数学分析，求极限

方法一：都是幂指数的形式，可以提出最高次项，极限值就是最高次项的系数之比，如下图所示。方法二：可以用洛必达法则求极限。具体做法是同时对分子分母求导，然后借助方法一或者直接代入，可以得到答案。。拓展资料洛必达法则：对于0/0型或者无穷/无穷型求极限的问题，可以对分子分母同时求导，极限值不变。这个法则就是洛必达法则。运用条件：保证求导一个分子、分母以及分式极限存在，否则洛必达法则失效。

幂指函数求极限的方法主要有三种，分别是取对数法，等价代换法和配凑法。取对数法是“幂指型”函数极限求解最普遍、最一般的方法，利用的是幂指型通过取对数可以转化为复合函数的特点等。 方法 方法一：取对数法 这是“幂指型”函数极限求解最普遍、最一般的方法，利用的是幂指型通过取对数可以转化为复合函数的特点。由于lnf(x)g(x)=g(x)lnf(x)，f(x)g(x)=eg(x)lnf(x)。由于指数函数的连续性，求解幂指型f(x)g(x)的极限的问题就归结为求g(x)lnf(x)的极限问题。 方法二：等价代换法 利用等价无穷小（或无穷大）作代换是很重要并且有技巧性的一种求极限的方法。由于lnf(x)g(x)=g(x)lnf(x)，如果f(x)∼ϕ(x),g(x)∼ψ(x)，自然有g(x)lnf(x)∼ψ(x)lnϕ(x)，于是f(x)g(x)∼ϕ(x)ψ(x)。由此我们可以得到：如果f(x)>0,ϕ(x)>0,f(x)∼ϕ(x),g(x)∼ψ(x)，而limf(x)g(x)存在，那么limϕ(x)ψ(x)=limf(x)g(x)。 方法三：配凑法 一般来说，配凑法往往利用重要极限limx→0(1+x)1x=e，所以一般用于求解“1∞”型极限。若α(x)>0，α(x)是无穷小量，那么 如果α(x)β(x)的极限存在，那么就达到配凑法求解极限的目的了，因此我们可以考虑先求α(x)β(x)的极限。 上述三种方法为幂指型函数求极限的主要方法，最常规的方法是取对数法，后面两种方法有一定技巧性，不过也可以归结为取对数的方法。掌握好它们，我们在遇到这类问题的时候就不再会感到非常吃力了。 幂指函数 将形如y=[f(x)]^g(x)的函数称为幂指函数。也就是说，它既像幂函数，又像指数函数，二者的特点兼而有之。作为幂函数，其幂指数确定不变，而幂底数为自变量；相反地，指数函数却是底数确定不变，而指数为自变量。幂指函数就是幂底数和幂指数同时都为自变量的函数。这种函数的推广，就是广义幂指函数。

居然有人上网问学习问题的......

有指数函数的极限多数可用洛必达法则求得,应付0/0,∞/∞,∞^0,0^∞,∞^∞,0^0等极限先把指数函数转换为x=e^(lnx)形式,再对指数部分的分式上下分别求导而这题可用:lim(x→∞) x*e^(-x??),∞/∞形式,可用洛必达法则=lim(x→∞) x/(e^x??)=lim(x→∞) 1/(2x*e^x??)=1/∞=0 求极限好多难题都可以用洛必达法则，所以要灵活掌握其应用，

