我一直有个问题 泰勒展开到底是怎么用的 展开到几项 余项怎么处理 求大神解答 如下题例

泰勒展开式都是幂函数。因为幂函数一旦与相应的阶乘组合，就可以在对应阶数求导后消失，只留下各阶导数值。在这种意义上，泰勒展开并不是唯一的，因为任何在对应阶求导后能够消失并只留下导数值的函数，都可以作为泰勒展开的备胎。可惜的是，幂函数与阶乘的组合，是我们已知的唯一具有上述性质的函数，因此，这种唯一性决定了泰勒展开能够且仅能够由幂函数表示。泰勒公式的灵魂是导数值，而非幂函数。在展开的这一点，泰勒展开式与f(x)的每一阶导数值都完全相等。而这种“各阶导数值相等”，揭示了多项式函数和它想要替代的复杂函数f(x)在每一个维度上完全相同的奇妙的事实。泰勒公式的几何意义泰勒公式的几何意义是利用多项式函数来逼近原函数，由于多项式函数可以任意次求导，易于计算，且便于求解极值或者判断函数的性质，因此可以通过泰勒公式获取函数的信息，同时，对于这种近似，必须提供误差分析，来提供近似的可靠性  。除了一元泰勒公式外，多元泰勒公式的应用也非常广泛，特别是在微分方程数值解和最优化上有着很大的作用 。

8个常用泰勒公式展开 ： 2+(1/3!)x^3+o(x^3); 2、ln(1+x)=x-(1/2)x^2+(1/3)x^3+o(x^3); 3、sinx=x-(1/3!)x^3+(1/5!)x^5+o(x^5); 4、arc...常用十个泰勒展开公式是什么? - ： 展开全部 在了解十个常用的泰勒展开式之前,应该先了解函数f(x)的泰勒多项式的一般形式.因为常用的泰勒展开式都是基于这个一般形式所得到的. 若函数f(x)在点x0存在直到n阶的导数,那么这些导数构成的...8个常用泰勒公式有哪些? ： 全部 全部答案 2019-06-25 14:02:12 这是写在纸上的八个常见的泰勒公式,泰勒公式是等号而不是等价,这就使所有函数转化为幂函数,在利用高阶无穷小被低阶吸收的原理,可以秒杀大部分极限题....泰勒公式是怎么展开的?或者说展开的计算是怎么得到的?我只要泰勒公式是这样的,但是下面sinx展开的部分是怎么得到的?公式的意思是n阶导数,但是... - ：[答案] a是你取得一个数,底下那个就是取a=0推出的,就是sinx的麦克劳林公式. 泰勒公式是用来弥补微分运算的不足--无法估计误差.泰勒公式越往后面误差越小,就比如e^x,你随便取一个数代入公式,越往后算越接近e^x的真实值.关于泰勒展开式的几个问题泰勒展开式 我大约明白了 但是那个最常用余项应该是佩亚诺余项吧?它的那个符号我不懂什么意思 一个o(x) 另外还有个小问题 一... - ：[答案] 这个嘛,0(x)是关于小的无穷小, 内含于不是重合,互相内含才是重合,即你在我心中,我在你心中这就重合了.求考研数学中常用的几个泰勒展开公式,谢谢! - ： 1、sinx=x-1/6x^3+o(x^3),这是泰勒公式的正弦展开公式,在求极限的时候可以把sinx用泰勒公式展开代替. 2、arcsinx=x+1/6x^3+o(x^3),这是泰勒公式的反正弦展开...泰勒公式是怎么展开的?或者说展开的计算是怎么得到的? - ： a是你取得一个数,底下那个就是取a=0推出的,就是sinx的麦克劳林公式.泰勒公式是用来弥补微分运算的不足--无法估计误差.泰勒公式越往后面误差越小,就比如e^x,你随便取一个数回代入公式,越往后答算越接近e^x的真实值.列举三种使用了泰勒展开的数值方法,急!!! - ： 30=27+3=27(1+1/9)(30)^(1/3)=3(1+1/9)^(1/3)

这是写在纸上的八个常见的泰勒公式，泰勒公式是等号而不是等价，这就使所有函数转化为幂函数，在利用高阶无穷小被低阶吸收的原理，可以秒杀大部分极限题。扩展资料：泰勒公式是将一个在x=x0处具有n阶导数的函数f(x)利用关于(x-x0)的n次多项式来逼近函数的方法。若函数f(x)在包含x0的某个闭区间[a,b]上具有n阶导数，且在开区间(a,b)上具有(n+1)阶导数，则对闭区间[a,b]上任意一点x，成立下式：其中，  表示f(x)的n阶导数，等号后的多项式称为函数f(x)在x0处的泰勒展开式，剩余的Rn(x)是泰勒公式的余项，是(x-x0)n的高阶无穷小。数学中，泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数足够平滑的话，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值。泰勒公式还给出了这个多项式和实际的函数值之间的偏差。泰勒公式得名于英国数学家布鲁克·泰勒。他在1712年的一封信里首次叙述了这个公式，尽管1671年詹姆斯·格雷高里已经发现了它的特例。拉格朗日在1797年之前，最先提出了带有余项的现在形式的泰勒定理。

f(x)=f(x0)+f"(x0)(x-x0)+1/2f""(x0)(x-x0)^2+..+1/n!f^(n)(x0)*(x-x0)^n+...

