因式分解的各种方法及解题思路.

肥豆芽2022-10-04 11:39:541条回答

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ll成朋兮 共回答了25个问题 | 采纳率96%
因式分解是中学数学中最重要的恒等变形之一,它被广泛地应用于初等数学之中,是我们解决许多数学问题的有力工具.因式分解方法灵活,技巧性强,学习这些方法与技巧,不仅是掌握因式分解内容所必需的,而且对于培养学生的解题技能,发展学生的思维能力,都有着十分独特的作用.初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法.而在竞赛上,又有拆项和添项法,待定系数法,双十字相乘法,轮换对称法等.

⑴提公因式法
①公因式:各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的~.

②提公因式法:一般地,如果多项式的各项有公因式,可以把这个公因式提到括号外面,将多项式写成因式乘积的形式,这种分解因式的方法叫做提公因式法.

am+bm+cm=m(a+b+c)

③具体方法:当各项系数都是整数时,公因式的系数应取各项系数的最大公约数;字母取各项的相同的字母,而且各字母的指数取次数最低的. 如果多项式的第一项是负的,一般要提出“-”号,使括号内的第一项的系数是正的.

⑵运用公式法

①平方差公式:. a^2-b^2=(a+b)(a-b)

②完全平方公式: a^2±2ab+b^2=(a±b)^2

※能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式,其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式,另一项是这两个数(或式)的积的2倍.

③立方和公式:a^3+b^3= (a+b)(a^2-ab+b^2).

立方差公式:a^3-b^3= (a-b)(a^2+ab+b^2).

④完全立方公式: a^3±3a^2b+3ab^2±b^3=(a±b)^3

⑤a^n-b^n=(a-b)[a^(n-1)+a^(n-2)b+……+b^(n-2)a+b^(n-1)]

a^m+b^m=(a+b)[a^(m-1)-a^(m-2)b+……-b^(m-2)a+b^(m-1)](m为奇数)

⑶分组分解法

分组分解法:把一个多项式分组后,再进行分解因式的方法.

分组分解法必须有明确目的,即分组后,可以直接提公因式或运用公式.

⑷拆项、补项法

拆项、补项法:把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项(或几项),使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解;要注意,必须在与原多项式相等的原则进行变形.

⑸十字相乘法

①x^2+(p q)x+pq型的式子的因式分解

这类二次三项式的特点是:二次项的系数是1;常数项是两个数的积;一次项系数是常数项的两个因数的和.因此,可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分 x^2+(p q)x+pq=(x+p)(x+q)

②kx^2+mx+n型的式子的因式分解

如果能够分解成k=ac,n=bd,且有ad+bc=m 时,那么

kx^2+mx+n=(ax b)(cx d)

a -----/b ac=k bd=n

c /-----d ad+bc=m

※ 多项式因式分解的一般步骤:

①如果多项式的各项有公因式,那么先提公因式;

②如果各项没有公因式,那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解;

③如果用上述方法不能分解,那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解;

④分解因式,必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止.

(6)应用因式定理:如果f(a)=0,则f(x)必含有因式(x-a).如f(x)=x^2+5x+6,f(-2)=0,则可确定(x+2)是x^2+5x+6的一个因式.

经典例题:

1.分解因式(1+y)^2-2x^2(1+y^2)+x^4(1-y)^2

原式=(1+y)^2+2(1+y)x^2(1+y)+x^4(1-y)^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2)

=[(1+y)+x^2(1-y)]^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2)

=[(1+y)+x^2(1-y)]^2-(2x)^2

=[(1+y)+x^2(1-y)+2x]·[(1+y)+x^2(1-y)-2x]

=(x^2-x^2y+2x+y+1)(x^2-x^2y-2x+y+1)

=[(x+1)^2-y(x^2-1)][(x-1)^2-y(x^2-1)]

=(x+1)(x+1-xy+y)(x-1)(x-1-xy-y)

