f(x)=cosxcos(x-A)-1/2cosA求周期和最大值

解题思路：（Ⅰ）利用两角和差的正弦公式、余弦公式化简函数f（x）的解析式为

1

2

cos(2x−A)，由此可求它的最大值．
（Ⅱ）由（ I）知：由

2π

3

−A＝2kπ，k∈Z，求得A的值，再利用正弦定理及两角和差的正弦公式、余弦公式，化简要求的式子，求得结果．

（Ⅰ）依题意得f(x)＝cos2xcosA+cosxsinxsinA−
1
2cosA…（2分）
=[1/2(cos2x•cosA+sin2x•sinA)=
1
2cos(2x−A)，…（5分）
所以T=π，(f(x))max＝
1
2]．…（7分）
（Ⅱ）由（ I）知：由[2π/3−A＝2kπ，k∈Z，得A＝
2π
3−2kπ∈(0，π)，
所以A＝
2π
3]．
故
a(cosB+cosC)
(b+c)sinA=[cosB+cosC/sinB+sinC＝
cos(
π
3−C)+cosC
sin(
π
3−C)+sinC]=

3
2cosC+

3
2sinC


3
2cosC+
1
2sinC＝
3．…（14分）

点评：
本题考点： 两角和与差的余弦函数；二倍角的正弦；二倍角的余弦．

考点点评： 本题主要考查两角和差的正弦公式、余弦公式，正弦定理以及二倍角公式的应用，属于中档题．

f(x)=cosxcos(x-A)-cosA/2=(cos(2x-A)+cosA)/2-cosA/2
=cos(2x-A)/2,最小正周期：T=2π/2=π
当：2x-A=2kπ时,即：x=kπ+A/2,k∈Z时
f(x)取得最大值：1/2
感觉题目像是不完整,有问题可追问
x=π/3时,f(x)取得最大值,即：kπ+A/2=π/3
当k=0时,A=2π/3
a(cosB+cosC)/((b+c)sinA))
=sinA(cosB+cosC)/((sinB+sinC)sinA)
=(cosB+cosC)/(sinB+sinC)
=cos((B+C)/2)cos((B-C)/2)/[sin((B+C)/2)cos((B-C)/2)]
=cos((B+C)/2)/sin((B+C)/2)
=ctg((B+C)/2)=ctg((π-A)/2)
=tg(A/2)=tg(π/3)=√3

f(x)=2sinxcosxcosΦ+(1-2sin^2x)sinΦ
即：
f(x) = sin2xcosΦ + cos2xsinΦ
= sin(2x + Φ)
可见f(x)的最小正周期为π 值域为[ -1 , 1 ]
f(x) = sin(2x + Φ),可知(2x + Φ) ＝π ／2 ＋kπ 是其对称轴
即： x = π /4 + kπ / 2 - Φ / 2 表示了所有的对称轴
又 一条对称轴为x=π6 ,则 Φ = -5π / 6
则tan(Φ+π3) = －∞

解题思路：先求出f(

π

3

−x) ＝

cos( π 3 − x )

cos[ π 6 −( π 3 −x) ]

，再利用三角函数的恒等变换及化简f(x)+f(

π

3

−x) 得到它的值．

∵f(x)＝
cosx
cos(
π
6−x)，∴f(
π
3−x) ＝
cos(
π
3− x )
cos[
π
6−(
π
3−x) ]
∴f(x)+f(
π
3−x)=[cosx
cos(
π/6−x)]+
cos(
π
3− x )
cos[
π
6−(
π
3−x) ]
=[cosx
cos(
π/6−x)]+
cos(
π
3− x )
cos(x−
π
6) =
cosx+cos(
π
3−x)
cos(
π
6−x)
=

3(

3
2cosx +
1
2sinx)
cos(
π
6−x)=

点评：
本题考点： 三角函数的化简求值．

考点点评： 本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，属于中档题．

f(x)=cos(x+θ)[cos(x+θ)-2cosθcosx]+cos^2θ
=-cos(x+θ)[sinxsinθ+cosxcosθ]+cos^2θ
=-cos(x+θ)cos(x-θ)+cos^2θ
=-(cosx)/2-(cosθ)/2+cos^2θf(x)的最大值1+cos^2θ-(cosθ)/2、最小值-1+cos^2θ-(cosθ)/2,最小正周期2π

f(x)=cosxcos(x-π/3)-cos2x-1/4
=cosx[(1/2)cosx+(√3/2)sinx]-cos2x-1/4
=(1/2)cos²x+(√3/2)sinxcosx-cos2x-1/4
=(1/4)(cos2x+1)+(√3/4)sin2x-cos2x-1/4
=(√3/4)sin2x-(3/4)cos2x
=(√3/2)sin(2x-π/3)
单增：
2x-π/3∈[2kπ-π/2,2kπ+π/2]
x∈[kπ-π/12,kπ+5π/12]
所以单调增区间为
[kπ-π/12,kπ+5π/12] k∈z
［-π/6,π/4］
2x-π/3∈[-2π/3,π/6]
所以
f(x)的值域为 [-√3/2,√3/4]
最大值为 √3/4 最小值为 -√3/2

