初二数学因式分解技巧

一元二次方程的提取公因式法例1：3x^2+7x=0 解：x(3x+7)=0 x1=0，x2=-7/3。例2：(x+8)+2x^2+16x=0 解：(x+8)+2x(x+8)=0 (x+8)(1+2x)=0 x1=-8，x2=-1/2。

先找系数的最大公因数，再找出几个项里共有的字母和次数，提出来再将每一项除以提出来的项，括起来总体来说记住整式乘法的运算规律法则并熟练掌握没多大问题，就是逆运算嘛！ 另外……加油哦！！！

短除法最常用。含十字相乘法。

具体方法： 当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的。 如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数。 提出“-”号时，多项式的各项都要变号。 例题： 3x+6+x+y+xy+1 =3（x+2）+（x+xy）+（y+1） =3(x+2)+x（1+y）+（y+1） =3(x+2)+（x+1）（y+1） 可见提公因式法也是需要一定的技巧。 再看一道例题：（x-y）^2+y-x =(y-x)^2+(y-x) =(y-x+1)(y-x) 注意：如果多项式的第一项是负的，一般要提出负号，使括号内第一项系数是正的。防止学生出现诸如－9x2+4y2=（－3x）2－（2y）2=（－3x+2y）（－3x－2y）=（3x－2y）（3x+2y）的错误。 口诀： 找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶。

分数除法一般化为分数乘法进行。　　解题步骤：　　1、第一步去括号，没有括号转入第二步。　　2、第二步是乘以最简公分母，目的就是设置相同的分母，化简分子，最后化简分数。3、第三步是移向合并。　4、计算出结果。　　分数乘法的的解题方法：　　一、提取公因式法。把相同部分提出来，再进行计算。　　二、计算中能引入等差数列和等比数列的用公式计算。　　三、凑整数法，把99、999、9999或101、1001、10001等化成整数进行加减。还有就是将式中前后两个数字位置对调，把具有相同性质的某些数字放在一起进行简便计算。　　四、拆分分数法，将两个相乘的分数拆成两个分数相减。或前面都乘以一个相同的公因数，后面两个分数相减。　　五、设定未知数，把出现频率高的，复杂的组合内容设定为未知数，化解后代入计算。　　分数方程的解法：　　第一步一般是去括号了，如果没有括号转入第二步；第二步是去分母，目的就是约去分母，即方程两边同乘最简公分母，第三步是移向合并；第四步是得出结果；第五步是验算，分数代入是不是方程的根，有没有使分母为0的增根。这是解分式方程的一般思路和方法。　　如：题1、x/(x+1)=2x/(3x+3)+1　　两边乘3(x+1)3x=2x+(3x+3)3x=5x+3；2x=-3；x=-3/2。　　分式方程要检验经检验，x=-3/2是方程的解　　题2：2/（x-1）=4/（x^2-1）　　两边同乘以（x^2-1）　　(x+1)(x-1)×2×(x+1)=4；2x+2=4；2x=2；x=1　　检验把x=1带入原方程，使分母为0，是增根。　　所以原方程2/x-1=4/x^2-1无解。　　传点例题给你，不过是分数乘法的。

pa+pb+pc的各项都有一个公共因式p，我们把因式p叫做这个多项式的公因式。除法可以提取公因式，分别对分子分母进行化简、提出公因式等步骤，如分子分母有公因式，约去到最简即为多项式除法的结果。 例题 3x+6+x+y+xy+1 =3（x+2）+（x+xy）+（y+1） =3（x+2）+x（1+y）+（y+1） =3（x+2）+x（1+y）+（1+y） =3（x+2）+（x+1）（y+1） 提公因式法 由p（a+b+c）=pa+pb+pc可得： pa+pb+pc=p（a+b+c）这样就把pa+pb+pc分解成两个因式乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式p，另一个因式（a+b+c）是pa+pb+pc除以p所得的商。 一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。

=(1+x)（1+x+x(1+x)+x(1+x)^2+……+x(1+x)^2006) =(1+x)（1+x)(1+x+x(1+x)+x(1+x)^2……+x(1+x)^2005) =(1+x)（1+x)(1+x)(1+x+x(1+x)+x(1+x)^2……+x(1+x)^2004) ………… ………… =(1+x)^2008

1、2（x+y）^2-4(x+y)=2(x+y)²-2(x+y)*2=2(x+y)*(x+y-2)2、1/2(x-2y)-(2y-x)^2=1/2(x-2y)-(x-2y)²=1/2(x-2y)[1-2(x-2y)]=1/2(x-2y)(-2x+4y+1)=-1/2(x-2y)(2x-4y-1)3、(2a+b)(a-2b)-(2b-a)(2a+3b)=(2a+b)(a-2b)+(a-2b)(2a+3b)=(a-2b)(2a+b+2a+3b)=(a-2b)(4a+4b)=4(a-2b)(a+b)4、-3a^2(x-2y)^3+12a(2y-x)^4=-3a²(x-2y)³+12a(x-2y)^4=-3a(x-2y)³[a-4(x-2y)]=-3a(x-2y)³(a-4x+8y)5、24a^2b^3c(x+y-z)-18a^3bc^2(z-y-x)-36abc(x-z+y)=24a²b³c(x+y-z)+18a³bc²(x+y-z)-36abc(x+y-x)=6abc(x+y-z)(4ab²+3a²c-6)6、3a^n(1-a)-2(a^n-a^n+1)(n是整数)=3a^n*(1-a)-2a^n+2a^(n+1)=a^n*[3(1-a)-2+2a]=a^n*(3-3a-2+2a)=a^n*(-a+1)=-a^n*(a-1)7、(a-b)^m-(b-a)^m+1(m是整数)①m为偶数,则m+1为奇数原式=(a-b)^m+(a-b)^(m+1)=(a-b)^m*(1+a-b)②m为奇数,则m+1为偶数原式=(a-b)^m-(a-b)^(m+1)=(a-b)^m*(1-a+b)8、（x-y）(2p-q)-2(y-x)(2q-p)=(x-y)(2p-q)+2(x-y)(2q-p)=(x-y)*[(2p-q)+2(2q-p)]=(x-y)(2p-q+4q-2p)=(x-y)(3q)=3q(x-y)

1、2x³+4x²+8x=2x(x²+2x+4)=2x(x+2)²2、-12x³+4x²-8x=-4x(3x²-x-2)=-4x(3x+2)(x-1)3、2x³y+4x²y+8xy=2xy(x²+2x+4)=2xy(x+2)²4、4kx-8ky=4k(x-2y)5、a²b-2ab²+ab=ab(a-b+1)6、3x+6=3(x+2)7、7x²-21x=7x(x-3)8、8a³b²-12ab³+4ab²c=4ab²(2a²-3b+c)9、-24x³-12x²+28x=-4x(6x²+3x-7)