2.证明:对于任何数x,y,下式的值都不会为33

x^5+3x^4y-5x^3y^2+4xy^4+12y^5

原式=(x^5+3x^4y)-(5x^3y^2+15x^2y^3)+(4xy^4+12y^5)

=x^4(x+3y)-5x^2y^2(x+3y)+4y^4(x+3y)

=(x+3y)(x^4-5x^2y^2+4y^4)

=(x+3y)(x^2-4y^2)(x^2-y^2)

=(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y)

当y=0时,原式=x^5不等于33;当y不等于0时,x+3y,x+y,x-y,x+2y,x-2y互不相同,而33不能分成四个以上不同因数的积,所以原命题成立
因式分解的十二种方法
把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解.因式分解的方法多种多样,现总结如下:
1、 提公因法
如果一个多项式的各项都含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式.
例1、 分解因式x -2x -x(2003淮安市中考题)
x -2x -x=x(x -2x-1)
2、 应用公式法
由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系,如果把乘法公式反过来,那么就可以用来把某些多项式分解因式.
例2、分解因式a +4ab+4b (2003南通市中考题)
a +4ab+4b =(a+2b)
3、 分组分解法
要把多项式am+an+bm+bn分解因式,可以先把它前两项分成一组,并提出公因式a,把它后两项分成一组,并提出公因式b,从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n,从而得到(a+b)(m+n)
例3、分解因式m +5n-mn-5m
m +5n-mn-5m= m -5m -mn+5n
= (m -5m )+(-mn+5n)
=m(m-5)-n(m-5)
=(m-5)(m-n)
4、 十字相乘法
对于mx +px+q形式的多项式,如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p,则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c)
例4、分解因式7x -19x-6
分析: 1 -3
7 2
2-21=-19
7x -19x-6=(7x+2)(x-3)
5、配方法
对于那些不能利用公式法的多项式,有的可以利用将其配成一个完全平方式,然后再利用平方差公式,就能将其因式分解.
例5、分解因式x +3x-40
解x +3x-40=x +3x+( ) -( ) -40
=(x+ ) -( )
=(x+ + )(x+ - )
=(x+8)(x-5)
6、拆、添项法
可以把多项式拆成若干部分,再用进行因式分解.
例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)
bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)
=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)
=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)
=(c+b)(c-a)(a+b)
7、 换元法
有时在分解因式时,可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数,然后进行因式分解,最后再转换回来.
例7、分解因式2x -x -6x -x+2
2x -x -6x -x+2=2(x +1)-x(x +1)-6x
=x [2(x + )-(x+ )-6
令y=x+ , x [2(x + )-(x+ )-6
= x [2(y -2)-y-6]
= x (2y -y-10)
=x (y+2)(2y-5)
=x (x+ +2)(2x+ -5)
= (x +2x+1) (2x -5x+2)
=(x+1) (2x-1)(x-2)
8、 求根法
令多项式f(x)=0,求出其根为x ,x ,x ,……x ,则多项式可因式分解为f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x )
例8、分解因式2x +7x -2x -13x+6
令f(x)=2x +7x -2x -13x+6=0
通过综合除法可知,f(x)=0根为 ,-3,-2,1
则2x +7x -2x -13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)
9、 图象法
令y=f(x),做出函数y=f(x)的图象,找到函数图象与X轴的交点x ,x ,x ,……x ,则多项式可因式分解为f(x)= f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x )
例9、因式分解x +2x -5x-6
令y= x +2x -5x-6
作出其图象,见右图,与x轴交点为-3,-1,2
则x +2x -5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)
10、 主元法
先选定一个字母为主元,然后把各项按这个字母次数从高到低排列,再进行因式分解.
例10、分解因式a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)
分析:此题可选定a为主元,将其按次数从高到低排列
a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)=a (b-c)-a(b -c )+(b c-c b)
=(b-c) [a -a(b+c)+bc]
=(b-c)(a-b)(a-c)
11、 利用特殊值法
将2或10代入x,求出数P,将数P分解质因数,将质因数适当的组合,并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式,将2或10还原成x,即得因式分解式.
例11、分解因式x +9x +23x+15
令x=2,则x +9x +23x+15=8+36+46+15=105
将105分解成3个质因数的积,即105=3×5×7
注意到多项式中最高项的系数为1,而3、5、7分别为x+1,x+3,x+5,在x=2时的值
则x +9x +23x+15=(x+1)(x+3)(x+5)
12、待定系数法
首先判断出分解因式的形式,然后设出相应整式的字母系数,求出字母系数,从而把多项式因式分解.
例12、分解因式x -x -5x -6x-4
分析:易知这个多项式没有一次因式,因而只能分解为两个二次因式.
设x -x -5x -6x-4=(x +ax+b)(x +cx+d)
= x +(a+c)x +(ac+b+d)x +(ad+bc)x+bd
所以 解得
则x -x -5x -6x-4 =(x +x+1)(x -2x-4)
1年前

