奇偶性,非奇非偶函数
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小事一桩来的 共回答了21个问题
|采纳率81%- -f(x)=f(-x)奇 f(x)=f(-x)偶,两者不是就是非奇非偶函数
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∴2x≠[π/2]+kπ,(k∈Z),
∴x≠[π/4]+[kπ/2],(k∈Z),
∴f(x)的定义域{x|x≠[π/4]+[kπ/2],(k∈Z)}
∵f(x)=
2cos4x−3cos2x+1
cos2x
=
(2cos2x−1)(cos2x−1)
2cos2x−1
=cos2x-1
=-sin2x,
∴f(-x)=-sin2(-x)=-sin2x=f(x),
∴f(x)是偶函数.
显然-sin2x∈[-1,0],
又∵x≠[kπ/2]+[π/4],k∈Z,
∴-sin2x≠-[1/2].
∴原函数的值域为{y|-1≤y<-[1/2]或-[1/2]<y≤0}.点评:
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则可得:
x>2,
而f(x)=x^2-2x在(2,∞)为典型单递增函数.
那么,a>b>0,1/a>1/b>0
则f(b)>f(a)>0
有:
F(b)=1/a,即:b^2-2b=1/a,即,ab^2-2ab=1
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联立求得:a=b
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f(-x)=f(x)
是偶函数
图像是这样的.
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函数是中学数学的重要的基本概念之一,它与代数式、方程、不等式、三角函数、微积分等内容有着密切的联系,应用十分广泛.函数的基础性强、概念多,其中函数的定义域、值域、奇偶性等是难点之一,是高考的常见的题型.下面就函数的值域的求法,举例说如下.
一.观察法
通过对函数定义域、性质的观察,结合函数的解析式,求得函数的值域.
例1求函数y=3+√(2-3x) 的值域.
点拨:根据算术平方根的性质,先求出√(2-3x) 的值域.
由算术平方根的性质,知√(2-3x)≥0,
故3+√(2-3x)≥3.
∴函数的知域为 .
点评:算术平方根具有双重非负性,即:(1)被开方数的非负性,(2)值的非负性.
本题通过直接观察算术平方根的性质而获解,这种方法对于一类函数的值域的求法,简捷明了,不失为一种巧法.
练习:求函数y=[x](0≤x≤5)的值域.(答案:值域为:{0,1,2,3,4,5})
二.反函数法
当函数的反函数存在时,则其反函数的定义域就是原函数的值域.
例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域.
点拨:先求出原函数的反函数,再求出其定义域.
显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1-2y)/(y-1),其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为{y∣y≠1,y∈R}.
点评:利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数.这种方法体现逆向思维的思想,是数学解题的重要方法之一.
练习:求函数y=(10x+10-x)/(10x-10-x)的值域.(答案:函数的值域为{y∣y-1或y1})
三.配方法
当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域
例3:求函数y=√(-x2+x+2)的值域.
点拨:将被开方数配方成完全平方数,利用二次函数的最值求.
由-x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[-1,2].此时-x2+x+2=-(x-1/2)2+9/4∈[0,9/4]
∴0≤√-x2+x+2≤3/2,函数的值域是[0,3/2]
点评:求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用.配方法是数学的一种重要的思想方法.
练习:求函数y=2x-5+√15-4x的值域.(答案:值域为{y∣y≤3})
四.判别式法
若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域.
例4求函数y=(2x2-2x+3)/(x2-x+1)的值域.
点拨:将原函数转化为自变量的二次方程,应用二次方程根的判别式,从而确定出原函数的值域.
将上式化为(y-2)x2-(y-2)x+(y-3)=0 (*)
当y≠2时,由Δ=(y-2)2-4(y-2)x+(y-3)≥0,解得:2<x≤10/3
当y=2时,方程(*)无解.∴函数的值域为2<y≤10/3.
点评:把函数关系化为二次方程F(x,y)=0,由于方程有实数解,故其判别式为非负数,可求得函数的值域.常适应于形如y=(ax2+bx+c)/(dx2+ex+f)及y=ax+b±√(cx2+dx+e)的函数.
