数学中的因子指什么，因式又是什么

问题一：“因式”是什么意思？ 因式 果多项式 f(x) 能够被非零多项式 g(x) 整除，即可以找出一个多项式 g(x) ，使得 f(x)=q(x)・g(x)，那么g(x) 就叫做 f(x) 的一个因式。当然，这时 q(x) 也是 f(x) 的一个因式，并且 q(x) 、g(x) 的次数都不会大于 f(x) 的次数。 注意：g(x)≠0，但 q(x) 可以等于0（当 f(x)=0 时）。 例如，因为 (x+1)(x-1)=x2-1， 把左边、右边交换，得到 x2-1= (x+1)(x-1) ，所以 x+1，x-1 都是 x胆-1 的因式。 问题二：什么叫做因式，什么叫做因式分解 如果多项式f(x)能够被非零多项式g(x)整除，即可以找出一个多项式g(x)，使得f(x)=q(x)・g(x)，那么g(x)就叫做f(x)的一个因式。 因式分解概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做因式分解。 问题三：什么是因式？ 在数的乘法中，每一个数都叫因数。而在式的乘法中，每一个式都叫因式。 问题四：数学里的因式是什么意思？ 多项式被另一多项式整除,后者即是前者的因式，如果多项式 f(x) 能够被整式 g(x) 整除，即可以找出一个多项式 q(x) ，使得 f(x)=q(x)・g(x)，那么g(x) 就叫做 f(x) 的一个因式。当然，这时 q(x) 也是 f(x) 的一个因式，并且 q(x) 、g(x) 的次数都不会大于 f(x) 的次数。 注意，因式是一个式子，而2×3=6中的2、3不是式子，是数字，称为因数，而不是因式。 问题五：因式是什么意思 在代数式乘法运算中，相乘的每个代数式都叫做因式。因式也包括数。在仅有数的乘法运算中，相乘的每个数也叫做因数。

因式和因数都是由一个整体分解成部分后称呼因式：譬如二元多项式x^2-y^2可以分解为(x+y)*(x-y)，当中的(x+y)或(x-y)都可以称为因式。这个过程可以称之为因式分解因数：譬如整数56可以分解为7*2*2*2，当中的7或2都可以称为因数。这个过程可以称之为质因数分解

若不能被整除的话当然不叫因式啦！或许叫非因式

嗯，是就星期了，你需要了解的是什么是因式分解

在数的乘法中，每一个数都叫因数。而在式的乘法中，每一个式都叫因式。

如果多项式 f(x) 能够被非零多项式 g(x) 整除，即可以找出一个多项式 q(x) ，使得 f(x)=q(x)·g(x)，那么g(x) 就叫做 f(x) 的一个因式。当然，这时 q(x) 也是 f(x) 的一个因式，并且 q(x) 、g(x) 的次数都不会大于 f(x) 的次数。

数学因式是数学因式分解

概述　　定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式。　　意义：它是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具。因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用。学习它，既可以复习的整式四则运算，又为学习分式打好基础；学好它，既可以培养学生的观察、注意、运算能力，又可以提高学生综合分析和解决问题的能力。　　分解因式与整式乘法互为逆变形。

即为余式定理的推论之一： 如果多项式f(a)=0，那么多项式f(x)必定含有因式x-a。 反过来，如果f(x)含有因式x-a，那么，f(a)=0。 将因式定理与待定系数法配合使用往往可以更简便的进行因式分解。

因式分解是将一个多项式分为几个整式的积的形式 平方差公式为；a^2-b^2=(a+b)*(a-b) 完全平方公式:(a+b)^2=a^2+2ab+b^2 (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 a^2为a的平方

