幂函数 a=-1曲线

先画坐标然后进行操作。在A列从0开始以步长0、4（可自行调节）取若干个横坐标；在B3单元格输入“=SIN（A3）”，不包含引号，回车；在C3单元格输入“=A3&"，"&B3”，不包含引号，回车；同样方法填充B、C列其它单元格，选中C列中的坐标值，Ctrl+C复制，在AutoCAD中输入“PL”命令，然后在提示输入坐标值时Ctrl+V粘贴，回车，这样即完成了。

正常情况下的话，一般来说有名的函数的话一般都是两条曲线的这样一个函数，所以一定要注意的，

不需要加for循环，又没有变量加啥for，加for以后，X就只有一个数了，也就是x和y是一个点x=linspace(0.5,1.5,3);>> y=x.^2;>> plot(x,y)

请问您是如何对幂函数进行拟合的？能给说一下吗？谢谢！或留个邮箱回头问你。

稍等，我去查下

f"(x)=0.1/x^0.9f"(1)=0.1f"(1+△x)=0.1*(1+△x)^(-0.9)令t=lim △x-->0 f"(1+△x)/f"(1)=e^(-0.9/△x)△x>0,t=0,△x<0,t=+∞∴y=x^0.1有曲率最大点，x=1,y=0.1

x=0:0.1:7;%用的是冒号，而不是分号y=(x-1).*(x-2).^2.*(x-3).^3.*(x-4).^4;%x是向量，处理的时候需要加点plot(x,y)

由幂函数的图象与性质可得：从C4到C1指数依次增大，∴α分别取-1，1，12，2四个值，则相应图象依次为 C4，C2，C3，C1．故答案为：C4，C2，C3，C1．

在图象中，做出直线 x=2，根据直线x=2和曲线交点的纵坐标的大小，可得曲线C1，C2，C3，C4相 应的n依次为 2，1，12，-1，故选A．

A

B 当n大于0时，幂函数为单调递增函数，当n小于0时，幂函数为单调递减函数，并且在x＝1的右侧幂指数n自下而上依次增大，故选B.

根据幂函数y=x n 的性质，在第一象限内的图象当n＞0时，n越大，递增速度越快，故曲线c 1 ＞c 2 ＞0，当n＜0时，|n|越大，曲线越陡峭，所以0＞c 3 ＞c 4 则c 1 ，c 2 ，c 3 ，c 4 按从大到小排列为c 1 ＞c 2 ＞c 3 ＞c 4 故答案为：c 1 ＞c 2 ＞c 3 ＞c 4 ．

由图象可知：C1的指数n＞1，C2的指数0＜n＜1，C3，C4的指数小于0，且C3的指数大于C4的指数．据此可得：答案为B．故选：B．

取x= 1 2 ，则由图象可知（ 1 2 ） a ＞（ 1 2 ） d ＞（ 1 2 ） c ＞（ 1 2 ） b ∵0＜ 1 2 ＜1，相应的指数函数y=（ 1 2 ） x ∴a＜0＜d＜c＜b，故答案为：a＜0＜d＜c＜b．

根据幂函数y=x n 的性质，在第一象限内的图象，当n＞0时，n越大，递增速度越快，故曲线c 1 ＞c 2 ＞0，当n＜0时，|n|越大，曲线越陡峭，所以0＞c 4 ＞c 3 ，则c 1 ，c 2 ，c 3 ，c 4 按从大到小排列为c 1 ＞c 2 ＞c 4 ＞c 3 故选C．

望采纳，谢谢。

∵y＝x?1＝1x在第一象限内单调递减，∴对应的图象为C4．y=x对应的图象为直线，∴对应的图象为C2．y=x2对应的图象为抛物线，∴对应的图象为C1．故选：C．

拟合公式不正确。将数据分两列记录，选择插入里的散点图，选中图表中其中一个点，右键，添加趋势线，右侧属性栏选择拟合方式，如线性、多项式、对数等等，多项式还可以选择几次多项式，以及其他属性选择。公式精度不够导致。双击公式框，右侧公式属性中标签选项，将有效位数选择10位甚至更多，根据公式计算就与图中曲线大概一致了。

1 A.2 B.1/2 C.-1/2 D.-22 3^-5/2>3.1^-5/2 -8^-7/8<-(9)^7/8 (-2/3)^-2/3<（-π/6）^-2/3 (-1.9)^3/5<3.8^-2/3<4.1^2/5

对Y = X ^一个幂函数的一般形式。 如果拿一个非零有理数是比较容易理解，但对于初学者采取无理数，是不太容易理解，在掌握如何理解指数的非理性问题的数量我们的课程不是必须的，因为它涉及到真正的统一体了非常深刻的了解。所以我们只接受它作为可以公知的事实。 对于一个非零值合理，有必要讨论的情况分成几个单独的特点：首先，我们知道，如果A = P / Q和P / Q是不可约的分数（即P，Q互质），q和p是整数，则x ^（P / Q-）= Q倍平方根（X p次幂）中，如果q是奇数时，该函数的域是R，如果q为偶数，域的功能是[0，+∞）。当该指数为负整数n，设α= -k，则x = 1 /（的x ^ k）时，显然X≠0时，该域的功能是（-∞，0）∪（0，+∞）。因此，x可从施加的两个点的限制中可以看出，1可以被用作分母不能为零，一个是有可能在根部的下一个偶数，不能为负值，那么我们就可以知道：排除0和负号的两个可能的是，对于x> 0，则可以是任意的实数; 排除这种可能性为0，即，对于x 0的所有实数的，Q可以是偶数; 排除这种可能是负的，即，对于所有的x是小于的实数大于或等于0时，不能为负值。 综上所述，可以得到当针对不同的情况域功率函数不同的值如下：如果一个域是任意实数，则该函数大于0的所有实数; 如果是否定的，则x是肯定不是零，但随后的函数的域必须被确定，根据q的奇偶性，即，如果两个q为偶数，则x是不小于0，则该域函数大于0的所有实数;如果两个q是奇数，则该函数的域是不等于0的所有实数。 当x大于0的范围内，函数是实数总是大于零。 当x小于0，则仅当q是奇数，则距离函数是一个非零实数。 而只有A是一个正数，0在进入函数的范围之前。 因为x是大于0的任意值具有意义，必须指出的是，当x <0时，是幂函数棘手的内在矛盾：的x ^（A / B）] ^（三/ d）所示，[的x ^（C / D）] ^（A / B）中，x ^（交流/ BD）是否等于3的？如果p / q是交流/ BD既不可简化的分数中，x ^（交流/ BD）和x ^（P / Q-）和x ^（KP / KQ）（k为正整数），但它是等于？即x <0时，用幂律指数函数值的不可调和的矛盾特殊性计算发生。在这方面，有两种观点：只有约分数来处理这个矛盾1棒按照惯例是可以解决的问题只是幂函数的值，但该算法是更难以保持米饭索引;另一种观点认为，直接取消x <0的。在这种情况下，功率函数的域的规定为[0，+∞）或（0，+∞）。这似乎是这个问题的专家学者经过认真讨论，得到解决。 下面给出因此在每种情况下，第一象限的幂函数可以看到：。 （1）所有数据都是通过（1,1）到这一点。 （2）当a是大于0的，功率函数是一个单调增加的，而当a小于0时，幂函数是一个单调递减函数。 （3）当a大于1时，幂函数的图形压下;当大于0一个小于1时，幂函数曲线的投影。 （4）中，当a小于0时，一个更小的，倾斜图案。 （5）a大于0，则该函数在（0,0）;一个小于0，但功能（0,0）。 （6）显然是没有边界的幂函数。

