【高一数学】一道分式函数求值域的题。

分式型函数值域求法原创/O客分式型函数值域求法.☆☆☆☆☆1。分离常数法y=(x^2+2)/(x^2-1)=1+3/(x^2-1)y<=-2 or y>12.判别式法对分子、分母是二次函数的分式函数使用。3。斜率公式法对分子、分母分别是正弦、余弦的一次式的分式函数使用.y=(sinx-a)/(cosx-b)看成单位圆上的动点（cosx,sinx)与定点（b,a)连线的斜率.4.导数法求分子、分母都是x的多项式的分式函数在[a,b]上的值域.

求函数值域的几种常见方法1．直接法：利用常见函数的值域来求一次函数y=ax+b(a0)的定义域为R，值域为R；反比例函数的定义域为{x|x0}，值域为{y|y0}；二次函数的定义域为R，当a>0时，值域为{}；当a<0时，值域为{}.例1．求下列函数的值域①y=3x+2(-1x1)②③④解：①∵-1x1，∴-33x3，∴-13x+25，即-1y5，∴值域是[-1，5]②∵∴即函数的值域是{y|y2}③④当x>0，∴=，当x<0时，=－∴值域是[2，+).（此法也称为配方法）函数的图像为：2．二次函数比区间上的值域(最值)：例2求下列函数的最大值、最小值与值域：①；解：∵，∴顶点为(2,-3)，顶点横坐标为2.①∵抛物线的开口向上，函数的定义域R，∴x=2时，ymin=-3,无最大值；函数的值域是{y|y-3}.②∵顶点横坐标2[3,4]，当x=3时，y=-2；x=4时，y=1；∴在[3,4]上，=-2，=1；值域为[-2，1].③∵顶点横坐标2[0,1]，当x=0时，y=1；x=1时，y=-2,∴在[0,1]上，=-2，=1；值域为[-2，1].④∵顶点横坐标2[0,5]，当x=0时，y=1；x=2时，y=-3,x=5时，y=6,∴在[0,1]上，=-3，=6；值域为[-3，6].注：对于二次函数,⑴若定义域为R时，①当a>0时，则当时，其最小值；②当a<0时，则当时，其最大值.⑵若定义域为x[a,b],则应首先判定其顶点横坐标x0是否属于区间[a,b].①若[a,b],则是函数的最小值（a>0）时或最大值（a<0）时，再比较的大小决定函数的最大（小）值.②若[a,b],则[a,b]是在的单调区间内，只需比较的大小即可决定函数的最大（小）值.注：①若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大（小）值；②当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论.3．判别式法（△法）：判别式法一般用于分式函数，其分子或分母只能为二次式，解题中要注意二次项系数是否为0的讨论例3．求函数的值域方法一：去分母得(y-1)+(y+5)x-6y-6=0①当y11时∵x?R∴△=(y+5)+4(y-1)×6(y+1)0由此得(5y+1)0检验时（代入①求根）∵2?定义域{x|x12且x13}∴再检验y=1代入①求得x=2∴y11综上所述，函数的值域为{y|y11且y1}方法二：把已知函数化为函数(x12)∵x=2时即说明：此法是利用方程思想来处理函数问题，一般称判别式法.判别式法一般用于分式函数，其分子或分母只能为二次式.解题中要注意二次项系数是否为0的讨论.4．换元法例4．求函数的值域解：设则t0x=1-代入得5．分段函数例5．求函数y=|x+1|+|x-2|的值域.解法1：将函数化为分段函数形式：，画出它的图象（下图），由图象可知，函数的值域是{y|y3}.解法2：∵函数y=|x+1|+|x-2|表示数轴上的动点x到两定点-1，2的距离之和，∴易见y的最小值是3，∴函数的值域是[3，+].如图两法均采用“数形结合”，利用几何性质求解，称为几何法或图象法.说明：以上是求函数值域常用的一些方法（观察法、配方法、判别式法、图象法、换元法等），随着知识的不断学习和经验的不断积累，还有如不等式法、三角代换法等.有的题可以用多种方法求解，有的题用某种方法求解比较简捷，同学们要通过不断实践，熟悉和掌握各种解法，并在解题中尽量采用简捷解法.

一．观察法 通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。 例1求函数y=3+√(2－3x) 的值域。 点拨：根据算术平方根的性质，先求出√(2－3x) 的值域。 解：由算术平方根的性质，知√(2－3x)≥0， 故3+√(2－3x)≥3。 ∴函数的知域为 . 点评：算术平方根具有双重非负性，即：（1）被开方数的非负性，（2）值的非负性。 本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。 练习：求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。（答案：值域为：｛0，1，2，3，4，5｝） 二．反函数法 当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。 例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。 点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。 解：显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1－2y)/（y－1）,其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为｛y∣y≠1,y∈R｝。 点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。 练习：求函数y=(10x+10-x)/(10x－10-x)的值域。（答案：函数的值域为｛y∣y<－1或y>1｝） 三．配方法 当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域 例3：求函数y=√(－x2+x+2)的值域。 点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。 解：由－x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[－1，2]。此时－x2+x+2=－（x－1/2）2＋9/4∈[0，9/4] ∴0≤√－x2+x+2≤3/2,函数的值域是[0,3/2] 点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。配方法是数学的一种重要的思想方法。 练习：求函数y=2x－5＋√15－4x的值域.(答案:值域为{y∣y≤3}) 四．判别式法 若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。 例4求函数y=(2x2－2x+3)/(x2－x+1)的值域。 点拨：将原函数转化为自变量的二次方程，应用二次方程根的判别式，从而确定出原函数的值域。 解：将上式化为（y－2）x2－(y－2)x+(y-3)=0 （＊） 当y≠2时,由Δ=(y－2)2－4（y－2）x+(y－3)≥0，解得：2＜x≤10/3 当y=2时,方程(＊)无解。∴函数的值域为2＜y≤10/3。 点评：把函数关系化为二次方程F(x,y)=0，由于方程有实数解，故其判别式为非负数，可求得函数的值域。常适应于形如y=(ax2+bx+c)/(dx2+ex+f)及y=ax+b±√(cx2+dx+e)的函数。 练习：求函数y=1/(2x2－3x+1)的值域。（答案：值域为y≤－8或y>0）。 五．最值法 对于闭区间[a,b]上的连续函数y=f(x),可求出y=f(x)在区间[a,b]内的极值,并与边界值f(a).f(b)作比较,求出函数的最值,可得到函数y的值域。 例5已知(2x2-x-3)/(3x2+x+1)≤0,且满足x+y=1,求函数z=xy+3x的值域。 点拨：根据已知条件求出自变量x的取值范围，将目标函数消元、配方，可求出函数的值域。 解：∵3x2+x+1＞0，上述分式不等式与不等式2x2-x-3≤0同解，解之得－1≤x≤3/2，又x+y=1，将y=1-x代入z=xy+3x中，得z=-x2+4x(-1≤x≤3/2), ∴z=-(x-2)2+4且x∈[-1,3/2],函数z在区间[-1,3/2]上连续，故只需比较边界的大小。 当x=-1时，z=－5；当x=3/2时，z=15/4。 ∴函数z的值域为｛z∣－5≤z≤15/4｝。 点评：本题是将函数的值域问题转化为函数的最值。对开区间，若存在最值，也可通过求出最值而获得函数的值域。 练习：若√x为实数，则函数y=x2+3x-5的值域为 （ ） A．（－∞，＋∞） B．[－7，＋∞] C．[0，＋∞） D．[－5，＋∞） （答案：D）。 六．图象法 通过观察函数的图象，运用数形结合的方法得到函数的值域。 例6求函数y=∣x+1∣+√(x-2)2 的值域。 点拨：根据绝对值的意义，去掉符号后转化为分段函数，作出其图象。 解：原函数化为 －2x+1 (x≤1) y= 3 (-1<x≤2) 2x-1(x>2) 它的图象如图所示。 显然函数值y≥3,所以，函数值域[3，＋∞]。 点评：分段函数应注意函数的端点。利用函数的图象求函数的值域，体现数形结合的思想。是解决问题的重要方法。 求函数值域的方法较多，还适应通过不等式法、函数的单调性、换元法等方法求函数的值域。 七．单调法 利用函数在给定的区间上的单调递增或单调递减求值域。 例1求函数y=4x－√1-3x(x≤1/3)的值域。 点拨：由已知的函数是复合函数，即g(x)= －√1-3x,y=f(x)+g(x)，其定义域为x≤1/3，在此区间内分别讨论函数的增减性，从而确定函数的值域。 解：设f(x)=4x,g(x)= －√1-3x ,(x≤1/3),易知它们在定义域内为增函数，从而y=f(x)+g(x)= 4x－√1-3x 在定义域为x≤1/3上也为增函数，而且y≤f(1/3)+g(1/3)=4/3,因此，所求的函数值域为｛y|y≤4/3｝。 点评：利用单调性求函数的值域，是在函数给定的区间上，或求出函数隐含的区间，结合函数的增减性，求出其函数在区间端点的函数值，进而可确定函数的值域。 练习：求函数y=3+√4-x 的值域。(答案：｛y|y≥3｝) 八．换元法 以新变量代替函数式中的某些量，使函数转化为以新变量为自变量的函数形式，进而求出值域。 例2求函数y=x-3+√2x+1 的值域。 点拨：通过换元将原函数转化为某个变量的二次函数，利用二次函数的最值，确定原函数的值域。 解：设t=√2x+1 （t≥0）,则 x=1/2(t2-1)。 于是 y=1/2(t2-1)-3+t=1/2(t+1)2-4≥1/2-4=-7/2. 所以，原函数的值域为｛y|y≥－7/2｝。 点评：将无理函数或二次型的函数转化为二次函数，通过求出二次函数的最值，从而确定出原函数的值域。这种解题的方法体现换元、化归的思想方法。它的应用十分广泛。 练习：求函数y=√x-1 –x的值域。（答案：｛y|y≤－3/4｝ 九．构造法 根据函数的结构特征，赋予几何图形，数形结合。 例3求函数y=√x2+4x+5+√x2-4x+8 的值域。 点拨：将原函数变形，构造平面图形，由几何知识，确定出函数的值域。 解：原函数变形为f(x)=√(x+2)2+1+√(2-x)2+22 作一个长为4、宽为3的矩形ABCD，再切割成12个单位正方形。设HK=x,则ek=2-x,KF=2+x,AK=√(2-x)2+22 ,KC=√(x+2)2+1 。 由三角形三边关系知，AK+KC≥AC=5。当A、K、C三点共线时取等号。 ∴原函数的知域为｛y|y≥5｝。 点评：对于形如函数y=√x2+a ±√(c-x)2+b(a,b,c均为正数)，均可通过构造几何图形，由几何的性质，直观明了、方便简捷。这是数形结合思想的体现。 练习：求函数y=√x2+9 +√(5-x)2+4的值域。（答案：｛y|y≥5√2｝） 十．比例法 对于一类含条件的函数的值域的求法，可将条件转化为比例式，代入目标函数，进而求出原函数的值域。 例4已知x,y∈R，且3x-4y-5=0,求函数z=x2+y2的值域。 点拨：将条件方程3x-4y-5=0转化为比例式，设置参数，代入原函数。 解：由3x-4y-5=0变形得，(x3)/4=(y-1)/3=k(k为参数) ∴x=3+4k,y=1+3k, ∴z=x2+y2=(3+4k)2+(14+3k)2=(5k+3)2+1。 当k=－3/5时，x=3/5,y=－4/5时，zmin=1。 函数的值域为｛z|z≥1｝. 点评：本题是多元函数关系，一般含有约束条件，将条件转化为比例式，通过设参数，可将原函数转化为单函数的形式，这种解题方法体现诸多思想方法，具有一定的创新意识。 练习：已知x,y∈R，且满足4x-y=0,求函数f(x,y)=2x2-y的值域。（答案：｛f(x,y)|f(x,y)≥1｝） 十一．利用多项式的除法 例5求函数y=(3x+2)/(x+1)的值域。 点拨：将原分式函数，利用长除法转化为一个整式与一个分式之和。 解：y=(3x+2)/(x+1)=3－1/(x+1)。 ∵1/(x+1)≠0，故y≠3。 ∴函数y的值域为y≠3的一切实数。 点评：对于形如y=(ax+b)/(cx+d)的形式的函数均可利用这种方法。 练习：求函数y=(x2-1)/(x-1)(x≠1)的值域。（答案：y≠2） 十二．不等式法 例6求函数Y=3x/(3x+1)的值域。 点拨：先求出原函数的反函数，根据自变量的取值范围，构造不等式。 解：易求得原函数的反函数为y=log3[x/(1-x)], 由对数函数的定义知 x/(1-x)＞0 1-x≠0 解得，0＜x<1。 ∴函数的值域（0，1）。 点评：考查函数自变量的取值范围构造不等式（组）或构造重要不等式，求出函数定义域，进而求值域。不等式法是重要的解题工具，它的应用非常广泛。是数学解题的方法之一。以下供练习选用：求下列函数的值域1．Y=√(15－4x)+2x-5；（｛y|y≤3｝）2．Y=2x/(2x－1)。 （y>1或y<0） 注意变量哦~