因式分解》例题精讲与同步练习 　　本周的内容：因式分解 　　一、 本节的重点是因式分解，包括因式分解的意义和把多项式的三种基本方法；难点是因式分解的方法的灵活运用 　　1. 提公因式法的关键是确定公因式。即①取各项系数的最大公约数②字母取各项的相同的字母③各字母的指数取次数最低的。 　　2. 运用公式法时要注意判断是否符合公式要求，并牢记公式的特征。 　　3. 分组分解的关键是适当分组，先使分组后各组中能分解因式，再使因式分解能在各组之间进行。 　　4. 分解因式时应当先考虑提公因式，然后判断是否可以套用公式，最后考虑分组分解。 　　5. 分解因式时要灵活运用各种方法，并且要把每一个多项式因式分解到不能再分解为止。　　二、 表解知识要点： 　　运算 公式或法则 注意事项 　　提公因式  要把多项式中的公因式全部提取出来，俗称：提尽公因式 　　用公式 a2－b2=（a+b）（a－b） 　　a2±2ab－b2=（a±b）2 注意完全平方公式中间的符号 　　分组分解      分组的目的是要能提公因式或运用公式　　三、 例题分析 　　例1  下列从左到右的变形，属于因式分解的有（    ） 　　A、（x+3）(x－2)=x2+x－6   B、ax－ay－1=a（x－y）－1 　　C、8a2b3=2a2·4b3     D、x2－4=（x+2）（x－2） 　　分析：本题考查因式分解的意义，考查学生对概念的辨析能力。要将各个选择项对照因式分解的定义进行审查。A是整式乘法，显然不是因式分解；B的右端不是积的形式，也不是因式分解；C的左端是一个单项式，显然不是因式分解；D是将一个多项式化成两个整式的积，符合因式分解的定义。所以选D。 　　例2 把3ay－3by+3y分解因式 　　解：原式=3y（a－b+1） 　　例3 把－4a3b2+6a2b－2ab分解因式 　　解：原式= －（4a3b2－6a2b+2ab） 　　= －（2ab·2a2b－2ab·3a+2ab·1）        这一步要记得变号 　　= －2ab（2a2b－3a+1）                这一步不要漏提最后的1 　　例4 把－2p2（p2+q2）+6pq（p2+q2）分解因式 　　解：原式=－2p（p2+q2）（p－3q）               这里很容易漏掉p 　　例5 把5（x－y）2－10（y－x）3分解因式 　　解：原式=5（x－y）2+10（x－y）3    公式（x－y）n= －（y－x）n（n为奇数） 　　（x－y）n=   （y－x）n（n为偶数） 　　=5（x－y）2[1+2（x－y）]    因式分解要彻底，最后的答案要化简 　　=5（x－y）2（1+2x－2y） 　　例6 把下列各式分解因式： 　　（1）4x2－9； （2）x－xy2  （3）x4－1  （4）－ n2+2m2 　　解：（1）原式=（2x）2－32=（2x+3）（2x－3） 　　（2）原式=x（1－y2）                      要先提公因式 　　=x（1+y）（1－y）                 然后再用公式　　（3）原式=（x2+1）（x2－1）                 分解一定要彻底 　　=（x2+1）（x+1）（x－1）            所以……　　（4）原式=－ （n2－4m2）       提出－ 后出现符合平方差公式的式子 　　= － （n+2m）（n－2m） 　　例7 把下列各式因式分解： 　　（1）－x2+4x－4 （2）（a+b）2+2（a+b）+1 （3）（x2+y2）2－4x2y2 　　解：（1）原式= －（x2－4x+4）=－（x－2）2 　　（2）原式= （a+b+1）2 　　（3）原式= （x2+y2+2xy）（x2+y2－2xy）            先用平方差公式 　　=  （x+y）2（x－y）2                   再用完全平方公式 　　例8 分解因式：7x2－3y+xy－21x 　　解法1：7x2－3y+xy－21x    解法2：7x2－3y+xy－21x 　　=（7x2+xy）+（－3y－21x）   =（7x2－21x）+（xy－3y） 　　= x（7x+y）－3（7x+y）    =7x（x－3）+y（x－3） 　　= （7x+y）（x－3）     =（x－3）（7x+y） 总结：分组的方法不是唯一的，但也并不是任意的，分组时要目标明确，首先应当使分组后每组都可以分解因式，其次每组分解因式后各组合在一起又可以分解因式。 　　例9 把下列各式分解因式： 　　（1）1－x2+4xy－4y2  （2）x2－4xy+4y2－3x+6y 　　解：（1）原式=1－（x2+4xy－4y2） 　　=1－（x－2y）2 　　=（1+x－2y）（1－x+2y） 　　（2）原式=（x2－4xy+4y2）+（－3x+6y）  分成两组后一组用完全平方公式 　　=（x－2y）2－3（x－2y）        另一组可提公因式 　　=（x－2y）（x－2y－3） 　　例10 （思维训练）分解因式：x2－2xy+y2－2x+2y+1 　　解：原式=（x2－2xy+y2）+（－2x+2y）+1          分成三组 　　=（x－y）2－2（x－y）+1                形成完全平方式的形式 　　=（x－y－1）2

一个多项式，对于每一项的系数部分，我们找到他们的最大公因数；对于每一项中的相同字母部分，我们找它们的最低次数。比如：3x³y²z+12xy³+6xy²z系数部分：最大公因式为3，字母x：最低次为1,即可以提一个x，字母y：最低次为2，即可以提出y²，字母z：第二项没有z，最低次为0，所以在这三项中不能提取z。结合起来就是提取 3xy², 即3x³y²z+12xy³+6xy²z=3xy²（x²yz+4y+2z）.

1.(x-2y)^2-(x-2y)^3=(x-2y)^2(1-x+2y)8.x^2+2x=3, 2ax^2+4ax+12=0 2a(x^2+2x)+12=0 2a*3+12=0 a=-12/6=-2

提取公因式法的一般步骤： （1）确定应提取的公因式； （2）多项式除以公因式，所得的商作为另一个因式； （3）把多项式写成这两个因式的积的形式. 例1 把下列各式分解因式： (1)2x3+6x2 (2)3pq3+15p3q (3)－4x2+8ax+2x (4)－3ab+6abx－9aby. 解： （1）公因式是2x2，∴原式=2x2(x+3) （2）公因式是3pq，∴原式=3pq(q2+5p2) （3）公因式是－2x，∴原式=－2x(2x－4a－1) （4）公因式是－3ab，∴原式=－3ab(1－2x+3y) 注意：当首项的系数为负数时，通常应提取负因数，此时剩下的各项都要改变符号. 例2 把2(a－b)2－a+b分解因式： 分析:把－a+b变形为－(a－b)，原多项式就转化为2(a－b)2－(a－b).若把（a－b）看做整体，原多项式就可以提取公因式(a－b). 解：2(a－b)2－a+b=2(a－b)2－(a－b) =(a－b)[2(a－b)－1]=(a－b)(2a－2b－1). 在求解例2时，我们把－a+b加上括号，变形为－（a－b），而不改变－a+b的值，这种方法叫做添括号.一般地，添括号法则如下： 括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变号；括号前面是“－”号，括到括号里的各项都变号。