泰勒级数的定义：　　若函数f（x）在点的某一临域内具有直到（n+1）阶导数，则在该邻域内f（x）的n阶泰勒公式为：　　f(x)=f(x0)+f`(x0)(x-x0)+f``(x0)(x-x0)²/2!+f```(x0)(x-x0)³/3!+...fn(x0)(x-x0)n/n!+....　　其中：fn(x0)(x-x0)n/n!，称为拉格朗日余项。　　以上函数展开式称为泰勒级数。　　泰勒级数在幂级数展开中的作用：　　在泰勒公式中，取，得：　　这个级数称为麦克劳林级数。函数f（x）的麦克劳林级数是x的幂级数，那么这种展开是唯一的，且必然与f（x）的麦克劳林级数一致。　　注意：如果f（x）的麦克劳林级数在点的某一临域内收敛，它不一定收敛于f（x）。因此，如果f（x）在处有各阶导数，则f（x）的麦克劳林级数虽然能做出来，但这个级数能否在某个区域内收敛，以及是否收敛于f（x）都需要进一步验证。　　泰勒级数的重要性体现在以下三个方面：首先，幂级数的求导和积分可以逐项进行，因此求和函数相对比较容易。第二，一个解析函数可被延伸为一个定义在复平面上的一个开片上的解析函数，并使得复分析这种手法可行。第三，泰勒级数可以用来近似计算函数的值。　　对于一些无穷可微函数f(x)虽然它们的展开式收敛，但是并不等于f(x)。例如，分段函数f(x)=exp(−1/x²)当x≠0且f(0)=0，则当x=0所有的导数都为零，所以这个f(x)的泰勒级数为零，且其收敛半径为无穷大，虽然这个函数f仅在x=0处为零。而这个问题在复变函数内并不成立，因为当z沿虚轴趋于零时exp(−1/z²)并不趋于零。　　一些函数无法被展开为泰勒级数因为那里存在一些奇点。但是如果变量x是负指数幂的话，我们仍然可以将其展开为一个级数。例如，f(x)=exp(−1/x²)就可以被展开为一个洛朗级数。　　基本原理：多项式的k重不可约因式是其微商的k-1重不可约因式；　　进而得出多项式函数的泰勒展开，然后再由Peano，通过　　Peano定理推广至任意函数的泰勒展开　　基本思想：通过系数为微商的多项式来研究任意函数的性质（本科主　　要是收敛性)　　幂级数　　c0+c1x+c2x2+...+cnxn+...=∑cnxn(n=0..∞)　　c0+c1(x-a)+c2(x-a)2+...+cn(x-a)n+...=∑cn(x-a)n(n=0..∞)　　它们的各项都是正整数幂的幂函数,其中c0,c1,c2,...cn...及a都是常数,这种级数称为幂级数.　　泰勒展开式(幂级数展开法):　　f(x)=f(a)+f"(a)/1!*(x-a)+f""(a)/2!*(x-a)2+...f(n)(a)/n!*(x-a)n+...　　实用幂级数：　　ex=1+x+x2/2!+x3/3!+...+xn/n!+...　　ln(1+x)=x-x2/3+x3/3-...(-1)k-1*xk/k+...(|x|<1)　　sinx=x-x3/3!+x5/5!-...(-1)k-1*x2k-1/(2k-1)!+...(-∞<x<∞)　　cosx=1-x2/2!+x4/4!-...(-1)k*x2k/(2k)!+...(-∞<x<∞)　　arcsinx=x+1/2*x3/3+1*3/(2*4)*x5/5+...(|x|<1)　　arccosx=π-(x+1/2*x3/3+1*3/(2*4)*x5/5+...)(|x|<1)　　arctanx=x-x^3/3+x^5/5-...(x≤1)　　sinhx=x+x3/3!+x5/5!+...(-1)k-1*x2k-1/(2k-1)!+...(-∞<x<∞)　　coshx=1+x2/2!+x4/4!+...(-1)k*x2k/(2k)!+...(-∞<x<∞)　　arcsinhx=x-1/2*x3/3+1*3/(2*4)*x5/5-...(|x|<1)　　arctanhx=x+x^3/3+x^5/5+...(|x|<1)　　--------------------------------------------------------------------------------　　傅立叶级数(三角级数)　　f(x)=a0/2+∑(n=0..∞)(ancosnx+bnsinnx)　　a0=1/π∫(π..-π)(f(x))dx　　an=1/π∫(π..-π)(f(x)cosnx)dx　　bn=1/π∫(π..-π)(f(x)sinnx)dx　　当周期为T时，　　a0=2/T∫(T/2..-T/2)(f(x))dx　　an=2/T∫(T/2..-T/2)(f(x)cos2nπx/T)dx　　bn=2/T∫(T/2..-T/2)(f(x)sin2nπx/T)dx

直接根据定义展开即可：(1+x)^a=1+a*x+1/2*a*(a-1)*x^2+1/6*a*(a-1)*(a-2)*x^3+1/24*a*(a-1)*(a-2)*(a-3)*x^4+1/120*a*(a-1)*(a-2)*(a-3)*(a-4)*x^5+ o(x^5)泰勒级数展开式将简单的函数式子化为无穷多项幂函数，看似化简为繁。但事实上泰勒级数可以解决很多数学问题。如：1、求极限时可以用函数的麦克劳林公式(泰勒展开式的特殊形式)。2、一些难以积分的函数，将函数泰勒展开变为幂级数，使其容易积分。3、复杂离散函数的多项式拟合，用于统计学和预测算法。4、一些数学证明，有时需要将复杂函数化为格式高度统一的幂级数来证明。

