有理函数积分怎么拆分两个具有相同公因式的多项式，例如：

一、实根代入法当分母Q（x）含有一次因式的单重因式，即｜x=ai,(i=1,2,…,n)即，部分分式中各待定系数A除外），此方法可称为“实根代入法”。化分式的一个虚根为x=i，用“复根代入法”可得，用复根代入法分解有理函数时，有时不一定需要把虚根求出再代入比较。

A (x²+1)/(x+1)²(x-1)=[(x+1)²-2x]/(x+1)²(x-1)=(-2x)/(x+1)²+1/(x-1)选A时A=-2B=0C=1

分子的形式根据题目而变化，至于你说的一阶还是二阶都行，看哪种方便了

1/（x+1)(x^2+1-x)

旅游最好啊

(1)把被积函数分解：x/{(x+1)(x+2)(x+3)}=(x+1-1)/{(x+1)(x+2)(x+3)}=1/{(x+2)(x+3)}-1/{(x+1)(x+2)(x+3)}=1/(x+2)-1/(x+3)-1/(x+1){1/(x+2)-1/(x+3)}=1/(x+2)-1/(x+3)-1/(x+1)+1/(x+2)+1/2{1/(x+1)-1/(x+3)}=2/(x+2)-1.5/(x+3)-0.5/(x+1),积分后结果=2ln(x+2)-1.5ln(x+3)-0.5ln(x+1)+C(2)dx/{3+sin^2(x)}={sin^2(x)+cos^2(x)}/{4sin^2(x)+3cos^2(x)}dx={tan^2(x)+1}/{4tan^2(x)+3}dx，设t=tan(x)则x=arctan(t),dx=1/(1+t^2)dt，所以上式=（t^2+1）/(4t^2+3)*1/(t^2+1)dt=1/(4t^2+3)dt=1/{2sqrt(3)}1/{(t/(sqrt(3)/2))^2+1}d(t/(sqrt(3)/2))积分后=1/{2sqrt(3)}*arctan{t/(sqrt(3)/2},用t=tan(x)喊回来得到1/{2sqrt(3)}arctan{2sqrt(3)tan(x)/3}+C(3)原式=dx/{1+3sqrt(x+1)}=d{sqrt(x+1)}^2/{1+3sqrt(x+1)}，设t=sqrt(x+1)则原式=2tdt/(3t+1)=2/3{1-1/(3t+1)}dt积分后=2/3*t-2/9*ln(3t+1)+C=2/3*sqrt(x+1)-2/9*ln(3sqrt(x+1)+1)+C(4)打字太累了，用t=sqrt(x)替换，只需要做多项式的积分就可以了（5）设t=sqrt(x+1),做多项式积分（6）令t=sqrt(x+4)做多项式积分（4）（5）（6）都是变换后展开做简单多项式不定积分

三角函数用万能公式，令u=tanx/2,则有dx=2/(1+u^2)du,sinx=2u/(1+u^2),cosx=(1-u^2)/(1+u^2)代入所求式，整理后将此真分式分解成部分分式，积分就OK了！

