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初中奥数因式分解

2023-05-20 01:54:50

求初中奥数因式分解的方法!
除了十字相乘以外其他的都可以。

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ardim

 在初中数学内容中,“因式分解”是很关键的一章.本章内容对以后数学学习起到至关重要的作用.在教材中主要讲解了四种方法,其中提取公因式法、公式法和十字相乘法介绍的较细,这里不再研究.下面主要对分组分解法和其他常见的方法归纳如下.

  一、分组分解因式的几种常用方法.

  1.按公因式分解

  例1 分解因式7x2-3y+xy+21x.

  分析:第1、4项含公因式7x,第2、3项含公因式y,分组后又有公因式(x-3),

  解:原式=(7x2-21x)+(xy-3y)=7x(x-3)+y(x-3)=(x-3)(7x+y).

  2.按系数分解

  例2 分解因式x3+3x2+3x+9.

  分析:第1、2项和3、4项的系数之比1:3,把它们按系数分组.

  解;原式=(x3+3x2)+(3x+9)=x2(x+3)+3(x+3)=(x+3)(x2+3).

  3.按次数分组

  例3 分解因式 m2+2m·n-3m-3n+n2.

  分析:第1、2、5项是二次项,第3、4项是一次项,按次数分组后能用公式和提取公因式.

  解:原式=(m2+2m·n+n2)+(-3m-3n)=(m+n)2-3(m+n)=(m+n)(m+n-3).

  4.按乘法公式分组

  

  分析:第1、3、4项结合正好是完全平方公式,分组后又与第二项用平方差公式.

  

  5.展开后再分组

  例5 分解因式ab(c2+d2)+cd(a2+b2).

  分析:将括号展开后再重新分组.

  解:原式=abc2+abd2+cda2十cdb2=(abc2+cda2)+(cdb2+abd2)=ac(bc+ad)+bd(bc+ad)=(bc+ad)(ac+bd).

  6.拆项后再分组

  例6 分解因式x2-y2+4x+2y+3.

  分析:把常数拆开后再分组用乘法公式.

  解:原式=x2-y2+4x+2y+4-1=(x2+4x+4)+(-y2+2y-1)=(x+2)2-(y-1)2=(x+y+1)(x-y+3).

  7.添项后再分组

  例7 分解因式x4+4.

  分析:上式项数较少,较难分解,可添项后再分组.

  解:原式=x4+4x2-4x2+4=(x2+2)2-(2x)2=(x2+2x+2)(x2-2x+2)

  二、用换元法进行因式分解

  用添加辅助元素的换元思想进行因式分解就是原式繁杂直接分解有困难,通过换元化为简单,从而分步完成.

  例8 分解因式(x2+3x-2)(x2+3x+4)-16.

  分析:将令y=x2+3x,则原式转化为(y-2)(y+4)-16再分解就简单了.

  解:令y=x2+3x,则

  原式=(y-2)(y+4)-16=y2+2y-24=(y+6)(y-4).

  因此,原式=(x2+3x+6)(x2+3x-4)=(x-1)(x+4)(x2+3x+6).

  三、用求根法进行因式分解

  例9 分解因式x2+7x+2.

  分析:x2+7x+2利用上述各方法皆不好完成,但仍可以分解,可用先求该多项式对应方程的根再分解.

  

  四、用待定系数法分解因式.

  例10 分解因式x2+6x-16.

  分析:假设能分解,则应分解为两个一次项式的积形式,即(x+b1)(x+b2),将其展开得

  x2+(b1+b2)x十b1·b2与x2+6x-16相比较得

  b1+b2=6,b1·b2=-16,可得b1,b2即可分解.

  解:设x2+6x-16=(x+b1)(x+b2)

则x2+6x-16=x2+(b1+b2)x+b1·b2

∴x2+6x-16=(x-2)(x+8).