1有二次方程ax^2+bx+c的形式2变量的范围一般是全体实数(1)(2)满足之后用Δ≥0处理。

函数的值域的7种题型如下：1、一次函数y=ax+b (a≠0）的值域（最值）。2、二次函数f(x)=ax²+bx+c (a≠0）的值域（最值）。3、一次分式函数的值域。4、二次分式函数y=(dx²+ex+c)/(ax²+bx+c )的值域。5、形如y=ax+b±√(cx+d)的值域。6、分段函数的值域。7、复合函数的值域。函数的值域问题的重要性与方法高中数学里的函数一直是很多同学们的软肋，我们都知道定义域，值域，对应法则为函数的三要素，其中起决定性作用的是定义域和值域，定义域和对应法则共同确定了值域。而求函数值域所涉及的知识面非常广，方法也灵活多变，常常让同学们倍感头疼。如果同学们能够灵活的运用方法，必然能起到避繁就简，事半功倍的作用。毕竟对于高中生而言，掌握学习方法，明显要比"题海战术"的提分效果明显的多！求函数值域的方法，如：直接法：从自变量的范围出发，推出值域。配方法：求出最大值还有最小值。观察法：对于一些比较简单的函数，可以根据定义域与对应关系，直接得到函数的值域等等。

1．观察法用于简单的解析式。y＝1－√x≤1,值域(－∞, 1]y=(1+x)/(1-x)=2/(1-x)-1≠-1,值域(－∞,-1)∪(-1,＋∞).2.配方法多用于二次(型)函数。y＝x^2-4x+3=(x-2)^2-1≥-1,值域[-1, ＋∞）y=e^2x-4e^x-3=(e^x-2)^2-7≥-7,值域[-7,＋∞）3. 换元法多用于复合型函数。通过换元，使高次函数低次化，分式函数整式化，无理函数有理化，超越函数代数以方便求值域。特别注意中间变量（新量）的变化范围。y=-x+2√( x-1)+2令t=√(x-1),则t≤0, x=t^2+1.y=-t^2+2t+1=-(t-1)^2+2≤1,值域(－∞, 1].4. 不等式法用不等式的基本性质，也是求值域的常用方法。y=（e^x+1）/(e^x-1), (0<x<1).0<x<1,1<e^x<e, 0<e^x-1<e-1,1/(e^x-1)>1/(e-1),y=1+2/(e^x-1)>1+2/(e-1).值域(1+2/(e-1),＋∞).5. 最值法如果函数f(x)存在最大值M和最小值m.那么值域为[m,M].因此,求值域的方法与求最值的方法是相通的.6. 反函数法有的又叫反解法.函数和它的反函数的定义域与值域互换.如果一个函数的值域不易求,而它的反函数的定义域易求.那么,我们通过求后者而得出前者.7. 单调性法若f(x)在定义域[a, b]上是增函数,则值域为[f(a), f(b)].减函数则值域为[f(b), f(a)]. 8 要求值域就要先求定义域如果是抛物线，还要看看顶点是否在定义域内

函数的值域算法：值域的求解方法有配方法，单调性法，观察法，导数法，分离常数法，反解法，图像法，不等式法，函数有界性法，换元法，数形结合法，判别式法。分式函数值域(最值)的求解是高中数学的一类重要问题，这类问题涉及换元，化归与转化，分类讨论，函数与方程，数形结合等基本数学思想方法。值域梗概：值域，数学名词，在函数经典定义中，因变量改变而改变的取值范围叫做这个函数的值域，在函数现代定义中是指定义域中所有元素在某个对应法则下对应的所有的象所组成的集合。如：f(x)=x，那么f(x)的取值范围就是函数f(x)的值域。在实数分析中，函数的值域是实数，而在复数域中，值域是复数。“范围”与“值域”是我们在学习中经常遇到的两个概念。许多同学常常将它们混为一谈，实际上这是两个不同的概念。“值域”是所有函数值的集合(即集合中每一个元素都是这个函数的取值)，而“范围”则只是满足某个条件的一些值所在的集合(即集合中的元素不一定都满足这个条件)。也就是说:“值域”是一个“范围”，而“范围”却不一定是“值域”。