同问，求大神解答！~

画出f和x的点就可以了，x是固定的。

你用word加一个符号转换器不行吗？

（1）干密度为1.6g/cm3图7.10为干密度1.6g/cm3风积砂试样在围压分别为100kPa、200kPa和300kPa下的动（剪）应力（剪）应变骨干曲线。从图7.10可以看出，随着动应变幅值的增大，曲线斜率逐渐趋缓，也就是说随着动应变幅值的增大，相同的动应力增量能产生更大的动应变增量。图7.10 动应力应变曲线据图7.10可得到干密度1.6g/cm3风积砂试样在不同围压下的动模量动应变关系曲线，如图7.11所示。从图可以看出，随着动应变幅值的增大，风积砂动模量逐渐降低。但曲线斜率逐渐减小，表明模量的衰减随着应变的增大而逐渐趋缓。曲线特征满足一般规律。图7.11 动模量动应变关系曲线根据式（1.2）双曲线模型，动模量倒数与动应变幅值之间将满足线性关系。根据图7.11得到的动模量倒数与动应变关系及其线性拟合曲线如图7.12所示。从图7.12中可以看出，试验数据点与拟合曲线吻合较好，所有拟合曲线的相关系数均在0.99以上。这也表明，毛乌素沙漠风积砂的动应力应变骨干曲线满足Hardin双曲线模型。根据图7.12各线性拟合曲线在纵轴上的截距，可以得到不同密度风积砂在不同围压下的初始（最大）模量Emax和Gmax。图7.12所示各拟合曲线方程及得到的初始（最大）模量见表7.2。从表7.2中可以看出，干密度相同时，不同试样的初始模量随着固结压力的增大而增大。图7.12 动模量与动应变关系双曲拟合曲线表7.2 线性回归曲线参数（压缩模量）及初始模量值图7.13为动模量比和阻尼比与动应变关系曲线。从图7.13中可以看出，随着动应变的增大，土体的模量逐渐衰减，刚度降低。而伴随着土体刚度的降低，阻尼比逐渐增大。图7.13 动模量比、阻尼比与动应变关系曲线根据前述Hardin双曲线模型和Masing法则，模量比和阻尼比随应变变化关系应满足式（1.12）和式（1.13）。为此，将图7.13曲线和根据Hardin双曲线模型得到的动模量比、阻尼比与动应变关系曲线（双曲拟合曲线）同时绘在图7.14中。从图7.14中可以看出，模量比试验曲线和双曲拟合曲线吻合较好，这与图7.12反映的结论一致。而阻尼比仅在动应变较小时吻合较好，动应变较大时，根据式（1.13）得到的阻尼比均大于实际阻尼比。且随着动应变的增大，误差也逐渐增大，拟合效果较差。为此，采用式（1.16）所示模型对阻尼比进行拟合，拟合曲线如图7.15所示。其中，左侧图形为根据试验数据得到的拟合曲线，右侧图形为根据图7.14所示模量比双曲拟合数据得到的拟合曲线。回归得到的拟合参数最大阻尼比λmax和曲线形状系数β见表7.3。图7.14 动模量比、阻尼比双曲拟合曲线从图7.15可以看出，式（1.16）对阻尼比具有较高的拟合精度，相关系数均在0.95以上，而且根据模量比双曲拟合数据得到的右侧图形拟合精度略高于左侧试验数据图形。从表7.3可以看出，最大阻尼比λmax和曲线形状系数β在不同固结压力下变化不大，且和固结压力之间没有单调变化规律，两者均值分别为0.251和0.966。图7.16为阻尼比-动应变关系拟合曲线，图7.16中虚线为双曲线模型的拟合曲线，实线为图7.15所示根据式（1.16）的幂函数拟合曲线。从图7.16可以看出，幂函数拟合曲线具有明显高于双曲线模型拟合曲线的拟合精度，拟合曲线与试验数据点吻合较好，说明采用式（1.16）对阻尼比进行拟合是合适的。图7.15 阻尼比幂函数拟合曲线表7.3 阻尼比指数回归曲线参数（据双曲拟合数据）图7.16 阻尼比不同拟合曲线对比（2）干密度为1.7g/cm3图7.17为干密度1.7g/cm3试样在围压100kPa、200kPa和300kPa下的动应力应变骨干曲线。从图7.17可以看出，与1.6g/cm3密度一样，随着动应变幅值的增大，曲线斜率逐渐趋缓，也就是说随着动应变幅值的增大，相同的动应力增量能产生更大的动应变增量。曲线形式与Hardin双曲线模型基本一致。图7.17 动应力应变骨干曲线据图7.17可得到干密度1.7g/cm3风积砂试样在不同围压下的动模量动应变关系曲线，如图7.18所示。从图7.8中可以看出，随着动应变幅值的增大，风积砂动模量逐渐降低。但曲线斜率逐渐减小，表明模量的衰减随着应变的增大而逐渐趋缓，曲线特征符合一般规律。图7.18 动模量动应变关系曲线根据式（1.2）双曲线模型，动模量倒数与动应变幅值之间将满足线性关系。根据图7.18得到的动模量倒数与动应变关系及其线性拟合曲线如图7.19所示。从图7.19中可以看出，试验数据点与拟合曲线同样吻合较好，所有拟合曲线的相关系数均在0.99以上。这也表明，毛乌素沙漠风积砂的动应力应变骨干曲线满足Hardin双曲线模型。根据图7.19拟合曲线在纵轴上的截距，可以得到不同围压下的初始（最大）模量Emax和Gmax。图7.19各拟合曲线方程及得到的初始（最大）模量见表7.4。从表7.4中可以看出，干密度相同时，不同试样的初始模量随着固结压力的增大而增大。图7.19 模量与动应变关系双曲拟合曲线表7.4 线性回归曲线参数（压缩模量）及初始模量值图7.20动模量比和阻尼比与动应变关系曲线。从图7.20中可以看出，随着动应变的增大，土体的模量逐渐衰减，刚度降低。而伴随着土体刚度的降低，阻尼比逐渐增大。图7.20 动模量比、阻尼比与动应变关系曲线根据前述Hardin［49］双曲线模型和Masing法则，模量比和阻尼比随应变变化关系应满足式（1.12）和式（1.13）所示关系。为此，将图7.20曲线和根据Hardin双曲线模型，即式（1.12）和式（1.13）得到动模量比、阻尼比与动应变关系曲线（双曲拟合曲线）同时绘在图7.21中。从图7.21可以看出，模量比试验曲线和双曲拟合曲线吻合较好，这与图7.19反映的结论一致。而阻尼比仅在动应变较小时吻合较好，动应变较大时，根据式（1.13）得到的阻尼比均大于实际阻尼比。且随着动应变的增大，误差也逐渐增大，拟合效果较差。为此，采用式（1.16）所示模型对阻尼比进行指数拟合，拟合曲线如图7.22所示。其中，左侧图形为根据试验模量比数据得到的拟合曲线，右侧图形为根据图7.22所示模量比双曲拟合数据得到的拟合曲线。回归得到的拟合参数最大阻尼比λmax和曲线形状系数β见表7.5。从图7.22可以看出，式（1.16）对阻尼比具有较高的拟合精度，相关系数均在0.95以上，而且根据模量比双曲拟合数据得到的右侧图形拟合精度略高于左侧试验数据图形。从表7.5可以看出，最大阻尼比λmax与1.6g/cm3密度一样，在不同固结压力下变化不大，且和固结压力之间没有单调变化规律，均值为0.184，小于1.6g/cm3密度的阻尼比均值，说明密度增大，阻尼比降低。但是曲线形状系数β却随着围压有明显的增大，这与1.6g/cm3密度不一样，均值为0.725，小于1.6g/cm3密度均值，说明密度较大时，阻尼比的增长较慢。图7.23为阻尼比动应变关系拟合曲线，图7.22中虚线为双曲线模型的拟合曲线，实线为图7.22所示根据式（1.16）的幂函数拟合曲线。从图7.22中可以看出，幂函数拟合曲线明显高于双曲线模型拟合曲线的拟合精度，拟合曲线与试验数据点吻合较好，说明采用式（1.16）对阻尼比进行拟合是合适的。图7.21 动模量比、阻尼比双曲拟合曲线图7.22 阻尼比指数拟合曲线表7.5 阻尼比幂函数回归曲线参数（据双曲拟合数据）图7.23 阻尼比不同拟合曲线对比