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2023-01-13 19:52:224

初中数学知识点:因式分解

   一、单项式   1、都是数字与字母的乘积的代数式叫做单项式。   2、单项式的数字因数叫做单项式的系数。   3、单项式中所有字母的指数和叫做单项式的次数。   4、单独一个数或一个字母也是单项式。   5、只含有字母因式的单项式的系数是1或―1。   6、单独的一个数字是单项式,它的系数是它本身。   7、单独的一个非零常数的次数是0。   8、单项式中只能含有乘法或乘方运算,而不能含有加、减等其他运算。   9、单项式的系数包括它前面的符号。   10、单项式的系数是带分数时,应化成假分数。   11、单项式的系数是1或―1时,通常省略数字"1"。   12、单项式的次数仅与字母有关,与单项式的系数无关。    二、多项式   1、几个单项式的和叫做多项式。   2、多项式中的每一个单项式叫做多项式的项。   3、多项式中不含字母的项叫做常数项。   4、一个多项式有几项,就叫做几项式。   5、多项式的每一项都包括项前面的符号。   6、多项式没有系数的概念,但有次数的概念。   7、多项式中次数最高的项的次数,叫做这个多项式的`次数。    三、整式   1、单项式和多项式统称为整式。   2、单项式或多项式都是整式。   3、整式不一定是单项式。   4、整式不一定是多项式。   5、分母中含有字母的代数式不是整式;而是今后将要学习的分式。    四、整式的加减   1、整式加减的理论根据是:去括号法则,合并同类项法则,以及乘法分配率。   去括号法则:如果括号前是"十"号,把括号和它前面的"+"号去掉,括号里各项都不变符号;如果括号前是"一"号,把括号和它前面的"一"号去掉,括号里各项都改变符号。   2、同类项:所含字母相同,并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。   合并同类项:   1).合并同类项的概念:   把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项。   2).合并同类项的法则:   同类项的系数相加,所得结果作为系数,字母和字母的指数不变。   3).合并同类项步骤:   a.准确的找出同类项。   b.逆用分配律,把同类项的系数加在一起(用小括号),字母和字母的指数不变。   c.写出合并后的结果。   4).在掌握合并同类项时注意:   a.如果两个同类项的系数互为相反数,合并同类项后,结果为0.   b.不要漏掉不能合并的项。   c.只要不再有同类项,就是结果(可能是单项式,也可能是多项式)。   说明:合并同类项的关键是正确判断同类项。   3、几个整式相加减的一般步骤:   1)列出代数式:用括号把每个整式括起来,再用加减号连接。   2)按去括号法则去括号。   3)合并同类项。   4、代数式求值的一般步骤:   (1)代数式化简   (2)代入计算   (3)对于某些特殊的代数式,可采用"整体代入"进行计算。    五、同底数幂的乘法   1、n个相同因式(或因数)a相乘,记作an,读作a的n次方(幂),其中a为底数,n为指数,an的结果叫做幂。   2、底数相同的幂叫做同底数幂。   3、同底数幂乘法的运算法则:同底数幂相乘,底数不变,指数相加。即:am﹒an=am+n。   4、此法则也可以逆用,即:am+n = am﹒an。   5、开始底数不相同的幂的乘法,如果可以化成底数相同的幂的乘法,先化成同底数幂再运用法则。
2023-01-13 19:52:341

初中数学的因式分解公式 这些知识点要铭记于心

1、完全平方式,形如:a^+2ab+b^=(a+b)^。 2、平方差公式,形如:a^-b^=(a+b)(a-b)。 3、十字相乘法,例如:x^-3x+2=(x-1)(x-2)。 4、提取公因式,例如:2(a+3)+3(a+3)^=(a+3)〔2+3(a+3)〕。 5、把一个多项式在一个范围(如实数范围内分解,即所有项均为实数)化为几个整式的积的形式,这种式子变形叫做这个多项式的因式分解,也叫作把这个多项式分解因式。
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在初中因式分解法中,一共有哪些方法,请用xy表示,顺便写下中文名?

  因式分解法不是只有一种吗?  降次—— 一元二次方程中有 开方法 配方法 公式法 然后才是因式分解法      例:x²-x-2=0            然后就可以解了。
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初中的数学因式分解!快!

1.x²-y²+a²-b²+2ax+2by=x²+a²+2ax-y²-b²+2by=(x+a)^2-(y-b)^2=(x+a+y-b)(x+a-y+b)2.a²-4ab+4b²-6a+12b+9=a²-4ab+4b²-6(a-2b)+9=(a-2b)^2-6(a-2b)+9=(a-2b-3)^21.8a^3-b^3=(2a-b)(4a^2+2ab+b^2)2.4(x-y+1)+y(y-2x)=4x-4y+4+y^2-2xy=(y^2-4y+4)-2x(2-y)=(y-2)^2+2x(y-2)=(y-2)(2x+y-2) 3.a³+1=(a+1)(a^2-a+1)4.4x(四次方)-13x²+9=(4x^2-9)(x^2-1)=(2x-3)(2x+3)(x-1)(x+1)5.b²+c²+2ab+2ac+2bc=b²+c²+2bc+2ab+2ac=(b+c)^2+2a(b+c)=(b+c)(b+c+2a)6.3x²+5xy-2y²+x+9y-4=3x^2+5xy-2y^2+x+9y-4=(x+2y)(3x-y)+x+9y-4=(x+2y)(3x-y)+4(x+2y)-(3x-y)-4
2023-01-13 19:52:573

初中阶段因式分解是在实数范围内吗,还是在有理数范围内?

什么是在实数范围内分解因式 1、分解因式最初学习是在初中二年级下,那时候只学了有理数,因此一般分解因式的范围都是在有理数范围内分解。例如x^4-3X^2+2分解因式。 2、在有理数范围x^4-3X^2+2=(x^2-1)(x^2-2)=(x-1)(x+1)(x^2-2)(x^2-2)就是不能分解的了,这个因式分解到此分解彻底。 3、而在实数范围分解因式,顾名思义,就是数域扩充到了实数范围(实数分为有理数和无理数,比有理数范围就更大了)。 4、因为(x^2-2)=(x+√2)(x-√2),所以在实数范围,x^4-3X^2+2=(x-1)(x+1)(x+√2)(x-√2)。
2023-01-13 19:53:0111

因式分解在初中数学知识中有什么作用

方便计算
2023-01-13 19:53:102

初中数学因式分解 ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)+2abc=0

ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)+2abc=a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+c^2a+ca^2+2abc =(a^2b+c^2b+2abc)+b^2(a+c)+ac(a+c) =b(a+c)^2+b^2(a+c)+ac(a+c) =(a+c)(b^2+b(a+c)+ac)=(a+c)(b+c)(b+a)
2023-01-13 19:53:131

求初中至高中的所有因式分解公式.....