与因数相似，因式是指几个多项式（包括常数即0次多项式）乘积中的其中一个。

把一个多项式化为几个最简整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解（也叫作分解因式）。 意义：它是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具。因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用。学习它，既可以复习的整式四则运算，又为学习分式打好基础；学好它，既可以培养学生的观察、思维发展性、运算能力，又可以提高学生综合分析和解决问题的能力。 分解因式与整式乘法为相反变形。编辑本段方法 因式分解没有普遍的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法。而在竞赛上，又有拆项和添减项法，分组分解法和十字相乘法，待定系数法，双十字相乘法，对称多项式，轮换对称多项式法，余式定理法，求根公式法，换元法，长除法，短除法，除法等。（实际上经典例题： 1.分解因式(1+y)^2-2x^2(1+y^2)+x^4(1-y)^2 解：原式=(1+y)^2+2(1+y)x^2(1+y)+x^4(1-y)^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2) =[(1+y)+x^2(1-y)]^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2) =[(1+y)+x^2(1-y)]^2-(2x)^2 =[(1+y)+x^2(1-y)+2x]·[(1+y)+x^2(1-y)-2x] =(x^2-x^2y+2x+y+1)(x^2-x^2y-2x+y+1) =[(x+1)^2-y(x^2-1)][(x-1)^2-y(x^2-1)] =(x+1)(x+1-xy+y)(x-1)(x-1-xy-y) 2.证明：对于任何数x,y，下式的值都不会为33 x^5+3x^4y-5x^3y^2+4xy^4+12y^5 解：原式=(x^5+3x^4y)-(5x^3y^2+15x^2y^3)+(4xy^4+12y^5) =x^4(x+3y)-5x^2y^2(x+3y)+4y^4(x+3y) =(x+3y)(x^4-5x^2y^2+4y^4) =(x+3y)(x^2-4y^2)(x^2-y^2) =(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y) 就是把简单的问题复杂化） 注意三原则 1 分解要彻底 2 最后结果只有小括号 3 最后结果中多项式首项系数为正（例如：-3x^2+x=x(-3x+1）） 归纳方法：沪科版七下课本上有的 1、提公因式法。 2、公式法。 3、分组分解法。 4、凑数法。[x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)] 5、组合分解法。 6、十字相乘法。 7、双十字相乘法。 8、配方法。 9、拆项法。 10、换元法。 11、长除法。 12、加减项法。 13、求根法。 14、图象法。 15、主元法。 16、待定系数法。 17、特殊值法。 18、因式定理法。编辑本段基本方法提公因式法 各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。 如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。 具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的。 如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数。提出“-”号时，多项式的各项都要变号。 口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶。 例如：-am+bm+cm=-(a-b-c)m； a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(a-b)(x-y)。 注意：把2a+1/2变成2(a+1/4)不叫提公因式公式法 如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法。 平方差公式: (a+b)(a-b)=a^2-b^2 反过来为a^2-b^2=(a+b)(a-b) 完全平方公式：(a+b)^2=a^2+2ab+b^2 反过来为a^2+2ab+b^2=(a+b)^2 (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 a^2-2ab+b^2=(a-b)^2 注意：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍。 两根式：ax2+bx+c=a(x-(-b+√(b2-4ac))/2a)(x-(-b-√(b2-4ac))/2a) 立方和公式：a^3+b^3=(a+b)(a2-ab+b2)； 立方差公式：a^3-b^3=(a-b)(a2+ab+b2)； 完全立方公式：a3±3a2b＋3ab2±b3=(a±b)3． 公式：a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca) 例如：a^2+4ab+4b^2 =(a+2b)^2。 （3）分解因式技巧 1.分解因式与整式乘法是互为逆变形。 2.分解因式技巧掌握： ①等式左边必须是多项式； ②分解因式的结果必须是以乘积的形式表示； ③每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数； ④分解因式必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止。 注：分解因式前先要找到公因式，在确定公因式前，应从系数和因式两个方面考虑。 3.提公因式法基本步骤： （1）找出公因式； （2）提公因式并确定另一个因式： ①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数在确定字母； ②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式； ③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同。编辑本段竞赛用到的方法分组分解法 分组分解是解方程的一种简洁的方法，我们来学习这个知识。 能分组分解的方程有四项或大于四项，一般的分组分解有两种形式：二二分法，三一分法。 比如： ax+ay+bx+by =a(x+y)+b(x+y) =(a+b)(x+y) 我们把ax和ay分一组，bx和by分一组，利用乘法分配律，两两相配，立即解除了困难。 同样，这道题也可以这样做。 ax+ay+bx+by =x(a+b)+y(a+b) =(a+b)(x+y) 几道例题： 1. 5ax+5bx+3ay+3by 解法：=5x(a+b)+3y(a+b) =(5x+3y)(a+b) 说明：系数不一样一样可以做分组分解，和上面一样，把5ax和5bx看成整体，把3ay和3by看成一个整体，利用乘法分配律轻松解出。 2. x^3-x^2+x-1 解法：=(x^3-x^2)+(x-1) =x^2(x-1)+ (x-1) =(x-1)(x^2+1) 利用二二分法，提公因式法提出 x2，然后相合轻松解决。 3. x^2-x-y^2-y 解法：=(x^2-y^2)-(x+y) =(x+y)(x-y)-(x+y) =(x+y)(x-y-1) 利用二二分法，再利用公式法a^2-b^2=(a+b)(a-b)，然后相合解决。十字相乘法 这种方法有两种情况。 ①x^2+(p+q)x+pq型的式子的因式分解 这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和。因此，可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：x^2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) ． ②kx^2+mx+n型的式子的因式分解 如果有k=ac，n=bd，且有ad+bc=m时，那么kx^2+mx+n=(ax+b)(cx+d)． 图示如下： a b ╳ c d 例如：因为 1 -3 ╳ 7 2 -3×7=-21，1×2=2，且2-21=-19， 所以7x2-19x-6=(7x+2)(x-3)． 十字相乘法口诀：首尾分解，交叉相乘，求和凑中拆项、添项法 这种方法指把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解。要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形。 例如：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b) =bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b) =bc(c-a)+bc(a+b)+ca(c-a)-ab(a+b) =bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b) =(bc+ca)(c-a)+(bc-ab)(a+b) =c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a) =(c+b)(c-a)(a+b)．配方法 对于某些不能利用公式法的多项式，可以将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解，这种方法叫配方法。属于拆项、补项法的一种特殊情况。也要注意必须在与原多项式相等的原则下进行变形。 例如：x^2+3x-40 =x^2+3x+2.25-42.25 =(x+1.5)^2-(6.5)^2 =(x+8)(x-5)．应用因式定理 对于多项式f(x)=0，如果f(a)=0，那么f(x)必含有因式x-a． 例如：f(x)=x2+5x+6，f(-2)=0，则可确定x+2是x2+5x+6的一个因式。(事实上，x2+5x+6=(x+2)(x+3)．) 注意：1、对于系数全部是整数的多项式，若X=q/p（p,q为互质整数时）该多项式值为零，则q为常数项约数，p最高次项系数约数； 2、对于多项式f(a)=0,b为最高次项系数，c为常数项，则有a为c/b约数换元法 有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来，这种方法叫做换元法。 