泰勒公式是怎么想到用多次项式子来表示近似函数?
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adzhanghuian 共回答了19个问题
|采纳率89.5%- 因为他真的是个天才 我问了大学数学老师 老师都答不上来怎么想到的
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f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!•(x-x.)^2,+f'''(x.)/3!•(x-x.)^3+……+f(n)(x.)/n!•(x-x.)^n+Rn
其中Rn=f(n+1)(ξ)/(n+1)!•(x-x.)^(n+1),这里ξ在x和x.之间,该余项称为拉格朗日型的余项.
(注:f(n)(x.)是f(x.)的n阶导数,不是f(n)与x.的相乘.)
证明:我们知道f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+α(根据拉格朗日中值定理导出的有限增量定理有limΔx→0 f(x.+Δx)-f(x.)=f'(x.)Δx),其中误差α是在limΔx→0 即limx→x.的前提下才趋向于0,所以在近似计算中往往不够精确;于是我们需要一个能够足够精确的且能估计出误差的多项式:
P(x)=A0+A1(x-x.)+A2(x-x.)^2+……+An(x-x.)^n
来近似地表示函数f(x)且要写出其误差f(x)-P(x)的具体表达式.设函数P(x)满足P(x.)=f(x.),P'(x.)=f'(x.),P''(x.)=f''(x.),……,P(n)(x.)=f(n)(x.),于是可以依次求出A0、A1、A2、……、An.显然,P(x.)=A0,所以A0=f(x.);P'(x.)=A1,A1=f'(x.);P''(x.)=2!A2,A2=f''(x.)/2!……P(n)(x.)=n!An,An=f(n)(x.)/n!.至此,多项的各项系数都已求出,得:P(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!•(x-x.)^2+……+f(n)(x.)/n!•(x-x.)^n.
接下来就要求误差的具体表达式了.设Rn(x)=f(x)-P(x),于是有Rn(x.)=f(x.)-P(x.)=0.所以可以得出Rn(x.)=Rn'(x.)=Rn''(x.)=……=Rn(n)(x.)=0.根据柯西中值定理可得Rn(x)/(x-x.)^(n+1)=Rn(x)-Rn(x.)/(x-x.)^(n+1)-0=Rn'(ξ1)/(n+1)(ξ1-x.)^n(注:(x.-x.)^(n+1)=0),这里ξ1在x和x.之间;继续使用柯西中值定理得Rn'(ξ1)-Rn'(x.)/(n+1)(ξ1-x.)^n-0=Rn''(ξ2)/n(n+1)(ξ2-x.)^(n-1)这里ξ2在ξ1与x.之间;连续使用n+1次后得出Rn(x)/(x-x.)^(n+1)=Rn(n+1)(ξ)/(n+1)!,这里ξ在x.和x之间.但Rn(n+1)(x)=f(n+1)(x)-P(n+1)(x),由于P(n)(x)=n!An,n!An是一个常数,故P(n+1)(x)=0,于是得Rn(n+1)(x)=f(n+1)(x).综上可得,余项Rn(x)=f(n+1)(ξ)/(n+1)!•(x-x.)^(n+1).一般来说展开函数时都是为了计算的需要,故x往往要取一个定值,此时也可把Rn(x)写为Rn.1年前查看全部
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sin18°≈0.314159265-0.314159265³/6=0.314159265-0.005167712=0.308991552
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用拉格朗日型余项表示则0X=f^(n+1)(ζ)(x-ζ)^(n+1)/n+1!
而麦克劳林公式是泰勒公式在0点展开的特例
泰勒公式可以很容易的让你得到f(x)展开式中关于x的幂次项的系数,也可由已知的函数的导数值推出原函数.多用于求极限问题
比如求lim (e^x-x-1)/x在x趋近于0时的极限
f(x)=e^x在x=0处二次展开=e^(0)+e^(0)*(x-0)+e^(0)(x-0)/2!+0x
=1+x+x/2;
那么lim (e^x-x-1)/x=lim (1+x+x/2-x-1)/x=1/2答案补充 用导数定义去理解
f’(x)=lim [f(x)-f(x0)]/(x-x0)其中x->x0
那么就有当x->x0时lim f(x)-f(x0)=f’(x)(x-x0)
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看了很多网上别人的解法,感觉有点麻烦.
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∫arcsin√x/√xdx
令√x=t,
∫arcsint/tdt²
=∫arcsint·2dt
=2t·arcsint-2∫tdarcsint
=2t·arcsint-2∫t/√﹙1-t²﹚dt
=2t·arcsint-∫2t/√﹙1-t²﹚dt
可以看出d√﹙1-t²﹚=2t/√﹙1-t²﹚·dt
=2t·arcsint-√﹙1-t²﹚+c
t=√x带入
=2√x·arcsin√x-√﹙1-x﹚+c1年前查看全部
- 求2^x的泰勒公式展开.如题.
w5354581年前2
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失眠睡美人 共回答了9个问题
|采纳率88.9%假设在x=0展开
f'(x)=2^x*ln2
f''(x)=2^x*(ln2)²
则fn(x)=2^x*(lnx)^n
所以2^x=1+2^x*xln2+2^x*(xln2)^2/2+2^x*(xln2)^3/6+……+2^x*(xln2)^n/n!+……1年前查看全部
- 为什么泰勒公式对任何x都成立,而等价无穷小如x~sinx只有在x趋近于0的时候才成立?等价无穷小不就是泰勒公式得出来的么
小老虎粉粉丝1年前0
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共回答了个问题
|采纳率
- 如何用泰勒公式求平方根?