　　函数求极限是高中数学的一道大题，大家是否掌握这道题的解题方法呢？以下是我精心准备的函数求极限的方法总结，大家可以参考以下内容哦！ 　　求极限的几种简单方法总结【1】 　　1.验证定义。：“猜出”极限值，然后再验证这个值确实是极限值/验证收敛，再由极限唯一性可得。 　　2.利用收敛定理、两边夹、关于无穷小/大的一些结果，四则运算、复合（形式上的“换元公式”）、函数极限的序列式定义。 　　从1+2得到的一些基本的结果出发，利用3就可以去完成一大堆极限运算了。 　　先从函数极限开始： 　　3.利用初等函数的连续性，结果就是把求极限变成了求函数值。 　　4.关于P(x)/Q(x),P、Q是两个多项式。如果Q（a）不等于0，见4；如果Q（a）等于0但P（a）不等于0，Infinity；如果Q（a）=P(a)=0，利用综合除法，P、Q均除以(x-a)，可以多除几次直到"Q"不能被整除，这时候就转化为前面的情形。 　　5.其它0/0：利用“换元”尽一切可能地转化为几种基本极限中的一种或多种。当然这里有一大杀器L"Hospital法则，不过注意它不能用来求sin x/x（x趋于0），因为：L"Hospital法则需要sin的导数，而求出lim sin x/x——求sinx的导数。 　　关于序列极限； 　　6.0/0，利用a^n-b^n=(a-b)[a^(n-1)+ba^(n-2)+……+b^(n-1)]以及加减辅助项，尽量把减转化为加。 　　7.如果是递推形式，先利用递推式求出极限（如果有）应该满足的方程，求出极限，然后验证序列收敛。或者利用压缩映像。 　　计算极限的常用方法【2】 　　(一) 四则运算法则 　　四则运算法则在极限中最直接的应用就是分解，即将复杂的函数分解为若干个相对简单的函数和、积和商，各自求出极限即可得到要求的极限。但是在分解的时候要注意：(1)分解的各部分各自的极限都要存在;(2)满足相应四则运算法则，(分母不能为0)。四则运算的另外一个应用就是“抓大头”。如果极限式中有几项均是无穷大，就从无穷大中选取起主要作用的那一项，选取的标准是选趋近于无穷最快的那一项，对数函数趋于无穷的速度远远小于幂函数，幂函数趋于无穷的速度远远小于指数函数。 　　(二) 洛必达法则(结合等价无穷小替换、变限积分求导) 　　洛必达法则解决的是“零比零“或“无穷比无穷”型的未定式的形式，所以只要是这两种形式的`未定式都可以考虑用洛必达法则。当然，在用洛必达的时候需要注意(1)它的三个条件都要满足，尤其要注意第二三个条件，当三个条件都满足的时候才能用洛必达法则;(2)用洛必达法则之前一定要先化简，把要求极限的式子化成“干净”的式子，否则会遇到越求导越麻烦的情况，有的甚至求不出来，所以一定要先化简。化简常用的方法就是等价无穷小替换，有时也会用到四则运算。考生一定要熟记常用的等价无穷小，以及替换原则(乘除因子可以替换，加减不要替换)。考研中，除了也常常会把变限积分和洛必达相结合进行考查，这种类型的题目，首先要考虑洛必达，但是我们也要掌握变限积分求导。 　　另外，考试中有时候不直接考查“零比零“或“无穷比无穷”型，会出“零乘以无穷”，“无穷减无穷”这种形式，我们用的方法就是把他们变成“零比零“或“无穷比无穷”型。 　　(三) 利用泰勒公式求极限 　　利用泰勒公式求极限，也是考研中常见的方法。泰勒公式可以将常用的等价无穷小进行推广，如 　　(四) 定积分定义 　　考研中求n项和的极限这类题型用夹逼定理做不出来，这时候需要用定积分定义去求极限。常用的是这种形式 　　只要把要求的极限凑成等是左边的形式，就可以用定积分去求极限了。

看图

lim[x→0] xln²x=lim[x→0] ln²x/x^(-1)洛必达法则=lim[x→0] -(2lnx/x) / x^(-2)=lim[x→0] -2lnx / x^(-1)再洛必达法则=lim[x→0] (2/x) / x^(-2)=lim[x→0] 2x=0其实可以直接记住结论，幂函数比对数函数速度快，因此本题极限为0.【数学之美】团队为您解答，若有不懂请追问，如果解决问题请点下面的“选为满意答案”。

左极限是0，因为看极限是最好画图，从图中可以看到他的最左端是0。

归根结底是要算那两个幂级数，可以试着逐项积分来算，或者用高中的逐项相减。kx^k级数求和应该是1/((1-x)*x)很高兴回答楼主的问题如有错误请见谅

有两种方法。一种就是利用f(x)=h(x)^g(x)=e^ln[h(x)^g(x)]=e^[g(x)lnh(x)]，另一种利用两边取对数，即lnf(x)=g(x)lnh(x)。它们实质是一会事

sinx*lnx→0x→+∞，2^x/x^10→+∞幂函数可以略去原式~2^(2x+2)/2^(2x+1)=2

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这里用到了指数函数的连续性，改写u^v = e^(vlnu)，这样，lim(u^v) = e^lim(vlnu)，……

拜托，您那替换的还是无穷小量吗，别见着一个就替换好呗，这个命题本身是正确的！幂指函数是可以换的

Limit [ (lnx-x/e) / x , x->+∞ ]= Limit [ (e lnx-x) /(ex) , x->+∞ ]= Limit [ (e/x - 1) / e , x->+∞ ] = -1/e当x->+∞ 时，lnx-x/e 与 x 是同阶的无穷大量，Limit [ lnx-x/e , x->+∞ ] = - ∞

如果学过洛必达法则，这个很容易 记n=x，下面证明lim[x→+∞] x^a/c^x =0 其实很容易，因为这是个∞/∞，用洛必达法则 分子是幂函数，分母是指数函数，指数函数无论求多少阶导数，仍是指数函数，极限仍是无穷大， 而幂函数每求一次导数，次数会减1，。

