时序分析

我们用机器学习模型通过对历史数据来学习拟合，从而来对未来进行预测。这次分享我们主要以传统

主要从这三个方面来展开对时序分析

时序分析是一个比较有特点研究领域，这个领域始于对金融业，例如股市趋势预测、投资风险评估。后来有渗透到其他领域，对未来市场预测、动态定价、用电量预测以及在生物医药也有其一席之地。

数学定义一般都是比较简短、严谨和抽象的语言来描述一个概念。按时间序列排序的一组随机数变量.

表示一个随机事件的时间序列，简记为

在时序预测中，每一个数据也就是我们看到的数值其实都是一个随机变量的观察值，随机变量服从一定分布。其实我们看到值也可以称为观察值其实是时间随机序列的一个实现，或者叫做实例，所有我们看到历史数据就是随机时间序列一组样本。

其实我们通过分析来把握这个随机时序的性质

因为我们知道每一个点都是服从整体分布。只要我们通过数据得到这些随机时序的性质，也就是掌握随机变量的模样。其实就是一个数理统计过程，也有点类似机器学习中生成模型。

其实上面就简述了时间序列任务总体方案

有了整体方案，我们一步一步按照这些步骤去去做，然后把需要填填上就完成时序预测。

上面内容一看任务的关键步骤就是时间序列分析，那么什么是时间序列分析呢？一句话时间序列分析就是对时间序列进行统计分析。

那么具体分析方法有那些呢？主要有两种，分别是描述性时序分析和统计时序分析。

时间序列分析理论中有两种平稳性定义

所谓严就是说严平稳的所有统计性质都不随时间的变化而变化。这是严平稳性质也是严平稳的定义.

以后我们对于一些概念都可以尝试用数学语言描述一下，

也称协方差平稳(covariance stationary)、二阶平稳(second-order stationary)或宽平稳(wide-sense stationary)，弱平稳时间序列的一阶矩和二阶矩不随时间的变化而变化。

判断时间序列的平稳性有助随后选择模型，那么的平稳性是时间序列一个重要性质，可以用来给时间序列进行分类。

我们会谈谈严平稳和弱平稳之间的关系，满足严平稳的序列具有弱平稳性，但是严平稳并不能全部涵盖弱平稳。为什么说严平稳并不能全部涵盖弱平稳?这是因为柯西分布是严平稳时间序列，但是不存在二阶矩或一阶矩，所以柯西分布就是不满足弱平稳的严平稳。

当时间序列为正态分布序列，则由二阶矩描述了正态分布的所有统计性质，此时弱平稳的正态序列也是严平稳。

因为在实际中多数时间序列都是弱平稳，所以今天我们也要重点谈谈弱平稳。

如果时间序列 的二阶矩有限

我们看随着时间变化，时间序列的均值是一个常数。

方差同均值一样也是常数，方差是二阶矩

协方差也是二阶矩，不同时刻的点是否有规律性，因为弱平稳的协方差或者准确地说自协方差是一个时间间隔的函数。当时间间隔协方差是相当的，当间隔不相同的时候对应协方差就不相同，当 s 变化 就会变化

其实我们就是在找 和 之间的关系，这里用 s 表示不同的时间间隔，例如

那么也就是说弱平稳时间序列的自协方差只与时滞 s 有关，与时间的起始位置 t 无关。

自协方差 简记为仅与时滞s 相关的一元函数形式 当 时， 就等同于方差

平稳时间序列的自相关系数也可以简记为与时滞 s 相关的一元函数形式

如果一个模型生成时间序列是平稳的，那么就说明该模型是平稳，否则就是非平稳的

这里有一段话大家可以理解一下，AR、MA和ARMA模型都是常用的平稳序列的拟合模型，但并非所有的AR、MA和ARMA模型都是平稳的。

好我们回到线性差分方程，我们重点说一下差分方程两种表达方式，其中我们先说一下什么是滞后算子。

假设已知时间序列 和 有如下关系

其实就是我们不用 来表示 是的y 而表达成为 就是我们在程序中看到 lag 也有用 B 表示的，以此类推

所以用滞后算子表达出多项式

典型的 p 阶线性差分方程为

今天我们主要说时间序列的一些推导公式，之前看些资料，其中关于时间序列中常用AR模型、MA模型背后推导说的比较深，不易于理解。最近看了一些资料，适当地总结一些。

时间序列虽然简单、但是要是想真正弄懂也需要花费一些功夫，将序列分解为一下形式。

这通过加法模型将这些项来表示时间序列，其中趋势项和季节项我们是可以通过模型来拟合，因为他们都是有规律可循的，需要我们能够通过模型学出来

GPD 就是一个趋势模型，而且是随着时间而不断成指数增长。

超市的人流，具有周期性，每周的人流在周末人流要相对于周一到周五人要多一些。每天人流下午要相对于上午人流要多一些。

那么也就是说明我们对 ,我们之前讨论过时间序列是一个随机过程，也就是 的联合分布，通常我们研究一个联合分布是一个比较复制的问题。

这是我们在统计模型时候，最早的NPL 分析用到链式法则来表示联合概率一种

学习过概都知道条件概率，时序每一个时刻随机变量都是和他之前的随机时间点的概率是相关。这就是联合概率，要计算这个联合概率是需要相当大的计算量。

当 a 小于 1 说明模型是稳定，反之说明模型是不稳定，为什么会有这样结论。我们可以结合小球的落地原理来项这个问题。

其实我们非齐次项差分方程

下面是差分方程通解

其中 B 也即是滞后算子L,这里用 B 来表示，这里还是再演示一下吧

接下来计算特征解，提取左边

可以表示无限变量只和形式，这个大家应该不会陌生，而且 类似 ，所以替换替换等比数列之和。

重点相关性研究 和 可以用 计算出来。AR序列相关性是随着负指数衰减，MA(q) 模型是有限相关性，

有限时间序列相关

根据均方差最小原则，来进行预测

也就是我们讨论的AR模型，那么AR模型就可以用于时间序列分析

这样时间序列步长间隔相同间分布是一致，这样时间序列才是平稳的时间序列。线性filter

这是研究时间序列另一种模型，通过频域来研究时间序列