因式分解的十二种方法 : 把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解。因式分解的方法多种多样,现总结如下: 1、 提公因法 如果一个多项式的各项都含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式。 例1、 分解因式x -2x -x(2003淮安市中考题) x -2x -x=x(x -2x-1) 2、 应用公式法 由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系,如果把乘法公式反过来,那么就可以用来把某些多项式分解因式。 例2、分解因式a +4ab+4b (2003南通市中考题) 解:a +4ab+4b =(a+2b) 3、 分组分解法 要把多项式am+an+bm+bn分解因式,可以先把它前两项分成一组,并提出公因式a,把它后两项分成一组,并提出公因式b,从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n,从而得到(a+b)(m+n) 例3、分解因式m +5n-mn-5m 解:m +5n-mn-5m= m -5m -mn+5n = (m -5m )+(-mn+5n) =m(m-5)-n(m-5) =(m-5)(m-n) 4、 十字相乘法 对于mx +px+q形式的多项式,如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p,则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c) 例4、分解因式7x -19x-6 分析: 1 -3 7 2 2-21=-19 解:7x -19x-6=(7x+2)(x-3) 5、配方法 对于那些不能利用公式法的多项式,有的可以利用将其配成一个完全平方式,然后再利用平方差公式,就能将其因式分解。 例5、分解因式x +3x-40 解x +3x-40=x +3x+( ) -( ) -40 =(x+ ) -( ) =(x+ + )(x+ - ) =(x+8)(x-5) 6、拆、添项法 可以把多项式拆成若干部分,再用进行因式分解。 例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b) 解:bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b) =bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b) =c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a) =(c+b)(c-a)(a+b) 7、 换元法 有时在分解因式时,可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数,然后进行因式分解,最后再转换回来。 例7、分解因式2x -x -6x -x+2 解:2x -x -6x -x+2=2(x +1)-x(x +1)-6x =x [2(x + )-(x+ )-6 令y=x+ , x [2(x + )-(x+ )-6 = x [2(y -2)-y-6] = x (2y -y-10) =x (y+2)(2y-5) =x (x+ +2)(2x+ -5) = (x +2x+1) (2x -5x+2) =(x+1) (2x-1)(x-2) 8、 求根法 令多项式f(x)=0,求出其根为x ,x ,x ,……x ,则多项式可因式分解为f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x ) 例8、分解因式2x +7x -2x -13x+6 解:令f(x)=2x +7x -2x -13x+6=0 通过综合除法可知,f(x)=0根为 ,-3,-2,1 则2x +7x -2x -13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1) 9、 图象法 令y=f(x),做出函数y=f(x)的图象,找到函数图象与X轴的交点x ,x ,x ,……x ,则多项式可因式分解为f(x)= f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x ) 例9、因式分解x +2x -5x-6 解:令y= x +2x -5x-6 作出其图象,见右图,与x轴交点为-3,-1,2 则x +2x -5x-6=(x+1)(x+3)(x-2) 10、 主元法 先选定一个字母为主元,然后把各项按这个字母次数从高到低排列,再进行因式分解。 例10、分解因式a (b-c)+b (c-a)+c (a-b) 分析:此题可选定a为主元,将其按次数从高到低排列 解:a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)=a (b-c)-a(b -c )+(b c-c b) =(b-c) [a -a(b+c)+bc] =(b-c)(a-b)(a-c) 11、 利用特殊值法 将2或10代入x,求出数P,将数P分解质因数,将质因数适当的组合,并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式,将2或10还原成x,即得因式分解式。 例11、分解因式x +9x +23x+15 解:令x=2,则x +9x +23x+15=8+36+46+15=105 将105分解成3个质因数的积,即105=3×5×7 注意到多项式中最高项的系数为1,而3、5、7分别为x+1,x+3,x+5,在x=2时的值 则x +9x +23x+15=(x+1)(x+3)(x+5) 12、待定系数法 首先判断出分解因式的形式,然后设出相应整式的字母系数,求出字母系数,从而把多项式因式分解。 例12、分解因式x -x -5x -6x-4 分析:易知这个多项式没有一次因式,因而只能分解为两个二次因式。 解:设x -x -5x -6x-4=(x +ax+b)(x +cx+d) = x +(a+c)x +(ac+b+d)x +(ad+bc)x+bd 所以 解得 则x -x -5x -6x-4 =(x +x+1)(x -2x-4)
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初中阶段所学的因式分解的方法有:1、提公因式法;2、运用公式法;3、十字相乘法;4、分组分解法。
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因式分解法