1.分解因式与整式乘法是互为逆变形。2.分解因式技巧掌握：①等式左边必须是多项式；②分解因式的结果必须是以乘积的形式表示；③每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数；④分解因式必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止。注：分解因式前先要找到公因式，在确定公因式前，应从系数和因式两个方面考虑。3.提公因式法基本步骤：（1）找出公因式；（2）提公因式并确定另一个因式：①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母；②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式。③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同。 方法一. 提公因式法几个个多项式的各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。 如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。 具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的。 如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数。提出“-”号时，多项式的各项都要变号。 口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守。要变号，变形看正负。例如：（注：x^2表示x的2次方）-am+bm+cm=-m(a-b-c)；a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)。注意：把2a^2;+1/2变成2(a^2;+1/4)不叫提公因式3.2 方法二. 公式法如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法。平方差公式：a^2;-b^2;=(a+b)(a-b)；完全平方公式：a^2;±2ab+b^2;=(a±b)^2;；注意：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍。立方和公式：a^3;+b^3;=(a+b)(a^2;-ab+b^2;)；立方差公式：a^3;-b^3;=(a-b)(a^2;+ab+b^2;)；完全立方公式：a^3;±3a^2;b+3ab^2;±b^3;=(a±b)^3;．其他公式：(1)a^3;+b^3;+c^3;+3abc=(a+b+c)(a^2;+b^2;+c^2;-ab-bc-ca)例如：a^2; +4ab+4b^2; =(a+2b)^2;。3.3 方法三.解方程法例如，将ax^2;+bx+c(a,b,c是常数，ab≠0)因式分解，可令ax^2;+bx+c=0，再解这个方程。如果方程无解，则原式无法因式分解；如果方程有两个相同的实数根（设为m），则原式可以分解为(x-m)^2;；如果方程有两个不相等的实数根（分别设为m，n），则原式可以分解为(x-m)(x-n)。更高次数的多项式亦可。例：分解因式x^2;+3x-4。答：设x^2;+3x-4=0解方程得：x1=1 x2=-4∴x^2;+3x-4因式分解为(x-1)(x+4)分解因式的技巧1.分解因式与整式乘法是互为逆变形。2.分解因式技巧掌握：①等式左边必须是多项式；②分解因式的结果必须是以乘积的形式表示；③每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数；④分解因式必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止。注：分解因式前先要找到公因式，在确定公因式前，应从系数和因式两个方面考虑。3.提公因式法基本步骤：（1）找出公因式；（2）提公因式并确定另一个因式：①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母；②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式。③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同。竞赛用到的方法希望可以帮到你

1 把多项式中的每项拆成公因式乘以单项式的形式2提取公因式，将结果写成公因式乘以多项式的形式。简单概括 一拆二提

好用吗？

尊敬的用户，欢迎提问。第一，确定公因式。第二，把公因式作为分解后的第一个因式，写在最前面，然后用原多项式除以这个公因式所得的商作为分解后的第二个因式。第三，检查一下第二个因式还有没有公因式？还能不能再分解？希望我的回答对您有所帮助哦