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如果原题是:2x的2方+x的2方-8x+k,化简后为3x的2方-8x+k.
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⑴、提取公因式法:例如:ab+ac=a﹙b+c﹚
⑵、公式法:
平方差公式:a²-b²=﹙a+b﹚﹙a-b﹚
完全公式法:a²±2ab+b²=﹙a±b﹚²
还有立方和、差,立方公式等等
⑶、二次三项式法﹙或十字相乘法﹚:x²+﹙a+b﹚x+ab=﹙x+a﹚﹙x+b﹚
⑷、分组分解法:例如:am+an+bm+bn=a﹙m+n﹚+b﹙m+n﹚=﹙m+n﹚﹙a+b﹚
等等
因式分解,请介绍下高中一下知识内的因式分解法有几种,各如何用,相关资料连接也可以,有三道例题请解答
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设x³-x²-18=(x+a)(x²+bx+c)=x³+(a+b)x²+(c+ab)x+ac
∴a+b=-1 c+ab=0 ac=-18
a*(-ab)=-a²b=-18 a²b=18
18分解质因数,18=3²×2
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∵a+b=-1
∴a=-3,b=2 c=-ab=6
∴x³-x²-18=(x-3)(x²+2x+6)
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能答出来几题就答几题,答得最多的选为满意回答.感激不尽_(:з」∠)_
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因式分解(-x的四次方+x的三次方-x+1)除以(x的平方-x+1)
不懂事的小乖1年前2
超子0 共回答了17个问题 | 采纳率100%
(-x^4+x^3-x+1)/(x^2-x+1)
=-[x^3(x-1)+(x-1)]/(x^2-x+1)
=-(x-1)(x^3+1)/(x^2-x+1)
=-(x-1)(x+1)(x^2-x+1)/(x^2-x+1)
=-(x-1)(x+1)
-4-九分之一t的平方+三分之四t因式分解
一素明灯1年前1
面包aa 共回答了13个问题 | 采纳率69.2%
-4-1/9t²+4/3t
=-1/9(t²-12t+36)
=-1/9(t-6)²
因式分解:12x(3x-y)+y的二次方
ss来转转哟1年前2
tekun995 共回答了22个问题 | 采纳率100%
12x(3x-y)+y的二次方
=36x²-12xy+y²
=(6x-y)²
因式分解题目;初一;8点之前要!
因式分解题目;初一;8点之前要!
8点之前要,因式分解,
1、
4X的2次方减去Y的2次方加2X减去Y
2、
A的4次方的积加A的3次方的积加A加1
3、
X的4次方Y的积加2乘以X的3次方Y的2次方的积减去2X乘以Y的2次方的积
4、
X的3次方减去8Y的3次方减去X的2次方减去2XY减去4乘以有的2次方
5、
X的2次方加X减去Y的2次方减去Y
6、
AB(X的2次方减去Y的2次方)加XY(A的2次方减去别的2次方)
7、
X的2次方减去3Y减去XY加3X
8、X的3次方加2乘以X的2次方乘以Y的积减去9X减去18Y
9、(Y+2)乘以X的2次方的积加(Y+2)乘以X的积减去12Y减去24
10、M的2次方乘以X的2次方的积加N的2次方乘以Y的2次方的积减去M的2次方乘以Y的2次方的积减去N的2次方乘以X的2次方的积
11、以知X减去2Y=-2,B=-4098,求:26乘以X的2次方的积减去86XY加8B乘以Y的2次方的积减去8B的值
奎奎奎奎奎奎奎1年前3
天山七剑2006 共回答了15个问题 | 采纳率73.3%
1)
4x^2-y^2+2x-y
=(2x+y)(2x-y)+(2x-y)
=(2x-y)(2x+y+1)
2)
A^4+A^3+A+1
=A^3(A+1)+A+1
