设f(x)=ex+e−x2,g(x)=ex−e−x2,计算f(1)g(3)+g(1)f(3)-g(4)=______,f

jimkong09252022-10-04 11:39:541条回答

设f(x)=
ex+e−x
2
,g(x)=
ex−e−x
2
,计算f(1)g(3)+g(1)f(3)-g(4)=______,f(3)g(2)+g(3)f(2)-g(5)=______,并由此概括出关于函数f(x)和g(x)的一个等式,使上面的两个等式是你写出的等式的特例,这个等式是______.

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冰少1212 共回答了20个问题 | 采纳率90%
解题思路:由函数的解析式计算f(1)g(3)+g(1)f(3)-g(4)=0,f(3)g(2)+g(3)f(2)-g(5)=0,分析两个式子中自变量之间的关系,归纳推理可得答案.

∵f(x)=
ex+e−x
2,g(x)=
ex−e−x
2,
∴f(1)g(3)+g(1)f(3)-g(4)=
e+e−1
2•
e3−e−3
2+
e−e−1
2•
e3+e−3
2-
e4−e−4
2=
e4−e−2+e2−e−4
4+
e4+e−2−e2−e−4
4-
e4−e−4
2=0,
同理求得 f(3)g(2)+g(3)f(2)-g(5)=0,

归纳可得:f(a)g(b)+f(b)g(a)-g(a+b)=0,
故答案为:0、0、f(a)g(b)+f(b)g(a)-g(a+b)=0.

点评:
本题考点: 指数函数综合题.

考点点评: 本题考查的知识点是归纳推理,其中根据已知分析出等式中变量之间的关系规律是解答的关键,属于中档题.

1年前

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关于函数f(x)=ex+e−x2(x∈R),下列说法不正确 的是(  )
关于函数f(x)=
ex+e−x
2
(x∈R)
,下列说法不正确 的是(  )
A.f(x)的图象关于y轴对称
B.f(x)在(0,+∞)上单调递增
C.f(x)存在最小值
D.f(x)存在零点
醴陵8881年前1
把663赐给我8 共回答了18个问题 | 采纳率88.9%
解题思路:对于A:从函数的奇偶性方面考虑;对于B:先对函数f(x)求导,根据导函数大于0时原函数单调递增,导函数小于0时原函数单调递减,求出单调区间,即可得到答案.对于C:利用基本不等式即可解决;对于D:根据指数函数的值域知f(x)>0恒成立,从而进行判断.

对于A:由于f(-x)=f(x),是偶函数,f(x)的图象关于y轴对称;故正确;
对于B:先对函数f(x)求导f′(x)=
ex−e−x
2,在(0,+∞)上f′(x)>0恒成立,根据导函数大于0时原函数单调递增,故正确.
对于C:利用基本不等式f(x)=
ex+e−x
2≥
e x×e−x=1,最小值是1,故正确;
对于D:根据指数函数的值域知f(x)>0恒成立,f(x)不存在零点.故错.
故选D.

点评:
本题考点: 利用导数研究函数的单调性.

考点点评: 本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系,即当导函数大于0时原函数单调递增,导函数小于0时原函数单调递减.

设f(x)=ex−e−x2,g(x)=ex+e−x2它们有如下性质:
f(x)=
exe−x
2
g(x)=
ex+e−x
2
它们有如下性质:
(1)[g(x)]2-[f(x)]2=1
(2)f(x+y)=f(x)g(y)+g(x)f(y)等,
请你再写出一个类似的性质:g(x+y)=______.
咖啡妹1年前1
oagbs 共回答了15个问题 | 采纳率93.3%
由f(x)满足f(x+y)=f(x)g(y)+g(x)f(y),
类似地,根据条件中的函数:f(x)=
ex−e−x
2,g(x)=
ex+e−x
2,
可得一个类似的性质:g(x+y)=f(x)f(y)+g(x)g(y).
故答案为:f(x)f(y)+g(x)g(y).
(1)设f(x)=e x−e −x2 ,g(x)=ex+e−x2,证明:f(2x)=2f(
(1)设f(x)=
e x−e −x
2
,g(x)=
ex+e−x
2
,证明:f(2x)=2f(x)•g(x);
(2)若xlog34=1,求4x+4-x的值.
ffwjs1年前1
天元定一 共回答了26个问题 | 采纳率84.6%
解题思路:(1)利用指数的运算性质即可得出;
(2)利用对数的运算性质和对数恒等式即可得出.

