排列组合公式有哪些？

排列组合的计算公式：排列A(n，m)=n×（n-1）。（n-m+1）=n!/（n-m）!(n为下标，m为上标，以下同)。组合C(n，m)=P(n，m)/P(m，m) =n!/m!（n-m）!例如：A(4，2)=4!/2!=4*3=12C(4，2)=4!/(2!*2!)=4*3/(2*1)=6除法运算1、除以一个不等于零的数，等于乘这个数的倒数。2、两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。零除以任意一个不等于零的数，都得零。注意：零不能做除数和分母。有理数的除法与乘法是互逆运算。

排列组合公式计算公式大全如下所示。1、排列及计算公式从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号p(n,m)表示。p(n,m)=n(n-1)(n-2)…（n-m+1)= n!/(n-m)!(规定0!=1)。2、组合及计算公式从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数。用符号c(n,m)表示，c(n,m)=p(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!)，c(n,m)=c(n,n-m)。3．其他排列与组合公式从n个元素中取出r个元素的循环排列数＝p(n,r)/r=n!/r(n-r)!。n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1,n2,...nk这n个元素的全排列数为n!/(n1!*n2!*...*nk!)。k类元素，每类的个数无限，从中取出m个元素的组合数为c(m+k-1,m)。排列（Pnm(n为下标，m为上标））Pnm=n×（n-1）-（n-m+1）；Pnm=n！／（n-m）！（注：！是阶乘符号）；Pnn（两个n分别为上标和下标）＝n！；0！＝1。Pn1（n为下标1为上标）＝n组合（Cnm(n为下标，m为上标））Cnm=Pnm/Pmm；Cnm=n！／m！（n-m）！；Cnn（两个n分别为上标和下标）＝1；Cn1（n为下标1为上标）＝n；Cnm=Cnn-m。

排列组合计算公式如下：1、从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 A（n,m）表示。2、从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数。用符号 C（n,m） 表示。排列就是指从给定个数的元素中取出指定个数的元素进行排序。组合则是指从给定个数的元素中仅仅取出指定个数的元素，不考虑排序。排列组合的中心问题是研究给定要求的排列和组合可能出现的情况总数。 排列组合与古典概率论关系密切。扩展资料排列组合的发展历程：根据组合学研究与发展的现状，它可以分为如下五个分支：经典组合学、组合设计、组合序、图与超图和组合多面形与最优化。由于组合学所涉及的范围触及到几乎所有数学分支，也许和数学本身一样不大可能建立一种统一的理论。然而，如何在上述的五个分支的基础上建立一些统一的理论，或者从组合学中独立出来形成数学的一些新分支将是对21世纪数学家们提出的一个新的挑战。参考资料：百度百科—排列组合

排列组合计算公式A公式，表示从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有排列的个数，叫作从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 A（n,m）表示。A（n,n)=n!    A(n,m)=n!÷(m-n)!    0!=1C公式，表示从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数。用符号 C（n,m） 表示。C(n,n)=1      C(n,m)=A(n,m)÷m!参考资料：百度百科—排列组合

C(n,m)=A(n,m)/m。排列组合c的公式：C(n，m)=A(n，m)/m!。排列A(n,m)=n×（n-1）．（n-m+1）＝n!/（n-m）！（n为下标，m为上标，以下同）。组合C(n,m)=P(n,m)/P(m,m)=n!/m!（n-m）！。例如A(4,2)=4!/2!=4*3=12。C(4,2)=4!/(2!*2!)=4*3/(2*1)=6。A32是排列，C32是组合。比如A32就是3乘以2等于6。A63就是6*5*4。就是从大数开始乘后面那个数表示有多少个数。A72等于7*6*2就有两位A52=5*4。那么C32就是还要除以一个数比如C32就是A32再除以A22。C53就是A53除以A33。

排列组合c的公式：C(n,m)=A(n,m)/m!=n!/m!(n-m)!与C(n,m)=C(n,n-m)。(n为下标,m为上标)。例如C(4,2)=4!/(2!*2!)=4*3/(2*1)=6,C(5,2)=C(5,3)。排列组合c计算方法：C是从几个中选取出来，不排列，只组合。  C(n，m)=n*(n-1)*...*(n-m+1)/m!  例如c53=5*4*3÷(3*2*1)=10，再如C(4,2)=(4x3)/(2x1)=6。注意：排列组合是组合学最基本的概念。所谓排列，就是指从给定个数的元素中取出指定个数的元素进行排序。组合则是指从给定个数的元素中仅仅取出指定个数的元素，不考虑排序。排列组合的中心问题是研究给定要求的排列和组合可能出现的情况总数。 排列组合与古典概率论关系密切。

cn2排列组合公式：C（n，2）=n!/(2!x(n-2)!)n!可以写成nx(n-1)x(n-2)!，所以上面的式子可以写成：(nx(n-1)x(n-2))/(2x(n-2)!)=n(n-1)/2cn2的意思是从n个中取2个无排列的个数，排列组合是组合学最基本的概念，排列组合的中心问题是研究给定要求的排列和组合可能出现的情况总数。所谓排列，就是指从给定个数的元素中取出指定个数的元素进行排序。组合则是指从给定个数的元素中仅仅取出指定个数的元素，不考虑排序。两个常用的排列基本计数原理及应用：1、加法原理和分类计数法：每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务，两类不同办法中的具体方法，互不相同(即分类不重)，完成此任务的任何一种方法，都属于某一类(即分类不漏)。2、乘法原理和分步计数法：任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这n步才能完成此任务，各步计数相互独立。只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此事的方法也不同。

推导：把n个不同的元素任选m个排序，按计数原理分步进行：取第一个：有n种取法；取第二个：有(n−1)种取法；取第三个：有(n−2)种取法；取第m个：有(n−m+1)种取法；根据分步乘法原理，得出公式。 从n个不同元素种取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素种取出m个元素的排列数，用符号Amn表示。

排列与组合的概念与计算公式1．排列及计算公式从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号p(n,m)表示.p(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)=n!/(n-m)!(规定0!=1).2．组合及计算公式从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号c(n,m)表示.c(n,m)=p(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!)；c(n,m)=c(n,n-m);3．其他排列与组合公式从n个元素中取出r个元素的循环排列数＝p(n,r)/r=n!/r(n-r)!.n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1,n2,...nk这n个元素的全排列数为n!/(n1!*n2!*...*nk!).k类元素,每类的个数无限,从中取出m个元素的组合数为c(m+k-1,m).

从4个字母a,b,c,d中取出3个字母的组合只有4个：abc,abd,acd,bcd.从15个数字中取出4个的组合数c（15，4）=15*14*13*12/（1*2*3*4）=1365.学一些排列组合知识，您就会理解这些内容

排列公式是用a来表示的，老版教材是用p的anm（m是上标）=n的阶乘/(n-m)的阶乘组合的公式是c的算了符号我不太好打，你自己看一下参考资料里面有详细的公式排列：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．组合：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．举个例子，从甲乙丙丁4人中选择3人如果是排列的话，甲乙丙与甲丙乙乙丙甲乙甲丙丙甲乙丙乙甲是不相同的，就是说要考虑先后顺序a4(3是上标)=24如果是组合的话，甲乙丙与甲丙乙乙丙甲乙甲丙丙甲乙丙乙甲都是甲乙丙这3个人，不考虑先后顺序，c4(3上标)4种方法

n个数字取m个不排列n*(n-1)*(n-2)*...*(n-m+1)/1*2*...*m

排列组合的计算公式：排列A(n，m)=n×（n-1）。（n-m+1）=n!/（n-m）!(n为下标，m为上标，以下同)。组合C(n，m)=P(n，m)/P(m，m) =n!/m!（n-m）!例如：A(4，2)=4!/2!=4*3=12C(4，2)=4!/(2!*2!)=4*3/(2*1)=6除法运算1、除以一个不等于零的数，等于乘这个数的倒数。2、两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。零除以任意一个不等于零的数，都得零。注意：零不能做除数和分母。有理数的除法与乘法是互逆运算。