=(A^3+1)(A+1)
=(A+1)(A^2+A+1)(A+1)
=(A+1)^2*(A^2+A+1)
3)
X^4Y+2X^3*Y^2-X^2Y-2XY^2
=X^2*Y(X^2-1)+2XY^2(X-1)
=X^2*Y(X-1)(X+1)+2XY^2(X-1)
=XY(X-1)((X^2+X+2Y)
4、
X^3-8Y^3-X^2-2XY-4Y^2
=(x-2y)(x^2+2xy+4y^2)-(x^2+2xy+4y^2)
=(x-2y-1)(x^2+2xy+4y^2)
PS:X^3-Y^3=(X-Y)(X^2+XY+Y^2)
5、
X^2+X-Y^2-Y
=(X-Y)(X+Y)+(X-Y)
=(X+Y-1)(X-Y)
6、
AB(X^2-Y^2)+XY(A^2-B^2)
=ABX^2+XYA^2-ABY^2-XYB^2
=AX(BX+AY)-BY(AY+XB)
=(AX-BY)(BX+AY)
7、
X^2-3Y-XY+3X
=X(X-Y)+3(X-Y)
=(X-Y)(X+3)
8、
X^3+2X^2Y-9X-18Y
=X^2(X+Y)-9(X+2Y)
=(X+2Y)(X^2-1)
=(X+2Y)(X+1)(X-1)
9、(Y+2)X^2+(Y+2)X-12Y-24
=(Y+2)(X^2+X)-12(Y+2)
=(Y+2)(X^2+X-12)
=(Y+2)(X-3)(X+4)
10、M^2*X^2+N^2Y^2-M^2Y^2-N^2X^2
=M^2*(X^2-Y^2)-N^2*(X^2-Y^2)
=(X^2-Y^2)(M^2-N^2)
(X+Y)(X-Y)(M+N)(M-N)
11、以知X-2Y=-2,B=-4098,求:26*X^2-86XY+8B*Y^2的值
X-2Y=-2,B=-4098,
取x=0,y=1
26X^2-86XY+8B*Y^2
带入x=0,y=1,B=-4098
=8*-4098
=-32784
请因式分解:x的四方+x的二方y的二方+y的四方
小土豆8881年前1
fengchen422 共回答了19个问题 | 采纳率89.5%
X^4+X^2Y^2+Y^4
=(X^2+Y^2)^2-X^2Y^2
=(X^2+Y^2+XY)(X^2+Y^2-XY)
因式分解的方法 配方法和拆添项法有什么区别
wanghang20021年前1
rr常青藤 共回答了13个问题 | 采纳率92.3%
拆,添项法:
这种方法指把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项(或几项),使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解.要注意,必须在与原多项式相等的原则下进行变形.例如:
bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)
=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)
=bc(c-a)+bc(a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)
=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)
=(bc+ca)(c-a)+(bc-ab)(a+b)
=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)
=(c+b)(c-a)(a+b).
配方法:
对于某些不能利用公式法的多项式,可以将其配成一个完全平方式,然后再利用平方差公式,就能将其因式分解,这种方法叫配方法.它属于拆项、补项法的一种特殊情况.也要注意必须在与原多项式相等的原则下进行变形.
例如:x²+3x-40=x²+3x+2.25-42.25=(x+1.5)²-(6.5)²=(x+8)(x-5).
哪一个是2X2+5X-3的因式分解
shandy031年前3
452082670 共回答了16个问题 | 采纳率100%
十字相乘法

