概率论公式总结是什么？

概率论公式总结如下图：概率论，是研究随机现象数量规律的数学分支。随机现象是相对于决定性现象而言的，在一定条件下必然发生某一结果的现象称为决定性现象。例如在标准大气压下，纯水加热到100℃时水必然会沸腾等。相关信息：概率与统计的一些概念和简单的方法，早期主要用于赌博和人口统计模型。随着人类的社会实践，人们需要了解各种不确定现象中隐含的必然规律性，并用数学方法研究各种结果出现的可能性大小，从而产生了概率论，并使之逐步发展成一门严谨的学科。概率与统计的方法日益渗透到各个领域，并广泛应用于自然科学、经济学、医学、金融保险甚至人文科学中。

概率论公式总结：P(A)≥0；P(Ω)=1。涉及n次试验某事件发生的次数X的数字特征的问题，马上要联想到对X作（0－1）分解，凡求解各概率分布已知的若干个独立随机变量组成的系统满足某种关系的概率（或已知概率求随机变量个数）的问题，马上联想到用中心极限定理处理。贝叶斯法则：事件A在事件B(发生)的条件下的概率，与事件B在事件A的条件下的概率是不一样的；然而，这两者是有确定的关系,贝叶斯法则就是这种关系的陈述。作为一个规范的原理，贝叶斯法则对于所有概率的解释是有效的；然而，频率主义者和贝叶斯主义者对于在应用中概率如何被赋值有着不同的看法：频率主义者根据随机事件发生的频率，或者总体样本里面的个数来赋值概率。贝叶斯主义者要根据未知的命题来赋值概率。一个结果就是，贝叶斯主义者有更多的机会使用贝叶斯法则。

概率公式C的计算方法：一般来说，C(n,m)(n是上标，m是下标。)，C(n,m)=m(m-1)(m-2)...(m-n+1)/n!其中m<=n。n!是n的阶乘。例如：C(2,4)=(4*3)/(2*1)。C(3,3)=(3*2*1)/(3*2*1)=1。扩展资料：概率公式C是组合方法的数量，跟顺序没有关系，比如：C(1,3)表示从3个人小明，小兰，小红里面选出1个。总共的方法有3种。第一种选出小明，第二种选出小兰，第三种选出小红。顺序可以调换不影响结果。

全概率公式为概率论中的重要公式，它将对一复杂事件A的概率求解问题转化为了在不同情况下发生的简单事件的概率的求和问题。内容：如果事件B1、B2、B3…Bn 构成一个完备事件组，即它们两两互不相容，其和为全集；并且P（Bi)大于0，则对任一事件A有P(A)=P(A|B1)P(B1) + P(A|B2)P(B2) + ... + P(A|Bn)P(Bn)。p(A)=P(AB1)+P(AB2)+...+P(ABn))，其中A与Bn的关系为交)。

任何公式的运用都是有条件的,就像物理中的经典力学和相对论力学,他们是用在不同的速度域一样,但他们本质是相通的.对于有限可加公式条件是：A1,A2.An是互不相容,也就是任何两个之间都没有交集.而广义加法公式没有任何条件限制,用最直观的集合的思想可以容易的证明.其实两个公式是相通的,有限可加性,是广义加法的特殊情况如P（AUB）=P（A）+P（B）-P（AB）在有限可加性的条件下,P（AB）=0,所以P（AUB）=P（A）+P（B）

概率论中定理　　设实验e的样本空间为s,a为e的事件,b1,b2,...,bn为s的一个划分,且p(bi)>0(i=1,2,...,n),则　　p(a)=p(a|b1)*p(b1)+p(a|b2)*p(b2)+...+p(a|bn)*p(bn).　　上式称为全概率公式

概率论与数理统计公式是如下这些：1.对于任意一个事件A：P(A)=1-P(非A)。2.当事件A，B满足A包含于B时：P(BnA)=P(B)-P(A)，P(A)≤P(B)。3.对于任意一个事件A，P(A)≤1。4.对任意两个事件A和B，P(B-A)=P(B)-P(AB)。5.（加法公式）对任意两个事件A和B，P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)。《概率论与数理统计》是高等院校理工类、经管类的重要课程之一。在考研数学中的比重大约占22%左右（数一、数三）。学习数学的方法1、学数学最重要的就是解题能力。要想会做数学题目，就要有大量的练习积累，知道各类型题目的解题步骤与方法，题目做多了就有手感了，再拿出类似的题目才会有解题思路。2、其次是学会预习。解题思路不是直接就有的，也并非通过做几道简单的题目就能轻易获得，而是在预习过程中不断积累出来的。因此，预习在数学学习过程中起到了非常重要的作用。预习一方面能够让大家提前对数学知识有所了解，另一方面能够培养数学独立学习能力。3、学数学必须多做题。理解了数学基本定义和知识点以后，就需要通过做对应习题去巩固知识，多做多练才能更好地掌握所学知识，学数学也是看花容易绣花难的，只有真正动手去做题、经历了实操过程能学会。4、做完题要学会总结。对于做过的题型及做错的题目要善于进行分类总结，再遇到类似的题目要会分析，知道哪里容易出现问题，然后尽量去避免。同时在做题和总结过程中，要学会举一反三，抓住考点去复习。5、学数学要会看书和查缺补漏。数学基础考点都来源于课本，大家之所以觉得书没什么可看，是因为对教材掌握程度不够。书上的每个定义都要理解后倒背如流，深究每个词语的含义，做懂每个例题，会推导数学公式及变形公式。

1、D(aX)＝a2D(X)， 2、标准正态分布的方差为 1，D(Xi)＝1。

这个是正态分布数学期望

首先p(a+b)=p(a)*p(b),楼主可以接受吧，即a与b两个独立事件同时发生的概率等于这两个独立事件分别各自发生的概率之积。所以p(a-b)=p[a+(-b)]=p(a)(-b)

在概率论的公众号当中会出很多的习题，而且也会有老师的教学视频，你只需要看就可以了，所以都是比较可靠的。

全概率公式P（A）=P（A|B1）P（B1）+P（A|B2）P（B2）+...+P（A|Bn）P（Bn）；贝叶斯公式P（A∩B）=P（A）*P（B|A）=P（B）*P（A|B）。贝叶斯的统计学中有一个基本的工具叫贝叶斯公式、也称为贝叶斯法则，尽管它是一个数学公式，但其原理毋需数字也可明了。如果你看到一个人总是做一些好事，则那个人多半会是一个好人。这就是说，当你不能准确知悉一个事物的本质时，你可以依靠与事物特定本质相关的事件出现的多少去判断其本质属性的概率。用数学语言表达就是：支持某项属性的事件发生得愈多，则该属性成立的可能性就愈大。

概率论加法公式：P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)。概率论，是研究随机现象数量规律的数学分支。随机现象是相对于决定性现象而言的，在一定条件下必然发生某一结果的现象称为决定性现象。随机现象：事前不可预言的现象，即在相同条件下重复进行试验，每次结果未必相同，或知道事物过去的状况，但未来的发展却不能完全肯定。例如：以同样的方式抛置硬币却可能出现正面向上也可能出现反面向上；走到某十字路口时，可能正好是红灯，也可能正好是绿灯。研究这类现象的数学工具是概率论和统计。

一：抽球类问题数学期望E=n*E1注：E为数学期望，E1为抽一次球的数学期望，n为抽的次数例：有完全相同的黑球，白球，红球共15个，其中黑7个，白3个，黑5个则抽5次抽到黑球的个数的数学期望E=5*（5/15）=5/3衍生问题还有抽人，抽产品等二：遇红灯问题数学期望E=P1+P2+……..注：P为概率，E为相应所有P的和例：小红去学校的路上有4个红灯，遇第1个红灯的概率为0.5，第2个的为0.35，第3个的为0.65，第4个的为0.23（遇红灯是互相独立的，互不影响的）则小红在一次去学校的路上遇到的红灯的数学期望E=0.5+0.35+0.65+0.23=1.73衍生问题有很多三：三局两胜制问题的局数期望E=2（1+P1*P2）注：E为局数期望，P1，P2为两队或两人的获胜的概率（P1+P2=1）例：甲和乙下棋，甲赢的概率为0.45，乙赢的概率为0.55则他们三局两胜的局数期望E=2（1+0.45*0.55）=2.495衍生问题多见于比赛中

全概率公式理解如下：全概率公式的通俗解释：全概率公式为概率论中的一个重要公式，它将对一复杂事件A的概率求解问题转化为了在不同情况下发生的简单事件的概率的求和问题。概率论，是研究随机现象数量规律的数学分支。随机现象是相对于决定性现象而言的，在一定条件下必然发生某一结果的现象称为决定性现象。例如在标准大气压下，纯水加热到100℃时水必然会沸腾等。随机现象则是指在基本条件不变的情况下，每一次试验或观察前，不能肯定会出现哪种结果，呈现出偶然性。全概率公式和Bayes公式概率论的一个重要内容是研究怎样从一些较简单事件概率的计算来推算较复杂事件的概率，全概率公式和Bayes公式正好起到了这样的作用。对一个较复杂的事件A，如果能找到一伴随A发生的完备事件组B1、B2```，而计算各个B的概率与条件概率P（A/Bi）相对又要容易些，这是为了计算与事件A有关的概率，可能需要使用全概率公式和Bayes公式。

1、对于任意一个事件A：P(A)=1-P(非A)。 2、当事件A,B满足A包含于B时：P(BnA)=P(B)-P(A)，P(A)≤P(B)。 3、对于任意一个事件A，P(A)≤1。 4、对任意两个事件A和B，P(B-A)=P(B)-P(AB)。 5、（加法公式）对任意两个事件A和B，P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)。 6、《概率论与数理统计》是高等院校理工类、经管类的重要课程之一。在考研数学中的比重大约占22%左右（数一、数三）。