(1)证明:∵f(2x)=
e2x−e−2x
2,
2f(x)g(x)=2•
ex−e−x
2•
ex+e−x
2=
e2x−e−2x
2,
∴f(2x)=2f(x)•g(x).
(2)∵xlog34=1,∴x=log43,
由对数的定义及性质得4x=3,4−x=4log4
1
3=
1
3,
∴4x+4−x=
10
3.

点评:
本题考点: 对数的运算性质.

考点点评: 本题考查了指数的运算性质、对数的运算性质和对数恒等式,属于基础题.

已知函数f(x)=ex−e−x2,函数g(x)=ex+e−x2,下列关于这两个函数的叙述正确的是(  )
已知函数f(x)=
exe−x
2
,函数g(x)=
ex+e−x
2
,下列关于这两个函数的叙述正确的是(  )
A.f(x)是奇函数,g(x)是奇函数
B.f(x)是奇函数,g(x)是偶函数
C.f(x)是偶函数,g(x)是奇函数
D.f(x)是偶函数,g(x)是偶函数
qudongbo1年前1
hunanyan 共回答了25个问题 | 采纳率92%
解题思路:先判断函数的定义域是否关于原点对称,然后再根据函数的奇偶性进行判断即可.

函数f(x)=
ex−e−x
2,函数g(x)=
ex+e−x
2的定义域是R,
f(-x)=
e−x−ex
2=-
ex−e−x
2=-f(x),函数f(x)=
ex−e−x
2是奇函数,
g(-x)=
e−x+ex
2=f(x),函数g(x)=
ex+e−x
2是偶函数.
故选B.

点评:
本题考点: 函数奇偶性的判断.

考点点评: 本题主要考查函数的奇偶性,先判断定义域再根据定义进行判断,属于基础题.

曲线y=ex+e−x2与直线x=0,x=t(t>0)及y=0围成一曲边梯形.该曲边梯形绕x轴旋转一周得一旋转体,其体积为
曲线y=
ex+e−x
2
与直线x=0,x=t(t>0)及y=0围成一曲边梯形.该曲边梯形绕x轴旋转一周得一旋转体,其体积为V(t),侧面积为S(t),在x=t处的底面积为F(t).
(Ⅰ)求
S(t)
V(t)
的值;
(Ⅱ)计算极限
lim
t→+∞
S(t)
F(t)
s008java1年前1
linehard 共回答了21个问题 | 采纳率100%
解题思路:此题考查旋转体的体积和侧面积公式的运用.用定积分表示旋转体的体积和侧面积,二者及截面积都是t的函数,然后计算它们之间的关系.

解 (Ⅰ)∵S(t)=2π
∫t0y
1+y′2dx
而y=
ex+e−x
2
∴y′=
ex−e−x
2
∴S(t)=2π
∫t0(
ex+e−x
2)
1+
e2x−2+e−2x
4dx
=2π
∫t0(
ex+e−x
2)2dx
又V(t)=π
∫t0y2dx=π
∫t0(
ex+e−x
2)2dx

S(t)
V(t)=2.
(Ⅱ)∵在x=t处的底面积为F(t)=πy2|x=t=π(
et+e−t
2)2,

lim
t→+∞
S(t)
F(t)=
lim
t→+∞

∫t0(
ex+e−x
2)2dx
π(
ex+e−x
2)2
=
lim
t→+∞
2(
et+e−t
2)2
2(
et+e−t
2)(
et−e−t
2)=
lim
t→+∞
et+e−t
et−e−t
=
lim
t→+∞
e2t+1
e2t−1=1

点评:
本题考点: 旋转体的体积及侧面积的计算.

考点点评: 熟记旋转体体积和侧面积计算公式,是解决这类问题的关键.

