，用a1，a2，…，ak表示这k个集合里相应的元素个数，需要证明至少存在某个ai大于或等于[n/k]。（用反证法）假设结论不成立，即对每一个ai都有ai＜[n/k]，于是有： a1＋a2＋…＋ak＜[n/k]+[n/k]+…+[n/k] ＝ku2022[n/k]≤ku2022(n/k)＝n k个[n/k] ∴ a1＋a2＋…＋ak＜n 这与题设相矛盾。所以，必有一个集合中元素个数大于或等于[n/k] 形式四：证明：设把q1＋q2＋…＋qn－n＋1个元素分为n个集合A1，A2，…，An，用a1，a2，…，an表示这n个集合里相应的元素个数，需要证明至少存在某个i，使得ai大于或等于qi。（用反证法）假设结论不成立，即对每一个ai都有ai＜qi，因为ai为整数，应有ai≤qi－1，于是有：a1＋a2＋…＋an≤q1＋q2＋…＋qn－n ＜q1＋q2＋…＋qn－n＋1这与题设矛盾。 所以，假设不成立，故必有一个i,在第i个集合中元素个数ai≥qi 形式五：证明：（用反证法）将无穷多个元素分为有限个集合，假设这有限个集合中的元素的个数都是有限个，则有限个有限数相加，所得的数必是有限数，这就与题设产生矛盾，所以，假设不成立，故必有一个集合含有无穷多个元素。 例题1：400人中至少有两个人的生日相同.分析：生日从1月1日排到12月31日，共有366个不相同的生日，我们把366个不同的生日看作366个抽屉，400人视为400个苹果，由表现形式1可知，至少有两人在同一个抽屉里，所以这400人中有两人的生日相同. 解：将一年中的366天视为366个抽屉，400个人看作400个苹果，由抽屉原理的表现形式1可以得知：至少有两人的生日相同. 例题2：任取5个整数，必然能够从中选出三个，使它们的和能够被3整除. 证明：任意给一个整数，它被3除，余数可能为0，1，2，我们把被3除余数为0，1，2的整数各归入类r0，r1，r2.至少有一类包含所给5个数中的至少两个.因此可能出现两种情况：1°.某一类至少包含三个数；2°.某两类各含两个数，第三类包含一个数. 若是第一种情况，就在至少包含三个数的那一类中任取三数，其和一定能被3整除；若是第二种情况，在三类中各取一个数，其和也能被3整除..综上所述，原命题正确. 例题3：某校派出学生204人上山植树15301株，其中最少一人植树50株，最多一人植树100株，则至少有5人植树的株数相同. 证明：按植树的多少，从50到100株可以构造51个抽屉，则个问题就转化为至少有5人植树的株数在同一个抽屉里. (用反证法)假设无5人或5人以上植树的株数在同一个抽屉里，那只有5人以下植树的株数在同一个抽屉里，而参加植树的人数为204人，所以，每个抽屉最多有4人，故植树的总株数最多有： 4(50＋51＋…＋100)＝4× ＝15300＜15301得出矛盾.因此，至少有5人植树的株数相同. 练习：1．边长为1的等边三角形内有5个点，那么这5个点中一定有距离小于0.5的两点. 2．边长为1的等边三角形内，若有n2＋1个点，则至少存在2点距离小于 . 3．求证：任意四个整数中，至少有两个整数的差能够被3整除. 4．某校高一某班有50名新生，试说明其中一定有二人的熟人一样多. 5．某个年级有202人参加考试，满分为100分，且得分都为整数，总得分为10101分，则至少有3人得分相同. “任意367个人中，必有生日相同的人。” “从任意5双手套中任取6只，其中至少有2只恰为一双手套。” “从数1，2，...，10中任取6个数，其中至少有2个数为奇偶性不同。” ... ... 大家都会认为上面所述结论是正确的。这些结论是依据什么原理得出的呢？这个原理叫做抽屉原理。它的内容可以用形象的语言表述为： “把m个东西任意分放进n个空抽屉里（m>n），那么一定有一个抽屉中放进了至少2个东西。” 在上面的第一个结论中，由于一年最多有366天，因此在367人中至少有2人出生在同月同日。这相当于把367个东西放入 366个抽屉，至少有2个东西在同一抽屉里。在第二个结论中，不妨想象将5双手套分别编号，即号码为1，2，...，5的手套各有两只，同号的两只是一双。任取6只手套，它们的编号至多有5种，因此其中至少有两只的号码相同。这相当于把6个东西放入5个抽屉，至少有2个东西在同一抽屉里。 抽屉原理的一种更一般的表述为： “把多于kn个东西任意分放进n个空抽屉（k是正整数），那么一定有一个抽屉中放进了至少k+1个东西。” 利用上述原理容易证明：“任意7个整数中，至少有3个数的两两之差是3的倍数。”因为任一整数除以3时余数只有0、1、2三种可能，所以7个整数中至少有3个数除以3所得余数相同，即它们两两之差是3的倍数。 如果问题所讨论的对象有无限多个，抽屉原理还有另一种表述： “把无限多个东西任意分放进n个空抽屉（n是自然数），那么一定有一个抽屉中放进了无限多个东西。” 抽屉原理的内容简明朴素，易于接受，它在数学问题中有重要的作用。许多有关存在性的证明都可用它来解决。