-1- 微信公众号涨粉的常规办法 最近有位朋友有运营公众号涨粉的需求，于是，我最近开始研究如何让微信迅速涨粉。 众所周知，微信的红利期去年年底，基本就结束了，和app同质化一样，微信公众号如果只靠内容，除非有特别新颖的角度，是很难脱颖而出的。 之前也在新榜上看到过持续输出优质内容，两个月从70万涨粉到150万的电影工厂，主要方式是花钱买时间， 和粉丝重合度的大号互推，以及做微信的SEO， 要是对微信怎么做SEO感兴趣，大家可以自己去查一查。 但是这种 花钱买时间 的号，大部分创业公司是做不了的。 所以还得想一些新的办法。 而近期刚好有一个号，验证了我之前关于如何迅速做大一个微信号的想法，那个号叫“概率论”，做的是创意互动的轻社交平台。 他们把我之前很想做的一件事用他们的方式做到了，就是做 创意类社交活动。 我非常佩服他们，因为他们这个团队真的是足够扎实，不论是排版，还是文案写作，从一开始，他们的水准就很高，而在磨合了半年之后，终于找到他们的核心点， “创意社交” ，这个是我认为他们能在今年下半年，迅速涨粉到一百多万的最重要原因。-2- 创意社交的背后 之前研究新世相的时候，张伟说靠内容涨粉的时代结束了，如果不能和粉丝互动，不能做出更流行的有影响力的活动，内容创业的瓶颈就到顶了。我深以为然，因为如果只是文章，那不就意味着文字的搬运吗？ 如果不能够和粉丝形成更深度的链接，公众号的内容，不过是以前的报纸，搬到了手机上。这才是我坚定的认为，社群一定是往后的营销里，能够建立起壁垒的重要营销手段。 因为只有形成社群，才能够有真正的凝聚力。 比如“毒舌电影”，可以通过组织粉丝提前为好文艺片预定包场，给国内一直很难上院线的文艺片，提供了上院线的机会。按照以往的票房情况，一部文艺片的票房超过一百万就挺不错了，“毒舌电影”号召粉丝去包场就贡献了几十万的票房，影响力可见一斑。所以，微信公众号并不只是微信公众号啊， 好的微信公众号应该是能够服务好它的粉丝群体，并带着他们一起去干点事情的~ -3- 概率论的产品打磨 虽然半天都没讲概率论，但是别急，因为前面这些是为了帮助大家理解的。 为了研究概率论，我前天花了一个半小时，找他们公众号的爆发点，从他们2015年11月10日第一篇文章开始，翻到了今年5月20号，整个 公号定位、产品打磨基本完成 期间的所有文章，把这一段时间里的文字和内容进行了大致的概括，并记录了每一篇文章的阅读量和点赞数。 5月20日的“一周CP”，成为他们运营半年之后，阅读量最高的一篇。 这个活动也成为了他们的 品牌系列性活动 ，而这个活动确定出的形式，也成了概率论创意社交类互动惯用的形式，也是从五月开始，概率论的内容更新趋于稳定，每周的形式基本上由“文字、语音、图文、活动报名、公布活动结果和活产出的故事内容”这个方式进行循环，而之前的更新，真的很任性，有时候一两周才更一篇~ 打磨出了“一周CP”这第一个demo之后，“概率论”往后也在不断的探索其他的创意社交活动。 用半年的时间，做好从零到一，找到引爆点之后，复制demo，所谓最基本的互联网操作思路。-4- 微信公众号只是图文吗？ 我觉得概率论值得借鉴很重要的一个点在于，人的新鲜感是会耗尽的，但不同的形式产出，有助于解决这个问题，并且，不同的形式，背后的功能和玩法也不一样。 比如，概率论的一张美图，足够打动人的美图，因为够美，大家也会去转，去发朋友圈，甚至会因为不同的关键词，登上百度图片，因为带着概率论的logo，在第二次传播第三次传播的时候，和图文的方式肯定是不一样的。 比如罗辑思维每天早上的语音，早上起来大家都很困，都不适合阅读文字，但是听听语音，边起床边干点其他的事，顺带回复一下“关键词”，和罗胖互动一下，就很适合这种场景，当然这个语音的播放又不适合嘈杂的环境，和图文比，应用场景又有一些劣势。 不过，这种设置的背后，一是在众多只推图文的公众号背后，显现出差异化，二是这种设置，应该是参考了分析过种子用户的阅读习惯，才固定下来的。-5- 只要你服务好用户，用什么并不重要 其实你用任何平台，用任何载体都无所谓，只要你能完成价值这一块的输出，并让你的用户感受到就行。当然，不同的载体，特点是不一样的，比如微信和QQ，后者其实更适合深度聊天，但前者更符合大家的使用习惯，毕竟我们大部分时间里，总要看好多次微信，顺带完成群阅读以及文章的阅读。 再举个例子，视频网站是可以完成教学的，微信群可不可以？当然也可以，只是产品的设置会更不一样。 大家可以思考一下各种视频网站和我做的“营销案例分析”微信群的区别。 对于运营和营销而言，并非一定要有app，有网站，才能算有产品，才能做数据分析。 内容产出作为运营和营销的基本功，本身也是可以当做产品的，甚至你都不需要开发，直接像我这样，每天在群里做分享，然后用微信助手机器人记录当天的发言情况，新进群人数，退出人数，以及引流来源，什么时间来的人多，他们都想来看什么等等等等，这些做扎实了，用户分析不也基本就是这个套路吗？用户画像不也基本是这个套路吗？ 一通百通的，所以 做事很重要，理解你做的什么事，为什么做这个事，也很重要。 这才是我觉得概率论特别厉害的地方，他们用半年的时间，理解了自己要做“创意轻社交平台”，把最早线下的活动基本上砍掉了，专注做好大学生这个群体，然后在针对这个群体“喜欢有趣，爱尝试新鲜事物，转发成本低”这些特点里，把“创意社交”和连接做到极致，才成就了今年下半年的飞速增长。 我昨天用新榜查的时候，概率论的粉丝数是这个。 大家如果想做好微信公众号，记得 多研究那些大号，不要只看表象，匆匆翻过文章，要多看里面的细节。 -6- 概率论的报名流程及优化 "寻找世界上的另一个我",是继上一次寻找"同年同月同日生"之外,还扩充了"寻找同名同姓"的活动,从小到大并没有认识过完全同名同姓的朋友的我,对这个活动还是蛮感兴趣的,特别是上一次通过概率论认识了同年同月同日生的朋友.不过那位朋友因为名字比较大众化,所以对这次的活动并不是特别感兴趣. 这这也是概率论需要不断扩充活动类型的重要原因, 参加过活动的粉丝一般会成为喜欢它的用户,但这群用户会有更新的活动需求. 而像"一周CP"这样的活动能够持续做下去的原因,你们应该也能明白,这个世界总有没参加过的人嘛,毕竟十三亿人~但回过头来想, 已有的活动形式对于已经参加过的人来说,吸引力应该就很小了 ,所以如果不能出新花样,概率论就只能不断的寻找新的创意社交活动进行扩张,这是成就他们发展的地方,也可能成为限制他们的地方. 从活动文案本身而言,在简单的介绍完活动背景,玩法和意义之后,设计的报名流程是先在后台回复"活久见",做好第一步的关注. 这里夸一下文案,简单直接有趣,活动信息也讲的很清楚,符合 好的活动文案的标准,即把亮点简单讲清楚,让用户有参与的冲动。 活动文案是非常不适合写长的,因为太长用户就没耐心参与活动了.而概率论在文章的第三屏,就给出了报名方式,方便心急的用户报名,第四屏才讲活动的意义. 回复了“活久见”之后,公众号进一步给出了活动参与规则,到目前为止,活动流程,文案都是非常顺畅的. 但这个地方,我是建议它再加上"请准备好截图,并把截图的名称改成全是数字的", 因为这一步的报名坑了我很多次！ 它的两个报名入口,都是用报名表进行的,并且无论是关闭后重新进,还是切换到另一个app再切换回来之后,都需要重新再填写,做不到保存。 但是,第一,没有截图的小伙伴填到了最后发现需要截图,于是需要切出报名表重新截,第二,截完图发现,自己的截图还需要改成完全是数字形式名称的图片,于是还得把图片再传到电脑上,修改后再回来, 我两次报名都经历了三次的填写,用户体验上是非常差的, 这块可以做的优化,步骤其实不多,但是效果会很明显. 比如,把我强调的 "请准备好截图,并改称数字形式的,否则得重新填 " 在后台里就讲清楚,并在报名表的第一项,就要求上传截图,这样流程会更顺畅一些. 另外就是,对自己的公众号进行报名系统开发,或者是等微信小程序出来之后,开发一套报名的社交小程序,这样的话，用户体验应该会好上不少. 转发流程的设计上,因为活动比较有创意,大家在转发时也不会太反感,反而会有一种群体归属感,但是报名的流程设计上,是有很大一块可以优化的.-7- 总结 这是花了三天的分析时间,对概率论公号研究的总结,作为一个非常非常优秀的创意社交公众号,它确实做得很棒,细节上还有待优化,而瓶颈,如果公号本身没有更突破性质的调整,可能不久后就会到来,毕竟它的粉丝已经过百万了，而全国的在校大学生在今年的总人数，是2600万，这个比例，并不算低了。 每个领域都有天花板，但占据好天花板之后，用好这个天花板里的所有资源，也很不错~因为把前两天的分析也整合了 所以今天不知道该怎么算写作时间 但今天的写作没超过一小时 和你一起 思考一些和我们都有关的问题

全概率公式P（A）=P（A|B1）P（B1）+P（A|B2）P（B2）+...+P（A|Bn）P（Bn）；贝叶斯公式P（A∩B）=P（A）*P（B|A）=P（B）*P（A|B）。贝叶斯的统计学中有一个基本的工具叫贝叶斯公式、也称为贝叶斯法则，尽管它是一个数学公式，但其原理毋需数字也可明了。如果你看到一个人总是做一些好事，则那个人多半会是一个好人。这就是说，当你不能准确知悉一个事物的本质时，你可以依靠与事物特定本质相关的事件出现的多少去判断其本质属性的概率。用数学语言表达就是：支持某项属性的事件发生得愈多，则该属性成立的可能性就愈大。

概率论与数理统计是考研数学重要组成部分.概率论与数理统计非常强调对基本概念、定理、公式的深入理解.重要基本知识要点如下：x0d一、考点分析x0d1.随机事件和概率,包括样本空间与随机事件；概率的定义与性质（含...

不大懂，但是我好像在大学数学上看见过，要么概率统计，微积分吗

概率论的减法公式是P（A-B）=P（A）-P（AB），概率论，是研究随机现象数量规律的数学分支，随机现象是相对于决定性现象而言的，在一定条件下必然发生某一结果的现象称为决定性现象。随机试验的每一可能结果称为一个基本事件，一个或一组基本事件统称随机事件，或简称事件。典型的随机试验有掷骰子、扔硬币、抽扑克牌以及轮盘游戏等。事件的概率是衡量该事件发生的可能性的量度。

C(3,8)=8*7*6/3*2*1=56(C3,10)==10*9*8/3*2*1=120C(3,8)/(C3,10)=56/120=7/15

概率雏形1470年，也就是唐伯虎出生的那一年，有一本拉丁文的诗书《De Vetula》出版。上面有首诗记录了3个骰子点数和的排列组合结左图为原始印刷，数字的写法和我们现在有些不同。右边为阿拉伯数字版本。可以看出，三个骰子点数相加等于10或者11，有6种组合情况，但是排列情况有27种。140年后，也就是1610年，伽利略发现了木星的卫星。差不多在这个时候，资助伽利略的Tuscany大公请教了伽利略3个骰子和的问题。Tuscany大公是个赌徒，他在赌博时，发现三个骰子点数和为10比点数和为9出现的更频繁一些。他想不明白，按他的思路，有6种方式得到10,分别为631,622,541,532,442,433；同样有6种方式得到9,分别是621,531,522,441,432,333。他觉得这9和10出现的频率不应该有差异。伽利略指出了大公的错误，三个骰子是不同的，631和613是不同的两种情况。可惜伽利略那个时候只考虑了频次，还没有形成概率的思想。概率的思想是什么时候形成的呢？大概是1564年左右，这个时候伽利略刚出生。意大利博学家Cardano写了本书《Liber de Ludo Aleae ("Book on Games of Chance")》，但是这本书直到大概一个世纪后的1663年才出版。伽利略1642年去世，所以也没有机会看到。书里就包含了一些概率的早期思想。Cardano据说是达芬奇一个律师朋友的私生子。他是第一个系统的推算概率的人，可以说是创派始祖。三个骰子和的问题Cardano在《Liber de Ludo Aleae 》的第13章从时间上来看，《De Vetula》其实已经给出了三个骰子和的答案，70年后Cardano也给出了答案，但是140年后的Tuscany公爵还是得请教伽利略，可见古代知识的流通极为困难。Cardano在《Liber de Ludo Aleae 》第十四章中明确定义了“比例”，如果赌局中有利的所有可能的数目为a，不利情况的数目b，则应该根据a/b的结果来下注。概率论的诞生Cardano虽说是概率的创派始祖，但是真正变成概率论这样一门学科的标志性事件是1654年Pascal和Fermat的通信。Pascal就是法国物理学家和数学家帕斯卡，学过物理的都知道压强单位。Fermat就是提出“费马大定理”并且困扰数学家300年之久的费马。故事的起源是另一个著名的赌徒Antoine Gombaud，但是他更让人熟知的名字是Chevalier de Méré（来自梅尔的骑士），国内大多翻译成德梅尔。德梅尔被一个赌徒分金的问题困扰。赌徒分金问题描述如下：两个赌徒A和B水平相当，胜率各自50%，约定先赢s局的拿走所有赌注。当A赢了a局，B赢了b局的时候，比赛由于某些原因中断，问这时候符合分配奖金是公平合理的？假设s=6,a=5,b=3。这个问题最早是由意大利数学家Paccioli在1494年提出，当时Paccioli给出的答案是a:b这么分，也就是5:3。后续也有很多数学家思考过这个问题，但是按照已发生的事件进行推断。1537年，Cardano也曾经思考过这个问题，他给出了一个公式f(n)=1+2+3+...+n。A还剩s-a局就可以获胜，B还剩s-b局可以获胜，两者的分金比率应该为f(s-b):f(s-a)=(s-b)(s-b+1):(s-a)(s-a+1)，也就是6:1。虽然答案错误，而且没搞清楚Cardano是怎么思考的，但是Cardano已经开始考虑用未来剩余的赌局来决策，而不是局限于已发生的事件。直到1654年德梅尔向Pascal请教，Pascal和Fermat进行书信交流，并且用不同的解法给出了这个问题的正确答案。Fermat给出了最朴素易懂的解法：如果比赛不终止，那么最多还需要比赛3场就可以分出胜负。可能的结果分别为{AAA,AAB,ABA,ABB, BAA,BAB, BBA, BBB}，所有的结果中，B只有一个结果获胜，也就是连胜三局。所以分金比例应该为7:1。Pascal用了两种更难的解法，一种是Pascal三角形(杨辉三角)，一种是递推。关闭无图模式：我的 > 设置 > 无图模式Pascal根据该Pascal三角形的性质：第n行第k个数字，等于从n-1件物品中一次取出k件的组合数。认为A在余下3场赢3场的组合数为C(3,3)=1，赢2场的组合数为C(2,3)=3,赢1场的组合数为C(1,3)=3,全输的组合数为C(0,3)=1。故应按照7:1来分。三角形的解法可以认为是Fermat解法的升级版本，即使是a和b的值发生变化都能按图索骥得到答案。递推的解法也非常精彩。Pascal分析了这个问题的一个简化版本，就是s=3，a=2，b=1的情况。假设A和B的赌注一共为64个金币，当2:1比分的情况下，如果第三局A胜利了，那么会得到全部64枚金币，如果A输了，则比分变成2:2，这时候是平局，AB平分奖金。A可以说，不管哪一种情况，我至少会拿32个金币，至于剩余的32个金币，可能归我也可能归你，平分。这样A应该拿32+(64-32)/2=48个金币，B则拿16个金币。用该思想来考虑s=6,a=5,b=4的情况。与s=3,a=2,b=1的情况类似，A应该拿32+(64-32)/2=48个金币。再考虑s=6,a=5,b=3的情况，如果下一局A胜利，则拿到所有奖金，如果A落败，则问题转化为s=6,a=5,b=4的情况。所以此时A可以说，我至少拿48个硬币，剩余金币平分，则A最终可以拿48+(64-48)/2=56个金币，B只能拿8个金币。和Fermat的7:1结果相同。在递推解法里，Pascal可能无意之间使用到了期望，尤其是48+(64-48)/2这个式子。换一种说法，假设A赢了后得到x=64金币，输了后得y=48金币，则A应该分到多少金币？按Pascal的式子，应为y+(x-y)/2=(x+y)/2=x*0.5+y*0.5，这其实就是期望。后来，荷兰数学家Huygens也参与了Pascal和Fermat的讨论，并且在1657年出版了一本书，名字叫《De ratiociniis in ludo aleae ("On Reasoning in Games of Chance"）》，标志着现代概率论的诞生。