这题应该不是初等程度的极限了,需用洛必达法则解才方便分子有重要极限 lim[x→0] (1+x)^(1/x)=e所以题目属于0/0形式,首先求(1+x)^(1/x)的导数 (这是取对数法，也可以套公式，用幂函数求导法则，高数书上有)设y=(1+x)^(1/x)lny=ln(1+x)/x,两边对x求导1/y·y"=[x/(1+x)-ln(1+x)]/x²1/y·y"=[x-(1+x)ln(1+x)]/x²(1+x)y"=[x-(1+x)ln(1+x)]/[x²(1+x)]·(1+x)^(1/x)由洛必达法则lim[x→0] [(1+x)^(1/x)-e]/x,上下分别求导,分母x的导数是1,e的导数是0,所以剩余的就是(1+x)^(1/x)的导数=lim[x→0] [x-(1+x)ln(1+x)]/[x²(1+x)]·(1+x)^(1/x)=lim[x→0] (1+x)^(1/x)·lim[x→0] [x-(1+x)ln(1+x)]/[x²(1+x)]=e·lim[x→0] {1-[ln(1+x)+(1+x)·1/(1+x)]}/[(1+x)·2x+x²],再上下求导=e·lim[x→0] [1-ln(1+x)-1]/(2x+3x²)=e·-lim[x→0] ln(1+x)/(2x+3x²)=e·-lim[x→0] 1/(1+x)/(2+6x),再上下求导=e·-lim[x→0] 1/[(1+x)(2+6x)],此时不为0/0形式,可以代入数值=e·-1/[(1+0)(2+0)]=e·-1/2=-e/2 他写的灰常灰常详细，有点罗嗦了，不过思路很清晰~~~ 简单方法我想不到了

你明白等价无穷小德定义吗？这里面X是趋向无穷大的，那么1/X趋向于0，你告诉我怎么用等价无穷小

分子分母同除以x得分子为1，分母为1-（lnx/x）,由于lnx/x趋向0（-当x趋向正无穷时，幂函数趋向无穷的速度快于对数函数趋向无穷的速度）结果为1.

有两种方法。一种就是利用f(x)=h(x)^g(x)=e^ln[h(x)^g(x)]=e^[g(x)lnh(x)]，另一种利用两边取对数，即lnf(x)=g(x)lnh(x)。它们实质是一会事

方法一：都是幂指数的形式，可以提出最高次项，极限值就是最高次项的系数之比，如下图所示。方法二：可以用洛必达法则求极限。具体做法是同时对分子分母求导，然后借助方法一或者直接代入，可以得到答案。。拓展资料洛必达法则：对于0/0型或者无穷/无穷型求极限的问题，可以对分子分母同时求导，极限值不变。这个法则就是洛必达法则。运用条件：保证求导一个分子、分母以及分式极限存在，否则洛必达法则失效。

lim(e^x+x)^(1/x) lim [(a^x+b^x+c^x)/3]^(1/x)=lime ^xIn(1+1/x^2)=lime^lim1/x=1In(1+1/x^2)~1/x^2幂指函数既像幂函数，又像指数函数，二者的特点兼而有之。作为幂函数，其幂指数确定不变，而幂底数为自变量；相反地，指数函数却是底数确定不变，而指数为自变量。幂指函数就是幂底数和幂指数同时都为自变量的函数。这种函数的推广，就是广义幂指函数。

上面开方的变换是错误的！对于幂函数，开方只是对幂指数除以2.也就是你前面的操作只是使得指数x²变为了x²/2.而不是变成了x.

极限值为0

楼主的分析是正确的，左极限应该是不存在的。根据极限的定义，首先要有意义，其次才是limit=f(x+d)-f(x)在d趋于0时的值。现在f(x+d)已经不在定义域范围之内了，也就谈不上存在极限了，呵呵。希望有用，谢谢采纳^_^

不对。 y = x^(-1) 在 x = 0 处极限就不存在。

可化为lnt/(1/t)，用洛必达法则，结论是极限为0。类似这种幂函数乘对数函数型极限，如果幂函数趋于0，对数函数趋于∞，他们乘积的极限一般都为0，因为幂函数趋于0的速度远大于对数函数趋于∞的速度。可作已知结论使用。

n趋向于无穷大时指数函数>>幂函数所以原式=[3^(n)]^(1/n)=3

1、求a的值由f(x)=3^x且f(a+2)=18，代入即可，求得3^a=2，即a=log以3为底2的对数；2、首先求出g(x)的表达式，把a代入得，g(x)=λ×2^x-4^x ，要求在区间[0，1]是单调递减函数，对其求导，得g(x)的导数为：(λ×ln2×2^x)-(ln4×4^x)，要求其在区间[0，1]小于等于零即可，求得：λ小于等于2^(x+1) x∈[0，1]；把x=0代入求得：λ小于等于2，完毕1、由c1与c2关于x轴对称可知，f(x)+g(x)=0，然后求解，最后得出ln(ab)=1，故a×b=e；2、要求当x∈[2，+∞)时，|f(x)|>1，则x>a，且a∈[2，+∞)，故a大于等于2，完毕