你好，有什么可以帮到你的吗？

基本方法　　⑴提公因式法　　各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。　　如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。　　具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的。　　如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数。提出“-”号时，多项式的各项都要变号。　　口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶。　　例如：-am+bm+cm=-m(a-b-c)；　　a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)。　　注意：把2a^2+1/2变成2(a^2+1/4)不叫提公因式　　⑵公式法　　如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法。　　平方差公式：a^2-b^2=(a+b)(a-b)；　　完全平方公式：a^2±2ab＋b^2＝(a±b)^2；　　注意：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍。　　立方和公式：a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)；　　立方差公式：a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)；　　完全立方公式：a^3±3a^2b＋3ab^2±b^3=(a±b)^3．　　公式：a^3+b^3+c^3+3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)　　例如：a^2 +4ab+4b^2 =(a+2b)^2。　　（3）分解因式技巧　　1.分解因式与整式乘法是互为逆变形。　　2.分解因式技巧掌握：　　①等式左边必须是多项式；　　②分解因式的结果必须是以乘积的形式表示；　　③每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数；　　④分解因式必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止。　　注：分解因式前先要找到公因式，在确定公因式前，应从系数和因式两个方面考虑。　　3.提公因式法基本步骤：　　（1）找出公因式；　　（2）提公因式并确定另一个因式：　　①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数在确定字母；　　②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式；　　③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同。[编辑本段]竞赛用到的方法　　⑶分组分解法　　分组分解是解方程的一种简洁的方法，我们来学习这个知识。　　能分组分解的方程有四项或大于四项，一般的分组分解有两种形式：二二分法，三一分法。　　比如：　　ax+ay+bx+by　　=a(x+y)+b(x+y)　　=(a+b)(x+y)　　我们把ax和ay分一组，bx和by分一组，利用乘法分配律，两两相配，立即解除了困难。　　同样，这道题也可以这样做。　　ax+ay+bx+by　　=x(a+b)+y(a+b)　　=(a+b)(x+y)　　几道例题：　　1. 5ax+5bx+3ay+3by　　解法：=5x(a+b)+3y(a+b)　　=(5x+3y)(a+b)　　说明：系数不一样一样可以做分组分解，和上面一样，把5ax和5bx看成整体，把3ay和3by看成一个整体，利用乘法分配律轻松解出。　　2. x^3-x^2+x-1　　解法：=(x^3-x^2)+(x-1)　　=x^2(x-1)+ (x-1)　　=(x-1)(x2+1)　　利用二二分法，提公因式法提出x2，然后相合轻松解决。　　3. x2-x-y2-y　　解法：=(x2-y2)-(x+y)　　=(x+y)(x-y)-(x+y)　　=(x+y)(x-y-1)　　利用二二分法，再利用公式法a2-b2=(a+b)(a-b)，然后相合解决。　　　　⑷十字相乘法　　这种方法有两种情况。　　①x²+(p+q)x+pq型的式子的因式分解　　这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和。因此，可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：x²+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) ．　　②kx²+mx+n型的式子的因式分解　　如果有k=ac，n=bd，且有ad+bc=m时，那么kx²+mx+n=(ax+b)(cx+d)．　　图示如下：　　×　　c d　　例如：因为　　1 -3　　×　　7 2　　-3×7=-21，1×2=2，且2-21=-19，　　所以7x²-19x-6=(7x+2)(x-3)．　　十字相乘法口诀：首尾分解，交叉相乘，求和凑中　　⑸拆项、添项法　　这种方法指把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解。要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形。　　例如：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)　　=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)　　=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)　　=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)　　=(c+b)(c-a)(a+b)．　　　　⑹配方法　　对于某些不能利用公式法的多项式，可以将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解，这种方法叫配方法。属于拆项、补项法的一种特殊情况。也要注意必须在与原多项式相等的原则下进行变形。　　例如：x²+3x-40　　=x²+3x+2.25-42.25　　=(x+1.5)²-(6.5)²　　=(x+8)(x-5)．　　⑺应用因式定理　　对于多项式f(x)=0，如果f(a)=0，那么f(x)必含有因式x-a．　　例如：f(x)=x²+5x+6，f(-2)=0，则可确定x+2是x²+5x+6的一个因式。(事实上，x²+5x+6=(x+2)(x+3)．)　　注意：1、对于系数全部是整数的多项式，若X=q/p（p,q为互质整数时）该多项式值为零，则q为常数项约数，p最高次项系数约数；　　2、对于多项式f(a)=0,b为最高次项系数，c为常数项，则有a为c/b约数　　⑻换元法　　有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来，这种方法叫做换元法。　　注意:换元后勿忘还元.　　例如在分解(x²+x+1)(x²+x+2)-12时，可以令y=x²+x,则　　原式=(y+1)(y+2)-12　　=y²+3y+2-12=y²+3y-10　　=(y+5)(y-2)　　=(x²+x+5)(x²+x-2)　　=(x²+x+5)(x+2)(x-1)．　　也可以参看右图。　　　　⑼求根法　　令多项式f(x)=0,求出其根为x1，x2，x3，……xn，则该多项式可分解为f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)……(x-xn) ．　　例如在分解2x^4+7x^3-2x^2-13x+6时，令2x^4 +7x^3-2x^2-13x+6=0，　　则通过综合除法可知，该方程的根为0.5 ，-3，-2，1．　　所以2x^4+7x^3-2x^2-13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)．　　　　⑽图象法　　令y=f(x)，做出函数y=f(x)的图象，找到函数图像与X轴的交点x1 ,x2 ,x3 ,……xn ，则多项式可因式分解为f(x)= f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)……(x-xn)．　　与方法⑼相比，能避开解方程的繁琐，但是不够准确。　　例如在分解x^3 +2x^2-5x-6时，可以令y=x^3; +2x^2 -5x-6.　　作出其图像，与x轴交点为-3，-1，2　　则x^3+2x^2-5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)．　　　　⑾主元法　　先选定一个字母为主元，然后把各项按这个字母次数从高到低排列，再进行因式分解。　　　　⑿特殊值法　　将2或10代入x，求出数p，将数p分解质因数，将质因数适当的组合，并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式，将2或10还原成x，即得因式分解式。　　例如在分解x^3+9x^2+23x+15时，令x=2，则　　x^3 +9x^2+23x+15=8+36+46+15=105，　　将105分解成3个质因数的积，即105=3×5×7 ．　　注意到多项式中最高项的系数为1，而3、5、7分别为x+1，x+3，x+5，在x=2时的值，　　则x^3+9x^2+23x+15可能等于(x+1)(x+3)(x+5)，验证后的确如此。　　　　⒀待定系数法　　首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多项式因式分解。　　例如在分解x^4-x^3-5x^2-6x-4时，由分析可知：这个多项式没有一次因式，因而只能分解为两个二次因式。　　于是设x^4-x^3-5x^2-6x-4=(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)　　=x^4+(a+c)x^3+(ac+b+d)x^2+(ad+bc)x+bd　　由此可得a+c=-1，　　ac+b+d=-5，　　ad+bc=-6，　　bd=-4．　　解得a=1，b=1，c=-2，d=-4．　　则x^4-x^3-5x^2-6x-4=(x^2+x+1)(x^2-2x-4)．　　也可以参看右图。　　　　⒁双十字相乘法　　双十字相乘法属于因式分解的一类，类似于十字相乘法。　　双十字相乘法就是二元二次六项式，启始的式子如下:　　ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f　　x、y为未知数，其余都是常数　　用一道例题来说明如何使用。　　例：分解因式：x^2+5xy+6y^2+8x+18y+12．　　分析：这是一个二次六项式，可考虑使用双十字相乘法进行因式分解。　　解：图如下，把所有的数字交叉相连即可　　x 2y 2　　① ② ③　　x 3y 6　　∴原式=(x+2y+2)(x+3y+6)．　　双十字相乘法其步骤为：　　①先用十字相乘法分解2次项，如十字相乘图①中x^2+5xy+6y^2=(x+2y)(x+3y)；　　②先依一个字母（如y）的一次系数分数常数项。如十字相乘图②中6y²+18y+12=(2y+2)(3y+6)；　　③再按另一个字母（如x）的一次系数进行检验，如十字相乘图③，这一步不能省，否则容易出错。[编辑本段]多项式因式分解的一般步骤：　　①如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；　　②如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解；　　③如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解；　　④分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。　　也可以用一句话来概括：“先看有无公因式，再看能否套公式。十字相乘试一试，分组分解要合适。”　　几道例题　　1．分解因式(1+y)^2-2x^2(1+y^2)+x^4(1-y)^2．　　解：原式=(1+y)^2+2(1+y)x^2(1-y)+x^4(1-y)^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2)（补项）　　=[(1+y)+x^2(1-y)]^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2)（完全平方）　　=[(1+y)+x^2(1-y)]^2-(2x)^2　　=[(1+y)+x^2(1-y)+2x][(1+y)+x^2(1-y)-2x]　　=(x^2-x^2y+2x+y+1)(x^2-x^2y-2x+y+1)　　=[(x+1)^2-y(x^2-1)][(x-1)^2-y(x^2-1)]　　=(x+1)(x+1-xy+y)(x-1)(x-1-xy-y)．　　2．求证：对于任何实数x,y，下式的值都不会为33：　　x^5+3x^4y-5x^3y^2-15x^2y^3+4xy^4+12y^5．　　解：原式=(x^5+3x^4y)-(5x^3y^2+15x^2y^3)+(4xy^4+12y^5)　　=x^4(x+3y)-5x^2y^2(x+3y)+4y^4(x+3y)　　=(x+3y)(x^4-5x^2y^2+4y^4)　　=(x+3y)(x^2-4y^2)(x^2-y^2)　　=(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y)．　　（分解因式的过程也可以参看右图。）　　当y=0时，原式=x^5不等于33；当y不等于0时，x+3y，x+y，x-y，x+2y，x-2y互不相同，而33不能分成四个以上不同因数的积，所以原命题成立。　　3.．△ABC的三边a、b、c有如下关系式：-c^2+a^2+2ab-2bc=0，求证：这个三角形是等腰三角形。　　分析：此题实质上是对关系式的等号左边的多项式进行因式分解。　　证明：∵-c^2+a^2+2ab-2bc=0，　　∴(a+c)(a-c)+2b(a-c)=0．　　∴(a-c)(a+2b+c)=0．　　∵a、b、c是△ABC的三条边，　　∴a＋2b＋c＞0．　　∴a－c＝0，　　即a＝c，△ABC为等腰三角形。　　4．把-12x^2n×y^n+18x^(n+2)y^(n+1)-6x^n×y^(n-1)分解因式。　　解：-12x^2n×y^n+18x^(n+2)y^(n+1)-6x^n×y^(n-1)　　=-6x^n×y^(n-1)(2x^n×y-3x^2y^2+1)．[编辑本段]因式分解四个注意：　　因式分解中的四个注意，可用四句话概括如下：首项有负常提负，各项有“公”先提“公”，某项提出莫漏1，括号里面分到“底”。 现举下例 可供参考　　例1 把－a2－b2＋2ab＋4分解因式。　　解：－a2－b2＋2ab＋4＝－（a2－2ab＋b2－4）＝－（a－b＋2）（a－b－2）　　这里的“负”，指“负号”。如果多项式的第一项是负的，一般要提出负号，使括号内第一项系数是正的。防止学生出现诸如－9x2＋4y2＝（－3x）2－（2y）2＝（－3x＋2y）（－3x－2y）＝（3x－2y）（3x＋2y）的错误　　例2把－12x2nyn＋18xn＋2yn＋1－6xnyn－1分解因式。解：－12x2nyn＋18xn＋2yn＋1－6xnyn－1＝－6xnyn－1（2xny－3x2y2＋1）　　这里的“公”指“公因式”。如果多项式的各项含有公因式，那么先提取这个公因式，再进一步分解因式；这里的“1”，是指多项式的某个整项是公因式时，先提出这个公因式后，括号内切勿漏掉1。　　分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。即分解到底，不能半途而废的意思。其中包含提公因式要一次性提“干净”，不留“尾巴”，并使每一个括号内的多项式都不能再分解。防止学生出现诸如4x4y2－5x2y2－9y2＝y2（4x4－5x2－9）＝y2（x2＋1）（4x2－9）的错误。　　考试时应注意：　　在没有说明化到实数时，一般只化到有理数就够了　　由此看来，因式分解中的四个注意贯穿于因式分解的四种基本方法之中，与因式分解的四个步骤或说一般思考顺序的四句话：“先看有无公因式，再看能否套公式，十字相乘试一试，分组分解要合适”是一脉相承的。[编辑本段]因式分解的应用　　1、 应用于多项式除法。　　2、 应用于高次方程的求根　　3、 应用于分式的运算