本来是寻求近视想等的。如果等的话不是就为1了吗？因为在近视等时，有个min值。为0时最小，也就是1-pxy方=0 d(y)不可能为0。那么为0时也就是上式成立。pxy方就是1

这些都是概率论的一些简单公式涉及到的公式，你只需要看一看就可以了E（ax+b）＝aEx+bD（ax+b）＝a^2DxDx＝E（x^2）-（Ex）^2把公式熟记于心，以后什么题都不会怕了

概率论乘法公式是：若P(AB)>0，P（ABC）=P（AB）P（ClAB）=P（A）P（BlA）P（ClAB）。乘法公式（简乘公式），将一些特殊的多项式相乘的结果加以总结，直接应用。公式中的每一个字母，一般可以表示数字，单项式，多项式，有的还可以推广到分式，根式。乘法公式是整式乘法的重要内容，准确、熟练的掌握乘法公式对于学好整式乘法乃至整式的其他运算都有着重要的意义。乘法公式是最常用、最基础的公式，可以由此而推导出其它公式。相关信息：联合概率侧重二者同时发生，而条件概率侧重一个先发生另一个后发生。P(AB)=AB/S,P(A|B)=AB/B=P(AB)/P(B)。可以看出，联合概率和条件概率的区别：虽然分子都是两个事件的交集，但是分母（样本空间）是不同的。

两次应用多普勒效应公式。仪器——心脏，心脏——仪器。经推导，得到此时心壁的运动速度为v=(1M+500-1M)/(1M+500+1M)*1500=75/2*10^(-2)m/s不过得到的结果与你说的不同，刚好是一半。如果只应用一次公式，得到的结果和你说的一样。我没有见到过仪器，但是我想，应该是发射和接受超声波用同一台仪器吧？

题目漏了一个字，问该声源必须以多大速率【向】静止的观察者运动，才能使观察者听不到声音回答：用多普勒效应公式f"=fv/(v-u),其中，f=10000Hz, v=340m/s是空气中声速，u是波源相对观察者的速度，波源向观察者运动时为正值，背离观察者时为负值，f"是观察者观测到声音的频率，由公式可以看出，波源向观察者运动过来时相对观察者的速度越大，观察者观测到的声音频率f"就越高f"=20000Hz时刚好还听到声音，先求出这时的波源速度u：f"=fv/(v-u),u=v(f"-f)/f"=340m/s(20000Hz-10000Hz)/20000Hz=170m/s,所以当速度u>170m/s时，f">20000Hz,观察者听不到声音

如果波源向观察者运动速度大于波速，那么多普勒效应就没有意义。这时在波源前方不可能有任何波动产生。与相继各个波前相切的是一个圆锥面，这个圆锥面称马赫锥（Mach Cone)。若以船激发的水波为例，当船速超过水面时，在船后就激起以船为顶端的V形波，而"艏"字在汉语里代表船的前部，这种波称为艏波。超音速飞机，地球磁层前的艏波，切连科夫辐射都是艏波的实例。

声波的多普勒效应及其公式以人耳在空气中听到声源发出的声波作为讨论基础。由此得到的结果，适于所有的经典力学中的机械波。设空气中的声源振动频率为fs，空气中的声波速度为c，人耳听到声波频率fr，与人和声源相对空气的运动方式，运动速度均有关。假设人和声源的运动沿着二者连线，相对于空气的速度分别为vr，vs；声源的振动频率fs和声速c分别由声援和介质所决定，可以认为是不变量。vr，vs是相互独立的变量，fs与fr将随着vr，vs发生改变；fs与fr的差异表现为多普勒效应现象。第一种情况：声源静止，人相对于声源以速度vr 运动。此时空气中的波长λ理解为声波中，2相邻波峰之间的距离，为不变量。对于波源，按照波速公式：c = fs λ <1>声源相对于人的传播速度为c±vr，人耳听到的声波频率fr符合c±vr = fr λ <2>式中加号表示人靠近声源，减号表示人远离声源。联立上面2式，得：向左转|向右转表明，当人靠近声源时，听到的声波频率增大；远离声源时，听到的声波频率减小。第二种情况：人静止，声源相对于人以速度vs运动。此时空气中的波长将会发生改变，沿着声源的运动方向，在声源前面，波面变得密集，波长变短；在声源后面，声波的波面变得稀疏，波长变长：向左转|向右转声波从波源发出后，在空气中独立地传播，其传播速度c与声源无关。因为人静止在空气中，所以声波相对于人的传播速度仍为c，而人听到的声波频率则因波长变化而变为fr，符合波速公式：向左转|向右转联立上面2式得：向左转|向右转式中减号表示声源靠近人运动，加号表示声源远离人运动。表明，当声源靠近人时，听到的声波频率增大，远离人时，听到的声波频率减小。第三种情况：人与声源都运动，空气中声波波长如<2>所示为向左转|向右转，减号表示声源靠近人，加号表示声源远离人。声波从声源发出后，波速不变仍为c，但是由于人相对于声源靠近或者远离，声源相对于人的传播速度如<4>所示为，加号表示人靠近波源，减号表示远离波源。从上面2式中消去λ″：向左转|向右转表示在一般情况下，空气中声波的多普勒效应公式。<3>和<6>是一般公式<7>的特例。从公式中可知，人和波源相对静止时（人与波源同向同速运动，公式中分子分母取同样符号），人听到的声波频率与声源频率相同。人与声源相对运动时，人听到的声源频率将要发生变化：相对靠近时，听到的声波频率升高，相对远离时，频率降低。多普勒效应公式的使用条件是，声源相对空气的速度比空气中的声速足够小。当声源速度与声速接近时，必须对公式加以修正；而当声源速度大于声速时，多普勒效应公式失效。多普勒效应公式的建立，根据是波速公式。在波速公式中各量都与测量有关，并且由测量所确定。因此对同一列机械波，不同观测者测出的结果不同。值得注意的是，这种差异绝非测量误差造成，而是具有更深刻的物理背景。经典物理学旨在描述物理现象，概括经验事实，归纳实验结果，从而试图找出相应的物理规律。因此经典物理学很大程度上是一种“唯象”的理论体系，它不回答诸如“本质如何”之类的形而上问题，而是像多普勒效应公式的建立那样，只对人耳听到的声波频率做出合乎逻辑的自圆其说。

大约是在1910年左右，有些天文学家就发现很多星系的光谱有红移现象，个别星系的光谱还有紫移现象。这些现象可以用多谱勒效应来解释。远离我们而去的光源发出的光，我们收到时会感到其频率降低，波长变长，并出现光谱线红移的现象，也就是光谱线向长波方向移动的现象。反之，向着我们迎面而来的光源，光谱线会向短波方向移动，出现紫移现象。这种现象与声音的多普勒效应相似。很多人可能都有过这样的感觉：迎面而来的火车，它的鸣叫声特别尖锐刺耳，远离我们而去的火车其鸣叫声则明显迟钝。这就是所谓声波的多普勒效应，面对扑面而来的声源发出的声波，人会感到它的频率增高，而渐渐远离我们的声源发出的声波，人则会感到它的率下降。假如现在认为所谓星系的红移、紫移，都是多普勒效应，那么大部分星系都是在远离我们，只有个别星系向我们靠近。随后进行的研究中我们发现，那些个别向我们靠近的紫移星系，都在我们自己的本星系团中(我们银河系所在的星系团称本星系团)。其实本星系团中的星系，大部分红移，小部分紫移；但是其他星系团中的星系就全部是红移了。在1929年的时候，美国的天文学家哈勃对当时的一些观测数据进行了总结，提出一条经验规律，河外星系(即我们银河系之外的其他银河系)的红移大小正比于它们离开我们银河系中心的距离。因为多普勒效应的红移量和光源的速度是成正比的，因此，上面所说的定律也可以表述为：河外星系的退行速度和它们离我们的距离成正比：V＝HD；在这个公式中，V是河外星系的退行速度，D是它们到我们银河系中心的距离。这个定律称为哈勃定律，比例常数H称为哈勃常数。

