设f(x)＝ex−e−x2，g(x)＝ex+e−x2它们有如下性质：

对于A：由于f（-x）=f（x），是偶函数，f（x）的图象关于y轴对称；故正确；
对于B：先对函数f（x）求导f′（x）=
ex−e−x
2，在（0，+∞）上f′（x）＞0恒成立，根据导函数大于0时原函数单调递增，故正确．
对于C：利用基本不等式f(x)＝
ex+e−x
2≥
e x×e−x＝1，最小值是1，故正确；
对于D：根据指数函数的值域知f（x）＞0恒成立，f（x）不存在零点．故错．
故选D．

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，导函数小于0时原函数单调递减．

（1）证明：∵f(2x)＝
e2x−e−2x
2，
2f(x)g(x)＝2•
ex−e−x
2•
ex+e−x
2＝
e2x−e−2x
2，
∴f（2x）=2f（x）•g（x）．
（2）∵xlog₃4=1，∴x=log₄3，
由对数的定义及性质得4x＝3，4−x＝4log4
1
3＝
1
3，
∴4x+4−x＝
10
3．

点评：
本题考点： 对数的运算性质．

考点点评： 本题考查了指数的运算性质、对数的运算性质和对数恒等式，属于基础题．

∵f（x）=
ex+e−x
2，g（x）=
ex−e−x
2，
∴f（1）g（3）+g（1）f（3）-g（4）=
e+e−1
2•
e3−e−3
2+
e−e−1
2•
e3+e−3
2-
e4−e−4
2=
e4−e−2+e2−e−4
4+
e4+e−2−e2−e−4
4-
e4−e−4
2=0，
同理求得 f（3）g（2）+g（3）f（2）-g（5）=0，
…
归纳可得：f（a）g（b）+f（b）g（a）-g（a+b）=0，
故答案为：0、0、f（a）g（b）+f（b）g（a）-g（a+b）=0．

点评：
本题考点： 指数函数综合题．

考点点评： 本题考查的知识点是归纳推理，其中根据已知分析出等式中变量之间的关系规律是解答的关键，属于中档题．

函数f（x）=
ex−e−x
2，函数g（x）=
ex+e−x
2的定义域是R，
f（-x）=
e−x−ex
2=-
ex−e−x
2=-f（x），函数f（x）=
ex−e−x
2是奇函数，
g（-x）=
e−x+ex
2=f（x），函数g（x）=
ex+e−x
2是偶函数．
故选B．

点评：
本题考点： 函数奇偶性的判断．

考点点评： 本题主要考查函数的奇偶性，先判断定义域再根据定义进行判断，属于基础题．

解 （Ⅰ）∵S(t)＝2π
∫t0y
1+y′2dx
而y＝
ex+e−x
2
∴y′＝
ex−e−x
2
∴S（t）=2π
∫t0(
ex+e−x
2)
1+
e2x−2+e−2x
4dx
=2π
∫t0(
ex+e−x
2)2dx
又V（t）=π
∫t0y2dx＝π
∫t0(
ex+e−x
2)2dx
∴
S(t)
V(t)＝2．
（Ⅱ）∵在x=t处的底面积为F（t）=πy2|x＝t＝π(
et+e−t
2)2，
∴
lim
t→+∞
S(t)
F(t)＝
lim
t→+∞
2π
∫t0(
ex+e−x
2)2dx
π(
ex+e−x
2)2
=
lim
t→+∞
2(
et+e−t
2)2
2(
et+e−t
2)(
et−e−t
2)＝
lim
t→+∞
et+e−t
et−e−t
=
lim
t→+∞
e2t+1
e2t−1＝1

点评：
本题考点： 旋转体的体积及侧面积的计算．

考点点评： 熟记旋转体体积和侧面积计算公式，是解决这类问题的关键．

∵f（-x）=
e−x−ex
2＝−
ex−e−x
2，
g（-x）=
e−x+ex
2＝
ex+e−x
2，
∴f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，命题①正确；
f（2x）=
e2x−e−2x
2＝
(ex−e−x)(ex+e−x)
2
f（x）•g（x）=
(ex−e−x)(ex+e−x)
4，
∴命题②不正确；
函数y=e^x，y=-e^-x在实数集上均为增函数，
∴f（x）在R上单调递增，
设x₁＜x₂＜0，
则g(x1)−g(x2)＝
ex1+e−x1
2−
ex2+e−x2
2
=
1
2[(ex1−ex2)(1−
1
ex1ex2)]．
∵x₁＜x₂＜0，
∴g（x₁）-g（x₂）＞0，即g（x₁）＞g（x₂）．
g（x）在（-∞，0）上单调递减，命题③正确；
由③结合指数函数的单调性可知f（x）无最值，当x=0时，g（x）有最小值1，命题④正确；
由f（x）=0，即
ex−e−x
2＝0，得x=0，
∴f（x）有零点0，
g（x）在x=0时有最小值1，且函数是偶函数，
∴g（x）无零点，命题⑤正确．
故答案为：①③④⑤．

点评：
本题考点： 命题的真假判断与应用．

考点点评： 本题考查了命题的真假判断与应用，考查了函数的性质，是中档题．

∵f（x）=
ex−e−x
2，g（x）=
ex+e−x
2，
∴[f（x）]²-[g（x）]²
=
e2x+e−2x−2
4-
e2x+e−2x+2
4
=-1．
故答案为：-1．

点评：
本题考点： 函数的值．

考点点评： 本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．

（1）f（x）的定义域为R，
f（x）+f（-x）=ln (
x2+1+x)+ln (
x2+1−x)=ln1=0，
所以f（x）为奇函数，
由y=ln (
x2+1+x)得ey＝
x2+1+x，①
由y=ln (
x2+1+x)得-y=-ln (
x2+1+x)
即-y=ln (
x2+1−x)
所以e−y＝
x2+1−x，②
由①②得2x=e^y-e^-y，
所以f^-1（x）=
ex−e−x
2（x∈R）
（2）f^-1（x）g（x）=1等价于方程e^2x-e^-2x=4
解得e2x＝2−
5（舍）或e2x＝2+
5
x＝
1
2ln(2+
5)

点评：
本题考点： 反函数．

考点点评： 本题考查利用定义判断函数奇偶性、求函数的反函数的方法，属于基础题．