典型步骤　　人力资源需求预测分为现实人力资源需求、未来人力资源需求预测和未来流失人力资源需求预测三部分。具体步骤如下： 1、根据职务分析的结果，来确定职务编制和人员配置；2、进行人力资源盘点，统计出人员的缺编、超编及是否符合职务资格要求；3、将上述统计结论与部门管理者进行讨论，修正统计结论；4、该统计结论为现实人力资源需求；5、根据企业发展规划，确定各部门的工作量；6、根据工作量的增长情况，确定各部门还需增加的职务及人数，并进行汇总统计；7、该统计结论为未来人力资源需求；8、对预测期内退休的人员进行统计；9、根据历史数据，对未来可能发生的离职情况进行预测；10、将8、9统计和预测结果进行汇总，得出未来流失人力资源需求；11、将现实人力资源需求、未来人力资源需求和未来流失人力资源需求汇总，即得企业整体人力资源需求预测。 影响因素　　外部环境因素：劳动力市场的变化；政府相关政策变化；行业发展状况变化。 　　内部因素：企业目标的变化；员工素质的变化；组织形式的变化；企业最高领导层的理念。 实施注意事项　　首先，预测要在内部条件和外部环境的基础上做出，必须符合现实情况； 　　其次，预测是为企业的发展规划服务，这是预测的目的； 　　第三，应该选择恰当的预测技术，预测要考虑科学性、经济性和可行性，综合各方面做出选择； 　　最后，预测的内容是未来人力资源的数量、质量和结构，应该在预测结果中体现。 　　人力资源需求预测所涉及的变量与企业经营过程所涉及的变量是共同的。与人力资源需求预测相关的变量包括：顾客的需求变化、生产需求、劳动力成本趋势、可利用的劳动力（失业率）、每一工种所需要的雇员人数、追加培训的需求、每个工种员工的移动情况、旷工趋向（趋势）、政府的方针政策的影响、劳动力费用、工作小时的变化、退休年龄的变化、社会安全福利保障等。在明确组织雇员（包括一线员工和管理者）的技能和数量需求时，必须根据组织的特殊环境，认真考虑上述变量，应该把预测看成是完善周围的人力资源需求决策的一个工具。因为好的决策要求拥有尽可能多的信息，以保证对未来的预言更加精确，更加有效。 编辑本段定性方法现状规划法　　人力资源现状规划法是一种最简单的预测方法，较易操作。它是假定企业保持原有的生产和生产技术不变，则企业的人资源也应处于相对稳定状态，即企业目前各种人员的配备比例和人员的总数将完全能适应预测规划期内人力资源的需要。在此预测方法中，人力资源规划人员所要做的工作是测算出在规划期内有哪些岗位上的人员将得到晋升、降职、退休或调出本组织，再准备调动人员去弥补就行了。 经验预测法　　经验预测法就是企业根据以往的经验对人力资源进行预测的方法，简便易行。采用经验预测法是根据以往的经验业进行预测，预测的效果受经验的影响较大。因此，保持历史的档案，并采用多人集合的经验，可减少误差。现在不少企业采用这种方法来预测本组织对将来某段时期内人力资源的需求。企业在有人员流动的情况下，如晋升、降职、退休或调出，等等，可以采用与人力资源现状规划结合的方法来制定规划。 分合性预测法　　分保性预测方法是一种常用的预测方法，它采取先分后合的形势。这种方法的第一步是企业组织要求下属各个部门、单位根据各自的生产任务、技术设备等变化的情况对本单位将来对各种人员的需求进行综合预测，在此基础上，把下属各部门的的预测数进行综合平衡，从中预测出整个组织将来某一时期内对各种人员的需求总数。这种方法要求在人事部门或专职人力资源规划人员的指导下进行，下属各级管理人员能充分发挥在人力资源预测规划中的作用。 德尔菲法　　（Delphi） 　　德尔菲法又名专家会议预测法，是20世纪40年代末在美国兰德公司的“思想库”中发展出来的一种主观预测方法。德尔菲法分几轮进行，第一轮要求专家以书面形式提出各自对企业人力资源需求的预测结果。在预测过程中，专家之间不能互相讨论或交换意见；第二轮，将专家的观测结果惧起来进行综合，再将综合的结果通知各住专家，以进行下一轮的预测。反复几次直至得出大家都认可的。通过这种方法得出的是专家们对某一问题的看法达成一致的结果。 描述法　　描述法是人力资源规划人员可以通过对本企业组织在未来某一时期的有关因素的变化进行描述或假设，并从描述、假设、分析和综合中对将来人力资源的需求进行预测规划。由于这是假定性的描述，因此人力资源需求就有几种备择方案，目的是适应和应付环境因素的变化。 编辑本段定量预测方法趋势预测法　　趋势预测法是利用企业的历史资料，根据某些因素的变化趋势，预测相应的某段时期人力资源的需求。趋势预测法在使用时一般都要假设其他的一切因素都保持不变或者变化的幅度保持一致，往往忽略了循环波动、季节波动和随机波动等因素。一般常用的方法如下： 　　(1)散点图分析法。该方法首先收集企业在过去几年内人员数量的数据，并根据这些数据作出散点图，把企业经济活动中某种变量与人数间的关系和变化趋势表示出来，如果两者之间存在相关关系，则可以根据企业未来业务活动量的估计值来预测相关的人员需求量，同时，可以用数学方法对其进行修正，使其成为一条平滑的曲线，从该曲线可以估计出未来的变化趋势。 　　(2)幂函数预测模型。该模型主要考虑人员变动与时间之间的关系，其具体公式为：R(t)=atb，式中R(t)为t年的员工人数，a，b为模型参数。a，b的值由员工人数历史数据确定，用非线性最小二乘法拟合幂函数曲线模型算出。 统计预测法　　统计预测法是指根据过去的情况和资料建立数学模型，并由此对未来的趋势作出预测的一种定量的预测方法。 　　(1)比例趋势预测法。这种方法通过研究历史统计资料中的各种比例关系，例如部门管理人员与该部门工人之间的比例关系，员工数量与机器设备数量的比率，考虑未来情况的变动，估计预测期内的比例关系，进而预测未来各类员工的需要量。这种方法简单易行，关键在于历史资料的准确性和对未来情况变动的估计。 　　(2)一元线性回归预测法。在进行人力资源需求预测时，如果只考虑某一种因素对人力资源需求的影响，例如企业的市场规模，而忽略其他因素的影响，就可以采用一元线性回归预测法;如果考虑两个或者两个以上因素对人力资源需求的影响，则需要运用多元线性回归预测法;如果其中的某一影响因素与人力资源需求量之间的关系不是直线相关的线性关系，那么，就需要采用非线性回归法来做预测。 　　(3)经济计量模型预测法。这种方法首先用数学模型的形式表示出企业的职工需求量与影响企业员工需求量的主要因素之间的关系，然后依据该模型和主要的影响因素变量来预测企业的员工需求量。这种方法比较繁琐、复杂，一般只在管理基础比较好的大型企业里才会采用。 工作负荷预测法　　工作负荷预测法，是指按照历史数据、工作分析的结果，先计算出某一特定工作每单位时间(如一天)的每人的工作负荷(如产量)，然后再根据未来的生产量目标(或者劳务目标)计算出所需要完成的总工作量，然后依据前一标准折算出所需要的人力资源数量。这种方法的考虑对象是企业工作总量和完成工作所需要的人力资源数量之间的关系，考虑的是每位员工的工作负荷和企业总体工作量之间的比率。可用公式表示为： 　　未来每年所需员工数=未来每年工作总量/每年每位员工所能完成的工作量 　　=未来每年的总工作时数/每年每位员工工作时数 　　因此，工作负荷预测法的关键部分是准确预测出企业总的工作量和员工的工作负荷。当企业所处的环境、劳动生产率增长比较稳定的时候，这种预测方法就比较方便，预测效果也比较好。 劳动定额预测法　　劳动定额，是对劳动者在单位时间内应完成的工作量的规定。在已知企业的计划任务总量，以及科学合理的劳动定额的基础上，运用劳动定额法能够比较准确地预测企业人力资源需求量。该方法可以运用公式：N=W/q(1+R)进行计算。式中，N为企业人力资源需求量，W为计划期任务总量，q为企业制定的劳动定额，R为部门计划期内生产率变动系数。R=R1+R2+R3，其中，R1为企业技术进步引起的劳动生产率提高系数，R2为由经验积累导致的劳动生产率提高系数，R3为由与员工年龄增大以及某些社会因素导致的劳动生产率下降系数。 编辑本段人力资源预测所必须思考的问题　　1 企业人力资源政策在稳定员工上所起的作用 　　2 市场上人力资源供求状况和发展趋势 　　3 本行业其他公司的人力资源概况 　　4 本行业的发展趋势和人力资源需求趋势 　　5 本行业人力资源供给趋势 　　6 企业人员流动率以及原因 　　7 企业员工的职业发展规划状况 　　8 企业员工的工作满意情况 　　9 资源需求预测

用于曲线拟合函数拟合函数。如果你知道Y和X，但不知道是什么关系，一组数据只能通过实验获得的，如X = X1当y = Y，X = X2当y = Y2，... （X1，Y1），（X2，Y2），...的实验结果，可以绘制在直角坐标系中的点，积点两条曲线之间的关系。根据曲线的形状，可以选择一个函数，如果它是相似的一条直线，它是简单的，并且，如果它是弯曲的，如为y = a * X * X y是x的多项式函数，可以选择* X + B * X * X + C * X + D等，也可以是其他类型的函数的形式，然后用最小二乘法或其他拟合方法获得的系数a，B，C，D等，y和x之间的关系，进行曲线拟合的方法，可以通过以下方式获得，这个函数的拟合函数。由于实验误差，所选择的功能不一定是非常适合函数嵌合满分是一般难以精确地通过每一个点，但是从各点尽可能接近，从而示出的y和x的关系是近似的

用计算机可以得到比较精确的结果：利用二分法。设函数f(x)=5^sqr2-x 二分求零点

幂函数f(x)可以写成X的n次方的形式，此处的n是有理数，可以化成a/b(a,b是整数)；>>（分类讨论：）当n为负时，是为正时的倒数，与其具有同号，故只考虑n为正数时的情况，即（此时a,b皆为正）。又当a为偶数时，f(x)为正数，总在在x轴上方；当a为奇数时，b也为奇数时，只有在X的取值为负时才在x轴的下方，即此时在第三象限，亦不在第四象限；当a为奇数时，b为偶数，当X为负数时无意义（此时结果为复数，已经不能在x和y组成的实平面上表示）。。。（上面在列举几种比较典型的情况进行说明，无论X在正半轴上如何取值，其f(X)值总大于零，即其幂函数曲线总不过第四象限其余的分类情况比较简单，在此就不多说了哈。。）