一个任意项级数，如果由它的各项的绝对值所得到的级数收敛，则原来的级数也收敛，如果发散，则原来的级数不一定也发散，如果反而是收敛，则称这种级数为条件收敛的。实际上，条件收敛的级数，可以通过变换级数各项的顺序而使得这个级数收敛于任意实数，也能发散至无穷大。 级数的每一项也可以是函数，这种级数称为函数项级数。这里我们讨论一种特定的函数项级数，即由如下形式的幂函数组成的级数，称为幂级数。也可以直接写成。幂级数的敛散性具有很好的特征，即所谓阿贝尔定理：如果幂级数在点x=k处收敛，那么它在区间内的每一点处都绝对收敛；反之，如果幂级数在点x=k 处发散，那么对于不属于的所有x都发散。上面的定理使得幂函数的收敛域只能是一个开区间，称为幂级数的收敛区间。收敛区间的长度的一半称为收敛半径。应用对于正项级数的比值判别法和根值判别法的极限形式，可以求出幂级数的收敛半径。设对于幂级数的系数，有，其中为有限数值或者是无穷大。进一步使，利用根值审敛法，就有如下结果：⑴ 如果，则在时，幂级数绝对收敛，而时，幂级数发散。因此，此时幂级数的收敛半径为。⑵ 如果，则对于任意的x，幂级数都是绝对收敛的。因为此时，小于1。这时可以认为幂级数的收敛半径为无穷大。⑶ 如果为无穷大，则幂级数只在x=0处收敛，而取任意非零的数值时，级数都是发散的，因此可以认为幂级数的收敛半径为0。对於形如的幂级数，类似地，也可以根据根值判别法的极限形式，得到相同的结论。求出幂级数的收敛半径以后，即可得到相应的收敛区间和收敛区域。 对于一个幂级数，如果它的收敛半径大于0，那么在它的收敛区域内，就得到了一个确定的以这个收敛区域为定义域的函数，为这个幂级数的和函数，自然，对于这个和函数也应该能够应用微积分的方法加以研究。首先是对和函数的求导：如果幂级数的收敛半径r大于0，则它的和函数S（x）在(-r，r)上必定可积，并且导函数为。和函数的可微区间是开区间，因为即使和函数在这个区间的端点可能有定义，这个定理也不能保证和函数在端点处具有可微性。和函数还具有连续性：如果幂级数的收敛半径r大于0，则它的和函数S（x）在其定义域上连续。对于连续性，定理强调的是在它的定义域上，也就是包括有定义的端点。连续性也就意味着可以对幂级数逐项求极限。

例如：0/0型，(0-0)/0

不行。。。。。。。。

因为0一定小于1，所以这个级数无论在哪个领域都收敛，即收敛域为负无穷到正无穷。

看了你和楼上回答者的交流,发现你求导方法还是不对； 函数(1+x)^x没有直接求导法则（公式）可用,既不能按指数函数求,也不能按幂函数求；你是仅按幂函数求导的； 该函数只能先取对数化成两（可直接求导）函数的相乘式后按法则求导： [(1+x)^x]"=[e^x*ln(1+x)]"=(利用指数函数和复合函数求导法则)= ={e^[ x*ln(1+x)]}*[ x*ln(1+x)]" ={e^[ x*ln(1+x)]}*[ x/(1+x)+ln(1+x)] =[(1+x)^x]*[ x/(1+x)+ln(1+x)]； 最后求得的导数什么都有,很复杂；而x*ln(1+x)的导数则相对简单多了；

只有当底固定（指数函数）或幂固定（幂函数）时，求极限才可以代入。如果底与幂都在变，就不能先其中一部分的极限。举个例子(1+1/n)^n如果先求底的极限就变成1^n=1，明显不对啊。

这也太简单了吧！

1、唯一性； 2、 局部 有界性； 极限附近有界 3、 局部 保号性  保正保负，不保零  去极限等： 足够大，  加极限等：n足够大 x-> ,f(x)->0,g(x)->0,比较f( )和g( )，可以通过算出 的大小来比较。 if = 0，称f(x)是g(x)的==高阶无穷小==（f(x)快），记作f=o(g)，所以== =0 ==           = ，称f(x)是g(x)的低阶无穷小（f(x)慢）           =C 0，称f(x)是g(x)的同阶无穷小（f(x)和g(x)的速度差不多）           =1，称f(x)是g(x)的==等价无穷小==（f(x)和g(x)一样快） 等价无穷小 同阶无穷小 吸收律：吸收高阶，==保留低阶==。要求几个项都趋近于无穷小。 eg.x ~x （1）无穷小和无穷大互为倒数 （2）无穷大 无界 同类比阶： ~ 即 异类比阶： （远远小于）      只与函数类型有关 （1）划掉加减中的常数 （2）幂函数，保高幂数 （3）对指幂，均为无穷时，保右 极限：未定式（ ， ， ）    已定式：除以上7中未定式的极限，直接把点带入计算即可 替换定理：只能用于乘除的替换。   若f~g,则 sinx ~ x   arcsinx ~ x   tanx ~ x   arctanx ~ x -1 ~ x    ln(1+x) ~ x   -1 ~    1-cosx ~    x-sinx~ ps: -1 ~ x( -1 ~ xlna):  so  -1 ~ xlna 极限存在，limf=A，limg=B lim(f+g)=A+B lim(f-g)=A-B lim(f * g)=A * B lim = 乘除非零提前代 加减存在（极限）提前拆 若  1、  2、 的某 去心领域 内，f(x),g(x)均可导且   PS:f(x)在 有倒数不等于f(x)在 的去心领域内可导  3、 可以用于等价替换，不用管是乘除还是加减 f(x)在 处的n阶泰勒展开公式：     ：皮亚诺余项（误差） 即f(x)在x=0处展开的泰勒公式   eg. 有规律： 没规律： 展开原则：相消不为0的最小展开 若A-B为无穷小，则将A-B用泰勒展化为等价无穷小 == 常见： == ~     ~ ~     ~ ~     ~ 展开原则：上下同阶 中的0不能提前代 抓大头仅适用于 型且不能抓成0（抓大头：无穷大的性质） 型中的1不能提前代 1、等价无穷小 2、泰勒展开 3、 1、洛必达 2、抓大头 1、乘化除       ==2、等价无穷小替换== 3、函数增长速度（对指幂） ==4、 == 减化除： 1、分数通分 2、二次根式有理化（三次根式可用拉格朗日中值定理） 3、换元（ ：倒代换 或 ：指数换元） 幂指函数：形如 （f(x)>0） 幂指化指公式： 1、lim glnf=A 2、 1、凑 2、算 ，然后得 单侧极限的情形： 1、分段函数：分段点左右两侧的解析式不同 2、arctan ， 的极限不同要分开讨论，eg： 3、 ， 的极限不同要分开讨论，eg： 极限结果： 1、A(常数) 2、 3、极限震荡不存在(sin 、cos )  sin 、cos :有界变量；极限震荡不存在 4、左右极限不相等，极限不存在( )