泰勒级数的定义：若函数f（x）在点的某一临域内具有直到（n+1）阶导数,则在该邻域内f（x）的n阶泰勒公式为：其中：,称为拉格朗日余项.以上函数展开式称为泰勒级数.泰勒级数在幂级数展开中的作用：在泰勒公式中,取,得：这个级数称为麦克劳林级数.函数f（x）的麦克劳林级数是x的幂级数,那么这种展开是唯一的,且必然与f（x）的麦克劳林级数一致.注意：如果f（x）的麦克劳林级数在点的某一临域内收敛,它不一定收敛于f（x）.因此,如果f（x）在处有各阶导数,则f（x）的麦克劳林级数虽然能做出来,但这个级数能否在某个区域内收敛,以及是否收敛于f（x）都需要进一步验证.泰勒级数的重要性体现在以下三个方面：首先,幂级数的求导和积分可以逐项进行,因此求和函数相对比较容易.第二,一个解析函数可被延伸为一个定义在复平面上的一个开片上的解析函数,并使得复分析这种手法可行.第三,泰勒级数可以用来近似计算函数的值.对于一些无穷可微函数f(x) 虽然它们的展开式收敛,但是并不等于f(x).例如,分段函数f(x) = exp(−1/x²) 当 x ≠ 0 且 f(0) = 0 ,则当x = 0所有的导数都为零,所以这个f(x)的泰勒级数为零,且其收敛半径为无穷大,虽然这个函数 f 仅在 x = 0 处为零.而这个问题在复变函数内并不成立,因为当 z 沿虚轴趋于零时 exp(−1/z²) 并不趋于零.一些函数无法被展开为泰勒级数因为那里存在一些奇点.但是如果变量x是负指数幂的话,我们仍然可以将其展开为一个级数.例如,f(x) = exp(−1/x²) 就可以被展开为一个洛朗级数.基本原理：多项式的k重不可约因式是其微商的k-1重不可约因式； 进而得出多项式函数的泰勒展开,然后再由Peano,通过 Peano定理推广至任意函数的泰勒展开 基本思想：通过系数为微商的多项式来研究任意函数的性质（本科主 要是收敛性)幂级数 c0+c1x+c2x2+...+cnxn+...=∑cnxn (n=0..∞) c0+c1(x-a)+c2(x-a)2+...+cn(x-a)n+...=∑cn(x-a)n (n=0..∞)它们的各项都是正整数幂的幂函数,其中c0,c1,c2,...cn...及a都是常数,这种级数称为幂级数.泰勒展开式(幂级数展开法):f(x)=f(a)+f"(a)/1!*(x-a)+f""(a)/2!*(x-a)2+...f(n)(a)/n!*(x-a)n+...实用幂级数：ex = 1+x+x2/2!+x3/3!+...+xn/n!+...ln(1+x)= x-x2/3+x3/3-...(-1)k-1*xk/k+...(|x|

这可不是幂函数， 不能这样展开

x->0e^(3x) = 1+ (3^1/1!)x +(3^2/2!)x^2+...+ (3^n/n!)x^n+...f(x)=x^2.e^(3x) =x^2+ (3^1/1!)x^3 +(3^2/2!)x^4+...+ (3^(n-2)/(n-2)!)x^n+...f^(n)(x) = (3^(n-2)/(n-2)!)n! + o(x^0)= n(n-1).3^(n-2) + o(x^0)f^(n)(0) =n(n-1).3^(n-2)

e^(3x) 展开是 x 的幂函数， x^2 就是 x 的幂函数， 故可直接乘到 e^(3x) 的展开式中。

你多半算错了，分母为x^2，则分子只需展到x^2

朋友，我可能认识你啊！

利用泰勒公式求极限2018年10月8日使用泰勒公式来进行化简求解,将相加减之后的函数转化成x^n来进行求

这是泰勒公式展开的前提条件，在展开点处有n阶导数。一般做泰勒展开的时候这个是默认的。其实这个条件是由泰勒展开的原理决定的，展开的数列无限趋近于原函数，所加的项数越多越准确，是加无穷多项的，所以必须默认有n阶导数。

一种做法做变量替换，令x--1=t，x=1+t，于是y=1/(1+t)^2=【--1/(1+t)】"=--【1--t+t^2--t^3+t^4--】‘=--【--1+2t--3t^2+4t^3--】=1--2t+3t^2--4t^2+...+(--1)^(n--1)nt^(n--1)+。。。=1--2(x--1)+3(x--1)^2.。。。+(--1)^(n--1)*n*(x--1)^(n--1)+。。。或者直接用y=1/(x--1+1)^2然后将x--1作为一个整体用上面的做法。

对於幂函数(1+x)^m,可以类比二项式定理,得到1+mx+m(m-1)/2!*x²+m(m-1)(m-2)/3!*x³+...+m(m-1)(m-2)...(m-n+1)/n!*x^n+o(x^n)结论很好记吧.这里m=1/2,然後x用x²去换,代进去就行了.

也不是任何一个函数，必须无限次可导的函数才行。可以写成幂级数 的原因是导数的定义导致的，如果导数存在，比如满足泰勒公式的余项无限小的条件

你是说o里面的那个吗，那个是皮亚诺余项，如果你泰勒公式了解的不多的话，其实可以不用写，因为这是一个无穷小量，在只是求普通的极限时没必要写，关键保证阶数上下一致就行。

泰勒公式求极限的条件就是泰勒公式成立的条件 应用泰勒公式求极限的情况为,过当所求的极限表达式中含有三角函数,幂函数,指数函数,对数函数等式子相加减,或者这些函数的复合函数作为分子或分母时用其他的求极限的方法不好求事,此时我们应该想到用泰勒展开式求极限.