C(3,8)=8*7*6/3*2*1A(4)=4*3*2*1

排列组合计算公示：C(n,m)=C(n,n-m）。（n≥m)排列组合基本介绍：       排列组合是组合学最基本的概念。所谓排列，就是指从给定个数的元素中取出指定个数的元素进行排序。组合则是指从给定个数的元素中仅仅取出指定个数的元素，不考虑排序。排列的定义：       从n个不同元素中，任取m(m≤n,m与n均为自然数,下同）个不同的元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(m≤n）个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 A(n,m）表示。排列组合的定义：从n个不同元素中，任取m(m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(m≤n）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数。用符号 C(n,m) 表示。 

C61=6。解析：C(n,m)=P(n,m)/P(m,m) =n!/m!（n-m）!，C61表示从6个里面抽选1个，所以一共有6种抽选方法。从n个不同元素中每次取出m个不同元素（0≤m≤n），不管其顺序合成一组，称为从n个元素中不重复地选取m个元素的一个组合。其他排列与组合公式 从n个元素中取出m个元素的循环排列数=A(n，m)/m=n！/m(n-m)！，n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1，n2，...nk这n个元素的全排列数为 n！/(n1！×n2！×...×nk！)，k类元素，每类的个数无限，从中取出m个元素的组合数为C(m+k-1，m）。排列组合难点介绍1、从千差万别的实际问题中抽象出几种特定的数学模型，需要较强的抽象思维能力；2、限制条件有时比较隐晦，需要我们对问题中的关键性词（特别是逻辑关联词和量词）准确理解；3、计算手段简单，与旧知识联系少，但选择正确合理的计算方案时需要的思维量较大；4、计算方案是否正确，往往不可用直观方法来检验，要求我们搞清概念、原理，并具有较强的分析能力。

排列组合公式如图：排列组合简介：排列组合是组合学最基本的概念。所谓排列，就是指从给定个数的元素中取出指定个数的元素进行排序。组合则是指从给定个数的元素中仅仅取出指定个数的元素，不考虑排序。排列组合的中心问题是研究给定要求的排列和组合可能出现的情况总数。 排列组合与古典概率论关系密切。

排列组合公式计算公式大全如下所示。1、排列及计算公式从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号p(n,m)表示。p(n,m)=n(n-1)(n-2)…（n-m+1)= n!/(n-m)!(规定0!=1)。2、组合及计算公式从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数。用符号c(n,m)表示，c(n,m)=p(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!)，c(n,m)=c(n,n-m)。3．其他排列与组合公式从n个元素中取出r个元素的循环排列数＝p(n,r)/r=n!/r(n-r)!。n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1,n2,...nk这n个元素的全排列数为n!/(n1!*n2!*...*nk!)。k类元素，每类的个数无限，从中取出m个元素的组合数为c(m+k-1,m)。排列（Pnm(n为下标，m为上标））Pnm=n×（n-1）-（n-m+1）；Pnm=n！／（n-m）！（注：！是阶乘符号）；Pnn（两个n分别为上标和下标）＝n！；0！＝1。Pn1（n为下标1为上标）＝n组合（Cnm(n为下标，m为上标））Cnm=Pnm/Pmm；Cnm=n！／m！（n-m）！；Cnn（两个n分别为上标和下标）＝1；Cn1（n为下标1为上标）＝n；Cnm=Cnn-m。

排列组合的计算公式是A(n，m)=n×（n-1）.（n-m+1）=n/（n-m）。排列组合是组合学最基本的概念，所谓排列，就是指从给定个数的元素中取出指定个数的元素进行排序，组合则是指从给定个数的元素中仅仅取出指定个数的元素，不考虑排序。排列组合的发展排列组合的中心问题是研究给定要求的排列和组合可能出现的情况总数。排列组合与古典概率论关系密切，虽然数学始于结绳计数的远古时代，由于那时社会的生产水平的发展尚处于低级阶段，谈不上有什么技巧。随着人们对于数的了解和研究，在形成与数密切相关的数学分支的过程中，如数论、代数、函数论以至泛函的形成与发展，逐步地从数的多样性发现数数的多样性，产生了各种数数的技巧，同时，人们对数有了深入的了解和研究，在形成与形密切相关的各种数学分支的过程中，如几何学、拓扑学以至范畴论的形成与发展。

排列组合公式计算公式大全如下所示。1、排列及计算公式从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号p(n,m)表示。p(n,m)=n(n-1)(n-2)…（n-m+1)= n!/(n-m)!(规定0!=1)。2、组合及计算公式从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数。用符号c(n,m)表示，c(n,m)=p(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!)，c(n,m)=c(n,n-m)。3．其他排列与组合公式从n个元素中取出r个元素的循环排列数＝p(n,r)/r=n!/r(n-r)!。n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1,n2,...nk这n个元素的全排列数为n!/(n1!*n2!*...*nk!)。k类元素，每类的个数无限，从中取出m个元素的组合数为c(m+k-1,m)。排列（Pnm(n为下标，m为上标））Pnm=n×（n-1）-（n-m+1）；Pnm=n！／（n-m）！（注：！是阶乘符号）；Pnn（两个n分别为上标和下标）＝n！；0！＝1。Pn1（n为下标1为上标）＝n组合（Cnm(n为下标，m为上标））Cnm=Pnm/Pmm；Cnm=n！／m！（n-m）！；Cnn（两个n分别为上标和下标）＝1；Cn1（n为下标1为上标）＝n；Cnm=Cnn-m。

排列A(n,m)=n×（n-1）.（n-m+1）=n!/（n-m）!(n为下标,m为上标,以下同)组合C(n,m)=P(n,m)/P(m,m) =n!/m!（n-m）!；例如A(4,2)=4!/2!=4*3=12C(4,2)=4!/(2!*2!)=4*3/(2*1)=6扩展资料：排列的定义：从n个不同元素中，任取m(m≤n,m与n均为自然数,下同）个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(m≤n）个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 A(n,m）表示。计算公式： 此外规定0!=1(n!表示n(n-1)(n-2)...1,也就是6！=6x5x4x3x2x1 组合的定义：从n个不同元素中，任取m(m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(m≤n）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数。用符号 C(n,m) 表示。计算公式： ；C(n,m)=C(n,n-m）。（n≥m)其他排列与组合公式 从n个元素中取出m个元素的循环排列数=A(n,m)/m=n!/m(n-m)!. n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1,n2,...nk这n个元素的全排列数为 n!/(n1！×n2！×...×nk!). k类元素，每类的个数无限，从中取出m个元素的组合数为C(m+k-1,m）。

排列组合的公式是排列的定义及其计算公式：从n个不同元素中，任取m(m≤n,m与n均为自然数,下同）个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(m≤n）个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 A(n,m）表示。A(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)= n!/(n-m)! 此外规定0!=1(n!表示n(n-1)(n-2)...1,也就是6！=6x5x4x3x2x1组合的定义及其计算公式：从n个不同元素中，任取m(m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(m≤n）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数。用符号 C(n,m) 表示。C(n,m)=A(n,m)/m！；C(n,m)=C(n,n-m）。（n≥m)其他排列与组合公式 从n个元素中取出m个元素的循环排列数=A(n,m)/m!=n!/m!(n-m)!. n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1,n2,...nk这n个元素的全排列数为 n!/(n1！×n2！×...×nk!). k类元素，每类的个数无限，从中取出m个元素的组合数为C(m+k-1,m）。

排列组合的计算公式：排列A(n，m)=n×（n-1）。（n-m+1）=n!/（n-m）!(n为下标，m为上标，以下同)。组合C(n，m)=P(n，m)/P(m，m) =n!/m!（n-m）!例如：A(4，2)=4!/2!=4*3=12C(4，2)=4!/(2!*2!)=4*3/(2*1)=6除法运算1、除以一个不等于零的数，等于乘这个数的倒数。2、两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。零除以任意一个不等于零的数，都得零。注意：零不能做除数和分母。有理数的除法与乘法是互逆运算。

