压缩映射原理

压缩映像原理，指完备的距离空间上到自身的压缩映射，存在唯一的不动点。设X是一个完备的距离空间，f是从X到X的一个压缩映射，那么f在X中必有且仅有一个不动点，而且从X的任何点x。出发作序列x1=f(x0)，x2=f(x1)，..，xn=f(xn-1)，...这个序列一定收敛到那个不动点。其中，称f是压缩映射，如果它把X中每两点的距离至少压缩k倍，这里k是一个小于1的常数，也就是说X中每两点x与y的像f(x)与f(y)的距离d(f(x)，f(y))不超过x与y的距离d(x，y)的k倍，即d(f(x)， f(y))≤kd(x，y)。压缩映射法是不动点法中一种常用的方法。压缩映射是巴拿赫在1922年给出的，这种思想可以追溯到皮卡用逐次逼近法求解常微分方程。该法能的提供许多种方程的解的存在性、唯一性及法代解法，只要方程的解能转化为某个压缩映射的不动点。这一方法已经推广到非扩展映射、映射族、集值映射、概率度量空间等许多方面。

1、压缩映射法是不动点法中一种常用的方法。它的根据是压缩映射原理：设X是一个完备的距离空间，f是从X到X的一个压缩映射，那么f在X中必有且仅有一个不动点，而且从X的任何点x。出发作序列x1=f(x0)，x2=f(x1)，…，xn=f(xn-1)，…这序列一定收敛到f的那个不动点。称f是压缩映射，如果它把X中每两点的距离至少压缩k倍，这里k是一个小于1的常数，也就是说X中每两点x与y的像f(x)与f(y)的距离d(f(x)，f(y))不超过x与y的距离d(x，y)的k倍，即d(f(x)，f(y))≤kd(x，y)。 2、压缩映射原理是巴拿赫(S.Banach)在1922年给出的，这种思想可以追溯到皮卡用逐次逼近法求解常微分方程。该法能够提供许多种方程的解的存在性、唯一性及迭代解法，只要方程的解能转化为某个压缩映射的不动点。这一方法已经推广到非扩展映射、映射族、集值映射、概率度量空间等许多方面。

　　1、压缩映射法是不动点法中一种常用的方法。它的根据是压缩映射原理：设X是一个完备的距离空间，f是从X到X的一个压缩映射，那么f在X中必有且仅有一个不动点，而且从X的任何点x。出发作序列x1=f(x0)，x2=f(x1)，…，xn=f(xn-1)，…这序列一定收敛到f的那个不动点。称f是压缩映射，如果它把X中每两点的距离至少压缩k倍，这里k是一个小于1的常数，也就是说X中每两点x与y的像f(x)与f(y)的距离d(f(x)，f(y))不超过x与y的距离d(x，y)的k倍，即d(f(x)，f(y))≤kd(x，y)。 　　2、压缩映射原理是巴拿赫(S.Banach)在1922年给出的，这种思想可以追溯到皮卡用逐次逼近法求解常微分方程。该法能够提供许多种方程的解的存在性、唯一性及迭代解法，只要方程的解能转化为某个压缩映射的不动点。这一方法已经推广到非扩展映射、映射族、集值映射、概率度量空间等许多方面。

压缩映射原理是巴拿赫（S.Banach)在1922年给出的，这种思想可以追溯到皮卡用逐次逼近法求解常微分方程。该法能够提供许多种方程的解的存在性、唯一性及迭代解法，只要方程的解能转化为某个压缩映射的不动点。这一方法已经推广到非扩展映射、映射族、集值映射、概率度量空间等许多方面。压缩映射原理应用设X是一个完备的距离空间，f是从X到X的一个压缩映射，那么f在X中必有且仅有一个不动点，而且从X的任何点x。出发作序列x1=f(x0)，x2=f(x1)，…，xn=f(xn-1)，…这序列一定收敛到f的那个不动点。称f是压缩映射，如果它把X中每两点的距离至少压缩k倍，这里k是一个小于1的常数，也就是说X中每两点x与y的像f(x)与f(y)的距离d(f(x)，f(y))不超过x与y的距离d(x，y)的k倍，即d(f(x)，f(y))≤kd(x，y)。

压缩映射原理是巴拿赫(S.Banach)在1922年给出的，这种思想可以追溯到皮卡用逐次逼近法求解常微分方程。该法能够提供许多种方程的解的存在性、唯一性及迭代解法，只要方程的解能转化为某个压缩映射的不动点。这一方法已经推广到非扩展映射、映射族、集值映射、概率度量空间等许多方面。压缩映射法是不动点法中一种常用的方法。它的根据是压缩映射原理：设X是一个完备的距离空间，f是从X到X的一个压缩映射，那么f在X中必有且仅有一个不动点，而且从X的任何点x。出发作序列x1=f(x0)，x2=f(x1)，…，xn=f(xn-1)，…这序列一定收敛到f的那个不动点。称f是压缩映射，如果它把X中每两点的距离至少压缩k倍，这里k是一个小于1的常数。也就是说X中每两点x与y的像f(x)与f(y)的距离d(f(x)，f(y))不超过x与y的距离d(x，y)的k倍，即d(f(x)，f(y))≤kd(x，y)。