按部就班拆分，循序渐进。详情如图所示:供参考，请笑纳。

1 本文讨论了一类多目标广义凸分式规划的对偶定理，其结果是对张吉军的对偶定理的推广。 2 等分式动力卡盘广泛使用于数控车床、自动化专机上，应用于汽车、内燃机、发动机、冷冻机阀门、暖通等行业。 3 自积分式罗果夫斯基电流线圈是在输出端并联一的采样电阻，并选用磁导率小的铜或铝作为与线圈配合的待测母线。 4 最后 一个附录提出许多特别的连分式展开式. 5 用行波方法得到了这些方程的显式精确解，即有理分式型孤立波解。 6 在一定条件下，论证了集函数多目标分式规划问题与其相应的标量化问题以及鞍点问题之间的密切关系。 7 为了解决有理分式拟合建模方法中，普遍遇到的保证生成网络的无源性的问题，该文对二端口网络的无源性条件进行了分析，提出了一种新颖而简单的局部补偿方法。 8 另一种引人注目的机械密封是剖分式密封 这种密封不需拆卸泵就可以进行更换. 9 介绍了一种由三级级联网络构成的取样器，论述了分式线性变换级联网络分解法，并利用奇偶模法计算被测材料的复电磁参数。 10 笔者在此指出了罗朗级数的系数与有理函数分解的部分分式之和的系数之间的关系，并举出应用实例。 11 在剖分式滚圈的基本结构尺寸与整体式滚圈尺寸相同的情况下，校核其滚圈的刚度、强度。 12 发散的算子连分式对应着平衡力系的明显非零的影响可以传达到无穷远的场合，所以“圣文南原理”并不是普遍成立的原理。 13 基于解非线性规划的凸单纯形法，对线性分式规划进行灵敏度分析。 14 在这里有时分式、互补式等立体图片资料。 15 讨论了交换半环与其分式半环之间的关系，刻划了分式半环的泛性质。 16 给出了分式半环的概念和泛性质。 17 对具有多重极点的有理函数，本文给出了部分分式展开的实用算法，该算法不需求导数值。 18 近代伊始的西方哲学有以主客二分式的“自我”为原则的传统，这一传统对“自我”的认识势所必然会导致自我认识循环的困境。 19 本文对多元有理分式恒等定理，给出一种证明方法。 20 在此基础上 提出了三分式的虚拟企业收益分配方法. 21 自积分式罗氏线圈广泛用于脉冲功率技术中的快过程大电流测量。lishixinzhi/7254538 22 当激励信号是常见信号时，本文提出的方法与求有理分式的拉氏反变换的部分分式展开法在形式上完全相同。 23 给出了把真分式分解为部分分式之和的一个简便方法。 24 证明了分式半模可用纯量的扩张，即张量积来表示。 25 虽然较多的司法过程的经验性研究还有待人们去进行，但是很明显，如果因此便以为逻辑演绎和任意判决二分式描述已详尽无遗地说明了司法过程，那么显然是自欺欺人的。 26 留数是复变函数中的一个极其重要的概念，其应用也非常广泛，本文证明了实系数有理分式函数的共轭复极点的留数也互成共轭。 27 根据有理函数及其导数性质，用微分法把有理函数分解为部分分式的和，给出了一次因式所对应的部分分式各系数和二次质因式前两对系数的计算公式。 28 通过模型实验验证滑动拟合法识别移动荷载的有效性，并比较多项式和有理分式函数的拟合效果。 29 针对目前回转窑整体式滚圈在铸造、运输、安装及拆卸等过程中存在的难度，提出设计剖分式滚圈的设想，以解决整体式滚圈存在的问题。 30 电离层是一种色散介质，在处理色散介质中电磁波的散射和传播问题时，用移位算子处理有理分式法获得FDTD计算中电位移矢量D和电场强度E的时域递推关系。

分母含有(x-a)^k，那么可以分解出k个式子：A1/(x-a)，A2/(x-a)^2，...，Ak/(x-a)^k。分母含有不可分解的(x^2+px+q)^k，那么可以分解出k个式子：(A1x+B1)/(x^2+px+q)，(A2x+B2)/(x^2+px+q)^2，...，(Akx+Bk)/(x^2+px+q)^k。1、(Ax+b)/(x^2+1)＋(Cx+D)/(x^2+1)^22、(Ax+B)/(x^2+1)＋(Cx+D)/(x^2+x+1)3、(Ax+B)/(x^2+x+1)＋(Cx+D)/(x^2+x+1)^2

B;(1+t)＋C/这样的个是有理函数的不定积分的方法，被积函数是1/，通分后比较分子：把有理函数分解为部分分式;(2+t)＋B/，求得常数A;(*t)。令t=cosx;[(2+t)(1+t)(*t)],C，分解为A/追问没求出来通分后算得5+2t-t^2追答通分后是1＝A(1+t)(*t)+B(2+t)(*t)+C(2+t)(1+t)，两边代入特殊值也好，比较系数也好，很容易求出A,B,C