练习:求函数y=1/(2x2-3x+1)的值域.(答案:值域为y≤-8或y0).
五.最值法
对于闭区间[a,b]上的连续函数y=f(x),可求出y=f(x)在区间[a,b]内的极值,并与边界值f(a).f(b)作比较,求出函数的最值,可得到函数y的值域.
例5已知(2x2-x-3)/(3x2+x+1)≤0,且满足x+y=1,求函数z=xy+3x的值域.
点拨:根据已知条件求出自变量x的取值范围,将目标函数消元、配方,可求出函数的值域.
∵3x2+x+1>0,上述分式不等式与不等式2x2-x-3≤0同解,解之得-1≤x≤3/2,又x+y=1,将y=1-x代入z=xy+3x中,得z=-x2+4x(-1≤x≤3/2),
∴z=-(x-2)2+4且x∈[-1,3/2],函数z在区间[-1,3/2]上连续,故只需比较边界的大小.
当x=-1时,z=-5;当x=3/2时,z=15/4.
∴函数z的值域为{z∣-5≤z≤15/4}.
点评:本题是将函数的值域问题转化为函数的最值.对开区间,若存在最值,也可通过求出最值而获得函数的值域.
练习:若√x为实数,则函数y=x2+3x-5的值域为 ( )
A.(-∞,+∞) B.[-7,+∞] C.[0,+∞) D.[-5,+∞)
(答案:D).
六.图象法
通过观察函数的图象,运用数形结合的方法得到函数的值域.
例6求函数y=∣x+1∣+√(x-2)2 的值域.
点拨:根据绝对值的意义,去掉符号后转化为分段函数,作出其图象.
原函数化为 -2x+1 (x≤1)
y= 3 (-1x≤2)
2x-1(x2)
它的图象如图所示.
显然函数值y≥3,所以,函数值域[3,+∞].
点评:分段函数应注意函数的端点.利用函数的图象
求函数的值域,体现数形结合的思想.是解决问题的重要方法.
求函数值域的方法较多,还适应通过不等式法、函数的单调性、换元法等方法求函数的值域.
七.单调法
利用函数在给定的区间上的单调递增或单调递减求值域.
例1求函数y=4x-√1-3x(x≤1/3)的值域.
点拨:由已知的函数是复合函数,即g(x)= -√1-3x,y=f(x)+g(x),其定义域为x≤1/3,在此区间内分别讨论函数的增减性,从而确定函数的值域.
设f(x)=4x,g(x)= -√1-3x ,(x≤1/3),易知它们在定义域内为增函数,从而y=f(x)+g(x)= 4x-√1-3x
在定义域为x≤1/3上也为增函数,而且y≤f(1/3)+g(1/3)=4/3,因此,所求的函数值域为{y|y≤4/3}.
点评:利用单调性求函数的值域,是在函数给定的区间上,或求出函数隐含的区间,结合函数的增减性,求出其函数在区间端点的函数值,进而可确定函数的值域.
练习:求函数y=3+√4-x 的值域.(答案:{y|y≥3})
八.换元法
以新变量代替函数式中的某些量,使函数转化为以新变量为自变量的函数形式,进而求出值域.
例2求函数y=x-3+√2x+1 的值域.
点拨:通过换元将原函数转化为某个变量的二次函数,利用二次函数的最值,确定原函数的值域.
设t=√2x+1 (t≥0),则
x=1/2(t2-1).
于是 y=1/2(t2-1)-3+t=1/2(t+1)2-4≥1/2-4=-7/2.
所以,原函数的值域为{y|y≥-7/2}.
点评:将无理函数或二次型的函数转化为二次函数,通过求出二次函数的最值,从而确定出原函数的值域.这种解题的方法体现换元、化归的思想方法.它的应用十分广泛.
练习:求函数y=√x-1 –x的值域.(答案:{y|y≤-3/4}
九.构造法
根据函数的结构特征,赋予几何图形,数形结合.
例3求函数y=√x2+4x+5+√x2-4x+8 的值域.
点拨:将原函数变形,构造平面图形,由几何知识,确定出函数的值域.
