- wio
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具体参考知识:可逆矩阵的UT分解。
在此,我简单的说一下:
首先能正交化的矩阵必须是可逆的,也就是满秩,否则得话,它的列向量一定线性相关,那么它们根本不能作为N维空间的一组基,也就更谈不上将其正交化了。
其次根据UT分解定理:
对于任何可逆阵A,一定存在酉矩阵U和主对角线恒为正的上三角阵T,使得A=UT
其实施密特正交化就是这个定理的逆用:
U=T^(-1)A
A为任意可逆阵,也就是为正交化之前的那个矩阵。
U为酉矩阵(酉矩阵退化到实数范围就是正交阵),也就是施密特正交化之后的结果。
T^(-1)还是上三角阵。从此可以看出,为什么施密特正交化过程中,b1只与a1有关,但b2与a1,a2有关,b3与a1,a2,a3有关。其实质是乘以了一个上三角阵。具体乘的过程中你就可以发现了。
至于怎么求这个T^(-1),其实是就求个向量在正交基上的投影系数,这个的推导,你可以看看内积空间的变换,向量a在向量b上的投影系数就是a,b做内积,具体在这里说不太清楚。
- Chen
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不正交化用起来不方便,最简单的例子就是求逆,需要计算半天,但正交阵求逆特简单,只需转置一下就可以了。从几何上说,正交基就像一个欧式空间,比如三维空间的x轴,y轴,z轴,没有正交化的就是非欧几何,比如说用(1
0
0)(1
1
0)
(1
1
1)也可以作为一组基,但别的向量用这组基表示不方便。其实用正交基的好处在于数值计算上,不用正交基的话计算不稳定,会随着计算过程逐步积累误差,最后可能会使得误差过大计算结果根本不可用,而正交基不会发生这种问题。
- 黑桃云
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把一组线性无关的向量变成一单位正交向量组的方法在一些书和文献中称为施密特(Schimidt)正交化过程.
把a1,a2,...ar规范正交化,取b1=a1
b2=a2-[b1,a2]b1/[b1,b1]
...
br=ar-[b1,ar]b1/[b1,b1]-[b2,ar]b2/[b2,b2]-...-[br-1,ar]br-1/[br-1,br-1]
容易验证b1,...br两两正交,且与a1,a2,...ar等价。
然后单位化,取e1=b1/||b1||,e2=b2/||b2||,...er=br/||br||
就是V的一个规范正交基。
上述从无关向量组A导出正交向量组B的过程就是施密特(Schimidt)正交化过程.
r和r-1什么的都是脚标哦,这里打不出来。
- 左迁
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这个要证明么?这不是对基矢进行正交化的一种手段么?
如果你是要证明完成正交化之后的基矢之间是正交的,乘一下就行了。