图像法，换元法

几种求值域的方法 函数的值域问题及解法函数y=f(x)的值域是函数值的取值范围,用集合表示为{y│y=f(x),x∈A}.这里集合A是函数的定义域.由此可见,它与定义域密切相关.值域的几何意义是函数图象上点的纵坐标的集合,也可以说成是函数图象纵向的分布范围.一般来说，求值域比求定义域困难得多。求值域要根据解析式的结构特征选择适当的方法，具有较强的灵活性和一定的技巧性。1．观察法通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。用于简单的解析式。y＝1－√x≤1,值域(－∞, 1] 本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。2.配方法 当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域。　　例3：求函数y＝x^2-4x+3的值域。　 点拨：配方成完全平方式，利用二次函数的最值求。　　点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。配方法是数学的一种重要的思想方法。3. 换元法以新变量代替函数式中的某些量，使函数转化为以新变量为自变量的函数形式，进而求出值域。　　例2求函数y=x-3+√2x+1 的值域。　　点拨：通过换元将原函数转化为某个变量的二次函数，利用二次函数的最值，确定原函数的值域。　　解：设t=√2x+1 （t≥0）,则　　x=1/2(t^2-1)。　　于是 y=1/2×(t^2-1)-3+t=1/2×(t+1)^2-4≥1/2-4=-7/2.　　所以，原函数的值域为｛y|y≥－7/2｝。　　点评：将无理函数或二次型的函数转化为二次函数，通过求出二次函数的最值，从而确定出原函数的值域。这种解题的方法体现换元、化归的思想方法。它的应用十分广泛。 4. 不等式法用不等式的基本性质，也是求值域的常用方法。y=（e^x+1）/(e^x-1), (0<x<1).∵0<x<1, ∴1<e^x<e, 0<e^x-1<e-1,1/(e^x-1)>1/(e-1),y=1+2/(e^x-1)>1+2/(e-1).值域(1+2/(e-1),＋∞).5. 最值法如果函数f(x)存在最大值M和最小值m.那么值域为[m,M].因此,求值域的方法与求最值的方法是相通的. 6. 反函数法函数和它的反函数的定义域与值域互换. 当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。　　例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。　点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。　　解：显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1－2y)/（y－1）,其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为｛y|y≠1,y∈R｝。　　点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。7. 单调性法若f(x)在定义域[a, b]上是增函数,则值域为[f(a), f(b)].减函数则值域为[f(b), f(a)]. y=x^2-4x+3,(-1≤x≤1). y=(x-2)^2-1在[-1, 1]上是减函数, F(-1)=8,f(1)=0, 值域[0, 8]. 点评：利用单调性求函数的值域，是在函数给定的区间上，或求出函数隐含的区间，结合函数的增减性，求出其函数在区间端点的函数值，进而可确定函数的值域。8. 分离常数法 点拨：将原分式函数，利用长除法转化为一个整式与一个分式之和。 y=(1+x)/(1-x)=2/(1-x)-1≠-1,值域(－∞,-1)∪(-1,＋∞). 9．判别式法若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。　　例4求函数y=(2x^2－2x+3)/(x^2－x+1)的值域。　点拨：将原函数转化为自变量的二次方程，应用二次方程根的判别式，从而确定出原函数的值域。　　解：将上式化为（y－2）x^2－(y－2)x+(y-3)=0 （＊）　　当y≠2时,由Δ=(y－2)^2－4（y－2）(y－3)≥0，解得：2＜y≤10/3　　 当y=2时,方程(＊)无解。∴函数的值域为2＜y≤10/3。　　点评：把函数关系化为二次方程F(x,y)=0，由于方程有实数解，故其判别式为非负数，可求得函数的值域。常适应于形如y=(ax^2+bx+c)/(dx^2+ex+f)及y=ax+b±√(cx^2+dx+e)的函数。 10．图象法　通过观察函数的图象，运用数形结合的方法得到函数的值域。　例6求函数y=|x+1|+√(x-2)^2 的值域。　　点拨：根据绝对值的意义，去掉符号后转化为分段函数，作出其图象。　　解：原函数化为 {－2x+1 (x≤-1)　　y= {3 (-1<x≤2)　　 {2x-1 (x>2)　　它的图象如图所示。　 显然函数值y≥3,所以，函数值域[3，＋∞]。　 点评：分段函数应注意函数的端点。利用函数的图象　　求函数的值域，体现数形结合的思想。是解决问题的重要方法。 点评：对于形如y=(ax+b)/(cx+d)的形式的函数均可利用这种方法。路漫漫其修远兮吾将上下而求索求值域方法 学法指导求值域方法

求函数值域的几种常见方法1．直接法：利用常见函数的值域来求一次函数y=ax+b(a0)的定义域为r，值域为r；反比例函数的定义域为{x|x0}，值域为{y|y0}；二次函数的定义域为r，当a>0时，值域为{}；当a<0时，值域为{}.例1．求下列函数的值域①y=3x+2(-1x1)②③④解：①∵-1x1，∴-33x3，∴-13x+25，即-1y5，∴值域是[-1，5]②∵∴即函数的值域是{y|y2}③④当x>0，∴=，当x<0时，=－∴值域是[2，+).（此法也称为配方法）函数的图像为：2．二次函数比区间上的值域(最值)：例2求下列函数的最大值、最小值与值域：①；解：∵，∴顶点为(2,-3)，顶点横坐标为2.①∵抛物线的开口向上，函数的定义域r，∴x=2时，ymin=-3,无最大值；函数的值域是{y|y-3}.②∵顶点横坐标2[3,4]，当x=3时，y=-2；x=4时，y=1；∴在[3,4]上，=-2，=1；值域为[-2，1].③∵顶点横坐标2[0,1]，当x=0时，y=1；x=1时，y=-2,∴在[0,1]上，=-2，=1；值域为[-2，1].④∵顶点横坐标2[0,5]，当x=0时，y=1；x=2时，y=-3,x=5时，y=6,∴在[0,1]上，=-3，=6；值域为[-3，6].注：对于二次函数,⑴若定义域为r时，①当a>0时，则当时，其最小值；②当a<0时，则当时，其最大值.⑵若定义域为x[a,b],则应首先判定其顶点横坐标x0是否属于区间[a,b].①若[a,b],则是函数的最小值（a>0）时或最大值（a<0）时，再比较的大小决定函数的最大（小）值.②若[a,b],则[a,b]是在的单调区间内，只需比较的大小即可决定函数的最大（小）值.注：①若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大（小）值；②当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论.3．判别式法（△法）：判别式法一般用于分式函数，其分子或分母只能为二次式，解题中要注意二次项系数是否为0的讨论例3．求函数的值域方法一：去分母得(y-1)+(y+5)x-6y-6=0①当y11时∵x?r∴△=(y+5)+4(y-1)×6(y+1)0由此得(5y+1)0检验时（代入①求根）∵2?定义域{x|x12且x13}∴再检验y=1代入①求得x=2∴y11综上所述，函数的值域为{y|y11且y1}方法二：把已知函数化为函数(x12)∵x=2时即说明：此法是利用方程思想来处理函数问题，一般称判别式法.判别式法一般用于分式函数，其分子或分母只能为二次式.解题中要注意二次项系数是否为0的讨论.4．换元法例4．求函数的值域解：设则t0x=1-代入得5．分段函数例5．求函数y=|x+1|+|x-2|的值域.解法1：将函数化为分段函数形式：，画出它的图象（下图），由图象可知，函数的值域是{y|y3}.解法2：∵函数y=|x+1|+|x-2|表示数轴上的动点x到两定点-1，2的距离之和，∴易见y的最小值是3，∴函数的值域是[3，+].如图两法均采用“数形结合”，利用几何性质求解，称为几何法或图象法.

求函数的值域是高考数学的基本要求之一,出现的频率高.用判别式法求函数的值域是常见常用的方法.但并不是所有出现二次函数的形式的函数都能用判别式法,有些函数求值域是不能用判别式法的.什么情况下能直接用,什么情况下不能直接用呢?我认为一般情况下当分式函数的定义域为一切实数时,可以直接用判别式法.

求函数值域的几种常见方法1．直接法：利用常见函数的值域来求一次函数y=ax+b(a0)的定义域为r，值域为r；反比例函数的定义域为{x|x0}，值域为{y|y0}；二次函数的定义域为r，当a>0时，值域为{}；当a<0时，值域为{}.例1．求下列函数的值域①y=3x+2(-1x1)②③④解：①∵-1x1，∴-33x3，∴-13x+25，即-1y5，∴值域是[-1，5]②∵∴即函数的值域是{y|y2}③④当x>0，∴=，当x<0时，=－∴值域是[2，+).（此法也称为配方法）函数的图像为：2．二次函数比区间上的值域(最值)：例2求下列函数的最大值、最小值与值域：①；解：∵，∴顶点为(2,-3)，顶点横坐标为2.①∵抛物线的开口向上，函数的定义域r，∴x=2时，ymin=-3,无最大值；函数的值域是{y|y-3}.②∵顶点横坐标2[3,4]，当x=3时，y=-2；x=4时，y=1；∴在[3,4]上，=-2，=1；值域为[-2，1].③∵顶点横坐标2[0,1]，当x=0时，y=1；x=1时，y=-2,∴在[0,1]上，=-2，=1；值域为[-2，1].④∵顶点横坐标2[0,5]，当x=0时，y=1；x=2时，y=-3,x=5时，y=6,∴在[0,1]上，=-3，=6；值域为[-3，6].注：对于二次函数,⑴若定义域为r时，①当a>0时，则当时，其最小值；②当a<0时，则当时，其最大值.⑵若定义域为x[a,b],则应首先判定其顶点横坐标x0是否属于区间[a,b].①若[a,b],则是函数的最小值（a>0）时或最大值（a<0）时，再比较的大小决定函数的最大（小）值.②若[a,b],则[a,b]是在的单调区间内，只需比较的大小即可决定函数的最大（小）值.注：①若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大（小）值；②当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论.3．判别式法（△法）：判别式法一般用于分式函数，其分子或分母只能为二次式，解题中要注意二次项系数是否为0的讨论例3．求函数的值域方法一：去分母得(y-1)+(y+5)x-6y-6=0①当y11时∵x?r∴△=(y+5)+4(y-1)×6(y+1)0由此得(5y+1)0检验时（代入①求根）∵2?定义域{x|x12且x13}∴再检验y=1代入①求得x=2∴y11综上所述，函数的值域为{y|y11且y1}方法二：把已知函数化为函数(x12)∵x=2时即说明：此法是利用方程思想来处理函数问题，一般称判别式法.判别式法一般用于分式函数，其分子或分母只能为二次式.解题中要注意二次项系数是否为0的讨论.4．换元法例4．求函数的值域解：设则t0x=1-代入得5．分段函数例5．求函数y=|x+1|+|x-2|的值域.解法1：将函数化为分段函数形式：，画出它的图象（下图），由图象可知，函数的值域是{y|y3}.解法2：∵函数y=|x+1|+|x-2|表示数轴上的动点x到两定点-1，2的距离之和，∴易见y的最小值是3，∴函数的值域是[3，+].如图两法均采用“数形结合”，利用几何性质求解，称为几何法或图象法.

