AB//CD,EF交AB于G,交CD于F,FH平分∠EFD,交AB于H,∠AGE=50°,求BHF

①猜想：BM=FN．
理由如下：
在正方形ABCD中，BD为对角线，O为对称中心，
∴BO=DO，∠BDA=∠DBA=45°，
∵△GEF为△ABD绕O点旋转所得，
∴FO=DO，∠F=∠BDA，
∴OB=OF，∠OBM=∠OFN．
在△OMB和△ONF中


∠OBM＝∠OFN
OB＝OF
∠BOM＝∠FON，
∴△OBM≌△OFN（ASA），
∴BM=FN．

②只有至少将△ABD绕对称中心O顺时针旋转至D与C重合，B与A重合，此时四边形DFBE成为正方形，故至少旋转90°，
故答案为：90．

点评：
本题考点： 旋转的性质；正方形的判定与性质．

考点点评： 此题主要考查了旋转的性质和正方形的性质，利用图形旋转前后对应线段以及对应角相等得出两个三角形全等是解题的关键．

A、由∠1=∠2可得FN∥EM；故结论正确；
B、由AB∥CD可得∠BED=∠CFE，由A证得的结论可推得：∠MEB=∠NFC；故结论正确；
C、由AB∥CD可得∠AEF+∠CFE=180°，故原结论错误；
D、由AB∥CD可得∠AEF=∠DFE，由A证得的结论可推得：∠AEM=∠DFC；故结论正确．故选C．

点评：
本题考点： 平行线的性质．

考点点评： 本题考查了平行线的性质及平行线的判定，找到相应关系的角是解题关键．

如图所示，过点E作EH∥AD，交CD于H．
∵AG⊥EF，EH∥AD，
∴∠BAG+∠AEF=90°，∠AEF+∠FEH=90°，
∴∠BAG=∠FEH，
又∵AB=EH，∠B=∠EHF=90°，
∴Rt△ABG≌Rt△EHF，
∴AG=EF=10cm．

点评：
本题考点： 正方形的性质；全等三角形的判定与性质．

考点点评： 在正方形中，能够通过作辅助线求解一些简单的线段相等问题．

(1)根据矩形的周长公式可得出y与x之间的关系式，再画出图形即可；

(2)根据题意可得出∠AEF+∠AFE=90∘，∠AEF+∠CED=90∘，则∠AFE=∠CED，则△AFE∽△DEC.

解：(1)∵AB=x(0<x⩽4)，BC=y.

∴x+y=5，

则y=5﹣x(0<x⩽4)，

∴y是x的一次函数，图象如图所示，

(2)∵∠CEF=90∘，∠A=90∘，

∴∠AEF+∠AFE=90∘，∠AEF+∠CED=90∘，

∴∠AFE=∠CED，则△AFE∽△DEC.

（1）y=5﹣x（0＜x≤4） （2）见解析

如图所示，过点E作EH∥AD，交CD于H．
∵AG⊥EF，EH∥AD，
∴∠BAG+∠AEF=90°，∠AEF+∠FEH=90°，
∴∠BAG=∠FEH，
又∵AB=EH，∠B=∠EHF=90°，
∴Rt△ABG≌Rt△EHF，
∴AG=EF=10cm．

点评：
本题考点： 正方形的性质；全等三角形的判定与性质．

考点点评： 在正方形中，能够通过作辅助线求解一些简单的线段相等问题．

证明：∵∠EAB+∠BAF=90°，∠DAF+∠BAF=90°，
∴∠BAE=∠DAF，
∴tan∠BAE=tan∠DAF，
∵AB=AD，
∴DF=BE，
又∵AB∥CD，
∴[BE/EC]=[BG/FC]，
∴BE•FC=BG•EC，
∴DF•FC=BG•EC．

点评：
本题考点： 解直角三角形．

考点点评： 本题考查了平行线定理，考查了三角函数的知识，本题中求证DF=BE是解题的关键．

根据平行线的性质与判定定理，故答案为：
BAD，CAD，
AD，EF，
AD，EF，同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行；
∠1，∠BAD，
∠2，∠DAC，
∠1=∠2，
∠BAD=∠DAC，
角平分线的定义．

点评：
本题考点： 平行线的判定与性质．

考点点评： 此题主要考查了平行线的性质与判定，此题有分析过程，可以很好的培养同学们的分析的思维，得出AD∥EF是解决问题的关键．

如图所示，过点E作EH∥AD，交CD于H．
∵AG⊥EF，EH∥AD，
∴∠BAG+∠AEF=90°，∠AEF+∠FEH=90°，
∴∠BAG=∠FEH，
又∵AB=EH，∠B=∠EHF=90°，
∴Rt△ABG≌Rt△EHF，
∴AG=EF=10cm．

点评：
本题考点： 正方形的性质；全等三角形的判定与性质．

考点点评： 在正方形中，能够通过作辅助线求解一些简单的线段相等问题．

（1）过D作DM⊥BC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=6，
∵∠C=60°，
∴DM=DC•sin60°=3
3，
∴▱ABCD的面积=BC•DM=24
3；
（2）在EF上找点K使得FK=BF，并连接BK，BE，
∵四边形ABCD平行四边形，
∴∠A=60°，CD=AB，
∴AE=AB，
∴△ABE是等边三角形，
∵∠EFB=60°，FK=BF，
∴△BFK是等边三角形，
∴BK=BF，
∵∠ABF+∠ABK=60°，∠ABK+∠KBE=60°，
∴∠ABF=∠KBE，
在△ABF和△BEK中，


BF＝BK
∠ABF＝∠KBE
AB＝BE，
∴△ABF≌△BEK，
∴AF=EK，
∴EF=BF+AF．

点评：
本题考点： 平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．

考点点评： 本题考查了平行四边形的性质、平行四边形的面积公式运用、等边三角形的判定和性质以及全等三角形的判定和性质，题目的综合性较强，难度中等．

由题意知，△AFB≌△AED
∴AF=AE，∠FAB=∠EAD，∠FAB+∠BAE=∠EAD+∠BAE=∠BAD=90°．
∴AE⊥AF，所以A正确；
∴△AEF是等腰直角三角形，有EF：AF=
2：1，所以B正确；
∵HB∥EC，
∴△FBH∽△FCE，
∴FB：FC=HB：EC，所以D正确．
∵△AEF与△AHF不相似，
∴AF²=FH•FE不正确．
故选C．

点评：
本题考点： 旋转的性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质．

考点点评： 本题利用了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质求解．

猜想：BM=FN．（2分）
证明：在正方形ABCD中，BD为对角线，O为对称中心，
∴BO=DO，∠BDA=∠DBA=45°，
∵△GEF为△ABD绕O点旋转所得，
∴FO=DO，∠F=∠BDA，
∴OB=OF，∠OBM=∠OFN，（4分）
在△OMB和△ONF中

∠OBM＝∠OFN
OB＝OF
∠BOM＝∠FON，
∴△OBM≌△OFN，（6分）
∴BM=FN．（7分）

点评：
本题考点： 旋转的性质；全等三角形的判定．

考点点评： 本题综合考查了旋转的性质和正方形的性质．