1加上一个很小的数的无穷次方就不是1了 令1/a=2/x x=2a 所以=(1+1/a)^2a =[(1+1/a)^a]² 方括号里极限是e 所以原来极限是e²

无穷

e^(-x)*(1/x)^(x^2)首先(1/x)^(x^2)=e^(x^2ln(1/x))[幂指函数的变形]=e^(-x^2lnx)e^(-x)*e^(-x^2lnx)=1/[e^(x^2lnx)*e^x]=e^(-x^2lnx-x)-(x^2lnx+x)趋于负无穷则极限为0

有些求极限的是初等函数如下：（1-b）/(1-a)，就是两个等比求和后高次项趋于0做商。初等函数是由幂函数（power function）、指数函数（exponential function）、对数函数（logarithmic function）、三角函数（trigonometric function）、反三角函数（inverse trigonometric function）与常数经过有限次的有理运算（加、减、乘、除、有理数次乘方、有理数次开方）及有限次函数复合所产生，并且能用一个解析式表示的函数。初等函数是由幂函数（power function）、指数函数（exponential function）、对数函数（logarithmic function）、三角函数（trigonometric function）、反三角函数（inverse trigonometric function）与常数经过有限次的有理运算（加、减、乘、除、有理数次乘方、有理数次开方）及有限次函数复合所产生，并且能用一个解析式表示的函数。它是最常用的一类函数，包括常函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数（以上是基本初等函数），以及由这些函数经过有限次四则运算或函数的复合而得的所有函数。即基本初等函数经过有限次的四则运算或有限次的函数复合所构成并可以用一个解析式表出的函数，称为初等函数。

老师说的没错，就是这样做的。基本初等函数（幂函数、指数函数、对数函数、三角函数）以及由它们进行加、减、乘、除、乘方、开方、复合运算得到的函数在连续的定义域内都是连续的。

