cloudcone-
这其实是个数项级数求和，因为0.9循环=9/10+9/100+9/1000+…无限加下去，这是个等比级数，且当公比|q|<1时,这个级数就收敛，也就是有极限，极限值为a1/(1-q)，所以这个级数当n趋于无穷时就收敛于0.9/（1-0.1）=1，这个时候我们就说这个级数有和，其实说0.9循环=1只是一个说法而已，确切的说0.9循环无限接近于1，极限值是无限接近而不是等于。
FinCloud-
对于两个数a和b，a不等于b这个命题等效于一定能找出数c，使a<c<b,或者是b<c<a.比如说派等于a，派的平方等于b。那么c等于派加上派的平方的和除以2，可以得出a<c<b。而假如派等于a，派等于b，只能得出a=b=c。
接下来开始证明：
令0.9的循环等于a，1等于b，假定存在数c，使得a<c<b。令f（x）=1-10的-x次方。可以得出当x=-lg（（1-c）/10）时，f（x）=c。令d=[（-lg（（1-c）/10））+1]（中括号是取整数的意思）。因为f（x）是递增函数，所以f（d）>c。
然后事实上f（x）是等比数列求和的公式（首项是0.9，公比是0.1），比如说f（d）是首项为0.9，公比为0.1，d个数列求和。
用0.9的循环减去f（d），会得到一个正数，也就是说f（d）<0.9的循环
所以c<f（d）<0.9的循环，这与假设不符合（假定存在数c，使得a<c<b）。因此c不存在，所以0.9的循环等于1.
不过话又说回来，事实上这种证明方法用的也还是极限的定义。
慧慧-
在高等数学中，对两个实数是否等同的定义为：完备实数系中，若两个实数它们的差是无穷小，则认为这两个实数等大。所以答案就出来了。
0.999……本质上就不是一个‘有限"的数字，它本身就带有‘极限"的意思。”
那么至少在现在这个数学体系范围内而言，0.9的无限循环等于1是成立的。
当然，如果出现下一次颠覆数学的新理论，这个问题或许会出现变化。
LuckySXyd-
因为1/3=0.3333333333.... 而1/3x3=0.333333333.....x3=0.999999999...=1
clou-
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证明：0.999999......=1
wpBeta-
如果0.9999.....=1，那么两边都乘以2以后，得出：1.9999.....8=2，请问它们之间是不是还有个1.9999......9？
然后乘以3呢？4，5，6，7，8呢？
三观尽毁？
苏萦-
1/3=0.3333333333……
1/3×3＝1
0.3……×3＝0.9……＝1
蓓蓓-
1÷3＝0.333…… 0.333……×3＝0.999…… 0.999……＝1
余辉-
1.既然0.9999999（循环，为了方便，以下不用省略号）=1
则：0=0.00000000……1
也就是：没有=有
2.十分之九+百分之九=1－百分之一≠1
十分之九+百分之九+千分之九=1-千分之一≠1
就是怎么加也加不完。
也就是≠。