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⑴提公因式法①公因式：各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的～.②提公因式法：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.am＋bm＋cm＝m（a+b+c）③具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的.如果多项式的第一项是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的.⑵运用公式法①平方差公式：.a^2－b^2＝(a＋b)(a－b)②完全平方公式：a^2±2ab＋b^2＝(a±b)^2※能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式,其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍.③立方和公式：a^3+b^3＝(a+b)(a^2-ab+b^2).立方差公式：a^3-b^3＝(a-b)(a^2+ab+b^2).④完全立方公式：a^3±3a^2b＋3ab^2±b^3＝(a±b)^3⑤a^n-b^n=(a-b)[a^(n-1)+a^(n-2)b+……+b^(n-2)a+b^(n-1)]a^m+b^m=(a+b)[a^(m-1)-a^(m-2)b+……-b^(m-2)a+b^(m-1)](m为奇数)⑶分组分解法分组分解法：把一个多项式分组后，再进行分解因式的方法.分组分解法必须有明确目的，即分组后，可以直接提公因式或运用公式.十字相乘法①x^2＋（pq）x＋pq型的式子的因式分解这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和.因此，可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：x^2＋（pq）x＋pq＝（x＋p）（x＋q）②kx^2＋mx＋n型的式子的因式分解如果能够分解成k＝ac，n＝bd，且有ad＋bc＝m时，那么kx^2＋mx＋n＝（ax-b）（cx-d）a-----/bac＝kbd＝nc/-----dad＋bc＝m※多项式因式分解的一般步骤：①如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；②如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解；③如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解；④分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止.(6)应用因式定理：如果f（a）=0，则f（x）必含有因式（x-a）。如f（x）=x^2+5x+6，f（-2）=0，则可确定（x+2）是x^2+5x+6的一个因式。

①分解因式是多项式的恒等变形，要求等式左边必须是多项式②分解因式的结果必须是以乘积的形式表示③每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数④分解因式必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止。注：分解因式前先要找到公因式，在确定公因式前，应从系数和因式两个方面考虑。分解步骤：①如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；②如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解；③如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解④分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。也可以用一句话来概括：“先看有无公因式，再看能否套公式。十字相乘试一试，分组分解要相对合适。”扩展资料主要方法：1、提取公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。提公因式法基本步骤：（1）找出公因式（2）提公因式并确定另一个因式：①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同。2、公式法：把乘法公式的平方差公式和完全平方公式反过来，得到因式分解的公式：平方差公式：a2-b2=（a+b）·（a-b）；完全平方式：a2±2ab+b2=（a±b）2；3、分组分解法：利用分组分解因式的方法叫做分组分解法，ac+ad+bc+bd=a·（c+d）+b·（c+d）=（a+b）·（c+d）其原则：①连续提取公因式法：分组后每组能够分解因式，每组分解因式后，组与组之间又有公因式可提。②分组后直接运用公式法：分组后各组内可以直接应用公式，各组分解因式后，使组与组之间构成公式的形式，然后用公式法分解因式。4、十字相乘法：a2+（p+q）·a+p·q=（a+p）·（a+q）。5、解方程法:通过解方程来进行因式分解，如x2+2x+1=0 ,解，得x1=-1，x2=-1，就得到原式=（x+1）×（x+1）6、待定系数法:首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多项式因式分解。

8(a-b)²-16(a-b)=8(a-b)(a-b-2)

记公式：平方差公式、和的平方、......多练，熟能生巧

提公因式实质就是乘法分配律的逆用ma+mb+mc=m（a+b+c）；公因式的系数是各项系数的最大公因数,相同字母的指数取最低次.

列2x+2y=9提公因式 为2（x+y）=9也就是说 提取两组数据中意义相同的部分 记住是意义相同而不是 数字相同

-2^101+(-2)^100=(-2)^100*(-2+1)=2^10099*99+99=99*(99+1)=9900

一个多项式中每一项都含有的相同的因式，叫做这个多项式各项的公因式。 如果一个多项式的各项含有公因式，那么可以把公因式提取出来进行因式分解，这种因式分解的方法叫做提取公因式法。 把一个多项式化成了几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。 公因式的确定方法：提取的公因式的是各项系数的最大公约数与各项都含有的相同字母的最低次数幂的积。

x（x-y-z)-y(y-x+z)-z(z-x+y)=x(x-y-z)+y(x-y-z)+z(x-y-z)=(x-y-z)(x+y+z)

3x³+6x⁴=x³(1+2x)6p(p+q)-4q(p+q)=(6p-4q)(p+q)=2(3p-2q)(p+q)

①分解因式是多项式的恒等变形，要求等式左边必须是多项式②分解因式的结果必须是以乘积的形式表示③每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数④分解因式必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止。注：分解因式前先要找到公因式，在确定公因式前，应从系数和因式两个方面考虑。分解步骤：①如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；②如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解；③如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解④分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。也可以用一句话来概括：“先看有无公因式，再看能否套公式。十字相乘试一试，分组分解要相对合适。”扩展资料主要方法：1、提取公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。提公因式法基本步骤：（1）找出公因式（2）提公因式并确定另一个因式：①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同。2、公式法：把乘法公式的平方差公式和完全平方公式反过来，得到因式分解的公式：平方差公式：a2-b2=（a+b）·（a-b）；完全平方式：a2±2ab+b2=（a±b）2；3、分组分解法：利用分组分解因式的方法叫做分组分解法，ac+ad+bc+bd=a·（c+d）+b·（c+d）=（a+b）·（c+d）其原则：①连续提取公因式法：分组后每组能够分解因式，每组分解因式后，组与组之间又有公因式可提。②分组后直接运用公式法：分组后各组内可以直接应用公式，各组分解因式后，使组与组之间构成公式的形式，然后用公式法分解因式。4、十字相乘法：a2+（p+q）·a+p·q=（a+p）·（a+q）。5、解方程法:通过解方程来进行因式分解，如x2+2x+1=0 ,解，得x1=-1，x2=-1，就得到原式=（x+1）×（x+1）6、待定系数法:首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多项式因式分解。