因式分解(factorization)因式分解是中学数学中最重要的恒等变形之一,它被广泛地应用于初等数学之中,是我们解决许多数学问题的有力工具.因式分解方法灵活,技巧性强,学习这些方法与技巧,不仅是掌握因式分解内容所必需的,而且对于培养学生的解题技能,发展学生的思维能力,都有着十分独特的作用.初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法.而在竞赛上,又有拆项和添项法,待定系数法,双十字相乘法,轮换对称法等.⑴提公因式法①公因式:各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的~. ②提公因式法:一般地,如果多项式的各项有公因式,可以把这个公因式提到括号外面,将多项式写成因式乘积的形式,这种分解因式的方法叫做提公因式法. am+bm+cm=m(a+b+c) ③具体方法:当各项系数都是整数时,公因式的系数应取各项系数的最大公约数;字母取各项的相同的字母,而且各字母的指数取次数最低的. 如果多项式的第一项是负的,一般要提出“-”号,使括号内的第一项的系数是正的. ⑵运用公式法 ①平方差公式:. a^2-b^2=(a+b)(a-b) ②完全平方公式: a^2±2ab+b^2=(a±b)^2 ※能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式,其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式,另一项是这两个数(或式)的积的2倍. ③立方和公式:a^3+b^3= (a+b)(a^2-ab+b^2). 立方差公式:a^3-b^3= (a-b)(a^2+ab+b^2). ④完全立方公式: a^3±3a^2b+3ab^2±b^3=(a±b)^3 ⑤a^n-b^n=(a-b)[a^(n-1)+a^(n-2)b+……+b^(n-2)a+b^(n-1)]a^m+b^m=(a+b)[a^(m-1)-a^(m-2)b+……-b^(m-2)a+b^(m-1)](m为奇数)⑶分组分解法 分组分解法:把一个多项式分组后,再进行分解因式的方法. 分组分解法必须有明确目的,即分组后,可以直接提公因式或运用公式. ⑷拆项、补项法 拆项、补项法:把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项(或几项),使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解;要注意,必须在与原多项式相等的原则进行变形. ⑸十字相乘法 ①x^2+(p q)x+pq型的式子的因式分解 这类二次三项式的特点是:二次项的系数是1;常数项是两个数的积;一次项系数是常数项的两个因数的和.因此,可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解: x^2+(p q)x+pq=(x+p)(x+q) ②kx^2+mx+n型的式子的因式分解 如果能够分解成k=ac,n=bd,且有ad+bc=m 时,那么 kx^2+mx+n=(ax b)(cx d) a -----/b ac=k bd=n c /-----d ad+bc=m ※ 多项式因式分解的一般步骤: ①如果多项式的各项有公因式,那么先提公因式; ②如果各项没有公因式,那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解; ③如果用上述方法不能分解,那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解; ④分解因式,必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止. (6)应用因式定理:如果f(a)=0,则f(x)必含有因式(x-a)。如f(x)=x^2+5x+6,f(-2)=0,则可确定(x+2)是x^2+5x+6的一个因式。经典例题:1.分解因式(1+y)^2-2x^2(1+y^2)+x^4(1-y)^2解:原式=(1+y)^2+2(1+y)x^2(1+y)+x^4(1-y)^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2)=[(1+y)+x^2(1-y)]^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2)=[(1+y)+x^2(1-y)]^2-(2x)^2=[(1+y)+x^2(1-y)+2x]·[(1+y)+x^2(1-y)-2x]=(x^2-x^2y+2x+y+1)(x^2-x^2y-2x+y+1)=[(x+1)^2-y(x^2-1)][(x-1)^2-y(x^2-1)]=(x+1)(x+1-xy+y)(x-1)(x-1-xy-y)2.证明:对于任何数x,y,下式的值都不会为33x^5+3x^4y-5x^3y^2+4xy^4+12y^5解:原式=(x^5+3x^4y)-(5x^3y^2+15x^2y^3)+(4xy^4+12y^5)=x^4(x+3y)-5x^2y^2(x+3y)+4y^4(x+3y)=(x+3y)(x^4-5x^2y^2+4y^4)=(x+3y)(x^2-4y^2)(x^2-y^2)=(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y)当y=0时,原式=x^5不等于33;当y不等于0时,x+3y,x+y,x-y,x+2y,x-2y互不相同,而33不能分成四个以上不同因数的积,所以原命题成立因式分解的十二种方法 把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解。因式分解的方法多种多样,现总结如下: 1、 提公因法 如果一个多项式的各项都含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式。 例1、 分解因式x -2x -x(2003淮安市中考题) x -2x -x=x(x -2x-1) 2、 应用公式法 由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系,如果把乘法公式反过来,那么就可以用来把某些多项式分解因式。 例2、分解因式a +4ab+4b (2003南通市中考题) 解:a +4ab+4b =(a+2b) 3、 分组分解法 要把多项式am+an+bm+bn分解因式,可以先把它前两项分成一组,并提出公因式a,把它后两项分成一组,并提出公因式b,从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n,从而得到(a+b)(m+n) 例3、分解因式m +5n-mn-5m 解:m +5n-mn-5m= m -5m -mn+5n = (m -5m )+(-mn+5n) =m(m-5)-n(m-5) =(m-5)(m-n) 4、 十字相乘法 对于mx +px+q形式的多项式,如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p,则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c) 例4、分解因式7x -19x-6 分析: 1 -3 7 2 2-21=-19 解:7x -19x-6=(7x+2)(x-3) 5、配方法 对于那些不能利用公式法的多项式,有的可以利用将其配成一个完全平方式,然后再利用平方差公式,就能将其因式分解。 