1.直接法：从自变量的范围出发，推出值域。2.观察法：对于一些比较简单的函数，可以根据定义域与对应关系，直接得到函数的值域。3.配方法：（或者说是最值法）求出最大值还有最小值，那么值域就出来了。例题：y=x^2+2x+3x∈【-1，2】先配方，得y=(x+1)^2+1∴ymin=(-1+1)^2+2=2ymax=(2+1)^2+2=114.拆分法：对于形如y=cx+d，ax+b的分式函数，可以将其拆分成一个常数与一个分式，再易观察出函数的值域。5.单调性法：y≠ca.一些函数的单调性，很容易看出来。或者先证明出函数的单调性，再利用函数的单调性求函数的值域。6.数形结合法，其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。7.判别式法：运用方程思想，根据二次方程有实根求值域。8.换元法：适用于有根号的函数例题：y=x-√（1-2x)设√（1-2x)=t(t≥0)∴x=(1-t^2)/2∴y=(1-t^2)/2-t=-t^2/2-t+1/2=-1/2(t+1)^2+1∵t≥0，∴y∈（-∝，1/2）9：图像法，直接画图看值域这是一个分段函数，你画出图后就可以一眼看出值域。10：反函数法。求反函数的定义域，就是原函数的值域。例题：y=(3x-1)/(3x-2)先求反函数y=(2x-1)/(3x-3)明显定义域为x≠1所以原函数的值域为y≠1扩展资料：常见函数值域：y=kx+b （k≠0）的值域为Ry=k/x 的值域为(-∞,0)∪(0,+∞)y=√x的值域为x≥0y=ax^2+bx+c 当a>0时，值域为 [4ac-b^2/4a,+∞) ；当a<0时，值域为（-∞，4ac-b^2/4a]y=a^x 的值域为 (0,+∞)y=lgx的值域为R

根号下给x配方，得-（x-1)^2+6。这个根号下的东西要大于等于0，最大值又是6，那值域就是0~6的闭区间。那y的值域就是根号下的0~6的闭区间

函数是中学数学的核心内容，它不仅与方程和不等式有着本质的内在联系，而且作为一种重要的思想方法，在所有内容当中都能够看到它的作用，这就决定了在高考当中的重要地位。函数的值域就是函数值的取值范围，它虽然由函数的定义域及对应法则完全确定，但是确定值域仍是较为困难的，这些使函数的值域成为历年高考必考的重点之一。而如何求函数的的值域却令大多数同学头疼，因为函数千变万化，各不相同，对函数值域的求法也各种各样。常用的求函数值域的方法有：配方法、换元法、图像法、利用函数的单调性法等，方法众多。有的同学学会了各种方法，却不清楚每种方法适合什么样的函数，所以在解题时各种方法乱套，或者方法一种一种的去尝试。导致这种情况的根源是没有把握好函数的特点，只是注重了方法。现在高中阶段所接触的函数主要是基本初等函数，比如一次函数、二次函数、反比例函数等，再其他一些就是由基本初等函数构成的复合函数。为了避免学生在学习函数的值域过程中出现上述问题，我认为教师在讲授函数的值域时应抓住基本初等函数的特点，重点讲解好如何利用基本初等函数的定义域及性质来求解函数的值域。这样学生就通过函数的形式、类别来寻求解决值域问题的方法，符合形象思维的范畴。正如前苏联伟大教育家苏霍姆林斯基所说的“直观性是一种发展观察力和发展思维的力量，它能给认识带来一定情绪色彩。” 形象思维是思维的主要形式之一，主要是指人们获得表象，根据表象创造的思维活动，没有形象思维就没有创新。现列出我讲解《函数的值域》时重点部分的教学实录，供大家批评指正。　　师：题组1：已知函数，当①②③时，求函数的值域。　　（学生思考解答）　　生：①，②，③，　　师：你是怎样得到答案的？（步步紧逼，让学生将自己的思维过程在课堂上展示出来，让所有同学加以辨析和借鉴）　　生1：将和代入，将和代入，……就得到了答案。　　师：生1的答案正确吗？解法好吗？（鼓励其他同学对已有的方法进行质疑，提高学生的辨析能力以及对真理的向往心理）　　生2：答案正确，但解法不好，他的答案是蒙对的。如果的图像不是单纯上升，那么生1的做法可能就会出错。我认为根据的图像来解决问题更好一些。　　师：如何利用图像？（迫使学生发表自己的看法）　　生2：画出的图像，观察当、和时，寻找满足题意的点的纵坐标的范围，于是得到值域。　　师：好一个“满足题意的点的纵坐标的范围”，（适时地给学生以鼓励，让学生有一股成就感，这样会更好的调动他们思考的积极性）这就是的值域在坐标系中的体现。利用函数的几何图像来研究、解决代数问题，非常形象而且直观，我们称这种思想方法为……　　生（齐）：数形结合。　　师：试看下一个问题：试求的值域。　　生3：把看作一个整体，，，　　师：好，在解决下一题组：求下列函数的值域：①；②，（在学生自己逐渐发现的基础上，通过难易适中的题目引导学生逐步深入）　　生4：①，②，　　师：研究、解决这类问题的关键在于寻找突破口，此类题目的突破口在何处？　　生5：我认为，首先研究根式下面的式子，研究好了它的范围，通过的图像，至于就出来了。突破口就是根式下面的表达式，把这个表达式看成一个整体来研究。（简单的提示后让学生自我归纳针对此类题目的解法，迫使其努力思考）　　师：像刚才生5所说的，如果我们再用一个未知量来代替根式下的表达式，那么这种方法可以称之为……　　生（齐）：换元法。　　教师用投影仪展示下一题组：求下列函数的值域。（难度再次加深，但是在学生自我研究自我发现的基础上，解决这些问题不再困难）　　①　　②　　③

改编自原著《董生》、《褚生》篇。

值域是y的取值范围，根据自变量x的取值确定。。。。

总结一句话，看函数的定义域和单调性。

f(x)=2x/(3x-4)=[2(3x-4)/3+8/3]/(3x-4)=2/3+8/3(3x-4)值域：y不等于2/3

x=1-5y/2y+1其定义域为｛y/y=/-1/2｝即为原函数值域

1．观察法用于简单的解析式。y＝1－√x≤1,值域(－∞, 1]y=(1+x)/(1-x)=2/(1-x)-1≠-1,值域(－∞,-1)∪(-1,＋∞).2.配方法多用于二次(型)函数。y＝x^2-4x+3=(x-2)^2-1≥-1,值域[-1, ＋∞）y=e^2x-4e^x-3=(e^x-2)^2-7≥-7,值域[-7,＋∞）3. 换元法多用于复合型函数。通过换元，使高次函数低次化，分式函数整式化，无理函数有理化，超越函数代数以方便求值域。特别注意中间变量（新量）的变化范围。4. 不等式法用不等式的基本性质，也是求值域的常用方法。y=（e^x+1）/(e^x-1), (0<x<1).0<x<1,1<e^x<e, 0<e^x-1<e-1,1/(e^x-1)>1/(e-1),y=1+2/(e^x-1)>1+2/(e-1).值域(1+2/(e-1),＋∞).5. 最值法如果函数f(x)存在最大值M和最小值m.那么值域为[m,M].因此,求值域的方法与求最值的方法是相通的.6. 反函数法有的又叫反解法.函数和它的反函数的定义域与值域互换.如果一个函数的值域不易求,而它的反函数的定义域易求.那么,我们通过求后者而得出前者.7. 单调性法若f(x)在定义域[a, b]上是增函数,则值域为[f(a), f(b)].减函数则值域为[f(b),f(a)]

函数的值域问题及解法值域的概念：函数y=f(x)的值域是函数值的取值范围,用集合表示为{y│y=f(x),x∈A}.这里集合A是函数的定义域,由此可见,它与定义域密切相关.值域的几何意义是函数图象上点的纵坐标的集合,也可以说成是函数图象纵向的分布范围.一般来说,求值域比求定义域困难得多.求值域要根据解析式的结构特征选择适当的方法,具有较强的灵活性和一定的技巧性.1．观察法用于简单的解析式.y=1-√x≤1,值域(-∞, 1]y=(1+x)/(1-x)=2/(1-x)-1≠-1,值域(-∞,-1)∪(-1,+∞).2．配方法多用于二次(型)函数.y=x^2-4x+3=(x-2)^2-1≥-1,值域[-1,+∞）y=e^2x-4e^x-3=(e^x-2)^2-7≥-7,值域[-7,+∞）3．换元法多用于复合型函数.通过换元,使高次函数低次化,分式函数整式化,无理函数有理化,超越函数代数以方便求值域.特别注意中间变量（新量）的变化范围.y=-x+2√( x-1)+2令t=√(x-1),则t≥0,x=t^2+1.y=-t^2+2t+1=-(t-1)^2+2≤2,值域(-∞, 2].4．不等式法用不等式的基本性质,也是求值域的常用方法.y=(e^x+1)/(e^x-1), (0由01/(e-1).y=1+2/(e^x-1)>1+2/(e-1),值域(1+2/(e-1),+∞).5．最值法如果函数f(x)存在最大值M和最小值m,那么值域为[m,M].因此,求值域的方法与求最值的方法是相通的.6．反函数法（有的又叫反解法）函数和它的反函数的定义域与值域互换.如果一个函数的值域不易求,而它的反函数的定义域易求,那么我们可以通过求后者得出前者.7．单调性法若f(x)在定义域[a, b]上是增函数,则值域为[f(a), f(b)]；若是减函数,则值域为[f(b), f(a)].y=x^2-4x+3, (-1≤x≤1).y=(x-2)^2-1在[-1, 1]上是减函数（单调递减）,F(-1)=8,f(1)=0,值域[0, 8].8．斜率法数形结合.求函数y=(sinx+3)/(cosx-4)的值域.把函数y=(sinx+3)/(cosx-4)看成单位圆上的动点M(cosx,sinx)与定点P(4,-3)连线的斜率,则直线MP的方程为y+3=k(x-4)等价于y=kx-4k-3.圆心(0,0)到直线的距离在相切时最大为1=|-4k-3|/√(1+k^2),解得k=(-12±√6)/15.y max=(-12+√6)/15,y min=(-12-√6)/15值域[(-12-√6)/15,(-12+√6)/15].一般的,对函数y=(sinx+a)/(cosx+b),都可以用斜率法求最值和值域.对函数y=( cosx +a)/(sinx +b),也都可以转化后用斜率法求最值和值域.9．导数法导数为零的点称为驻点,设f"(x0)=0,若当xx0时f"(x)>0,则f(x0)为极小值；若当x0,当x>x0时f"(x)<0,则f(x0)为极大值；再根据定义域求得边界值,与之比较得出最大、最小值（与最值法相通）,得出值域.