你又不是站在马路上听的，你是在马路旁边，你、汽车，你到马路的垂足，实际上是个直角三角形这个三角形的直角边边匀速缩短，斜边的变化不是匀速的，是加速的。

是。公式。。

1. 多普勒频移小知识(什么叫多普勒频移) 多普勒频移小知识(什么叫多普勒频移) 1.什么叫多普勒频移 多普勒频移 多普勒效应是为纪念Christian Doppler而命名的，他于1842年首先提出了这一理论。 他认为声波频率在声源移向观察者时变高，而在声源远离观察者时变低。一个常被使用的例子是火车，当火车接近观察者时，其汽鸣声会比平常更刺耳。你可以在火车经过时听出刺耳声的变化。同样的情况还有：警车的警报声和赛车的发动机声。 多普勒效应 把声波视为有规律间隔发射的脉冲，可以想象若你每走一步，便发射了一个脉冲，那么在你之前的每一个脉冲都比你站立不动是更接近你自己。而在你后面的声源则比原来不动时远了一步。或者说，在你之前的脉冲频率比平常变高，而在你之后的脉冲频率比平常变低了。 多普勒效应不仅仅适用于声波，它也适用于所有类型的波形，包括光波。科学家Edwin Hubble使用多普勒效应得出宇宙正在膨胀的结论。他发现远处银河系的光线频率在变高，即移向光谱的红端。这就是红色多普勒频移，或称红移。若银河系正移向他，光线就成为蓝移。 在卫星移动通信中，当飞机移向卫星时，频率变高，远离卫星时，频率变低，而且由于飞机的速度十分快，所以我们在卫星移动通信中要充分考虑“多普勒效应”。另外一方面，由于非静止卫星本身也具有很高的速度，所以现在主要用静止卫星与飞机进行通信，同时为了避免这种影响造成我们通信中的问题，我们不得不在技术上加以各种考虑。也加大了卫星移动通信的复杂性。 2.多普勒频移是怎么形成的 多普勒效应 当你站在公路旁，留意一辆快速行驶汽车的引擎声音，你会发现在它向你行驶时声音的音调会变高（即频率变高），在它离你而去时音调会变得低些（即频率变低）。这种现象叫做多普勒效应。在光现象里同样存在多普勒效应，当光源向你快速运动时，光的频率也会增加，表现为光的颜色向蓝光方向偏移（因为在可见光里，蓝光的频率高），即光谱出现蓝移；而当光源快速离你而去时，光的频率会减小，表现为光的颜色会向红光方向偏移（因为在可见光里，红光的频率低），即光谱出现红移。 在进一步研究多谱勒效应之前，先让我们了解一下有关波的基本知识： 如果我们将一个小石块投入平静的水面，水面上会产生阵阵涟漪，并不断地向前传播。这时波源处的水面每振动一次，水面上就会产生一个新的波列。 设波源的振动周期为T，即波源每隔时间T振动一次，则水面上两个相邻波列之间的距离就为VT，其中V是波在水中的传播速度。在物理学中我们把这一相邻波列之间的距离称为波长，用符号λ表示。这样，波的波长、波速及振动周期三者的关系就可表示为：λ=VT (1) 由于波源振动一次所需的时间为T，则波源在单位时间内振动的次数就为1/T。物理学上，把波源在单位时间内振动的次数称为波的频率，用f表示。这样，它和周期的关系就可表示为f=1/T， 或T=1/f (2) 综合（1）式和（2）式可得：λ=VT=V/f (3) 此式是我们讨论与波有关问题的基本公式，虽然是对水波的传播总结出来的，但它对一切波都适用。 实验研究表明：对于确定的介质，波的传播速度V是一个定值。所以，当波在某一确定的介质中传播时，它的波长λ与它的周期成正比（与频率成反比）。即波的频率越高，周期越小，其波长越短；反之，波的频率越低，周期越大，其波长越长。 对声波而言，声音的频率决定着声音的音调。即声波的频率越高，声波的音调也越高，声音也越尖、越细，甚至越刺耳。根据上述的结论，产生高音的声源振动较慢，振动周期长，对应声波的波长也较长。例如：10000Hz的声波的波长是100Hz声波波长的1/100。 而在可见光中，光波的频率决定着色光的颜色。频率由低到高依次对应红、橙、黄、绿、蓝、靛、紫。其中红光频率最低，波长最长；紫光的频率最高，但波长最短。 下面我们就结合以上的背景知识一起来探究一下有关光的多谱勒效应： 假设有个光源每隔时间T发出一个波列，即光源的周期为T。如图，当它静止时相邻两个波列时间间隔为 T，距离间隔为 λ=cT 式中c表示光速。 当光源以速度V离开观察者时，在每两个相邻的波列之间的时间里光源移动的距离为VT，于是下一个波峰到达观察者所需的时间便增加了VT/c，所以，相邻的两个波峰到达观察者那里所需的时间就为： T"=T+VT/c>T 即这时相对于观察者而言，光波的周期变长了，频率变低了。根据上面关于频率于光色之间的关系可知，次光的颜色会向红光偏移。物理学上，把这一现象称为红移。 这时到达观察者那里的两个相邻的波列的距离，即波长就变为 λ"=cT+VT 即波长变长了。这两个波长的比值为 λ"/λ= T"/T=1+V/c 即波长增加了V/c，我们把这个相对增加量就成为红移量，它取决于光源的远离速度。由于一般情况下V 3.多普勒频移的物理现象 多普勒频移，当运动在波源后面时，会产生相反的效应。波长变得较长，频率变得较低 （红移red shift）。波源的速度越高，所产生的效应越大。根据光波红（蓝）移的程度，可以计算出波源循着观测方向运动的速度 多普勒频移及信号幅度的变化等如图2所示。当火车迎面驶来时，鸣笛声的波长被压缩（如图2右侧波形变化所示），频率变高，因而声音听起来尖利刺耳。当火车远离时，声音波长就被拉长（如图2左侧波形变化所示），频率变低，从而使得声音听起来减缓且低沉。 这种现象也存在于其他类型的波中，例如光波和电磁波。科学家们观察发现，从外太空而来的光波，其频率在不断变低，既向频率较低的红色波段靠拢，这是光波遵从多普勒效应从而引起多普勒频移的例证。对于电磁波，高度运动的物体上（例如高铁）进行无线通信，会出现信号质量下降等现象，就是电磁波存在多普勒频移现象的实例。 多普勒频移导致无线通信中发射和接收的频率不一致，从而使得加载在频率上的信号无法正确接收，甚至无法接收到。 把声波视为有规律间隔发射的脉冲，可以想象若你每走一步，便发射了一个脉冲，那么在你每走一步时，面前的声源发出的脉冲相对于你的传播距离比你站立不动时近了一步，而在你后面的声源则比原来不动时远了一步。或者说，在你之前的脉冲频率比平常变高，而在你之后的脉冲频率比平常变低了。 所谓多普勒效应就是当发射源与接收体之间存在相对运动时，接收体接收的发射源发射信息的频率与发射源发射信息频率不相同，这种现象称为多普勒效应，接收频率与发射频率之差称为多普勒频移。声音的传播也存在多普勒效应，当声源与接收体之间有相对运动时，接收体接收的声波频率f"与声源频率f存在多普勒频移Δf(doppler shift)即 Δf=f"-f 当接收体与声源相互靠近时，接收频率f"大于发射频率f即：Δf>0 当接收体与声源相互远离时，接收频率f"小于发射频率 即： Δf<0 可以证明若接收体与声源相互靠近或相互远离的速度为v，声速为c，则接收体接收声波的多普勒频率为： f"= f·（c+-v1）/(c-+v2) 括号中分子和分母的加、减运算分别为“接近”和“远离”之意。 多普勒频移最基本的计算公式是： 例如在一个运动速度为100 km/h的列车上，使用GSM 900 MHz的手机进行通话，假设发射频率为900 MHz，则最大的多普勒频移为fm=100000/3600/300*900*1=83 Hz，此时列车移动的方向与无线电波发射的方向一致。如果列车运动的方向与发射方向成90°角，则无多普勒频移，夹角在两者之间时，为0~83 Hz的范围值。如列车移动方向与无线电波发射的方向相反或呈90°~180°角，则频移为负值，范围为-83 Hz~0。无线通话中频率误差的标准一般为0.05 ppm，即百万分之0.05，则900 MHz允许的频率误差为900*0.05=45 Hz。 从而可以看出，列车运动时通话的接收频率的误差经常会超过频率误差，多普勒频移已经影响到了通话质量。因此消除或降低多普勒频移对无线通信的影响，是高速运动中进行无线通信必须解决的问题。解决这个问题通常采用的方法是：估算多普勒频移，并对估算的频率偏差进行补偿。尤其是多普勒效应影响非常大的水中无线通信，业界和学术界已经有很多研究成果，采用的方法大多都是通过某些算法进行多普勒频移的消除或补偿。 当移动台以恒定的速率v在长度为d，端点为X和Y的路径上运动时收到来自远端源S发出的信号，如下图所示。 无线电波从源S出发，在X点与Y点分别被移动台接收时所走的路径差为： 由于路径差造成的接收信号相位变化值为： 由此可得出频率变化值，即多普勒频移为： 由此可知，多普勒频移与移动台运动速度及移动台运动方向以及无线电波入射方向之间的夹角有关。若移动台朝向入射波方向移动，则多普勒频移为正，导致接收频率上升。若移动台背向入射波方向运动，则多普勒频移为负，接收频率下降。信号经不同方向传播，其多径分量造成接收机的多普勒扩散，因而增加了信号带宽。

频移特性公式：fd=2Vcosθf0/c。分析：频移特性公式是fd=2Vcosθf0/c，其中fd为多普勒频移，f0为探头发射频率，V为反射体的运动速度，c为声速，θ为运动方向与入射波之间的夹角。根据公式多普勒频移（fd）与探头发射频率（f0）成正比。多普勒频移定义多普勒效应造成的发射和接收的频率之差称为多普勒频移。它揭示了波的属性在运动中发生变化的规律。这种现象也存在于其他类型的波中，例如光波和电磁波。科学家们观察发现，从外太空而来的光波，其频率在不断变低，既向频率较低的红色波段靠拢，这是光波遵从多普勒效应从而引起多普勒频移的例证。对于电磁波，高速运动的物体上（例如高铁）进行无线通信，会出现信号质量下降等现象，就是电磁波存在多普勒频移现象的实例。

然而，尽管看起来相似，多普勒效应和相对论中的钟慢尺缩有以下几点区别： 观测者相对于介质静止时，多普勒效应的“钟慢”（或“钟快”）公式为，其中为声源相对于观测者的远离速度，接近时取负号，和分别表示观测者听到的时间和原有的时间，表示声速。而相对论中惯性参考系的公式为，为原有的时间，为光源相对于观测者的远离速度，为光速。. 在相对论中，的含义是首先先在观测者所在参考系中的不同点校对时间以使时钟同步。然后光源到哪里，就用哪里的时间。换句话说，光源到达A地方这个事件和到达B地方事件的时间间隔是指在观测者所在参考系中A地方和B地方的时钟所记录的事件的发生时间的差。而在声音实验中，的含义是声音传到观测者处的时间间隔。若在声音实验中采取相对论的含义，将得到；若在相对论中采取声音实验的含义，将得到光的多普勒效应公式。多普勒效应中远离观测者时出现“钟慢尺缩”，接近观测者时出现“钟快尺涨”，这对应于公式中的正负号问题，而相对论无论接近还是远离都是钟慢尺缩，这对应于永远非负的。如果双生子中的一个以近光速往返，那么他（她）就会变得年轻，这里的年轻是从细胞到记忆各个年龄指标的全面的内在的年轻。而如果只是以近声速往返，那么接近和远离的多普勒效应刚好抵消，两人年龄一致，只不过远离时听起来时间过得更慢，返回时时间听起来过得更快罢了。在声速实验中可以出现超声速，其后果是简单的表象的“时间倒流”，就像你可以录音后随意地倒放录音一样，不会发生奇异现象，这对应于成为负数。光速实验中不可以超光速，这对应于负数开根号，洛伦兹变换直接崩溃。所幸表明需要无限的能量因而不可能把静止质量为正的物体增加到光速，更不可能出现超光速现象。至于万一超光速了会发生什么，与之相关的理论都不完善，而且存在很多矛盾和误解，有待科学家进一步讨论。一种说法是，超光速将导致内在的时光倒流，因而可能导致因果关系颠倒。

1 多普勒效应中c取小数点几位，根据具体题目要求。 2光（电磁波）的多普勒效应计算公式分为以下三种：⑴纵向多普勒效应（即波源的速度与波源与接收器的连线共线）：f"=f [(c+v)/(c-v)]^（1/2）其中v为波源与接收器的相对速度。当波源与观察者接近时，v取正，称为“紫移”或“蓝移”；否则v取负，称为“红移”。⑵横向多普勒效应（即波源的速度与波源与接收器的连线垂直）：f"=f （1-β^2）^（1/2） 其中β=v/c⑶普遍多普勒效应（多普勒效应的一般情况）：f"=f [（1-β^2）^（1/2）]/（1-βcosθ）其中β=v/c，θ为接收器与波源的连线到速度方向的夹角。纵向与横向多普勒效应分别为θ取0或π/2时的特殊情况。