处理如下看，如果认可以请采纳：

在图象中，做出直线 x=2，根据直线x=2和曲线交点的纵坐标的大小，可得曲线C 1 ，C 2 ，C 3 ，C 4 相 应的n依次为 2，1， 1 2 ，-1，故选A．

根据幂函数y=x n 的性质，在第一象限内的图象，当n＞0时，n越大，递增速度越快，故曲线c 1 的n=2，曲线c 2 的n= 1 2 ，当n＜0时，|n|越大，曲线越陡峭，所以曲线c 3 的n= - 1 2 ，曲线c 4 的-2，故依次填2， 1 2 ，- 1 2 ，-2．故选A．

用Excel，输入数据后，选定数据，然后点击“插入”，找到“散点图”，画出散点图，选中散点图的曲线（没趋势线的就选择点），右键，“添加趋势线”或“设置趋势线格式”，可以看见有不同的拟合可以选择。选中某个后，可以勾选“显示公式”以及“显示R的平方”，可以查看公式以及拟合程度。

质子数=原子序数=核电荷数=原子的核外电子数

营业利润率TTMOperatingMargin(OperatingProfitRatio)营业利润率是指企业的营业利润与营业收入的比率。它是衡量企业经营效率的指标，反映了在考虑营业成本的情况下，企业管理者通过经营获取利润的能力。营业利润率的计算公式营业利润率=（营业利润/营业收入）×100%营业利润率表明企业通过生产经营获得利润的能力，该比率越高表明企业的盈利能力越强。营业利润=营业收入-营业成本-税金及附加-销售费用-管理费用-财务费用-信用减值损失-资产减值损失+公允价值变动收益（-公允价值变动损失）+投资收益（-投资损失）+其他收益+资产处置收益（-资产处置损失）营业收入是指企业经营业务所确认的收入总额，包括主营业务收入和其他业务收入。营业成本是指企业经营业务所发生的实际成本总额，包括主营业务成本和其他业务成本。其他收益主要是指与企业日常活动相关，除冲减相关成本费用以外的政府补助。

在原子中，质子数等于的电子数等于核电荷数氢原子中质子数不等于中子数其中子数为0

分式的分子和分母同时除以一个不为零劰数

因式分解（factorization）因式分解是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．而在竞赛上，又有拆项和添项法，待定系数法，双十字相乘法，轮换对称法等．⑴提公因式法①公因式：各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的～. ②提公因式法：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法. am＋bm＋cm＝m（a+b+c） ③具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的. 如果多项式的第一项是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的. ⑵运用公式法 ①平方差公式：. a^2－b^2＝(a＋b)(a－b) ②完全平方公式： a^2±2ab＋b^2＝(a±b)^2 ※能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式,其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍. ③立方和公式：a^3+b^3＝ (a+b)(a^2-ab+b^2). 立方差公式：a^3-b^3＝ (a-b)(a^2+ab+b^2). ④完全立方公式： a^3±3a^2b＋3ab^2±b^3＝(a±b)^3 ⑤a^n-b^n=(a-b)[a^(n-1)+a^(n-2)b+……+b^(n-2)a+b^(n-1)]a^m+b^m=(a+b)[a^(m-1)-a^(m-2)b+……-b^(m-2)a+b^(m-1)](m为奇数)⑶分组分解法 分组分解法：把一个多项式分组后，再进行分解因式的方法. 分组分解法必须有明确目的，即分组后，可以直接提公因式或运用公式. ⑷拆项、补项法 拆项、补项法：把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解；要注意，必须在与原多项式相等的原则进行变形. ⑸十字相乘法 ①x^2＋（p q）x＋pq型的式子的因式分解 这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和.因此，可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解： x^2＋（p q）x＋pq＝（x＋p）（x＋q） ②kx^2＋mx＋n型的式子的因式分解 如果能够分解成k＝ac，n＝bd，且有ad＋bc＝m 时，那么 kx^2＋mx＋n＝（ax b）（cx d） a -----/b ac＝k bd＝n c /-----d ad＋bc＝m ※ 多项式因式分解的一般步骤： ①如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式； ②如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解； ③如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解； ④分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止. (6)应用因式定理：如果f（a）=0，则f（x）必含有因式（x-a）。如f（x）=x^2+5x+6，f（-2）=0，则可确定（x+2）是x^2+5x+6的一个因式。经典例题：1.分解因式(1+y)^2-2x^2(1+y^2)+x^4(1-y)^2解：原式=(1+y)^2+2(1+y)x^2(1+y)+x^4(1-y)^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2)=[(1+y)+x^2(1-y)]^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2)=[(1+y)+x^2(1-y)]^2-(2x)^2=[(1+y)+x^2(1-y)+2x]·[(1+y)+x^2(1-y)-2x]=(x^2-x^2y+2x+y+1)(x^2-x^2y-2x+y+1)=[(x+1)^2-y(x^2-1)][(x-1)^2-y(x^2-1)]=(x+1)(x+1-xy+y)(x-1)(x-1-xy-y)2.证明：对于任何数x,y，下式的值都不会为33x^5+3x^4y-5x^3y^2+4xy^4+12y^5解：原式=(x^5+3x^4y)-(5x^3y^2+15x^2y^3)+(4xy^4+12y^5)=x^4(x+3y)-5x^2y^2(x+3y)+4y^4(x+3y)=(x+3y)(x^4-5x^2y^2+4y^4)=(x+3y)(x^2-4y^2)(x^2-y^2)=(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y)当y=0时，原式=x^5不等于33；当y不等于0时，x+3y,x+y,x-y,x+2y,x-2y互不相同，而33不能分成四个以上不同因数的积，所以原命题成立因式分解的十二种方法 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。因式分解的方法多种多样，现总结如下： 1、 提公因法 如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。 例1、 分解因式x -2x -x(2003淮安市中考题) x -2x -x=x(x -2x-1) 2、 应用公式法 由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式。 例2、分解因式a +4ab+4b (2003南通市中考题) 解：a +4ab+4b =（a+2b） 3、 分组分解法 要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a，把它后两项分成一组，并提出公因式b，从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n，从而得到(a+b)(m+n) 例3、分解因式m +5n-mn-5m 解：m +5n-mn-5m= m -5m -mn+5n = (m -5m )+(-mn+5n) =m(m-5)-n(m-5) =(m-5)(m-n) 4、 十字相乘法 对于mx +px+q形式的多项式，如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p，则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c) 例4、分解因式7x -19x-6 分析： 1 -3 7 2 2-21=-19 解：7x -19x-6=（7x+2）(x-3) 5、配方法 对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解。 例5、分解因式x +3x-40 解x +3x-40=x +3x+( ) -( ) -40 =(x+ ) -( ) =(x+ + )(x+ - ) =(x+8)(x-5) 6、拆、添项法 可以把多项式拆成若干部分，再用进行因式分解。 例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b) 解：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b) =bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b) =c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a) =(c+b)(c-a)(a+b) 7、 换元法 有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来。 例7、分解因式2x -x -6x -x+2 解：2x -x -6x -x+2=2(x +1)-x(x +1)-6x =x [2(x + )-(x+ )-6 令y=x+ , x [2(x + )-(x+ )-6 = x [2(y -2)-y-6] = x (2y -y-10) =x (y+2)(2y-5) =x (x+ +2)(2x+ -5) = (x +2x+1) (2x -5x+2) =(x+1) (2x-1)(x-2) 8、 求根法 令多项式f(x)=0,求出其根为x ,x ,x ,……x ,则多项式可因式分解为f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x ) 例8、分解因式2x +7x -2x -13x+6 解：令f(x)=2x +7x -2x -13x+6=0 通过综合除法可知，f(x)=0根为 ，-3，-2，1 则2x +7x -2x -13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1) 9、 图像法 令y=f(x)，做出函数y=f(x)的图像，找到函数图像与X轴的交点x ,x ,x ,……x ，则多项式可因式分解为f(x)= f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x ) 例9、因式分解x +2x -5x-6 解：令y= x +2x -5x-6 作出其图像，见右图，与x轴交点为-3，-1，2 则x +2x -5x-6=(x+1)(x+3)(x-2) 10、 主元法 先选定一个字母为主元，然后把各项按这个字母次数从高到低排列，再进行因式分解。 例10、分解因式a (b-c)+b (c-a)+c (a-b) 分析：此题可选定a为主元，将其按次数从高到低排列 解：a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)=a (b-c)-a(b -c )+(b c-c b) =(b-c) [a -a(b+c)+bc] =(b-c)(a-b)(a-c) 11、 利用特殊值法 将2或10代入x，求出数P，将数P分解质因数，将质因数适当的组合，并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式，将2或10还原成x，即得因式分解式。 例11、分解因式x +9x +23x+15 解：令x=2，则x +9x +23x+15=8+36+46+15=105 将105分解成3个质因数的积，即105=3×5×7 注意到多项式中最高项的系数为1，而3、5、7分别为x+1，x+3，x+5，在x=2时的值 则x +9x +23x+15=（x+1）（x+3）（x+5） 12、待定系数法 首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多项式因式分解。 例12、分解因式x -x -5x -6x-4 分析：易知这个多项式没有一次因式，因而只能分解为两个二次因式。 解：设x -x -5x -6x-4=(x +ax+b)(x +cx+d) = x +(a+c)x +(ac+b+d)x +(ad+bc)x+bd 所以 解得 则x -x -5x -6x-4 =(x +x+1)(x -2x-4)初学因式分解的“四个注意”因式分解初见于九年义务教育三年制初中教材《代数》第二册，在初二上学期讲授，但它的内容却渗透于整个中学数学教材之中。学习它，既可以复习初一的整式四则运算，又为本册下一章分式打好基础；学好它，既可以培养学生的观察、注意、运算能力，又可以提高学生综合分析和解决问题的能力。其中四个注意，则必须引起师生的高度重视。 因式分解中的四个注意散见于教材第5页和第15页，可用四句话概括如下：首项有负常提负，各项有“公”先提“公”，某项提出莫漏1，括号里面分到“底”。现举数例，说明如下，供参考。 例1 把－a2－b2＋2ab＋4分解因式。 解：－a2－b2＋2ab＋4＝－（a2－2ab＋b2－4）＝－（a－b＋2）（a－b－2） 这里的“负”，指“负号”。如果多项式的第一项是负的，一般要提出负号，使括号内第一项系数是正的。防止学生出现诸如－9x2＋4y2＝（－3x）2－（2y）2＝（－3x＋2y）（－3x－2y）＝（3x－2y）（3x＋2y）的错误?�膊荒芗�汉啪拖取疤帷保��匀�饨�蟹治觯?/p> 如例2 △abc的三边a、b、c有如下关系式：－c2＋a2＋2ab－2bc＝0，求证这个三角形是等腰三角形。 分析：此题实质上是对关系式的等号左边的多项式进行因式分解。 证明：∵－c2＋a2＋2ab－2bc＝0，∴（a＋c）（a－c）＋2b（a－c）＝0，∴（a－c）（a＋2b＋c）＝0． 又∵a、b、c是△abc的三条边，∴a＋2b＋c＞0，∴a－c＝0， 即a＝c，△abc为等腰三角形。 例3把－12x2nyn＋18xn＋2yn＋1－6xnyn－1分解因式。解：－12x2nyn＋18xn＋2yn＋1－6xnyn－1＝－6xnyn－1（2xny－3x2y2＋1） 这里的“公”指“公因式”。如果多项式的各项含有公因式，那么先提取这个公因式，再进一步分解因式；这里的“1”，是指多项式的某个整项是公因式时，先提出这个公因式后，括号内切勿漏掉1。防止学生出现诸如6p（x－1）3－8p2（x－1）2＋2p（1－x）2＝2p（x－1）2〔3（x－1）－4p〕＝2p（x－1）2（3x－4p－3）的错误。 例4 在实数范围内把x4－5x2－6分解因式。 解：x4－5x2－6＝（x2＋1）（x2－6）＝（x2＋1）（x＋6）（x－6） 这里的“底”，指分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。即分解到底，不能半途而废的意思。其中包含提公因式要一次性提“干净”，不留“尾巴”，并使每一个括号内的多项式都不能再分解。防止学生出现诸如4x4y2－5x2y2－9y2＝y2（4x4－5x2－9）＝y2（x2＋1）（4x2－9）的错误。 由此看来，因式分解中的四个注意贯穿于因式分解的四种基本方法之中，与因式分解的四个步骤或说一般思考顺序的四句话：“先看有无公因式，再看能否套公式，十字相乘试一试，分组分解要合适”是一脉相承的。请采纳答案，支持我一下。

