《数学归纳法的变式和应用 敖敏高娃 数学科学学院 数学与应用数学 2007级蒙班 指导老师 香花》用英文翻译

若已假设n=k（k≥2，k为偶数）时命题为真，因为n只能取偶数，所以还需要证明n=k+2成立．
故选B．

点评：
本题考点： 数学归纳法．

考点点评： 此题主要考查数学归纳法的概念问题，对学生的理解概念并灵活应用的能力有一定的要求，属于基础题目．

当n=1时，左端=4，右端=1，左端＞右端；
当n=2时，左端=6，右端=4，左端＞右端；
当n=3时，左端=10，右端=8，左端＞右端；
于是可猜测：2ⁿ+2＞n²（n∈N^*）．
证明：：①当n=1、2、3时，均有左端＞右端，不等式成立；
②假设n=k（k≥3，k∈N^*）时不等式成立，即2^k+2＞k²；
则当n=k+1时，
左边=2^k+1+2=2×（2^k+2）-2＞2k²-2=k²+k²-2，
右边=（k+1）²=k²+2k+1，
∵k²+k²-2-（k²+2k+1）=k²-2k-3=（k-3）（k+1）≥0，
∴当k≥3时，k²+k²-2≥（k+1）²，
即当n=k+1时，2^k+1+2＞（k+1）²，不等式成立；
综上所述，2ⁿ+2＞n²（n∈N^*）．

点评：
本题考点： 数学归纳法．

考点点评： 本题考查数学归纳法，着重考查变形、推理与论证的能力，属于难题．

证明：①n=1时，左边=1，右边=[1×2×3/6]=1，等式成立；
②假设n=k时，结论成立，即：1+3+6+…+
k(k+1)
2=
k(k+1)(k+2)
6，
则n=k+1时，等式左边=1+3+6+…+
k(k+1)
2+
(k+1)(k+2)
2=
k(k+1)(k+2)
6+
(k+1)(k+2)
2=
(k+1)(k+2)(k+3)
6，
故n=k+1时，等式成立
由①②可知：1+3+6+…+
n(n+1)
2=
n(n+1)(n+2)
6（n∈N^*）．

点评：
本题考点： 数学归纳法．

考点点评： 本题的考点是数学归纳法，主要考查数学归纳法的第二步，在假设的基础上，n=k+1时等式左边增加的项，关键是搞清n=k时，等式左边的规律，从而使问题得解．

首先写出当n=k时和n=k+1时等式左边的式子，
当n=k时，左边等于 （k+1）（k+2）…（k+k）=（k+1）（k+2）…（2k），①
当n=k+1时，左边等于 （k+2）（k+3）…（k+k）（2k+1）（2k+2），②
故从n=k到n=k+1的证明，左边需增添的代数式是由[②/①]得到
(2k+1)(2k+2)
(k+1)=2（2k+1），
故答案为：2（2k+1）．

点评：
本题考点： 数学归纳法．

考点点评： 本题考查用数学归纳法证明等式，本题解题的关键是写出n=k+1时和n=k时的式子，两边作比较就可以得到结果，这种题目的项数容易出错．

证明：（1）当n=1时，左=1−
1
2＝
1
2=右，等式成立．
（2）假设当n=k时等式成立，
即1−
1
2+
1
3−
1
4+…+
1
2k−1−
1
2k＝
1
k+1+
1
k+2+…+
1
2k
则1−
1
2+
1
3−
1
4+…+
1
2k−1−
1
2k+(
1
2k+1−
1
2k+2)=[1/k+1+
1
k+2+…+
1
2k+(
1
2k+1−
1
2k+2)=
1
k+2+…+
1
2k+
1
2k+1+
1
2k+2]∴当n=k+1时，等式也成立．
综合（1）（2），等式对所有正整数都成立．

点评：
本题考点： 用数学归纳法证明不等式．

考点点评： 数学归纳法常常用来证明一个与自然数集N相关的性质，其步骤为：设P（n）是关于自然数n的命题，若1）（奠基） P（n）在n=1时成立；2）（归纳） 在P（k）（k为任意自然数）成立的假设下可以推出P（k+1）成立，则P（n）对一切自然数n都成立．

∵a_k=1²+2²+…+k²+…+2²+1²，a_k+1=1²+2²+…+k²+（k+1）²+k²+…+2²+1²，
∴在运用数学归纳法证明a_n=[1/3]n（2n²+1）时，第二步中从k到k+1应添加的项是（k+1）²+k²，
故选：C．

点评：
本题考点： 数学归纳法．

考点点评： 本题考查数学归纳法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．