压缩映射原理指完备的距离空间上到自身的压缩映射，存在唯一的不动点。设（X，ρ）为距离空间，T是X到X中的映射，如果存在数a（0<a<1），使得对所有的x，y∈X都有ρ（Tx， Ty）≤a*ρ（x， y），则称T是压缩映射。压缩映射也称为利普希茨映射。压缩映射必是连续映射，且为利普希茨连续。当X为赋范线性空间，f：X→Y为压缩映射时，映射I-f称为X上的压缩向量场。压缩映射原理是巴拿赫在1922年给出的，这种思想可以追溯到皮卡用逐次逼近法求解常微分方程。该法能够提供许多种方程的解的存在性、唯一性及迭代解法，只要方程的解能转化为某个压缩映射的不动点。这一方法已经推广到非扩展映射、映射族、集值映射、概率度量空间等许多方面。压缩映射原理的基本理论1、（完备度量空间）若度量空间中每个柯西点列都在中收敛，那么称是完备的度量空间。2、（压缩映射）设是度量空间，是上的自映射。若存在数，使得, 均有, 则称是上的一个压缩映射。3、（不动点）给定度量空间，是上的自映射，如果存在，使得，则称为映射的一个不动点。

半开半闭区间(0,1]不完备

压缩映射原理

度量空间(M,d)上的压缩映射，或压缩，是一个从M到它本身的函数f，存在某个实数，使得对于所有M内的x和y，都有：满足以上条件的最小的k称为f的利普希茨常数。压缩映射有时称为利普希茨映射。如果以上的条件对于所有的都满足，则该映射称为非膨胀的。 更一般地，压缩映射的想法可以定义于两个度量空间之间的映射。如果(M,d)和(N,d")是两个度量空间，则我们寻找常数k，使得对于所有M内的x和y。 每一个压缩映射都是利普希茨连续的，因此是一致连续的。 一个压缩映射最多有一个不动点。另外，巴拿赫不动点定理说明，非空的完备度量空间上的每一个压缩映射都有唯一的不动点，且对于M内的任何x，迭代函数序列x，f (x)，f (f (x))，f (f (f (x)))，……收敛于不动点。这个概念在迭代函数系统中是非常有用的，其中通常要利用压缩映射。巴拿赫不动点定理也用来证明常微分方程的解的存在，以及证明反函数定理。

压缩映射原理是泛函分析中最基本的存在性定理.本文通过对考研中数列极限的典型例题的解析，归纳总结出适合压缩映射原理求极限数列的一般形式，展示压缩映射原理在解决递推数学列极限中的优越性.关键词: 压缩映射原理 极限 递推数列压缩映射原理是著名的波兰数学家Stefan Banach在1922年提出的，它是整个分析科学中最常用的存在性理论，应用非常广泛，如隐函数存在性定理、微分方程解的存在唯一性.这里我们主要研究压缩映射原理在数列极限中的应用.许多参考资料都讲过这个方面的应用，如文献[1-3].在前人的基础上，笔者结合自己的教学体会，系统归纳总结了压缩映射原理在一类递推数列极限中的应用，进一步展示其优越性.1.基本概念和定理为了结构的完整和叙述的方便，我们给出文献中的几个概念和定理.定义1.1设(X，ρ)为一个度量空间，T是X到X的映射，若存在0<α<1，使得,坌x，y?X，有ρ(Tx，Ty)?αρ(x，y)，则称T是X到X的一个压缩映射.定理1.2(压缩映射原理)设(X，ρ)为一个完备的距离空间，T是X到X的一个压缩映射，则T在X上存在唯一的不动点，即存在唯一的x?X，使得Tx=x.1/3页事实上，这两个结果在一般的实数R上也成立，有如下结果.2.应用类型一:直接应用定理型下面我们看一道竞赛试题.由于压缩映射原理在许多教材中没有给出，但其实用性很强，因此在教学过程可以补充给出，让学有余力的学生自己查阅相关文献.这类题目常见于考研试题和竞赛试题，只要出现迭代数列形式，就可以尝试利用压缩映射原理来考虑，问题的关键是确定函数是否为压缩函数，同时一定要注意函数的定义域.我们可以把这类问题归结为如下形式.类型二:先转化再应用型这类问题中虽然没有明显的迭代条件，但可以先考虑通常的方法，如单调有界定理、柯西收敛逐准则及夹逼定理等，也可以尝试往压缩映射原理条件上去凑，或许有意外的收获.以上几个例子都是数列极限中常见的典型例题，但几乎所有的教学参考书籍都没有提及利用压缩映射原理解决该问题，事实上，利用该方法解决上述例题更简洁.数学分析中很多问题的解决都得益于把已知条件往解决方法原理的条件上“凑”，这种“凑”是一种技巧、策略，它是解决数学分析中问题的常见策略，初学者需要仔细体会.数列极限的求解方法多种多样，每种方法都有其条件要求和适用范围，需要灵活运用.压缩映射原理也不例外，在应用是时一定要注意条件的验证，同时要注意其使用范

压缩映射原理指完备的距离空间上到自身的压缩映射，存在唯一的不动点。设（X，ρ）为距离空间，T是X到X中的映射，如果存在数a（0<a<1），使得对所有的x，y∈X都有ρ（Tx， Ty）≤a*ρ（x， y），则称T是压缩映射。压缩映射也称为利普希茨映射。压缩映射必是连续映射，且为利普希茨连续。当X为赋范线性空间，f：X→Y为压缩映射时，映射I-f称为X上的压缩向量场。压缩映射原理是巴拿赫在1922年给出的，这种思想可以追溯到皮卡用逐次逼近法求解常微分方程。该法能够提供许多种方程的解的存在性、唯一性及迭代解法，只要方程的解能转化为某个压缩映射的不动点。这一方法已经推广到非扩展映射、映射族、集值映射、概率度量空间等许多方面。压缩映射原理的基本理论1、（完备度量空间）若度量空间中每个柯西点列都在中收敛，那么称是完备的度量空间。2、（压缩映射）设是度量空间，是上的自映射。若存在数，使得, 均有, 则称是上的一个压缩映射。3、（不动点）给定度量空间，是上的自映射，如果存在，使得，则称为映射的一个不动点。