原函数变形为f(x)=√(x+2)2+1+√(2-x)2+22
作一个长为4、宽为3的矩形ABCD,再切割成12个单位
正方形.设HK=x,则ek=2-x,KF=2+x,AK=√(2-x)2+22 ,
KC=√(x+2)2+1 .
由三角形三边关系知,AK+KC≥AC=5.当A、K、C三点共
线时取等号.
∴原函数的知域为{y|y≥5}.
点评:对于形如函数y=√x2+a ±√(c-x)2+b(a,b,c均为正数),均可通过构造几何图形,由几何的性质,直观明了、方便简捷.这是数形结合思想的体现.
练习:求函数y=√x2+9 +√(5-x)2+4的值域.(答案:{y|y≥5√2})
十.比例法
对于一类含条件的函数的值域的求法,可将条件转化为比例式,代入目标函数,进而求出原函数的值域.
例4已知x,y∈R,且3x-4y-5=0,求函数z=x2+y2的值域.
点拨:将条件方程3x-4y-5=0转化为比例式,设置参数,代入原函数.
由3x-4y-5=0变形得,(x3)/4=(y-1)/3=k(k为参数)
∴x=3+4k,y=1+3k,
∴z=x2+y2=(3+4k)2+(14+3k)2=(5k+3)2+1.
当k=-3/5时,x=3/5,y=-4/5时,zmin=1.
函数的值域为{z|z≥1}.
点评:本题是多元函数关系,一般含有约束条件,将条件转化为比例式,通过设参数,可将原函数转化为单函数的形式,这种解题方法体现诸多思想方法,具有一定的创新意识.
练习:已知x,y∈R,且满足4x-y=0,求函数f(x,y)=2x2-y的值域.(答案:{f(x,y)|f(x,y)≥1})
十一.利用多项式的除法
例5求函数y=(3x+2)/(x+1)的值域.
点拨:将原分式函数,利用长除法转化为一个整式与一个分式之和.
y=(3x+2)/(x+1)=3-1/(x+1).
∵1/(x+1)≠0,故y≠3.
∴函数y的值域为y≠3的一切实数.
点评:对于形如y=(ax+b)/(cx+d)的形式的函数均可利用这种方法.
练习:求函数y=(x2-1)/(x-1)(x≠1)的值域.(答案:y≠2)
十二.不等式法
例6求函数Y=3x/(3x+1)的值域.
点拨:先求出原函数的反函数,根据自变量的取值范围,构造不等式.
易求得原函数的反函数为y=log3[x/(1-x)],
由对数函数的定义知 x/(1-x)>0
1-x≠0
解得,0<x1.
∴函数的值域(0,1).
点评:考查函数自变量的取值范围构造不等式(组)或构造重要不等式,求出函数定义域,进而求值域.不等式法是重要的解题工具,它的应用非常广泛.是数学解题的方法之一.
以下供练习选用:求下列函数的值域
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- 已知函数f(x)=cos²(4/π+x)—sin²(4/π+x),x∈R,求函数最小正周期及奇偶性
已知函数f(x)=cos²(4/π+x)—sin²(4/π+x),x∈R,求函数最小正周期及奇偶性
moncter1年前1
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苏27rr0029 共回答了15个问题
|采纳率93.3%你的题目是不是:已知函数f(x)=cos²(π/4+x)—sin²(π/4+x),x∈R,求函数最小正周期及奇偶性
根据二倍角余弦公式,f(x)=cos(2x+π/2),在根据诱导公式知:f(x)=-sin2x,所以最小正周期为π,奇函数1年前查看全部
- f(x)=sin x+cos x的奇偶性,
小建工1年前3
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白衣漂漂 共回答了20个问题
|采纳率95%y=sinx+cosx
=√2sin(x+π/4)
对称轴x=±π/4
故非奇非偶1年前查看全部
- 高中《函数的性质》中的一道题目已知函数f(x)=2x/(x+1) 求函数的定义域、值域 判断奇偶性 判断单调性 作出其图
高中《函数的性质》中的一道题目
已知函数f(x)=2x/(x+1)
求函数的定义域、值域
判断奇偶性
判断单调性
作出其图像谁的血液在颤抖1年前2
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wbljfyc 共回答了10个问题
|采纳率90%定义域:x+1不等于0,x不等于-1
值域:f(x)=2x/(x+1)=(2x+2-2)/(x+1)=2-2/(x+1),故其值域为(-∞,+∞)
非奇非偶:f(-x)=2-2/(-x+1),既不等f(x),又不等于-f(x).