设f(x)=a0/2+∑（ancosnx+bnsinnx) n=1...∞an=1/π*∫f(x)cosnxdx,bn=1/π∫f(x)sinnxdx 积分区间是-π到π因为sin(2N+1)xcosnxdx是奇函数， ∫sin(2N+1)xcosnxdx在-π到π积分为0即an=0因为2N+1不等于n时，∫sin(2n+1)xsinnxdx积分为0，2N+1等于n时∫sin(2n+1)xsinnxdx积分为π，所以原式=b(2N+1)*sin(2N+1)x=1/π*πsin（2N+1）x=sin(2N+1)x=原式即正弦函数的傅里叶级数展开就是本身

因为这里取一阶展开还不足以解决问题, 所以接下来就该尝试三阶展开了

幂函数：1/(1-x)=1+x+x^2+...+x^n+.. (|x|<1)指数函数：e^x = 1+x+x^2/2!+x^3/3!+……+x^n/n!+…… (-∞<x<∞) 对数函数：ln(1+x)=x-x^2/2+x^3/3-……+(-1)^(k-1)*(x^k)/k+.. (|x|<1) 三角函数：sin x = x-x^3/3!+x^5/5!-……+(-1)^(k-1)*(x^(2k-1))/(2k-1)!+……。(-∞<x<∞) cos x = 1-x^2/2!+x^4/4!-……+(-1)k*(x^(2k))/(2k)!+…… (-∞<x<∞) 反三角函数：arctan x = x - x^3/3 + x^5/5 -……(|x|≤1) arcsin x = x + 1/2*x^3/3 + 1*3/(2*4)*x^5/5 + ……(|x|<1)

1+C(a,1)x+C(a,2)x²+C(a,3)x³+.... =1+ax+a(a-1)/2! x²+a(a-1)(a-2)/3! x³+。。。。。

(1+x)^a的泰勒展开式1+C(a,1)x+C(a,2)x²+C(a,3)x³+....=1+ax+a(a-1)/2! x²+a(a-1)(a-2)/3! x³+。。。。。其中把a=-1代入上面公式即可。泰勒公式是将一个在x=x0处具有n阶导数的函数f(x)利用关于(x-x0)的n次多项式来逼近函数的方法。若函数f(x)在包含x0的某个闭区间[a,b]上具有n阶导数，且在开区间(a,b)上具有(n+1)阶导数，则对闭区间[a,b]上任意一点x，成立下式：其中，表示f(x)的n阶导数，等号后的多项式称为函数f(x)在x0处的泰勒展开式，剩余的Rn(x)是泰勒公式的余项，是(x-x0)n的高阶无穷小。数学中，泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数足够平滑的话，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值。泰勒公式还给出了这个多项式和实际的函数值之间的偏差。泰勒公式得名于英国数学家布鲁克·泰勒。他在1712年的一封信里首次叙述了这个公式，尽管1671年詹姆斯·格雷高里已经发现了它的特例。拉格朗日在1797年之前，最先提出了带有余项的现在形式的泰勒定理。泰勒级数（英语：Taylor series）用无限项连加式——级数来表示一个函数，这些相加的项由函数在某一点的导数求得。泰勒级数是以于1715年发表了泰勒公式的英国数学家布鲁克·泰勒（Sir Brook Taylor）的名字来命名的。通过函数在自变量零点的导数求得的泰勒级数又叫做迈克劳林级数，以苏格兰数学家科林·麦克劳林的名字命名。 泰勒级数在近似计算中有重要作用。

这是写在纸上的八个常见的泰勒公式，泰勒公式是等号而不是等价，这就使所有函数转化为幂函数，在利用高阶无穷小被低阶吸收的原理，可以秒杀大部分极限题。扩展资料：泰勒公式是将一个在x=x0处具有n阶导数的函数f(x)利用关于(x-x0)的n次多项式来逼近函数的方法。若函数f(x)在包含x0的某个闭区间[a,b]上具有n阶导数，且在开区间(a,b)上具有(n+1)阶导数，则对闭区间[a,b]上任意一点x，成立下式：其中，  表示f(x)的n阶导数，等号后的多项式称为函数f(x)在x0处的泰勒展开式，剩余的Rn(x)是泰勒公式的余项，是(x-x0)n的高阶无穷小。数学中，泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数足够平滑的话，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值。泰勒公式还给出了这个多项式和实际的函数值之间的偏差。泰勒公式得名于英国数学家布鲁克·泰勒。他在1712年的一封信里首次叙述了这个公式，尽管1671年詹姆斯·格雷高里已经发现了它的特例。拉格朗日在1797年之前，最先提出了带有余项的现在形式的泰勒定理。

不需要用和取低阶原则。_├展绞窃谝坏愦φ箍?,函数必须在那一点处n阶倒数存在，在x＝0处是麦克劳林展开式，一般在极限里面用的是麦克劳林展开公式,所以必须x趋于0的时候才能使用。_├照箍?(或者说麦克劳林公式)并不是唯一的，因为任何在对应阶求导后能够消失并只留下导数值的函数，都可以作为泰勒展开的备胎。可惜的是，幂函数与阶乘的组合，是我们已知的唯一具有上述性质的函数，因此，这种唯一性决定了泰勒展开能够且仅能够由幂函数表示。

就是泰勒公式成立的条件，只要泰勒公式可以展开，就可以用

y=1/x^2=-(1/x)"而1/x=1/(1+x-1)=σ(n从0到∞)(-1)^n(x-1)^n，|x-1|<1所以y=1/x^2展开成x-1的幂函数为：-【σ(n从0到∞)(-1)^n(x-1)^n】‘=-σ(n从1到∞)(-1)^n*n(x-1)^(n-1)

只能用泰勒公式求极限的情况：一般有两成多个函数的和或差的形式，并且自变x在求极限时，ⅹ→0，这样可把x的高次方在x→0时，用0代替。应用泰勒公式求极限的情况为，过当所求的极限表达式中含有三角函数，幂函数，指数函数，对数函数等式子相加减，或者这些函数的复合函数作为分子或分母时用其他的求极限的方法不好求事，此时我们应该想到用泰勒展开式求极限。这是在对函数进行局部线性化处理时常用的公式之一。从几何上看，它是用切线近似代替曲线。然而，这样的近似是比较粗糙的，而且只在点的附近才有近似意义。为了改善上述不足，使得近似替代更加精密，数学家们在柯西中值定理的基础上，推导出了泰勒中值定理（泰勒公式）。

