数学解分式方程求解答

1.小王骑自行车在环城公路上匀速行驶,每隔6分钟有一辆公共汽车从对面向后开过,每隔30分钟又有一辆公共汽车从后面向前开过,若公共汽车也是匀速行驶,且不计乘客上下车的时间,那么公交站每隔多少分钟开出一辆公共汽车?2.用价值为100远的甲种涂料与价值为240元的乙种涂料配制成一种新涂料,其每千克的售价比甲种涂料每千克售价少3元,比乙种涂料每千克的售价多1元,求这种新涂料每千克的售价?3.某工程由甲乙两队合做6天完成,厂家需付甲乙两队共8700元,乙丙两队合做10天完成,厂家需付乙丙两队共9500元,甲丙两队合做5天完成全部工程的2/3,厂家需付甲丙两队5500元,(1)求甲乙丙各队单独完成全部工程各需多少天?(2)若工期要求不超过15天完成全部工程,问由哪队单独完成此项工程花钱最少?请说明理由!答案1.设自行车速为a,公共汽车速为b,间隔时间为t.每隔6分钟有一辆公共汽车从对面向后开过说明当公交车与其相遇时，下一班和他的距离为6（a＋b）．与此同时，根据发车的时间，又有下一班和他的距离为b*t（别误解＠＿＠）.所以6（a＋b）＝b*t……①同理30（b-a）=b*t……②。所以6（a＋b）＝30（b-a）所以a/b＝2/3．所以t=10(分）2.设这种新涂料每千克的售价为x元100/（x＋3）＋240/（x－1）＝340/x（质量相等）解之得x＝173.（1）设甲乙丙各队单独完成全部工程各需X、Y、Z天则1/X＋1/Y＝1/6，1/Y＋1/Z＝1/10，1/X＋1/Z＝2/15（先求X、Y、Z的倒数）解得X＝10，Y＝15，Z＝30（2）不超过15天完成全部工程，必为甲或乙。由“甲丙两队合做5天完成全部工程的2/3,厂家需付甲丙两队5500元”知夹丙合作需5500·1.5＝8250（元），又乙丙两队合做10天完成,厂家需付乙丙两队共9500元，可见甲独做花钱少。

此题无解，上式化简后是：2X+6=2X+6。坑爹了吧？

解：设甲单独做X天完成，乙单独做Y天完成。（你可以把总工程量看成单位1）（这道题应该只能列二元一次方程组）（分式方程里我们初一还没学过有两个未知数的额） 4×（1÷X+1÷Y）=1（一式） 3×（1÷X+1÷Y）+3÷2÷X=1（二式）一式减二式得1÷X+1÷Y-3÷2÷X=0所以1÷X+1÷Y=3÷2X（三式）把三式带入一式得X=6把X=6带入三式得Y=12所以X=6，Y=12答：甲单独做需6天完成，乙单独做需12天完成。（终于打完了，汗）（再过两天就要期末考试了，也是锻炼锻炼一下额）（望采纳）

360/x+5=360/x-15+1＝360/x－360/x6＝0这个分工不成立

五年级下册分式方程解答5/6x=30两边同乘以65x=180x=362/5÷x=8/15两边同乘以15x6=8xx=3/4

2 降价后价格X 30%x=54 x=162 200-162=383设：甲队一天的工作量为X， 乙队一天的工作量为y3（x+y）=x+6y得：2x=3y x=3/2y，y=2/3x全部工作量为1得3（x+Y)+X+6Y=1得4x+9y=1代入x=3/2y得6y+9y=1得15y=1y=1/15所以乙队独自完成需要15天代入y=2/3x得4x+6x=110x=1x=1/10所以甲队独自需要10天完成

1.设小王的骑车速度是x，公共汽车的速度是y，公交车每隔z时间开出一辆。由题意可得：两辆公交车的距离是：y·z。当小王与公交车迎面而行时：y·z=（x+y）×6 ……………………①当小王与公交车方向相同时：y·z=（y-x）×30 ……………………②由①和②两式可得出：x=2/3y ……………………③将③式代入①、可得：z=10答：公交站每隔10分钟开出一辆公共汽车。2.有一个修路工程，共是80km，原计划每天修x千米。现因部分水管破裂，只能修70km，每天修理的路程减少了2km，修理的天数与原计划一样。求x？

异分母分数加减法，先通分，通分后的异分母分数再按照同分母分数加减法法则进行计算，分母不变，纯租分子进行加减，最后约分。通分法：1、求出原来几个分数的分母的最小公倍数；2、根据分数的基本性质，把原来分数化成以这个最小公倍数为分母的分数。例：计算做者兆5/6+7/8？6和8的最小公倍数是24；24相对于6来说扩大了4倍，即5/6=20/24；24相对于嫌橘8来说扩大了3倍，即7/8=21/24；所以，20/24+21/24=41/24。祝愿你在今后的生活中平平安安，一帆风顺，当遇到困难时，也可以迎难而上，取得成功，如果有什么不懂的问题，还可以继续询问，不要觉得不好意思，或者有所顾虑，我们一直都是您最坚定的朋友后台，现实当中遇到了不法侵害，和不顺心的事情也能够和我详聊，我们一直提供最为靠谱的司法解答，帮助，遇到困难不要害怕，只要坚持，阳光总在风雨后，困难一定可以度过去，只要你不放弃，一心一意向前寻找出路。一千个人里就有一千个哈姆雷特，世界上无论如何都无法找到两片完全相同的树叶，每个人都有不同的意见和看法，对同一件事情，大家也会有不同的评判标准。我的答案或许并不是最为标准，最为正确的，但也希望能给予您一定的帮助，希望得到您的认可，谢谢！