解答过程见图片所示，1-x²=(√(1-x²))²。

质的笔顺写法是撇、撇、横、竖、竖、横折、撇、点 。详细释义：1、形声。从贝，斦（zhì）声。朱骏声认为“斦”是砧板。从贝，与财富有关。本义：抵押；以…作人质。2、同本义。质，以物相赘也。——《说文》。于是为长安君约车百乘，质于齐，齐兵乃出。——《战国策赵策》。遂纳子为质。——《后汉书班超传》。犹质其首。——《狱中杂记》。3、又如：质库（当铺）；质作（抵押其身，使服劳役）；质鬻（典押出卖）；质录（收押）；质卖（典押和出卖）；质债（抵债）；质当（典当；质押）；质肆（当铺）。4、通“诘”（jié）。问；诘问。爰质所疑。——《太玄经》。援疑质理。——《送东阳马生序》。例句：1、勾画时以“鱼尾纹”的高低曲直来反映年龄，用“法令纹”的上下开合来表现气质，用“印堂纹”的不同图案象征人物性格。2、根据有理函数及其导数性质，用微分法把有理函数分解为部分分式的和，给出了一次因式所对应的部分分式各系数和二次质因式前两对系数的计算公式。3、蛋白胨是一种酶消化的蛋白质用来培育非挑剔的有机体，生产低级别的增长。

复变函数里证明了可以进行这样的拆分，分母只要是实根，分子就是常数，分母是复根的（即x^2+ax+b的k次幂，其中a^2-4b<0)，分子是cx+d，只有这两种情况

这是因为分母是二次的，分解成部分分式的时候都只能将分子设成比它低一次的式子。

,如图，两种都可以

先分解部分分式：1/(1-x³)=a/(1-x)+(bx+c)/(1+x+x²)1=a(1+x+x²)+(bx+c)(1-x)令x=1代入得：1=3a, 得：a=1/3令x=0代入得：1=a+c, 得：c=1-a=2/3令x=-1代入得：1=a+(-b+c)/2, 得：b=2(a-1)+c=-2/3所以原式=1/3∫dx/(1-x)+2/3∫(-x+1)/(1+x+x²)dx=-1/3ln|1-x|-2/3∫[x+1/2-3/2]/[(x+1/2)²+3/4]dx=-1/3ln|1-x|-2/3∫(x+1/2)dx/[(x+1/2)²+3/4]+∫dx/[(x+1/2)²+3/4]=-1/3ln|1-x|-1/3∫d(x+1/2)²/[(x+1/2)²+3/4]+2/√3∫d(2x/√3)/[1/3(2x+1)²+1]=-1/3ln|1-x|-1/3ln(x²+x+1)+2/√3arctan[(2x+1)/√3]+C

两种方式：1）比较直接方程式两遍同时乘以（x^2-x+1）^2和x-3然后方程式重新按x降次整理。最后解出x。此外，计算（x^2-x+1）=0，以及x-3=0由于解体时放成两遍同乘这两个表达式，因此表达式为0时，方程式无意义了。需要去掉这两个值。2）设变量M，N分别替换（x^2-x+1）^2，x-3计算M和N的值同理M、N不能为0

是的,你的理解是正确的.

部分分式分解或部分分式展开，是将有理函数分解成许多次数较低有理函数和的形式，来降低分子或分母多项式的次数。分解后的分式需满足以下条件：分式的分母需为不可约多项式（irreducible polynomial）或其乘幂。分式的分子多项式次数需比其分母多项式次数要低。

朋友，你好！不能转变成后面式子，后面式子不能够解方程组，希望能有所帮助

原式=[8x/(x-2)]*[1/(3x+2)]