相关公式注意:换元后勿忘还元. 例如在分解(x2+x+1)(x2+x+2)-12时，可以令y=x^2+x,则 原式=(y+1)(y+2)-12 =y^2+3y+2-12=y^2+3y-10 =(y+5)(y-2) =(x^2+x+5)(x2+x-2) =(x^2+x+5)(x+2)(x-1)． 也可以参看右图。求根法 令多项式f(x)=0,求出其根为x1，x2，x3，……xn，则该多项式可分解为f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)……(x-xn) ． 例如在分解2x^4+7x^3-2x^2-13x+6时，令2x^4 +7x^3-2x^2-13x+6=0， 则通过综合除法可知，该方程的根为0.5 ，-3，-2，1． 所以2x^4+7x^3-2x^2-13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)．图象法 令y=f(x)，做出函数y=f(x)的图象，找到函数图像与X轴的交点x1 ,x2 ,x3 ,……xn ，则多项式可因式分解为f(x)= f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)……(x-xn)． 与方法⑼相比，能避开解方程的繁琐，但是不够准确。 例如在分解x^3 +2x^2-5x-6时，可以令y=x^3; +2x^2 -5x-6. 作出其图像，与x轴交点为-3，-1，2 则x^3+2x^2-5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)．主元法 先选定一个字母为主元，然后把各项按这个字母次数从高到低排列，再进行因式分解。特殊值法 将2或10代入x，求出数p，将数p分解质因数，将质因数适当的组合，并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式，将2或10还原成x，即得因式分解式。 例如在分解x^3+9x^2+23x+15时，令x=2，则 x^3 +9x^2+23x+15=8+36+46+15=105， 将105分解成3个质因数的积，即105=3×5×7 ． 注意到多项式中最高项的系数为1，而3、5、7分别为x+1，x+3，x+5，在x=2时的值， 则x^3+9x^2+23x+15可能等于(x+1)(x+3)(x+5)，验证后的确如此。待定系数法 首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多项式因式分解。 例如在分解x^4-x^3-5x^2-6x-4时，由分析可知：这个多项式没有一次因式，因而只能分解为两个二次因式。 于是设x^4-x^3-5x^2-6x-4=(x^2+ax+b)(x^2+cx+d) 相关公式=x^4+(a+c)x^3+(ac+b+d)x^2+(ad+bc)x+bd 由此可得a+c=-1， ac+b+d=-5， ad+bc=-6， bd=-4． 解得a=1，b=1，c=-2，d=-4． 则x^4-x^3-5x^2-6x-4=(x^2+x+1)(x^2-2x-4)． 也可以参看右图。双十字相乘法 双十字相乘法属于因式分解的一类，类似于十字相乘法。 双十字相乘法就是二元二次六项式，启始的式子如下: ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f x、y为未知数，其余都是常数 用一道例题来说明如何使用。 例：分解因式：x^2+5xy+6y^2+8x+18y+12． 分析：这是一个二次六项式，可考虑使用双十字相乘法进行因式分解。 解：图如下，把所有的数字交叉相连即可 x 2y 2 ① ② ③ x 3y 6 ∴原式=(x+2y+2)(x+3y+6)． 双十字相乘法其步骤为： ①先用十字相乘法分解2次项，如十字相乘图①中x^2+5xy+6y^2=(x+2y)(x+3y)； ②先依一个字母（如y）的一次系数分数常数项。如十字相乘图②中6y²+18y+12=(2y+2)(3y+6)； ③再按另一个字母（如x）的一次系数进行检验，如十字相乘图③，这一步不能省，否则容易出错。 利用根与系数的关系对二次多项式进行因式分解 例：对于二次多项式 aX^2+bX+c(a≠0) aX^2+bX+c=a[X^2+(b/a)X+(c/a)X]. 当△=b^2-4ac≥0时， =a(X^2-X1-X2+X1X2) =a(X-X1)(X-X2).编辑本段多项式因式分解的一般步骤 ①如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式； ②如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解； ③如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解； ④分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。 也可以用一句话来概括：“先看有无公因式，再看能否套公式。十字相乘试一试，分组分解要合适。” 几道例题 1．分解因式(1+y)^2-2x^2(1+y^2)+x^4(1-y)^2． 解：原式=(1+y)^2+2(1+y)x^2(1-y)+x^4(1-y)^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2)（补项） =[(1+y)+x^2(1-y)]^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2)（完全平方） =[(1+y)+x^2(1-y)]^2-(2x)^2 =[(1+y)+x^2(1-y)+2x][(1+y)+x^2(1-y)-2x] =(x^2-x^2y+2x+y+1)(x^2-x^2y-2x+y+1) =[(x+1)^2-y(x^2-1)][(x-1)^2-y(x^2-1)] =(x+1)(x+1-xy+y)(x-1)(x-1-xy-y)． 2．求证：对于任何实数x,y，下式的值都不会为33： x^5+3x^4y-5x^3y^2-15x^2y^3+4xy^4+12y^5． 解：原式=(x^5+3x^4y)-(5x^3y^2+15x^2y^3)+(4xy^4+12y^5) =x^4(x+3y)-5x^2y^2(x+3y)+4y^4(x+3y) =(x+3y)(x^4-5x^2y^2+4y^4) =(x+3y)(x^2-4y^2)(x^2-y^2) =(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y)． （分解因式的过程也可以参看右图。） 当y=0时，原式=x^5不等于33；当y不等于0时，x+3y，x+y，x-y，x+2y，x-2y互不相同，而33不能分成四个以上不同因数的积，所以原命题成立。 3.．△ABC的三边a、b、c有如下关系式：-c^2+a^2+2ab-2bc=0，求证：这个三角形是等腰三角形。 分析：此题实质上是对关系式的等号左边的多项式进行因式分解。 证明：∵-c^2+a^2+2ab-2bc=0， ∴(a+c)(a-c)+2b(a-c)=0． ∴(a-c)(a+2b+c)=0． ∵a、b、c是△ABC的三条边， ∴a＋2b＋c＞0． ∴a－c＝0， 即a＝c，△ABC为等腰三角形。 4．把-12x^2n×y^n+18x^(n+2)y^(n+1)-6x^n×y^(n-1)分解因式。 解：-12x^2n×y^n+18x^(n+2)y^(n+1)-6x^n×y^(n-1) =-6x^n×y^(n-1)(2x^n×y-3x^2y^2+1)．编辑本段四个注意 因式分解中的四个注意，可用四句话概括如下：首项有负常提负，各项有“公”先提“公”，某项提出莫漏1，括号里面分到“底”。 现举下例 可供参考 例1 把－a2－b2＋2ab＋4分解因式。 解：－a2－b2＋2ab＋4＝－（a2－2ab＋b2－4）＝－（a－b＋2）（a－b－2） 这里的“负”，指“负号”。如果多项式的第一项是负的，一般要提出负号，使括号内第一项系数是正的。防止学生出现诸如－9x2＋4y2＝（－3x）2－（2y）2＝（－3x＋2y）（－3x－2y）＝（3x－2y）（3x＋2y）的错误 例2把－12x2nyn＋18xn＋2yn＋1－6xnyn－1分解因式。解：－12x2nyn＋18xn＋2yn＋1－6xnyn－1＝－6xnyn－1（2xny－3x2y2＋1） 这里的“公”指“公因式”。如果多项式的各项含有公因式，那么先提取这个公因式，再进一步分解因式；这里的“1”，是指多项式的某个整项是公因式时，先提出这个公因式后，括号内切勿漏掉1。 分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。即分解到底，不能半途而废的意思。其中包含提公因式要一次性提“干净”，不留“尾巴”，并使每一个括号内的多项式都不能再分解。防止学生出现诸如4x4y2－5x2y2－9y2＝y2（4x4－5x2－9）＝y2（x2＋1）（4x2－9）的错误。 考试时应注意： 在没有说明化到实数时，一般只化到有理数就够了,有说明实数的话,一般就要化到整数！ 由此看来，因式分解中的四个注意贯穿于因式分解的四种基本方法之中，与因式分解的四个步骤或说一般思考顺序的四句话：“先看有无公因式，再看能否套公式，十字相乘试一试，分组分解要合适”等是一脉相承的。编辑本段应用 1、 应用于多项式除法。 2、 应用于高次方程的求根。 3、 应用于分式的通分与约分 顺带一提，梅森合数分解已经取得一些微不足道的进展： 1，p=4r+3，如果8r+7也是素数，则：(8r+7)|(2^P-1)。即（2p+1）|（2^P-1）； .例如： 23|(2^11-1);；11=4×2+3； 47|(2^23-1);；23=4×5+3； 167|(2^83-1);,,,.83=4×20+3； 。。。。 2,，p=2^n×3^2+1,，则（6p+1）|(2^P-1)， 例如：223|(2^37-1);；37=2×2×3×3+1； 439|(2^73-1)；73=2×2×2×3×3+1； 3463|(2^577-1);；577=2×2×2×2×2×2×3×3+1； ，，，。 3，p=2^n×3^m×5^s-1,则（8p+1）|（2^P-1）； .例如;233|(2^29-1)；29=2×3×5-1； ;1433|(2^179-1)；179=2×2×3×3×5-1； 1913|（2^239-1）；239=2×2×2×2×3×5-1； ，，，。 还有一些梅森数分解取得进展，不再一一叙述