排列：A(m,n)=n(n-1)(n-2)...(n-m+1) 【A(m,n)表示从n个元素中取m个元素按一定次序的排列】。【m---上标,n下标】,A(m,n) ---又成为选排列。A(m,n)=n!/(n-m)!【n!---n的阶乘,即 n*n*n...】。2.A(m,m)=m!【在m个元素中只考虑元素的次序的排列,即全排列】。组合：C(m,n)=A(m,n)/A(m,m)=n!/m!(n-m)!.【从n个元素中取m个元素的组合】C(m,n）=C(n-m,n)【从n个元素中取m个元素的组合=从n个元素中取( n-m)个元素的组合】3.C(m,n+1)=C(m,n)+C(m-1,n)。4. k*C(k,n)=n*C(k-1,n-1)。另外,规定：C(0,n)=1,0!=1。拓展资料：排列组合的计算公式是：排列数,从n个中取m个排一下,有n(n-1)(n-2)...(n-m+1)种,即n/(n-m)组合数,从n个中取m个,相当于不排,就是n/[(n-m)m]。

排列组合cn和an公式排列组合Cn的计算公式是：C（n，m）=A（n，m）/m！=n（n-1）（n-2）（n-m+1）/m。排列组合An的计算公式为：A（n，m）=n×（n-1）（n-m+1）=n！/（n-m）。排列组合是组合学最基本的概念。所谓排列，就是指从给定个数的元素中取出指定个数的元素进行排序。组合则是指从给定个数的元素中仅仅取出指定个数的元素，不考虑排序。排列组合的口诀：排列组合的中心问题是研究给定要求的排列和组合可能出现的情况总数。 排列组合与古典概率论关系密切。排列、组合、二项式定理公式口诀。加法乘法两原理，贯穿始终的法则。与序无关是组合，要求有序是排列。两个公式两性质，两种思想和方法。归纳出排列组合，应用问题须转化。排列组合在一起，先选后排是常理。特殊元素和位置，首先注意多考虑。不重不漏多思考，捆绑插空是技巧。排列组合恒等式，定义证明建模试。关于二项式定理，中国杨辉三角形。两条性质两公式，函数赋值变换式。

高中数学排列组合公式如下：排列A(n,m)=n×（n-1）。（n-m+1）=n!/（n-m）!(n为下标,m为上标,以下同)。组合C(n,m)=P(n,m)/P(m,m)=n!/m!（n-m）!。例如A(4,2)=4!/2!=4*3=12。C(4,2)=4!/(2!*2!)=4*3/(2*1)=6。加法原理与分布计数法：1、加法原理:做一件事，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法...在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+m3+.. +m种不同方法。2、第一类办法的方法属于集合A1,第二类办法的方法属于集合A2...第n类办法的方法属于集合An,那么完成这件事的方法属于集合AUA2....UAn。3、分类的要求:每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同(即分类不重) ;完成此任务的任何一种方法，都属于某一类(即分类不漏)。

排列组合计算公式A公式，表示从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有排列的个数，叫作从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 A（n,m）表示。A（n,n)=n!    A(n,m)=n!÷(m-n)!    0!=1C公式，表示从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数。用符号 C（n,m） 表示。C(n,n)=1      C(n,m)=A(n,m)÷m!参考资料：百度百科—排列组合

公式：C(n+1)=(n+2)/(n+1)*Cn+ 1/(n^2+n)。=(n+2)/(n+1)*Cn+ 1/n - 1/(n+1)。C(n+1)/(n+2)=Cn/(n+1) +1/[n(n+2)] -1/[(n+1)(n+2)]。=Cn/(n+1) +1/2*[1/n -1/(n+2)] -[1/(n+1) -1/(n+2)]。=Cn/(n+1) +1/2*[1/n +1/(n+2)] -1/(n+1)。=Cn/(n+1) +1/2*[1/n -1/(n+1)] - 1/2*[1/(n+1) -1/(n+2)]。=Cn/(n+1) +1/2* 1/[n(n+1)] -1/2* 1/[(n+1)(n+2)]。C(n+1)/(n+2) - Cn/(n+1)=1/2* 1/[n(n+1)] -1/2* 1/[(n+1)(n+2)]。连加。Cn/(n+1) - C1/(1+1)=1/2 *1/[1(1+1)] -1/2 *1/[n(n+1)]。Cn/(n+1) -1/2=1/4 -1/2 *1/[n(n+1)]。Cn=3(n+1)/4 -1/(2n) (n>=2)。n=1时成立。排列组合是组合学最基本的概念。所谓排列，就是指从给定个数的元素中取出指定个数的元素进行排序。组合则是指从给定个数的元素中仅仅取出指定个数的元素，不考虑排序。排列组合的中心问题是研究给定要求的排列和组合可能出现的情况总数。 排列组合与古典概率论关系密切。

公式P是指排列，从N个元素取R个进行排列(即排序)。 (P是旧用法，现在教材上多用A，Arrangement)公式C是指组合，从N个元素取R个，不进行排列（即不排序）。C-组合数 P-排列数 N-元素的总个数 R-参与选择的元素个数 !-阶乘 ，如5！=5*4*3*2*1=120C-Combination 组合 P-Permutation排列 对组合数C(n,k) (n>=k)：将n,k分别化为二进制，若某二进制位对应的n为0，而k为1 ，则C(n,k)为偶数；否则为奇数。组合数的奇偶性判定方法为:结论：对于C(n,k),若n&k == k 则c(n,k)为奇数，否则为偶数。证明：利用数学归纳法：由C(n,k) = C(n,k-1) + C(n-1,k-1);对应于杨辉三角：11 2 11 3 3 11 4 6 4 1...可以验证前面几层及k = 0时满足结论，下面证明在C(n-1,k)和C(n-1,k-1) (k > 0) 满足结论的情况下，C(n,k)满足结论。1).假设C(n-1,k)和C(n-1,k-1)为奇数：则有：(n-1)&k == k;(n-1)&(k-1) == k-1;由于k和k-1的最后一位(在这里的位指的是二进制的位，下同)必然是不同的，所以n-1的最后一位必然是1。现假设n&k == k。则同样因为n-1和n的最后一位不同推出k的最后一位是1。因为n-1的最后一位是1，则n的最后一位是0，所以n&k != k，与假设矛盾。所以得n&k != k。2).假设C(n-1,k)和C(n-1,k-1)为偶数：则有：(n-1)&k != k;(n-1)&(k-1) != k-1;现假设n&k == k.则对于k最后一位为1的情况：此时n最后一位也为1，所以有(n-1)&(k-1) == k-1，与假设矛盾。而对于k最后一位为0的情况：则k的末尾必有一部分形如：10; 代表任意个0。相应的，n对应的部分为： 1{*}*; *代表0或1。而若n对应的{*}*中只要有一个为1，则(n-1)&k == k成立，所以n对应部分也应该是10。则相应的，k-1和n-1的末尾部分均为01,所以(n-1)&(k-1) == k-1 成立，与假设矛盾。所以得n&k != k。由1)和2)得出当C(n,k)是偶数时，n&k != k。3).假设C(n-1,k)为奇数而C(n-1,k-1)为偶数：则有：(n-1)&k == k;(n-1)&(k-1) != k-1;显然，k的最后一位只能是0，否则由(n-1)&k == k即可推出(n-1)&(k-1) == k-1。所以k的末尾必有一部分形如：10;相应的，n-1的对应部分为： 1{*}*;相应的，k-1的对应部分为： 01;则若要使得(n-1)&(k-1) != k-1 则要求n-1对应的{*}*中至少有一个是0.所以n的对应部分也就为 ： 1{*}*; (不会因为进位变1为0)所以 n&k = k。4).假设C(n-1,k)为偶数而C(n-1,k-1)为奇数：则有：(n-1)&k != k;(n-1)&(k-1) == k-1;分两种情况：当k-1的最后一位为0时:则k-1的末尾必有一部分形如: 10;相应的，k的对应部分为 : 11;相应的，n-1的对应部分为 : 1{*}0; (若为1{*}1,则(n-1)&k == k)相应的，n的对应部分为 : 1{*}1;所以n&k = k。当k-1的最后一位为1时:则k-1的末尾必有一部分形如: 01; (前面的0可以是附加上去的)相应的，k的对应部分为 : 10;相应的，n-1的对应部分为 : 01; (若为11，则(n-1)&k == k)相应的，n的对应部分为 : 10;所以n&k = k。由3),4)得出当C(n,k)为奇数时，n&k = k。综上，结论得证!