异分母分数加减法的算法,首先要将两个(或多个)分数的分母进行一个同分目变换,比如1/2 +1/3 = ?这个算式中,分母分别是2和3,怎样进行同分母变换那,就是将两个分式的分母化成相同的数,在化的时候最简单的方式就是将两个分母相乘,所得之数就是公分母,即在上式中的公分母就是2*3=6,但如果所得公分母比两个分母的最小公倍数大,就可直接用最小公倍数做分母,比如:1/2 + 1/4 = ?算式中,两分母相乘得8,但2和4的最小公倍数是4,所以可直接用4做公分母;当找到公分母之后就是对分子的变换了,分子的变换很简单,就是你在求公分母时在这个分式的分母上乘多少,就在分子上乘多少,比如:1/2 + 1/3 = (1×3)/2×3 + (1×2)/3×2 = 3/6 + 2/6 = (2+3)/6 = 5/6 这是加法的运算,减法的算法也是一样的.

图呢？

异分母分数加减法的算法,首先要将两个(或多个)分数的分母进行一个同分目变换,比如1/2 +1/3 = ?这个算式中,分母分别是2和3,怎样进行同分母变换那,就是将两个分式的分母化成相同的数,在化的时候最简单的方式就是将两个分母相乘,所得之数就是公分母,即在上式中的公分母就是2*3=6,但如果所得公分母比两个分母的最小公倍数大,就可直接用最小公倍数做分母,比如:1/2 + 1/4 = ?算式中,两分母相乘得8,但2和4的最小公倍数是4,所以可直接用4做公分母;当找到公分母之后就是对分子的变换了,分子的变换很简单,就是你在求公分母时在这个分式的分母上乘多少,就在分子上乘多少,比如: 1/2 + 1/3 = (1×3)/2×3 + (1×2)/3×2 = 3/6 + 2/6 = (2+3)/6= 5/6这是加法的运算,减法的算法也是一样的.

关于可包括分数的加减法吗相关资料如下分数数的加法和减法    （1） 同分母分数加、减法  （分母不变，分子相加减）（2） 异分母分数加、减法  （通分后再加减）（3） 分数加减混合运算：同整数。（4） 结果要是最简分数2、带分数加减法: 带分数相加减，整数部分和分数部分分别相加减，再把所得的结果合并起来。附：具体解释（一）同分母分数加、减法1、同分母分数加、减法：同分母分数相加、减，分母不变，只把分子相加减。2、计算的结果，能约分的要约成最简分数。（二）异分母分数加、减法1、分母不同，也就是分数单位不同，不能直接相加、减。2、异分母分数的加减法：异分母分数相加、减，要先通分，再按照同分母分数加减法的方法进行计算。（三）分数加减混合运算1、分数加减混合运算的运算顺序与整数加减混合运算的顺序相同。在一个算式中，如果有括号，应先算括号里面的，再算括号外面的；如果只含有同一级运算，应从左到右依次计算。2、整数加法的交换律、结合律对分数加法同样适用。

分母是常数，就不是分式了，也就不是分式不等式了，可以看作整式，按照整式不等式的解法解答。　　分式：　　一般地，如果A、B（B不等于零）表示两个整式，且B中含有字母，那么式子A/B就叫做分式，其中A称为分子，B称为分母。

分式不等式在进行计算时如果是异分母的话是要通分再进行的,不能去分母因为它只是一个整式；而分式方程是去分母,即异分母时要方程等号两边乘以最简共分母去掉分母,成为整式方程再计算,这就是不同之处——一个不能去分母要通分,一个是去分母再计算~明白了吧~

可以的 相当于在方程的两边同除以这个相同的分子 为什么不采纳

应该是：分式方程的分子不等于0时，分式才有意义。

一.以函数y=1/x为例 先用描点作图法做出函数图像首先，因为x在分母上， 所以x≠0 其次，因为分数1/x的分子为1，所以分数的值不会等于0，所以y≠0 表现在图像上就是函数图像与x，y轴没有交点 该函数对应的方程(1/x＝0)无解，因为 ①函数图像与x轴没有交点 ②1/x的值不能为0 该函数对应的两个不等式（1/x＞0，1/x＜0）均有解。 解法1： 1/x＞0中，要令1/x的值大于0，只需令x＞0 所以不等式的解集是x＞0 1/x＜0同理，解集是x＜0解法二： 1/x＞0，也就是y＞0，对应函数图像在第一象限内的图像，x值都大于0 所以不等式的解集是x＞0 1/x＜0同理，解集是x＜0 二.以y＝1/x－2为例 先用描点作图法做出函数图像函数对应的方程(1/x－2＝0)有解 解法①:代数法解分式方程，解得x＝0.5 解法②:1/x－2＝0，对应y＝0，对应x等于0.5 函数对应两个不等式(1/x－2＞0，1/x－2＜0) 解法①:x-2＞0，对应AB段函数图像，对应的x值为0＜x＜½ 1/x－2＜0，对应AC段与b段图像，对应的x值为x＞½与x＜0解法②:1/x－2＞0 x＞0时，0＜x＜½ x＜0时，x分之1＜0，x分之1减2也一定小于0，与题意相悖 故原不等式解集为0＜x＜½1/x－2＜0同理，解集为x＜0和x＞½