例5、分解因式x +3x-40 解x +3x-40=x +3x+( ) -( ) -40 =(x+ ) -( ) =(x+ + )(x+ - ) =(x+8)(x-5) 6、拆、添项法 可以把多项式拆成若干部分,再用进行因式分解。 例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b) 解:bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b) =bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b) =c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a) =(c+b)(c-a)(a+b) 7、 换元法 有时在分解因式时,可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数,然后进行因式分解,最后再转换回来。 例7、分解因式2x -x -6x -x+2 解:2x -x -6x -x+2=2(x +1)-x(x +1)-6x =x [2(x + )-(x+ )-6 令y=x+ , x [2(x + )-(x+ )-6 = x [2(y -2)-y-6] = x (2y -y-10) =x (y+2)(2y-5) =x (x+ +2)(2x+ -5) = (x +2x+1) (2x -5x+2) =(x+1) (2x-1)(x-2) 8、 求根法 令多项式f(x)=0,求出其根为x ,x ,x ,……x ,则多项式可因式分解为f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x ) 例8、分解因式2x +7x -2x -13x+6 解:令f(x)=2x +7x -2x -13x+6=0 通过综合除法可知,f(x)=0根为 ,-3,-2,1 则2x +7x -2x -13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1) 9、 图像法 令y=f(x),做出函数y=f(x)的图像,找到函数图像与X轴的交点x ,x ,x ,……x ,则多项式可因式分解为f(x)= f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x ) 例9、因式分解x +2x -5x-6 解:令y= x +2x -5x-6 作出其图像,见右图,与x轴交点为-3,-1,2 则x +2x -5x-6=(x+1)(x+3)(x-2) 10、 主元法 先选定一个字母为主元,然后把各项按这个字母次数从高到低排列,再进行因式分解。 例10、分解因式a (b-c)+b (c-a)+c (a-b) 分析:此题可选定a为主元,将其按次数从高到低排列 解:a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)=a (b-c)-a(b -c )+(b c-c b) =(b-c) [a -a(b+c)+bc] =(b-c)(a-b)(a-c) 11、 利用特殊值法 将2或10代入x,求出数P,将数P分解质因数,将质因数适当的组合,并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式,将2或10还原成x,即得因式分解式。 例11、分解因式x +9x +23x+15 解:令x=2,则x +9x +23x+15=8+36+46+15=105 将105分解成3个质因数的积,即105=3×5×7 注意到多项式中最高项的系数为1,而3、5、7分别为x+1,x+3,x+5,在x=2时的值 则x +9x +23x+15=(x+1)(x+3)(x+5) 12、待定系数法 首先判断出分解因式的形式,然后设出相应整式的字母系数,求出字母系数,从而把多项式因式分解。 例12、分解因式x -x -5x -6x-4 分析:易知这个多项式没有一次因式,因而只能分解为两个二次因式。 解:设x -x -5x -6x-4=(x +ax+b)(x +cx+d) = x +(a+c)x +(ac+b+d)x +(ad+bc)x+bd 所以 解得 则x -x -5x -6x-4 =(x +x+1)(x -2x-4)初学因式分解的“四个注意”因式分解初见于九年义务教育三年制初中教材《代数》第二册,在初二上学期讲授,但它的内容却渗透于整个中学数学教材之中。学习它,既可以复习初一的整式四则运算,又为本册下一章分式打好基础;学好它,既可以培养学生的观察、注意、运算能力,又可以提高学生综合分析和解决问题的能力。其中四个注意,则必须引起师生的高度重视。 因式分解中的四个注意散见于教材第5页和第15页,可用四句话概括如下:首项有负常提负,各项有“公”先提“公”,某项提出莫漏1,括号里面分到“底”。现举数例,说明如下,供参考。 例1 把-a2-b2+2ab+4分解因式。 解:-a2-b2+2ab+4=-(a2-2ab+b2-4)=-(a-b+2)(a-b-2) 这里的“负”,指“负号”。如果多项式的第一项是负的,一般要提出负号,使括号内第一项系数是正的。防止学生出现诸如-9x2+4y2=(-3x)2-(2y)2=(-3x+2y)(-3x-2y)=(3x-2y)(3x+2y)的错误?�膊荒芗�汉啪拖取疤帷保��匀�饨�蟹治觯?/p> 如例2 △abc的三边a、b、c有如下关系式:-c2+a2+2ab-2bc=0,求证这个三角形是等腰三角形。 分析:此题实质上是对关系式的等号左边的多项式进行因式分解。 证明:∵-c2+a2+2ab-2bc=0,∴(a+c)(a-c)+2b(a-c)=0,∴(a-c)(a+2b+c)=0. 又∵a、b、c是△abc的三条边,∴a+2b+c>0,∴a-c=0, 即a=c,△abc为等腰三角形。 例3把-12x2nyn+18xn+2yn+1-6xnyn-1分解因式。解:-12x2nyn+18xn+2yn+1-6xnyn-1=-6xnyn-1(2xny-3x2y2+1) 这里的“公”指“公因式”。如果多项式的各项含有公因式,那么先提取这个公因式,再进一步分解因式;这里的“1”,是指多项式的某个整项是公因式时,先提出这个公因式后,括号内切勿漏掉1。防止学生出现诸如6p(x-1)3-8p2(x-1)2+2p(1-x)2=2p(x-1)2〔3(x-1)-4p〕=2p(x-1)2(3x-4p-3)的错误。 例4 在实数范围内把x4-5x2-6分解因式。 解:x4-5x2-6=(x2+1)(x2-6)=(x2+1)(x+6)(x-6) 这里的“底”,指分解因式,必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。即分解到底,不能半途而废的意思。其中包含提公因式要一次性提“干净”,不留“尾巴”,并使每一个括号内的多项式都不能再分解。防止学生出现诸如4x4y2-5x2y2-9y2=y2(4x4-5x2-9)=y2(x2+1)(4x2-9)的错误。 由此看来,因式分解中的四个注意贯穿于因式分解的四种基本方法之中,与因式分解的四个步骤或说一般思考顺序的四句话:“先看有无公因式,再看能否套公式,十字相乘试一试,分组分解要合适”是一脉相承的。
2023-01-13 19:54:001