你那样写也可以书上那样是保证了分子都是常数 便于积分运算你那样写BX+C不还是要凑微分么

你把式子 给我

可以把题再写一下么 看不大明白

你好，有理函数的积分主要思想就是将函数化为真分式与多项式相加，然后分别积分，不过请说详细些，有哪些具体的问题吗？

可以用待定系数来求，但是算起来比较复杂，我给你用类似配方的方法演算一遍吧。满意请采纳。

就是把分母分解因式，然后分子待定系数法求出来

一般是，代入一个常数a进去算如果为0，则说明含有 x - a 的因子比如这里代入2和-2进去都是0

x^2+x-2 是在分母还是在分子上？这种形式的一定有不定积分的，方法都一样，就是一个字“拆”都分解成[m/(ax+b)]+[n/(cx+d)]+…这个样子的

<p>如图所示：</p><p><img src="54241303528" /></p>

有理函数的拆分必须按照书上讲的方法来做才确保有效。本题被积函数应该拆成f=【A/(x+1)²】+【B/(x+1)】+【C/(x-1)】。

有理函数的积分都用留数定理啊∫cdz/z(z+2),c:|z|=3在c内f(z)有两个一阶极点0和-2,分别计算两处的留数Res[f(z),0]=lim(z→0)zf(z)=1/2Res[f(z),-2]=lim(z→-2)(z+2)f(z)=-1/2所以原式=2πi(Res[f(z),0]+Res[f(z),-2])=2πi*0=0没学过留数定理怎麼办?没关系,分解成部分分式1/z(z+2)=1/2*[1/z-1/(z+2)],那麼原式=1/2*[∫dz/z-∫dz/(z+2)]=1/2*(2πi-2πi)=0

1=x-(x-1)所以1/(x*(x-1)^2)=x/(x*(x-1)^2) - (x-1)/(x*(x-1)^2)=1/(x-1)^2 - 1/(x*(x-1))其中后半部分又可以分解为1/(x-1) -1/x于是分解为 1/(x-1)^2 dx - 1/(x-1) dx + 1/x dx分别积分得 1/(x-1) - ln(x-1) + lnx + C

全部是自己一点点输进来的，望采纳：从你的描述中看来变假为真你是会的，那我主要讲后面的过程吧。你要知道部分分式拆开后会出现四个类型1/(x+a) 1/(x+a)ⁿ 1/(x²+px+q) 1/(x²+px+q)ⁿ p²-4q<0这四个类型中第四个不需要掌握，另外三个类型必须会。在做题中还可能会遇到下面这个类型：(x+2)/(x²+2x+3)这个类型也要会解，拆为：(x+2)/(x²+2x+3)=a(2x+2)/(x²+2x+3)+b/(x²+2x+3)只需凑出合适的a,b就能使上式成立，前一式分子放到微分之后就积出来了。会了以上几种类型基本功就够了。下面就是拆：拆的方法很多，比较容易理解的就是待定系数法分母因式分解后，按分母的样子来确定拆完的结果如果分母中有(x+a)，则拆开后就有A/(x+a)这一项；如果分母中有(x+a)²，则拆开后就有A/(x+a)+B/(x+a)²；如果分母中有(x+a)³，则拆开后就有A/(x+a)+B/(x+a)²+C/(x+a)³；依此类推如果分母中有(x²+px+q)，则拆开后就有(Ax+B)/(x²+px+q)只要掌握以上几点，基本上大部分题都可以解决了，当然对于一些特殊题目可能会有特殊方法，那些不一定非要掌握，如果掌握了算是锦上添花。 其实说再多也是假的，最重要的还是你要多做题，把上面的方法做熟。

p^2-4q <0=>x^2+px+1 >0 对于所有x=》 x^2+px+1 不能在实数上因式分解

部份分式分解，又叫部份分式展开，是将有理函数分解成许多次数较低有理函数和的形式，来降低分子或分母多项式的次数。分解后的分式需满足以下条件：分式的分母需为不可约多项式（irreducible polynomial）或其乘幂。分式的分子多项式次数需比其分母多项式次数要低。部份分式分解和有理函数相加的作用恰好相反：数个有理函数相加后，会变成一个有理函数，但分子及分母都比原来的次数要高；而部份分式分解会将一个有理函数变为数个分子及分母次数较小的有理函数。部份分式分解的主要目的是将有理函数变为数个较简单的有理函数，配合线性运算子处理时会比较方便。因此可以简化有理函数导数、反导数、积分、幂级数展开、傅立叶级数、留数或其他线性函数转换的计算。可以先针对每一个较简单的有理函数进行处理，之后再相加得到结果。例如部分分式积分法就依此方式计算反导数。部份分式分解的结果会是许多分母为「不可约多项式」。不过什么样的多项式不可约，则是依使用纯量所在的域来决定。例如若只允许实数的纯量出现，不可约多项式则为一次或二次的多项式；若允许复数的纯量出现，则所有不可约多项式则都为一次多项式；若只允许整数或其他有限体的纯量，有些二次以上的多项式也可能是不可约多项式。来自 wiki

这种题目，都是使用待定系数法。先找出分母的所有的因式。比如此题的(x^2+1)(x^2+x)=x(x+1)(x^2+1)最重要的一步：拼凑出原被积表达式：保证分子比分母差一个阶次！所以：A/x+B/(x+1)+(Cx+D)/(x^2+1)=1/(x^2+1)(x^2+x)通分，对比解出A,B,C,D[(A+B+C)x^3+(A+C+D)x^2+(A+B+C)X+A]=1则:A=1 B=-1/2,C=-1/2, D=-1/2...