=(2x-1)(x+3)
高次方程,分时分式方程求助(2x/x^2-1)-(3x^2-3/x)=1我怎么算都算不出什么.降次,换元,因式分解都试过
高次方程,分时分式方程求助
(2x/x^2-1)-(3x^2-3/x)=1
我怎么算都算不出什么.降次,换元,因式分解都试过了.
3210231年前0
共回答了个问题 | 采纳率
因式分解:-4(x-2y)2+9(x+y)2.
北方的_狼1年前3
玩nn我吧 共回答了17个问题 | 采纳率100%
解题思路:有两项,都能写成平方的形式,并且符号相反,可用平方差公式展开.

-4(x-2y)2+9(x+y)2
=[3(x+y)]2-[2(x-2y)]2
=(3x+3y+2x-4y)(3x+3y-2x+4y),
=(5x-y)(x+7y).

点评:
本题考点: 因式分解-运用公式法.

考点点评: 本题主要考查利用平方差公式分解因式,整体思想的利用是解题的关键.

求6道因式分解答案X²+10X+21 =0 X²-x-1=0 3X²+6X-4=0 3X(X+1)=3X+3 4X²-4
求6道因式分解答案
X²+10X+21 =0 X²-x-1=0 3X²+6X-4=0 3X(X+1)=3X+3 4X²-4X+1=X²+6X+9 X²-2X+1=22
yiqiuxi1年前1
恨深情长 共回答了21个问题 | 采纳率85.7%
(x+3)(x+7)=0
[x-(1+√5)/2][x-(1-√5)/2]=0
[x-(-3+√21)/3][x-(-3-√21)/3]=0
3(x+1)(x-1)=0
(x-4)(3x+2)=0
[x-(1+√11)][x-(1-√11)]=0
3道初一因式分解1、4a(a-b)^3-6b(b-a)^32、-4a^n+2+6a^n+1-14a^n ps:是n+2次
3道初一因式分解
1、4a(a-b)^3-6b(b-a)^3
2、-4a^n+2+6a^n+1-14a^n ps:是n+2次方和n+1次方,不是a的n次方+2和+1.
3、(x+y)^2 -3(x+y)
SUPER猫猫熊1年前1
ziyi3232 共回答了22个问题 | 采纳率77.3%
1、4a(a-b)^3-6b(b-a)^3=2(a-b)^3(2a+3b)
2、-4a^n+2+6a^n+1-14a^n=-2a^n(2a^2-3a+7)
3、(x+y)^2 -3(x+y)=(x+y)(x+y-3)
初二因式分解练习题成过急难 也.
初二因式分解练习题成过急难 也.
(65+2)^2*(65-2)^2=260
(^2是平方)
亲卿爱卿吧1年前2
lee82128 共回答了9个问题 | 采纳率100%
=(65+2)×(65-2)×(65+2)×(65-2)=(65^2-2^2)×(65^2-2^2)=(65^2-2^2)^2
因式分解45(a-b)(x-5y)的平方+20(b-a)(4x+y)的平方
豁二妹1年前0
共回答了个问题 | 采纳率
因式分解 y(4xy-4x2-y2)还能被分解吗?16x的四次方-1怎样分解?
智慧星人1年前2
tt的话 共回答了18个问题 | 采纳率88.9%
y(4xy-4x^2-y^2)
=y(-4x^2+4xy-y^2)
=-y(2x-y)^2
16x^4-1
=(4x^2-1)(4x^2+1)
=(2x-1)(2x+1)(4x^2+1)
(ay+bx)^3+(ax+by)^3-(a^3+b^3)(x^3+y^3)怎么因式分解?
ee强1年前1
andong020 共回答了16个问题 | 采纳率100%
(ay+bx)^3+(ax+by)^3-(a^3+b^3)(x^3+y^3)
=(ay+bx+ax+by)[(ay+bx)²-(ay+bx)(ax+by)+(ax+by)²]-
-(a+b)(a²-ab+b²)(x+y)(x²-xy+y²)
=(a+b)(x+y)[(ay+bx)²-(ay+bx)(ax+by)+(ax+by)²]-
-(a+b)(x+y)(a²-ab+b²)(x²-xy+y²)
=(a+b)(x+y)[(ay+bx)²-(ay+bx)(ax+by)+(ax+by)²-(a²-ab+b²)(x²-xy+y²)]
=3abxy(a+b)(x+y).
因式分解 X的平方-4B的平方-2X+4B
supermeizi1年前1
ljcheng4 共回答了13个问题 | 采纳率92.3%
原式=(x+2b)(x-2b)-2(x-2b)=(x-2b)(x+2b-2)
求过程尽量完整 谢谢前一题用 因式分解法 后一题用换元法因式分解求值域&换元法求值域都ok!教会我方法也行啊 救命啊TA
求过程尽量完整 谢谢
前一题用 因式分解法 后一题用换元法