排列：A(n,m)=n×（n-1）...（n-m+1）=n!/（n-m）!(n为下标,m为上标,以下同)组合：C(n,m)=P(n,m)/P(m,m) =n!/m!（n-m）!例如：A(4,2)=4!/2!=4*3=12C(4,2)=4!/(2!*2!)=4*3/(2*1)=6扩展资料：排列组合的基本计数原理：1、加法原理和分类计数法加法原理：做一件事，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法。那么完成这件事共有N=m1+m2+m3+…+mn种不同方法。第一类办法的方法属于集合A1，第二类办法的方法属于集合A2，……，第n类办法的方法属于集合An，那么完成这件事的方法属于集合A1UA2U…UAn。分类的要求 ：每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同（即分类不重）；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类（即分类不漏）。2、乘法原理和分步计数法乘法原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1×m2×m3×…×mn种不同的方法。合理分步的要求：任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这n步才能完成此任务；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此事的方法也不同。与后来的离散型随机变量也有密切相关。

然而并没有说停止运营，都还是在运营当中的。

排列：A(n,m)=n×（n-1）...（n-m+1）=n!/（n-m）!(n为下标,m为上标,以下同)组合：C(n,m)=P(n,m)/P(m,m) =n!/m!（n-m）!例如：A(4,2)=4!/2!=4*3=12C(4,2)=4!/(2!*2!)=4*3/(2*1)=6扩展资料：排列组合的基本计数原理：1、加法原理和分类计数法加法原理：做一件事，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法。那么完成这件事共有N=m1+m2+m3+…+mn种不同方法。第一类办法的方法属于集合A1，第二类办法的方法属于集合A2，……，第n类办法的方法属于集合An，那么完成这件事的方法属于集合A1UA2U…UAn。分类的要求 ：每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同（即分类不重）；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类（即分类不漏）。2、乘法原理和分步计数法乘法原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1×m2×m3×…×mn种不同的方法。合理分步的要求：任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这n步才能完成此任务；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此事的方法也不同。与后来的离散型随机变量也有密切相关。

排列的定义及其计算公式：从n个不同元素中，任取m(m≤n,m与n均为自然数,下同）个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(m≤n）个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 A(n,m）表示。A(n,m)=n(n-1）（n-2）……（n-m+1）= n!/(n-m)! 此外规定0!=1排列组合组合的定义及其计算公式：从n个不同元素中，任取m(m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(m≤n）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数。用符号 C(n,m) 表示。C(n,m)=A(n,m）∧2/m!=A(n,m)/m！；  C(n,m)=C(n,n-m）。（其中n≥m)其他排列与组合公式 从n个元素中取出m个元素的循环排列数=A(n,m)/m=n!/m(n-m)!. n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1,n2,...nk这n个元素的全排列数为 n!/(n1！×n2！×...×nk!). k类元素，每类的个数无限，从中取出m个元素的组合数为C(m+k-1,m）。扩展资料1、加法原理：做一件事，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+m3+…+mn种不同方法。⒉、第一类办法的方法属于集合A1，第二类办法的方法属于集合A2，……，第n类办法的方法属于集合An，那么完成这件事的方法属于集合A1UA2U…UAn。⒊、分类的要求 ：每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同（即分类不重）；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类（即分类不漏）。⑵乘法原理和分步计数法⒈、 乘法原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1×m2×m3×…×mn种不同的方法。⒉、合理分步的要求任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这n步才能完成此任务；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此事的方法也不同。参考资料：排列组合的百度百科

解：Cnm=Anm/Amm，式中，排列数(又叫选排列数）Anm、全排列数Ann的表示法。连乘表示： Anm=n(n-1)(n-2)...(n-m+1)。阶乘表示： Anm=n!/(n-m)! 排列组合计算方法如下：排列A(n，m)=n×（n-1）。（n-m+1）=n!/（n-m）!(n为下标，m为上标，以下同)。组合C(n，m)=P(n，m)/P(m，m) =n!/m!（n-m）!例如：A(4，2)=4!/2!=4*3=12。C(4，2)=4!/(2!*2!)=4*3/(2*1)=6。

加法原理：做一件事，完成它可以有N类加法，在第一类办法中有M1种不同的方法，在第二类办法中有M2种不同的方法，...，在第N类办法中有MN种不同的方法。那么完成这件事共有N=M1+M2+...+MN种不同的方法。乘法原理：做一件事，完成它需要分成N个步骤，做第一步有M1种不同的方法，做第二步有M2种不同的方法，...，做第N步有MN种不同的方法，那么完成这件事共有N=M1×M2×...×MN种不同的方法。排列：从N个不同元素中，任取M（M<=N）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从N个不同元素中取出M个元素的一个排列。排列数：从N个不同元素中取出M（M<=N）个元素的所有排列的个数，叫做从N个不同元素中取出M个元素的排列数。记作：Pmn排列数公式：Pmn=n(n-1)(n-2)...(n-m+1)全排列：N个不同元素全部取出的一个排列，叫做N个不同元素的一个全排列。自然数1到N的连乘积，叫做N的阶乘。记作：n!（0!=1）全排列公式：Pnn=n!排列数公式还可写成：Pmn=n!/(n-m)!组合：从N个不同元素中，任取M（M<=N）个元素并成一组，叫做从N个不同元素中取出M个元素的一个组合。排列与元素的顺序有关，组合与元素的顺序无关。组合数：从N个不同元素中取出M（M<=N）个元素的所有组合的个数，叫做从N个不同元素中取出M个元素的组合数。记作：Cmn组合数公式：Cmn=Pmn/Pmm=n(n-1)(n-2)...(n-m+1)/m!=n!/m!/(n-m)!组合性质1：Cmn=Cn-mn(C0n=1)组合性质2：Cmn+1=Cmn+Cm-1n

排列A(n,m)=n×（n-1）.（n-m+1）=n!/（n-m）!(n为下标,m为上标,以下同)组合C(n,m)=P(n,m)/P(m,m) =n!/m!（n-m）!例如:A(4,2)=4!/2!=4*3=12C(4,2)=4!/(2!*2!)=4*3/(2*1)=6排列组合是组合学最基本的概念。所谓排列，就是指从给定个数的元素中取出指定个数的元素进行排序。组合则是指从给定个数的元素中仅仅取出指定个数的元素，不考虑排序。排列组合的中心问题是研究给定要求的排列和组合可能出现的情况总数。 排列组合与古典概率论关系密切。排列的定义：从n个不同元素中，任取m(m≤n,m与n均为自然数,下同）个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(m≤n）个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 A(n,m）表示。

算法是指解题方案的准确而完整的描述，是一系列解决问题的清晰指令，算法代表着 用系统的方法描述解决问题的策略机制 。对于同一个问题的解决，可能会存在着不同的算法，为了衡量一个算法的优劣，提出了<u>空间复杂度与时间复杂度</u>这两个概念。 一个算法是由 控制结构（顺序、分支和循环3种） 和 原操作（指固有数据类型的操作） 构成的，则算法时间取决于<u>两者的综合效果</u>。为了便于比较同一个问题的不同算法，通常的做法是： <p>从算法中选取一种对于所研究的问题（或算法类型）来说是基本操作的原操作，以该基本操作的重复执行的次数作为算法的时间量度。</p> 参考文章： 算法的时间复杂度和空间复杂度-总结 时间复杂度，又称时间频度，即 一个算法执行所耗费的时间 。 <u>一个算法花费的时间与算法中语句的执行次数成正比例，哪个算法中语句执行次数多，它花费时间就多。</u>一个算法中的语句执行次数称为语句频度或时间频度。记为T(n) n称为 问题的规模 ，当n不断变化时，时间频度T(n)也会不断变化。一般情况下，算法中基本操作重复执行的次数是问题规模n的某个函数，用T(n)表示，<i> 若有某个辅助函数f(n),使得当n趋近于无穷大时，*T(n)/f(n)的极限值为不等于零的常数，则称f(n)是T(n)的同数量级函数。记作T(n)=O(f(n)),称O(f(n)) 为算法的渐进时间复杂度，简称时间复杂度。简单来说，就是T(n)在n趋于正无穷时最大也就跟f(n)差不多大。</i> 算法中语句执行次数为一个常数，则时间复杂度为O(1)。常见的时间复杂度有：<p><b>常数阶O(1),对数阶O(log2n),线性阶O(n), 线性对数阶O(n log2n),平方阶O(n2)，立方阶O(n3),...。</b></p> <i><b>Log</b><u>2</u><b>8</b>：2为底N的对数，即2的几次方等于8，值为3</i> 常见的算法时间复杂度由小到大依次为：Ο(1)＜Ο(log2n)＜Ο(n)＜Ο(n log2n)＜Ο(n2)＜Ο(n3)＜…＜Ο(2n)＜Ο(n!) 即：常数阶 < 对数阶 < 线性阶 < 线性对数阶 < 平方阶 < 立方阶 < … < 指数阶 < 阶乘 如： 第一个for循环的时间复杂度为Ο(n)，第二个for循环的时间复杂度为Ο(n2)，则整个算法的时间复杂度为Ο(n1+n2+n3)=Ο(n3)。 Ο(1)表示基本语句的执行次数是一个常数，一般来说，只要算法中不存在循环语句，其时间复杂度就是Ο(1)。其中Ο(log2n)、Ο(n)、 Ο(nlog2n)、Ο(n2)和Ο(n3)称为多项式时间，而Ο(2n)和Ο(n!)称为指数时间。计算机科学家普遍认为前者（即多项式时间复杂度的算法）是有效算法。 <i>指数函数：y=ax，对数函数：y=logax，幂函数：y=xa x为变量，a为常量</i>

