y'''-3y''+9y'+13y=e^2xsin2x 求方程通解

huaziheizi2022-10-04 11:39:541条回答

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hnshubia 共回答了17个问题 | 采纳率94.1%
∵齐次方程y'''-3y''+9y'+13y=0的特征方程是r³-3r²+9r+13=0,则r1=-1,r2=2+3i,r3=2-3i∴齐次方程y'''-3y''+9y'+13y=0的通解是y=C1e^(-x)+(C2cos(3x)+C3sin(3x))e^(2x) (C1,C2,C3是积分常数)∵y=((3/65)sin(...
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先求对应的齐次方程的通解
y′-y/x=0,
dy/y=dx/x,
y=Cx.
用常数变易法,把C换成u,设 y=ux,
则u′x+u-ux/x=2xsin2x,
u′=2sin2x,
u=-cos2x+C.
原方程通解为y=x(C-cos2x).
y'-2/x*y=x^3y'-y/x=2xsin2x
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使用一阶非齐次线性方程公式:
y=e^(∫2/xdx)(c+∫e^(-∫2/xdx)x^3dx
=x^2(c+∫xdx)
=1/2x^4+cx^2
y=e^(∫1/xdx)(c+∫e^(-∫1/xdx)2xsin2xdx
=x(c+∫sin2xdx)
=-1/2xcos2x+cx
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解题思路:由已知条件化简可得cosx=2sinx,要求的式子可化为
cos2x−sin2x
1−cos2x+sin2x
,代入计算即可.

∵4sin2x-6sinx-cos2x+3cosx=0,
∴4sin2x-cos2x-6sinx+3cosx=0,
∴(2sinx+cosx)(2sinx-cosx)-3(2sinx-cosx)=0,
∴(2sinx-cosx)(2sinx+cosx-3)=0,
∵2sinx+cosx≤
5,∴2sinx+cosx-3≠0,
∴2sinx-cosx=0,即cosx=2sinx,

cos2x−sin2x
(1−cos2x)(1−tan2x)=
cos2x−sin2x
(1−cos2x)(1−
sin2x/cos2x)]
=[cos2x−sin2x
(1−cos2x)
cos2x−sin2x/cos2x]=[cos2x/1−cos2x]
=
cos2x−sin2x
1−cos2x+sin2x=
(2sinx)2−sin2x
sin2x+sin2x=[3/2]

点评:
本题考点: 三角函数中的恒等变换应用.

考点点评: 本题考查三角函数的化简,熟记公式是解决问题的关键,属中档题.

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1−cos2x+sin2x
,代入计算即可.

∵4sin2x-6sinx-cos2x+3cosx=0,
∴4sin2x-cos2x-6sinx+3cosx=0,
∴(2sinx+cosx)(2sinx-cosx)-3(2sinx-cosx)=0,
∴(2sinx-cosx)(2sinx+cosx-3)=0,
∵2sinx+cosx≤
5,∴2sinx+cosx-3≠0,
∴2sinx-cosx=0,即cosx=2sinx,

cos2x−sin2x
(1−cos2x)(1−tan2x)=
cos2x−sin2x
(1−cos2x)(1−
sin2x/cos2x)]
=[cos2x−sin2x
(1−cos2x)
cos2x−sin2x/cos2x]=[cos2x/1−cos2x]
=
cos2x−sin2x
1−cos2x+sin2x=
(2sinx)2−sin2x
sin2x+sin2x=[3/2]

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其中:λ=2,ω=2,Pl(x)=0,Pn(x)=1
与所给方程对应的齐次方程:y'''-3y''+9y'+13y=0
它的特征方程:r³-3r²+9r+13=0
这里我就不解了,设特征方程的解为m
由于这里λ+iω=2+2i不是特征方程的根
所以应设特解为:y*=[e^(2x)][(ax+b)cos2x+(cx+d)sin2x]
把它代入所给方程,得:这个计算量很大
可以得到一个类似这样的式子:A[e^(2x)]*cos2x+B[e^(2x)]*sin2x=[e^(2x)]*sin2x
其中:A,B是包含参数a,b,c,d的式子
可以分别把a,b,c,d的值算出来
把a,b,c,d的值代入所给方程就能得出方程的特解
通过特解就很容易的求出同解了
这是一个大致的思路,主要是你这题在特征方程那一步的解就不是很好算,需要代入盛金公式来求,后面的特解代入所给方程计算量也很大,所以只能帮你帮到这里了
若4sin2x-6sinx-cos2x+3cosx=0.求:cos2x−sin2x(1−cos2x)(1−tan2x)的
若4sin2x-6sinx-cos2x+3cosx=0.求:
cos2x−sin2x
(1−cos2x)(1−tan2x)
的值.
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1−cos2x+sin2x
,代入计算即可.

∵4sin2x-6sinx-cos2x+3cosx=0,∴4sin2x-cos2x-6sinx+3cosx=0,∴(2sinx+cosx)(2sinx-cosx)-3(2sinx-cosx)=0,∴(2sinx-cosx)(2sinx+cosx-3)=0,∵2sinx+cosx≤5,∴2sinx+cosx-3≠0,∴2sinx-cosx=0,即...

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sin2x/cos2x)]
=[cos2x−sin2x
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=
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1−cos2x+sin2x=
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