桌上有十个苹果，要把这十个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放，我们会发现至少会有一个抽屉里面放两个苹果。这一现象就是我们所说的“抽屉原理”。抽屉原理的一般含义为：“如果每个抽屉代表一个集合，每一个苹果就可以代表一个元素，假如有n＋1或多于n＋1个元素放到n个集合中去，其中必定至少有一个集合里有两个元素。”抽屉原理有时也被称为鸽巢原理（“如果有五个鸽子笼，养鸽人养了6只鸽子，那么当鸽子飞回笼中后，至少有一个笼子中装有2只鸽子”）。它是组合数学中一个重要的原理。第一抽屉原理　　原理1:把多于n个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有2个或2个以上的物体。　　抽屉原理[证明]（反证法）：如果每个抽屉至多只能放进一个物体，那么物体的总数至多是n，而不是题设的n+k(k≥1)，这不可能. 　　原理2:把多于mn(m乘以n)个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有m+1个或多于m+1个的物体。　　[证明]（反证法）：若每个抽屉至多放进m个物体,那么n个抽屉至多放进mn个物体,与题设不符，故不可能　　原理3:把无穷多件物体放入n个抽屉，则至少有一个抽屉里有无穷个物体。.　　原理123都是第一抽屉原理的表述第二抽屉原理:把（mn－1）个物体放入n个抽屉中，其中必有一个抽屉中至多有（m—1）个物体。　　[证明]（反证法）：若每个抽屉都有不少于m个物体，则总共至少有mn个物体，与题设矛盾，故不可能

