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函数的有界性是数学术语。
设函数f(x)的定义域为D,f(x)在集合D上有定义。
如果存在数K1,使得 f(x)≤K1对任意x∈D都成立,则称函数f(x)在D上有上界。
反之,如果存在数字K2,使得 f(x)≥K2对任意x∈D都成立,则称函数f(x)在D上有下界,而K2称为函数f(x)在D上的一个下界。
如果存在正数M,使得 |f(x)|≤M 对任意x∈D都成立,则称函数在D上有界。如果这样的M不存在,就称函数f(x)在D上无界;等价于,无论对于任何正数M,总存在x1属于X,使得|f(x1)|>M,那么函数f(x)在X上无界。
此外,函数f(x)在X上有界的充分必要条件是它在X上既有上界也有下界。
举例
一般来说,连续函数在闭区间具有有界性。 例如: y=x+6在[1,2]上有最小值7,最大值8,所以说它的函数值在7和8之间变化,是有界的,所以具有有界性。但正切函数在有意义区间,比如(-π/2,π/2)内则无界。
sinx,cosx,sin(1/x),cos(1/x), arcsinx,arccosx,arctanx,arccotx是常见的有界函数。
定义
设函数f(x)的定义域为D,f(x)集合D上有定义。
如果存在数K1,使得 f(x)≤K1对任意x∈D都成立,则称函数f(x)在D上有上界。
反之,如果存在数字K2,使得 f(x)≥K2对任意x∈D都成立,则称函数f(x)在D上有下界,而K2称为函数f(x)在D上的一个下界。
如果存在正数M,使得 |f(x)|≤M 对任意x∈D都成立,则称函数在X上有界。如果这样的M不存在,就称函数f(x)在X上无界;等价于,无论对于任何正数M,总存在x1属于X,使得|f(x1)|>M,那么函数f(x)在X上无界。
此外,函数f(x)在X上有界的充分必要条件是它在X上既有上界也有下界。
- 真可
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有界函数是设f(x)是区间E上的函数,若对于任意的x属于E,存在常数m、M,使得m≤f(x)≤M,则称f(x)是区间E上的有界函数。其中m称为f(x)在区间E上的下界,M称为f(x)在区间E上的上界。
一般来说,连续函数在闭区间具有有界性。例如:y=x+6在[1,2]上有最小值7,最大值8,所以说它的函数值在7和8之间变化,是有界的,所以具有有界性。但正切函数在有意义区间,比如(-π/2,π/2)内则无界。
sinx,cosx,sin(1/x),cos(1/x),arcsinx,arccosx,arctanx,arccotx是常见的有界函数。
函数f(x)在X上有界的充分必要条件是它在X上既有上界也有下界。
- 贝贝
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等价定义
设u0192(x)是区间E上的函数。若对于任意属于E的x,存在常数M>0,使得|u0192(x)|≤M,则称u0192(X)是区间E上的有界函数。[1]
例子
正弦函数sin x 和余弦函数cos x为R上的有界函数,因为对于每个x∈R都有|sin x|≤1和|cos x|≤1
新的概念
下面介绍与有界函数概念相关的几个概念。
相关概念
设函数f(x)是某一个实数集A上有定义,如果存在正数M 对于一切X∈A都有不等式|f(x)|≤M的则称函数f(x)在A上有界,如果不存在这样定义的正数M则称函数f(x)在A上无界 设f为定义在D上的函数,若存在数M(L),使得对每一个x∈D有: u0192(x)≤M(u0192(x)≥L)
则称u0192在D上有上(下)界的函数,M(L)称为u0192在D上的一个上(下)界。
根据定义,u0192在D上有上(下)界,则意味着值域u0192(D)是一个有上(下)界的数集。又若M(L)为u0192在D上的上(下)界,则任何大于(小于)M(L)的数也是u0192在D上的上(下)界。根据确界原理,u0192在定义域上有上(下)确界[1] 。
一个特例是有界数列,其中X是所有自然数所组成的集合N。所以,一个数列(a0,a1,a2, ... ) 是有界的,如果存在一个数M> 0,使得对于所有的自然数n,都有: 。
例子
由u0192 (x)=sinx所定义的函数f:R→R是有界的。如果正弦函数是定义在所有复数的集合上,则不再是有界的。 函数 (x不等于-1或1)是无界的。当x越来越接近-1或1时,函数的值就变得越来越大。但是,如果把函数的定义域限制为[2, ∞).,则函数就是有界的。
函数是有界的。
任何一个连续函数f:[0,1] →R都是有界的。 考虑这样一个函数:当x是有理数时,函数的值是0,而当x是无理数时,函数的值是1。这个函数是有界的。有界函数并不一定是连续的。
- clou
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设函数f(x)的定义域为D,f(x)集合D上有定义。
如果存在数K1,使得 f(x)≤K1对任意x∈D都成立,则称函数f(x)在D上有上界。
反之,如果存在数字K2,使得 f(x)≥K2对任意x∈D都成立,则称函数f(x)在D上有下界,而K2称为函数f(x)在D上的一个下界。
如果存在正数M,使得 |f(x)|≤M 对任意x∈D都成立,则称函数在X上有界。如果这样的M不存在,就称函数f(x)在X上无界;等价于,无论对于任何正数M,总存在x1属于X,使得|f(x1)|>M,那么函数f(x)在X上无界。
此外,函数f(x)在X上有界的充分必要条件是它在X上既有上界也有下界。
- snjk
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有界函数是设f(x)是区间E上的函数,若对于任意的x属于E,存在常数m、M,使得m≤f(x)≤M,则称f(x)是区间E上的有界函数。其中m称为f(x)在区间E上的下界,M称为f(x)在区间E上的上界。
有界函数并不一定是连续的。根据定义,u0192在D上有上(下)界,则意味着值域u0192(D)是一个有上(下)界的数集。根据确界原理,u0192在定义域上有上(下)确界。一个特例是有界数列,其中X是所有自然数所组成的集合N。由u0192 (x)=sinx所定义的函数f:R→R是有界的。当x越来越接近-1或1时,函数的值就变得越来越大。
中文名
有界函数
外文名
Bounded Function
所属学科
数学
应用领域
自然科学
性质
有界性
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新的概念性质无界函数
概念
等价定义
设u0192(x)是区间E上的函数。若对于任意属于E的x,存在常数M>0,使得|u0192(x)|≤M,则称u0192(X)是区间E上的有界函数。[1]
例子
正弦函数sin x 和余弦函数cos x为R上的有界函数,因为对于每个x∈R都有|sin x|≤1和|cos x|≤1
新的概念
下面介绍与有界函数概念相关的几个概念。
相关概念
设函数f(x)是某一个实数集A上有定义,如果存在正数M 对于一切X∈A都有不等式|f(x)|≤M的则称函数f(x)在A上有界,如果不存在这样定义的正数M则称函数f(x)在A上无界 设f为定义在D上的函数,若存在数M(L),使得对每一个x∈D有: u0192(x)≤M(u0192(x)≥L)
则称u0192在D上有上(下)界的函数,M(L)称为u0192在D上的一个上(下)界。
根据定义,u0192在D上有上(下)界,则意味着值域u0192(D)是一个有上(下)界的数集。又若M(L)为u0192在D上的上(下)界,则任何大于(小于)M(L)的数也是u0192在D上的上(下)界。根据确界原理,u0192在定义域上有上(下)确界[1]。
一个特例是有界数列,其中X是所有自然数所组成的集合N。所以,一个数列(a0,a1,a2, ... ) 是有界的,如果存在一个数M> 0,使得对于所有的自然数n,都有:
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