Taylor展开在物理学应用！物理学上的一切原理 定理 公式 都是用泰勒展开做近似得到的简谐振动对应的势能具有x^2的形式，并且能在数学上精确求解。为了处理一般的情况，物理学首先关注平衡状态，可以认为是“不动”的情况。为了达到“动”的效果，会给平衡态加上一个微扰，使物体振动。在这种情况下，势场往往是复杂的，因此振动的具体形式很难求解。这时，Taylor展开就开始发挥威力了！理论力学中的小振动理论告诉我们，在平衡态附近将势能做Taylor展开为x的幂级数形式，零次项可取为0，一次项由于平衡态对应的极大/极小值也为0，从二次项开始不为零。如果精确到二级近似，则势能的形式与简谐运动完全相同，因此很容易求解。这种处理方法在量子力学、固体物理中有着广泛应用。反思一下这么处理的原因：首先，x^2形式的势能对应于简谐运动，能精确求解；其次，Taylor级数有较好的近似，x^2之后的项在一定条件下可以忽略。这保证了解的精确性。除了Taylor级数，经常用到的还有Fourier级数和Legendre多项式。原因也和上面提到的类似。有很多问题的数学模型是比较复杂的，这些复杂的问题往往很难甚至不可能求解，或是虽然能够求解，但是我们往往需要的是一个不那么精确但是效率很高的解法。而泰勒公式的强大之处就在于把一个复杂的函数近似成了一系列幂函数的简单线性叠加，于是就可以很方便地进行比较、估算规模、求导、积分、解微分方程等等操作。比较典型的例子的话……牛顿近似求根法（或者叫牛顿迭代法）可以看作泰勒公式的一种应用，并且很容易理解。所有非线性关系都可以用泰勒展开，丢掉高阶保留线性项作为近似。计算机的计算过程用的就是泰勒级数展开式。泰勒公式给出了f（x）的另一种形式，而从某种意义上说逻辑就是用等号右边的形式代替左边的形式从而推理下去的。数学上有一个习惯，就是把未知问题转化成一个已解决过的问题，然后就算解决了。泰勒级数形式的函数的行为就是一个计算机上的已解决得很好的问题。一旦把一个函数展开成泰勒级数的形式，它就成了一个已经解决过的问题，剩下的交给计算机就行了。理工科有一门课程叫做数值分析，这门课简直就是泰勒公式的应用。数值分析就是讲得各种数学式的求解，在计算机中，要求某一个问题的精确解是不可能的（因为计算机本质上只会逻辑运算），对于一个问题在不影响最后结果的情况下近似解是很可取的，泰勒公式就为这些计算提供了这样的方法，用简单式子逼近复杂式子，在误差范围内求出结果。

你没有记清楚吧

正弦函数 sinθ=y/r 余弦函数 cosθ=x/r 正切函数 tanθ=y/x 余切函数 cotθ=x/y 正割函数 secθ=r/x 余割函数 cscθ=r/y 以及两个不常用，已趋于被淘汰的函数： 正矢函数 versinθ =1-cosθ 余矢函数 vercosθ =1-sinθ 同角三角函数间的基本关系式： 平方关系： sin^2(α)+cos^2(α)=1 tan^2(α)+1=sec^2(α) cot^2(α)+1=csc^2(α) ·积的关系： sinα=tanα*cosα cosα=cotα*sinα tanα=sinα*secα cotα=cosα*cscα secα=tanα*cscα cscα=secα*cotα 倒数关系： tanα·cotα=1 sinα·cscα=1 cosα·secα=1 直角三角形ABC中, 角A的正弦值就等于角A的对边比斜边, 余弦等于角A的邻边比斜边 正切等于对边比邻边, 两角和与差的三角函数： cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ) 辅助角公式： Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中 sint=B/(A^2+B^2)^(1/2) cost=A/(A^2+B^2)^(1/2) tant=B/A Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α-t)，tant=A/B 倍角公式： sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα) cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α) tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)] 三倍角公式： sin(3α)=3sinα-4sin^3(α) cos(3α)=4cos^3(α)-3cosα 半角公式： sin(α/2)=±√((1-cosα)/2) cos(α/2)=±√((1+cosα)/2) tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα 降幂公式 sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2 cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=vercos(2α)/2 tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α)) 万能公式： sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)] cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)] tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)] 积化和差公式： sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)] cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)] cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)] sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)] 和差化积公式： sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] 其他： sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0 cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0 以及 sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2 tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0 部分高等内容 高等代数中三角函数的指数表示(由泰勒级数易得)： sinx=[e^(ix)-e^(-ix)]/(2i) cosx=[e^(ix)+e^(-ix)]/2 tanx=[e^(ix)-e^(-ix)]/[ie^(ix)+ie^(-ix)] 泰勒展开有无穷级数，e^z=exp(z)＝1＋z/1！＋z^2/2！＋z^3/3！＋z^4/4！＋…＋z^n/n！＋… 此时三角函数定义域已推广至整个复数集。 三角函数作为微分方程的解： 对于微分方程组 y=-y"";y=y""""，有通解Q,可证明 Q=Asinx+Bcosx，因此也可以从此出发定义三角函数。 补充：由相应的指数表示我们可以定义一种类似的函数——双曲函数，其拥有很多与三角函数的类似的性质，二者相映成趣。 特殊三角函数值 a 0` 30` 45` 60` 90` sina 0 1/2 √2/2 √3/2 1 cosa 1 √3/2 √2/2 1/2 0 tana 0 √3/3 1 √3 None cota None √3 1 √3/3 0 三角函数的计算 幂级数 c0+c1x+c2x2+...+cnxn+...=∑cnxn (n=0..∞) c0+c1(x-a)+c2(x-a)2+...+cn(x-a)n+...=∑cn(x-a)n (n=0..∞) 它们的各项都是正整数幂的幂函数, 其中c0,c1,c2,...cn...及a都是常数, 这种级数称为幂级数. 泰勒展开式(幂级数展开法): f(x)=f(a)+f"(a)/1!*(x-a)+f""(a)/2!*(x-a)2+...f(n)(a)/n!*(x-a)n+... 实用幂级数： ex = 1+x+x2/2!+x3/3!+...+xn/n!+... ln(1+x)= x-x2/3+x3/3-...(-1)k-1*xk/k+... (|x|<1) sin x = x-x3/3!+x5/5!-...(-1)k-1*x2k-1/(2k-1)!+... (-∞<x<∞) cos x = 1-x2/2!+x4/4!-...(-1)k*x2k/(2k)!+... (-∞<x<∞) arcsin x = x + 1/2*x3/3 + 1*3/(2*4)*x5/5 + ... (|x|<1) arccos x = π - ( x + 1/2*x3/3 + 1*3/(2*4)*x5/5 + ... ) (|x|<1) arctan x = x - x^3/3 + x^5/5 - ... (x≤1) sinh x = x+x3/3!+x5/5!+...(-1)k-1*x2k-1/(2k-1)!+... (-∞<x<∞) cosh x = 1+x2/2!+x4/4!+...(-1)k*x2k/(2k)!+... (-∞<x<∞) arcsinh x = x - 1/2*x3/3 + 1*3/(2*4)*x5/5 - ... (|x|<1) arctanh x = x + x^3/3 + x^5/5 + ... (|x|<1) 傅立叶级数(三角级数) f(x)=a0/2+∑(n=0..∞) (ancosnx+bnsinnx) a0=1/π∫(π..-π) (f(x))dx an=1/π∫(π..-π) (f(x)cosnx)dx bn=1/π∫(π..-π) (f(x)sinnx)dx特殊值sin30=1/2 sin45=二分之根号二 sin60=二分之根号三 sin90=1 sin120=二分之根号三 sin135=二分之根号二 sin150=1/2 sin180=0 cos30=二分之根号三 cos45=二分之根号二 cos60=1/2 cos90=0 cos120=-1/2 cos135=-二分之根号二 cos150=-二分之根号三 cos180=-1 tan30=三分之根号三 tan45=1 tan60=根号三