关键是熟练掌握因式分解的几种方法：因式分解是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．而在竞赛上，又有拆项和添项法，待定系数法，双十字相乘法，轮换对称法等． ⑴提公因式法 ①公因式：各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的～. ②提公因式法：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法. am＋bm＋cm＝m（a+b+c） ③具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的. 如果多项式的第一项是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的. ⑵运用公式法 ①平方差公式：. a^2－b^2＝(a＋b)(a－b) ②完全平方公式： a^2±2ab＋b^2＝(a±b)^2 ※能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式,其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍. ③立方和公式：a^3+b^3＝ (a+b)(a^2-ab+b^2). 立方差公式：a^3-b^3＝ (a-b)(a^2+ab+b^2). ④完全立方公式： a^3±3a^2b＋3ab^2±b^3＝(a±b)^3 ⑤a^n-b^n=(a-b)[a^(n-1)+a^(n-2)b+……+b^(n-2)a+b^(n-1)] a^m+b^m=(a+b)[a^(m-1)-a^(m-2)b+……-b^(m-2)a+b^(m-1)](m为奇数) ⑶分组分解法 分组分解法：把一个多项式分组后，再进行分解因式的方法. 分组分解法必须有明确目的，即分组后，可以直接提公因式或运用公式. ⑷拆项、补项法 拆项、补项法：把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解；要注意，必须在与原多项式相等的原则进行变形. ⑸十字相乘法 ①x^2＋（p q）x＋pq型的式子的因式分解 这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和.因此，可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解： x^2＋（p q）x＋pq＝（x＋p）（x＋q） ②kx^2＋mx＋n型的式子的因式分解 如果能够分解成k＝ac，n＝bd，且有ad＋bc＝m 时，那么 kx^2＋mx＋n＝（ax b）（cx d） a -----/b ac＝k bd＝n c /-----d ad＋bc＝m ※ 多项式因式分解的一般步骤： ①如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式； ②如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解； ③如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解； ④分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止. (6)应用因式定理：如果f（a）=0，则f（x）必含有因式（x-a）。如f（x）=x^2+5x+6，f（-2）=0，则可确定（x+2）是x^2+5x+6的一个因式。 经典例题： 1.分解因式(1+y)^2-2x^2(1+y^2)+x^4(1-y)^2 解：原式=(1+y)^2+2(1+y)x^2(1+y)+x^4(1-y)^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2) =[(1+y)+x^2(1-y)]^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2) =[(1+y)+x^2(1-y)]^2-(2x)^2 =[(1+y)+x^2(1-y)+2x]·[(1+y)+x^2(1-y)-2x] =(x^2-x^2y+2x+y+1)(x^2-x^2y-2x+y+1) =[(x+1)^2-y(x^2-1)][(x-1)^2-y(x^2-1)] =(x+1)(x+1-xy+y)(x-1)(x-1-xy-y) 2.证明：对于任何数x,y，下式的值都不会为33 x^5+3x^4y-5x^3y^2+4xy^4+12y^5 解：原式=(x^5+3x^4y)-(5x^3y^2+15x^2y^3)+(4xy^4+12y^5) =x^4(x+3y)-5x^2y^2(x+3y)+4y^4(x+3y) =(x+3y)(x^4-5x^2y^2+4y^4) =(x+3y)(x^2-4y^2)(x^2-y^2) =(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y) 当y=0时，原式=x^5不等于33；当y不等于0时，x+3y,x+y,x-y,x+2y,x-2y互不相同，而33不能分成四个以上不同因数的积，所以原命题成立 因式分解的十二种方法 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。因式分解的方法多种多样，现总结如下： 1、 提公因法 如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。 例1、 分解因式x -2x -x(2003淮安市中考题) x -2x -x=x(x -2x-1) 2、 应用公式法 由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式。 例2、分解因式a +4ab+4b (2003南通市中考题) 解：a +4ab+4b =（a+2b） 3、 分组分解法 要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a，把它后两项分成一组，并提出公因式b，从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n，从而得到(a+b)(m+n) 例3、分解因式m +5n-mn-5m 解：m +5n-mn-5m= m -5m -mn+5n = (m -5m )+(-mn+5n) =m(m-5)-n(m-5) =(m-5)(m-n) 4、 十字相乘法 对于mx +px+q形式的多项式，如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p，则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c) 例4、分解因式7x -19x-6 分析： 1 -3 7 2 2-21=-19 解：7x -19x-6=（7x+2）(x-3) 5、配方法 对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解。 例5、分解因式x +3x-40 解x +3x-40=x +3x+( ) -( ) -40 =(x+ ) -( ) =(x+ + )(x+ - ) =(x+8)(x-5) 6、拆、添项法 可以把多项式拆成若干部分，再用进行因式分解。 例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b) 解：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b) =bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b) =c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a) =(c+b)(c-a)(a+b) 7、 换元法 有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来。 例7、分解因式2x -x -6x -x+2 解：2x -x -6x -x+2=2(x +1)-x(x +1)-6x =x [2(x + )-(x+ )-6 令y=x+ , x [2(x + )-(x+ )-6 = x [2(y -2)-y-6] = x (2y -y-10) =x (y+2)(2y-5) =x (x+ +2)(2x+ -5) = (x +2x+1) (2x -5x+2) =(x+1) (2x-1)(x-2) 8、 求根法 令多项式f(x)=0,求出其根为x ,x ,x ,……x ,则多项式可因式分解为f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x ) 例8、分解因式2x +7x -2x -13x+6 解：令f(x)=2x +7x -2x -13x+6=0 通过综合除法可知，f(x)=0根为 ，-3，-2，1 则2x +7x -2x -13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1) 9、 图象法 令y=f(x)，做出函数y=f(x)的图象，找到函数图象与X轴的交点x ,x ,x ,……x ，则多项式可因式分解为f(x)= f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x ) 例9、因式分解x +2x -5x-6 解：令y= x +2x -5x-6 作出其图象，见右图，与x轴交点为-3，-1，2 则x +2x -5x-6=(x+1)(x+3)(x-2) 10、 主元法 先选定一个字母为主元，然后把各项按这个字母次数从高到低排列，再进行因式分解。 例10、分解因式a (b-c)+b (c-a)+c (a-b) 分析：此题可选定a为主元，将其按次数从高到低排列 解：a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)=a (b-c)-a(b -c )+(b c-c b) =(b-c) [a -a(b+c)+bc] =(b-c)(a-b)(a-c) 11、 利用特殊值法 将2或10代入x，求出数P，将数P分解质因数，将质因数适当的组合，并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式，将2或10还原成x，即得因式分解式。 例11、分解因式x +9x +23x+15 解：令x=2，则x +9x +23x+15=8+36+46+15=105 将105分解成3个质因数的积，即105=3×5×7 注意到多项式中最高项的系数为1，而3、5、7分别为x+1，x+3，x+5，在x=2时的值 则x +9x +23x+15=（x+1）（x+3）（x+5） 12、待定系数法 首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多项式因式分解。 例12、分解因式x -x -5x -6x-4 分析：易知这个多项式没有一次因式，因而只能分解为两个二次因式。 解：设x -x -5x -6x-4=(x +ax+b)(x +cx+d) = x +(a+c)x +(ac+b+d)x +(ad+bc)x+bd 所以 解得 则x -x -5x -6x-4 =(x +x+1)(x -2x-4)

p＝ghs压强的计算公式：P=F/S，液体压强p=ρgh：1、压强定义：物体所受压力的大小与受力面积之比叫压强。2、公式：p = 推导公式：F = PS3、单位：压力F的单位：牛顿（N），面积S的单位：米2(m2)，压强p的单位：帕斯卡（Pa）。4、应用：减小压强。如：铁路钢轨铺枕木、坦克安装履带、书包带较宽等。5、液体压强的计算公式：p=ρgh6、使用该公式解题时，密度ρ的单位用kg/m3，压强p的单位用帕斯卡（Pa）。扩展资料：增大压强的方法有：在受力面积不变的情况下增加压力或在压力不变的情况下减小受力面积。减小压强的方法有：在受力面积不变的情况下减小压力或在压力不变的情况下增大受力面积。液体对容器内部的侧壁和底部都有压强，压强随液体深度增加而增大。液体内部压强的特点是：液体由内部向各个方向都有压强；压强随深度的增加而增加；在同一深度，液体向各个方向的压强相等；液体压强还跟液体的密度有关，液体密度越大，压强也越大。液体内部压强的大小可以用压强计来测量