试一试

因为分式方程不考虑方程的符号变化,而不等式则要考虑,如果直接乘,就会造成错解

1+x/1-x>0 貌似是这样，我差不多都忘了。 1+x>0 分式不等式两边同时一个不为0的数。然后再解 x>-1此不等式的解x>-1且x≠1

图

如果解题过程正确，那么验根时，一般是分式无意义的是增根。如果左右不相等，显然也是增根。

分式方程不写等式两边同时会扣分。根据查询相关公开信息显示，在数学解方程中是有规范要求的，公式没有写明白会扣分。

因为分母不等于0，那么两边乘上分母的平方（一个正数）就可以转化了不等式两边同时乘上或除以一个正数，不等号方向不变

要考虑其值不能为零

根据二次根式的化简,特殊三角函数值,零指数次幂的法则计算;分别解一元一次不等式,然后求出两个不等式的交集即可;最简公分母是,方程两边都乘以最简公分母,化为整式方程求解.原式;解得,解得.所以原不等式的解集是;原方程两边同时乘以,得:解得:,经检验:是原方程的增根,所以原方程无解.注意:解不等式组求的是两个不等式解的公共部分;解分式方程必须验根.

（1）由不等式2x-7＜3（x-1）得：x＞-4；由不等式x+3≥1-x得：x≥-1，∴不等式的解集是x≥-1； （2）方程两边同时乘以x2-4得：x（x+2）-（x2-4）=2，去括号得：x2+2x-x2+4=2，移项合并得：2x=-2，解得：x=-1，经检验得x=-1是原方程的解，∴原方程的解是x=-1． 分析： （1）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可求出不等式组的解集；（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 点评： 此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．

求值域的五种方法：1.直接法：从自变量的范围出发，推出值域。2.观察法：对于一些比较简单的函数，可以根据定义域与对应关系，直接得到函数的值域。3.配方法：（或者说是最值法）求出最大值还有最小值，那么值域就出来了。例题：y=x^2+2x+3x∈【-1，2】先配方，得y=(x+1)^2+1∴ymin=(-1+1)^2+2=2ymax=(2+1)^2+2=114.拆分法：对于形如y=cx+d，ax+b的分式函数，可以将其拆分成一个常数与一个分式，再易观察出函数的值域。5.单调性法：y≠ca.一些函数的单调性，很容易看出来。或者先证明出函数的单调性，再利用函数的单调性求函数的值域。6.数形结合法，其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。7.判别式法：运用方程思想，根据二次方程有实根求值域。8.换元法：适用于有根号的函数例题：y=x-√（1-2x)设√（1-2x)=t(t≥0)∴x=(1-t^2)/2∴y=(1-t^2)/2-t=-t^2/2-t+1/2=-1/2(t+1)^2+1∵t≥0，∴y∈（-∝，1/2）9：图像法，直接画图看值域这是一个分段函数，你画出图后就可以一眼看出值域。10：反函数法。求反函数的定义域，就是原函数的值域。例题：y=(3x-1)/(3x-2)</p><p>先求反函数y=(2x-1)/(3x-3)明显定义域为x≠1所以原函数的值域为y≠1扩展资料：值域，在函数经典定义中，因变量改变而改变的取值范围叫做这个函数的值域，在函数现代定义中是指定义域中所有元素在某个对应法则下对应的所有的象所组成的集合。如：f(x)=x，那么f(x)的取值范围就是函数f(x)的值域。在实数分析中，函数的值域是实数，而在复数域中，值域是复数。定义域、对应法则、值域是函数构造的三个基本“元件”。平时数学中，实行“定义域优先”的原则，无可置疑。然而事物均具有二重性，在强化定义域问题的同时，往往就削弱或淡化了，对值域问题的探究，造成了一手“硬”一手“软”，使学生对函数的掌握时好时坏，事实上，定义域与值域二者的位置是相当的，绝不能厚此薄彼，何况它们二者随时处于互相转化之中（典型的例子是互为反函数的定义域与值域的相互转化）。如果函数的值域是无限集的话，那么求函数值域不总是容易的，反靠不等式的运算性质有时并不能奏效，还必须联系函数的奇偶性、单调性、有界性、周期性来考虑函数的取值情况。才能获得正确答案，从这个角度来讲，求值域的问题有时比求定义域问题难。实践证明，如果加强了对值域求法的研究和讨论，有利于对定义域内函数的理解，从而深化对函数本质的认识。参考资料：百度百科-值域（数学名词，函数经典定义）

向左转|向右转

y=(-4+x+7)/(4-x)=7/(4-x)-1所以y≠-1

解：x是第一象限角时y=sinx/sinx+cosx/cosx+tanx/tanx+cotx/cotx    =1+1+1+1=4x是第二象限角时y=sinx/sinx-cosx/cosx-tanx/tanx-cotx/cotx    =1-1-1-1=-2x是第三象限角时y=-sinx/sinx-cosx/cosx+tanx/tanx+cotx/cotx    =-1-1+1+1=0x是第四象限角时y=-sinx/sinx+cosx/cosx-tanx/tanx-cotx/cotx    =-1+1-1-1=-2所以值域为｛4， 0，-2｝