初中因式分解题!!三道!

1.(x+3y)(x+2y+1)2.(x+y)(x^2-xy+y^2)3.(x+y-2)(x-y+2)
2023-01-13 19:54:045

初中 因式分解

5(a+b)(a-b)-[2(a+b)]²-(a-b)²=-[4(a+b)²-5(a+b)(a-b)+(a-b)²]=-[(a+b)-(a-b)][4(a+b)-(a-b)]=-2b(3a+5b)
2023-01-13 19:54:121

初中的因式分解在高中数学的学习中重要吗??

重要的
2023-01-13 19:54:1510

初中因式分解方法有几种

你好,常见的有三种:提公因式法、公式法(平方差公式和完全平方公式)、十字相乘法。
2023-01-13 19:54:253

关于初中数学的因式分解

(X+1)(X+3)是公分母
2023-01-13 19:54:283

初中因式分解的题

1. 2x^3y – 8xy^2=2xy(x^2-4y)2. 9x^2y^2– 3xy + 12x^3y=3xy(3xy-3+4x^2) 3. x^2- 4y^2=(x-2y)(x+2y)4. 9a^2 – 16b^2=(3a-4b)(3a+4b)5. x^2+ 4y^2– 4xy=(x-2y)^26. 9y^2 + 1 + 6y =(3y+1)^27. x^2– 3x – 4=(x-4)(x+1)8. x^2+ x – 12=(x+4)(x-3)9. x^2+ 7x – 30=(x-3)(x+10)10. a^2-12^2– 45=(x+3)(x-15)11. b^2– b – 6=(b+2)(b-3)12. x^2y^2+ 5xy + 6y^2=y(x^2y+5x+6y)13. 3x^2 - 17x +14=(3x-1)(x-14)14. 5y^2 - 7y - 6=(y-2)(5y+3)15. 4a^2 + 16a + 7=(2a+1)(2a+7)16. 8b^2 - 6b - 27=(2b+3)(4b-9)17. 9x^2y^2 - 12xy - 5y^218. 10m^2 - 29m + 10=(5m-2)(2m-5)19. 27n^2 + 24n +4=(3n+2)(9n+2)20. 6m^2 - 31m - 17=(2m+1)(2m-17)21. 9xy^2 - 4x^3=x(3y-2x)(3y+2x)22. x^2 - 4x + 4 - y^2=(x-2-y)(x-2+y)23. 10x^3y - 29x^2y^2 + 10y^3x=xy(5x-2y)(2x-5y)24. m^2 - 6m - n^2 + 9=(m-3+n)(m-3-n)
2023-01-13 19:54:313

几道初中因式分解问题

1 B(将p=3代入代数式=0)
2023-01-13 19:54:383

初中数学 因式分解

(x^2-3x)(x^2-3x+4)+4=(x^2-3x)^2+4(x^2-3x)+4=(x^2-3x+2)^2=[(x-2)(x-1)]^2=(x-2)^2(x-1)^2ab(c^2-d^2)-cd(a^2-b^2)=abc^2-abd^2-a^2cd+b^2cd=(abc^2-a^2cd)-abd^2+b^2cd=ac(bc-ad)+bd(bc-ad)=(bc-ad)(ac+bd) m^4-5m+4=(m^2-4)(m^2-1)=(m+2)(m-2)(m+1)(m-1)(a^2-b^2-c^2)^2-4b^2c^2=(a^2-b^2-c^2+2bc)(a^2-b^2-c^2-2bc)=[a^2-(b^2+c^2-2bc)]*[a^2-(b^2+c^2+2bc)]=[a^2-(b-c)^2][a^2-(b+c)^2]=(a+b-c)(a-b+c)(a+b+c)(a-b-c)p^2-3pq+2q^2=(p-2q)(p-q)x^2+4xy+4y^2-z^2=(x+2y)^2-z^2=(x+2y+z)(x+2y-z)a^2+2ab+b^2-2a-2b+1=(a+b)^2-2(a+b)+1=(a+b-1)^2
2023-01-13 19:54:421

