L1:(m-2)x+y+m=0,L2:3x+my+m+6=0 L1和L2的位置关系

方程x²+y^2-x+y+m=0表示一个圆，
则1+1-4m＞0，
∴m＜
1
2
故答案为：m＜
1
2

点评：
本题考点： 二元二次方程表示圆的条件．

考点点评： 本题考查二元二次方程表示圆的条件，属基础知识的考查，本题解题的关键是看清楚所表示的二元二次方程的各个系数之间的关系．

把直线方程化为y=-x-m，所以直线的斜率为-1，且m∈R，
所以已知直线是所有斜率为-1的直线，
即曲线切线的斜率不为-1，
由f（x）=[1/3]x³-ax得：f′（x）=x²-a，
对于x∈R，有x²≥0，根据题意得：a＜1．
实数a的取值范围是 （-∞，1）；
故答案为：（-∞，1）．

点评：
本题考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程．

考点点评： 此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程，考查直线的斜率与函数的导数的关系，考查计算能力．

∵圆x²+y²=m的圆心为原点，半径r=
m
∴若直线x+y+m=0与圆x²+y²=m相切，得圆心到直线的距离d=
|0+0+m|

2=
m
解之得m=2（舍去0）
故答案为：2

点评：
本题考点： 直线与圆的位置关系．

考点点评： 本题给出直线与圆相切，求参数m的值．考查了直线与圆的位置关系和点到直线的距离公式等知识，属于基础题．

由f（x）=x³-3ax可得f′（x）=3x²-3a∈[-3a，+∞），
∵对任意m∈R，直线x+y+m=0都不是y=f（x）的切线，
∴-1∉[-3a，+∞），
∴-1＜-3a，实数a的取值范围是a＜
1
3
故选C．

点评：
本题考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程．

考点点评： 本题考查用导数求曲线上某点切线的斜率，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

∵对任意实数m直线l：x+y+m=0都不是曲线y=f（x）的切线
∴曲线y=f（x）的切线的斜率不可能为-1
即f'（x）=2sinxcosx+2a=-1无解
∵0≤sin2x+1=-2a≤2
∴-1≤a≤0时2sinxcosx+2a=-1有解
∴对任意实数m直线l：x+y+m=0都不是曲线y=f（x）的切线，则a的取值范围是a＜-1或a＞0
故选B．

点评：
本题考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程．

考点点评： 本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及转化的数学思想，解题的关键是对条件“对任意实数m直线l：x+y+m=0都不是曲线y=f（x）的切线”的理解，属于基础题．

（1）∵点A（1，1）在圆C：x²+y²-x+y+m=0的外部，
∴

1+1−4＞0
1+1−1+1+m＞0，
解得：-2＜m＜[1/2]，
∴m的取值范围是（-2，[1/2]）．…（4分）
（2）m=-[1/4]时，圆C：x2+y2−x+y−
1
4＝0，
即(x−
1
2)2+(y+
1
2)2＝
3
4，
当斜率不存在时，直线x=1满足题意．…（6分）
当斜率存在时，设直线方程为y-1=k（x-1），
由题意可知：圆心到直线kx-y-k+1=0的距离为[1/2]，…（8分）
∴
1
2＝
|
1
2k+
1
2−k+1|

k2+1，解得：k=[4/3]，
∴直线方程为4x-3y-1=0，…（11分）
综上：所求直线方程为x=1或4x-3y-1=0．…（12分）

点评：
本题考点： 直线与圆相交的性质；圆与圆的位置关系及其判定．

考点点评： 本题考查实数的取值范围的求法，考查直线方程的求法，是中档题，解题时要注意直线的弦长公式和点到直线的距离公式的合理运用．

（I）f′（x）=3x²-3a∈[-3a，+∞），
∵对任意的实数m，直线x+y+m=0都不与曲线f（x）=x³-3ax（a∈R）相切，
∴-1∉[-3a，+∞），∴-3a＞-1，∴实数a的取值范围为a＜[1/3]；
（II）存在，证明：问题等价于当x∈[-1，1]时，|f（x）|_max≥[1/4]，
设g（x）=|f（x）|，则g（x）在[-1，1]上是偶函数，
故只要证明当x∈[0，1]时，|f(x)|max≥
1
4，
①当a≤0时，f′（x）=3x²-3a≥0，f（x）在[0，1]上单调递增，且f（0）=0，g（x）=f（x），
g（x）_max=f（1）=1-3a＞1＞[1/4]；
②当0＜a＜[1/3]时，f′（x）=3x²-3a=3（x+
a）（x-
a），
令f′（x）＜0，得0＜x＜
a，令f′（x）＞0得
a＜x＜1，
∴f（x）在[0，
a]上单调递减，在[
a，1]上单调递增，
注意到f(0)＝f(
3a)＝0，且
a＜
3a＜1，
∴x∈（0，
3a）时，g（x）=-f（x），x∈（
3a，1]时，g（x）=f（x），
∴g（x）_max=max{f（1），-f（
a）}，
由f(1)＝1−3a≥
1
4及0＜a＜
1
3，解得0＜a≤
1
4，此时−f(
a)≤f(1)成立．
∴g(x)max＝f(1)＝1−3a≥
1
4．
由−f(
a)＝2a
a≥
1
4及0＜a＜
1
3，解得[1/4≤a＜
1
3]，此时−f(
a)≥f(1)成立．
∴g(x)max＝−f(
a)＝2a
a≥
1
4．
∴在x∈[-1，1]上至少存在一个x₀，使得|f（x₀）|≥[1/4]成立，
即当x∈[-1，1]时，函数y=f（x）的图象上至少存在一点P，使得点P到x轴的距离不小于[1/4]．