因式分解求值域&换元法求值域都ok!
教会我方法也行啊 救命啊TAT
忧郁的泪儿1年前0
共回答了个问题 | 采纳率
9(x+y)^2-25(x-y)^2 用简便方法计算(因式分解)
京城漂流1年前1
samtong0110 共回答了21个问题 | 采纳率100%
9(x+y)^2-25(x-y)^2 =(3x+3y)^2-(5x-5y)^2 =(3x+3y+5x-5y)(3x+3y-5x+5y) =(8x-2y)(8y-2x) =4(4x-y)(4y-x)
数学因式分解+三角形如果a,b,c是三角形的三条边,c=2b.且满足4a^2+2c^2-4ac-2c+1=0,请判断这个
数学因式分解+三角形
如果a,b,c是三角形的三条边,c=2b.且满足4a^2+2c^2-4ac-2c+1=0,请判断这个三角形的形状.
张怀旧1年前7
柳剑儿 共回答了14个问题 | 采纳率100%
把c=2b代入这个方程
4a²-4ac+c²+c²-2c+1=0
2a-c)²+(c-1)²=0,
即2a-c=0,c=2a,
c-1=0,c=1,
∴a=1/2,c=1=2b,∴b=1/2,
三角形的满足条件是2边之和大于第3边,且2边之差小于第3边
你试着把3个数值组合下,
得到的结果肯定没有的
不满足 所以不是三角行
我靠 这是哪个老师出的题目?
a²+4a(a+b)+4(a+b)²因式分解有过程
a²+4a(a+b)+4(a+b)²因式分解有过程
无奈的约定1年前1
味学 共回答了16个问题 | 采纳率93.8%
a²+4a(a+b)+4(a+b)²
=a²+4a²+4ab+4(a²+2ab+b²)
=a²+4a²+4ab+4a²+8ab+4b²
=9a²+12ab+4b²
=(3a+2b)²
因式分解求值,m的平方-16n的平方
空空杜1年前1
jinjin2731 共回答了16个问题 | 采纳率87.5%

m²-16n²
=m²-(4n)²
=(m-4n)(m+4n)
初三数学竞赛因式分解问题,请高手指点迷津.
初三数学竞赛因式分解问题,请高手指点迷津.
a^3+b^3+c^3-3abc
题目简单,但有点难做,请帮帮忙!
tomtotest1年前1
lakehjg 共回答了15个问题 | 采纳率93.3%
a^3+b^3+c^3-3abc
=(a+b)(a^2-ab+b^2)+c(c^2-3ab)
=(a+b)(a^2-ab+b^2)+c(c^2-3ab+a^2-ab+b^2-a^2+ab-b^2)
=(a+b)(a^2-ab+b^2)+c[(c^2-a^2-2ab-b^2)+(a^2-ab+b^2)]
=(a+b)(a^2-ab+b^2)+c[c^2-(a+b)^2]+c(a^2-ab+b^2)
=(a+b+c)(a^2-ab+b^2)+c(a+b+c)(c-a-b)
=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)