光速不变原理与多普勒效应完全属于两个概念，光速并不受多普勒效应影响。题主会有这样的问题，说明你可能把“ 波的速度 ”与“ 波长的变化 ”的关系搞错了，这里面可能有些概念混淆。 简单来理解下，光速不变与多普勒效应的基本概念。 光速不变 “光速不变”现在基本上已经成为了科学界对世界的一个基础认知，至于为什么光速不变？还没有人能给出一个清晰、准确、并得到公认的答案。不过，能佐证光速不变的理论和实验，都已得到了科学界的承认。 理论方面，麦克斯韦最早在他的电磁学理论中，提出电磁波的传播速度只与真空介电常数ε0和真空磁导率μ0相关，后来证明了光就是电磁波，说明光的速度只能是一个常数，表达式为C=1/ε0μ0。 实验方面，本来想证明“以太”存在的迈克尔逊-莫雷实验，反而终结了“以太说”，成为了证明光速不变的经典实验。迈克尔逊-莫雷实验原理简述：小球表示光的运动轨迹，若以太存在，则红色光球和蓝色光球经透射与反射到达干涉仪时，会出现时间差（动图右）并出现明确的干涉条纹。但实际情况 确实（动图左），所以以太不存在，且光速不变。 虽然后来也有一些理论学说，发现了迈克尔逊-莫雷实验的不完备，继续支持光速可变。比如1908年瑞士物理学家里兹发表的“发射假说”，即光速会跟随光源运动速度的改变而改变。不过这种说法，后来很快就被各种实验所否定了。比如，双星观测、以及运动版的迈克尔逊-莫雷实验。 从此，我们知道光就像一个逍遥浪子。从不停歇，从不回头。不会因为别人怎么样而动摇自身的步调，每秒30万公里是光对世界永远的承诺。光速不变，已成为了当今物理学界一条牢不可破的“公理”。 什么又是多普勒效应呢？ 多普勒效应，简单来说就是当一个信号源向你靠近时，你接收信号的波长会变短，而当一个信号源远离你时，你接受的信号波长会变长。 比如，你以一个固定的音调吹笛子，不同远处的人听到的笛声大小或许不一样，但都会听到同一个音调。 以“哆唻咪发唆啦西”音调变化来说，但当你吹着笛子靠近听笛声的人时，原本你一直吹地是“咪”这个音，但在他们的耳中，他们会听成“发”这个音，也就是音调变高了。而相反，如果你吹着笛子，远离他们，他们听见的音调可能就变成了“唻”。 明明只发出同样一个音，为什么随着吹奏者的运动，给听者的感受完全不一样？ 其本质就是因为声音是一种波，我们称为声波。而是波就会有波长，对于声波来说波长越长，音调就越低，波长越短，音调也就越高。 声波是通过空气的震荡传到我们的耳中的。吹奏者作为一个声源，相当于就在空气中制造一个波，而要制造一个完整的波，先要制造一个波头，再制造一个波尾。 如果，吹奏者向聆听者靠近，波头制造出来时在一个位置，而波尾制造出来时相当于波头出来时的位置前进了一小段，而这段距离是要被算在新制造的波的波长里的。所以实际波长减小了，频率就增加了，体现出来的音调就变高了，反之亦然。因此我们能得出一个结论，多普勒效应与一个信号源的移动速度相关，而在相对论里对于光速的描述也有一种重要结论，就是光速与光源运动无关。所以，光的多普勒效应并不会造成光速改变。那光的多普勒效应改变的是什么呢？ 光的多普勒效应 光作为一种波，在恒定的速度下，遵循多普勒效应，频率与波长可以发生此消彼长的变化。就像一个高个子和一个矮个子，两个人500米长跑比赛都同时到达终点，也就是说他们两个速度是一样的，但是由于高个子腿长步子大，他的换腿频率是低，而矮个子的腿短步子小，他的换脚频率就高。 步子和换腿频率，就相当于波长与振动频率。在同样的速度下，多普勒效应会导致光在不同波长及不同频率之间变化，在我们视觉上，表现出颜色的变化，这又被称为“ 多普勒-斐索效应 ”。这由法国物理学家斐索于1848年独立提出，它解释了来自恒星的波长偏移现象。利用这种效应也就成了测量恒星之间相对速度的一个有效办法。“多普勒-斐索效应”也是造成我们最熟悉的“ 光谱红移 ”与“ 光谱蓝移 ”的原因之一，恒星远离即红移，恒星靠近即蓝移。总的来说，声音与光的多普勒效应，一个带来音调变化，一个带来了颜色变化。 值得注意的是，光谱红移除了“多普勒-斐索效应”，还有“ 宇宙膨胀 ”也可以造成同样的结果，然而它们的成因是完全不同的。“多普勒-斐索效应”是在光源移动发射出光的瞬间就完成的，而“宇宙膨胀”导致的红移，是在光传播过程中慢慢形成的。 所以，当年哈勃观察到星系退行，并认定是多普勒效应造成了星光红移的说法是错误的，不过它的结论却是正确的。 总结 简单来看，波速只和介质相关，光在真空中不需要介质，那它的速度就和任何东西无关。 光和时空，可能是宇宙中最神秘的东西。而探寻它们的关系，是物理学永远要探讨的课题。就像同样的元素，不同的空间结构 组合方式，却能产生不一样的物质，这不得不让人称奇。 而光速不变背后最隐秘的成因，是值得后世科学家们一直探寻的终极话题。光速不变原理、光的多普勒效应这两者不存在矛盾关系 ，恰恰相反正是有了光速不变原理，才有了狭义相对论，之后才有了光的多普勒效应的解释。 多普勒效应这个词我们并不陌生，中学时期的物理课程上就已经听过学过，比如常见的机械波（如声波）的多普勒效应，原因起自波源与观测者之间存在相对运动，而题目中提到的光的多普勒效应，原则上来讲也是因为波源与观测者存在相对运动而引起的，但需要考虑相对论的修正。 用一个简单的例子，以一个简单的说法来解释一下光的多普勒效应 假设地面上有一发射单色光（即波长恒定）的波源，由波长可以确定光波的周期为定值T1，而小明身上带有一个灵敏度非常高的接收仪器，可以测出光波的变化。 首先小明以一定的速度远离波源，那么波源发出的光想要被小明接收，势必要经过一段路程的追及才行，而这个过程则需要一定时间才能完成，显而易见波源自身测得的周期T1肯定与小明测得的周期T2不一致。那么两个周期之间存在的关系是否可以表示出来呢？答案是可以，数学推导不难，有兴趣的读者朋友可以试一试。但如果仅仅依靠上段所讲的方面进行推导，你会发现推导出来的结果和教材上的公式完全对不上，这是什么原因呢？ 很简单，因为你没有考虑狭义相对论中的运动钟慢效应。如果一些读者朋友正好还熟悉狭义相对论，那么你将这个钟慢效应加进去就你得到正确的光多普勒效应的公式了。 由此可见，光速不变原理（代表狭义相对论）与光的多普勒效应之间非但不存在矛盾，而前者恰恰是后者的原理解释。 光的多普勒效应具体表现就是当波源与观测者相互远离时，观测者测得的波长要比波源处测得的长，表现为红移，反之就是蓝移。 补充一点知识： 此外还有一种红移——“ 引力红移 ”被经常提到，以地球为例，一束单色光向上发出，位于地面上方不同高度处的波长是不一样的，与上文提到了运动钟慢效应类似，这个是因为引力钟慢效应引起的。 期待您的点评和关注哦！ 我来给你们秀一把。 有无是两个概念，你把一个杆子伸过去。有一条线。 不伸过去，就没有一条线。

1。想说明多普勒现象后面的意味，似无必要非得用球面波来思考，不用把空间的方向性拉进来，用一个最简单的平面波更好想像。速度等于波长乘频率，似乎是无条件正确的呀，这就是一个定义，只是要注意速度是一个矢量，在各分量上这定义没什么问题。2。多普勒的解释有两种，一种用狭义相对论的时间和空间的相对性(洛仑兹变换公式)可推导出来，另一种用牛顿力学的运动方程就能推出来。其背后的意思就是物理量的相对性和时空的相通性。A和B相对静止，A看到B发出的波长(比如声波)，是一个值，A和B有相对运动时，看到的波长(峰与峰的距离)是另一个值。

超声多普勒血流公式为：此公式表示了频移fd与相对运动速度、发射频率fo及速度矢量和声束轴线之间夹角8(又称方向角)的关系。反射型超声多普勒仪的发射和接收同用一个换能器，它发射的声束经运动物体反射后又被自己接收，故发生了2次多普勒效应，发生的频移也就是单程时的2倍。至于公式中的正负号是表明声源体和接收体之间做相对运动时的方向。

多普勒效应公式为：F= (1-VcosA/C)/(1-V�0�5/C�0�5)1/2 （1）（其中A为光源系观察到的光线与速度方向的夹角，F为观察到的光频率，Fo 为光源系频率，V为观察者与光源间的相对运动速度，C为光速）当A=900时，cosA=0，对应的横向多普勒频率为紫移，大小为：F≈Fo(1+V�0�5/2C�0�5) （2）但在其它著作和有关书籍中，横向多普勒频率公式常常被说为红移，大小为：F≈Fo(1-V�0�5/2C�0�5) （3）很明显，（2）式和（3）式不同，但似乎都有道理，这就让人困惑了，似乎产生了矛盾！对此此问题，前一阵子我们在新华网进行了讨论。现在，已将问题弄清，原来混乱来自对光线角度的理解上，或者说对横向多普勒效应定义的理解上！大家知道，运动观察者观察来自远方的光，会有“光行差”效应，在与光源相对静止观察者看来是垂直射向观察者的光线，在运动观察者看来，光线是从斜前方射过来的。这也就是说，在光源系看来垂直射向运动观察者的光线，在观察者看来是不垂直的；反过来，如果接收者想要垂直接收某光线，光源必须以一定的提前角斜射过来。在相对论中，这一关系式由下式决定：cosA=(cosB+V/C)/(1+VcosB/C)（B为观察者系观察到的光线与速度方向的夹角）将上式代入（1）式得：F=Fo(1-V�0�5/C�0�5)1/2/(1-VcosB/C) （4）当B=900时，cosB=0，对应的横向多普勒频率为红移，大小为：F≈Fo(1-V�0�5/2C�0�5) （5）很明显，（3）式与（5）式是相同的。至此，问题就明白了。之所以会出现两个公式，与对横向多普勒的理解和定义有关：若将横向多普勒理解和定义为从光源系看垂直射向运动观察者的光被观察者接收时的频移关系，则为紫移：F≈Fo(1+V�0�5/2C�0�5)；若将横向多普勒理解和定义为在接收者系看来垂直射来的光的频移关系，则为红移F≈Fo(1-V�0�5/2C�0�5)。

声波的多普勒效应及其公式以人耳在空气中听到声源发出的声波作为讨论基础。由此得到的结果，适于所有的经典力学中的机械波。设空气中的声源振动频率为fs，空气中的声波速度为c，人耳听到声波频率fr，与人和声源相对空气的运动方式，运动速度均有关。假设人和声源的运动沿着二者连线，相对于空气的速度分别为vr，vs；声源的振动频率fs和声速c分别由声援和介质所决定，可以认为是不变量。vr，vs是相互独立的变量，fs与fr将随着vr，vs发生改变；fs与fr的差异表现为多普勒效应现象。第一种情况：声源静止，人相对于声源以速度vr 运动。此时空气中的波长λ理解为声波中，2相邻波峰之间的距离，为不变量。对于波源，按照波速公式：c = fs λ   <1>声源相对于人的传播速度为c±vr，人耳听到的声波频率fr符合c±vr = fr λ    <2>式中加号表示人靠近声源，减号表示人远离声源。联立上面2式，得：    表明，当人靠近声源时，听到的声波频率增大；远离声源时，听到的声波频率减小。第二种情况：人静止，声源相对于人以速度vs运动。此时空气中的波长将会发生改变，沿着声源的运动方向，在声源前面，波面变得密集，波长变短；在声源后面，声波的波面变得稀疏，波长变长：  声波从波源发出后，在空气中独立地传播，其传播速度c与声源无关。因为人静止在空气中，所以声波相对于人的传播速度仍为c，而人听到的声波频率则因波长变化而变为fr，符合波速公式：   联立上面2式得：  式中减号表示声源靠近人运动，加号表示声源远离人运动。表明，当声源靠近人时，听到的声波频率增大，远离人时，听到的声波频率减小。 第三种情况：人与声源都运动，空气中声波波长如<2>所示为，减号表示声源靠近人，加号表示声源远离人。声波从声源发出后，波速不变仍为c，但是由于人相对于声源靠近或者远离，声源相对于人的传播速度如<4>所示为，加号表示人靠近波源，减号表示远离波源。从上面2式中消去λ″： 表示在一般情况下，空气中声波的多普勒效应公式。<3>和<6>是一般公式<7>的特例。从公式中可知，人和波源相对静止时（人与波源同向同速运动，公式中分子分母取同样符号），人听到的声波频率与声源频率相同。人与声源相对运动时，人听到的声源频率将要发生变化：相对靠近时，听到的声波频率升高，相对远离时，频率降低。多普勒效应公式的使用条件是，声源相对空气的速度比空气中的声速足够小。当声源速度与声速接近时，必须对公式加以修正；而当声源速度大于声速时，多普勒效应公式失效。多普勒效应公式的建立，根据是波速公式。在波速公式中各量都与测量有关，并且由测量所确定。因此对同一列机械波，不同观测者测出的结果不同。值得注意的是，这种差异绝非测量误差造成，而是具有更深刻的物理背景。经典物理学旨在描述物理现象，概括经验事实，归纳实验结果，从而试图找出相应的物理规律。因此经典物理学很大程度上是一种“唯象”的理论体系，它不回答诸如“本质如何”之类的形而上问题，而是像多普勒效应公式的建立那样，只对人耳听到的声波频率做出合乎逻辑的自圆其说。

