以y=(c1+c2x)e^x为通解的二阶线性常系数齐次微分方程是?感激不尽!）

因为常系数线性齐次微分方程y″+ay′+by=0 的通解为
y=（C₁+C₂ x）e^x，
故 r₁=r₂=1为其特征方程的重根，且其特征方程为
（r-1）²=r²-2r+1，
故 a=-2，b=1．
对于非齐次微分方程为y″-2y′+y=x，
设其特解为 y*=Ax+B，
代入y″-2y′+y=x 可得，
0-2A+（Ax+B）=x，
整理可得
（A-1）x+（B-2A）=0，
所以 A=1，B=2．
所以特解为 y*=x+2，
通解为 y=（C₁+C₂ x）e^x +x+2．
将y（0）=2，y（0）=0 代入可得，
C₁=0，C₂=-1．
故所求特解为 y=-xe^x+x+2．
故答案为-xe^x+x+2．

点评：
本题考点： 二阶常系数齐次线性微分方程求解；微分方程的显式解、隐式解、通解和特解．

考点点评： 本题是一个中档型题目，考察了线性常微分方程的求解方法．题目的难度系数并不大，只是计算量较大．

非齐次微分方程y″+ay′+by=x对应的齐次微分方程y″+ay′+by=0的通解为：
Y=（c₁+c₂x）e^x，
故可设非齐次微分方程y″+ay′+by=x的特
y^*=mx+n，
y^*′=m，y^*″=0，
代入非齐次微分方程：y″+ay′+by=x，
可得：am+b（mx+n）=x，
从而：m＝
1
b，n＝−
a
b2，
所以：y*＝
1
bx−
a
b2
于是，非齐次微分方程y″+ay′+by=x的通
y＝Y+y*＝(c1+c2x)ex+
1
bx−
a
b2，
又由：y（0）=0，y′（0）=0可得：


c1−
a
b2＝0
c1+c2+
1
b＝0，
所以求得：

c1＝
a
b2
c2＝−
a+b
b2，
所以，y＝(
a
b2−
a+b
b2x)ex+
1
bx−
a
b2．

点评：
本题考点： 二阶常系数齐次线性微分方程求解；二阶常系数非齐次线性微分方程求解．

考点点评： 本题考查二阶常系数非齐次微分方程的求解．需注意本题非齐次方程满足的条件代入时要代非齐次方程的通解而不是特解．

因为常系数线性齐次微分方程y″+ay′+by=0 的通解为
y=（C₁+C₂ x）e^x，
故 r₁=r₂=1为其特征方程的重根，且其特征方程为
（r-1）²=r²-2r+1，
故 a=-2，b=1．
对于非齐次微分方程为y″-2y′+y=x，
设其特解为 y*=Ax+B，
代入y″-2y′+y=x 可得，
0-2A+（Ax+B）=x，
整理可得
（A-1）x+（B-2A）=0，
所以 A=1，B=2．
所以特解为 y*=x+2，
通解为 y=（C₁+C₂ x）e^x +x+2．
将y（0）=2，y（0）=0 代入可得，
C₁=0，C₂=-1．
故所求特解为 y=-xe^x+x+2．
故答案为-xe^x+x+2．

点评：
本题考点： 二阶常系数齐次线性微分方程求解；微分方程的显式解、隐式解、通解和特解．

考点点评： 本题是一个中档型题目，考察了线性常微分方程的求解方法．题目的难度系数并不大，只是计算量较大．