这不是说0乘以无穷的极限等于A，他只是把幂函数求极限转换为求A的极限，再代入e^A就是原函数极限

什么叫各类函数趋于无穷∞的速度口诀？你的意思是在lim x趋向于∞的时候他们的高阶关系吧，这样可以做一个极限比较limf（x）/g（x）然后判别

说反了，幂函数比上指数函数极限为零，因为幂函数比任意指数函数增长得都快

1、摘要：数列极限的求法一直是数列中一个比较重要的问题， 本文通过归纳和总结， 从不同 的方面罗列了它的几种求法.关键词：高等数学、数列极限、定义、洛比达法则、英文题目Limit methods summarizeAbstract:The method of sequence limit has been in the series a more important problems, this paper summed up from different aspects and a few of its listing is also given.Key words:Higher mathematics, sequence limit, definition, los than amounting to law,一. 引言高等数学第二章在整个高等数学的学习中都占有相当重要的地位 ， 特别是极限，原因就是后续章节本质上都是极限。一个经典的形容就是假如高等数学是棵树木的话，那么极限就是它的根，函数就是它的皮。树没有根，活不下去， 没有皮，只能枯萎，可见极限的重要性。极限一直是数学分析中的一个重点内容，而对数列极限的求法可谓是多种多样，通过归纳和总结，我们罗列出一些常用的求法。求数列极限的最基本的方法 还是利用数列极限的定义，也要注意运用两个重要极限，其中，可以利用等量代 换, 展开、约分，三角代换等方法化成比较好求的数列，也可以利用数列极限的 四则运算法则计算。夹逼性定理和单调有界原理是很重要的定理，在求的时候要 重点注意运用。泰勒公式、 洛必达法则、黎曼引理是针对某些特殊的数列而言的。还有一些比较常3 （2） e x xx =+→10) 1(lim ； e x x =+∞→) 11(l i m 说明：( 1 )不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式.（2）一定注意两个重要极限成立的条件。 一定注意两个重要极限 成立的条件。 例如：133sin lim 0=→x x x ，e x x x =--→210) 21(lim ，e xx =+∞→3) 1(lim ；等等。 4．洛比达法则定理2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小（即极限是0）。定理3 当0→x 时，下列函数都是无穷小（即极限是0），且相互等价，即有：x ～x sin ～x tan ～x arcsin ～x arctan ～) 1ln(x +～1-x e 。 说明：当上面每个函数中的自变量x 换成) (x g 时（0) (→x g ），仍有上面的等价关系成立，例如：当0→x 时， 13-x e ～ x 3 ；) 1ln(2x - ～ 2x -。 定理4 如果函数) (), (), (), (11x g x f x g x f 都是0x x →时的无穷小，且) (x f ～) (1x f ，) (x g ～) (1x g ，则当)() (lim 110x g x f x x →存在时，) () (lim 0x g x f x x →也存在且等于) (x f ) () (lim 110x g x f x x →，即) () (lim 0x g x f x x →=)() (lim 110x g x f x x →。 5．洛比达法则定理5 假设当自变量x 趋近于某一定值（或无穷大）时，函数) (x f 和)(x g 满足：（1）) (x f 和) (x g 的极限都是0或都是无穷大；4 （2）) (x f 和) (x g 都可导，且) (x g 的导数不为0；（3）)() (lim x g x f ""存在（或是无穷大）； 则极限) () (lim x g x f 也一定存在，且等于)() (lim x g x f ""，即) () (l i m x g x f =) () (lim x g x f "" 。 说明：定理5称为洛比达法则，用该法则求极限时，应注意条件是否满足，只要有一条不满足，洛比达法则就不能应用。特别要注意条件（1）是否满足，即验证所求极限是否为“00”型或“∞∞”型；条件（2）一般都满足，而条件（3）则在求导完毕后可以知道是否满足。另外，洛比达法则可以连续使用，但每次使用之前都需要注意条件。6．连续性定理6 一切连续函数在其定义去间内的点处都连续，即如果0x 是函数) (x f 的定义去间内的一点，则有) () (lim 00x f x f x x =→ 。 7．极限存在准则定理7（准则1） 单调有界数列必有极限。定理8（准则2） 已知}{, }{, }{n n n z y x 为三个数列，且满足：（1） ) , 3, 2, 1(, =≤≤n z x y n n n（2） a y n n =∞→lim ，a z n n =∞→lim 则极限∞→n n x lim 一定存在，且极限值也是a ，即a x n n =∞→lim 。 二、求极限方法举例1． 利用函数的连续性（定理6）求极限5 例4 x x e x 122lim → 解：因为20=x 是函数xe x x f 12) (=的一个连续点，所以 原式=e e 42212= 。2． 利用两个重要极限求极限例5 203cos 1lim x x x -→ 解：原式=61) 2(12sin 2lim 3sin 2lim 220220=⋅=→→x x x x x x 。 注：本题也可以用洛比达法则。例6 x x x 20) sin 31(lim -→ 解：原式=6sin 6sin 310sin 610]) sin 31[(lim ) sin 31(lim ---→-⋅→=-=-e x x x x x x x 。例7 n n n n ) 12(lim +-∞→ 解：原式=3331331]) 131[(lim ) 131(lim ---+∞→-⋅-+∞→=+-+=+-+e n n nn n nn n 。 注：两个重要的极限分别为 limsin x 1 2 = 1 和 lim (1 + ) x = e ，对第一个而言是 x →0 x →∞ x xX 趋近 0 时候的 sinx 与 x 比值。第2 个实际上如果 x 趋近无穷大和无穷小都有 对有对应的形式。当底数是 1 的时候要特别注意可能是用第2 个重要极限。3． 利用定理2求极限6 例8 xx x 1sin lim 20→ 解：原式=0 （定理2的结果）。