小学数学：抽屉原理（鸽巢问题）假如有4只鸽子，要飞回3个巢穴，会出现什么情况呢？我们先做“最坏的打算”，每个巢穴飞入1只鸽子，剩下的鸽子无论飞入哪一个巢穴，总有1个巢穴至少有2只鸽子。假如有三个抽屉，妈妈买回4个苹果，让你把苹果放进三个抽屉中，会出现哪些情况呢？我们可以先把4分为几个整数的和，则有如下四种情况：4＝4＋0＋04＝3＋1＋04＝2＋2＋04＝2＋1＋1观察上面的四种放苹果的方式，我们发现一个共同的性质：无论哪种放置方法，总有一个抽屉放入了2个或者多于2个苹果。也就是说，将4个苹果放入3个抽屉，总有一个抽屉里至少放入了2个苹果。如果增加苹果的个数，把5个苹果放入4个抽屉，无论用哪一种方法放，必有一个抽屉至少放入了2个苹果，这就是抽屉原理：有m件物品，放进n个抽屉里去。如果物品比抽屉数多（即m大于n），那么，必有一个抽屉要放进两件或两件以上的物品。例1：三个小朋友同行，其中必有两个小朋友性别相同。分析：人的性别只有“男”和“女”两种，我们把两种性别当做两个“抽屉”，把三个小朋友比做“苹果”，“苹果”数3比“抽屉数”2多。按照抽屉原理，至少有一个“抽屉”里有两个或两个以上“苹果”，也就是说至少有连个小朋友性别相同。例2：李师傅正在修理一台机器，工具箱里有4对颜色分别为红、黄、蓝、白的螺帽，可是房间内的灯泡突然坏了，李师傅只好将螺帽拿到房间外辨认，请问李师傅至少要拿几颗螺帽，才能保证其中有一对颜色相同？分析：① 如果李师傅只拿两只螺帽能保证颜色相同吗？② 如果开始拿两只颜色分别为红的、黄的，再拿一只能保证有一对颜色相同吗？再拿两只呢？为什么？③ 至少拿几只，就能保证有两只螺帽颜色相同？④ 如果螺帽为红、黄、蓝、白、黑五种颜色，则至少拿几只，才能保证有一对颜色相同？你发现其中的规律了吗？解：李师傅至少要拿5只螺帽，才能保证其中有一对颜色相同。例3：口袋里有4种不同颜色的玻璃球，每次摸出2个。要保证有10次摸出的结果是一样的，最少要摸多少次？分析：当摸出的两个球颜色相同时，可以有4种不同的结果。当摸出来的两个球颜色不同时，最多可以有3＋2＋1＝6（种）不同结果。把4＋6＝10（种）不同结果作为抽屉。解：因为要10次摸出的结果相同，根据抽屉原则，至少要摸9×10＋1＝91（次）。例4：一个盒子里装有红、黄、蓝三种颜色的果冻各10个，问最少要取多少个才能保证其中至少有两对颜色不相同的果冻？分析：要保证至少有2对果冻颜色不相同，从最不利的情况出发，先取了10个同一颜色的果冻，剩下的两种颜色局可以看作2个抽屉，就能求得结果。解：如果取了10个颜色相同的果冻，那么剩下两种颜色的果冻可以看作2个抽屉，比抽屉数多1，也就是取3个果冻就一定能得到颜色相同的另一对果冻了。这样至少取13个果冻才能保证至少有两对颜色不同的果冻。例5：一个纸盒里面有一些颜色不同的小球其中黄球10个，白球9个，黑球8个，紫球2个，小明闭着眼睛取出若干，他至少取出多少个球，才能保证至少有4个球颜色相同？分析：要取出颜色相同的4个小球，只能是黄、白、黑3种颜色，不可能是紫球，因为紫球只有2个。假设运气非常不好，正好取到了2个紫球，那么剩下的就只有黄、白、黑3种颜色，把这三种颜色看作3个抽屉。解：假设已取到2个紫球，剩下的黄、白、黑三种球看作3个抽屉，每个抽屉中放入3个球，那么就要取3×3＝9（个），如果多取一个球，就能保证4个球颜色相同。即2＋9＋1＝12（个）球，才能保证有4个球颜色相同。例6：在一副扑克牌中，最少拿出多少张，才能保证拿出的牌中四种花色都有？分析：假如一开始就抽到大小王，接着的十三张抽了红心，接下来的十三张抽了黑桃，再接下来十三张抽了红方块，这时就是2＋13×3=41，下一张他必定得抽黑方块41＋1＝42（张）。解：2+13×3＋1＝42（张）

1． 抽屉原则有几种最常见的形式原则1 如果把n+k(k≥1)个物体放进n只抽屉里，则至少有一只抽屉要放进两个或更多个物体：例1 幼儿园买来了不少白兔、熊猫、长颈鹿塑料玩具，每个小朋友任意选择两件，那么不管怎样挑选，在任意七个小朋友中总有两个彼此选的玩具都相同，试说明道理.