求 函数值域的几种常见方法 1．直接法：利用常见函数的值域来求 一次函数y=ax+b(a 0)的定义域为R，值域为R； 反比例函数 的定义域为{x|x 0}，值域为{y|y 0}； 二次函数 的定义域为R， 当a>0时，值域为{ }；当a<0时，值域为{ }. 例1．求下列函数的值域 ① y=3x+2(-1 x 1) ② ③ ④ 解：①∵-1 x 1，∴-3 3x 3， ∴-1 3x+2 5，即-1 y 5，∴值域是[-1，5] ②∵ ∴ 即函数 的值域是 { y| y 2} ③ ④当x>0，∴ = ， 当x<0时， =－ ∴值域是 [2，+ ).（此法也称为配方法） 函数 的图像为： 2．二次函数比区间上的值域(最值)： 例2 求下列函数的最大值、最小值与值域： ① ； 解：∵ ，∴顶点为(2,-3)，顶点横坐标为2. ①∵抛物线的开口向上，函数的定义域R， ∴x=2时，ymin=-3 ,无最大值；函数的值域是{y|y -3 }. ②∵顶点横坐标2 [3,4]， 当x=3时，y= -2；x=4时，y=1； ∴在[3,4]上， =-2， =1；值域为[-2，1]. ③∵顶点横坐标2 [0,1]，当x=0时，y=1；x=1时，y=-2, ∴在[0,1]上， =-2， =1；值域为[-2，1]. ④∵顶点横坐标2 [0,5]，当x=0时，y=1；x=2时，y=-3, x=5时，y=6, ∴在[0,1]上， =-3， =6；值域为[-3，6]. 注：对于二次函数 , ⑴若定义域为R时， ①当a>0时，则当 时，其最小值 ； ②当a<0时，则当 时，其最大值 . ⑵若定义域为x [a,b],则应首先判定其顶点横坐标x0是否属于区间[a,b]. ①若 [a,b],则 是函数的最小值（a>0）时或最大值（a<0）时，再比较 的大小决定函数的最大（小）值. ②若 [a,b],则[a,b]是在 的单调区间内，只需比较 的大小即可决定函数的最大（小）值. 注：①若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大（小）值； ②当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论. 3．判别式法（△法）： 判别式法一般用于分式函数，其分子或分母只能为二次式，解题中要注意二次项系数是否为0的讨论 例3．求函数 的值域 方法一：去分母得 (y-1) +(y+5)x-6y-6=0 ① 当 y11时 ∵x?R ∴△=(y+5) +4(y-1)×6(y+1) 0 由此得 (5y+1) 0 检验 时 （代入①求根） ∵2 ? 定义域 { x| x12且 x13} ∴ 再检验 y=1 代入①求得 x=2 ∴y11 综上所述，函数 的值域为 { y| y11且 y1 } 方法二：把已知函数化为函数 (x12) ∵ x=2时 即 说明：此法是利用方程思想来处理函数问题，一般称判别式法. 判别式法一般用于分式函数，其分子或分母只能为二次式.解题中要注意二次项系数是否为0的讨论. 4．换元法 例4．求函数 的值域 解：设 则 t 0 x=1- 代入得 5．分段函数 例5．求函数y=|x+1|+|x-2|的值域. 解法1：将函数化为分段函数形式： ，画出它的图象（下图），由图象可知，函数的值域是{y|y 3}. 解法2：∵函数y=|x+1|+|x-2|表示数轴上的动点x到两定点-1，2的距离之和，∴易见y的最小值是3，∴函数的值域是[3，+ ]. 如图 两法均采用“数形结合”，利用几何性质求解，称为几何法或图象法.

函数h(x)的定义域为x∈[2，12)设2≤x1<x2<12，f(x1)-f(x2)=[√(x1-2)-log3(12-x1)]-[√(x2-2)-log3(12-x2)]=[√(x1-2)-√(x2-2)]+[log3(12-x2)-log3(12-x2)]log3x为增函数，所以log3(12-x2)-log3(12-x2)为负，而√(x1-2)-√(x2-2)也为负，所以f(x1)-f(x2)<0所以h(x)为增函数所以值域为-log310≤h(x)<√10