解题思路：（Ⅰ）利用两角和差的正弦公式、余弦公式化简函数f（x）的解析式为

1

2

cos(2x−A)，由此可求它的最大值．
（Ⅱ）由（ I）知：由

2π

3

−A＝2kπ，k∈Z，求得A的值，再利用正弦定理及两角和差的正弦公式、余弦公式，化简要求的式子，求得结果．

（Ⅰ）依题意得f(x)＝cos2xcosA+cosxsinxsinA−
1
2cosA…（2分）
=[1/2(cos2x•cosA+sin2x•sinA)=
1
2cos(2x−A)，…（5分）
所以T=π，(f(x))max＝
1
2]．…（7分）
（Ⅱ）由（ I）知：由[2π/3−A＝2kπ，k∈Z，得A＝
2π
3−2kπ∈(0，π)，
所以A＝
2π
3]．
故
a(cosB+cosC)
(b+c)sinA=[cosB+cosC/sinB+sinC＝
cos(
π
3−C)+cosC
sin(
π
3−C)+sinC]=

3
2cosC+

3
2sinC


3
2cosC+
1
2sinC＝
3．…（14分）

点评：
本题考点： 两角和与差的余弦函数；二倍角的正弦；二倍角的余弦．

考点点评： 本题主要考查两角和差的正弦公式、余弦公式，正弦定理以及二倍角公式的应用，属于中档题．

解题思路：（1）把f（x）的解析式的第二项利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，整理后再利用二倍角的余弦函数公式化为一个角的余弦函数，由x为任意实数，可得余弦函数的值域为[-1，1]，进而确定出f（x）的最大值，并根据余弦函数的图象与性质得到此时x的取值集合；
（2）把x=B，f（B）=0代入第一问化简得到的解析式中，根据B为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值求出B的度数，再由b与c，以及cosB的值，利用余弦定理即可求出a的值．

（1）f(x)＝cosx−(cosxcos
π
3+sinxsin
π
3)
=
1
2cosx−

3
2sinx=cos(x+
π
3)，…（3分）
∵x∈R，∴-1≤cos（x+[π/3]）≤1，
则f（x）_max=1，…（4分）
此时x的取值集合为{x|x+
π
3＝2kπ，k∈Z}，即{x|x＝2kπ−
π
3，k∈Z}；…（6分）
（2）∵f（B）=cos(B+
π
3)＝0，且B为三角形的内角，
∴B＝
π
6，…（8分）
又b=1，c=
3，
∴由余弦定理b²=a²+c²-2accosB得：
12＝a2+(
3)2−2
3acos
π
6，…（10分）
即a²-3a+2=0，
解得：a=1或a=2．…（12分）．

点评：
本题考点： 余弦定理；两角和与差的余弦函数；余弦函数的定义域和值域．

考点点评： 此题考查了余弦定理，两角和与差的余弦函数公式，余弦函数的定义域与值域，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．

（1）f（
2π
3 ）=cos
2π
3 cos（
2π
3 -
π
3 ）=cos
2π
3 cos
π
3 =-cos ²
π
3 =-
1
4 ；
（2）f（x）=cosxcos（x-
π
3 ）=cosx（
1
2 cosx+

3
2 sinx）
=
1
2 cos ² x+

3
2 sinxcosx=
1
4 （1+cos2x）+

3
4 sin2x=
1
2 cos（2x-
π
3 ）+
1
4 ，
∴f（x）＜
1
4 ，化为
1
2 cos（2x-
π
3 ）+
1
4 ＜
1
4 ，即cos（2x-
π
3 ）＜0，
∴2kπ+
π
2 ＜2x-
π
3 ＜2kπ+
3π
2 （k∈Z），
解得：kπ+
5π
12 ＜x＜kπ+
11π
12 （k∈Z），
则使f（x）＜
1
4 成立的x取值集合为{x|kπ+
5π
12 ，kπ+
11π
12 （k∈Z）}．

f(x)=cos(x+θ)[cos(x+θ)-2cosθcosx]+cos^2θ
=-cos(x+θ)[sinxsinθ+cosxcosθ]+cos^2θ
=-cos(x+θ)cos(x-θ)+cos^2θ
=-(cosx)/2-(cosθ)/2+cos^2θ
f(x)的最大值1+cos^2θ-(cosθ)/2、最小值-1+cos^2θ-(cosθ)/2,最小正周期2π

（1）

因为g（x）的图象关于y轴对称，则

所以
∴
又∵
∴
∴ ；
（2）∵
∴
∴
所以f（x）的值域是 。