物体除于抽屉得到的商加上1即可

1、抽屉原理：桌上有十个苹果，要把这十个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放，我们会发现至少会有一个抽屉里面放不少于两个苹果。这一现象就是我们所说的“抽屉原理”。 2、抽屉原理的一般含义为：“如果每个抽屉代表一个集合，每一个苹果就可以代表一个元素，假如有n+1个元素放到n个集合中去，其中必定有一个集合里至少有两个元素。” 抽屉原理有时也被称为鸽巢原理。它是组合数学中一个重要的原理。

数论中的内容.

桌上有十个苹果，要把这十个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放，我们会发现至少会有一个抽屉里面放两个苹果。有n+1个元素放进n个区域中 必然有1个区域有2个元素

桌上有十个苹果，要把这十个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放，有的抽屉可以放一个，有的可以放两个，有的可以放五个，但最终我们会发现至少我们可以找到一个抽屉里面至少放两个苹果。这一现象就是我们所说的抽屉原理。　　抽屉原理的一般含义为：“如果每个抽屉代表一个集合，每一个苹果就可以代表一个元素，假如有n＋1或多于n＋1个元素放到n个集合中去，其中必定至少有一个集合里至少有两个元素。”　　抽屉原理有时也被称为鸽巢原理（“如果有五个鸽子笼，养鸽人养了6只鸽子，那么当鸽子飞回笼中后，至少有一个笼子中装有2只鸽子”）。它是德国数学家狄利克雷首先明确的提出来并用以证明一些数论中的问题，因此，也称为狄利克雷原理。它是组合数学中一个重要的原理。

原理1： 把多于n+1个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里的东西不少于两件。证明（反证法）：如果每个抽屉至多只能放进一个物体，那么物体的总数至多是n×1，而不是题设的n+k(k≥1)，故不可能。原理2 ：把多于mn(m乘以n)+1（n不为0）个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有不少于（m+1）的物体。证明（反证法）：若每个抽屉至多放进m个物体,那么n个抽屉至多放进mn个物体,与题设不符，故不可能。原理3 ：把无穷多件物体放入n个抽屉，则至少有一个抽屉里 有无穷个物体。原理1 、2 、3都是第一抽屉原理的表述。 运用抽屉原理的核心是分析清楚问题中，哪个是物件，哪个是抽屉。例如，属相是有12个，那么任意37个人中，有几个人属相相同呢？这时将属相看成12个抽屉，则一个抽屉中有 37/12，即3余1，余数不考虑，而向上考虑取整数，所以这里是3+1=4个人，但这里需要注意的是，前面的余数1和这里加上的1是不一样的。因此，在问题中，较多的一方就是物件，较少的一方就是抽屉，比如上述问题中的属相12个，就是对应抽屉，37个人就是对应物件，因为37相对12多。 最差原则，即考虑所有可能情况中，最不利于某件事情发生的情况。例如，有300人到招聘会求职，其中软件设计有100人，市场营销有80人，财务管理有70人，人力资源管理有50人。那么至少有多少人找到工作才能保证一定有70人找的工作专业相同呢？此时我们考虑的最差情况为：软件设计、市场营销和财务管理各录取69人，人力资源管理的50人全部录取，则此时再录取1人就能保证有70人找到的工作专业相同。因此至少需要69*3+50+1=258人。 （反证法）：若每个抽屉都有不少于m个物体，则总共至少有mn个物体，与题设矛盾，故不可能。

3-2=1多一本所以有一个抽屉必有1+1=2

三个苹果放进两个抽屉，必有一个抽屉里至少有两个苹果。抽屉原则的常见形式一，把n+k（k≥1）个物体以任意方式全部放入n个抽屉中，一定存在一个抽屉中至少有两个物体。二，把mn+k（k≥1）个物体以任意方式全部放入n个抽屉中，一定存在一个抽屉中至少有m+1个物体。三，把m1+m2+…+mn+k（k≥1）个物体以任意方式全部放入n个抽屉中，那么后在一个抽屉里至少放入了m1+1个物体，或在第二个抽屉里至少放入了m2+1个物体，……，或在第n个抽屉里至少放入了mn+1个物体四，把m个物体以任意方式全部放入n个抽屉中，有两种情况：①当n|m时（n|m表示n整除m），一定存在一个抽屉中至少放入了 个物体；②当n不能整除m时，一定存在一个抽屉中至少放入了[ ]+1个物体（[x]表示不超过x的最大整数）