单调性:当x>-1时,f(x)为增函数;
当x1年前查看全部
- 已知函数f(x)=lg(1-x)-lg(1+x)求 奇偶性 单调性
已知函数f(x)=lg(1-x)-lg(1+x)求 奇偶性 单调性
已知函数f(x)=lg(1-x)-lg(1+x)求 (1)奇偶性 (2)单调性(3)f(a)+f(b)=f((a+b)/(1+ab)
具体过程ltzhyl1年前2
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509血 共回答了21个问题
|采纳率90.5%1-x>0且1+x>0;
定义域:x∈(-1,1)
f(x)=lg(1-x)-lg(1+x)=lg[(1-x)/(1+x)]
(1)f(-x)=lg[(1+x)/(1-x)]=-lg[(1-x)/(1+x)]=-f(x)
为奇函数!
(2)设-11年前查看全部
- 判断下列各函数的奇偶性:(1)f(x)=6-x的平方;(2)f(x)=3x-2/x;(3)f(x)=x的平方-2x;(4
判断下列各函数的奇偶性:(1)f(x)=6-x的平方;(2)f(x)=3x-2/x;(3)f(x)=x的平方-2x;(4)f(x)=x的立方+3x
wanglu5201年前0
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共回答了个问题
|采纳率
- 判断下列函数的奇偶性.1.f(X)=x的四次方+x 2.f(x)=x-1分之x³-x²
判断下列函数的奇偶性.1.f(X)=x的四次方+x 2.f(x)=x-1分之x³-x²
广州靓仔0071年前1
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皮皮鲁之鲁 共回答了23个问题
|采纳率87%(X)=x的四次方+x f(x)=x-1分之x³-x² 非奇非欧1年前查看全部
- 教教Y=cos(2X+π/3)+1 x∈R 求它的值域,正负值,零点,周期性,奇偶性 最好把过程写下 还有sinX>1/
教教
Y=cos(2X+π/3)+1 x∈R 求它的值域,正负值,零点,周期性,奇偶性 最好把过程写下 还有sinX>1/2 ,则X的范围?cosX<(根号下2)/2.则X的范围?sinX=X,咴涩调1年前1
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thielemann 共回答了18个问题
|采纳率94.4%值域:01年前查看全部
- 已知函数f(x)=x+a/x(x≠0,a∈R) (1)判断函数f(x)的奇偶性.(2)若f(x)在区间[2,+∞)是增函
已知函数f(x)=x+a/x(x≠0,a∈R) (1)判断函数f(x)的奇偶性.(2)若f(x)在区间[2,+∞)是增函数,求函数a的取值范围
春山日日暄1年前1
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xk8239784 共回答了16个问题
|采纳率100%老师给你批错了1年前查看全部
- 为什么二重积分会等0,是因为奇偶性吗?
zz阿东1年前1
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寻根问底 共回答了21个问题
|采纳率76.2%奇函数的积分会是0.即使不是奇函数,积分仍有可能是0..
被积函数有正有负的函数,其积分值就有可能是0.1年前查看全部
- y=tanx+sinx/x的奇偶性如何计算出来?