利用多普勒效应可以测量声速和运动物体速度，步骤如下：1、根据声波的多普勒效应公式，当声源与接收器之间有相对运动时，接收器接可以收到频率f，f的表达式如下：2、让声源保持不动，运动物体上的接收器沿声源与接收连线方向以速度V运动，此时接收器接收到的频率变为：3、让声源频率保持不变，用光电门测量物体的运动速度并记录，便可以测量声源的声速，多测几次取平均值便可以提高精度；4、若已知声速u和声源频率，便可进一步将式子进行变形后计算物体运动速度；5、还可以通过画图的方法求截距和斜率，然后通过截距和斜率与声速和物体运动速度的关系来求解，这样样本含量高，结果精确。

多普勒效应Doppler effect 波源与观察者（接收器）间有相对运动时，观测到的波频率与波源发出的波频率不同的现象。也称多普勒频移。1842年由奥地利物理学家J.C.多普勒发现。关于多普勒效应理论有两种： ①经典的多普勒效应。以经典理论处理多普勒效应问题，适用于以弹性介质为媒体的普通机械波。设介质静止不动，波源频率为v0，波在介质中的传播速度为v，若波源和接收器分别以速度u1和u2沿两者的连线运动，则接收到的波频率为根据上式，无论是波源运动还是观测者运动，或者两者同时运动，波源和观测者接近时接收到的频率增加，远离时接收到的频率减小。 ②光学多普勒效应。以相对论理论为基础处理光波（或电磁波）的多普勒效应。光波与机械波不同，不需要任何介质而能在真空中传播；根据光速不变原理（见狭义相对论），真空中的光速在任何惯性参考系中有相同数值，光学多普勒频移只决定于光源和观测者间的相对运动速度。设静止光源所发光波频率为v0，相对运动速度的大小为v，观测方向角（观测者和光源的连线与相对运动方向间的夹角）为θ，如图，S为光源，O为观测者。接收到的光波频率为式中β＝v／c；c为真空中的光速。可以证明，经典的多普勒频移公式只是上式的一级近似。当θ＝π／2时，频率改变是β的二级效应，称为横向多普勒效应。 根据多普勒效应的原理可测量运动物体的速度，如车速、船速、卫星速度和流体的流速等。根据光学多普勒频移可测定天体相对地球的运动。光源中发光原子的无规热运动引起谱线增宽，称多普线增宽，根据频移公式可计算多普勒增宽与光源温度的关系。

多普勒效应是一种物理现象，它描述了当声波(或其他波)的源和接收者相对运动时，波源发射的频率是如何改变的。具体地说，当发射声波的物体向接收者靠近时(近物), 波的发射频率似乎变高了，而当物体与接收者远离时(远物)，波的发射频率似乎变低了。这种现象被称为多普勒效应。在匀速靠近的情况下，发射声波的物体向接收者靠近的速度恒定。设声波发射的频率为f, 发射物体向接收者的速度为v，到达接收者时的频率为f"。根据多普勒效应的公式，频率变化量 Δf 与源和接收者间的速度v的大小成正比，即：Δf/f = v/c其中，c表示声波在介质中传播的速度。由于发射物体向接收者匀速靠近的速度是一个正值，所以根据上述公式，频率变化量 Δf为正，也就是声音的频率增加了。所以，当一个物体以匀速向接收者靠近时，发射声波的频率会变高。

根据多普勒效应人以大于波速的速度原理波源 人听不到声音 而波源发出的波仍按固有属性前进波源以大于波速的速度接近人 人只能在波源到达人所在位置才能感受到波波源以波速接近人同理表现出来的是速度插大于波速则波只能向后传播 不能向前传播

光波会由于多普勒效应而发生波长的变化。恒星的光谱中有一系列吸收线，如果恒星远离我们而去，我们观测到的这些吸收线就会向光波的红端（长波）方向移动，称为谱线红移；反之，当恒星朝向我们而来时，观测谱线会向光波的蓝端（短波）方向移动，称为谱线蓝移。测出谱线红移或蓝移的量，根据多普勒效应的公式，我们就可以得出恒星朝向或者远离我们的速度了。什么是多普勒效应？多普勒效应是这样的，当一个波源在运动的时候，接收者会接收到不同的频率和波长。举个例子：你站在路边，一辆汽车呼啸而过，当车子靠近你时，你听到的声音很尖锐，当车子远离你时你听到的声音很缓和，这就是多普勒效应。不仅声音如此，光也是如此，这就是天文里说的红移，科学家们发现天空中的星星都发红（肉眼看不出，使用光谱仪测出来的，元素都有自己的光谱，科学家们发现这些光谱都偏红）。按照多普勒效应就可以推断出，星星在远离我们（远离频率变低，波长变长；靠近频率变高，波长变短），从而推理出宇宙在膨胀。