=质量数-中子数=电子数+带电荷数

定义：整式A除以整式B，可以表示成A/B的形式(B≠0）。如果除式B中含有字母，那么称为分式注:A÷B=A×1/BII.组成：在分式 中A称为分式的分子，B称为分式的分母。III.意义：对于任意一个分式，分母都不能为0，否则分式无意义。IV.分式值为0的条件：在分母不等于0的前提下，分子等于0,则分数值为0。注:分式的概念包括3个方面：①分式是两个整式相除的商式，其中分子为被除式，分母为除式，分数线起除号的作用；②分式的分母中必须含有字母，而分子中可以含有字母，也可以不含字母，这是区别整式的重要依据；③在任何情况下，分式的分母的值都不可以为0，否则分式无意义。这里，分母是指除式而言。而不是只就分母中某一个字母来说的。也就是说，分式的分母不为零是隐含在此分式中而无须注明的条件。希望对你有帮助学习进步O(∩_∩)O

因式分解是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．而在竞赛上，又有拆项和添项法，待定系数法，双十字相乘法，轮换对称法等． ⑴提公因式法 ①公因式：各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的～. ②提公因式法：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法. am＋bm＋cm＝m（a+b+c） ③具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的. 如果多项式的第一项是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的. ⑵运用公式法 ①平方差公式：. a^2－b^2＝(a＋b)(a－b) ②完全平方公式： a^2±2ab＋b^2＝(a±b)^2 ※能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式,其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍. ③立方和公式：a^3+b^3＝ (a+b)(a^2-ab+b^2). 立方差公式：a^3-b^3＝ (a-b)(a^2+ab+b^2). ④完全立方公式： a^3±3a^2b＋3ab^2±b^3＝(a±b)^3 ⑤a^n-b^n=(a-b)[a^(n-1)+a^(n-2)b+……+b^(n-2)a+b^(n-1)] a^m+b^m=(a+b)[a^(m-1)-a^(m-2)b+……-b^(m-2)a+b^(m-1)](m为奇数) ⑶分组分解法 分组分解法：把一个多项式分组后，再进行分解因式的方法. 分组分解法必须有明确目的，即分组后，可以直接提公因式或运用公式. ⑷拆项、补项法 拆项、补项法：把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解；要注意，必须在与原多项式相等的原则进行变形. ⑸十字相乘法 ①x^2＋（p q）x＋pq型的式子的因式分解 这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和.因此，可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解： x^2＋（p q）x＋pq＝（x＋p）（x＋q） ②kx^2＋mx＋n型的式子的因式分解 如果能够分解成k＝ac，n＝bd，且有ad＋bc＝m 时，那么 kx^2＋mx＋n＝（ax b）（cx d） a -----/b ac＝k bd＝n c /-----d ad＋bc＝m ※ 多项式因式分解的一般步骤： ①如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式； ②如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解； ③如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解； ④分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止. (6)应用因式定理：如果f（a）=0，则f（x）必含有因式（x-a）。如f（x）=x^2+5x+6，f（-2）=0，则可确定（x+2）是x^2+5x+6的一个因式。 经典例题： 1.分解因式(1+y)^2-2x^2(1+y^2)+x^4(1-y)^2 解：原式=(1+y)^2+2(1+y)x^2(1+y)+x^4(1-y)^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2) =[(1+y)+x^2(1-y)]^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2) =[(1+y)+x^2(1-y)]^2-(2x)^2 =[(1+y)+x^2(1-y)+2x]·[(1+y)+x^2(1-y)-2x] =(x^2-x^2y+2x+y+1)(x^2-x^2y-2x+y+1) =[(x+1)^2-y(x^2-1)][(x-1)^2-y(x^2-1)] =(x+1)(x+1-xy+y)(x-1)(x-1-xy-y) 2.证明：对于任何数x,y，下式的值都不会为33 x^5+3x^4y-5x^3y^2+4xy^4+12y^5 解：原式=(x^5+3x^4y)-(5x^3y^2+15x^2y^3)+(4xy^4+12y^5) =x^4(x+3y)-5x^2y^2(x+3y)+4y^4(x+3y) =(x+3y)(x^4-5x^2y^2+4y^4) =(x+3y)(x^2-4y^2)(x^2-y^2) =(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y) 当y=0时，原式=x^5不等于33；当y不等于0时，x+3y,x+y,x-y,x+2y,x-2y互不相同，而33不能分成四个以上不同因数的积，所以原命题成立 因式分解的十二种方法 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。因式分解的方法多种多样，现总结如下： 1、 提公因法 如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。 例1、 分解因式x -2x -x(2003淮安市中考题) x -2x -x=x(x -2x-1) 2、 应用公式法 由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式。 例2、分解因式a +4ab+4b (2003南通市中考题) 解：a +4ab+4b =（a+2b） 3、 分组分解法 要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a，把它后两项分成一组，并提出公因式b，从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n，从而得到(a+b)(m+n) 例3、分解因式m +5n-mn-5m 解：m +5n-mn-5m= m -5m -mn+5n = (m -5m )+(-mn+5n) =m(m-5)-n(m-5) =(m-5)(m-n) 4、 十字相乘法 对于mx +px+q形式的多项式，如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p，则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c) 例4、分解因式7x -19x-6 分析： 1 -3 7 2 2-21=-19 解：7x -19x-6=（7x+2）(x-3) 5、配方法 对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解。 例5、分解因式x +3x-40 解x +3x-40=x +3x+( ) -( ) -40 =(x+ ) -( ) =(x+ + )(x+ - ) =(x+8)(x-5) 6、拆、添项法 可以把多项式拆成若干部分，再用进行因式分解。 例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b) 解：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b) =bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b) =c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a) =(c+b)(c-a)(a+b) 7、 换元法 有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来。 例7、分解因式2x -x -6x -x+2 解：2x -x -6x -x+2=2(x +1)-x(x +1)-6x =x [2(x + )-(x+ )-6 令y=x+ , x [2(x + )-(x+ )-6 = x [2(y -2)-y-6] = x (2y -y-10) =x (y+2)(2y-5) =x (x+ +2)(2x+ -5) = (x +2x+1) (2x -5x+2) =(x+1) (2x-1)(x-2) 8、 求根法 令多项式f(x)=0,求出其根为x ,x ,x ,……x ,则多项式可因式分解为f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x ) 例8、分解因式2x +7x -2x -13x+6 解：令f(x)=2x +7x -2x -13x+6=0 通过综合除法可知，f(x)=0根为 ，-3，-2，1 则2x +7x -2x -13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1) 9、 图象法 令y=f(x)，做出函数y=f(x)的图象，找到函数图象与X轴的交点x ,x ,x ,……x ，则多项式可因式分解为f(x)= f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x ) 例9、因式分解x +2x -5x-6 解：令y= x +2x -5x-6 作出其图象，见右图，与x轴交点为-3，-1，2 则x +2x -5x-6=(x+1)(x+3)(x-2) 10、 主元法 先选定一个字母为主元，然后把各项按这个字母次数从高到低排列，再进行因式分解。 例10、分解因式a (b-c)+b (c-a)+c (a-b) 分析：此题可选定a为主元，将其按次数从高到低排列 解：a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)=a (b-c)-a(b -c )+(b c-c b) =(b-c) [a -a(b+c)+bc] =(b-c)(a-b)(a-c) 11、 利用特殊值法 将2或10代入x，求出数P，将数P分解质因数，将质因数适当的组合，并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式，将2或10还原成x，即得因式分解式。 例11、分解因式x +9x +23x+15 解：令x=2，则x +9x +23x+15=8+36+46+15=105 将105分解成3个质因数的积，即105=3×5×7 注意到多项式中最高项的系数为1，而3、5、7分别为x+1，x+3，x+5，在x=2时的值 则x +9x +23x+15=（x+1）（x+3）（x+5） 12、待定系数法 首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多项式因式分解。 例12、分解因式x -x -5x -6x-4 分析：易知这个多项式没有一次因式，因而只能分解为两个二次因式。 解：设x -x -5x -6x-4=(x +ax+b)(x +cx+d) = x +(a+c)x +(ac+b+d)x +(ad+bc)x+bd 所以 解得 则x -x -5x -6x-4 =(x +x+1)(x -2x-4)

