x是(0,π/2)若sinxcosx=1/2,求1/(1+sinx) +1/(1+cosx)的值

liutongyoov2022-10-04 11:39:541条回答

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wsdda 共回答了14个问题 | 采纳率92.9%
由sin(x)cos(x)=1/2知
(sin(x)+cos(x))^2
=sin^2(x)+cos^2(x)+2sin(x)cos(x)
=1+2*1/2
=2,
所以sin(x)+cos(x)=Sqrt(2)(由x在第一象限知sin(x)>0,cos(x)>0),
所以
1/(1+sin(x)) +1/(1+cos(x))
=[(1+sin(x))+(1+cos(x))]/[(1+sin(x)) (1+cos(x))]
=[2+sin(x)+cos(x)]/[1+sin(x)+cos(x)+six(x)cos(x)]
=(2+Sqrt(2))/(1+Sqrt(2)+1/2)
=(4+2*Sqrt(2))/(3+2*Sqrt(2))
=(4+2*Sqrt(2))(3-2*Sqrt(2))
=4-2*Sqrt(2)
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∵sinxcosx=1/2,
∴(sinx+cosx)²
=sin²x+cos²x+2sinxcosx
=1+2×1/2
=2
∵x∈[0,π/2],
∴sinx+cosx>0
∴sinx+cosx=√2
∴1/(1+sinx)+1/(1+cosx)
=[(1+cosx)+(1+sinx)]/[(1+sinx)(1+cosx)]
=(2+sinx+cosx)/[1+(sinx+cosx)+sinxcosx]
=(2+√2)/(1+√2+1/2)
=2(2+√2)/(3+2√2)
=2√2(√2+1)/(√2+1)²
=2√2/(√2+1)
=2√2(√2-1)
=4-2√2
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x是锐角则sinx+cosx>0
(sinx+cosx)²
=sin²x+cos²x+2sinxcosx
=1+1
=2
sinx+cosx=√2
原式通分=(1+sinx+1+cosx)/(1+sinx)(1+cosx)
=(2+sinx+cosx)/(1+sinx+cosx+sinxcosx)
=(2+sinx+cosx)/(1+sinx+cosx+1/2)
=(2+√2)/(3/2+√2)
=4-2√2
x大于等于0小于等于90度 sinxcosx=1/2,则1/(1+sinx)+1/(1+cos)的值为
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没算错的话.是四减二倍根号二,思路如下:
最简单的方法:在0到90度范围内,sinxcosx=1/2的x是45度,带入sin45和cos45到要求值的式子中即可
另外,一般方法:
首先,根据所求,通分后得到只含未知式sinx+cosx的分式;
然后,根据(sinx)^2+(cosx)^2=1和sinxcosx=1/2联解出sinx+cosx;
最后,带入即可.