桌上有十个苹果，要把这十个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放，有的抽屉可以放一个，有的可以放两个，有的可以放五个，但最终我们会发现至少我们可以找到一个抽屉里面至少放两个苹果。这一现象就是我们所说的抽屉原理。　　抽屉原理的一般含义为：“如果每个抽屉代表一个集合，每一个苹果就可以代表一个元素，假如有n＋1或多于n＋1个元素放到n个集合中去，其中必定至少有一个集合里至少有两个元素。”　　抽屉原理有时也被称为鸽巢原理（“如果有五个鸽子笼，养鸽人养了6只鸽子，那么当鸽子飞回笼中后，至少有一个笼子中装有2只鸽子”）。它是德国数学家狄利克雷首先明确的提出来并用以证明一些数论中的问题，因此，也称为狄利克雷原理。它是组合数学中一个重要的原理。应用抽屉原理解题　　抽屉原理的内容简明朴素，易于接受，它在数学问题中有重要的作用。许多有关存在性的证明都可用它来解决。　　例１：400人中至少有两个人的生日相同. 　　解：将一年中的366天视为366个抽屉，400个人看作400个物体，由抽屉原理1可以得知：至少有两人的生日相同. 　　又如：我们从街上随便找来13人，就可断定他们中至少有两个人属相相同. 　　“从任意5双手套中任取6只，其中至少有2只恰为一双手套。”　　“从数1，2，...，10中任取6个数，其中至少有2个数为奇偶性不同。” 　　例2： 幼儿园买来了不少白兔、熊猫、长颈鹿塑料玩具，每个小朋友任意选择两件，那么不管怎样挑选，在任意七个小朋友中总有两个彼此选的玩具都相同，试说明道理.　　解 ：从三种玩具中挑选两件，搭配方式只能是下面六种：（兔、兔），（兔、熊猫），（兔、长颈鹿），（熊猫、熊猫），（熊猫、长颈鹿），（长颈鹿、长颈鹿）。把每种搭配方式看作一个抽屉，把7个小朋友看作物体，那么根据原理1，至少有两个物体要放进同一个抽屉里，也就是说，至少两人挑选玩具采用同一搭配方式，选的玩具相同.　　上面数例论证的似乎都是“存在”、“总有”、“至少有”的问题，不错，这正是抽屉原则的主要作用.（需要说明的是，运用抽屉原则只是肯定了“存在”、“总有”、“至少有”，却不能确切地指出哪个抽屉里存在多少.）　　抽屉原理虽然简单，但应用却很广泛，它可以解答很多有趣的问题，其中有些问题还具有相当的难度. 如果你要了解更多，可以到这里看下http://baike.baidu.com/view/8899.htm?fr=ala0_1_1

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1、桌上有十个苹果，要把这十个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放，我们会发现至少会有一个抽屉里面放不少于两个苹果。这一现象就是我们所说的“抽屉原理”。 2、抽屉原理的一般含义为：“如果每个抽屉代表一个集合，每一个苹果就可以代表一个元素，假如有n+1个元素放到n个集合中去，其中必定有一个集合里至少有两个元素。” 抽屉原理有时也被称为鸽巢原理。它是组合数学中一个重要的原理。