肯字的部首是什么？音：kěn部首：月笔画数：8五笔：hef基本解释详细解释肯 kěn 许可，愿意：首肯（点头答应）。 骨头上附着的肉：肯綮（q塶g ）（筋骨结合的地方，喻重要的关键）。中（zh恘g ）肯（喻言论正中要害）。

“小于等于”的意思就是“不超过”或“不大于”。

1、质子数=核电荷数=核外电子数=原子序数；质子数+中子数≈相对原子质量。2、质子数决定原子核所带的电荷数(核电荷数)，因为原子中质子数=核电荷数。3、质子数决定元素的种类。4、质子数、中子数决定原子的相对原子质量；因为原子中质子数+中子数=原子的相对原子质量。

分数的基本性质是分子与分母都乘以或除以不为0的数，分数的值不变；分式的基本性质是分式的分子与分母都乘以或除以不为0的整式，分式的值不变。前者仅限于数，后者可以是数，也可以是其它整式。（-a)/(-b)=a/b (-a)/b=-a/b a/(-b)=-a/b[x(x-y)]/(xy)=(x-y)/y(x²-y²)/(x+y)=[(x+y)(x-y)]/(x+y)=x-y

分式的概念：形如 ，其中分母B中含有字母，分数是整式而不是分式. (1)分式无意义时，分母中的字母 的取值使分母为零，即当B=0时分式无意义. (2)求分式的值为零时，必须在分式有意义的前提下进行，分式的值为零要同时满足分母的值不为零及分子的值为零，这两个条件缺一不可. (3)分式有意义，就是分式里的分母的值不为零. 分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变，用式子表示是：AB= ，AB= .(其中M是不 等于零的整式) 分式中的A，B，M三个字母都表示整式，其中B必须含有字母，除A可等于零外，B，M都不能等于零.因为若B=0，分式无意义；若M=0，那么不论乘或除以分式的分母，都将使分式无意义. 分式的约分和通分[来源:学科网ZXXK] (1)约分的概念：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分． (2)分式约分的依据：分式的基本性质． (3)分式约分的方法：把分式的分子与分母分解因式，然后约去分子与分母的公因式． (4)最简分式的概念：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式． 3、分式的运算 1.分式加减法法则 （1）通分：把异分母的分式化为同分母分式的过程，叫做通分[来源:学。科。网Z。X。X。K] （2）同分母分式的加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，分子相加减． （3）异分母分式的加减法法则：异分母的分式相加减，先通分．变为同分母分式后再加减． 2．分式的化简[来源:学。科。网Z。X。X。K] 分式的化简与分式的运算相同，化简的依据、过程和方法都与运算一样，分式的化简题，大多是分式的加、减、乘、除、乘方的混合题，化简的结果保留最简分式或整式． 3.分式的四则混合运算 分式的四则混合运算运算顺序与分数的四则运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减，有括号要先算括号内的．有些题目先运用乘法分配律，再计算更简便些． 4、分式 方程 分式方程是方程中的一种，且分母里含有字母的方程叫做分式方程。 分式方程的解法 ①去分母{方程两边同时乘以最简公分母(最简公分母:①最小公倍数②相同字母的最高次幂③只在一个分母中含有的照写）,将分式方程化为整式方程;若遇到互为相反数时.不要忘了改变符号};②按解整式方程的步骤（移项，若有括号应去括号,注意变号,合并同类项，系数化为1）求出未知数的值;③验根(求出未知数的值后必须验根,因为在把分式方程化为整式方程的过程中,扩大了未知数的取值范围,可能产生增根). 验根时把整式方程的根代入最简公分母，如果最简公分母等于0，这个根就是增根。否则这个根就是原分式方程的根。若解出的根是增根，则原方程无解。 解分式方程 的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边同乘最简公分母，这也是解分式方程的一般思路和做法。 分式方程的应用 列分式方程与列整式方程解应用题一样，应仔细审题，找出反映应用题中所有数量关系的等式，恰当地设出未知数，列出方程． 与整式方程不同的是求得方程的解后，应进行两次检验，一是检验是否是增根，二是检验是否符合题意．