函数的值域问题及解法值域的概念：函数y=f(x)的值域是函数值的取值范围,用集合表示为{y│y=f(x),x∈A}.这里集合A是函数的定义域,由此可见,它与定义域密切相关.值域的几何意义是函数图象上点的纵坐标的集合,也可以说成是函数图象纵向的分布范围.一般来说,求值域比求定义域困难得多.求值域要根据解析式的结构特征选择适当的方法,具有较强的灵活性和一定的技巧性.1．观察法用于简单的解析式.y=1-√x≤1,值域(-∞, 1]y=(1+x)/(1-x)=2/(1-x)-1≠-1,值域(-∞,-1)∪(-1,+∞).2．配方法多用于二次(型)函数.y=x^2-4x+3=(x-2)^2-1≥-1,值域[-1,+∞）y=e^2x-4e^x-3=(e^x-2)^2-7≥-7,值域[-7,+∞）3．换元法多用于复合型函数.通过换元,使高次函数低次化,分式函数整式化,无理函数有理化,超越函数代数以方便求值域.特别注意中间变量（新量）的变化范围.y=-x+2√( x-1)+2令t=√(x-1),则t≥0,x=t^2+1.y=-t^2+2t+1=-(t-1)^2+2≤2,值域(-∞, 2].4．不等式法用不等式的基本性质,也是求值域的常用方法.y=(e^x+1)/(e^x-1), (0由01/(e-1).y=1+2/(e^x-1)>1+2/(e-1),值域(1+2/(e-1),+∞).5．最值法如果函数f(x)存在最大值M和最小值m,那么值域为[m,M].因此,求值域的方法与求最值的方法是相通的.6．反函数法（有的又叫反解法）函数和它的反函数的定义域与值域互换.如果一个函数的值域不易求,而它的反函数的定义域易求,那么我们可以通过求后者得出前者.7．单调性法若f(x)在定义域[a, b]上是增函数,则值域为[f(a), f(b)]；若是减函数,则值域为[f(b), f(a)].y=x^2-4x+3, (-1≤x≤1).y=(x-2)^2-1在[-1, 1]上是减函数（单调递减）,F(-1)=8,f(1)=0,值域[0, 8].8．斜率法数形结合.求函数y=(sinx+3)/(cosx-4)的值域.把函数y=(sinx+3)/(cosx-4)看成单位圆上的动点M(cosx,sinx)与定点P(4,-3)连线的斜率,则直线MP的方程为y+3=k(x-4)等价于y=kx-4k-3.圆心(0,0)到直线的距离在相切时最大为1=|-4k-3|/√(1+k^2),解得k=(-12±√6)/15.y max=(-12+√6)/15,y min=(-12-√6)/15值域[(-12-√6)/15,(-12+√6)/15].一般的,对函数y=(sinx+a)/(cosx+b),都可以用斜率法求最值和值域.对函数y=( cosx +a)/(sinx +b),也都可以转化后用斜率法求最值和值域.9．导数法导数为零的点称为驻点,设f"(x0)=0,若当xx0时f"(x)>0,则f(x0)为极小值；若当x0,当x>x0时f"(x)<0,则f(x0)为极大值；再根据定义域求得边界值,与之比较得出最大、最小值（与最值法相通）,得出值域.

1．观察法用于简单的解析式。y＝1－√x≤1,值域(－∞, 1]y=(1+x)/(1-x)=2/(1-x)-1≠-1,值域(－∞,-1)∪(-1,＋∞).2.配方法多用于二次(型)函数。y＝x^2-4x+3=(x-2)^2-1≥-1,值域[-1, ＋∞）y=e^2x-4e^x-3=(e^x-2)^2-7≥-7,值域[-7,＋∞）3. 换元法多用于复合型函数。通过换元，使高次函数低次化，分式函数整式化，无理函数有理化，超越函数代数以方便求值域。特别注意中间变量（新量）的变化范围。4. 不等式法用不等式的基本性质，也是求值域的常用方法。y=（e^x+1）/(e^x-1), (0<x<1).0<x<1,1<e^x<e, 0<e^x-1<e-1,1/(e^x-1)>1/(e-1),y=1+2/(e^x-1)>1+2/(e-1).值域(1+2/(e-1),＋∞).5. 最值法如果函数f(x)存在最大值M和最小值m.那么值域为[m,M].因此,求值域的方法与求最值的方法是相通的.6. 反函数法有的又叫反解法.函数和它的反函数的定义域与值域互换.如果一个函数的值域不易求,而它的反函数的定义域易求.那么,我们通过求后者而得出前者.7. 单调性法若f(x)在定义域[a, b]上是增函数,则值域为[f(a), f(b)].减函数则值域为[f(b),f(a)]