莫字拆出21个字分别是：艹、古、日、大、旦、十、人、一、二、三、亖、丨、天、冂(jiōng)、匚(fāng)、凵(kǎn)、兰、亘、贝、口、莫、士。莫拼音mò、 mù。简体部首艹部、部外笔画7画、总笔画10画。五笔AJDU、仓颉TAK、郑码EKGD、四角44804。结构上下、电码5459、区位3610、统一码83AB。1、不要：莫哭。2、没有，无：莫大。莫非。莫名其妙（亦作“莫明其妙”）。3、不，不能：莫如。莫逆。莫须有。莫衷一是（不能得出一致的结论）。爱莫能助。4、古同“漠”，广大。5、姓。莫mù：古同“暮”。相关组词：神奇莫测[shén qí mò cè] 神奇：神妙奇特的东西。变坏为好，变死板为灵巧，变无用为有用。雌雄莫辨[cí xióng mò biàn] 分不出是雌性还是雄性。只轮莫返[zhī lún mò fǎn]指很少的兵马装备。莫措手足[mò cuò shǒu zú] 措：安放。手脚不知放到哪儿好。形容举动慌张，或无法应付。穷寇莫追[qióng kòu mò zhuī] 不追无路可走的敌人，以免敌人情急反扑，造成自己的损失。也比喻不可逼人太甚。莫此为甚[mò cǐ wéi shèn] 莫：没有什么。甚：胜过，超过。没有什么能超过它。极言程度之深。疑团莫释[yí tuán mò shì] 心里有很多疑问，没有解开。广莫门[guǎng mò mén] 晋洛阳城北门名。莫兹为甚[mò zī wéi shèn] 没有什么能超过这个的了。

人与命运的二元对立 命运因素常常出现在古希腊悲剧中，常常指的是一种暗示性的神谕或神的出场。所以 ，在古希腊的命运悲剧中，命运常常成功地指引着人的命运朝着既定的方向发展。索福克 勒斯塑造的俄底蒲斯王就是这样一个受命运控制的典型，一道神谕就这样主宰了他的命运 ，所有的抗争成为徒劳。《罗密欧与朱丽叶》从某种意义上说也是一个命运悲剧，一个个 幸或不幸的巧合导致一对恋人的死亡，体现出"命运弄人"的残酷性，也抒写了主人公的个 人意志与命运的冲突。但本剧又不同于以往的命运悲剧，在剧中命运是个不出面却处处让 人感觉到它的存在的关键性角色，人似乎总是同人在斗争，可实际上是同自己的命运抗争 。 罗密欧与朱丽叶的相恋是一个偶然的机会，也就是命运的安排。两人在爱情途中苦苦 挣扎，死里求爱，但也是因为一个偶然的小事出了差错，悲剧不可避免地发生了。就如罗 密欧在参加蒙太古的宴会之前所说的那句话："我仿佛觉得有一种不可知的命运，将要从我 们今天晚上的狂欢开始他的恐怖统治，我这可憎恨的生命，将要遭遇惨酷的夭折而告一结 束。"（第62页）这只是作者借罗密欧之口来生发出人与命运之间存在着不可避免的斗争 。罗密欧在剧中大呼"我是受命运玩弄的人。"（第62页）也是一种对命运存在于人的生 命之中的注脚。 命运让仇敌的子女相爱，这本身是一种残酷。但爱情让恋人们开始抗争。但一系列非 人所能抵御的力量挫败了他们的斗争和决心。尽管劳伦斯神父精心安排了朱丽叶的假死， 并让约翰神父到曼多亚给罗密欧报信，但只是送信这一环失败，仍陷入了命运精心设计的 陷阱，也许命运早就狞笑着等在陷阱旁了。人与命运的二元对立便是如此--"谋事在人，成 事在天"。在这里是不是最好也是最残酷的注脚？！ 《罗密欧与朱丽叶》所指头的虽然是两大家族对纯真爱情的扼杀，但其中蕴藏着更深 更广的内涵。它表达的不仅仅是一对恋人生死不渝的爱情，还超越性地表达出对人生的另 一层反思：人与命运一开始便处于对立。要维护人生命自由，必然要与其反对因素相对抗 ，不管这种反对力量是如何的强大。这种反对力量便是命运的力量。从这个角度上说，本 剧算得上是一部命运悲剧了。便我们透过这纷繁的人生表象背后可以看到：人已经从蒙昧 中逐渐苏醒了，不再听任命运的摆布了。纵使人在抗争中死去了，但他们所坚持的爱情的 价值并未被命运所摧毁，反而显得更加美好了。在人与命运的对立中，命运似乎永远是最 终的胜利者。因为无论在时间上还是在空间上，我们都无法与命运抗衡，有限永远不可能 超越无限。这种无可选择的挫败便是悲剧之所以成为悲剧的最震憾人心的原因了。但是， 罗密欧与朱丽叶并未完全失败，开场诗中这样写道："他们的悲惨凄凉的殒灭，和解了他们 交恶的双亲。"（第5页）尽管他们的结局仍然是死亡，但封建贵族之间的长期隔阂却因此 消除，他们死前未得到的爱情变得如此灿烂辉煌，爱情理想终于在合葬中得到实现。这种 实现是对不合理现实的否定，也是对命运的超越。 纵观全文，人与命运的二元对立面从一开始就融化在各种二元对立中，只要是存在冲 突的地方，命运必然要起到作用。如果失去命运的参与，这个悲剧只会是一个没有任何感 情的木偶戏，起不到任何作用。而且在各种二元对立中，注入了命运因素，更能突显悲剧 主题：人文主义者的美好爱情理想得到升华，使人由蒙昧到文明又进了一步：突破了封建 教会的禁欲主义思想束缚，使个人追求自由平等幸福的爱情理想得到张扬。从这个意义上 说，在这场人与自然的较量中，命运实际上是个失败者。 在这场人文主义者为了爱情理想而同封建蒙昧同命运进行的割据战中，莎士比亚巧妙利 用种种冲突，有意识在引导观众把同情给予处于受压迫地位的青年一代，并取得了极好的 效果。莎士比亚对戏剧情节结构、重大事件、人物冲突的处理都是如此合情合理，无怪乎 恩格斯认为未来戏剧的发展，应该是"德国戏剧具有的较大思想深度和意识到的历史内容， 同莎士比亚剧作的情节的生动性和丰富性的完美融合"。⑤大体上说，本剧仍沿袭了传统的 的悲剧精神，但有所突破，而且冲破了"三一律"的束缚，在时间空间上有了更广阔的发挥 天地。从细节上的二元对立、人与人之间的二元对立、重大事件上的二元对立、情节结构 上的二元对立的序列上看，该剧的整体结构是严谨完美的，体现出一种诗化的建筑美。这 种整一的结构再配以经典的语言，使得《罗密欧与朱丽叶》这部"处处是青春与春天"的爱 情悲剧具有了不朽的魅力。 同时，经过一系列二元对立的分析比较，也能看出：同其它文学批评相比较，结构主义 文学批评更注重对作品本文内在结构的分析，即找出作品的构成要素以及各要素之间的相 互依赖关系。也就是说在研究方法上，结构主义文学批评虽然立足于内在的形式研究，但 并不是那种热衷于对作品本身逐字逐句剖析的琐细的形式批评。它把目光集中在作品构成 规律的整体把握上。正如结构主义叙事学家热奈特所说："人们把文学看作是无规则的信息 的时间够长了，现在有必要把它当作是无信息的规则来看了。"⑥结构主义文学批评力图超 越具体作家作品的时代，以探求支配和制约文学作品的深层结构和普遍规律。从这些角度 来观察作品，十分有利于抓住作品的本质及意义的。以上对《罗密欧与朱丽叶》中的二元 对立的初步分析，大体上能证实这一点。