1、三个苹果放进两个抽屉，必有一个抽屉里至少有两个苹果。 2、抽屉原则的常见形式一，把n+k（k≥1）个物体以任意方式全部放入n个抽屉中，一定存在一个抽屉中至少有两个物体。 3、二，把mn+k（k≥1）个物体以任意方式全部放入n个抽屉中，一定存在一个抽屉中至少有m+1个物体。 4、三，把m1+m2+…+mn+k（k≥1）个物体以任意方式全部放入n个抽屉中，那么后在一个抽屉里至少放入了m1+1个物体，或在第二个抽屉里至少放入了m2+1个物体，……，或在第n个抽屉里至少放入了mn+1个物体四，把m个物体以任意方式全部放入n个抽屉中，有两种情况：①当n|m时（n|m表示n整除m），一定存在一个抽屉中至少放入了 个物体；②当n不能整除m时，一定存在一个抽屉中至少放入了[ ]+1个物体（[x]表示不超过x的最大整数）。

u3002u3002u3002u3002u3002u3002u3002u3002u3002u3002u3002u3002u3002u3002u3002u3002u3002u3002u3002u3002u3002u3002u3002

不介意的话你可以找4、5年级的奥数书（个人推荐举一反三）来看看，那里有介绍。

三个公式：1、把多于n+1个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里的东西不少于两件。2、把多于mn+1个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有不少于m+1的物体。3、把无穷多件物体放入n个抽屉，则至少有一个抽屉里有无穷个物体。桌上有十个苹果，要把这十个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放，会发现至少会有一个抽屉里面放不少于两个苹果。这一现象就是所说的“抽屉原理”。原理1： 把多于n+1个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里的东西不少于两件。抽屉原理证明（反证法）：如果每个抽屉至多只能放进一个物体，那么物体的总数至多是n×1，而不是题设的n+k(k≥1)，故不可能。原理2：把多于mn(m乘n)+1（n不为0）个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有不少于（m+1）的物体。证明（反证法）：若每个抽屉至多放进m个物体,那么n个抽屉至多放进mn个物体,与题设不符，故不可能。原理3：把无穷多件物体放入n个抽屉，则至少有一个抽屉里 有无穷个物体。原理1 、2 、3都是第一抽屉原理的表述。

