若sinx+siny=1/2,则cosx+cosy的取值范围是

yinyan1021022022-10-04 11:39:541条回答

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狗朋友 共回答了11个问题 | 采纳率90.9%
令a=(x+y)/2,b=(x-y)/2,
有sinx+siny=sin(a+b)+sin(a-b)=2sina*cosb=1/2,
sina=1/(4*cosb),由于-1≤cosb≤1,
因此-1≤sina≤-1/4或1/4≤sina≤1,
因此-√15≤cota≤√15,
cosx+cosy=cos(a+b)+cos(a-b)=2cosa*cosb=(2sina*cosb)*cota,
因此-(√15)/2≤cosx+cosy≤(√15)/2..
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∵sinx+siny=1/2
∴(sinx+siny)²=1/4
即:sin²x+2sinxsiny+sin²y=1/4.(1)
令cosx+cosy=t
则t²=cos²x+2cosxcosy+cos²y.(2)
(1)+(2):
t²+1/4=2+2(sinxsiny+cosxcosy)
即:
t²=2cos(x-y)+7/4
∵-1≤cos(x-y)≤1
∴-1/4≤t²≤15/4
又∵t²≥0
∴0≤t²≤15/4
解得:
-√15/2≤t≤√15/2
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两式各自平方,得
(sinx)^2+2sinxsiny+(siny)^2=1/4
(cosx)^2+2cosxcosy+(cosy)^2=1/3
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两式相加,得 2+2(sinxsiny+cosxcosy)=7/12
cos(x-y)=sinxsiny+cosxcosy=-17/24=1-2*sin[(x-y)/2]*sin[(x-y)/2]

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(cosx+cosy)^2=1/9 ②
①+ ②:2cosxcosy+(cos x) ²+(cos y) ²+2sinxsiny+(sinx) ²+(siny) ²=13/36
2cosxcosy+2sinxsiny+2=13/36
cosxcosy+sinxsiny=-59/72
即cos(x-y)=-59/72
而cos²((x-y)/2)=[1+cos(x-y)]/2=13/144
已知sinx+siny=1/2,求cosy的平方+2sinx的最大值和最小值?
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cos^2(y)+2sinx=1-siny*siny+2sinx
=1-(1/2-sinx)*(1/2-sinx)+2sinx
=3/4-(sinx-3/2)^2+9/4
=3-(sinx-3/2)^2
由 -1