球体表面积的计算公式为S=4πr²=πD²，该公式可以利用求体积求导来计算。球体表面积是指球面所围成的几何体的面积，它包括球面和球面所围成的空间。一个半圆绕直径所在直线旋转一周所成的空间几何体叫做球体，简称球，半圆的半径即是球的半径。球体是有且只有一个连续曲面的立体图形，这个连续曲面叫球面。

谨以此文，感谢我在这个学校最喜欢的两个老师之一——肖my老师。本文基本为老师上课说讲授内容加上一部分自己的感悟拼凑而来，写作文本的目的是为自己的算法课程留下一点点东西，站在老师肩膀上形成粗糙的框架，方便以后的复习以及深入。文笔有限，其中包含的错误还请多多包容，不吝赐教。 to do list： 时间复杂度中递归树法；动规，分治新的感悟； 点覆盖：一组点的集合，使得图中所有边都至少与该集合中一个点相连。 支配集：一组点的集合，使得图中所有的点要么属于该集合，要么与该集合相连。 最大团：在一个无向图中找出点数最多的完全图。 独立集：一组点的集合，集合中的顶点两两不相邻。（团转过来） SAT问题：也称布尔可满足性问题。给一组变 其中Ci被称为句子。 点覆盖<->独立集<->最大团 最小割：割是一组边集。如s-t割就是如果去掉这些边，将把原图划分为两个点集，其中一个点集包含s，一个点集包含t。（两个是指不相连，而不是代表不存在边相连，如反向边） decision problem: 是否存在。 search problem:找到一个解。 （这个还能扩展，比如decision problem在多项式时间内解决，所以他是P问题吗） 渐进符号： 注意以上三种都是紧的，对应的两个小写的符号是不紧的，即如下图所示： 概念：算法的时间复杂度是一个函数，用于定性描述算法的运行时间。注意，这个一个代表算法输入字符串长度的函数。 [注]输入字符串长度是一个比较关键的理解，比如在背包问题中，其时间复杂度为O(nW)，因为W不定，所以只能是一个伪多项式时间。 比较：c < log2N < n < n * Log2N < n^2 < n^3 < 2^n < 3^n < n! < n^n 大致：常数<对数<幂函数<指数函数<阶乘 对于指数是n相关的进行比较，优先比较指数，再比较底数。 记住一个特例：n (logn)<n!<n n 计算： 一般来说，计算采用主方法和递归树法，其中递归树技巧性比较强，主方法其实也是递归树推导归纳而来，且主方法能得到一个比较紧的结果。 主方法： f(n) = af(n-b)+g(n) =>O( a^(n/b) *g(n) ) P：decision problems有一个多项式算法。 NP（nondeterministic polynomial-time）：decision problems能够在多项式时间内验证。 NPC：NP完全问题，首先这个问题是NP的，其次，其他所有问题都可以多项式时间内归约到它。 NPH：如果所有NP问题都可以多项式时间归约到某个问题，则称该问题为NP困难。 因为NP困难问题未必可以在多项式时间内验证一个解的正确性（即不一定是NP问题），因此即使NP完全问题有多项式时间的解（P=NP），NP困难问题依然可能没有多项式时间的解。因此NP困难问题“至少与NP完全问题一样难”。 一些NP问题能在多项式时间内解决，因为 P∈NP NP难类型问题的证明： 先选好一个已知NP难的问题，然后将已知NP难问题多项式归约到要证明的问题上。先给出这个归约，然后再证明这个归约的正确性。 NPC类型问题的证明： 证明一个问题Y是NPC问题，先说明Y是NP的，然后找到一个NPC问题X，将这个问题X归约到问题Y上，即证明完成。 常见的NPC问题（重要，规约的时候有用！）： packing problems: set-packing，独立集 覆盖问题：集合覆盖问题，顶点覆盖问题 严格满足问题(constraint satisfaction problems)：SAT，3SAT 序列问题：哈密尔顿回路，旅行商问题 划分问题：3D-matching, 3着色问题 数字问题：子集合问题（子集元素之和为t），背包问题 其他：分团问题（是否存在一个规模为k的团） 规约的概念与理解 规约：意味着对问题进行转换，例如将一个未知的问题转换成我们能够解决的问题，转换的过程可能涉及到对问题的输入输出的转换。 自归约：search problem <=p decision problem 归约：A归约到B，也就是说，我们对A套一个函数f，在f函数的作用下形成一个新的问题，对这个问题运用B的黑盒解法，能够解决问题A。 (B <=p A)一般说来，B问题如果可以归约到A问题，也就是说，一个解决A问题的算法可以被用做子函数（子程序）来解决B问题，也就是说，求解B问题不会比求解A问题更困难。因此，如果B问题是困难的，那么A问题也就是困难的，因为不存在求解A问题的高效算法。(最后一句不懂) 我简单说一下我理解的规约，以X规约到Y为准，大概分成两个方面： 注：在 三 的一些实例中细品。 概念：在对问题求解时，总是做出在当前看来是最好的选择。 贪心的证明：先假设贪心算法得到的解不是最优解，假设S1是贪心算法得到的解，而S2是所有最优解中和S1具有最多相同元素的解，然后比较S1和S2，观察S1和S2中第一个（最前面一个）不一样的元素，然后在贪心解S2中将不一样的元素换成S1中的那个元素得到另一个最优解S3，这样S3和S1比S2和S1有更多相同元素，和假设S2是与S1有最多相同元素的最优解矛盾，这样来推导S1是最优解。 我的理解：假设这个不是最优的，但是一定存在一个最优的解在某一个位置之前和我当前解结构是一样的，那么在这个位置，选最优解也可以选当前解，不影响最终答案。 [注]概念很简单，但是实际操作的时候，贪心的角度很重要，同样的贪心，方向对了，算法就是对的。 例子： 给你一系列活动，每个活动有一个起始时间和一个结束时间，要求在活动不冲突的情况下找到一种有最多活动的安排。 对于这个问题，我们有一下几种贪心的角度： ①将任务按照 开始时间 升序排列。 ②将任务按照 结束时间 升序排列。 ③将任务按照 任务时长 升序排列。 ④对于每一个任务，都记录与其他任务冲突的数量，按照 冲突数量 的升序排列。 其中1，3，4都是不可以的。 任务结束时间的贪心证明（反证法）： 假设贪心不是最最优的，那我们在最优解中找一个与当前解有最相似的解。 由图可以知道，贪心贪的就是最早结束，所以如果不是最优，那么最优的结束时间一定晚于贪心的结束时间。 由上图就可以证明。 最大流通常与最小割相联系。 f 为任意一个流，cap为容量，对于任意的s-t割出来的点集（A，B），v( f ) <= cap(A, B)。 当流增加到与割的容量相等时候，就不可能再有增长空间了，称为最大流。 对于割的容量来说，不同的割法会有不同流量，有些割法永远不会有流达到，比如部分A = {s}, B = {V - s}，这种把源点割出来的割法。 综上，通过这种感性的认识，如果能找到一个最小的割，那么这个割就一定是最大能跑到的流（如果流能更高的话在这个割上就会超过容量，反证。） 上图为一条增广路，一条增广路即为一条s-t的路径，在路径上仍有流可以跑，其曾广的流就是该条路径上最小的剩余容量。（相当于每找一条增广路，就至少有一条边达到满流。） 直到在图中找不到增广路，此时已经达到了最大流。 找ST集合：把满流的边去掉，从S出发走到能到的点，遍历的点就是S集合；剩下的点就属于T集合。注意，如果找到了在找S集合的时候找到了T点，说明还可以继续找增广路。 [补]有一个很有趣的延伸，如多源点多终点问题。问：如果我有两个源点s1，s2，两个终点t1，t2，我想求一组流，使得s1-t1，s2-t2的流达到最大，是否可以加一个源点S，S与s1，s2相连，边流无限大；加一个终点T，T与t1，t2相连，边流无限大，然后这组ST的最大流即可。——答案是No，无法保证是s1-t1，s2-t2，有可能交错。 例子讲的感觉不是特别好，对理解感觉起不到很大作用，希望以后有新的想法后进行补充。 规约是一个重要的概念和思想。 一个图的 最大独立集 与 最小点覆盖 是不相交的两个点集，它们的并就是整个点集。 