因为傻瓜

也可以拆成你那样的，你就按你那样的拆，拆完后一样可以算，你那个式子的右边Bx+C拆开，提到dx里面换成一个二次的d x^2-2x+1，多余的常数项再拆开，接着积分

是因为a/x+b/x^2+c/(x+1)+d/(x+1)^2.的每一项都是能够积分的,最简单的从积分表中可以看出,分母最多是二次的不可约多项式（的幂）能够查出积分.对于分子次数远小于分母次数的多项式要怎么分呢,如求x/x^4-2x^2-1的积分?将分母在实数范围内分解不可约因式的积,利用待定系数法,表示为分式的和,即所谓分项分式.有些不一定很麻烦,比如：1/[x^2(x^2+1)]=[x^2+1-x^2]/[x^2(x^2+1)]=1/x^2-1/(x^2+1).分项分式的方法在一般数学分析,高数中都能找到.

因为B所在的式子应该通分，通分之后是B×(2x-1)

　　“有理分式分解为部分简单分式之和”是由有理分式理论保证的，不属高等数学研究的范畴。有兴趣去找找这方面的书看看。

∵x²+x+1=(x+1/2)²+3/4，令x+1/2=(√3/2)tanθ，∴原式=(8√3/9)∫cos²θdθ=(4√3/9)∫(1+cos2θ)dθ=(4√3/9)[θ+(1/2)sin2θ)+C=(4√3/9)arctan[(2x+1)/√3]+(1/3)(2x+1)/(x²+x+1)+C。供参考。

∫ x²/(1-x²)³ dx= x/[3(1-x²)²] - (1/3) ∫ 1/(1-x²)³ dx= x/[3(1-x²)²] - (1/3)*(1/4)* { x/(1-x²)² + ∫ 1/(1-x²) dx }= x/[3(1-x²)²] - x/[12(1-x²)²] - (1/12) ∫ 1/(1-x²) dx }= x/[4(1-x²)²] - (1/12) * { x/[2(1-x²)] + (1/4)ln[(1+x)/(1-x)] + c }= x/[4(1-x²)²] - x/[24(1-x²)] - (1/48)ln[(1+x)/(1-x)] + c = 5x/[24(1-x²)²] - (1/48)ln[(1+x)/(1-x)] + c

对北师大没什么了解，无法给出题目的说

设这台收割机每小时收割X公顷，则一个农民工作效率为（X/150）公顷。10/[（X/150）×100]-10/X=11500/100X-10/X=1500/100X=15/X=1X=5公顷

对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取那些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件。当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根。举一个实例X-2 16 X+2—— - —— = ——X+2 X^2-4 X-2解: (X-2)^2-16=(X+2)^2X^2-4X+4-16=X^2+4X+4X^2-4X-X^2-4X=4+16-4-8X=16X=-2但是X=-2使X+2和X^2-4等于0,所以X=-2是增根分式方程两边都乘以最简公分母化分式方程为整式方程，这时未知数的允许值扩大，因此解分式方程容易发生増根。为了在解方程时排除增根，解完整式方程后，要检验。通常是把整式方程的解代入最简公分母中，若最简公分母的值不为0，则此解是分时方程的解，若最简公分母的值为0，则此解是增根。例如: 设方程 A(x)=0 是由方程 B(x)=0 变形得来的,如果这两个方程的根完全相同(包括重数),那么称这两个方程等价.如果 x=a 是方程 A(x)=0 的根但不是B(x)=0 的根,称 x=a 是方程的增根;如果x=b 是方程B(x)=0 的根但不是A(x)=0 的根,称x=b 是方程B(x)=0 的失根.