4． 利用等价无穷小代换（定理4）求极限这种方法的理论基础主要包括：(1)有限个无穷小的和、差、积仍是无穷小.(2)有界函数与无穷小的乘积是无穷小.(3)非零无穷小与无穷大互为倒数.(4)等价无穷小代换(当求两个无穷小之比的极限时，分子与分母都可用等价无穷小代替). [3]设αα"~、~ββ"且lim lim ββαα"=；则：β与α是等价无穷小的充分必要条件为：0() βαα=+．常用等价无穷小：当变量0x →时，21sin ~, tan ~,arcsin ~,arctan ~, 1~,ln(1) ~,1cos ~, 2x x x x x x x x x e x x x x x -+-~,(1) 1~x x x αα+-．例1 求01cos lim arctan x x x x→-． 解 210,1cos ~,arctan ~2x x x x x →- 时， 故，原式22011lim 2x x x →== 例2 求1230(1) 1lim cos 1x x x →+--． 解 12223110,(1) 1~,1cos ~32x x x x x →+-- 时, 因此: 原式20212lim 32x x x →==-． 例3 求01lim tan x x→． 解 0, x →时11~, tan ~3x x x ，故:原式=011lim 3x x x →=．7 例4 求()201lim 2ln(1) x x e x x →-+．解 0, 1~,ln(1) ~x x e x x x →-+时, 故: 原式2201lim 22x x x →==． 例5 试确定常数a 与n ，使得当0x →时，nax 与33ln(1) x x -+为等价无穷小． 解 330ln(1) lim 1n x x x ax →-+= 而左边22531100333lim lim n n x x x x x nax nax--→→-+-=， 故 15n -=即6n = 0331lim 11662x a a a →--∴=∴=∴=-． 5. 利用洛比达法则求极限利用这一法则的前提是：函数的导数要存在；为0比0型或者∞∞型等未定式类型. 洛必达法则分为3种情况：（1）0比0，无穷比无穷的时候直接用. （2）0乘以无穷，无穷减去无穷（无穷大与无穷小成倒数关系时）通常无穷大都写成无穷小的倒数形式, 通项之后，就能变成（1）中形式了. （3）0的0次方，1的无穷次方，无穷的0次方，对于（指数, 幂函数）形式的方法主要是取指数的方法，这样就能把幂函数指数位置的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了.洛必达法则中还有一个定理：当x a →时，函数() f x 及() F x 都趋于0；在点a 的某去心邻域内，() f x ﹑() F x 的导数都存在且() F x 的导数不等于0；() lim ()x a f x F x →""存在，那么() () lim lim () ()x a x a f x f x F x F x →→"=" . [1] 求极限有很多种方法如洛必达法则，夹逼定理求极限的秘诀是：强行代入，先定型后定法. [3] 例12 203cos 1lim x x x -→（例4） 解：原式=616sin lim 0=→x x x 。（最后一步用到了重要极限）8 例13 1cos lim 1-→x xx π 解：原式=21sin lim 1πππ-=-→xx 。 例14 30sin lim x x x x -→ 解：原式=203cos 1lim x x x -→=616sin lim 0=→x x x 。（连续用洛比达法则，最后用重要极限）例15 xx x x x x sin cos sin lim 20-→ 解： 313sin lim 3) sin (coscos lim cos sin lim 202020==--=⋅-=→→→xx x x x x x x x x x x x x x x 原式 例18 ])1ln(11[lim 0x x x +-→ 解：错误解法：原式=0]11[lim 0=-→xx x 。 正确解法：。原式21) 1(2lim 211lim ) 1ln(lim ) 1ln() 1ln(lim 0000=+=-=⋅-+=+-+=→→→→x x x x x x x x x x x x x x x x 应该注意，洛比达法则并不是总可以用，如下例。 例19 x x x x x cos 3sin 2lim +-∞10例21 ) 12111(lim 222n n n n n ++++++∞→解： 易见：11211122222+<++++++<+n n nn n n nn n因为 1lim 2=+∞→nn n n ，11lim2=+∞→n n n所以由准则2得：1) 12111(lim 222=++++++∞→nn n n n 。7. 直接使用求导的定义求极限当题目中告诉你0) 0(=F 时，) (x F 的导数等于0的时候，就是暗示你一定要用导数定义： （1）设函数()y f x =在点0x 的某个领域内有定义，当自变量x 在0x 处取得增量x ∆（点0x x ∆+仍在该领域内）时，相应的函数取得增量()()00y f x x f x ∆=∆+-；如果y ∆与x ∆之比0x ∆→时的极限存在，则称函数()y f x =在点0x 处可导，并称这个极限为函数()y f x =在点0x 处可导，并称这个极限为函数()y f x =在点0x 处的导数，记作()0f x "，即()()()00000limlim x x f x x f x yf x x x∆→∆→∆+-∆"==∆∆；（2）在某点处可导的充分必要条件是左右导数都存在且相等. 例36 ()()()()1f x x x e x π=---，求()"fπ.解 ()"fπ ()()()()()()=limlim 11x x f x f x x e x x e x ππππ→→-=--=---. 例37 若函数()f x 有连续二阶导数且()0=0f ，()"0=1f，()"" 0=-2f ，则 ()()20limx f x xx →-=.A:不存在 B：0 C：-1 D：-2解 ()20lim x f x x x →-=()()()" " " 00101lim lim 220x x f x f x f x x →→--=-()""1012f ==-. 所以，答案为D.11 例38 若() (1)(2) .....(2010) f x x x x x =++++，求(0)f ".解 0() (0)(0)limx f x f f x→-"= 0(1)(2) .....(2010) lim x x x x x x →++++= 0lim (1)(2) .....