果多项式 f(x) 能够被非零多项式 g(x) 整除，即可以找出一个多项式 g(x) ，使得 f(x)=q(x)·g(x)，那么g(x) 就叫做 f(x) 的一个因式。当然，这时 q(x) 也是 f(x) 的一个因式，并且 q(x) 、g(x) 的次数都不会大于 f(x) 的次数。 注意：g(x)≠0，但 q(x) 可以等于0（当 f(x)=0 时）。 例如，因为 (x+1)(x-1)=x2-1， 把左边、右边交换，得到 x2-1= (x+1)(x-1) ，所以 x+1，x-1 都是 x2-1 的因式。

因式的概念是多项式被另一个多项式整除，那么后面的就是前面的因式了，因式经常的使用在数学算法之中。

问题一：数学里的因式是什么意思？ 多项式被另一多项式整除,后者即是前者的因式，如果多项式 f(x) 能够被整式 g(x) 整除，即可以找出一个多项式 q(x) ，使得 f(x)=q(x)・g(x)，那么g(x) 就叫做 f(x) 的一个因式。当然，这时 q(x) 也是 f(x) 的一个因式，并且 q(x) 、g(x) 的次数都不会大于 f(x) 的次数。 注意，因式是一个式子，而2×3=6中的2、3不是式子，是数字，称为因数，而不是因式。 问题二：数学中什么叫分解因式 把一个多项式化为几个最简整式的积的形式，这种变形叫做因式分解也叫做分解因式。 问题三：数学因式分解，谢谢 (1-a^2)(1-b^2)-4ab =1-a^2-b^2+a^2b^2-4ab =(1-2ab+a^2b^2)-(a^2+2ab+b^2) =(1-ab)^2-(a+b)^2 =(1-ab+a+b)(1-ab-a-b) 问题四：初中数学 因式问题 a2+b2=4ab 所以a2+b2+2ab=6ab (a+b)2=6ab a2+b2=4ab 所以a2+b2-2ab=2ab (a-b)2=2ab 所以(a+b)2/(a-b)2=6ab/2ab=3 a0 所以(a+b)/(a-b)=√3

如果多项式 f(x) 能够被非零多项式 g(x) 整除，即可以找出一个多项式 q(x) ，使得 f(x)=q(x)·g(x)，那么g(x) 就叫做 f(x) 的一个因式。当然，这时 q(x) 也是 f(x) 的一个因式，并且 q(x) 、g(x) 的次数都不会大于 f(x) 的次数。

a乘以b ab就是这个式子的因式

如果多项式 f(x) 能够被非零多项式 g(x) 整除，即可以找出一个多项式 q(x) ，使得 f(x)=q(x)·g(x)，那么g(x) 就叫做 f(x) 的一个因式。当然，这时 q(x) 也是 f(x) 的一个因式，并且 q(x) 、g(x) 的次数都不会大于 f(x) 的次数。

如果多项式 f(x) 能够被非零多项式 g(x) 整除，即可以找出一个多项式 g(x) ，使得 f(x)=q(x)·g(x)，那么g(x) 就叫做 f(x) 的一个因式。当然，这时 q(x) 也是 f(x) 的一个因式，并且 q(x) 、g(x) 的次数都不会大于 f(x) 的次数。　　注意：g(x)≠0，但 q(x) 可以等于0（当 f(x)=0 时）。　　例如，因为 (x+1)(x-1)=x2-1， 把左边、右边交换，得到 x2-1= (x+1)(x-1) ，所以 x+1，x-1 都是 x2-1 的因式。

就是几个式子的乘积...LS太复杂..