直接使用幂函数积分公式，也可以一步跳过，因为dx=dt令t=x-1，dt=dx

常用的诱导公式有以下几组： 公式一： 设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin（2kπ＋α）＝sinα cos（2kπ＋α）＝cosα tan（2kπ＋α）＝tanα cot（2kπ＋α）＝cotα 公式二： 设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： sin（π＋α）＝－sinα cos（π＋α）＝－cosα tan（π＋α）＝tanα cot（π＋α）＝cotα 公式三： 任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： sin（－α）＝－sinα cos（－α）＝cosα tan（－α）＝－tanα cot（－α）＝－cotα 公式四： 利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： sin（π－α）＝sinα cos（π－α）＝－cosα tan（π－α）＝－tanα cot（π－α）＝－cotα 公式五： 利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： sin（2π－α）＝－sinα cos（2π－α）＝cosα tan（2π－α）＝－tanα cot（2π－α）＝－cotα 公式六： π/2±α与α的三角函数值之间的关系： sin（π/2＋α）＝cosα cos（π/2＋α）＝－sinα tan（π/2＋α）＝－cotα cot（π/2＋α）＝－tanα sin（π/2－α）＝cosα cos（π/2－α）＝sinα tan（π/2－α）＝cotα cot（π/2－α）＝tanα 诱导公式记忆口诀 ※规律总结※ 上面这些诱导公式可以概括为： 对于k·π/2±α(k∈Z)的个三角函数值, ①当k是偶数时,得到α的同名函数值,即函数名不改变； ②当k是奇数时,得到α相应的余函数值,即sin→cos;cos→sin;tan→cot,cot→tan. （奇变偶不变） 然后在前面加上把α看成锐角时原函数值的符号. （符号看象限） 例如： sin(2π－α)＝sin(4·π/2－α),k＝4为偶数,所以取sinα. 当α是锐角时,2π－α∈(270°,360°),sin(2π－α)＜0,符号为“－”. 所以sin(2π－α)＝－sinα 上述的记忆口诀是： 奇变偶不变,符号看象限. 公式右边的符号为把α视为锐角时,角k·360°+α（k∈Z）,-α、180°±α,360°-α 所在象限的原三角函数值的符号可记忆 水平诱导名不变；符号看象限. 各种三角函数在四个象限的符号如何判断,也可以记住口诀“一全正；二正弦；三为切；四余弦”． 这十二字口诀的意思就是说： 第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“＋”； 第二象限内只有正弦是“＋”,其余全部是“－”； 第三象限内切函数是“＋”,弦函数是“－”； 第四象限内只有余弦是“＋”,其余全部是“－”． 上述记忆口诀,一全正,二正弦,三正切,四余弦 其他三角函数知识： 同角三角函数基本关系 ⒈同角三角函数的基本关系式 倒数关系: tanα ·cotα＝1 sinα ·cscα＝1 cosα ·secα＝1 商的关系： sinα/cosα＝tanα＝secα/cscα cosα/sinα＝cotα＝cscα/secα 平方关系： sin^2(α)＋cos^2(α)＝1 1＋tan^2(α)＝sec^2(α) 1＋cot^2(α)＝csc^2(α) 同角三角函数关系六角形记忆法 六角形记忆法：（参看图片或参考资料链接） 构造以"上弦、中切、下割；左正、右余、中间1"的正六边形为模型. （1）倒数关系：对角线上两个函数互为倒数； （2）商数关系：六边形任意一顶点上的函数值等于与它相邻的两个顶点上函数值的乘积. （主要是两条虚线两端的三角函数值的乘积）.由此,可得商数关系式. （3）平方关系：在带有阴影线的三角形中,上面两个顶点上的三角函数值的平方和等于下面顶点上的三角函数值的平方. 两角和差公式 ⒉两角和与差的三角函数公式 sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ tanα＋tanβ tan（α＋β）＝—————— 1－tanα ·tanβ tanα－tanβ tan（α－β）＝—————— 1＋tanα ·tanβ 倍角公式 ⒊二倍角的正弦、余弦和正切公式（升幂缩角公式） sin2α＝2sinαcosα cos2α＝cos^2(α)－sin^2(α)＝2cos^2(α)－1＝1－2sin^2(α) 2tanα tan2α＝————— 1－tan^2(α) 半角公式 ⒋半角的正弦、余弦和正切公式（降幂扩角公式） 1－cosα sin^2(α/2)＝————— 2 1＋cosα cos^2(α/2)＝————— 2 1－cosα tan^2(α/2)＝————— 1＋cosα 万能公式 ⒌万能公式 2tan(α/2) sinα＝—————— 1＋tan^2(α/2) 1－tan^2(α/2) cosα＝—————— 1＋tan^2(α/2) 2tan(α/2) tanα＝—————— 1－tan^2(α/2) 万能公式推导 附推导： sin2α=2sinαcosα=2sinαcosα/(cos^2(α)+sin^2(α)).*, （因为cos^2(α)+sin^2(α)=1） 再把*分式上下同除cos^2(α),可得sin2α＝tan2α/(1＋tan^2(α)) 然后用α/2代替α即可. 同理可推导余弦的万能公式.正切的万能公式可通过正弦比余弦得到. 三倍角公式 ⒍三倍角的正弦、余弦和正切公式 sin3α＝3sinα－4sin^3(α) cos3α＝4cos^3(α)－3cosα 3tanα－tan^3(α) tan3α＝—————— 1－3tan^2(α) 三倍角公式推导 附推导： tan3α＝sin3α/cos3α ＝(sin2αcosα＋cos2αsinα)/(cos2αcosα-sin2αsinα) ＝(2sinαcos^2(α)＋cos^2(α)sinα－sin^3(α))/(cos^3(α)－cosαsin^2(α)－2sin^2(α)cosα) 上下同除以cos^3(α),得： tan3α＝(3tanα－tan^3(α))/(1-3tan^2(α)) sin3α＝sin(2α＋α)＝sin2αcosα＋cos2αsinα ＝2sinαcos^2(α)＋(1－2sin^2(α))sinα ＝2sinα－2sin^3(α)＋sinα－2sin^2(α) ＝3sinα－4sin^3(α) cos3α＝cos(2α＋α)＝cos2αcosα－sin2αsinα ＝(2cos^2(α)－1)cosα－2cosαsin^2(α) ＝2cos^3(α)－cosα＋(2cosα－2cos^3(α)) ＝4cos^3(α)－3cosα 即 sin3α＝3sinα－4sin^3(α) cos3α＝4cos^3(α)－3cosα 三倍角公式联想记忆 记忆方法：谐音、联想 正弦三倍角：3元 减 4元3角（欠债了(被减成负数),所以要“挣钱”(音似“正弦”)） 余弦三倍角：4元3角 减 3元（减完之后还有“余”） ☆☆注意函数名,即正弦的三倍角都用正弦表示,余弦的三倍角都用余弦表示. 和差化积公式 ⒎三角函数的和差化积公式 α＋β α－β sinα＋sinβ＝2sin—----·cos—--- 2 2 α＋β α－β sinα－sinβ＝2cos—----·sin—---- 2 2 α＋β α－β cosα＋cosβ＝2cos—-----·cos—----- 2 2 α＋β α－β cosα－cosβ＝－2sin—-----·sin—----- 2 2 积化和差公式 ⒏三角函数的积化和差公式 sinα ·cosβ＝0.5[sin（α＋β）＋sin（α－β）] cosα ·sinβ＝0.5[sin（α＋β）－sin（α－β）] cosα ·cosβ＝0.5[cos（α＋β）＋cos（α－β）] sinα ·sinβ＝－ 0.5[cos（α＋β）－cos（α－β）] 和差化积公式推导 附推导： 首先,我们知道sin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinb,sin(a-b)=sina*cosb-cosa*sinb 我们把两式相加就得到sin(a+b)+sin(a-b)=2sina*cosb 所以,sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2 同理,若把两式相减,就得到cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2 同样的,我们还知道cos(a+b)=cosa*cosb-sina*sinb,cos(a-b)=cosa*cosb+sina*sinb 所以,把两式相加,我们就可以得到cos(a+b)+cos(a-b)=2cosa*cosb 所以我们就得到,cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2 同理,两式相减我们就得到sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2 这样,我们就得到了积化和差的四个公式: sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2 cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2 cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2 sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2 好,有了积化和差的四个公式以后,我们只需一个变形,就可以得到和差化积的四个公式. 我们把上述四个公式中的a+b设为x,a-b设为y,那么a=(x+y)/2,b=(x-y)/2 把a,b分别用x,y表示就可以得到和差化积的四个公式: sinx+siny=2sin((x+y)/2)*cos((x-y)/2) sinx-siny=2cos((x+y)/2)*sin((x-y)/2) cosx+cosy=2cos((x+y)/2)*cos((x-y)/2) cosx-cosy=-2sin((x+y)/2)*sin((x-y)/2)