谍海奇才00241年前1
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sdsdsdklkl121 共回答了15个问题
|采纳率86.7%假设f(x)=tanx+sinx/x
由奇偶函数的定义形式:
奇函数:f(-x)=-f(x)
偶函数:f(-x)=f(x)
那么f(-x)=tan(-x)+sin(-x)/(-x)=-tanx+-sinx/(-x)=-tanx+sinx/x,
和定义形式比较,既不是奇函数也不是偶函数.1年前查看全部
- 判断函数的奇偶性 1.f(x)=x-1/x的三次方-x平方 2.f(x)={x²+2 x>0 {0 x=0 {
判断函数的奇偶性 1.f(x)=x-1/x的三次方-x平方 2.f(x)={x²+2 x>0 {0 x=0 { -x²-2 x<0
3.已知f(x)是定义在[-1,1]上的偶函数,且当x属于[-1,0]时,f(x)=2x,求函数f(x)的表达式非常专用qq1年前2
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gdgzyt 共回答了17个问题
|采纳率94.1%1.没有奇偶性2没看懂
3.X属于[0,1],f(x)=f(-x)-2x
即x属于[-1,0],f(x)=2x;x属于[0,1],f(x)=-2x1年前查看全部
- f(X)+loga(x+1) g(x)=log(x-1) 求f(x) +g(x)定义域 求f(x) +g(x)奇偶性 解
f(X)+loga(x+1) g(x)=log(x-1) 求f(x) +g(x)定义域 求f(x) +g(x)奇偶性 解f(x) 小于等于g(x)
haizhou3331年前1
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冰山冷蝴蝶 共回答了17个问题
|采纳率82.4%x+1>0→x>-1;
x-1>0→x>1;
所以f(x) +g(x)定义域为(1,+∞)
由定义域的不对称性可知f(x) +g(x)非奇非偶;
f(x) 小于等于g(x)
→loga(x+1)≤log(x-1)
由于x+1>x-1,故只有当0<a<1时,才有意义,解为x>1
当a>1时解为空集1年前查看全部
- sinx,cosx,它们的奇偶性跟具体的象限有什么关系呢?比如说,sinx在一四象限都是偶数吗?
sinx,cosx,它们的奇偶性跟具体的象限有什么关系呢?比如说,sinx在一四象限都是偶数吗?
还有,tanx,arctanx,他们的定义域值域范围,还有图像~~我都忘了,麻烦了解这的同学,能帮我写的详细点,就是关于三角函数这些基本的理论`,真的谢谢了~如果有需要我还可以加分~~呵呵,真的麻烦你们了不发光的羽毛1年前1
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我不信还找不到ID 共回答了16个问题
|采纳率100%奇偶性跟象限没关系,sinX是奇,关于原点对称,cosX是偶,关于Y轴对称.只有平移它们的时候才会影响奇偶性1年前查看全部
- 函数奇偶性.一些题目你们进来看看
函数奇偶性.一些题目你们进来看看
1.f(x)=-2x+5 2.f(x)=X*4+X*2-1 .我解出来是奇函数对吗?还有我的脑子转得不是那么快.教我定义域怎么看啊?还有奇函数 偶函数 都是怎么算的?有点乱乱的.一年一包烟1年前4
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吃圆粉还是扁粉 共回答了23个问题
|采纳率82.6%答:
奇函数需要满足:f(-x)=-f(x),若f(0)存在,则f(0)=0
偶函数要满足:f(-x)=f(x)
第1个式子:f(-x)=2x+5,既不是奇函数又不是偶函数.
第2个式子:f(-x)=x^4+x^2-1=f(x),所以是偶函数.
定义域需要满足以下情况:
1.分母不为0;
2.偶次根号里面的数要为非负数.
3.对数函数里底数和真数都要大于0,而且底数不为1.
若没有出现以上情况,无特殊说明的话定义域为全体实数.1年前查看全部
- 我就是想问下 如果已知一个函数的奇偶性 解题时能不能将数字代入 例如 一个函数已知为奇函数 解题时能不能直接说它f(1)
我就是想问下 如果已知一个函数的奇偶性 解题时能不能将数字代入 例如 一个函数已知为奇函数 解题时能不能直接说它f(1)=-f(-1)?这样做会不会被扣分?