一、质点的运动（1）------直线运动 1）匀变速直线运动 1.平均速度V平＝s/t（定义式） 2.有用推论Vt2-Vo2＝2as 3.中间时刻速度Vt/2＝V平＝(Vt+Vo)/2 4.末速度Vt＝Vo+at 5.中间位置速度Vs/2＝[(Vo2+Vt2)/2]1/2 6.位移s＝V平t＝Vot+at2/2＝Vt/2t 7.加速度a＝(Vt-Vo)/t ｛以Vo为正方向，a与Vo同向(加速)a>0；反向则a<0｝ 8.实验用推论Δs＝aT2 ｛Δs为连续相邻相等时间(T)内位移之差｝ 9.主要物理量及单位:初速度(Vo):m/s；加速度(a):m/s2；末速度(Vt):m/s；时间(t)秒(s)；位移(s):米（m）；路程:米；速度单位换算：1m/s=3.6km/h。 注： (1)平均速度是矢量; (2)物体速度大,加速度不一定大; (3)a=(Vt-Vo)/t只是量度式，不是决定式; (4)其它相关内容：质点、位移和路程、参考系、时间与时刻〔见第一册P19〕/s--t图、v--t图/速度与速率、瞬时速度〔见第一册P24〕。 2)自由落体运动 1.初速度Vo＝0 2.末速度Vt＝gt 3.下落高度h＝gt2/2（从Vo位置向下计算） 4.推论Vt2＝2gh 注: (1)自由落体运动是初速度为零的匀加速直线运动，遵循匀变速直线运动规律； (2)a＝g＝9.8m/s2≈10m/s2（重力加速度在赤道附近较小,在高山处比平地小，方向竖直向下）。 （3)竖直上抛运动 1.位移s＝Vot-gt2/2 2.末速度Vt＝Vo-gt （g=9.8m/s2≈10m/s2） 3.有用推论Vt2-Vo2＝-2gs 4.上升最大高度Hm＝Vo2/2g(抛出点算起） 5.往返时间t＝2Vo/g （从抛出落回原位置的时间） 注: (1)全过程处理:是匀减速直线运动，以向上为正方向，加速度取负值； (2)分段处理：向上为匀减速直线运动，向下为自由落体运动，具有对称性； (3)上升与下落过程具有对称性,如在同点速度等值反向等。 二、质点的运动（2）----曲线运动、万有引力 1)平抛运动 1.水平方向速度：Vx＝Vo 2.竖直方向速度：Vy＝gt 3.水平方向位移：x＝Vot 4.竖直方向位移：y＝gt2/2 5.运动时间t＝(2y/g）1/2(通常又表示为(2h/g)1/2) 6.合速度Vt＝(Vx2+Vy2)1/2＝[Vo2+(gt)2]1/2 合速度方向与水平夹角β:tgβ＝Vy/Vx＝gt/V0 7.合位移：s＝(x2+y2)1/2, 位移方向与水平夹角α:tgα＝y/x＝gt/2Vo 8.水平方向加速度：ax=0；竖直方向加速度：ay＝g 注： (1)平抛运动是匀变速曲线运动，加速度为g，通常可看作是水平方向的匀速直线运与竖直方向的自由落体运动的合成； (2)运动时间由下落高度h(y)决定与水平抛出速度无关； （3）θ与β的关系为tgβ＝2tgα； （4）在平抛运动中时间t是解题关键；(5)做曲线运动的物体必有加速度，当速度方向与所受合力(加速度)方向不在同一直线上时，物体做曲线运动。 2）匀速圆周运动 1.线速度V＝s/t＝2πr/T 2.角速度ω＝Φ/t＝2π/T＝2πf 3.向心加速度a＝V2/r＝ω2r＝(2π/T)2r 4.向心力F心＝mV2/r＝mω2r＝mr(2π/T)2＝mωv=F合 5.周期与频率：T＝1/f 6.角速度与线速度的关系：V＝ωr 7.角速度与转速的关系ω＝2πn(此处频率与转速意义相同) 8.主要物理量及单位：弧长(s):米(m)；角度(Φ)：弧度（rad）；频率（f）：赫（Hz）；周期（T）：秒（s）；转速（n）：r/s；半径(r):米（m）；线速度（V）：m/s；角速度（ω）：rad/s；向心加速度：m/s2。 注： （1）向心力可以由某个具体力提供，也可以由合力提供，还可以由分力提供，方向始终与速度方向垂直，指向圆心； （2）做匀速圆周运动的物体，其向心力等于合力，并且向心力只改变速度的方向，不改变速度的大小，因此物体的动能保持不变，向心力不做功，但动量不断改变。 3)万有引力 1.开普勒第三定律：T2/R3＝K(＝4π2/GM)｛R:轨道半径，T:周期，K:常量(与行星质量无关，取决于中心天体的质量)｝ 2.万有引力定律：F＝Gm1m2/r2 （G＝6.67×10-11N?m2/kg2，方向在它们的连线上） 3.天体上的重力和重力加速度：GMm/R2＝mg；g＝GM/R2 ｛R:天体半径(m)，M：天体质量（kg）｝ 4.卫星绕行速度、角速度、周期：V＝(GM/r)1/2；ω＝(GM/r3)1/2；T＝2π(r3/GM)1/2｛M：中心天体质量｝ 5.第一(二、三)宇宙速度V1＝(g地r地)1/2＝(GM/r地)1/2＝7.9km/s；V2＝11.2km/s；V3＝16.7km/s 6.地球同步卫星GMm/(r地+h)2＝m4π2(r地+h)/T2｛h≈36000km，h:距地球表面的高度，r地:地球的半径｝ 注: (1)天体运动所需的向心力由万有引力提供,F向＝F万； (2)应用万有引力定律可估算天体的质量密度等； (3)地球同步卫星只能运行于赤道上空，运行周期和地球自转周期相同； (4)卫星轨道半径变小时,势能变小、动能变大、速度变大、周期变小（一同三反）； (5)地球卫星的最大环绕速度和最小发射速度均为7.9km/s。 三、力（常见的力、力的合成与分解） 1）常见的力 1.重力G＝mg （方向竖直向下，g＝9.8m/s2≈10m/s2，作用点在重心，适用于地球表面附近） 2.胡克定律F＝kx ｛方向沿恢复形变方向，k：劲度系数(N/m)，x：形变量(m)｝ 3.滑动摩擦力F＝μFN ｛与物体相对运动方向相反，μ：摩擦因数，FN：正压力(N)｝ 4.静摩擦力0≤f静≤fm （与物体相对运动趋势方向相反，fm为最大静摩擦力） 5.万有引力F＝Gm1m2/r2 （G＝6.67×10-11N?m2/kg2,方向在它们的连线上） 6.静电力F＝kQ1Q2/r2 （k＝9.0×109N?m2/C2,方向在它们的连线上） 7.电场力F＝Eq （E：场强N/C，q：电量C，正电荷受的电场力与场强方向相同） 8.安培力F＝BILsinθ （θ为B与L的夹角，当L⊥B时:F＝BIL，B//L时:F＝0） 9.洛仑兹力f＝qVBsinθ （θ为B与V的夹角，当V⊥B时：f＝qVB，V//B时:f＝0） 注: (1)劲度系数k由弹簧自身决定; (2)摩擦因数μ与压力大小及接触面积大小无关，由接触面材料特性与表面状况等决定; (3)fm略大于μFN，一般视为fm≈μFN; (4)其它相关内容：静摩擦力（大小、方向）〔见第一册P8〕； (5)物理量符号及单位B：磁感强度(T)，L：有效长度(m)，I:电流强度(A)，V：带电粒子速度(m/s),q:带电粒子（带电体）电量(C); (6)安培力与洛仑兹力方向均用左手定则判定。 2）力的合成与分解 1.同一直线上力的合成同向:F＝F1+F2， 反向：F＝F1-F2 (F1>F2) 2.互成角度力的合成： F＝(F12+F22+2F1F2cosα)1/2（余弦定理） F1⊥F2时:F＝(F12+F22)1/2 3.合力大小范围：|F1-F2|≤F≤|F1+F2| 4.力的正交分解：Fx＝Fcosβ，Fy＝Fsinβ（β为合力与x轴之间的夹角tgβ＝Fy/Fx） 注： (1)力(矢量)的合成与分解遵循平行四边形定则; （2）合力与分力的关系是等效替代关系,可用合力替代分力的共同作用,反之也成立; (3)除公式法外，也可用作图法求解,此时要选择标度,严格作图; (4)F1与F2的值一定时,F1与F2的夹角(α角)越大，合力越小; （5）同一直线上力的合成，可沿直线取正方向，用正负号表示力的方向，化简为代数运算。 四、动力学（运动和力） 1.牛顿第一运动定律(惯性定律）：物体具有惯性，总保持匀速直线运动状态或静止状态,直到有外力迫使它改变这种状态为止 2.牛顿第二运动定律：F合＝ma或a＝F合/ma{由合外力决定,与合外力方向一致} 3.牛顿第三运动定律：F＝-F′{负号表示方向相反,F、F′各自作用在对方，平衡力与作用力反作用力区别，实际应用：反冲运动} 4.共点力的平衡F合＝0，推广 ｛正交分解法、三力汇交原理｝ 5.超重：FN>G，失重：FN<G {加速度方向向下，均失重，加速度方向向上，均超重} 6.牛顿运动定律的适用条件：适用于解决低速运动问题，适用于宏观物体，不适用于处理高速问题，不适用于微观粒子〔见第一册P67〕 注:平衡状态是指物体处于静止或匀速直线状态,或者是匀速转动。 五、振动和波（机械振动与机械振动的传播） 1.简谐振动F＝-kx {F:回复力，k:比例系数，x:位移，负号表示F的方向与x始终反向} 2.单摆周期T＝2π(l/g)1/2 ｛l:摆长(m)，g:当地重力加速度值，成立条件:摆角θ<100;l>>r｝ 3.受迫振动频率特点：f＝f驱动力 4.发生共振条件:f驱动力＝f固，A＝max，共振的防止和应用〔见第一册P175〕 5.机械波、横波、纵波〔见第二册P2〕 6.波速v＝s/t＝λf＝λ/T{波传播过程中，一个周期向前传播一个波长；波速大小由介质本身所决定} 7.声波的波速(在空气中）0℃：332m/s；20℃:344m/s；30℃:349m/s；(声波是纵波) 8.波发生明显衍射（波绕过障碍物或孔继续传播）条件：障碍物或孔的尺寸比波长小，或者相差不大 9.波的干涉条件：两列波频率相同(相差恒定、振幅相近、振动方向相同) 10.多普勒效应:由于波源与观测者间的相互运动，导致波源发射频率与接收频率不同｛相互接近，接收频率增大，反之，减小〔见第二册P21〕｝ 注： （1）物体的固有频率与振幅、驱动力频率无关，取决于振动系统本身； （2）加强区是波峰与波峰或波谷与波谷相遇处，减弱区则是波峰与波谷相遇处； （3）波只是传播了振动，介质本身不随波发生迁移,是传递能量的一种方式； （4）干涉与衍射是波特有的； (5)振动图象与波动图象； (6)其它相关内容：超声波及其应用〔见第二册P22〕/振动中的能量转化〔见第一册P173〕。 六、冲量与动量(物体的受力与动量的变化） 1.动量：p＝mv ｛p:动量(kg/s)，m:质量(kg)，v:速度(m/s)，方向与速度方向相同｝ 3.冲量：I＝Ft ｛I:冲量(N?s)，F:恒力(N)，t:力的作用时间(s)，方向由F决定｝ 4.动量定理：I＝Δp或Ft＝mvt–mvo {Δp:动量变化Δp＝mvt–mvo，是矢量式} 5.动量守恒定律：p前总＝p后总或p＝p"′也可以是m1v1+m2v2＝m1v1′+m2v2′ 6.弹性碰撞：Δp＝0；ΔEk＝0 {即系统的动量和动能均守恒} 7.非弹性碰撞Δp＝0；0<ΔEK<ΔEKm {ΔEK：损失的动能，EKm：损失的最大动能} 8.完全非弹性碰撞Δp＝0；ΔEK＝ΔEKm {碰后连在一起成一整体} 9.物体m1以v1初速度与静止的物体m2发生弹性正碰: v1′＝(m1-m2)v1/(m1+m2) v2′＝2m1v1/(m1+m2) 10.由9得的推论-----等质量弹性正碰时二者交换速度(动能守恒、动量守恒) 11.子弹m水平速度vo射入静止置于水平光滑地面的长木块M，并嵌入其中一起运动时的机械能损失 E损=mvo2/2-(M+m)vt2/2＝fs相对 {vt:共同速度，f:阻力，s相对子弹相对长木块的位移} 注： (1)正碰又叫对心碰撞，速度方向在它们“中心”的连线上; (2)以上表达式除动能外均为矢量运算,在一维情况下可取正方向化为代数运算; （3）系统动量守恒的条件:合外力为零或系统不受外力，则系统动量守恒（碰撞问题、爆炸问题、反冲问题等）; (4)碰撞过程(时间极短，发生碰撞的物体构成的系统)视为动量守恒,原子核衰变时动量守恒; (5)爆炸过程视为动量守恒，这时化学能转化为动能，动能增加；(6)其它相关内容：反冲运动、火箭、航天技术的发展和宇宙航行〔见第一册P128〕。 七、功和能（功是能量转化的量度） 1.功：W＝Fscosα（定义式）｛W:功(J)，F:恒力(N)，s:位移(m)，α:F、s间的夹角｝ 2.重力做功：Wab＝mghab {m:物体的质量，g＝9.8m/s2≈10m/s2，hab：a与b高度差(hab＝ha-hb)} 3.电场力做功：Wab＝qUab ｛q:电量（C），Uab:a与b之间电势差(V)即Uab＝φa－φb｝ 4.电功：W＝UIt（普适式） ｛U：电压（V），I:电流(A)，t:通电时间(s)｝ 5.功率：P＝W/t(定义式) ｛P:功率[瓦(W)]，W:t时间内所做的功(J)，t:做功所用时间(s)｝ 6.汽车牵引力的功率：P＝Fv；P平＝Fv平 {P:瞬时功率，P平:平均功率} 7.汽车以恒定功率启动、以恒定加速度启动、汽车最大行驶速度(vmax＝P额/f) 8.电功率：P＝UI(普适式) ｛U：电路电压(V)，I：电路电流(A)｝ 9.焦耳定律：Q＝I2Rt ｛Q:电热(J)，I:电流强度(A)，R:电阻值(Ω)，t:通电时间(s)｝ 10.纯电阻电路中I＝U/R；P＝UI＝U2/R＝I2R；Q＝W＝UIt＝U2t/R＝I2Rt 11.动能：Ek＝mv2/2 ｛Ek:动能(J)，m：物体质量(kg)，v:物体瞬时速度(m/s)｝ 12.重力势能：EP＝mgh ｛EP :重力势能(J)，g:重力加速度，h:竖直高度(m)(从零势能面起)｝ 13.电势能：EA＝qφA ｛EA:带电体在A点的电势能(J)，q:电量(C)，φA:A点的电势(V)(从零势能面起)｝ 14.动能定理(对物体做正功,物体的动能增加)： W合＝mvt2/2-mvo2/2或W合＝ΔEK ｛W合:外力对物体做的总功，ΔEK:动能变化ΔEK＝(mvt2/2-mvo2/2)｝ 15.机械能守恒定律：ΔE＝0或EK1+EP1＝EK2+EP2也可以是mv12/2+mgh1＝mv22/2+mgh2 16.