函数h(x)的定义域为x∈[2，12)设2≤x1<x2<12，f(x1)-f(x2)=[√(x1-2)-log3(12-x1)]-[√(x2-2)-log3(12-x2)]=[√(x1-2)-√(x2-2)]+[log3(12-x2)-log3(12-x2)]log3x为增函数，所以log3(12-x2)-log3(12-x2)为负，而√(x1-2)-√(x2-2)也为负，所以f(x1)-f(x2)<0所以h(x)为增函数所以值域为-log310≤h(x)<√10

求 函数值域的几种常见方法 1．直接法：利用常见函数的值域来求 一次函数y=ax+b(a 0)的定义域为R，值域为R； 反比例函数 的定义域为{x|x 0}，值域为{y|y 0}； 二次函数 的定义域为R， 当a>0时，值域为{ }；当a<0时，值域为{ }. 例1．求下列函数的值域 ① y=3x+2(-1 x 1) ② ③ ④ 解：①∵-1 x 1，∴-3 3x 3， ∴-1 3x+2 5，即-1 y 5，∴值域是[-1，5] ②∵ ∴ 即函数 的值域是 { y| y 2} ③ ④当x>0，∴ = ， 当x<0时， =－ ∴值域是 [2，+ ).（此法也称为配方法） 函数 的图像为： 2．二次函数比区间上的值域(最值)： 例2 求下列函数的最大值、最小值与值域： ① ； 解：∵ ，∴顶点为(2,-3)，顶点横坐标为2. ①∵抛物线的开口向上，函数的定义域R， ∴x=2时，ymin=-3 ,无最大值；函数的值域是{y|y -3 }. ②∵顶点横坐标2 [3,4]， 当x=3时，y= -2；x=4时，y=1； ∴在[3,4]上， =-2， =1；值域为[-2，1]. ③∵顶点横坐标2 [0,1]，当x=0时，y=1；x=1时，y=-2, ∴在[0,1]上， =-2， =1；值域为[-2，1]. ④∵顶点横坐标2 [0,5]，当x=0时，y=1；x=2时，y=-3, x=5时，y=6, ∴在[0,1]上， =-3， =6；值域为[-3，6]. 注：对于二次函数 , ⑴若定义域为R时， ①当a>0时，则当 时，其最小值 ； ②当a<0时，则当 时，其最大值 . ⑵若定义域为x [a,b],则应首先判定其顶点横坐标x0是否属于区间[a,b]. ①若 [a,b],则 是函数的最小值（a>0）时或最大值（a<0）时，再比较 的大小决定函数的最大（小）值. ②若 [a,b],则[a,b]是在 的单调区间内，只需比较 的大小即可决定函数的最大（小）值. 注：①若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大（小）值； ②当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论. 3．判别式法（△法）： 判别式法一般用于分式函数，其分子或分母只能为二次式，解题中要注意二次项系数是否为0的讨论 例3．求函数 的值域 方法一：去分母得 (y-1) +(y+5)x-6y-6=0 ① 当 y11时 ∵x?R ∴△=(y+5) +4(y-1)×6(y+1) 0 由此得 (5y+1) 0 检验 时 （代入①求根） ∵2 ? 定义域 { x| x12且 x13} ∴ 再检验 y=1 代入①求得 x=2 ∴y11 综上所述，函数 的值域为 { y| y11且 y1 } 方法二：把已知函数化为函数 (x12) ∵ x=2时 即 说明：此法是利用方程思想来处理函数问题，一般称判别式法. 判别式法一般用于分式函数，其分子或分母只能为二次式.解题中要注意二次项系数是否为0的讨论. 4．换元法 例4．求函数 的值域 解：设 则 t 0 x=1- 代入得 5．分段函数 例5．求函数y=|x+1|+|x-2|的值域. 解法1：将函数化为分段函数形式： ，画出它的图象（下图），由图象可知，函数的值域是{y|y 3}. 解法2：∵函数y=|x+1|+|x-2|表示数轴上的动点x到两定点-1，2的距离之和，∴易见y的最小值是3，∴函数的值域是[3，+ ]. 如图 两法均采用“数形结合”，利用几何性质求解，称为几何法或图象法.

解：x是第一象限角时y=sinx/sinx+cosx/cosx+tanx/tanx+cotx/cotx    =1+1+1+1=4x是第二象限角时y=sinx/sinx-cosx/cosx-tanx/tanx-cotx/cotx    =1-1-1-1=-2x是第三象限角时y=-sinx/sinx-cosx/cosx+tanx/tanx+cotx/cotx    =-1-1+1+1=0x是第四象限角时y=-sinx/sinx+cosx/cosx-tanx/tanx-cotx/cotx    =-1+1-1-1=-2所以值域为｛4， 0，-2｝

y=(-4+x+7)/(4-x)=7/(4-x)-1所以y≠-1

向左转|向右转

求值域的五种方法：1.直接法：从自变量的范围出发，推出值域。2.观察法：对于一些比较简单的函数，可以根据定义域与对应关系，直接得到函数的值域。3.配方法：（或者说是最值法）求出最大值还有最小值，那么值域就出来了。例题：y=x^2+2x+3x∈【-1，2】先配方，得y=(x+1)^2+1∴ymin=(-1+1)^2+2=2ymax=(2+1)^2+2=114.拆分法：对于形如y=cx+d，ax+b的分式函数，可以将其拆分成一个常数与一个分式，再易观察出函数的值域。5.单调性法：y≠ca.一些函数的单调性，很容易看出来。或者先证明出函数的单调性，再利用函数的单调性求函数的值域。6.数形结合法，其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。7.判别式法：运用方程思想，根据二次方程有实根求值域。8.换元法：适用于有根号的函数例题：y=x-√（1-2x)设√（1-2x)=t(t≥0)∴x=(1-t^2)/2∴y=(1-t^2)/2-t=-t^2/2-t+1/2=-1/2(t+1)^2+1∵t≥0，∴y∈（-∝，1/2）9：图像法，直接画图看值域这是一个分段函数，你画出图后就可以一眼看出值域。10：反函数法。求反函数的定义域，就是原函数的值域。例题：y=(3x-1)/(3x-2)</p><p>先求反函数y=(2x-1)/(3x-3)明显定义域为x≠1所以原函数的值域为y≠1扩展资料：值域，在函数经典定义中，因变量改变而改变的取值范围叫做这个函数的值域，在函数现代定义中是指定义域中所有元素在某个对应法则下对应的所有的象所组成的集合。如：f(x)=x，那么f(x)的取值范围就是函数f(x)的值域。在实数分析中，函数的值域是实数，而在复数域中，值域是复数。定义域、对应法则、值域是函数构造的三个基本“元件”。平时数学中，实行“定义域优先”的原则，无可置疑。然而事物均具有二重性，在强化定义域问题的同时，往往就削弱或淡化了，对值域问题的探究，造成了一手“硬”一手“软”，使学生对函数的掌握时好时坏，事实上，定义域与值域二者的位置是相当的，绝不能厚此薄彼，何况它们二者随时处于互相转化之中（典型的例子是互为反函数的定义域与值域的相互转化）。如果函数的值域是无限集的话，那么求函数值域不总是容易的，反靠不等式的运算性质有时并不能奏效，还必须联系函数的奇偶性、单调性、有界性、周期性来考虑函数的取值情况。才能获得正确答案，从这个角度来讲，求值域的问题有时比求定义域问题难。实践证明，如果加强了对值域求法的研究和讨论，有利于对定义域内函数的理解，从而深化对函数本质的认识。参考资料：百度百科-值域（数学名词，函数经典定义）

1.小王骑自行车在环城公路上匀速行驶,每隔6分钟有一辆公共汽车从对面向后开过,每隔30分钟又有一辆公共汽车从后面向前开过,若公共汽车也是匀速行驶,且不计乘客上下车的时间,那么公交站每隔多少分钟开出一辆公共汽车?2.用价值为100远的甲种涂料与价值为240元的乙种涂料配制成一种新涂料,其每千克的售价比甲种涂料每千克售价少3元,比乙种涂料每千克的售价多1元,求这种新涂料每千克的售价?3.某工程由甲乙两队合做6天完成,厂家需付甲乙两队共8700元,乙丙两队合做10天完成,厂家需付乙丙两队共9500元,甲丙两队合做5天完成全部工程的2/3,厂家需付甲丙两队5500元,(1)求甲乙丙各队单独完成全部工程各需多少天?(2)若工期要求不超过15天完成全部工程,问由哪队单独完成此项工程花钱最少?请说明理由!答案1.设自行车速为a,公共汽车速为b,间隔时间为t.每隔6分钟有一辆公共汽车从对面向后开过说明当公交车与其相遇时，下一班和他的距离为6（a＋b）．与此同时，根据发车的时间，又有下一班和他的距离为b*t（别误解＠＿＠）.所以6（a＋b）＝b*t……①同理30（b-a）=b*t……②。所以6（a＋b）＝30（b-a）所以a/b＝2/3．所以t=10(分）2.设这种新涂料每千克的售价为x元100/（x＋3）＋240/（x－1）＝340/x（质量相等）解之得x＝173.（1）设甲乙丙各队单独完成全部工程各需X、Y、Z天则1/X＋1/Y＝1/6，1/Y＋1/Z＝1/10，1/X＋1/Z＝2/15（先求X、Y、Z的倒数）解得X＝10，Y＝15，Z＝30（2）不超过15天完成全部工程，必为甲或乙。由“甲丙两队合做5天完成全部工程的2/3,厂家需付甲丙两队5500元”知夹丙合作需5500·1.5＝8250（元），又乙丙两队合做10天完成,厂家需付乙丙两队共9500元，可见甲独做花钱少。