x=1-5y/2y+1其定义域为｛y/y=/-1/2｝即为原函数值域

f(x)=2x/(3x-4)=[2(3x-4)/3+8/3]/(3x-4)=2/3+8/3(3x-4)值域：y不等于2/3

总结一句话，看函数的定义域和单调性。

值域是y的取值范围，根据自变量x的取值确定。。。。

改编自原著《董生》、《褚生》篇。

函数是中学数学的核心内容，它不仅与方程和不等式有着本质的内在联系，而且作为一种重要的思想方法，在所有内容当中都能够看到它的作用，这就决定了在高考当中的重要地位。函数的值域就是函数值的取值范围，它虽然由函数的定义域及对应法则完全确定，但是确定值域仍是较为困难的，这些使函数的值域成为历年高考必考的重点之一。而如何求函数的的值域却令大多数同学头疼，因为函数千变万化，各不相同，对函数值域的求法也各种各样。常用的求函数值域的方法有：配方法、换元法、图像法、利用函数的单调性法等，方法众多。有的同学学会了各种方法，却不清楚每种方法适合什么样的函数，所以在解题时各种方法乱套，或者方法一种一种的去尝试。导致这种情况的根源是没有把握好函数的特点，只是注重了方法。现在高中阶段所接触的函数主要是基本初等函数，比如一次函数、二次函数、反比例函数等，再其他一些就是由基本初等函数构成的复合函数。为了避免学生在学习函数的值域过程中出现上述问题，我认为教师在讲授函数的值域时应抓住基本初等函数的特点，重点讲解好如何利用基本初等函数的定义域及性质来求解函数的值域。这样学生就通过函数的形式、类别来寻求解决值域问题的方法，符合形象思维的范畴。正如前苏联伟大教育家苏霍姆林斯基所说的“直观性是一种发展观察力和发展思维的力量，它能给认识带来一定情绪色彩。” 形象思维是思维的主要形式之一，主要是指人们获得表象，根据表象创造的思维活动，没有形象思维就没有创新。现列出我讲解《函数的值域》时重点部分的教学实录，供大家批评指正。　　师：题组1：已知函数，当①②③时，求函数的值域。　　（学生思考解答）　　生：①，②，③，　　师：你是怎样得到答案的？（步步紧逼，让学生将自己的思维过程在课堂上展示出来，让所有同学加以辨析和借鉴）　　生1：将和代入，将和代入，……就得到了答案。　　师：生1的答案正确吗？解法好吗？（鼓励其他同学对已有的方法进行质疑，提高学生的辨析能力以及对真理的向往心理）　　生2：答案正确，但解法不好，他的答案是蒙对的。如果的图像不是单纯上升，那么生1的做法可能就会出错。我认为根据的图像来解决问题更好一些。　　师：如何利用图像？（迫使学生发表自己的看法）　　生2：画出的图像，观察当、和时，寻找满足题意的点的纵坐标的范围，于是得到值域。　　师：好一个“满足题意的点的纵坐标的范围”，（适时地给学生以鼓励，让学生有一股成就感，这样会更好的调动他们思考的积极性）这就是的值域在坐标系中的体现。利用函数的几何图像来研究、解决代数问题，非常形象而且直观，我们称这种思想方法为……　　生（齐）：数形结合。　　师：试看下一个问题：试求的值域。　　生3：把看作一个整体，，，　　师：好，在解决下一题组：求下列函数的值域：①；②，（在学生自己逐渐发现的基础上，通过难易适中的题目引导学生逐步深入）　　生4：①，②，　　师：研究、解决这类问题的关键在于寻找突破口，此类题目的突破口在何处？　　生5：我认为，首先研究根式下面的式子，研究好了它的范围，通过的图像，至于就出来了。突破口就是根式下面的表达式，把这个表达式看成一个整体来研究。（简单的提示后让学生自我归纳针对此类题目的解法，迫使其努力思考）　　师：像刚才生5所说的，如果我们再用一个未知量来代替根式下的表达式，那么这种方法可以称之为……　　生（齐）：换元法。　　教师用投影仪展示下一题组：求下列函数的值域。（难度再次加深，但是在学生自我研究自我发现的基础上，解决这些问题不再困难）　　①　　②　　③

根号下给x配方，得-（x-1)^2+6。这个根号下的东西要大于等于0，最大值又是6，那值域就是0~6的闭区间。那y的值域就是根号下的0~6的闭区间

1.直接法：从自变量的范围出发，推出值域。2.观察法：对于一些比较简单的函数，可以根据定义域与对应关系，直接得到函数的值域。3.配方法：（或者说是最值法）求出最大值还有最小值，那么值域就出来了。例题：y=x^2+2x+3x∈【-1，2】先配方，得y=(x+1)^2+1∴ymin=(-1+1)^2+2=2ymax=(2+1)^2+2=114.拆分法：对于形如y=cx+d，ax+b的分式函数，可以将其拆分成一个常数与一个分式，再易观察出函数的值域。5.单调性法：y≠ca.一些函数的单调性，很容易看出来。或者先证明出函数的单调性，再利用函数的单调性求函数的值域。6.数形结合法，其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。7.判别式法：运用方程思想，根据二次方程有实根求值域。8.换元法：适用于有根号的函数例题：y=x-√（1-2x)设√（1-2x)=t(t≥0)∴x=(1-t^2)/2∴y=(1-t^2)/2-t=-t^2/2-t+1/2=-1/2(t+1)^2+1∵t≥0，∴y∈（-∝，1/2）9：图像法，直接画图看值域这是一个分段函数，你画出图后就可以一眼看出值域。10：反函数法。求反函数的定义域，就是原函数的值域。例题：y=(3x-1)/(3x-2)先求反函数y=(2x-1)/(3x-3)明显定义域为x≠1所以原函数的值域为y≠1扩展资料：常见函数值域：y=kx+b （k≠0）的值域为Ry=k/x 的值域为(-∞,0)∪(0,+∞)y=√x的值域为x≥0y=ax^2+bx+c 当a>0时，值域为 [4ac-b^2/4a,+∞) ；当a<0时，值域为（-∞，4ac-b^2/4a]y=a^x 的值域为 (0,+∞)y=lgx的值域为R