因式分解（factorization）因式分解是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．而在竞赛上，又有拆项和添项法，待定系数法，双十字相乘法，轮换对称法等．⑴提公因式法①公因式：各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的～. ②提公因式法：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法. am＋bm＋cm＝m（a+b+c） ③具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的. 如果多项式的第一项是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的. ⑵运用公式法 ①平方差公式：. a^2－b^2＝(a＋b)(a－b) ②完全平方公式： a^2±2ab＋b^2＝(a±b)^2 ※能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式,其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍. ③立方和公式：a^3+b^3＝ (a+b)(a^2-ab+b^2). 立方差公式：a^3-b^3＝ (a-b)(a^2+ab+b^2). ④完全立方公式： a^3±3a^2b＋3ab^2±b^3＝(a±b)^3 ⑤a^n-b^n=(a-b)[a^(n-1)+a^(n-2)b+……+b^(n-2)a+b^(n-1)]a^m+b^m=(a+b)[a^(m-1)-a^(m-2)b+……-b^(m-2)a+b^(m-1)](m为奇数)⑶分组分解法 分组分解法：把一个多项式分组后，再进行分解因式的方法. 分组分解法必须有明确目的，即分组后，可以直接提公因式或运用公式. ⑷拆项、补项法 拆项、补项法：把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解；要注意，必须在与原多项式相等的原则进行变形. ⑸十字相乘法 ①x^2＋（p q）x＋pq型的式子的因式分解 这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和.因此，可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解： x^2＋（p q）x＋pq＝（x＋p）（x＋q） ②kx^2＋mx＋n型的式子的因式分解 如果能够分解成k＝ac，n＝bd，且有ad＋bc＝m 时，那么 kx^2＋mx＋n＝（ax b）（cx d） a -----/b ac＝k bd＝n c /-----d ad＋bc＝m ※ 多项式因式分解的一般步骤： ①如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式； ②如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解； ③如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解； ④分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止. (6)应用因式定理：如果f（a）=0，则f（x）必含有因式（x-a）。如f（x）=x^2+5x+6，f（-2）=0，则可确定（x+2）是x^2+5x+6的一个因式。经典例题：1.分解因式(1+y)^2-2x^2(1+y^2)+x^4(1-y)^2解：原式=(1+y)^2+2(1+y)x^2(1+y)+x^4(1-y)^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2)=[(1+y)+x^2(1-y)]^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2)=[(1+y)+x^2(1-y)]^2-(2x)^2=[(1+y)+x^2(1-y)+2x]·[(1+y)+x^2(1-y)-2x]=(x^2-x^2y+2x+y+1)(x^2-x^2y-2x+y+1)=[(x+1)^2-y(x^2-1)][(x-1)^2-y(x^2-1)]=(x+1)(x+1-xy+y)(x-1)(x-1-xy-y)2.证明：对于任何数x,y，下式的值都不会为33x^5+3x^4y-5x^3y^2+4xy^4+12y^5解：原式=(x^5+3x^4y)-(5x^3y^2+15x^2y^3)+(4xy^4+12y^5)=x^4(x+3y)-5x^2y^2(x+3y)+4y^4(x+3y)=(x+3y)(x^4-5x^2y^2+4y^4)=(x+3y)(x^2-4y^2)(x^2-y^2)=(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y)当y=0时，原式=x^5不等于33；当y不等于0时，x+3y,x+y,x-y,x+2y,x-2y互不相同，而33不能分成四个以上不同因数的积，所以原命题成立因式分解的十二种方法 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。因式分解的方法多种多样，现总结如下： 1、 提公因法 如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。 例1、 分解因式x -2x -x(2003淮安市中考题) x -2x -x=x(x -2x-1) 2、 应用公式法 由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式。 例2、分解因式a +4ab+4b (2003南通市中考题) 解：a +4ab+4b =（a+2b） 3、 分组分解法 要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a，把它后两项分成一组，并提出公因式b，从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n，从而得到(a+b)(m+n) 例3、分解因式m +5n-mn-5m 解：m +5n-mn-5m= m -5m -mn+5n = (m -5m )+(-mn+5n) =m(m-5)-n(m-5) =(m-5)(m-n) 4、 十字相乘法 对于mx +px+q形式的多项式，如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p，则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c) 例4、分解因式7x -19x-6 分析： 1 -3 7 2 2-21=-19 解：7x -19x-6=（7x+2）(x-3) 5、配方法 对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解。 例5、分解因式x +3x-40 解x +3x-40=x +3x+( ) -( ) -40 =(x+ ) -( ) =(x+ + )(x+ - ) =(x+8)(x-5) 6、拆、添项法 可以把多项式拆成若干部分，再用进行因式分解。 例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b) 解：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b) =bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b) =c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a) =(c+b)(c-a)(a+b) 7、 换元法 有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来。 例7、分解因式2x -x -6x -x+2 解：2x -x -6x -x+2=2(x +1)-x(x +1)-6x =x [2(x + )-(x+ )-6 令y=x+ , x [2(x + )-(x+ )-6 = x [2(y -2)-y-6] = x (2y -y-10) =x (y+2)(2y-5) =x (x+ +2)(2x+ -5) = (x +2x+1) (2x -5x+2) =(x+1) (2x-1)(x-2) 8、 求根法 令多项式f(x)=0,求出其根为x ,x ,x ,……x ,则多项式可因式分解为f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x ) 例8、分解因式2x +7x -2x -13x+6 解：令f(x)=2x +7x -2x -13x+6=0 通过综合除法可知，f(x)=0根为 ，-3，-2，1 则2x +7x -2x -13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1) 9、 图像法 令y=f(x)，做出函数y=f(x)的图像，找到函数图像与X轴的交点x ,x ,x ,……x ，则多项式可因式分解为f(x)= f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x ) 例9、因式分解x +2x -5x-6 解：令y= x +2x -5x-6 作出其图像，见右图，与x轴交点为-3，-1，2 则x +2x -5x-6=(x+1)(x+3)(x-2) 10、 主元法 先选定一个字母为主元，然后把各项按这个字母次数从高到低排列，再进行因式分解。 例10、分解因式a (b-c)+b (c-a)+c (a-b) 分析：此题可选定a为主元，将其按次数从高到低排列 解：a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)=a (b-c)-a(b -c )+(b c-c b) =(b-c) [a -a(b+c)+bc] =(b-c)(a-b)(a-c) 11、 利用特殊值法 将2或10代入x，求出数P，将数P分解质因数，将质因数适当的组合，并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式，将2或10还原成x，即得因式分解式。 例11、分解因式x +9x +23x+15 解：令x=2，则x +9x +23x+15=8+36+46+15=105 将105分解成3个质因数的积，即105=3×5×7 注意到多项式中最高项的系数为1，而3、5、7分别为x+1，x+3，x+5，在x=2时的值 则x +9x +23x+15=（x+1）（x+3）（x+5） 12、待定系数法 首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多项式因式分解。 例12、分解因式x -x -5x -6x-4 分析：易知这个多项式没有一次因式，因而只能分解为两个二次因式。 解：设x -x -5x -6x-4=(x +ax+b)(x +cx+d) = x +(a+c)x +(ac+b+d)x +(ad+bc)x+bd 所以 解得 则x -x -5x -6x-4 =(x +x+1)(x -2x-4)初学因式分解的“四个注意”因式分解初见于九年义务教育三年制初中教材《代数》第二册，在初二上学期讲授，但它的内容却渗透于整个中学数学教材之中。学习它，既可以复习初一的整式四则运算，又为本册下一章分式打好基础；学好它，既可以培养学生的观察、注意、运算能力，又可以提高学生综合分析和解决问题的能力。其中四个注意，则必须引起师生的高度重视。 因式分解中的四个注意散见于教材第5页和第15页，可用四句话概括如下：首项有负常提负，各项有“公”先提“公”，某项提出莫漏1，括号里面分到“底”。现举数例，说明如下，供参考。 例1 把－a2－b2＋2ab＋4分解因式。 解：－a2－b2＋2ab＋4＝－（a2－2ab＋b2－4）＝－（a－b＋2）（a－b－2） 这里的“负”，指“负号”。如果多项式的第一项是负的，一般要提出负号，使括号内第一项系数是正的。防止学生出现诸如－9x2＋4y2＝（－3x）2－（2y）2＝（－3x＋2y）（－3x－2y）＝（3x－2y）（3x＋2y）的错误?�膊荒芗�汉啪拖取疤帷保��匀�饨�蟹治觯?/p> 如例2 △abc的三边a、b、c有如下关系式：－c2＋a2＋2ab－2bc＝0，求证这个三角形是等腰三角形。 分析：此题实质上是对关系式的等号左边的多项式进行因式分解。 证明：∵－c2＋a2＋2ab－2bc＝0，∴（a＋c）（a－c）＋2b（a－c）＝0，∴（a－c）（a＋2b＋c）＝0． 又∵a、b、c是△abc的三条边，∴a＋2b＋c＞0，∴a－c＝0， 即a＝c，△abc为等腰三角形。 例3把－12x2nyn＋18xn＋2yn＋1－6xnyn－1分解因式。解：－12x2nyn＋18xn＋2yn＋1－6xnyn－1＝－6xnyn－1（2xny－3x2y2＋1） 这里的“公”指“公因式”。如果多项式的各项含有公因式，那么先提取这个公因式，再进一步分解因式；这里的“1”，是指多项式的某个整项是公因式时，先提出这个公因式后，括号内切勿漏掉1。防止学生出现诸如6p（x－1）3－8p2（x－1）2＋2p（1－x）2＝2p（x－1）2〔3（x－1）－4p〕＝2p（x－1）2（3x－4p－3）的错误。 例4 在实数范围内把x4－5x2－6分解因式。 解：x4－5x2－6＝（x2＋1）（x2－6）＝（x2＋1）（x＋6）（x－6） 这里的“底”，指分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。即分解到底，不能半途而废的意思。其中包含提公因式要一次性提“干净”，不留“尾巴”，并使每一个括号内的多项式都不能再分解。防止学生出现诸如4x4y2－5x2y2－9y2＝y2（4x4－5x2－9）＝y2（x2＋1）（4x2－9）的错误。 由此看来，因式分解中的四个注意贯穿于因式分解的四种基本方法之中，与因式分解的四个步骤或说一般思考顺序的四句话：“先看有无公因式，再看能否套公式，十字相乘试一试，分组分解要合适”是一脉相承的。