此题无解，上式化简后是：2X+6=2X+6。坑爹了吧？

解：设甲单独做X天完成，乙单独做Y天完成。（你可以把总工程量看成单位1）（这道题应该只能列二元一次方程组）（分式方程里我们初一还没学过有两个未知数的额） 4×（1÷X+1÷Y）=1（一式） 3×（1÷X+1÷Y）+3÷2÷X=1（二式）一式减二式得1÷X+1÷Y-3÷2÷X=0所以1÷X+1÷Y=3÷2X（三式）把三式带入一式得X=6把X=6带入三式得Y=12所以X=6，Y=12答：甲单独做需6天完成，乙单独做需12天完成。（终于打完了，汗）（再过两天就要期末考试了，也是锻炼锻炼一下额）（望采纳）

360/x+5=360/x-15+1＝360/x－360/x6＝0这个分工不成立

五年级下册分式方程解答5/6x=30两边同乘以65x=180x=362/5÷x=8/15两边同乘以15x6=8xx=3/4

2 降价后价格X 30%x=54 x=162 200-162=383设：甲队一天的工作量为X， 乙队一天的工作量为y3（x+y）=x+6y得：2x=3y x=3/2y，y=2/3x全部工作量为1得3（x+Y)+X+6Y=1得4x+9y=1代入x=3/2y得6y+9y=1得15y=1y=1/15所以乙队独自完成需要15天代入y=2/3x得4x+6x=110x=1x=1/10所以甲队独自需要10天完成

1.设小王的骑车速度是x，公共汽车的速度是y，公交车每隔z时间开出一辆。由题意可得：两辆公交车的距离是：y·z。当小王与公交车迎面而行时：y·z=（x+y）×6 ……………………①当小王与公交车方向相同时：y·z=（y-x）×30 ……………………②由①和②两式可得出：x=2/3y ……………………③将③式代入①、可得：z=10答：公交站每隔10分钟开出一辆公共汽车。2.有一个修路工程，共是80km，原计划每天修x千米。现因部分水管破裂，只能修70km，每天修理的路程减少了2km，修理的天数与原计划一样。求x？

异分母分数加减法，先通分，通分后的异分母分数再按照同分母分数加减法法则进行计算，分母不变，纯租分子进行加减，最后约分。通分法：1、求出原来几个分数的分母的最小公倍数；2、根据分数的基本性质，把原来分数化成以这个最小公倍数为分母的分数。例：计算做者兆5/6+7/8？6和8的最小公倍数是24；24相对于6来说扩大了4倍，即5/6=20/24；24相对于嫌橘8来说扩大了3倍，即7/8=21/24；所以，20/24+21/24=41/24。祝愿你在今后的生活中平平安安，一帆风顺，当遇到困难时，也可以迎难而上，取得成功，如果有什么不懂的问题，还可以继续询问，不要觉得不好意思，或者有所顾虑，我们一直都是您最坚定的朋友后台，现实当中遇到了不法侵害，和不顺心的事情也能够和我详聊，我们一直提供最为靠谱的司法解答，帮助，遇到困难不要害怕，只要坚持，阳光总在风雨后，困难一定可以度过去，只要你不放弃，一心一意向前寻找出路。一千个人里就有一千个哈姆雷特，世界上无论如何都无法找到两片完全相同的树叶，每个人都有不同的意见和看法，对同一件事情，大家也会有不同的评判标准。我的答案或许并不是最为标准，最为正确的，但也希望能给予您一定的帮助，希望得到您的认可，谢谢！

简单的说 就是一个数列的规律有了通项公式就可以写出数列通项公式是要用科学的计算方法来求证的，其中要用到各种公理，定理，及各种计算方法.这是最简单的等差型与等比型，这里就不赘述。又如an=p*a(n-1)+q，这种形式可以用不动点法令an-d=p[a(n-1)-d]通过比较系数，可以把d用p与q表示出来（d=q/(1-p)）然后就化成了等比型，就可以求出an+d，进而求出an。又如an=p*a(n-1)+q*a(n-2)这样的形式可以设an-d*a(n-1)=p*[a(n-1)-d*a(n-2)]仍然可以解出d，然后可以把an-d*a(n-1)求出，最后再求an。还有an=[a*a(n-1)+b]/[c*a(n-1)+d]，这是分式型。这时要设an-k=a*[a(n-1)-k]/[c*a(n-1)+d]，然后通常可以解出两个k值（k1、k2）然后再两式相比，得：(an-k1)/(an-k2)=[a(n-1)-k1][a(n-1)-k2]，则可以求出(an-k1)/(an-k2)，进而求出an总之，由递推公式求通项公式的类型相当多，每一种方法都不太一样，作此题时应该好好考虑考虑，确定一种最优解法。数列定义：按一定次序排成的一列数叫数列。其中，数列中的每一个数都叫做这个数列的项。数列的形式一般可表示为a1，a2，…，an，…（1、2、3、…、n为下标）通项公式：如果一个数列的第n项an与其项数n之间的关系可用式子an=f（n）来表示，这个式子就称为该数列的通项公式。1、通项公式通常不是唯一的，一般取其最简单的形式；2、通项公式以数列的项数n为唯一变量；3、并非每个数列都存在通项公式。递推公式：如果一个数列的第n项an与该数列的其他一项或多项之间存在对应关系的，这个关系就称为该数列的递推公式。例如斐波纳契数列的递推公式为an=an-1+an-2（n、n-1、n-2为下标）。

数列中，A1=1,A2=2,A(n+2)=-A(n+1)+2An（A后的括号代表下标）求An通项这道体我当时记了个方法：原式变形后A(n+2)+A(n+1)-2An＝0令X^2+X-2=0解得X=-2或1所以｛A(n+1)-An｝为公比-2的数列；｛A(n+1)+2An｝为公比1的数列然后联立解出来上述方法，应该说是特征根法和不动点法。特征根：对于多个连续项的递推式（不含常数项），可化为X的(n-1)次方程.即：a0*An+a1*An+1+a2*An+2+...ak*An+k可写为：a0+a1x+a2x^2+...akx^(k-1)=0然后求出根（实根虚根都可以），不同项写成C*x^(n-1),相同项写成关于n的整式，有多少同根，n的次数就是同根数减1，比如求出x1=2,x2=3,x3=3,x4=6,x5=3,通项就是：a*2^(n-1)+b*6^(n-1)+3*(cn^2+bn+d),其中abcde都是待定系数，要靠已知项联立方程求解。不动点：比如：已知a1=1,且a(n+1)=1+2/an(n大于等于1),求ana(n+1)=(an+2)/an(*)令an=x,a(n+1)=xx=(x+2)/xx^2-x-2=0x1=2,x2=-1{(an-2)/(an+1)}为等比数列令(an-2)/(an+1)=bnb(n+1)/bn=[(a(n+1)-2)/(a(n+1)+1)]/[(an-2)/(an+1)](将a(n+1)用*式换成an)=-1/2b(n+1)=(-1/2)bnb1=-1/2bn=(-1/2)^n=(an-2)/(an+1)an=[2+(-1/2)^n]/[1-(-1/2)^n],n>=1注：形如：a(n+1)=(Aan+B)/(Can+D)，A,C不为0的分式递推式都可用不动点法求。让a(n+1)=an=x，代入化为关于x的二次方程(1)若两根x1不等于x2，有{(an-x1)/(an-x2)}为等比数列，公比由两项商求出(2)若两根x1等于x2，有{1/(an-x1)}为等差数列，公差由两项差求出若无解，就只有再找其他方法了。并且不动点一般只用于分式型上下都是一次的情况，如果有二次可能就不行了。对于原理，要大学才学，是建立在对方程的研究之上的。

例10：-4/9,10/9,4/3,7/9,1/9 A．7/3 B 10/9 C -5/18 D -2 解：没有可约分的；但是分母可以划一，取出分子数列有-4，10，12，7，1，后项减前项得 14，2，-5，-6，（-3.5），（-0.5） 与分子数列比较可知下一项应是7/（-2）=（-3.5）。那（-0.5）是怎么算出来的？与分子数列第二项比较可知下一项应是2/10 = 0.2，负数怎么解释？（-5）/10=（-0.5）？？？可那是分子数列的后项减前项的数列的三项。。。哪位神人出的题目？神一般的思维。。。烧香膜拜中~~~

您好，中公教育为您服务。 你可以参加中公教育的各类班次，上课时老师会教你答题的技巧从而让你快速的解答问题的。其他的问题请咨询中公教育当地分校，会有专业的客服为你解答。如有疑问，欢迎向中公教育企业知道提问。

“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。对一个数列，如果其任意的连续k（k≥2）项的和都相等，我们就把此数列叫做等和数列 an=Sn-Sn-1 （n≥2）累和法（an-an-1=... an-1 - an-2=... a2-a1=...将以上各项相加可得an）。逐商全乘法（对于后一项与前一项商中含有未知数的数列）。化归法（将数列变形，使原数列的倒数或与某同一常数的和成等差或等比数列）。 在等差数列中，总有Sn S2n-Sn S3n-S2n2(S2n-Sn)=(S3n-S2n)+Sn即三者是等差数列,同样在等比数列中。三者成等比数列不动点法（常用于分式的通项递推关系）不动点法求数列通项对于某些特定形式的数列递推式可用不动点法来求

当f(x)=x时，x的取值称为不动点，不动点是我们在竞赛中解决递推式的基本方法。 典型例子： a(n+1)=(a(an)+b)/(c(an)+d) 注：我感觉一般非用不动点不可的也就这个了，所以记住它的解法就足够了。 我们如果用一般方法解决此题也不是不可以，只是又要待定系数，又要求倒数之类的，太复杂，如果用不动点的方法，此题就很容易了x=(ax+b)/(cx+d) 令，即，cx2+(d-a)x-b=0 令此方程的两个根为x1，x2， 若x1=x2 则有1/(a(n+1)-x1)=1/(an-x1)+p 其中P可以用待定系数法求解，然后再利用等差数列通项公式求解。 注：如果有能力，可以将p的表达式记住，p=2c/(a+d) 若x1≠x2则有(a(n+1)-x1)/(a(n+1)-x2)=q((an-x1)/(an-x2) 其中q可以用待定系数法求解，然后再利用等比数列通项公式求解。 注：如果有能力，可以将q的表达式记住，q=(a-cx1)/(a-cx2) 简单地说就是在递推中令an=x 代入 a(n+1)也等于x 然后构造数列.