信仰易拉灌1年前1
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landou521 共回答了15个问题
|采纳率93.3%泰勒公式可以作为一种近似方法求平方根,而且颇为有效.一般程序如下:
首先要把平方根化为√1+x 的形式,并且使得x非常小,最好趋于0,当然是越小其近似值越精确!
第二步要根据泰勒公式求出√1+x 在0点的展开式,如果是求一般的近似值,展开到二阶导数即可,当然阶数越高,结算结果越精确!这个可以酌情处理.
第三步,根据求出的√1+x 展开式,代入x的值,即可求出平方根的近似值.
比如求√23 的近似值:
√23 =√25-2=5√1-(2/25),2/25其值较小近于0基本满足泰勒公式的使用条件,当然如果这个值近于1的话,结果就很不精确了.
根据泰勒公式在0点展开式:√1-x ≈1-(1/2)x-(1/4)x^2 此处展开到二阶,代入x=2/25 :
√1-(2/25) ≈0.9584
√23=5√1-(2/25)≈0.9584X5=4.792
经过验证:4.792^2=22.963,这种方法是非常精确地.1年前查看全部
- 微积分求解,下面的泰勒公式为什么只用到二阶导数?
小孩11111年前3
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kfhxshh 共回答了18个问题
|采纳率100%因为这个展开是要跟前面的(1/x^2)-a^2)相乘的.往后展开的x都是三次方和三次方以上的,乘(1/x^2)-a^2)得到的都是分子是x或者x的高次幂的项数,这些在x->0时的极限都是0.所以没有必要继续展开了.1年前查看全部
- 判别下列级数的敛散性:∑[1/n-ln((n+1)/n)],用泰勒公式具体该怎么做呢?
soon4441年前2
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甘北向北 共回答了21个问题
|采纳率85.7%∑[1/n-ln((n+1)/n)]=∑[1/n-ln(1+1/n)]
注意到ln(1+x)=x-x^2/2+o(x^2)=x-x^2/2+O(x^2)
所以ln(1+1/n)=1/n-1/(2n^2)+O(1/n^2)
∑[1/n-ln(1+1/n)]=∑[1/(2n^2)+O(1/n^2)]这两部分显然都绝对收敛 所以原级数收敛1年前查看全部
- 如何证明泰勒公式中的拉格朗日余项Rn(x)是当x趋近于x.时的无穷小?
如何证明泰勒公式中的拉格朗日余项Rn(x)是当x趋近于x.时的无穷小?
【我不问上面那个问题了】我问下面这个:
在将函数展开成麦克劳林级数的步骤中,1.首先要求出函数f(x)在x=0点的各阶导数值,2.然后形式的写出它的麦克劳林级数,并求收敛半径R。3.在收敛区间内考察Rn(x)的极限是否为零。
那么会不会存在“Rn(x)不是在整个收敛区间内极限为零,而只是在收敛区间的某个邻域内极限为零”的情况?如果是这样那该怎么办?linky7251年前1
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huweilian 共回答了16个问题
|采纳率81.3%其实是有可能的,因为泰勒展式是以在x0处附近的点为考量,所以当x越靠近x0其展式的值越接近真值.
所以在x0附近的领域内,Rn(x)是绝对可以保证极限为零,而且随n增大,该领域的长度也会增大.
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其实Rn(x)是(x-x0)^n的高阶无穷小``光这一点就够了`1年前查看全部
- 泰勒公式拉格朗日余项中的系数1/(n+1)!可否看成1
泰勒公式拉格朗日余项中的系数1/(n+1)!可否看成1
因为第(n+1)项为第n项的高阶无穷小,所以是不是可以说明在一定条件下可以忽略其系数,将其看做是1cyzh571年前1
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花间醉翁 共回答了21个问题
|采纳率95.2%当n较大时,第n项可以近似看成0,但不能看成11年前查看全部
- 泰勒公式x不同,为什么可以直接带原函数的导数,而不是本身函数的导数?
泰勒公式x不同,为什么可以直接带原函数的导数,而不是本身函数的导数?
如e(-x^2/2)的麦克劳伦式zhoudongxue20081年前1
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new海岸线 共回答了13个问题
|采纳率100%这个函数不能用求导的方法求麦克劳林公式,只能用 e^x 的麦克劳林公式来求解.事实上,由
e^x = Σ(0≤k≤n)[(x^k)/k!]+o(x^n),
可得
e^[(-x^2)/2] = Σ(0≤k≤n){[(-x^2)/2]^k}/k!]+o([(-x^2)/2]^n)
= …….1年前查看全部
- 当X0=-1时,求函数f(x)=1/x的n阶泰勒公式
sotitos1年前1
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被你伤害又怎样 共回答了27个问题
|采纳率88.9%直接套公式即可
泰勒公式为f(x)=f(x0)+f ` (x0)(x-xo)+……+(f(n)(xo) 【n阶导】/n!) *(x-xo)^n +Rn(x)
1/x的n阶导为(-1)^n *n!X^-(n+1)
得到f(x)=1/x的n阶泰勒公式为f(x)=-1-(x+1)-(x+1)^2-……(x+1)^n +Rn(x)1年前查看全部
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