问得好！考虑问题，如此细致，可敬可佩！可喜可贺！.1、原则上来说，确确实实，是应该对最后的 x 求导，而不是对中间变量 u 求导；.2、由于函数展开之后的级数，级数求和之后的和函数，它们在极限的情况下，是严格相等的：A、不但是和的相等，也就是敛散性一致；B、两侧的变量代换也是相等的，也就是说，两边只要对应，连复合composite也是一致的。.3、如果对sin3x的x求导后的展开，可以证明，结果是一样的。对于见到的幂函数power function，就可以在展开式之后的级数中复合，也就是变量代换substituion。若展开式后的要求是幂级数 power series，譬如 sin(x - 3)，就不可以在 sinx 的展开式 expansion 中代入 x- 3 得到 x的幂级数，而是得到了泰勒级数 Taylor series。也就是说，我们平时所说的幂级数，其实就是麦克劳林级数 Mclaurin"sseries。.

泰勒公式分三部分，第一是f(x0),最后是误差项。中间项是一个n由1变大的通项式。课本里有当n=0的，可我怎么也算不出来当n=0的时候有那个式子。

泰勒规则（Taylor rule）是常用的简单货币政策规则之一，由斯坦福大学的约翰.泰勒于1993年根据美国货币政策的实际经验，而确定的一种短期利率调整的规则。泰勒认为保持实际短期利率稳定和中性政策立场，当产出缺口为正（负）和通胀缺口超过（低于）目标值时，应提高（降低）名义利率。扩展资料：货币政策规则的政策核心：在方法上遵循计划，不是随机地或偶然地采取行动，而是具有连续性和系统性。系统性是货币政策规则的中心内容。根据系统性的要求，货币当局必须建立系统性的反应机制，以考虑私人部门的预期行为，使这一时期的货币政策优化。泰勒多项式即泰勒级数。在数学中，泰勒级数（英语：Taylor series）用无限项连加式——级数来表示一个函数，这些相加的项由函数在某一点的导数求得。泰勒级数是以于1715年发表了泰勒公式的英国数学家布鲁克·泰勒（Sir Brook Taylor）的名字来命名的。通过函数在自变量零点的导数求得的泰勒级数又叫做迈克劳林级数，以苏格兰数学家科林·麦克劳林的名字命名。 泰勒级数在近似计算中有重要作用。定义：如果  在点x=x0具有任意阶导数，则幂级数称为  在点x0处的泰勒级数。在泰勒公式中，取x0=0，得到的级数。称为麦克劳林级数。函数f(x)的麦克劳林级数是x的幂级数，那么这种展开是唯一的，且必然与f(x)的麦克劳林级数一致。注意：如果f(x)的麦克劳林级数在点的某一邻域内收敛，它不一定收敛于f（x）。因此，如果f（x）在某处有各阶导数，则f（x）的麦克劳林级数虽然能算出来，但这个级数能否在某个区域内收敛，以及是否收敛于f（x）还需要进一步验证。一些函数无法被展开为泰勒级数，因为那里存在一些奇点。但是如果变量x是负指数幂的话，仍然可以将其展开为一个级数。例如 f(x)=e^(-1/x^2) ，就可以被展开为一个洛朗级数。货币政策规则的主要好处是，所制定的决策是用于各种不同的情况，而不是以各个个别案例为基础进行庙宇，这种决策对于预期具有积极的作用。