1) 分数类的可以用.裂项求和 例题 1/1*2+1/2*3+1/3*14.1/n(n+1) =1-1/2+1/2-1/3+..+1/n-1/n+1 =n/n+1 只要是分式数列求和基本可以采用裂项法 裂项的方法是用分母中较小因式的倒数减去较大因式的倒数,通分后与原通项公式相比较就可以得到所需要的常数 2） 叠加法 1 3 6 10 15 .的通式是什么 a2-a1=2 a3-a2=3 a4-a3=4 a5-a4=5 3) an= a6-a5=6 .. an-a(n-1)=n a2-a1+(a3-a2)+(a4-a3)+(a5-a4)+(a6-a5)+..+(an-a(n-1)) =2+3+4+..+n an-a1=(n+2)(n-1)/2 an=(n^2+n)/2 3） 公式法 Sn=an^2+bn an=Sn-S(n-1) 例: a1=3 Sn=n^2+2n S(n-1)=(n-1)^2+2(n-1) an=2n+1, 4)拼凑法 an=3a(n-1)+2 (an+1)=3(a(n-1)+1) (an+1)/(a(n-1)+1)=3 an+1是个等比数列, 如: an=(a(n-1)/(2a(n-1)+2) 1/an=(2a(n-1)+2)/a(n-1) =2+2/a(n-1) (1/an+2)=2(1/a(n-1)+2) ((1/an)+2)是等比数列 还有很多==递推方法

【定义】　　一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列（arithmetic sequence），这个常数叫做等差数列的公差（common difference），公差通常用字母d表示。　　【缩写】　　等差数列可以缩写为A.P.（Arithmetic Progression）。　　【等差中项】　　由三个数a，A，b组成的等差数列可以堪称最简单的等差数列。这时，A叫做a与b的等差中项（arithmetic mean）。　　有关系：A＝（a＋b）/2　　【通项公式】　　an=a1+(n-1)d　　an=Sn-S(n-1) (n≥2)　　【前n项和】　　Sn=n(a1+an)/2=n*a1+n(n-1)d/2　　【性质】　　且任意两项am，an的关系为：　　an=am+(n-m)d　　它可以看作等差数列广义的通项公式。 　　从等差数列的定义、通项公式，前n项和公式还可推出：　　a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=ak+an-k+1，k∈{1,2,…,n} 　　若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，则有　　am+an=ap+aq　　Sm-1=(2n-1)an，S2n+1=(2n+1)an+1　　Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，…，Snk-S(n-1)k…或等差数列，等等。　　和＝（首项＋末项）×项数÷2 　　项数＝（末项-首项）÷公差＋1 　　首项=2和÷项数-末项　　末项=2和÷项数-首项　　设a1,a2,a3为等差数列。则a2为等差中项,则2倍的a2等于a1+a3，即2a2=a1+a3。等比数列　　【定义】　　一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列（geometric sequence）。这个常数叫做等比数列的公比（common ratio），公比通常用字母q表示。　　【缩写】　　等比数列可以缩写为G.P.（Geometric Progression）。　　【等比中项】　　如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项。　　有关系：G^2＝ab；G＝±(ab)^(1/2)　　注：两个非零同号的实数的等比中项有两个，它们互为相反数，所以G^2=ab是a,G,b三数成等比数列的必要不充分条件。　　【通项公式】　　an=a1q^(n-1)　　an=Sn-S(n-1) (n≥2)　　【前n项和】　　当q≠1时，等比数列的前n项和的公式为　　Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-an*q)/(1-q) (q≠1)　　【性质】　　任意两项am，an的关系为an=am·q^(n-m)　　（3）从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出： a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1，k∈{1,2,…,n} 　　（4）等比中项：aq·ap=ar^2，ar则为ap，aq等比中项。　　记πn=a1·a2…an，则有π2n-1=(an)2n-1，π2n+1=(an+1)2n+1　　另外，一个各项均为正数的等比数列各项取同底数数后构成一个等差数列；反之，以任一个正数C为底，用一个等差数列的各项做指数构造幂Can，则是等比数列。在这个意义下，我们说：一个正项等比数列与等差数列是“同构”的。 　　性质： 　　①若 m、n、p、q∈N*，且m＋n=p＋q，则am·an=ap·aq； 　　②在等比数列中，依次每 k项之和仍成等比数列. 　　“G是a、b的等比中项”“G^2=ab（G≠0）”.　　(5) 等比数列前n项之和Sn=A1(1-q^n)/(1-q)　　在等比数列中，首项A1与公比q都不为零. 　　注意：上述公式中A^n表示A的n次方。一般数列的通项求法　　一般有：　　an=Sn-Sn-1 （n≥2）　　累和法（an-an-1=... an-1 - an-2=... a2-a1=...将以上各项相加可得an）。　　逐商全乘法（对于后一项与前一项商中含有未知数的数列）。 　　化归法（将数列变形，使原数列的倒数或与某同一常数的和成等差或等比数列）。　　特别的：　　在等差数列中，总有Sn S2n-Sn S3n-S2n　　2(S2n-Sn)=(S3n-S2n)+Sn　　即三者是等差数列,同样在等比数列中。三者成等比数列　　不动点法（常用于分式的通项递推关系）数列前N项和公式的求法　　(一)1.等差数列: 　　通项公式an=a1+(n-1)d 首项a1,公差d, an第n项数 　　an=ak+(n-k)d ak为第k项数 　　若a,A,b构成等差数列 则 A=(a+b)/2 　　2.等差数列前n项和: 　　设等差数列的前n项和为Sn 　　即 Sn=a1+a2+...+an; 　　那么 Sn=na1+n(n-1)d/2 　　=dn^2(即n的2次方) /2+(a1-d/2)n 　　还有以下的求和方法: 1,不完全归纳法 2 累加法 3 倒序相加法 　　(二)1.等比数列: 　　通项公式 an=a1*q^(n-1)(即q的n-1次方) a1为首项,an为第n项 　　an=a1*q^(n-1),am=a1*q^(m-1)　　则an/am=q^(n-m) 　　(1)an=am*q^(n-m) 　　(2)a,G,b 若构成等比中项,则G^2=ab (a,b,G不等于0) 　　(3)若m+n=p+q 则 am×an=ap×aq 　　2.等比数列前n项和 　　设 a1,a2,a3...an构成等比数列 　　前n项和Sn=a1+a2+a3...an 　　Sn=a1+a1*q+a1*q^2+....a1*q^(n-2)+a1*q^(n-1)(这个公式虽然是最基本公式,但一部分题目中求前n项和是很难用下面那个公式推导的,这时可能要直接从基本公式推导过去,所以希望这个公式也要理解) 　　Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-an*q)/(1-q); 　　注: q不等于1; 　　Sn=na1 注:q=1 　　求和一般有以下5个方法: 1,完全归纳法（即数学归纳法） 2 累乘法 3 错位相减法 4 倒序求和法 5 裂项相消法

