设a,b∈R,a2+b2=2,试用反证法证明:a+b≤2.

zkpotter2022-10-04 11:39:541条回答

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peckee 共回答了20个问题 | 采纳率85%
解题思路:反证法的证题步骤:假设结论不成立,即反射,再归谬,从而导出矛盾,得到结论.

证明:假设a+b>2,则(a+b)2>4,
即a2+2ab+b2>4=2(a2+b2),
整理可得(a-b)2<0,矛盾.
故假设有误,
从而a+b≤2.
得证.

点评:
本题考点: 反证法与放缩法.

考点点评: 本题以等式为依托,主要考查反证法,关键是掌握反证法的证题步骤,注意矛盾的引出方法.

1年前

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解题思路:利用完全平方和公式来求的a与b的数量关系.

∵a+b=2,a2+b2=2,
∴(a+b)2=a2+2ab+b2
∴4=2+2ab,解得ab=1.
故选D.

点评:
本题考点: 完全平方公式.

考点点评: 本题考查了完全平方公式,熟记公式的几个变形公式对解题大有帮助.

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解题思路:利用完全平方和公式来求的a与b的数量关系.

∵a+b=2,a2+b2=2,
∴(a+b)2=a2+2ab+b2
∴4=2+2ab,解得ab=1.
故选D.

点评:
本题考点: 完全平方公式.

考点点评: 本题考查了完全平方公式,熟记公式的几个变形公式对解题大有帮助.

已知:a-b=[1/5],a2+b2=2[1/25],求(ab)2005
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解题思路:首先从已知条件入手,把a-b=[1/5],两边同时平方,可得到a2-2ab+b2=[1/25],再与条件a2+b2=2[1/25]联立,可以得到ab的值,就可以得到(ab)2005的结果.

∵a-b=[1/5],
∴(a-b)2=([1/5])2
a2-2ab+b2=[1/25],
∵a2+b2=2
1
25,
∴(a2+b2)-(a2-2ab+b2)=2
1
25-[1/25],
2ab=2,
ab=1,
∴(ab)2005=1.

点评:
本题考点: 完全平方公式.

考点点评: 此题主要考查了完全平方公式的应用,能够把已知式子变成完全平方的形式是解题的关键.

数列问题正项数列an,bn分别为等差,等比数列,公差公比分别为d,q,且d=q,a1+b1=1,a2+b2=2,则a20
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解题思路:根据a+b=1,a2+b2=2,分别求出a4+b4=3.5,a8+b8=12.125,然后求出a6+b6的值,最后求出a7+b7的值即可.

∵a+b=1,
∴(a+b)2=1,
∴a2+b2+2ab=1.
∵a2+b2=2,
∴2+2ab=1,
∴ab=-0.5,
∴(a2+b22=4,
则有a4+b4+2(ab)2=4,
∴a4+b4=3.5,
平方得:(a4+b42=12.25,
a8+b8+2(ab)4=12.25,
∴a8+b8=12.125,
∵a6+b6=(a2+b2)[a4+b4-(ab)2]
=2×(3.5-0.25)
=6.5,
∴a7+b7=(a7+b7)(a+b)
=a8+b8+ab7+ba7
=(a8+b8)+ab(a6+b6
=12.125+(-0.5)×6.5
=8.875.

点评:
本题考点: 完全平方公式.

考点点评: 本题考查了完全平方公式,解答本题的关键是根据a+b=1,a2+b2=2,分别求出a4+b4和a8+b8的值,难度较大.

设abcd是实数且满足a2+b2=2,c2+d2=2,ac=bd,求证:a2+c2=2,b2+d2=2,ab=cd
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∵a²+b²=2
∴a²d²+b²d²=2d²
∵ac=bd ∴ b²d²=a²c²
∴a²d²+a²c²=2d²
∴a²(d²+c²)=2d²
∵c²+d²=2
∴2a²=2d²
∴a²=d²
∵c²+d²=2
∴c²+a²=2
∵a²+b²=2 a²=d²
∴b²+d²=2
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解题思路:根据基本不等式a2+b2≥2ab,可将其变形为ab≤
a2+b2
2
,代入数据即可得答案.

a2+b2≥2ab⇒ab≤
a2+b2
2,(当且仅当a=b时成立)
又由a2+b2=2,则ab≤
a2+b2
2=[2/2]=1;
则ab的最大值为1;
故答案为1.

点评:
本题考点: 基本不等式.

考点点评: 本题考查基本不等式的变形应用,牢记ab≤([a+b/2])2≤a2+b22等变形形式.

(2014•咸阳二模)已知a,b,c,d∈R,且a2+b2=2,c2+d2=2,则ac+bd的最大值为______.
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解题思路:利用基本不等式即可得出.

ac+bd≤
a2+c2+b2+d2
2=[2+2/2]=2,
当且仅当a=c=b=d=1时取等号,
∴ac+bd的最大值为2.
故答案为:2.

点评:
本题考点: 基本不等式.

考点点评: 本题考查了基本不等式的性质,属于基础题.

a2+b2=2,那么代数式(a2-2ab-3b2)-(3a-2ab-b2)的值是?
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a2-2ab-3b2)-(3a²-2ab-b2)
=-2a²-2b²
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已知a+b=1,a2+b2=2,求a7+b7的值.
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解题思路:根据a+b=1,a2+b2=2,分别求出a4+b4=3.5,a8+b8=12.125,然后求出a6+b6的值,最后求出a7+b7的值即可.

∵a+b=1,
∴(a+b)2=1,
∴a2+b2+2ab=1.
∵a2+b2=2,
∴2+2ab=1,
∴ab=-0.5,
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则有a4+b4+2(ab)2=4,
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=12.125+(-0.5)×6.5
=8.875.

点评:
本题考点: 完全平方公式.

考点点评: 本题考查了完全平方公式,解答本题的关键是根据a+b=1,a2+b2=2,分别求出a4+b4和a8+b8的值,难度较大.

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