一、 什么叫做因式？ 如果多项式 f(x) 能够被非零多项式 g(x) 整除，即可以找出一个多项式 g(x) ，使得 f(x)=q(x)·g(x)，那么g(x) 就叫做 f(x) 的一个因式。当然，这时 q(x) 也是 f(x) 的一个因式，并且 q(x) 、g(x) 的次数都不会大于 f(x) 的次数。 注意：g(x)≠0，但 q(x) 可以等于0（当 f(x)=0 时）。 例如，因为 (x+1)(x-1)=x2-1， 把左边、右边交换，得到 x2-1= (x+1)(x-1) ，所以 x+1，x-1 都是 x2-1 的因式。 由于任何一个多项式 f(x) 都可以写成一个非零数a及多项式 的积，即 f(x)=a· ，所以任何一个非零数a及多项式 也都可以看成 f(x) 的因式。我们把这种因式看作平凡因式，并规定在分解因式时都不予考虑。 例如，因为 可知1，x2-1，2，，，2x2-2 也都是 x2-1 的因式。这种因式都看作平凡因式，在分解因式时不予考虑。 这样，如果把 x2-1 因式分解，就只能得到唯一的结果 x2-1=(x+1)(x-1) （因为有乘法交换律，所以 x2-1=(x-1)(x+1) 与 x2-1=(x+1)(x-1) 是同样的结果），其中 x+1，x－1 都不是平凡因式。 在高等代数中可以证明，如果对平凡因式都不予以考虑，那么任何一个一元多项式在每个确定的数的范围内，其分解因式的结果是唯一的。二、 什么叫做多项式中各项的公因式？ 多项式的公因式是指这个多项式中各项都具有的公共因式。它可以是一个单项式，也可以是一个多项式，还可以是一个单项式与一个多项式的积（这里我们为了叙述上的方便，把单项式与多项式区别对待）。 如果公因式是单项式，那么公因式可能不止一个。当多项式中各项的系数是正整数时，在有理数范围内谈到它各项的公因式，是指寻找这样的公因式：它的系数必须是这个多项式中各项系数的最大公约数，它所具有的字母必须是这个多项式中各项都具有的公共字母，每个字母的指数必须是这个多项式中各项所含的同一字母的最低次幂的指数。一句话，就是各项系数的最大公约数与各项所含的相同字母的最低次幂的积。 如果公因式是多项式，那么这个多项式一定是原多项式中各项的一个公因式。这个多项式的项数、各项所含的字母及其指数、各项的系数等，在原多项式的各项中一定都是相同的，所以能够寻找出来。

如多项式,am+cm+bm=m（a+b+c） 其中m叫做这个多项式各项的公因式,m既可以是一个单项式,也可以是一个多项式

把一个多项式化为几个最简整式的积的形式，这种变形叫做因式分解，也叫作分解因式。 方法：分组分解法▪ 十字相乘法▪ 拆添项法▪ 配方法▪ 因式定理▪ 换元法▪ 综合除法

如果多项式 f(x) 能够被非零多项式 g(x) 整除，即可以找出一个多项式 g(x) ，使得 f(x)=q(x)·g(x)，那么g(x) 就叫做 f(x) 的一个因式。当然，这时 q(x) 也是 f(x) 的一个因式，并且 q(x) 、g(x) 的次数都不会大于 f(x) 的次数。　　注意：g(x)≠0，但 q(x) 可以等于0（当 f(x)=0 时）。　　例如，因为 (x+1)(x-1)=x2-1， 把左边、右边交换，得到 x2-1= (x+1)(x-1) ，所以 x+1，x-1 都是 x2-1 的因式。

亲爱的楼主：重因式编辑定义 设p(x) 为不可约多项式. 如果f(x)能被p(x) 的k次方整除而p（x）的k+1次方不能, 则称p(x) 是 f(x)的k 重因式.若k=0, 则p(x) 不是f(x) 的因式.若k=1, 则称 p(x) 是f(x) 的单因式.若k>1, 则称 p(x) 是f(x) 的重因式.也可以定义高阶微商的概念, 一阶微商f"(x) 的微商称为f(x) 的二阶微商, 记为f""(x). 一般地,f(x) 的k 阶微商定义为f(x) 的k-1 阶微商的微商:定理 如果不可约多项式p(x) 是f(x) 的k 重因式（k≥1), 那么它是f"(x) 的k-1 重因式.注意: 该定理的逆定理一般不成立推论 1如果不可约多项式p(x) 是f(x) 的k (k≥1)重因式, 那么p(x) 分别是f"(x),f""(x)...f(k-1)(x) 的 k-1,k-2,...,1 重因式, 但不是f(k)（x） 的因式.推论 2不可约多项式p(x) 是f(x) 的重因式的充分必要条件是p(x) 为f(x) 与 f"(x)的公因式.推论 3多项式 f(x)没有重因式的充分必要条件是(f(x),f"(x))=1.g(x)=f(x)/(f(x),f"(x))是一个没有重因式的且与 f(x)具有完全相同的不可约因式的多项式, 这种多项式很有用.祝您步步高升期望你的采纳，谢谢

A=B+C（A,B.C多项式）B,C叫做A的因式

因式:             如果多项式 f(x) 能够被非零多项式 g(x) 整除，即可以找出一个多项式 q(x) ，使得 f(x)=q(x)·g(x)，那么g(x) 就叫做 f(x) 的一个因式。当然，这时 q(x) 也是 f(x) 的一个因式，并且 q(x) 、g(x) 的次数都不会大于 f(x) 的次数。 注意g(x)≠0，但 q(x) 可以等于0（当 f(x)=0 时）。 一个数也可以看做一个因式。                                                                   谢谢采纳