求函数值域的几种常见方法1．直接法：利用常见函数的值域来求一次函数y=ax+b(a0)的定义域为r，值域为r；反比例函数的定义域为{x|x0}，值域为{y|y0}；二次函数的定义域为r，当a>0时，值域为{}；当a<0时，值域为{}.例1．求下列函数的值域①y=3x+2(-1x1)②③④解：①∵-1x1，∴-33x3，∴-13x+25，即-1y5，∴值域是[-1，5]②∵∴即函数的值域是{y|y2}③④当x>0，∴=，当x<0时，=－∴值域是[2，+).（此法也称为配方法）函数的图像为：2．二次函数比区间上的值域(最值)：例2求下列函数的最大值、最小值与值域：①；解：∵，∴顶点为(2,-3)，顶点横坐标为2.①∵抛物线的开口向上，函数的定义域r，∴x=2时，ymin=-3,无最大值；函数的值域是{y|y-3}.②∵顶点横坐标2[3,4]，当x=3时，y=-2；x=4时，y=1；∴在[3,4]上，=-2，=1；值域为[-2，1].③∵顶点横坐标2[0,1]，当x=0时，y=1；x=1时，y=-2,∴在[0,1]上，=-2，=1；值域为[-2，1].④∵顶点横坐标2[0,5]，当x=0时，y=1；x=2时，y=-3,x=5时，y=6,∴在[0,1]上，=-3，=6；值域为[-3，6].注：对于二次函数,⑴若定义域为r时，①当a>0时，则当时，其最小值；②当a<0时，则当时，其最大值.⑵若定义域为x[a,b],则应首先判定其顶点横坐标x0是否属于区间[a,b].①若[a,b],则是函数的最小值（a>0）时或最大值（a<0）时，再比较的大小决定函数的最大（小）值.②若[a,b],则[a,b]是在的单调区间内，只需比较的大小即可决定函数的最大（小）值.注：①若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大（小）值；②当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论.3．判别式法（△法）：判别式法一般用于分式函数，其分子或分母只能为二次式，解题中要注意二次项系数是否为0的讨论例3．求函数的值域方法一：去分母得(y-1)+(y+5)x-6y-6=0①当y11时∵x?r∴△=(y+5)+4(y-1)×6(y+1)0由此得(5y+1)0检验时（代入①求根）∵2?定义域{x|x12且x13}∴再检验y=1代入①求得x=2∴y11综上所述，函数的值域为{y|y11且y1}方法二：把已知函数化为函数(x12)∵x=2时即说明：此法是利用方程思想来处理函数问题，一般称判别式法.判别式法一般用于分式函数，其分子或分母只能为二次式.解题中要注意二次项系数是否为0的讨论.4．换元法例4．求函数的值域解：设则t0x=1-代入得5．分段函数例5．求函数y=|x+1|+|x-2|的值域.解法1：将函数化为分段函数形式：，画出它的图象（下图），由图象可知，函数的值域是{y|y3}.解法2：∵函数y=|x+1|+|x-2|表示数轴上的动点x到两定点-1，2的距离之和，∴易见y的最小值是3，∴函数的值域是[3，+].如图两法均采用“数形结合”，利用几何性质求解，称为几何法或图象法.

函数值域为(0,2√3/3+1]。

求函数的值域是高考数学的基本要求之一,出现的频率高.用判别式法求函数的值域是常见常用的方法.但并不是所有出现二次函数的形式的函数都能用判别式法,有些函数求值域是不能用判别式法的.什么情况下能直接用,什么情况下不能直接用呢?我认为一般情况下当分式函数的定义域为一切实数时,可以直接用判别式法.

求函数值域的几种常见方法1．直接法：利用常见函数的值域来求一次函数y=ax+b(a0)的定义域为r，值域为r；反比例函数的定义域为{x|x0}，值域为{y|y0}；二次函数的定义域为r，当a>0时，值域为{}；当a<0时，值域为{}.例1．求下列函数的值域①y=3x+2(-1x1)②③④解：①∵-1x1，∴-33x3，∴-13x+25，即-1y5，∴值域是[-1，5]②∵∴即函数的值域是{y|y2}③④当x>0，∴=，当x<0时，=－∴值域是[2，+).（此法也称为配方法）函数的图像为：2．二次函数比区间上的值域(最值)：例2求下列函数的最大值、最小值与值域：①；解：∵，∴顶点为(2,-3)，顶点横坐标为2.①∵抛物线的开口向上，函数的定义域r，∴x=2时，ymin=-3,无最大值；函数的值域是{y|y-3}.②∵顶点横坐标2[3,4]，当x=3时，y=-2；x=4时，y=1；∴在[3,4]上，=-2，=1；值域为[-2，1].③∵顶点横坐标2[0,1]，当x=0时，y=1；x=1时，y=-2,∴在[0,1]上，=-2，=1；值域为[-2，1].④∵顶点横坐标2[0,5]，当x=0时，y=1；x=2时，y=-3,x=5时，y=6,∴在[0,1]上，=-3，=6；值域为[-3，6].注：对于二次函数,⑴若定义域为r时，①当a>0时，则当时，其最小值；②当a<0时，则当时，其最大值.⑵若定义域为x[a,b],则应首先判定其顶点横坐标x0是否属于区间[a,b].①若[a,b],则是函数的最小值（a>0）时或最大值（a<0）时，再比较的大小决定函数的最大（小）值.②若[a,b],则[a,b]是在的单调区间内，只需比较的大小即可决定函数的最大（小）值.注：①若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大（小）值；②当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论.3．判别式法（△法）：判别式法一般用于分式函数，其分子或分母只能为二次式，解题中要注意二次项系数是否为0的讨论例3．求函数的值域方法一：去分母得(y-1)+(y+5)x-6y-6=0①当y11时∵x?r∴△=(y+5)+4(y-1)×6(y+1)0由此得(5y+1)0检验时（代入①求根）∵2?定义域{x|x12且x13}∴再检验y=1代入①求得x=2∴y11综上所述，函数的值域为{y|y11且y1}方法二：把已知函数化为函数(x12)∵x=2时即说明：此法是利用方程思想来处理函数问题，一般称判别式法.判别式法一般用于分式函数，其分子或分母只能为二次式.解题中要注意二次项系数是否为0的讨论.4．换元法例4．求函数的值域解：设则t0x=1-代入得5．分段函数例5．求函数y=|x+1|+|x-2|的值域.解法1：将函数化为分段函数形式：，画出它的图象（下图），由图象可知，函数的值域是{y|y3}.解法2：∵函数y=|x+1|+|x-2|表示数轴上的动点x到两定点-1，2的距离之和，∴易见y的最小值是3，∴函数的值域是[3，+].如图两法均采用“数形结合”，利用几何性质求解，称为几何法或图象法.

