散度定理的意义是什么

曲面积分 散度定理 求流量
Flux integral:find the flux of the following vector fields across the given surface.Assume the vectors normal to the surface pount outward.
F=r / |r|,r=.across the sphere of radius a centered at the origin.
找出穿过上述向量场的流量Flux.4π(a^2)
我用了两种方法计算
用球面参数化的曲面积分,即F·n的二重积分
散度公式,对F求散度后,三重体积积分
两种方法的答案不同
1.第一种方法得出了正确答案 4π(a^2)

2.第二种方法得到了[8π(a^2)]/3

1.本题是否可以使用这两种方法?

2.如果可以用两种方法为何答案不同?计算错误?请计算以证实

3.如果有计算错误,或任何思路上的错误,请给出正确答案

矢量分析证明
怎样用散度定理以及斯托克斯定理证明"梯度的旋度等于0"
(不能仅仅限于直角坐标系,用以上两个公式在普遍的意思下证明)

高数散度定理的一个问题
Let the surface n be the paraboloid z = x² + y² capped by the disk x² + y² ≤ 1 in the plane z = 1.Verify the Divergence Theorem for F(x,y,z)= 2x i - yz j + z² k.
大意猜也能猜出来,关键是我2个方法做出来不一样.只要用 散度定理 把答案算出来就行了.我已经算的蛋碎了.
2∫S2∫ F · N dS 就是这个东西.