个人理解：独立集和点覆盖都是从点的角度进行划分的，如果我们从边的角度来看，①一个最小的点覆盖即为我集合中的每一个点都尽可能与更多的边相连，②同时，一条边的两个端点中，只能有一个端点在最小点覆盖中[下注] [注]我们假设有一条边两个端点（u，v）都在点覆盖之中，首先显然u，v都不是端点，因为假设u是端点的话只需要选择v即可； 给一个集合S和一堆S的子集S1，S2，...，Sm，问是否存在存在k个子集，使它们的并集为S。 构造： 集合为点，集合中的元素为边，有相同元素的边相连。（注意如果某一元素只在一个子集中出现，应该怎么处理呢！） 规约：在构造的图中找最小的点覆盖，选中的点能覆盖所有的边即为对应集合的并集能包含所有的元素。所以就完成了集合覆盖到点覆盖的规约。 构造：每个句子构造一个三角形，把对应变量但是相反取值的点相连。 规约：3SAT的有一个特点就是，每一个句子中至少有一个为真即可，每个句子都必须是真。将相同变量相反取值相连的目的就是，在最大独立集中，比如选择x为真，则剩下所有句子中x-ba一定不会被选中，同时由独立集和构造出来三角形的性质可以知道，每一个句子，有且仅有一个会被选中（为真）。如上图，x1-ba为真，x2-ba和x3任选一个为真即可满足。 search problem <=p decision version 比如：如果能在多项式时间内找到一个哈密尔顿圈，那么就能在多项式时间内找到一个哈密尔顿圈（删边） 在此再谈P和NP： 我们知道有些问题是可以从搜索问题规约到判断问题的，也就是所该问题如果能在多项式内判断，那么久能在多项式中搜索到，那么我们只需要说，这个判断问题能在多项式时间内求解，就叫做P问题，也就是上图红字的意思；那NP问题呢，必须要给出一个解的实例，判断的是这个实例是否满足求解问题，这个才是上图中的红字。比如，我如果能在多项式时间内判断哈密尔顿圈是否（Yes/No）存在，那这个就是ploy-time algorithm，如果我给出了一系列点，能过多项式时间内判断这些点能否构成哈密尔顿圈，那这个就是poly-time certifier。 构造：把一个点拆分成三个点。 构造：（下面两个图要连在一起看） 从行的角度看，一行代表一个变量；从列的角度来看，每三列代表一个句子。两边中一边是两个点，一边是一个点，所以有k个句子的话，每一行有3k+3个节点。从哈密尔顿圈的答案转到3SAT的答案看这个圈在每一行是从左到右还是从右到左。 子集和问题：给一个集合S，问是否能在集合中选取元素，使得总和为W。 构造：如下图，按照前六行和前三列进行分割，可以分成4部分，其中1,3,4部分是固定的，即在第一部分，变量v列和 变量为v（包括变量及取反）的行对应的格子为0，其余为0；第三部分全为0；第四部分按照12依次写下来。第二部分，如果Ci句子中有变量v，则记为1，因为一个句子只有三个变量，可以简单通过第二部分每一列和为3进行判定。此时集合已经构造出来，W为111444，与上面的规约相似，可以通过3SAT的简单性质进行感性的认知。 近似的想法很简单，要解决一个问题，我们希望能够做到①求解结果是最优的 ②在多项式时间内解决 ③对于任意的实例都能够通过该算法解决。现在对于部分问题，无法完全满足以上要求，所以就牺牲了①，但是我们希望结果不是盲目的，所以就引入了近似的概念。 近似算法。比如2-近似，认为W为近似解，W 为最优解，在求最小值的情况下W<=2W ；在求最大值的情况下，W>=1/2W* 给m个机器和n个任务，每个任务有一个ti的执行时间，我们认为完成最后一个任务所需的时间为负载时间，希望能够让这个负载时间最短。 第一种：将任务依次放在机器上，当某个机器空闲时立即放入新任务。此时是2近似的。 证明： 引理1.最短时间安排是大于等于任务中时间最长的任务，L* >= max tj 我们在考虑放入最后一个任务前，根据我们放置的规则，该机器是耗时最短，也就是说，该机器此时的用时是低于除掉最后一个任务后的平均时长，更低于所有任务的平均时长（引理2）；再根据引理1，最后一个任务应该是小于最优解的。 补充： 在这里，我还想讨论一下这个近似算法的中等于符号，先上结论：等号不一定能够找到一个实例，但是可以构造出一种结构，通过取极限求得，我们认为这样 也算是紧的。 构造实例：有m个机器，其中m(m-1)个任务的用时为1，1个任务的用时为m。肯定有一种任务集合，可以按照以下方式进行安排，此时的贪心解为19。 此时最佳的解为10，如下图： 通过推广可以知道此时的比为（2m-1）/m，当m取极限，能够达到2倍。 第二种：将任务从大到小排序，然后依次放在机器上，当某个机器空闲时立即放入新任务。此时是2近似的。 引理3：如果有大于m个任务，那么L*>=2t(m-1)。证明：t(m+1)是目前最短的任务，且目前所有机器上都有任务了，所以该任务加入时最优的情况不过是加入设备的原有任务刚好和t(m+1)相等，即等号。 （2近似）在n个点中，选取k个中心点，使得这些中心点能够以半径R的圆包含所有的点，让其中最大的半径最小，如下图所示： 基础：距离需要满足的三个定理①(同一性)dist(x, x) = 0 ②(自反)dist(x, y) = dist(y, x) ③(三角不等式)dist(x, y) <=dist(x, z)+dist(z, y) r(C)为C集合中所有点的最大覆盖半径。（需要求min r(C)） 算法：在点集中任选一个作为中心点，然后重复以下步骤k-1次:选取距离已选点集中最远的点，加入点集。 证明：先假设r(C )< 1/2 * r(C)以选好的点画半径为1/2 * r(C)的圆，显然可知[注]，这个圆里有且仅有一个r(C )中的点。那么根据在下图中，根据三角不等式可以得出： [注]在每个点上r(c )一定会包含到c点，而r(C )<1/2 * r(C)，相当于大圆套小圆，所以c*一定在c的圆中。 （2近似）问题还是很好理解的，在点上加权值，要找一个点覆盖，使得权值最小。如下图左边就是一个带权的最小点覆盖。 算法： 任选一条边(i, j)加上代价，这个代价从零开始，且这个代价的最大值低于i和j节点的权值。显然，这个边权值的最大值取决于两个端点权值的最小值，我们认为当边权值与点权值相等时，对应的那个点是紧的。把所有紧的点找出来即为点覆盖。 流程： 证明： 引理：边权之和小于等于点覆盖的点权之和。这主要是由于涉及到一条边上两个点都被选（紧的）的情况，感性认知可以看上图，缩放证明如下： w(S)是等于所选的节点的权值之和的，等于所选节点节点所对应的边权之和，可以把它放大到所有节点对应边权之和，这样因为一条边(u, v)在u上算过一次后还要在v上算一次，所以等于边权和的两倍。再由上面引理可得。 主要为了线性规划和整数规划。 （2近似）没啥好说的，只需要把方程构造出来就行了。 由于求解出来结果不一定是整数，所以我们认为某一点的值大于1/2，就选入点集。 证明： 因为xi+xj >=1,且都是正数，那必至少一个点是大于1/2的（反证，两个都小于1/2则和小于1）。 给你n个物品和一个背包，每个物品有一个价值v和一个大小w，背包的容量是W，要求让背包装下尽可能大价值。 背包的时间复杂度：O(nW) 注意其中n表示物品的个数，无论是1个还是999个，他都是多项式的，这个很好理解。但是W就不一样了，这是一个数字。我理解的是这个数字会很奇特，比如1.00001，比如99999，这些有可能看起来不大但是实际在处理的时候很难处理的数字，统一的来说，如果我们把这些数字放在电脑上，都会以二进制的方式存储起来，有些数字用十进制表示很小，但是放在二进制上面就会很大，由W导致不能在多项式时间内解决（找不到一个范围/上界来框它）。 算法： 为了处理这个问题，我们改动了dp的状态转移方程，要让这个转移方程和W无关[注]。 此时还不是多项式的，然后我们再对value进行约。[注] [注]这两步中，我们把w改成v，并对v进行近似处理。OPT的含义变成了，在面对是否选择第i个物品时，要想让价值达到当前值，最少的weight。理由是更改后的误差是可以忍受的：对v进行近似，结果只会出现最大价值的上下误差，如果对w进行近似，则有可能出现该物品不能放入背包中，导致整个物品直接放弃的情况。