数列中的每一个数都叫做这个数列的项。排在第一位的数列称为这个数列的第1项（通常也叫做首项），排在第二位的数称为这个数列的第2项……排在第n位的数称为这个数列的第n项。所以，数列的一般形式可以写成　　a1，a2，a3，…，an，…　　简记为｛an｝，项数有限的数列为“有穷数列”（finite sequence），项数无限的数列为“无穷数列”（infinite sequence）。　　从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列；　　从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列；　　从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列叫做摆动数列；　　各项呈周期性变化的数列叫做周期数列（如三角函数）；　　各项相等的数列叫做常数列。　　通项公式：数列的第N项an与项的序数n之间的关系可以用一个公式表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式。　　递推公式：如果数列｛an｝的第n项与它前一项或几项的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的递推公式。　　数列中数的总数为数列的项数。特别地，数列可以看成以正整数集N*（或它的有限子集｛1，2，…，n｝）为定义域的函数an=f(n)。　　如果可以用一个公式来表示,则它的通项公式是a(n)=f(n). [编辑本段]表示方法　　如果数列｛an｝的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式。如an=(-1)^(n+1)+1　　如果数列｛an｝的第n项与它前一项或几项的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的递推公式。如an=2a(n-1)+1 (n>1) [编辑本段]等差数列　　【定义】　　一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列（arithmetic sequence），这个常数叫做等差数列的公差（common difference），公差通常用字母d表示。　　【缩写】　　等差数列可以缩写为A.P.（Arithmetic Progression）。　　【等差中项】　　由三个数a，A，b组成的等差数列可以堪称最简单的等差数列。这时，A叫做a与b的等差中项（arithmetic mean）。　　有关系：A＝（a＋b）/2　　【通项公式】　　an=a1+(n-1)d　　an=Sn-S(n-1) (n≥2)　　【前n项和】　　Sn=n(a1+an)/2=n*a1+n(n-1)d/2　　【性质】　　且任意两项am，an的关系为：　　an=am+(n-m)d　　它可以看作等差数列广义的通项公式。 　　从等差数列的定义、通项公式，前n项和公式还可推出：　　a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=ak+an-k+1，k∈{1,2,…,n} 　　若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，则有　　am+an=ap+aq　　Sm-1=(2n-1)an，S2n+1=(2n+1)an+1　　Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，…，Snk-S(n-1)k…或等差数列，等等。　　和＝（首项＋末项）×项数÷2 　　项数＝（末项-首项）÷公差＋1 　　首项=2和÷项数-末项　　末项=2和÷项数-首项　　设a1,a2,a3为等差数列。则a2为等差中项,则2倍的a2等于a1+a3，即2a2=a1+a3。　　【应用】　　日常生活中，人们常常用到等差数列如：在给各种产品的尺寸划分级别　　时，当其中的最大尺寸与最小尺寸相差不大时，常按等差数列进行分级。　　若为等差数列，且有an=m,am=n.则a(m+n)＝0。 [编辑本段]等比数列　　【定义】　　一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列（geometric sequence）。这个常数叫做等比数列的公比（common ratio），公比通常用字母q表示。　　【缩写】　　等比数列可以缩写为G.P.（Geometric Progression）。　　【等比中项】　　如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项。　　有关系：G^2＝ab；G＝±(ab)^(1/2)　　注：两个非零同号的实数的等比中项有两个，它们互为相反数，所以G^2=ab是a,G,b三数成等比数列的必要不充分条件。　　【通项公式】　　an=a1q^(n-1)　　an=Sn-S(n-1) (n≥2)　　【前n项和】　　当q≠1时，等比数列的前n项和的公式为　　Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-an*q)/(1-q) (q≠1)　　【性质】　　任意两项am，an的关系为an=am·q^(n-m)　　（3）从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出： a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1，k∈{1,2,…,n} 　　（4）等比中项：aq·ap=ar^2，ar则为ap，aq等比中项。　　记πn=a1·a2…an，则有π2n-1=(an)2n-1，π2n+1=(an+1)2n+1　　另外，一个各项均为正数的等比数列各项取同底数数后构成一个等差数列；反之，以任一个正数C为底，用一个等差数列的各项做指数构造幂Can，则是等比数列。在这个意义下，我们说：一个正项等比数列与等差数列是“同构”的。 　　性质： 　　①若 m、n、p、q∈N*，且m＋n=p＋q，则am·an=ap·aq； 　　②在等比数列中，依次每 k项之和仍成等比数列. 　　“G是a、b的等比中项”“G^2=ab（G≠0）”.　　(5) 等比数列前n项之和Sn=A1(1-q^n)/(1-q)　　在等比数列中，首项A1与公比q都不为零. 　　注意：上述公式中A^n表示A的n次方。　　【应用】　　等比数列在生活中也是常常运用的。　　如：银行有一种支付利息的方式---复利。　　即把前一期的利息和本金价在一起算作本金，　　再计算下一期的利息，也就是人们通常说的利滚利。　　按照复利计算本利和的公式：本利和=本金*(1+利率)^存期　　如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)。 　　（1）等比数列的通项公式是：An=A1*q^（n－1）　　若通项公式变形为an=a1/q*q^n(n∈N*),当q＞0时，则可把an看作自变量n的函数，点(n,an)是曲线y=a1/q*q^x上的一群孤立的点。　　（2）求和公式：Sn=nA1(q=1) 　　Sn=A1(1-q^n)/(1-q) 　　=(a1-a1q^n)/(1-q)　　=a1/(1-q)-a1/(1-q)*q^n ( 即A-Aq^n)　　(前提：q不等于 1)　　任意两项am，an的关系为an=am·q^(n-m)　　（3）从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出： a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1，k∈{1,2,…,n} 　　（4）等比中项：aq·ap=ar^2，ar则为ap，aq等比中项。　　记πn=a1·a2…an，则有π2n-1=(an)2n-1，π2n+1=(an+1)2n+1　　另外，一个各项均为正数的等比数列各项取同底数后构成一个等差数列；反之，以任一个正数C为底，用一个等差数列的各项做指数构造幂Can，则是等比数列。在这个意义下，我们说：一个正项等比数列与等差数列是“同构”的。 [编辑本段]一般数列的通项求法　　一般有：　　an=Sn-Sn-1 （n≥2）　　累和法（an-an-1=... an-1 - an-2=... a2-a1=...将以上各项相加可得an）。　　逐商全乘法（对于后一项与前一项商中含有未知数的数列）。 　　化归法（将数列变形，使原数列的倒数或与某同一常数的和成等差或等比数列）。　　特别的：　　在等差数列中，总有Sn S2n-Sn S3n-S2n　　2(S2n-Sn)=(S3n-S2n)+Sn　　即三者是等差数列,同样在等比数列中。三者成等比数列　　不动点法（常用于分式的通项递推关系）　　 不动点法求数列通项对于某些特定形式的数列递推式可用不动点法来求 [编辑本段]特殊数列的通项的写法　　1,2,3,4,5,6,7,8....... ---------an=n　　1,1/2,1/3,1/4,1/5,1/6,1/7,1/8......-------an=1/n　　2，4，6，8，10，12，14.......-------an=2n　　1,3,5,7,9,11,13,15.....-------an=2n-1　　-1,1,-1,1,-1,1,-1,1......--------an=(-1)^n　　1,-1,1,-1,1,-1,1,-1,1......--------an=(-1)^(n+1)　　1,0,1,0,1,0,1,01,0,1,0,1....------an=[(-1)^(n+1)+1]/2　　1,0,-1,0,1,0,-1,0,1,0,-1,0......-------an=cos(n-1)π/2=sinnπ/2　　9,99,999,9999,99999,......... ------an=（10^n)-1　　1,11,111,1111,11111.......--------an=[（10^n)-1]/9　　1，4，9，16，25，36，49，.......------an=n^2　　1,2,4,8,16,32......--------an=2^(n-1) [编辑本段]数列前N项和公式的求法　　(一)1.等差数列: 　　通项公式an=a1+(n-1)d 首项a1,公差d, an第n项数 　　an=ak+(n-k)d ak为第k项数 　　若a,A,b构成等差数列 则 A=(a+b)/2 　　2.等差数列前n项和: 　　设等差数列的前n项和为Sn 　　即 Sn=a1+a2+...+an; 　　那么 Sn=na1+n(n-1)d/2 　　=dn^2(即n的2次方) /2+(a1-d/2)n 　　还有以下的求和方法: 1,不完全归纳法 2 累加法 3 倒序相加法 　　(二)1.等比数列: 　　通项公式 an=a1*q^(n-1)(即q的n-1次方) a1为首项,an为第n项 　　an=a1*q^(n-1),am=a1*q^(m-1)　　则an/am=q^(n-m) 　　(1)an=am*q^(n-m) 　　(2)a,G,b 若构成等比中项,则G^2=ab (a,b,G不等于0) 　　(3)若m+n=p+q 则 am×an=ap×aq 　　2.等比数列前n项和 　　设 a1,a2,a3...an构成等比数列 　　前n项和Sn=a1+a2+a3...an 　　Sn=a1+a1*q+a1*q^2+....a1*q^(n-2)+a1*q^(n-1)(这个公式虽然是最基本公式,但一部分题目中求前n项和是很难用下面那个公式推导的,这时可能要直接从基本公式推导过去,所以希望这个公式也要理解) 　　Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-an*q)/(1-q); 　　注: q不等于1; 　　Sn=na1 注:q=1 　　求和一般有以下5个方法: 1,完全归纳法（即数学归纳法） 2 累乘法 3 错位相减法 4 倒序求和法 5 裂项相消

an=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n} 扩展阅读：公元1202年,意大利数学家斐波那契提出了一个智力题:第一个月买回一对小兔子,第二个月小兔长成大兔,第三个月生下一对小兔,小兔一个月后长成大兔,大兔每月都能生一对小兔,买兔养兔人家各月兔子的对数为1,1,2,3,5,8,13,21,.......谁能往下写得多,谁聪明,这个智力游戏当时十分流行,这个数列就称为斐波那契数列,后来,斐波那契给出了这个数列的递推公式:a1=1,a2=1,a(m+2)=a(m+1)+am,(m≥1,m∈Z)后来人们想找到数列的通项公式,但很久未成功,直到二百多年后,法国数学家比内终于得出了通项公式:an={[(√5+1)^n]/2-[(1-√5)^n]/2]}÷√5一个以正整数为项的数列通项竟是含无理数的复杂分式,令人称奇!这个通项的推导很复杂,这里无法叙述.斐波那契数列美妙无比,以它前项为分子,后项为分母的数列:2/3,3/5,5/8.8/13,......是黄金分割数0.618的分数表示斐波那契数列像黄金分割一样,用途十分广泛,它在科研,文学,艺术,体育,医学等许多方面都有广泛应用,千多年来,对它的研究一直热烈进行,并逐步发展.有关的论文和专著很多,有兴趣的话,可以去书店买几本通俗小册子读读.

例10：-4/9,10/9,4/3,7/9,1/9 A．7/3 B 10/9 C -5/18 D -2 解：没有可约分的；但是分母可以划一，取出分子数列有-4，10，12，7，1，后项减前项得 14，2，-5，-6，（-3.5），（-0.5） 与分子数列比较可知下一项应是7/（-2）=（-3.5）。那（-0.5）是怎么算出来的？与分子数列第二项比较可知下一项应是2/10 = 0.2，负数怎么解释？（-5）/10=（-0.5）？？？可那是分子数列的后项减前项的数列的三项。。。哪位神人出的题目？神一般的思维。。。烧香膜拜中~~~