几道初中数学因式分解(要有过程哦)

4.看作关于X的方程,判别式的判别式=0
2023-01-13 19:54:453

初中因式分解

1.设x^4-6x^3+13x^2+kx+4=(x^2+ax+b)^2 则2a=6 b^2=4 a=3 b=2 (x^2+ax+b)^2 =(x^2+3x+2)^2 则 k=2ab=122.由长方形的周长是16cm得x+y=8而x-y-x²+2xy-y²+2=(x-y)-(x-y)²+2=0 (x-y-2)(x-y+1)=0 x-y=2或x-y=-1联立得 x=5 y=3 或 x=3.5 y=4.5
2023-01-13 19:54:512

初中因式分解问题

f(x)=ax^5-bx^3+cx-8f(x)+8=ax^5-bx^3+cxf(-x)+8=-ax^5+bx^3-cxf(x)+8+f(-x)+8=0f(x)+f(-x)=-16x=3f(3)+f(-3)=-16f(3)=-16-f(-3)=-16-8=-24
2023-01-13 19:54:542

一道简单的初中因式分解,请高手作答

(x+4y-3)^2双十字相乘法,比一般十字相乘多一对(常数项) x y 常 数 1 4 -3 1 4 -3
2023-01-13 19:54:573

想要学好因式分解,要把前面的哪些初中知识掌握好?

一元二次方程得掌握好了,因式分解就是围绕一元二次方程求解
2023-01-13 19:55:0015

初中数学 因式分解

(x+y-2xy)(x+y-2)+(xy-1)^2 =(x+y)^2-2xy(x+y)-2(x+y)+4xy+(xy)^2-2xy+1 =[(x+y)^2-2xy(x+y)+(xy)^2]-2(x+y-xy)+1 =(x+y-xy)^2-2(x+y-xy)+1 =[(x+y-xy)-1]^2 =(-xy+x+y-1)^2 =[-x(y-1)+(y-1)]^2 =[(y-1)(1-x)]^2 =(x-1)^2*(y-1)^2(2x-3y)^3+(3x-2y)^3-125(x-y)^3 =(2x-3y+3x-2y)((2x-3y)^2+(2x-3y)(3x-2y)+(3x-2y)^2)-(5x-5y)^3=(5x-5y)((4+6+9-25)x^2-(12+13+12-50)xy+(9+6+4-25)y^2)=(5x-5y)(-6x^2+13xy-6y^2)=5(y-x)(3x-2y)(2x-3y)
2023-01-13 19:55:082

初中因式分解有哪几种方法

1、提公因式法ma+mb+mc=m(a+b+c)2、运用公式法,常用公式有:平方差公式和完全平方公式3、十字相乘法,这个需要多做题才可以,也有类似公式,但是运用起来较为麻烦参考资料:/link?url=lZ3dTFqGOCapP_kKgrkxcMJhqelsmY3m7dDVsra9xy5L7JoW6cR1qiC9WspjE262ooageOtMIYQg7HbE9_RrAKsFU_-6XPr6xwvwvlhGsCe里面有一种分组分解法,只是提公因式法的灵活运用。如有问题可继续追问,望采纳,谢谢!
2023-01-13 19:55:151

初中数学因式分解,化简求值专题

a²-b²3a²+b²+7a²+4xy²+4yx²
2023-01-13 19:55:182

初中数学,因式分解,谢谢啦

解: 原式=(x^2+5x)^2+(x^2+5x)-6-6=(x^2+5x)^2+(x^2+5x)-12=(x^2+5x-3)(x^2+5x+4)=(x^2+5x-3)(x+4)(x+1)
2023-01-13 19:55:211

初中数学因式分解 求解!过程谢谢!

1.=a(x+y-z)+b(x+y-z)-c(x+y-z) =(x+y-z)(a+b-z)2.=ax(a-b+1)-ay(a-b+1)+az(a-b+1) =a(a-b+1)(x-y+z)3.=a平方+5a-3a-15+7 =a平方+2a-8
2023-01-13 19:55:243

初中因式分解在什么范围内

不作说明时,因式分解是指在有理数范围内的分解,不涉及根号
2023-01-13 19:55:281

初中数学整式运算与因式分解

因式分解是把一个标准形式的多项式化为数字或算式连乘.整式运算其实就是因式分解的逆运算.比如因式分解:x的平方+5x+6=(x+2)(x+3)整式运算:(x+2)(x+3)=x的平方+5x+6
2023-01-13 19:55:301