分别是：艹、古、日、大、旦、十、人、一、二、三、亖、丨、天、冂（jiōng）、匚（fāng）、凵（kǎn）、兰、亘、贝、口、士。莫拼音mò mù，注音ㄇㄛˋ ㄇㄨˋ。简体部首艹部，部外笔画7画，总笔画10画。繁体部首艸部，部外笔画7画，总笔画13画。基本字义：莫mò（ㄇㄛˋ）1、不要：莫哭。2、没有，无：莫大。莫非。莫名其妙（亦作“莫明其妙”）。3、不，不能：莫如。莫逆。莫须有。莫衷一是（不能得出一致的结论）。爱莫能助。4、古同“漠”，广大。5、姓。其他字义：莫mù（ㄇㄨˋ）古同“暮”。相关组词：莫逆之交[mò nì zhī jiāo] 莫逆：彼此心意相通，没有抵触。交：交情，这里指朋友。形容情投意合、毫无猜忌的知心朋友。神秘莫测[shén mì mò cè] 不可理解的，形容无法捉摸，高深难测。莫名其妙[mò míng qí miào] 莫：不能。名：说出。妙：奥妙。不能说出其中的奥妙。形容事物或道理很奇怪，难以理解，不明白是怎么回事。也作“莫明其妙”。变幻莫测[biàn huàn mò cè] 变幻：没有规律地变化。莫：不。测：推测。形容变化复杂，使人无法预测。也作“变化莫测”。莫不[mò bù] 是无不；没有一个不。犹言莫不是，莫非。约莫[yuē mo] 大约、大概。噬脐莫及[shì qí mò jí] 噬：咬。及：到。如同用嘴咬自己的肚脐，无法咬着。比喻后悔已经晚了。也作“噬脐何及”。

采用Q-S曲线方程法进行外推计算时，其步骤有4:2.3.2.1建立各种类型QS曲线方程Q-S曲线的类型，可以归纳为4种。1)直线型:Q=qSw2)抛物线型:Sw=aQ+bQ23)幂函数型: 4)对数曲线型:Q=a+blgS5)抽水资料不可靠。2.3.2.2鉴别QS曲线类型鉴别Q-S曲线类型，有两种方法。1)伸直法。将曲线方程以直线关系式表示，并以直线关系式中两个相对应的变量建立坐标系，把抽水试验取得的涌水量和相对应的水位降深资料，放到表征各直线关系式的不同直角坐标中去，进行伸直判别。如其在Q-lgS直角坐标中伸直了，则表明抽水试验结果的Q-S关系，符合对数曲线类型。2)曲度法。用曲度n值进行鉴别，其形式如下:煤矿水害防治与管理式中:Q与S为同次抽水的水量和水位降深。当n=1时为直线;1＜n＜2时为幂曲线;n=2时为抛物线;n＞2时为对数曲线。如果n＜1则抽水资料有误。2.3.2.3测定方程参数a、b，外推预测设计降深时的涌水量测定方程参数a、b，有两种方法:(1)图解法利用相对应的直角坐标系图解进行测定。参数a，可看成是各直角坐标系图解中直线在纵坐标上所切的截距线段;参数b，是各直角坐标系图解中直线对水平倾角的正切。(2)最小二乘法精度要求较高时，通常用最小二乘法可获得各参数的计算公式。1)直线型:煤矿水害防治与管理2)抛物线型:煤矿水害防治与管理3)幂函数型:煤矿水害防治与管理4)对数曲线方程:煤矿水害防治与管理式中:n为降深次数。求出方程参数后，将其同设计水位降深值代入原方程式，即可求得预测涌水量。2.3.2.4换算井径由于抽水试验时钻孔的孔径远比开采井筒直径小，为消除井径对涌水量的影响，需进行井径的换算。现有换算公式以井流的水动力条件为依据。1)地下水呈层流时:煤矿水害防治与管理2)地下水呈紊流时:煤矿水害防治与管理

这是我国在社会结构上实行城市/乡村二元分割的概括表达。又可称为城乡差别/二元社会结构。“二元社会结构包括户籍、住宅、粮食供给、副食品供应、教育、医疗、就业、保险、劳动保障、婚姻、征兵等10余种制度，成为判断农民与市民阶层的依据。”（据2004年2月26日《法制日报》刘宁：《我国城乡二元结构存在的主要问题及立法建议》）大家知道，改革开放后有的差距就明显缩小，如粮食、副食品供应纳入市场调节，其城乡鸿沟并不大。但局部鸿沟的弥合并不等于总体鸿沟的消失。以户籍属地为先决条件的城乡二元结构不但没有消失，局部的差距甚至制度化了。如征兵，城市兵可以安排就业，农村兵几乎很少安排；如社会保障，城市阶层大多数可以享有，但农村大多数人不享有。城乡二元结构的概念框架并不十分科学，它掩盖了其他深刻的差距，如行政建制的差距，什么直辖市、副省级市、地级市、县级市、县的区分就意味着国民的“地域宿命”和成长空间的等级身份差别；还有沿海与内地、东部与中西部、中心城市与边缘地区等差别都暗示了国民的“宿命”，都被城乡二元结构这个词简单化了。在简单化的情况下，以市民“天生”的一等公民优越感与农民“天生”的二等公民低落感简单地区分了中国人：市民和农民，哪怕后者是某个市的农民，也只能叫农民，如上海农民。给人们造成的错觉是中国人的精神似乎也可以简单地用市民意识和农民意识来划分，导致（某些）城里人鄙视农民工，而农民工嫉恨城里人；当然也会造成某些北京人、上海人之辈看不起外省人，因为前者认为他们才是真正“城里人”，有一种国际大都市的精神优越感，后者不管怎样都是“乡下人”，哪怕你是长沙人。所以有人指出：“户口不仅是一种身份，更是一种资源享有权的确认” 说白了，就是由“户籍制度”人为划分出城镇与乡村，然后在城市和乡村生活的百姓，由于户籍把他们固定死了，就只能享受户口所在地的各种福利待遇。

1兆瓦等于1000千瓦。1兆瓦=1000000瓦=1000千瓦，1千瓦时(kw·h)=1度。也就是说，1兆瓦的电器满负荷运转1小时耗电量是1000度。兆瓦是一种表示功率的单位，1兆瓦=1000千瓦，只有在特定条件下，比如表示发电量时才能理解为1兆瓦，是1000千瓦时，也就是1000度电。单位换算1千瓦=1000 瓦特(watt)=1000 焦耳(joule)/秒(second)。1千瓦=1000 牛顿·米/秒(N·m/s)。1千瓦≈0.239006 千卡/秒(kcal/s)。1千瓦≈1.341022 机械马力（帝国马力）。1千瓦≈1.359622 米制马力。1千瓦≈1.340483 电学马力。1千卡/秒≡4184 焦耳/秒=4.184000 千瓦。1机械马力（帝国马力）≡33000 英尺·英磅力/分钟=550英尺·英磅力/秒≈0.74569987 千瓦。1米制马力≡75 千克 · 9.80665米/秒/秒 · 1米/秒=735.49875 瓦=0.73549875 千瓦。1电学马力≡746 瓦=0.746000 千瓦。