画图看看就知道了

如果将系统视为对输入信号实现特定处理的对象，则线性系统是指系统输出与输入之间关系满足叠加原理的对象。例如，记输入为u1时，输出为y1=L(u1)；输入为u2时，输出为y2=L(u2)，则叠加原理要求：输入为u=c1*u1+c2*u2时，输出为y=L(u)=L(c1*u1+c2*u2)=c1*L(u1)+c2*L(u2)，其中，c1，c2为常数。满足叠加原理的输入输出关系相对而言非常简单，容易分析，且方便对其设计控制系统。其两个重要性质在于：1）可以选择典型输入来做实验，研究系统特性。例如，单位脉冲函数，一般输入往往可以近似为单位脉冲函数的线性组合（积分）；正弦函数，可以用其傅立叶变换或者傅立叶级数近似一般函数；当然，还可以以输入变量的幂函数为典型函数，通过线性组合形成一般函数（泰勒展开）。2）输入输出关系的“斜率”，delta(y)/delta(u)，delta为变化量，在整个输入变化范围都恒定，所以能在整个范围内用同样的规律控制该系统，即为了补偿输出y的变化量delta(y)，在任何工作点都可以用同样大的控制补偿量delta(u)。因此，应引入各种方法或者从合适的角度去研究一个系统，尽量让其行为表现为线性。例如，为了使得动态系统也能表现为线性，引入拉普拉斯变换，将其输入输出关系表现为Y(s)=G(s)*U(s)。则可以削弱动态行为的影响。所以，线性控制系统应该是一门介绍常用的线性动态系统分析和设计的课程。通过该课程的学习，可以了解自动控制系统的基本工作原理，常用的分析和设计方法。

不可以，只有相乘关系的才可以用等价无穷小代换。

有

泰勒级数可以把非幂的超越函数（如sin/cos/log/exp...）变成多个幂函数相加的形式，进而在化简分式函数，求超越函数与幂函数结合的混合分式函数的极限有用。例如求SINX/X函数在x趋近0的极限，先用泰勒展开（x-1/3*x^ 3+...)利用等价无穷小把从-1/3*x之后项目削去就可以得到结果“1”（LZ如果保留了-1/3x^3结果出错误）。更加经典的：计算(1-cosx)/x^2在x趋近0时候，假设LZ不用泰勒式把分子“1-cosx”展开为（1/2*x^2+....）的话求出极限将会是错误的，LZ要把分式分开为(1/X^2)-(cosx/x^2)分别求极限，再相减就大错特错。因此用泰勒展开后，利用无穷小，省略去级数中比分母“x^2”的次数大的项目，保留<=次数2的项目（即是1/2X^2项目)从而使得——分子最高项次数等于分母最高次，进而直接消除X变量，得到常数1/2，也就是原式在x趋近0时候的极限了。上述为超越式（分子）与幂函数（分母）混合函数在X趋近0时候做法。如果是求它们在x趋近无穷大，也可用同样方法。