xiaomeng70611年前1
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yang2375 共回答了13个问题
|采纳率84.6%不会扣分,本身奇函数是已经条件,就可以说f(1)=-f(-1).另外还要具体问题具体分析,看你的题目是求或者证明什么的.1年前查看全部
- 利用函数的奇偶性求∫上限π/3,下限-π/3 sin2x的绝对值 dx
zhenqiaos1年前1
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海南yy堂 共回答了20个问题
|采纳率90%设f(x) = x² sin(3x)f(-x) = (-x)² sin[3(-x)]= x² sin[-(3x)]= x² [-sin(3x)]= -x² sin(3x)= -f(x)∴ f(x) 为奇函数,根据定积分性质,∫[-π,π] x² sin3x dx = 01年前查看全部
- 数学;根据奇偶性求解析式模式三角符号那里是4的x方加1分之2x
wangheqiu7211年前2
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ff痴人 共回答了19个问题
|采纳率78.9%(1)你令-10了
把-x代入
得f(-x)=-2x/(4^(-x)+1) =-f(x)
f(x)=2x/(4^(-x)+1) ^是指数符号
(2)令x0
那么f(-x)=x^2+2x=-f(x)
f(x)=-x^2-2x
方法主要就是假设x是你要求的那个范围
然后把-x代入原来那式子中,根据奇偶性得出f(x)1年前查看全部
- 关于利用奇偶性、对称性计算重积分的讨论 2倍 或0
关于利用奇偶性、对称性计算重积分的讨论 2倍 或0
二重 三重black_berry1年前1
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wads911 共回答了14个问题
|采纳率92.9%被积分区域关于X对称时 如果该函数关于X为奇函数时 为0;为偶函数时 为2倍; 对Y 同理;被积分区域关于Y=X对称时 可以交换X,Y 积分大小不变1年前查看全部
- 设f(x)等于x的平方减2乘以x的绝对值减1 (1)证明f(x)的奇偶性(2)写出f(x)的单调区
灵魂的刺客1年前2
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q829729 共回答了17个问题
|采纳率82.4%f(x)=x²-2|x|-1
(1)f(-x)=(-x)²-2|-x|-1=x²-2|x|-1=f(x)
函数为偶函数
(2)x≥0
f(x)=x²-2x-1 对称轴x=-(-2)/2=1
x∈[0,1]时f(x)单减
x∈(1,+∞)f(x)单增
x<0
f(x)=x²+2x-1对称轴x=-2/2=-1
x∈[-1,0)f(x)单增
x∈(-∞,-1)f(x)单减
综上单增区间[-1,0)(1,+∞)
单减区间(-∞,-1)[0,1]1年前查看全部
- 已知函数f(x)=lg[x+√(x²+1)] (1).探究函数的下列性质:定义域、奇偶性、单调性;
已知函数f(x)=lg[x+√(x²+1)] (1).探究函数的下列性质:定义域、奇偶性、单调性;
战ww神女1年前1
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蓝色的雨inheart 共回答了22个问题
|采纳率90.9%x^2+1>|x|^2
x可以取任意实数
f(-x)=-f(x) f(x)为奇函数
f(x)在R上单调递增1年前查看全部
- 函数Y=根号2-x的平方的奇偶性(要有过程)谢谢了!
kjycn1年前1
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zll541 共回答了16个问题
|采纳率87.5%令f(x)=√(2-x^2)
定义域:(2-x^2)>=0,-√21年前查看全部
- 二重积分奇偶性对称性例题∫∫(y^2+3 x-6y+9)d¤ 其中D:x^2+y^2≤R^2
阿猩猩1年前1
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1981dy 共回答了19个问题
|采纳率100%∫∫(y^2+3 x-6y+9)dx=∫∫(y²+9)dxdy+∫∫3xdxdy-∫∫6ydxdy
圆关于x y对称,所以只有第一项有效.1年前查看全部
- 求该函数的奇偶性.拜托了
求该函数的奇偶性.拜托了
深蓝惆怅1年前1
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无奈人 共回答了12个问题
|采纳率66.7%我们先来考虑定义域:有:1-x^2>=0,解得定义域为-11年前查看全部
- 求函数fx=1-2/(3^x+1)的奇偶性
roty_l1年前0
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共回答了个问题
|采纳率
- 判断f(x)={ x^2+x-2,x0.的奇偶性.
ryw5331年前0
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共回答了个问题
|采纳率
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