抽屉原理 一、 知识要点 抽屉原理又称鸽巢原理,它是组合数学的一个基本原理,最先是由德国数学家狭利克雷明确地提出来的,因此,也称为狭利克雷原理. 把3个苹果放进2个抽屉里,一定有一个抽屉里放了2个或2个以上的苹果.这个人所皆知的常识就是抽屉原理在日常生活中的体现.用它可以解决一些相当复杂甚至无从下手的问题. 原理1：把n+1个元素分成n类,不管怎么分,则一定有一类中有2个或2个以上的元素. 原理2：把m个元素任意放入n（n＜m＝个集合,则一定有一个集合呈至少要有k个元素. 其中 k＝ （当n能整除m时） 〔 〕＋1 （当n不能整除m时） （〔 〕表示不大于 的最大整数,即 的整数部分） 原理3：把无穷多个元素放入有限个集合里,则一定有一个集合里含有无穷多个元素. 二、 应用抽屉原理解题的步骤 第一步：分析题意.分清什么是“东西”,什么是“抽屉”,也就是什么作“东西”,什么可作“抽屉”. 第二步：制造抽屉.这个是关键的一步,这一步就是如何设计抽屉.根据题目条件和结论,结合有关的数学知识,抓住最基本的数量关系,设计和确定解决问题所需的抽屉及其个数,为使用抽屉铺平道路. 第三步：运用抽屉原理.观察题设条件,结合第二步,恰当应用各个原则或综合运用几个原则,以求问题之解决. 例1、 教室里有5名学生正在做作业,今天只有数学、英语、语文、地理四科作业 求证：这5名学生中,至少有两个人在做同一科作业. 证明：将5名学生看作5个苹果 将数学、英语、语文、地理作业各看成一个抽屉,共4个抽屉 由抽屉原理1,一定存在一个抽屉,在这个抽屉里至少有2个苹果. 即至少有两名学生在做同一科的作业. 例2、 木箱里装有红色球3个、黄色球5个、蓝色球7个,若蒙眼去摸,为保证取出的球中有两个球的颜色相同,则最少要取出多少个球? 把3种颜色看作3个抽屉 若要符合题意,则小球的数目必须大于3 大于3的最小数字是4 故至少取出4个小球才能符合要求 答：最少要取出4个球. 例3、 班上有50名学生,将书分给大家,至少要拿多少本,才能保证至少有一个学生能得到两本或两本以上的书. 把50名学生看作50个抽屉,把书看成苹果 根据原理1,书的数目要比学生的人数多 即书至少需要50+1=51本 答：最少需要51本. 例4、 在一条长100米的小路一旁植树101棵,不管怎样种,总有两棵树的距离不超过1米. 把这条小路分成每段1米长,共100段 每段看作是一个抽屉,共100个抽屉,把101棵树看作是101个苹果 于是101个苹果放入100个抽屉中,至少有一个抽屉中有两个苹果 即至少有一段有两棵或两棵以上的树 例5、 11名学生到老师家借书,老师是书房中有A、B、C、D四类书,每名学生最多可借两本不同类的书,最少借一本 试证明：必有两个学生所借的书的类型相同 证明：若学生只借一本书,则不同的类型有A、B、C、D四种 若学生借两本不同类型的书,则不同的类型有AB、AC、AD、BC、BD、CD六种 共有10种类型 把这10种类型看作10个“抽屉” 把11个学生看作11个“苹果” 如果谁借哪种类型的书,就进入哪个抽屉 由抽屉原理,至少有两个学生,他们所借的书的类型相同 例6、 有50名运动员进行某个项目的单循环赛,如果没有平局,也没有全胜 试证明：一定有两个运动员积分相同 证明：设每胜一局得一分 由于没有平局,也没有全胜,则得分情况只有1、2、3……49,只有49种可能 以这49种可能得分的情况为49个抽屉 现有50名运动员得分 则一定有两名运动员得分相同 例7、 体育用品仓库里有许多足球、排球和篮球,某班50名同学来仓库拿球,规定每个人至少拿1个球,至多拿2个球,问至少有几名同学所拿的球种类是一致的? 解题关键：利用抽屉原理2. 根据规定,多有同学拿球的配组方式共有以下9种： ｛足｝｛排｝｛蓝｝｛足足｝｛排排｝｛蓝蓝｝｛足排｝｛足蓝｝｛排蓝｝ 以这9种配组方式制造9个抽屉 将这50个同学看作苹果 ＝5.5……5 由抽屉原理2k＝〔 〕＋1可得,至少有6人,他们所拿的球类是完全一致的

抽屉原理 日常生活中,人们只要稍加留意,就不难发现某些带有规律性的事物.比如,将10个苹果放进9个抽屉,那么肯定有一个抽屉里放进了两个或更多的苹果.这是大家都能理解的一个简单道理,该道理即被称为抽屉原理或鸽笼原理(以鸽子比做苹果,以笼子比做抽屉).抽屉原理的一般形式为:将n+1个苹果放进n个抽屉里,则至少有一个抽屉里放进了两个或两个以上的苹果. 千万别小看这个既平常又简单的原理,许多有趣的问题,都可以用抽屉原理来 解决.比如,任意13个人中,必然有2个人是在同一个月份出生的.只需要将13个人看成苹果,12个月份看成抽屉,于是由抽屉原理就得到了结论.再比如,在边长为1的正方形内,任意给定5个点,则其中必有2个点,它们之间的距离不会大于1/2 .证明这个问题只需要将正方形分为面积相等的4等分,则4个小正方形的边长都是1/2,每个小正方形内任意两点之间的距离均不会大于大正方形的对角线长1/2. 将5个点看成苹果,4个小正方形看成抽屉,由抽屉原理,必然有一个小正方形中有2个点,于是这两个点之间的距离不大于1/2.