分解因式的方法有什么？

单项式的因式是不含未知数的积的式子。根据查询相关资料信息，单项式的定义是：分母中不含未知数的积的式子叫做单项式，单项式的因式是不含未知数的积的式子，单项式中的数字因式叫做这个单项式的系数，一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数，任何一个非零数的零次方等于1。

这个你找一个初中学习的软件，从初二因式看一遍你就知道了。或者看一下这个我从百度上搬下来的:（多项式被另一整式整除，后者即是前者的因式，如果多项式 f(x) 能够被整式 g(x) 整除，即可以找出一个多项式 q(x) ，使得 f(x)=q(x)·g(x)，那么g(x) 就叫做 f(x) 的一个因式。当然，这时 q(x) 也是 f(x) 的一个因式，并且 q(x) 、g(x) 的次数都不会大于 f(x) 的次数）you know？

用乘号连接的前后两个式子比如a*b a和b都是因式因式可以是数字可以是字母可以是单项式也可以是多项式不明白可以追问

含有字母的式子

一个式子的因子或者因数6=2*3，2和3就是6的因数同样X^2=X*X,X就可以叫X^2的因式

把一个多项式化为几个最简整式的积的形式，这种变形叫做因式分解。

多项式各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式（common factor）. 最大公因式的提取方法:系数取分子和分母系数的最大公约数,字母取分子和分母共有的字母,指数取公共字母的最小指数,即为它们的公因式. 公因式

(a+b)×(a-b)=a×(a-b)+b×(a-b)=(a²-ab)+(ab-b²)=a²-b²因式分解一般步骤：1、如果多项式的首项为负，应先提取负号；这里的“负”，指“负号”。如果多项式的第一项是负的，一般要提出负号，使括号内第一项系数是正的。2、如果多项式的各项含有公因式，那么先提取这个公因式，再进一步分解因式；要注意：多项式的某个整项是公因式时，先提出这个公因式后，括号内切勿漏掉1；提公因式要一次性提干净，并使每一个括号内的多项式都不能再分解。3、如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解；4、如果用上述方法不能分解，再尝试用分组、拆项、补项法来分解。口诀：先提首项负号，再看有无公因式，后看能否套公式，十字相乘试一试，分组分解要合适。

圆的面积公式是S=πr²公式简介公式内容为圆周率*半径的平方，用字母可以表示为：S=πr²或S=π*（d/2)²。（π表示圆周率（3.1415926……），r表示半径，d表示直径）。公式由来开普勒是德国天文学家、物理学家、数学家，现代实验光学奠基人。他当过数学老师，对求面积的问题非常感兴趣，曾进行过深入的研究。他想，古代数学家用分割的方法去求圆面积，所得到的结果都是近似值。为了提高近似程度，他们不断地增加分割的次数。但是，不管分割多少次，只要是有限次，所求出来的总是圆面积的近似值。要想求出圆面积的精确值，必须分割无穷多次，把圆分成无穷多等分才行。开普勒运用无穷分割法，大胆地把圆分割成无穷多个小扇形，并果敢地断言：无穷小的扇形面积，和它对应的无穷小的三角形面积相等。他在前人求圆面积的基础上，向前迈出了重要的一步。1615年，他将自己创造的这种求圆面积的新方法，发表在《葡萄酒桶的立体几何》一书中。数学家们高度评价开普勒的工作，称赞这本书是人们创造求圆面积和体积新方法的灵感源泉。

分式的约分就是把分子和分母的公因式约去。通分的关键是找最简公分母。

计算机存储信息的大小，最基本的单位是字节，一个汉字由两个字节组成，字母和数字由一个字节组成。容量的单位从小到大依次是：字节（B）、KB、MB、GB、TB。它们之间的关系是。1TB=1024GB1GB=1024MB1MB=1024KB1KB=1024字节通常人们都使用简便的叫法，把后面的“B”去掉。

1英尺等于2.54厘米。英尺——在英语国家中，古代和现代各种以人脚长度为依据的长度计量单位。一般为25—34厘米。在许多其他西方语言中，脚和计量用的尺都用同一个词表示，虽然它所代表的长度各个地方、各个时期有所不同。例如德语言中的fuss，挪威和丹麦语中的fod等。在其他语言中，翻译成英语为foot，并表示类似长度单位的词，但并不与人脚的词相同，如日语和汉语中的尺。俄语中的fut看来只不过是英语foot的音译。在大多数国家里，英尺及其倍数和分数已分别被公制单位的米所取代。在少数几个国家里，仍沿用英尺，但还是用米来作注释，美国在1959年将英尺定为30.48厘米。

您好！我是作业姐。答案：一本正经，二话不说，三心二意，四面八方，五颜六色，七上八下，八仙过海，九牛一毛，十全十美。

圆的面积=圆周率x圆半径的平方=丌R^2

登开头的成语接龙：登木求鱼、登庸纳揆、登堂入室、登台拜将、登山小鲁、登高眺远、登高望远、登坛拜将、登高自卑、登山涉水、登高能赋、登高去梯、登山陟岭、登锋陷阵、登山越岭、登锋履刃、登峰造极、登龙有术、登山临水、登高一呼、登高履危、登界游方、登高必赋

将分母能分解的先分解，再从中找公因式（公因式就是几个分式的分母以乘号相连，几个分母里若有相同的一次项的，就取其中一个，若几个分母里有相同的多次项的，取其中最高的一项），然后将每个分式乘以公因式，就约分好了．