(2010) x x x x x →=++++ 2010! =.8. 求数列极限的时候可以将其转化为定积分[1]例33 已知()f x = ,在区间[]0,1上求()01lim ni ii f x λξ→=∆∑（其中将[]0,1分为n 个小区间[]1, i i x x -, 1i i i x x ξ-≤≤，λ为i x ∆中的最大值）.解 由已知得: ()()1001lim n i i i f x f x dx λξ→=∆=∑⎰dx =⎰ 4π= .（注释：由已知可以清楚的知道，该极限的求解可以转化为定积分, 求函数()f x 在区间[]0,1上的面积）.在有的极限的计算中，需要利用到如下的一些结论、概念和方法：（1）定积分中值定理：如果函数()f x 在积分区间[], a b 上连续，则在[], a b 上至少有一个点，使下列公式成立：()()()b a f x dx x b a ϕ=-⎰ ()a b ϕ≤≤；（2）设函数()f x 在区间[], a +∞上连续，取t a >，如果极限 ()limt a t f x dx →+∞⎰存在，则称此极限为函数()f x 在无穷区间[], a +∞上的反常积分，记作⎰∞+0) (dx x f ，即⎰⎰+∞→∞+=ta t a dx x f dx x f ) (lim ) (； 设()f x 在区间[], a b 上连续且()0f x ≥，求以曲线()y f x =为曲线，底为[], a b 的曲边梯形的面积A ，把这个面积A 表示为定积分：()b=a A f x dx ⎰ 的步骤是： 首先，用任意一组的点把区间[], a b 分成长度为(1,2,... ) i x i n ∆=的n 个小区间，相应地把曲12线梯形分成n 个窄曲边梯形，第i 个窄曲边梯形的面积设为i A ∆，于是有1nii A A ==∆∑；其次，计算i A ∆的近似值 ()()1i i i i i i A f x x x ϕϕ-∆≈∆≤≤；然后，求和，得A 的近似值 ()1niii A f x ϕ=≈∆∑；最后，求极限，得⎰∑=∆==→bai ni i dx x f x f A ) () (lim1ϕλ.例34 设函数()f x 连续，且()00f ≠，求极限 ()()()[]2lim. x xx x t f t dt x f x t dt→--⎰⎰. 解 ()()()000limxxx x t f t dtx f x t dt→--⎰⎰ =()()()0lim, xxxx xf t dt tf t dtx f u du→-⎰⎰⎰()()()()()0+limxx x f t dt xf x xf x f u du xf x →-+⎰⎰由洛必达得：，()()(), , ,f x t dx u x t f u du -=-⎰x其中令得()()0lim0x x xf xf xf x ϕφϕ→+再由积分中值定理得:在到之间()()001lim002x f f f f x f f ϕϕ→===++.例35 计算反常积分: 21dx x +∞-∞+⎰.解21dx x +∞-∞+⎰ =[]arctan x +∞-∞=-lim arctan lim arctan x x x x →+∞→∞-=() 22πππ--=. 9. 用初等方法变形后，再利用极限运算法则求极限利用如下的极限运算法则来求极限： (1)如果()()lim ,lim , f x A g x B ==那么B A x g x f x g x f ±=±=±) (lim ) (lim )]() (lim[13 ()()()()lim lim lim f x g x f x g x A B ⋅=⋅=⋅⎡⎤⎣⎦ 若又有0≠B ，则B Ax g xf x g x f ==) (lim )(lim ) () (lim（2）如果) (lim x f 存在，而c 为常数，则) (lim )](lim[x f c x cf =（3）如果) (lim x f 存在，而n 为正整数，则n n x f x f )]([lim)](lim[=（4）如果) () (x x ϕδ≥，而b x a x ==) (lim , ) (lim ϕδ，则b a ≥（5）设有数列{}n x 和{}n y ，如果()lim ; n n n x y A B →∞+=+ 那么，()lim ; n n n x y A B →∞+=+lim n n n x y A B →∞=⋅ 当()01,2,... n y n ≠=且0b ≠时，lim n n n x Ay B→∞=例1 121lim 1--+→x x x解：原式=43) 21)(1(33lim ) 213)(1(2) 13(lim 1221=++--=++--+→→x x x x x x x x 。注：本题也可以用洛比达法则。例2 ) 12(lim --+∞→n n n n解：原式=23123lim 12)]1() 2[(lim =-++=-++--+∞→∞→nn n n n n n n n 分子分母同除以 。 例3 n n nn n 323) 1(lim ++-∞→ 解：原式11) 32(1) 1(lim 3=++-=∞→n n n n上下同除以 。 三，极限运算思维的培养14 极限运算考察的是一种基本能力，所以在做题或者看书的时候依赖的是基本概念和基本方法。掌握一定的技巧可以使学习事半功倍。而极限思维的培养则是对做题起到指导性的意义。如何培养，一方面要立足概念，另一方面则需要在具体的运算中体会，多做题多总结。四. 结束语上面对求极限的常用方法进行了比较全面的总结，由此可以看出，求极限方法灵活多样，而且许多题目不只用到一种方法，因此，要想熟练掌握各种方法，必须多做练习，在练习中体会。另外，求极限还有其它一些方法，如用定积分求极限等，由于平时练习中不经常使用，这里不作一一介绍了。[参 考 文 献][1] 同济大学应用数学系 高等数学 1997[2] 吉米多维奇. 数学分析[M].济南:山东科技文献出版社1995.[3] 陈纪修, 等. 数学分析[M].北京:高等教育出版社,1999.[4] 同济大学应用数学组. 高等数学[M].北京:高等教育出版社,1996. 第3期张宏达:高等数学中求极限的常用方法41? 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved.http://www.cnki.net

只需 k-1＞0，即 k＞1

只有当底固定（指数函数）或幂固定（幂函数）时，求极限才可以代入。如果底与幂都在变，就不能先其中一部分的极限。举个例子(1+1/n)^n如果先求底的极限就变成1^n=1，明显不对啊。

答：y=1/(x-2)是一个幂函数，当x不等于2时，且x取无穷大时，该幂函数的极限是0，所以该幂函数是没有最值的。

我我好像不会