抽屉原理 日常生活中,人们只要稍加留意,就不难发现某些带有规律性的事物.比如,将10个苹果放进9个抽屉,那么肯定有一个抽屉里放进了两个或更多的苹果.这是大家都能理解的一个简单道理,该道理即被称为抽屉原理或鸽笼原理(以鸽子比做苹果,以笼子比做抽屉).抽屉原理的一般形式为:将n+1个苹果放进n个抽屉里,则至少有一个抽屉里放进了两个或两个以上的苹果. 千万别小看这个既平常又简单的原理,许多有趣的问题,都可以用抽屉原理来 解决.比如,任意13个人中,必然有2个人是在同一个月份出生的.只需要将13个人看成苹果,12个月份看成抽屉,于是由抽屉原理就得到了结论.再比如,在边长为1的正方形内,任意给定5个点,则其中必有2个点,它们之间的距离不会大于1/2 .证明这个问题只需要将正方形分为面积相等的4等分,则4个小正方形的边长都是1/2,每个小正方形内任意两点之间的距离均不会大于大正方形的对角线长1/2. 将5个点看成苹果,4个小正方形看成抽屉,由抽屉原理,必然有一个小正方形中有2个点,于是这两个点之间的距离不大于1/2.

　　抽屉原理又称鸽巢原理，它是组合数学的一个基本原理，最先是由德国数学家狄利克雷明确地提出来的，因此，也称为狄利克雷原理。 　　其中一种简单的表述法为：若有n个笼子和n+1只鸽子，所有的鸽子都被关在鸽笼里，那么至少有一个笼子里有2只鸽子。 　　另一种为：若有n个笼子和mn+1只鸽子，所有的鸽子都被关在鸽笼里，那么至少有一个笼子里有m+1只鸽子。

抽屉原理也叫鸽巢原理，又名狄利克雷抽屉原理、鸽巢原理。其中一种简单的表述法为：若有n个笼子和n+1只鸽子，所有的鸽子都被关在鸽笼里，那么至少有一个笼子至少有2只鸽子另一种为：若有n个笼子和mn+1只鸽子，所有的鸽子都被关在鸽笼里，那么至少有一个笼子至少有m+1只鸽子第一抽屉原理原理1： 把多于或等于n+1个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里的东西不少于两件。抽屉原理证明（反证法）：如果每个抽屉至多只能放进一个物体，那么物体的总数至多是n，而不是题设的n+k(k≥1)，故不可能。原理2 ：把多于mn(m乘以n)个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有不少于m+1的物体。证明（反证法）：若每个抽屉至多放进m个物体,那么n个抽屉至多放进mn个物体,与题设不符，故不可能。原理3 ：把无穷多件物体放入n个抽屉，则至少有一个抽屉里 有无穷个物体。原理1 、2 、3都是第一抽屉原理的表述。第二抽屉原理把（mn－1）个物体放入n个抽屉中，其中必有一个抽屉中至多有（m—1）个物体。证明（反证法）：若每个抽屉都有不少于m个物体，则总共至少有mn个物体，与题设矛盾，故不可能。

三个公式：1、把多于n+1个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里的东西不少于两件。2、把多于mn+1个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有不少于m+1的物体。3、把无穷多件物体放入n个抽屉，则至少有一个抽屉里有无穷个物体。桌上有十个苹果，要把这十个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放，会发现至少会有一个抽屉里面放不少于两个苹果。这一现象就是所说的“抽屉原理”。原理1： 把多于n+1个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里的东西不少于两件。抽屉原理证明（反证法）：如果每个抽屉至多只能放进一个物体，那么物体的总数至多是n×1，而不是题设的n+k(k≥1)，故不可能。原理2：把多于mn(m乘n)+1（n不为0）个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有不少于（m+1）的物体。证明（反证法）：若每个抽屉至多放进m个物体,那么n个抽屉至多放进mn个物体,与题设不符，故不可能。原理3：把无穷多件物体放入n个抽屉，则至少有一个抽屉里 有无穷个物体。原理1 、2 、3都是第一抽屉原理的表述。

满分20，每个人都可能得0到20分，就构造21个抽屉剩下的就是计算了

1+1=0