重力做功与重力势能的变化(重力做功等于物体重力势能增量的负值)WG＝-ΔEP 注: (1)功率大小表示做功快慢,做功多少表示能量转化多少； （2）O0≤α<90O 做正功；90O<α≤180O做负功；α＝90o不做功(力的方向与位移（速度）方向垂直时该力不做功)； （3）重力（弹力、电场力、分子力）做正功，则重力（弹性、电、分子）势能减少 （4）重力做功和电场力做功均与路径无关（见2、3两式）；（5）机械能守恒成立条件：除重力（弹力）外其它力不做功，只是动能和势能之间的转化；(6)能的其它单位换算:1kWh(度)＝3.6×106J，1eV＝1.60×10-19J；*（7）弹簧弹性势能E＝kx2/2，与劲度系数和形变量有关。 八、分子动理论、能量守恒定律 1.阿伏加德罗常数NA＝6.02×1023/mol；分子直径数量级10-10米 2.油膜法测分子直径d＝V/s ｛V:单分子油膜的体积(m3)，S:油膜表面积(m)2｝ 3.分子动理论内容：物质是由大量分子组成的；大量分子做无规则的热运动；分子间存在相互作用力。 4.分子间的引力和斥力(1)r<r0，f引<f斥，F分子力表现为斥力 (2)r＝r0，f引＝f斥，F分子力＝0，E分子势能＝Emin(最小值) (3)r>r0，f引>f斥，F分子力表现为引力 (4)r>10r0，f引＝f斥≈0，F分子力≈0，E分子势能≈0 5.热力学第一定律W+Q＝ΔU｛(做功和热传递，这两种改变物体内能的方式，在效果上是等效的)， W:外界对物体做的正功(J)，Q:物体吸收的热量(J)，ΔU:增加的内能(J)，涉及到第一类永动机不可造出〔见第二册P40〕｝ 6.热力学第二定律 克氏表述：不可能使热量由低温物体传递到高温物体，而不引起其它变化（热传导的方向性）； 开氏表述：不可能从单一热源吸收热量并把它全部用来做功，而不引起其它变化（机械能与内能转化的方向性）｛涉及到第二类永动机不可造出〔见第二册P44〕｝ 7.热力学第三定律：热力学零度不可达到｛宇宙温度下限：－273.15摄氏度（热力学零度）｝ 注: (1)布朗粒子不是分子,布朗颗粒越小，布朗运动越明显,温度越高越剧烈； (2)温度是分子平均动能的标志； 3)分子间的引力和斥力同时存在,随分子间距离的增大而减小,但斥力减小得比引力快； (4)分子力做正功，分子势能减小,在r0处F引＝F斥且分子势能最小； (5)气体膨胀,外界对气体做负功W<0；温度升高，内能增大ΔU>0；吸收热量，Q>0 (6)物体的内能是指物体所有的分子动能和分子势能的总和，对于理想气体分子间作用力为零，分子势能为零； (7)r0为分子处于平衡状态时，分子间的距离； (8)其它相关内容：能的转化和定恒定律〔见第二册P41〕/能源的开发与利用、环保〔见第二册P47〕/物体的内能、分子的动能、分子势能〔见第二册P47〕。 九、气体的性质 1.气体的状态参量： 温度：宏观上，物体的冷热程度；微观上，物体内部分子无规则运动的剧烈程度的标志， 热力学温度与摄氏温度关系：T＝t+273 ｛T:热力学温度(K)，t:摄氏温度(℃)｝ 体积V：气体分子所能占据的空间，单位换算：1m3＝103L＝106mL 压强p：单位面积上，大量气体分子频繁撞击器壁而产生持续、均匀的压力，标准大气压：1atm＝1.013×105Pa＝76cmHg(1Pa＝1N/m2) 2.气体分子运动的特点：分子间空隙大；除了碰撞的瞬间外，相互作用力微弱；分子运动速率很大 3.理想气体的状态方程：p1V1/T1＝p2V2/T2 ｛PV/T＝恒量，T为热力学温度(K)｝ 注: (1)理想气体的内能与理想气体的体积无关,与温度和物质的量有关； (2)公式3成立条件均为一定质量的理想气体，使用公式时要注意温度的单位，t为摄氏温度(℃)，而T为热力学温度(K)。 十、电场 1.两种电荷、电荷守恒定律、元电荷：(e＝1.60×10-19C）；带电体电荷量等于元电荷的整数倍 2.库仑定律：F＝kQ1Q2/r2（在真空中）｛F:点电荷间的作用力(N)，k:静电力常量k＝9.0×109N?m2/C2，Q1、Q2:两点电荷的电量(C)，r:两点电荷间的距离(m)，方向在它们的连线上，作用力与反作用力，同种电荷互相排斥，异种电荷互相吸引｝ 3.电场强度：E＝F/q（定义式、计算式)｛E:电场强度(N/C)，是矢量（电场的叠加原理），q：检验电荷的电量(C)｝ 4.真空点（源）电荷形成的电场E＝kQ/r2 ｛r：源电荷到该位置的距离（m），Q：源电荷的电量｝ 5.匀强电场的场强E＝UAB/d ｛UAB:AB两点间的电压(V)，d:AB两点在场强方向的距离(m)｝ 6.电场力：F＝qE ｛F:电场力(N)，q:受到电场力的电荷的电量(C)，E:电场强度(N/C)｝ 7.电势与电势差：UAB＝φA-φB，UAB＝WAB/q＝-ΔEAB/q 8.电场力做功：WAB＝qUAB＝Eqd｛WAB:带电体由A到B时电场力所做的功(J)，q:带电量(C)，UAB:电场中A、B两点间的电势差(V)(电场力做功与路径无关),E:匀强电场强度,d:两点沿场强方向的距离(m)｝ 9.电势能：EA＝qφA ｛EA:带电体在A点的电势能(J)，q:电量(C)，φA:A点的电势(V)｝ 10.电势能的变化ΔEAB＝EB-EA ｛带电体在电场中从A位置到B位置时电势能的差值｝ 11.电场力做功与电势能变化ΔEAB＝-WAB＝-qUAB (电势能的增量等于电场力做功的负值) 12.电容C＝Q/U(定义式,计算式) ｛C:电容(F)，Q:电量(C)，U:电压(两极板电势差)(V)｝ 13.平行板电容器的电容C＝εS/4πkd（S:两极板正对面积，d:两极板间的垂直距离，ω：介电常数） 常见电容器〔见第二册P111〕 14.带电粒子在电场中的加速(Vo＝0)：W＝ΔEK或qU＝mVt2/2，Vt＝(2qU/m)1/2 15.带电粒子沿垂直电场方向以速度Vo进入匀强电场时的偏转(不考虑重力作用的情况下) 类平 垂直电场方向:匀速直线运动L＝Vot(在带等量异种电荷的平行极板中：E＝U/d) 抛运动 平行电场方向:初速度为零的匀加速直线运动d＝at2/2，a＝F/m＝qE/m 注: (1)两个完全相同的带电金属小球接触时,电量分配规律:原带异种电荷的先中和后平分,原带同种电荷的总量平分； (2)电场线从正电荷出发终止于负电荷,电场线不相交,切线方向为场强方向,电场线密处场强大,顺着电场线电势越来越低,电场线与等势线垂直； （3）常见电场的电场线分布要求熟记〔见图[第二册P98]； (4)电场强度（矢量）与电势（标量）均由电场本身决定,而电场力与电势能还与带电体带的电量多少和电荷正负有关； (5)处于静电平衡导体是个等势体,表面是个等势面,导体外表面附近的电场线垂直于导体表面，导体内部合场强为零,导体内部没有净电荷,净电荷只分布于导体外表面； (6)电容单位换算：1F＝106μF＝1012PF； (7）电子伏(eV)是能量的单位,1eV＝1.60×10-19J； (8)其它相关内容：静电屏蔽〔见第二册P101〕/示波管、示波器及其应用〔见第二册P114〕等势面〔见第二册P105〕。 十一、恒定电流 1.电流强度：I＝q/t｛I:电流强度(A），q:在时间t内通过导体横载面的电量(C），t:时间(s）｝ 2.欧姆定律：I＝U/R ｛I:导体电流强度(A)，U:导体两端电压(V)，R:导体阻值(Ω)｝ 3.电阻、电阻定律：R＝ρL/S｛ρ:电阻率(Ω?m)，L:导体的长度(m)，S:导体横截面积(m2)｝ 4.闭合电路欧姆定律：I＝E/(r+R)或E＝Ir+IR也可以是E＝U内+U外 ｛I:电路中的总电流(A)，E:电源电动势(V)，R:外电路电阻(Ω)，r:电源内阻(Ω)｝ 5.电功与电功率：W＝UIt，P＝UI｛W:电功(J)，U:电压(V)，I:电流(A)，t:时间(s)，P:电功率(W)｝ 6.焦耳定律：Q＝I2Rt｛Q:电热(J)，I:通过导体的电流(A)，R:导体的电阻值(Ω)，t:通电时间(s)｝ 7.纯电阻电路中:由于I＝U/R,W＝Q，因此W＝Q＝UIt＝I2Rt＝U2t/R 8.电源总动率、电源输出功率、电源效率：P总＝IE，P出＝IU，η＝P出/P总｛I:电路总电流(A)，E:电源电动势(V)，U:路端电压(V)，η：电源效率｝ 9.电路的串/并联 串联电路(P、U与R成正比) 并联电路(P、I与R成反比) 电阻关系(串同并反) R串＝R1+R2+R3+ 1/R并＝1/R1+1/R2+1/R3+ 电流关系 I总＝I1＝I2＝I3 I并＝I1+I2+I3+ 电压关系 U总＝U1+U2+U3+ U总＝U1＝U2＝U3 功率分配 P总＝P1+P2+P3+ P总＝P1+P2+P3+ 10.欧姆表测电阻 (1)电路组成 (2)测量原理 两表笔短接后,调节Ro使电表指针满偏，得 Ig＝E/(r+Rg+Ro) 接入被测电阻Rx后通过电表的电流为 Ix＝E/(r+Rg+Ro+Rx)＝E/(R中+Rx) 由于Ix与Rx对应，因此可指示被测电阻大小 (3)使用方法:机械调零、选择量程、欧姆调零、测量读数｛注意挡位(倍率)｝、拨off挡。 (4)注意:测量电阻时，要与原电路断开,选择量程使指针在中央附近,每次换挡要重新短接欧姆调零。 11.伏安法测电阻 电流表内接法： 电压表示数：U＝UR+UA 电流表外接法： 电流表示数：I＝IR+IV Rx的测量值＝U/I＝(UA+UR)/IR＝RA+Rx>R真 Rx的测量值＝U/I＝UR/(IR+IV)＝RVRx/(RV+R)<R真 选用电路条件Rx>>RA [或Rx>(RARV)1/2] 选用电路条件Rx<<RV [或Rx<(RARV)1/2] 12.滑动变阻器在电路中的限流接法与分压接法 限流接法 电压调节范围小,电路简单,功耗小 便于调节电压的选择条件Rp>Rx 电压调节范围大,电路复杂,功耗较大 便于调节电压的选择条件Rp<Rx 注1)单位换算：1A＝103mA＝106μA；1kV＝103V＝106mA；1MΩ＝103kΩ＝106Ω (2)各种材料的电阻率都随温度的变化而变化,金属电阻率随温度升高而增大； (3)串联总电阻大于任何一个分电阻,并联总电阻小于任何一个分电阻； (4)当电源有内阻时,外电路电阻增大时,总电流减小,路端电压增大； (5)当外电路电阻等于电源电阻时,电源输出功率最大,此时的输出功率为E2/(2r)； (6)其它相关内容：电阻率与温度的关系半导体及其应用超导及其应用〔见第二册P127〕。 十二、磁场 1.磁感应强度是用来表示磁场的强弱和方向的物理量,是矢量，单位T),1T＝1N/A?m 2.安培力F＝BIL；(注：L⊥B) {B:磁感应强度(T),F:安培力(F),I:电流强度(A),L:导线长度(m)} 3.洛仑兹力f＝qVB(注V⊥B);质谱仪〔见第二册P155〕 ｛f:洛仑兹力(N)，q:带电粒子电量(C)，V:带电粒子速度(m/s)｝ 4.在重力忽略不计(不考虑重力)的情况下,带电粒子进入磁场的运动情况(掌握两种)： （1）带电粒子沿平行磁场方向进入磁场:不受洛仑兹力的作用,做匀速直线运动V＝V0 (2)带电粒子沿垂直磁场方向进入磁场:做匀速圆周运动,规律如下a)F向＝f洛＝mV2/r＝mω2r＝mr(2π/T)2＝qVB；r＝mV/qB；T＝2πm/qB；(b)运动周期与圆周运动的半径和线速度无关,洛仑兹力对带电粒子不做功(任何情况下)；(c)解题关键:画轨迹、找圆心、定半径、圆心角（＝二倍弦切角）。 注： (1)安培力和洛仑兹力的方向均可由左手定则判定，只是洛仑兹力要注意带电粒子的正负； (2)磁感线的特点及其常见磁场的磁感线分布要掌握〔见图及第二册P144〕；(3)其它相关内容：地磁场/磁电式电表原理〔见第二册P150〕/回旋加速器〔见第二册P156〕/磁性材料 十三、电磁感应 1.[感应电动势的大小计算公式] 1)E＝nΔΦ/Δt（普适公式）｛法拉第电磁感应定律，E：感应电动势(V)，n：感应线圈匝数，ΔΦ/Δt:磁通量的变化率｝ 2)E＝BLV垂(切割磁感线运动) ｛L:有效长度(m)｝ 3)Em＝nBSω（交流发电机最大的感应电动势） ｛Em:感应电动势峰值｝ 4)E＝BL2ω/2（导体一端固定以ω旋转切割） ｛ω:角速度(rad/s)，V:速度(m/s)｝ 2.磁通量Φ＝BS {Φ:磁通量(Wb),B:匀强磁场的磁感应强度(T),S:正对面积(m2)} 3.感应电动势的正负极可利用感应电流方向判定｛电源内部的电流方向：由负极流向正极｝ *4.自感电动势E自＝nΔΦ/Δt＝LΔI/Δt｛L:自感系数(H)(线圈L有铁芯比无铁芯时要大)，ΔI:变化电流，?t:所用时间，ΔI/Δt:自感电流变化率(变化的快慢)｝ 注：(1)感应电流的方向可用楞次定律或右手定则判定，楞次定律应用要点〔见第二册P173〕；(2)自感电流总是阻碍引起自感电动势的电流的变化；(3)单位换算：1H＝103mH＝106μH。(4)其它相关内容：自感〔见第二册P178〕/日光灯〔见第二册P180〕。 十四、交变电流（正弦式交变电流） 1.电压瞬时值e＝Emsinωt 电流瞬时值i＝Imsinωt；(ω＝2πf) 2.电动势峰值Em＝nBSω＝2BLv 电流峰值(纯电阻电路中)Im＝Em/R总 3.正(余)弦式交变电流有效值：E＝Em/(2)1/2；U＝Um/(2)1/2 ；I＝Im/(2)1/2 4.理想变压器原副线圈中的电压与电流及功率关系 U1/U2＝n1/n2； I1/I2＝n2/n2； P入＝P出 5.在远距离输电中,采用高压输送电能可以减少电能在输电线上的损失损′＝(P/U)2R；（P损′:输电线上损失的功率，P:输送电能的总功率，U:输送电压，R:输电线电阻）〔见第二册P198〕； 6.公式1、2、3、4中物理量及单位：ω:角频率(rad/s)；t:时间(s)；n:线圈匝数；B:磁感强度(T)； S:线圈的面积(m2)；U输出)电压(V)；I:电流强度(A)；P:功率(W)。