1、类比分数的通分得到分式的通分：　　把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分．　　注意：通分保证（1）各分式与原分式相等；（2）各分式分母相等。　　2．通分的依据：分式的基本性质．　　3．通分的关键：确定几个分式的最简公分母．　　通常取各分母的所有因式的最高次幂的积作最简公分母，这样的公分母叫做最简公分母．　　根据分式通分和最简公分母的定义，将分式 ， ， 通分：　　最简公分母为： ，然后根据分式的基本性质，分别对原来的各分式的分子和分母乘一个适当的整式，使各分式的分母都化为 。通分如下：例1 通分： 　　（1） ， ， ；　　分析：让学生找分式的公分母，可设问“分母的系数各不相同如何解决？”，依据分数的通分找最小公倍数。　　解：∵ 最简公分母是12xy2，　　小结：各分母的系数都是整数时，通常取它们的系数的最小公倍数作为最简公分母的系数　　解：∵最简公分母是10a2b2c2，　　由学生归纳最简公分母的思路。　　分式通分中求最简公分母概括为：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡出现的字母为底的幂的因式都要取；（3）相同字母的幂的因式取指数最大的。取这些因式的积就是最简公分母。　　例2通分：　　设问：对于分母为多项式的分式通分如何找最简公分母？　　前面讲的是单项式，对于多项式首先应该对多项式因式分解，确定各分母所含的因子然后再确定最简公分母。　　解：∵ 最简公分母是2x(x+1)(x-1)，　　　　小结：当分母是多项式时，应先分解因式．　　　　解：　　将分母分解因式：x2-4＝(x+2)(x-2)．4-2x＝-2(x-2)．　　∴最简公分母为2(x+2)(x-2)．　　　　由学生归纳一般分式通分：　　通分的关键是确定几个分式的最简公分母，其步骤如下：　　1.将各个分式的分母分解因式；　　2.取各分母系数的最小公倍数；　　3.凡出现的字母或含有字母的因式为底的幂的因式都要取；　　4.相同字母或含字母的因式的幂的因式取指数最大的；　　5.将上述取得的式子都乘起来，就得到了最简公分母；　　6. 原来各分式的分子和分母同乘一个适当的整式，使各分式的分母都化为最简公分母。　　练习：教材P.79中1、2、3．　　(三)课堂小结　　1．通分与约分虽都是针对分式而言，但却是两种相反的变形．约分是针对一个分式而言，而通分是针对多个分式而言；约分是把分式化简，而通分是把分式化繁，从而把各分式的分母统一起来．　　2．通分和约分都是依据分式的基本性质进行变形，其共同点是保持分式的值不变．　　3．一般地，通分结果中，分母不展开而写成连乘积的形式，分子则乘出来写成多项式，为进一步运算作准备．

队课一开始便是出旗，周志尧是旗手，赵怡和徐以方是护旗手，当颜婷婷喊出旗敬礼时，全班都举起了右手。随着颜婷婷说“班队课开始了”，班队课也就开始了。我们第一个玩的游戏是成语接龙，第一组开始，主持人给了一个开头，是一个“大”字，第一组的一个同学报了一个大开头的成语，第二组的成语必须是第一组成语的末尾的一个字，可以换音换成第一声，第二声，第三声，但组的词必须是成语，不能是四字词语。就这样，一个一个的轮下去，轮了不到三分钟就出现了故障，原来是成语重复了，最后，大家一致决定成语不能重复，要不然就没完没了了。第一个淘汰的是第一大组，接着又玩下去，本来第二大组也要淘汰的，可是后来不知是什么原因，又让他们上了，对呀对，成语太多了，对不完了，这可这么办，主持人只好说三组都是第一，不然，对到下课也对不完。玩好了成语接龙，接下来该玩歌曲接龙了。歌曲接龙中发生了一件很搞笑的事，我们接着接着就接到了呀字，呀的读音在里头的歌可以说是少之又少，好不容易想出了哎呀这首歌，最后一个词又是呀，最后实在想不出来了，主持人说:“换个字吧。”于是，又一个轮回开始了，最后一直到了下课。这可真是一堂开心的课-

利润表计算公式如下：1、营业利润=主营业务收入-主营业务成本-主营业务税金及附加＋其他业务收入-其他业务支出-营业费用-管理费用-财务费用。2、利润总额=营业利润+补贴收入＋营业外收入-营业外支出。3、净利润=利润总额-所得税。4、主营业务收入-主营业务成本-主营业务税金及附加=主营业务利润。主营业务利润+其他业务利润-销售费用-管理费用-财务费用=营业利润。营业利润+投资收益+补贴收入+营业外收入-营业外支出=利润总额。利润总额-所得税费用=净利润。5、如果。以上有亏损的为“-”。净利润=总账的本年利润。累计净利润+年初未分配利润=资产负债表中所有者权益的未分配利润数。6、营业收入。减：营业成本营业税金及附加营业费用管理费用财务费用资产减值损失。加：公允价值变动收益（损失以“—”号填列）投资收益（损失以“—”号填列）。影响利润因素除了受商品销售收入的影响外，还受到销售商品的进销差价、商品销售税金、商品销售的可变费用和商品销售应负担的固定费用。这些因素对商品销售利润的影响，可用下列方式表示。商品销售利润=Σ[某类商品销售收入×（进销差价率可变费用--率税率--）--某类商品应负担的固定费用]。也可以用另一种综合因素方式表示：商品销售利润=Σ[某类商品销售收入×利润率]。但必须指出的是上述利润总额是各类利润的语计数，如果不是分别计算种类商品的利润则可以用平均利润率来计算。即以商品销售收入与平均利润率析乘积。由此可发现，商品销售的利润，不仅受商品销售收入的影响，而且同时受到商品销售收入构成的影响，因为商品销售收入的构成，直接影响商品销售的平均利润。因此影响商品销售利润的因素，还有商品销售的结构变化。

答：如果根号在分母上要先化简到分子上，然后.将列式各分母约数。2.将分母约数进行相乘，公约数只有一次乘。3.分母分子同乘小公倍数。具体步骤：1、首先我们将分式中的各分母的约数先分别列出，也就是先找到最简公分母。2、随后将各分母约数相乘，若有公约数只乘一次，所得结果即为各分母最小公倍数。3、然后就是分数通分时，凡出现的字母或含有字母的因式为底的幂的因式都要取，相同字母或含字母的因式的幂的因式取指数最大。4、最后我们根据上诉中所说的通分过程就得到了通分后的分数，通分后的分数分母相同。通分（reduction of fractions to a common denominator）根据分数（式）的基本性质，把几个异分母分数（式）化成与原来分数（式）相等的同分母的分数（式）的过程，叫做通分。