庞加莱的研究涉及数论、代数学、几何学、拓扑学等许多领域，最重要的工作是在函数论方面。他早期的主要工作是创立自守函数理论（1878）。他引进了富克斯群和克莱因群，构造了更一般的基本域。他利用后来以他的名字命名的级数构造了自守函数，并发现这种函数作为代数函数的单值化函数的效用。1883年，庞加莱提出了一般的单值化定理（1907年，他和克贝相互独立地给出完全的证明）。同年，他进而研究一般解析函数论，研究了整函数的亏格及其与泰勒展开的系数或函数绝对值的增长率之间的关系，它同皮卡定理构成后来的整函数及亚纯函数理论发展的基础。他又是多复变函数论的先驱者之一。庞加莱为了研究行星轨道和卫星轨道的稳定性问题，在1881～1886年发表的四篇关于微分方程所确定的积分曲线的论文中，创立了微分方程的定性理论。他研究了微分方程的解在四种类型的奇点（焦点、鞍点、结点、中心）附近的性态。他提出根据解对极限环（他求出的一种特殊的封闭曲线）的关系，可以判定解的稳定性。1885年，瑞典国王奥斯卡二世设立“n体问题”奖，引起庞加莱研究天体力学问题的兴趣。他以关于当三体中的两个的质量比另一个小得多时的三体问题的周期解的论文获奖，还证明了这种限制性三体问题的周期解的数目同连续统的势一样大。这以后，他又进行了大量天体力学研究，引进了渐进展开的方法，得出严格的天体力学计算技术。庞加莱这一工作究竟给N体问题的解决以及动力系统的研究带来巨大而无比深刻的影响：第一，庞加莱证明了对于N体问题在N大于二时，不存在统一的第一积分（uniform first integral）。也就是说即使是一般的三体问题，也不可能通过发现各种不变量最终降低问题的自由度， 把问题化简成更简单可以解出来的问题，这打破了当时很多人希望找到三体问题一般的显式解的幻想。在一百年后学习微分方程课的人大多在第二个星期就从老师那里知道绝大多数微分方程是没法找到定量的解的，但一般都能从定性理论中了解更多解的性质，甚至可以通过计算机“看到”解的形状行为。而在庞加莱的年代，大多数数学家更热衷于用代数或幂函数方法找到解，使用定性方法和几何方法来讨论微分方程就是起源于庞加莱对于N体问题的研究，这彻底改变人们研究微分方程的基本想法。第二，为了研究N体问题，庞加莱发明了许多全新的数学工具。例如他完整地提出了不变积分（invariant integrals) 的概念，并且使用它证明了著名的回归定理（recurrence theorem）。另一个例子是他为了研究周期解的行为，引进了第一回归映象（first return map）的概念，在后来的动力系统理论中被称为庞加莱映象。还有象特征指数（characteristic expontents），解对参数的连续依赖性（continuous dependence of solutions with respect to parameters）等等。所有这些都成为了现代微分方程和动力系统理论中的基本概念。第三，庞加莱通过研究所谓的渐近解（asymptotic solutions），同宿轨道 (homoclinic orbits) 和异宿轨道（hetroclinic orbits），发现即使在简单的三体问题中，在这样的同宿轨道或者异宿轨道附近，方程的解的状况会非常复杂，以至于对于给定的初始条件，几乎是没有办法预测当时间趋于无穷时，这个轨道的最终命运。事实上半个世纪后，后来的数学家们发现这种现象在一般动力系统中是常见的，他们把它叫做稳定流形（stable manifold）和不稳定流形（unstable manifold）正态相交（intersects transversally）所引起的同宿纠缠（homoclinic tangle），而这种对于轨道的长时间行为的不确定性，数学家和物理学家称之为混沌（chaos）。庞加莱的发现可以说是混沌理论的开创者。庞加莱还开创了动力系统理论，1895年证明了“庞加莱回归定理”。他在天体力学方面的另一重要结果是，在引力作用下，转动流体的形状除了已知的旋转椭球体、不等轴椭球体和环状体外，还有三种庞加莱梨形体存在。庞加莱对数学物理和偏微分方程也有贡献。他用括去法（sweepingout）证明了狄利克雷问题解的存在性，这一方法后来促使位势论有新发展。他还研究拉普拉斯算子的特征值问题，给出了特征值和特征函数存在性的严格证明。他在积分方程中引进复参数方法，促进了弗雷德霍姆理论的发展。庞加莱对现代数学最重要的影响是创立组合拓扑学。1892年他发表了第一篇论文，1895～1904年，他在六篇论文中建立了组合拓扑学。他还引进贝蒂数、挠系数和基本群等重要概念，创造流形的三角剖分、单纯复合形、重心重分、对偶复合形、复合形的关联系数矩阵等工具，借助它们推广欧拉多面体定理成为欧拉—庞加莱公式，并证明流形的同调对偶定理。庞加莱的思想预示了德·拉姆定理和霍奇理论。他还提出庞加莱猜想，在“庞加莱的最后定理”中，他把限制性三体问题的周期解的存在问题，归结为满足某种条件的平面连续变换不动点的存在问题。庞加莱在数论和代数学方面的工作不多，但很有影响。他的《有理数域上的代数几何学》一书开创了丢番图方程的有理解的研究。他定义了曲线的秩数，成为丢番图几何的重要研究对象。他在代数学中引进群代数并证明其分解定理。第一次引进代数中的左理想和右理想的概念。证明了李代数第三基本定理及坎贝尔—豪斯多夫公式。还引进李代数的包络代数，并对其基加以描述，证明了庞加莱—伯克霍夫—维特定理。庞加莱对经典物理学有深入而广泛的研究，对狭义相对论的创立有贡献。早于爱因斯坦，庞加莱在1897年发表了一篇文章“The Relativity of Space”〈空间的相对性〉，其中已有狭义相对论的影子。1898年，庞加莱又发表《时间的测量》一文，提出了光速不变性假设。1902年，庞加莱阐明了相对性原理。1904年，庞加莱将洛伦兹给出的两个惯性参照系之间的坐标变换关系命名为‘洛伦兹变换"。再后来，1905年6月，庞加莱先于爱因斯坦发表了相关论文：《论电子动力学》。 他从1899年开始研究电子理论，首先认识到洛伦茨变换构成群（1904年），第二年爱因斯坦在创立狭义相对论的论文中也得出相同结果。庞加莱的哲学著作《科学与假设》、《科学的价值》、《科学与方法》也有着重大的影响。他是约定主义哲学的代表人物，认为科学公理是方便的定义或约定，可以在一切可能的约定中进行选择，但需以实验事实为依据，避开一切矛盾。在数学上，他不同意罗素、希尔伯特的观点，反对无穷集合的概念，赞成潜在的无穷，认为数学最基本的直观概念是自然数，反对把自然数归结为集合论。这使他成为直觉主义的先驱者之一。1905年，匈牙利科学院颁发一项奖金为10000金克朗的鲍尔约奖。这个奖是要奖给在过去25年为数学发展做出过最大贡献的数学家。由于庞加莱从1879年就开始从事数学研究，并在数学的几乎整个领域都做出了杰出贡献，因而此项奖又非他莫属。

复变函数里的三角函数可以以复数作为自变量，实数中只能以实数作为自变量。

找到相同点，进行优先计算，比如分数之类的，就是找同分母先加减，若果是乘法分数，就找分母和分子能化简的优先计算。我建议你多做些数学题。因为数学只有做的多，才能累计经验。别人告诉你的经验你不去练习···

1立方米等于一方。一方是专业术语，也就是一立方。“方”作量词时，多指一立方米。立方米，读作lìfāngmǐ，它是体积单位，符号m3（(这个字符的Uniwxxxcode-style编码是33A5）），等于每边长为一米的一个立方体的容积，等于一立方米。立方米容量相当于一个长、宽、高都等于1米的立方体的体积。立方和方的区别平方是一个面，是面积单位。立方是立体的体积，是体积单位。就像长方形和长方体的区别一样。长方形是一个面，计算面积用平方，长方体是个立体图形，计算它的体积用立方。平方是指数是2的乘方，a的平方表示a×a，简写成a^2，也可写成a×a(a的一次方×a的一次方=a的2次方），4×4=16，8×8=64，平方符号为2即2的平方为4等于2×2=4。

一般指在物理、化学、数学等理工科中把复杂式子化为简单式子的过程。分式化简称为约分。整式化简包括移项，合并同类项，去括号等；化简后的式子一般为最简式子，项数减少。解方程，也可以看作是一个化简的过程。例如：1、3a+a=4a　2、2a+4=2（a+2）

1立方米=1米×1米×1米=10分米×10分米×10分米=1000立方分米=10^3立方分米