- 再也不做稀饭了
-
这道题,如果不需要证明,直接
写答案是一道简单题。但是,如果要写过程就是一道非常难的一道题。估计没有见过这类题型的人,2个小之内是绝对做不完的。像这类题,要总结经验,知道从哪里入手,类似这样的难题有许多;看起来非常简单,但是,怎么证明都像是缺少条件。基本上都是用四边形DJEL的证明方法来证明。但是,这样的题不要做得过多,掌握题型即可;太浪费时间了。
解:见下图:做正方形ABCD的外接圆O,在四边形ADEF中,因为DE⊥EF,ABCD是正方形;所以,∠DEF=∠DAF=90D;A、D、E、F四点共圆,圆心为Q。∠DFE=∠DAE=∠DAC=∠EDF=45D
(同弧上的圆周角),所以,△DEF是等腰直角三角形;因为△GEF≌△MEF,∠DFM=2∠DFE=90D;MF是圆Q的切线;Q点在DF的中点;以Q为圆心做ADEF的外接圆交DM于P,连结AP,连结FP,则FP⊥DM;因为∠PFM=∠FDM(同弧上的圆周角)所以Rt△ADF∽Rt△ODE;连结AP,连结PE交中轴线HO延长线于S,并延长PE到J交CD于J;做EL⊥AD交AD于L;
EL//DC;连结DE、JL,相交于K;因∠DEL=∠EDJ,DL=DL,
Rt△JDL∽Rt△ELD;
JD/EL=JL/ED=DL/DL=1;所以,DJ=EL,JD=ED;在△DEJ和△EDL中,用上述条件,可以证明△DEJ≌△EDL;∠DJE=∠DLE=90D;则JP//AD。
假设AC和BM相交于O1,在△AO1D≌△EO1P中,因为:∠O1EP=∠O1DA(同弧圆周角)=∠O1PE(内错角)=
∠O1AD,
所以,△AO1D和△EO1P都是等腰三角形;则梯形ADEP为等腰梯形。因为AD是正方形和等腰梯形的公共底边,等腰梯形的中轴线和对角线的交点都在中轴线上,所以,O1与O重合。
又因为:∠DPF=90D(直径上的圆周角),容易证明△EON≌△EPN;则EN=NF=EF/2,ON=NP;在△DME和△EMN中,因在∠NEM=∠AEF=90D-DEO
=∠EDM,∠ENM=∠MDE;所以△DME∽△EMN;所以,EM/DM=EN/DE=NM/EM=1/2;
已知正方形边长为4;DE=√(3*3+1)=√10,
设 ∠FDP=a;
sina=PF/DF=√2/√(4^2+2^2)=√2/2√5=1/√10;
根据切割线定理:PF=FMsina=FM/10,
FM^2=PM*DM=PM(DP+PM)=PM^2+3√2PM..(1)
PM=FM*sina=FM/√10.....(2);
将(2代入(1),得:9PM=3√2,PM=√2/3;FM=2√5/3;DM=DP+PM=3√2+√2/3=10√2/3;
2=FMcos(45-a)+BMcos45=(√2/2)[FM(cosa+sina+BM]
=2√2-(2√5/3)[√(1-1/10)+1/√10]=2√2-4√2/3=2√2/3;
MN=√2/2+√2/3=5√2/6。
△EMN得周长:L=DE/2+DM/2+NM=√10/2+10√2/6+5√2/6=(√10+5√2)/2。