已知函数f(x)=ex−e−x2,g(x)=ex+e−x2(其中e=2.71718…),有下列命题:
已知函数f(x)=
exe−x
2
,g(x)=
ex+e−x
2
(其中e=2.71718…),有下列命题:
①f(x)是奇函数,g(x)是偶函数;
②对任意x∈R,都有f(2x)=f(x)•g(x);
③f(x)在R上单调递增,g(x)在(-∞,0)上单调递减;
④f(x)无最值,g(x)有最小值;
⑤f(x)有零点,g(x)无零点.
其中正确的命题是______.(填上所有正确命题的序号)
wjg40191年前1
dyksu 共回答了14个问题 | 采纳率100%
解题思路:直接由函数奇偶性的定义判断①正确;代值验证②错误;由函数单调性的定义判断③正确;由函数的单调性说明f(x)无最值,g(x)有最小值;直接求出f(x)的零点,由单调性及奇偶性和最值说明g(x)无零点.

∵f(-x)=
e−x−ex
2=−
ex−e−x
2,
g(-x)=
e−x+ex
2=
ex+e−x
2,
∴f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,命题①正确;
f(2x)=
e2x−e−2x
2=
(ex−e−x)(ex+e−x)
2
f(x)•g(x)=
(ex−e−x)(ex+e−x)
4,
∴命题②不正确;
函数y=ex,y=-e-x在实数集上均为增函数,
∴f(x)在R上单调递增,
设x1<x2<0,
则g(x1)−g(x2)=
ex1+e−x1
2−
ex2+e−x2
2
=
1
2[(ex1−ex2)(1−
1
ex1ex2)].
∵x1<x2<0,
∴g(x1)-g(x2)>0,即g(x1)>g(x2).
g(x)在(-∞,0)上单调递减,命题③正确;
由③结合指数函数的单调性可知f(x)无最值,当x=0时,g(x)有最小值1,命题④正确;
由f(x)=0,即
ex−e−x
2=0,得x=0,
∴f(x)有零点0,
g(x)在x=0时有最小值1,且函数是偶函数,
∴g(x)无零点,命题⑤正确.
故答案为:①③④⑤.

点评:
本题考点: 命题的真假判断与应用.

考点点评: 本题考查了命题的真假判断与应用,考查了函数的性质,是中档题.

f(x)=ex−e−x2,g(x)=ex+e−x2,则[f(x)]2-[g(x)]2=______.
tlztj1年前1
宿命de风 共回答了22个问题 | 采纳率95.5%
解题思路:利用函数的性质求解.

∵f(x)=
ex−e−x
2,g(x)=
ex+e−x
2,
∴[f(x)]2-[g(x)]2
=
e2x+e−2x−2
4-
e2x+e−2x+2
4
=-1.
故答案为:-1.

点评:
本题考点: 函数的值.

考点点评: 本题考查函数值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意函数性质的合理运用.

已知f(x)=ln (x2+1+x),g(x)=ex+e−x2
已知f(x)=ln (
x2+1
+x)
,g(x)=
ex+e−x
2

(1)判断f(x)的奇偶性,并求f-1(x);
(2)若f-1(x)g(x)=1,求x的值.
0054801年前1
鸿玉 共回答了16个问题 | 采纳率100%
解题思路:求出f(x)+f(-x)=0即为f(-x)=-f(x),利用奇函数的定义得出f(x)为奇函数,由y=ln (
x2+1
+x)
ey
x2+1
+x
e−y
x2+1
−x
,两式相减求出x,得到函数的反函数.
(2)将f-1(x)及代入方程,求出e2x=2+
5
,利用对数式与指数式的转化求出x的值.

(1)f(x)的定义域为R,
f(x)+f(-x)=ln (
x2+1+x)+ln (
x2+1−x)=ln1=0,
所以f(x)为奇函数,
由y=ln (
x2+1+x)得ey=
x2+1+x,①
由y=ln (
x2+1+x)得-y=-ln (
x2+1+x)
即-y=ln (
x2+1−x)
所以e−y=
x2+1−x,②
由①②得2x=ey-e-y
所以f-1(x)=
ex−e−x
2(x∈R)
(2)f-1(x)g(x)=1等价于方程e2x-e-2x=4
解得e2x=2−
5(舍)或e2x=2+
5
x=
1
2ln(2+
5)

点评:
本题考点: 反函数.

考点点评: 本题考查利用定义判断函数奇偶性、求函数的反函数的方法,属于基础题.