点评：
本题考点： 导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程；反证法与放缩法．

考点点评： 本题考查导数在最大值，最小值问题中的应用，难点之一为利用导数求函数单调性时，式子里面有参数，要对参数进行分类讨论，难点之二要清楚原函数f（x）的零点，排除f（0）为最大值的可能，同时得出g（x）与f（x）的关系．

∵圆x²+y²=m的圆心为原点，半径r=
m
∴若直线x+y+m=0与圆x²+y²=m相切，得圆心到直线的距离d=
|0+0+m|

2=
m
解之得m=2（舍去0）
故答案为：2

点评：
本题考点： 直线与圆的位置关系．

考点点评： 本题给出直线与圆相切，求参数m的值．考查了直线与圆的位置关系和点到直线的距离公式等知识，属于基础题．

∵命题p：“方程x²+y²-x+y+m=0对应的曲线是圆
∴若p真，由△=（-1）²+1²-4m＞0得：m＜
1
2．
又∵命题q：“双曲线mx²-y²=1的两条渐近线的夹角为60°
∴若q真，由于渐近线方程为y＝±
mx(m＞0)，
由题，
m＝
3或

3
3，得：m=3或[1/3]．
∵若这两个命题中只有一个是真命题
∴p真q假时，m∈(−∞，
1
3)∪(
1
3，
1
2)；
p假q真时，m=3．
综上所述，所以实数m的取值范围，m∈(−∞，
1
3)∪(
1
3，
1
2)∪{3}

点评：
本题考点： 复合命题的真假．

考点点评： 本题考查的知识点是复合命题的真假判定，属于基础题目

∵方程x²+y²-x+y+m=0即 (x−
1
2)2+(y+
1
2)2＝
1
2−m 表示一个圆，
∴[1/2]-m＞0，解得 m＜[1/2]，
故选C．

点评：
本题考点： 二元二次方程表示圆的条件．

考点点评： 本题主要考查二元二次方程表示圆的条件，圆的标准方程的特征，属于基础题．

∵方程x²+y²-x+y+m=0即 (x−
1
2)2+(y+
1
2)2＝
1
2−m 表示一个圆，
∴[1/2]-m＞0，解得 m＜[1/2]，
故选C．

点评：
本题考点： 二元二次方程表示圆的条件．

考点点评： 本题主要考查二元二次方程表示圆的条件，圆的标准方程的特征，属于基础题．

∵方程x²+y²-x+y+m=0即 (x−
1
2)2+(y+
1
2)2＝
1
2−m 表示一个圆，
∴[1/2]-m＞0，解得 m＜[1/2]，
故选C．

点评：
本题考点： 二元二次方程表示圆的条件．

考点点评： 本题主要考查二元二次方程表示圆的条件，圆的标准方程的特征，属于基础题．

把直线方程化为y=-x-m，所以直线的斜率为-1，且m∈R，
所以已知直线是所有斜率为-1的直线，
即曲线的斜率不为-1，由f（x）=[1/3]x³-ax得：f′（x）=x²-a，
对于x∈R，有x²≥0，根据题意得：a＜1．
故选D

点评：
本题考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程．

考点点评： 此题考查学生会利用导数求曲线上过某点曲线方程的斜率，是一道基础题．

∵对任意实数m直线l：x+y+m=0都不是曲线y=f（x）的切线
∴曲线y=f（x）的切线的斜率不可能为-1
即f'（x）=2sinxcosx+2a=-1无解
∵0≤sin2x+1=-2a≤2
∴-1≤a≤0时2sinxcosx+2a=-1有解
∴对任意实数m直线l：x+y+m=0都不是曲线y=f（x）的切线，则a的取值范围是a＜-1或a＞0
故选B．

点评：
本题考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程．

考点点评： 本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及转化的数学思想，解题的关键是对条件“对任意实数m直线l：x+y+m=0都不是曲线y=f（x）的切线”的理解，属于基础题．