几种求值域的方法 函数的值域问题及解法函数y=f(x)的值域是函数值的取值范围,用集合表示为{y│y=f(x),x∈A}.这里集合A是函数的定义域.由此可见,它与定义域密切相关.值域的几何意义是函数图象上点的纵坐标的集合,也可以说成是函数图象纵向的分布范围.一般来说，求值域比求定义域困难得多。求值域要根据解析式的结构特征选择适当的方法，具有较强的灵活性和一定的技巧性。1．观察法通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。用于简单的解析式。y＝1－√x≤1,值域(－∞, 1] 本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。2.配方法 当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域。　　例3：求函数y＝x^2-4x+3的值域。　 点拨：配方成完全平方式，利用二次函数的最值求。　　点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。配方法是数学的一种重要的思想方法。3. 换元法以新变量代替函数式中的某些量，使函数转化为以新变量为自变量的函数形式，进而求出值域。　　例2求函数y=x-3+√2x+1 的值域。　　点拨：通过换元将原函数转化为某个变量的二次函数，利用二次函数的最值，确定原函数的值域。　　解：设t=√2x+1 （t≥0）,则　　x=1/2(t^2-1)。　　于是 y=1/2×(t^2-1)-3+t=1/2×(t+1)^2-4≥1/2-4=-7/2.　　所以，原函数的值域为｛y|y≥－7/2｝。　　点评：将无理函数或二次型的函数转化为二次函数，通过求出二次函数的最值，从而确定出原函数的值域。这种解题的方法体现换元、化归的思想方法。它的应用十分广泛。 4. 不等式法用不等式的基本性质，也是求值域的常用方法。y=（e^x+1）/(e^x-1), (0<x<1).∵0<x<1, ∴1<e^x<e, 0<e^x-1<e-1,1/(e^x-1)>1/(e-1),y=1+2/(e^x-1)>1+2/(e-1).值域(1+2/(e-1),＋∞).5. 最值法如果函数f(x)存在最大值M和最小值m.那么值域为[m,M].因此,求值域的方法与求最值的方法是相通的. 6. 反函数法函数和它的反函数的定义域与值域互换. 当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。　　例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。　点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。　　解：显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1－2y)/（y－1）,其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为｛y|y≠1,y∈R｝。　　点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。7. 单调性法若f(x)在定义域[a, b]上是增函数,则值域为[f(a), f(b)].减函数则值域为[f(b), f(a)]. y=x^2-4x+3,(-1≤x≤1). y=(x-2)^2-1在[-1, 1]上是减函数, F(-1)=8,f(1)=0, 值域[0, 8]. 点评：利用单调性求函数的值域，是在函数给定的区间上，或求出函数隐含的区间，结合函数的增减性，求出其函数在区间端点的函数值，进而可确定函数的值域。8. 分离常数法 点拨：将原分式函数，利用长除法转化为一个整式与一个分式之和。 y=(1+x)/(1-x)=2/(1-x)-1≠-1,值域(－∞,-1)∪(-1,＋∞). 9．判别式法若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。　　例4求函数y=(2x^2－2x+3)/(x^2－x+1)的值域。　点拨：将原函数转化为自变量的二次方程，应用二次方程根的判别式，从而确定出原函数的值域。　　解：将上式化为（y－2）x^2－(y－2)x+(y-3)=0 （＊）　　当y≠2时,由Δ=(y－2)^2－4（y－2）(y－3)≥0，解得：2＜y≤10/3　　 当y=2时,方程(＊)无解。∴函数的值域为2＜y≤10/3。　　点评：把函数关系化为二次方程F(x,y)=0，由于方程有实数解，故其判别式为非负数，可求得函数的值域。常适应于形如y=(ax^2+bx+c)/(dx^2+ex+f)及y=ax+b±√(cx^2+dx+e)的函数。 10．图象法　通过观察函数的图象，运用数形结合的方法得到函数的值域。　例6求函数y=|x+1|+√(x-2)^2 的值域。　　点拨：根据绝对值的意义，去掉符号后转化为分段函数，作出其图象。　　解：原函数化为 {－2x+1 (x≤-1)　　y= {3 (-1<x≤2)　　 {2x-1 (x>2)　　它的图象如图所示。　 显然函数值y≥3,所以，函数值域[3，＋∞]。　 点评：分段函数应注意函数的端点。利用函数的图象　　求函数的值域，体现数形结合的思想。是解决问题的重要方法。 点评：对于形如y=(ax+b)/(cx+d)的形式的函数均可利用这种方法。路漫漫其修远兮吾将上下而求索求值域方法 学法指导求值域方法