浅析初中数学为什么要学习因式分解

首先因式分解是初一下重要知识点,跟第三章整式的乘除结合在一起;其次,因式分解的学习能简化一些计算题的简化过程
2023-01-13 19:55:346

完全立方和立方差公式

完全立方公式包括完全立方和公式和完全立方差公式,完全立方和(或差)公式指的是两数和(或差)的立方等于这两个数的立方和(或差)与每一个数的平方乘以另一个数3倍的和(或差),即(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3。立方差公式也是数学中常用公式之一,在高中数学中接触该公式,且在数学研究中该式占有很重要的地位,甚至在高等数学、微积分中也经常用到。立方差公式与立方和公式共称为完全立方公式。具体为:两数的平方和加上两数的积再乘以两数的差,所得到的积就等于两数的立方差。
2023-01-13 19:54:491

1000毫米等于多少升

1000毫米不等于多少升;1000毫米表示长度;多少升表示体积;二者概念不同;1000毫(升)等于(1)升;1000(立方)毫米等于(0.001)升。
2023-01-13 19:54:501

立方差公式是什么

a ³-b ³=(a -b )(a ²+ab +b ²)
2023-01-13 19:54:522

1000mm等于多少厘米

100
2023-01-13 19:54:538

立方差公式是怎样的?

a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)
2023-01-13 19:54:558

1000mm等于多少米

=100cm=10dm=1米
2023-01-13 19:54:594

立方差公式和完全立方差公式

立方差公式是:a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)。完全立方差公式是:(a-b)³=a³-3a²b+3ab²-b³。立方差公式是数学中常用公式之一,在高中数学中接触该公式,且在数学研究中该式占有很重要的地位,甚至在高等数学、微积分中也经常用到。立方差公式与立方和公式共称为完全立方公式。具体为:两数的平方和加上两数的积再乘以两数的差,所得到的积就等于两数的立方差。立方差公式也是数学中常用公式之一,在高中数学中接触该公式,且在数学研究中该式占有很重要的地位,甚至在高等数学、微积分中也经常用到。立方差公式与立方和公式共称为完全立方公式。完全立方差完全立方公式包括完全立方和公式和完全立方差公式,完全立方和(或差)公式指的是两数和(或差)的立方等于这两个数的立方和(或差)与每一个数的平方乘以另一个数3倍的和(或差)。完全立方公式指的是两数和(或差)的立方,等于第一个数的立方,加上(或减去)第一个数的平方与第二数积的3倍,加上第一数与第二数平方的积的3倍,再加上(或减去)第二数的立方。这两个公式叫做乘法的完全立方公式,又称二项式的立方公式。
2023-01-13 19:55:031

1000毫米等于多少微米

10000
2023-01-13 19:55:045

1000毫米等于多少米厘米

根据单位转换关系,可知1000毫米=100厘米=1米
2023-01-13 19:54:472

十九毫米等于多少米

0.019米。毫米和米之间的进制1000,即1000毫米等于1米,所以,19毫米等于0.019毫米。毫米,又称公厘(或公釐),是长度单位和降雨量单位,英文缩写mm。
2023-01-13 19:54:441

立方和与立方差公式怎么推导?

立方和表达式为:(a+b)(a²-ab+b²)=a³+b³。该公式的文字表达为:两数和,乘它们的平方和与它们的积的差,等于这两个数的立方和。立方差达式为:a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)。该公式的文字表达为:两数的平方和加上两数的积再乘以两数的差,所得到的积就等于两数的立方差。立方和与立方差公式的推导过程1、a³+b³=a³+a²b-a²b+b³=a²(a+b)-b(a²-b²)=a²(a+b)-b(a+b)(a-b)=(a+b)[a²-b(a-b)]=(a+b)(a²-ab+b²)2、a³-b³=a³-a²b+a²b-b³=a²(a-b)+b(a²-b²)=a²(a-b)+b(a+b)(a-b)=(a-b)[a²+b(a+b)]=(a-b)(a²+ab+b²)
2023-01-13 19:54:431

赵字开头的成语 谐音的也可以

昭然若揭丶昭若日星,昭昭在目丶照本宣科,照章办事
2023-01-13 19:54:381

詟熄葋闂��:鎴戞兂镓句竴链�牎锲�皬璇达紝鐢蜂富瑙掑緢铡夊�锛屽拰濂充富瑙掔浉鐖变简銆傜敺涓昏...

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2023-01-13 19:54:384

立方差公式?

立方差a3-b3公式:a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)。立方差公式也是数学中常用公式之一,在高中数学中接触该公式,且在数学研究中该式占有很重要的地位,甚至在高等数学、微积分中也经常用到。列式如下:(a-b)^3=a^3-3(a^2)b+3a×b^2-b^3。=(a-b)^3-[-3(a^2)b+3a×b^2]。=(a-b)(a-b)^2+3ab(a-b)。=(a-b)(a^2-2ab+b^2+3ab)。=(a-b)(a^2+ab+b^2)。解方程的注意事项1、有分母先去分母。2、有括号就去括号。3、需要移项就进行移项。4、合并同类项。5、系数化为1求得未知数的值。6、开头要写“解”。
2023-01-13 19:54:361

1000mm等于多少米

1m
2023-01-13 19:54:3615

鏀垮簻閮ㄩ棬链夋潈瑙勫畾鎴戠殑涓嬬彮镞堕棿杩樿�瀹氱偣锲%

下班以后不会还限制你们的人身自由吧?恐怖@@
2023-01-13 19:54:341