压强的计算公式是p=F/S。物体压强等于物体所受压力的大小与受力面积之比，即压强的计算公式是：p=F/S。根据这一公式可知：增大压强的方法有：在受力面积不变的情况下增加压力或在压力不变的情况下减小受力面积；减小压强的方法有：在受力面积不变的情况下减小压力或在压力不变的情况下增大受力面积。压强的三个公式：1、压强等于压力除以受力面积，字母表示为P=F/S是压强的普遍适用公式，是压强的定义式，用于求固体压强较多。2、P=pgh，用于求液体的压强。其中p读‘rou"，表示液体的密度，h表示深度，是从液体自由面起到所求位置的竖直距离。3、对于气体压强，可通过实验由第1和2两公式测出，也可以用仪器来测，因为气压值是变化的，1标准大气压约等于100000Pa。

纵曲枉直 直言正色 直言极谏 直言不讳 直抒己见 直情径行 直木先伐 直截了当 直捣黄龙 正直无私 正色直言 正法直度 勇往直前 心直口快 小枉大直 恶直丑正 枉尺直寻 是非曲直 青云直上 平铺直序 蓬生麻中,不扶而直 理直气壮 举直错枉 急转直下 急起直追 横冲直撞 扶摇直上 董狐直笔 单刀直入 长驱直入 秉笔直书

根就是方程解出的所有的根，增根就是使分母为零的无意义的根

吨是质量单位 升是体积单位 不能直接换算 他们之间的换算还牵涉到不同物质的不同密度.你只能说一吨水或一吨油有多少升，然后通过他们的密度进行换算！（要说清是什么物质）。 比如说水。水的密度是1000g/dm3（每立分方米/一千克）。 （记着：升是体积单位，可算成1立方分米 =1升）。 根据公式：质量(g)=体积(ml)*密度(gml) 换算 可数出 1吨水有1000升 在这里也不知道你准确的说哪一种油： 如果是汽油，那汽油的密度是：0.739g/ml （每毫升0.739克） 根据公式：质量(g)=体积(ml)*密度(gml) 换算 可数出 1吨汽油约等于1378升左右。

诱导公式是指三角函数中将角度比较大的三角函数利用角的周期性，转换为角度比较小的三角函数的公式。诱导公式有六组共54个。

瞎写，题目都不对！

20KG（20公斤）是40斤。乘机时头等舱旅客的免费行李额为40公斤，公务舱旅客的免费行李额为30公斤，经济舱旅客的免费行李额为20公斤，超出免费行李额的部分需要付费。千克(kg)、克和斤都是重量的度量单位。因为1kg=1000g、500g=1斤，所以20kg=20x1000g=20000g=20000÷500斤=40斤。即20千克等于40斤。单位换算：1千克=0.001吨1千克=1000克1千克=1000000毫克1千克=1000000000微克自1889年以来，“千克”这一重量是由放在法国巴黎国际度量衡局（BIMP）的一个铂铱合金（90%的铂，10%的铱）圆筒所定义，它的高和直径都是约39毫米。该合金于1879年制成，经仔细调校，符合自18世纪法国大革命以来“千克”的重量，并于10年后被采纳，成为国际千克原器。国际千克原器被放置在巴黎市郊的地下室内，人们一直认为这一合金的质量不会改变。

吨是质量单位,升是容积单位, 1吨=1000千克 1升=0.001立方米 如果要问1吨=多少升,要看是什么东西,还有个密度问题. 比如：水,密度是1*1000千克/立方米, 1吨=1000升. 汽油： 密度是0.739*1000千克/立方米,1吨=1353升. 柴油; 密度是0.86*1000千克/立方米, 1吨=1163升.

第二步可以不用写的 直接等于1/5X^5+1/12X^4+1/6X^3+1/2X^2+X从0到1=1/5+1/12+1/6+1/2+1-0

拼音zhí部首目笔画8基本释义1.不弯曲：～线。～角。～径。～立。～截了当。～觉（jué）。～观。2.把弯曲的伸开：～起腰来。3.公正合理：是非曲～。理～气壮。耿～。正～。4.爽快，坦率：～爽。～率（shuài）。～谏。～诚。～言不讳。5.一个劲儿地，连续不断：一～走。～哭。6.竖，与“横”相对：不要横着写，要～着写。7.汉字笔形之一，自上至下。8.姓。相关组词直到直立笔直直接一直直角伸直垂直憨直径直率直直径直至直觉

三角函数诱导公式口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦；全,S,T,C,正；奇变偶不变、符号看象限；正弦一二切一三，余弦一四紧相连，言之为正。 一全正、二正弦、三正切、四余弦 1、第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“+”； 2、第二象限内只有正弦是“+”,其余全部是“-”； 3、第三象限内只有正切和余切是“+”,其余全部是“-”； 4、第四象限内只有余弦是“+”,其余全部是“-”。 全,S,T,C,正 这五个字口诀的意思就是说：第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“+”;第二象限内只有正弦是“+”，其余全部是“-”;第三象限内只有正切是“+”，其余全部是“-”;第四象限内只有余弦是“+”，其余全部是“-”。 奇变偶不变，符号看象限 “奇、偶”指的是π/2的倍数的奇偶，“变与不变”指的是三角函数的名称的变化：“变”是指正弦变余弦，正切变余切。（反之亦然成立）“符号看象限”的含义是：把角α看做锐角，不考虑α角所在象限，看n·(π/2)±α是第几象限角，从而得到等式右边是正号还是负号。

增根，数学名词。是指方程求解后得到的不满足题设条件的根。一元二次方程与分式方程和其它产生多解的方程在一定题设条件下都可能有增根。在分式方程化为 整式方程的过程中，分式方程解的条件是使原方程分母不为零。若整式方程的根使最简公分母为0，（根使整式方程成立，而在分式方程中分母为0）那么这个根叫做原分式方程的增根。拓展资料一、外文名：extraneous root别    名：原分式方程的增根二、研究领域：数学 三、来源对于分母的值为零时，这个分数无意义，所以不允许分母为0，即本身就隐含着分母不为零的条件。当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根。四、

1、20kg等于40斤。 2、千克(kg)、克和斤都是重量的度量单位。 3、因为1kg=1000g、500g=1斤，所以20kg=20x1000g=20000g=20000÷500斤=40斤。即20千克等于40斤。