质子数=核外电子数=核电荷数=质量数-中子数=原子序数

1，(x^2-9)/(9-6x+x^2)=[(x-3)(x+3)]/(x-3)^2=(x+3)/(x-3)2，a分之b=2分之3，a分之a+b=1+a分之b=2又2分之1 3a+b分之a-2b=(1-2b/a)/(3+b/a)=(1-3)/(3+3/2)=-4/93，因2a-3b=0,得b/a=2/3,所以(2a+b)/(a-b)=(2+b/a)/(1-b/a)=84，（1）因|x-y+1|>=0,(2x-3)^2>=0,由题设条件得出x-y+1=0,2x-3=0,可解出x=3/2,y=5/2,所以1/(4x-2y)=1（2）a^2+2a+b^2-6b+10=(a^2+2a+1)+(b^2-6b+9)=(a+1)^2+(b-3)^2,由题设条件得出a+1=0,b-3=0,可解出a=-1,b=3,所以（2a-b)/(3a+5b)=-5/125，（1）(m^2-3m)/(9-m^2)=m(m-3)/[(3-m)(3+m)]=-m/(m+3)（2）(4a^2b-8ab^2)/(2b-a)=4ab(a-2b)/(2b-a)=-4ab（3）(m^2-4m+4)/(4-m^2)=(m-2)^2/[(2-m)(2+m)]=(2-m)/(2+m)

因式分解 因式分解（factorization） 因式分解是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．而在竞赛上，又有拆项和添项法，待定系数法，双十字相乘法，轮换对称法等． ⑴提公因式法 ①公因式：各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的～. ②提公因式法：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法. am＋bm＋cm＝m（a+b+c） ③具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的. 如果多项式的第一项是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的. ⑵运用公式法 ①平方差公式：. a^2－b^2＝(a＋b)(a－b) ②完全平方公式： a^2±2ab＋b^2＝(a±b)^2 ※能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式,其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍. ③立方和公式：a^3+b^3＝ (a+b)(a^2-ab+b^2). 立方差公式：a^3-b^3＝ (a-b)(a^2+ab+b^2). ④完全立方公式： a^3±3a^2b＋3ab^2±b^3＝(a±b)^3 ⑤a^n-b^n=(a-b)[a^(n-1)+a^(n-2)b+……+b^(n-2)a+b^(n-1)] a^m+b^m=(a+b)[a^(m-1)-a^(m-2)b+……-b^(m-2)a+b^(m-1)](m为奇数) ⑶分组分解法 分组分解法：把一个多项式分组后，再进行分解因式的方法. 分组分解法必须有明确目的，即分组后，可以直接提公因式或运用公式. ⑷拆项、补项法 拆项、补项法：把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解；要注意，必须在与原多项式相等的原则进行变形. ⑸十字相乘法 ①x^2＋（p q）x＋pq型的式子的因式分解 这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和.因此，可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解： x^2＋（p q）x＋pq＝（x＋p）（x＋q） ②kx^2＋mx＋n型的式子的因式分解 如果能够分解成k＝ac，n＝bd，且有ad＋bc＝m 时，那么 kx^2＋mx＋n＝（ax b）（cx d） a -----/b ac＝k bd＝n c /-----d ad＋bc＝m ※ 多项式因式分解的一般步骤： ①如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式； ②如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解； ③如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解； ④分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止. (6)应用因式定理：如果f（a）=0，则f（x）必含有因式（x-a）。如f（x）=x^2+5x+6，f（-2）=0，则可确定（x+2）是x^2+5x+6的一个因式。 经典例题： 1.分解因式(1+y)^2-2x^2(1+y^2)+x^4(1-y)^2 解：原式=(1+y)^2+2(1+y)x^2(1+y)+x^4(1-y)^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2) =[(1+y)+x^2(1-y)]^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2) =[(1+y)+x^2(1-y)]^2-(2x)^2 =[(1+y)+x^2(1-y)+2x]·[(1+y)+x^2(1-y)-2x] =(x^2-x^2y+2x+y+1)(x^2-x^2y-2x+y+1) =[(x+1)^2-y(x^2-1)][(x-1)^2-y(x^2-1)] =(x+1)(x+1-xy+y)(x-1)(x-1-xy-y) 2.证明：对于任何数x,y，下式的值都不会为33 x^5+3x^4y-5x^3y^2+4xy^4+12y^5 解：原式=(x^5+3x^4y)-(5x^3y^2+15x^2y^3)+(4xy^4+12y^5) =x^4(x+3y)-5x^2y^2(x+3y)+4y^4(x+3y) =(x+3y)(x^4-5x^2y^2+4y^4) =(x+3y)(x^2-4y^2)(x^2-y^2) =(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y) 当y=0时，原式=x^5不等于33；当y不等于0时，x+3y,x+y,x-y,x+2y,x-2y互不相同，而33不能分成四个以上不同因数的积，所以原命题成立 因式分解的十二种方法 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。因式分解的方法多种多样，现总结如下： 1、 提公因法 如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。 例1、 分解因式x -2x -x(2003淮安市中考题) x -2x -x=x(x -2x-1) 2、 应用公式法 由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式。 例2、分解因式a +4ab+4b (2003南通市中考题) 解：a +4ab+4b =（a+2b） 3、 分组分解法 要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a，把它后两项分成一组，并提出公因式b，从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n，从而得到(a+b)(m+n) 例3、分解因式m +5n-mn-5m 解：m +5n-mn-5m= m -5m -mn+5n = (m -5m )+(-mn+5n) =m(m-5)-n(m-5) =(m-5)(m-n) 4、 十字相乘法 对于mx +px+q形式的多项式，如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p，则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c) 例4、分解因式7x -19x-6 分析： 1 -3 7 2 2-21=-19 解：7x -19x-6=（7x+2）(x-3) 5、配方法 对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解。 例5、分解因式x +3x-40 解x +3x-40=x +3x+( ) -( ) -40 =(x+ ) -( ) =(x+ + )(x+ - ) =(x+8)(x-5) 6、拆、添项法 可以把多项式拆成若干部分，再用进行因式分解。 例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b) 解：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b) =bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b) =c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a) =(c+b)(c-a)(a+b) 7、 换元法 有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来。 例7、分解因式2x -x -6x -x+2 解：2x -x -6x -x+2=2(x +1)-x(x +1)-6x =x [2(x + )-(x+ )-6 令y=x+ , x [2(x + )-(x+ )-6 = x [2(y -2)-y-6] = x (2y -y-10) =x (y+2)(2y-5) =x (x+ +2)(2x+ -5) = (x +2x+1) (2x -5x+2) =(x+1) (2x-1)(x-2) 8、 求根法 令多项式f(x)=0,求出其根为x ,x ,x ,……x ,则多项式可因式分解为f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x ) 例8、分解因式2x +7x -2x -13x+6 解：令f(x)=2x +7x -2x -13x+6=0 通过综合除法可知，f(x)=0根为 ，-3，-2，1 则2x +7x -2x -13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1) 9、 图象法 令y=f(x)，做出函数y=f(x)的图象，找到函数图象与X轴的交点x ,x ,x ,……x ，则多项式可因式分解为f(x)= f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x ) 例9、因式分解x +2x -5x-6 解：令y= x +2x -5x-6 作出其图象，见右图，与x轴交点为-3，-1，2 则x +2x -5x-6=(x+1)(x+3)(x-2) 10、 主元法 先选定一个字母为主元，然后把各项按这个字母次数从高到低排列，再进行因式分解。 例10、分解因式a (b-c)+b (c-a)+c (a-b) 分析：此题可选定a为主元，将其按次数从高到低排列 解：a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)=a (b-c)-a(b -c )+(b c-c b) =(b-c) [a -a(b+c)+bc] =(b-c)(a-b)(a-c) 11、 利用特殊值法 将2或10代入x，求出数P，将数P分解质因数，将质因数适当的组合，并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式，将2或10还原成x，即得因式分解式。 例11、分解因式x +9x +23x+15 解：令x=2，则x +9x +23x+15=8+36+46+15=105 将105分解成3个质因数的积，即105=3×5×7 注意到多项式中最高项的系数为1，而3、5、7分别为x+1，x+3，x+5，在x=2时的值 则x +9x +23x+15=（x+1）（x+3）（x+5） 12、待定系数法 首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多项式因式分解。 例12、分解因式x -x -5x -6x-4 分析：易知这个多项式没有一次因式，因而只能分解为两个二次因式。 解：设x -x -5x -6x-4=(x +ax+b)(x +cx+d) = x +(a+c)x +(ac+b+d)x +(ad+bc)x+bd 所以 解得 则x -x -5x -6x-4 =(x +x+1)(x -2x-4)