1. 以妾开头的成语 『包含有“妾”字的成语』 “妾”字开头的成语：无 第二个字是“妾”的成语：无 第三个字是“妾”的成语：无 “妾”字结尾的成语：（共1则） [s] 三妻四妾 “妾”字在其他位置的成语：无 『三妻四妾』 『拼音』 sān qī sì qiè 『首拼』 sqsq 『释义』 妻妾众多的意思。 『康熙字典』 三、妻、四、妾。 『出处』 无 『示例』 在今天，男人三妻四妾是可耻的事，还有什么值得骄傲的？ 2. 带"妻"字的四字成语有哪些 1、三妻四妾 拼音]sān qī sì qiè[释义]妻妾众多的意思。 2、糟糠之妻 [拼音]zāo kāng zhī qī[释义]糟糠：穷人用来充饥的酒渣、米糠等粗劣食物。借指共过患难的妻子。 [出处]《后汉书·宋弘传》：“（光武帝）谓弘曰：‘谚言贵易交，富易妻，人情乎？"弘曰：‘臣闻贫贱之知不可忘，糟糠之妻不下堂。"”3、夫荣妻贵 [拼音]fū róng qī guì[释义]荣：草木茂盛，比喻兴盛显达。 指丈夫光荣，妻子也随之尊贵。[出处]《仪礼·丧服》：“夫尊于朝，妻贵于室矣。” 4、鹤子梅妻 [拼音]hè zǐ méi qī[释义]指宋隐士林逋以鹤为子、以梅为妻事。亦喻指妻子儿女。 [出处]清·董以宁《河满子·同程村闲话》词：“若比孤山林处士，但非鹤子梅妻。”5、夫负妻戴 [拼音]fū fù qī dài[释义]指夫妻远徙避世，不慕荣利。 [出处]相传春秋时，楚狂接舆躬耕而食。楚王使人聘之，请为治淮南。 接舆笑而不应。其妻以为君命不从非忠，从之又违义。 于是夫负釜甑，妻戴纴器，变名易姓而远徙，莫知所之。见汉·刘向《列女传·楚接舆妻》。 3. 带"妻"字的四字成语有哪些 1、三妻四妾 拼音] sān qī sì qiè [释义] 妻妾众多的意思。 2、糟糠之妻 [拼音] zāo kāng zhī qī [释义] 糟糠：穷人用来充饥的酒渣、米糠等粗劣食物。借指共过患难的妻子。 [出处] 《后汉书·宋弘传》：“（光武帝）谓弘曰：‘谚言贵易交，富易妻，人情乎？"弘曰：‘臣闻贫贱之知不可忘，糟糠之妻不下堂。"” 3、夫荣妻贵 [拼音] fū róng qī guì [释义] 荣：草木茂盛，比喻兴盛显达。指丈夫光荣，妻子也随之尊贵。 [出处] 《仪礼·丧服》：“夫尊于朝，妻贵于室矣。” 4、鹤子梅妻 [拼音] hè zǐ méi qī [释义] 指宋隐士林逋以鹤为子、以梅为妻事。亦喻指妻子儿女。 [出处] 清·董以宁《河满子·同程村闲话》词：“若比孤山林处士，但非鹤子梅妻。” 5、夫负妻戴 [拼音] fū fù qī dài [释义] 指夫妻远徙避世，不慕荣利。 [出处] 相传春秋时，楚狂接舆躬耕而食。楚王使人聘之，请为治淮南。接舆笑而不应。其妻以为君命不从非忠，从之又违义。于是夫负釜甑，妻戴纴器，变名易姓而远徙，莫知所之。见汉·刘向《列女传·楚接舆妻》。 4. 四字成语大全. 1. 再三再四、 2. 张三李四、 3. 四面八方、 4. 五湖四海、 5. 四脚朝天、 6. 挑三拣四、 7. 不三不四、 8. 四面楚歌、 9. 四平八稳、 10. 文房四宝、 11. 低三下四、 12. 颠三倒四、 13. 志在四方、 14. 四通八达、 15. 四大皆空、 16. 丢三落四、 17. 说三道四、 18. 三从四德、 19. 名扬四海、 20. 三妻四妾、 21. 朝三暮四、 22. 危机四伏、 23. 四分五裂、 24. 三番四覆 25. 四角俱全、 26. 居徒四壁、 27. 四方辐辏、 28. 四邻八舍、 29. 拉三扯四、 30. 重三迭四、 31. 纲纪四方、 32. 丑声四溢、 33. 三老四少、 34. 四海飘零、 35. 四近之臣、 36. 四海承风、 37. 八万四千、 38. 四时充美、 39. 吃四方饭、 40. 四时八节、 41. 张三吕四、 42. 没三没四、 43. 四海升平、 44. 一谦四益、 45. 挑三窝四、 46. 三瓦四舍、 47. 大化有四、 48. 四亭八当、 49. 揭竿四起、 50. 四衢八街 51. 四至八道、 52. 推三宕四、 53. 骈四俪六、 54. 四邻不安、 55. 调三窝四、 56. 四面出击、 57. 商山四翁、 58. 四战之地、 59. 四海承平、 60. 挨三顶四、 61. 六通四辟、 62. 三反四覆、 63. 彷徨四顾、 64. 三檐四马、 65. 欺三瞒四、 66. 三男四女、 67. 横三竖四、 68. 巴三览四、 69. 四清六活、 70. 四六骈俪、 71. 吼三喝四、 72. 狼烟四起、 73. 家徒四壁、 74. 萧然四壁、 75. 四方之志、 76. 四壁萧然 77.